Diferenciální geometrie

Transkript

1 Diferenciální geometrie Pomocný učební text díl II František Ježek Plzeň, červen 2005

2 Obsah 2 Plochy Vyjádření plochy Transformace parametrů Tečné vlastnosti ploch Obalové plochy Rozvinutelné plochy Vektory na ploše Tenzory na ploše a tenzorová pole První základní forma plochy Druhá základní forma plochy Normálová křivost a Meusnierova věta Dupinova indikatrix a významné směry na ploše Gaussova a střední křivost Geodetická křivost plochy Weingartenovy a Gaussovy rovnice Asymptotické, hlavní a geodetické křivky Minimální plochy

3 Kapitola 2 Plochy 2.1 Vyjádření plochy Pro parametr křivky jsme zpravidla užívali označení písmenem t. Vzhledem k tomu, že pro plochy použijeme tenzorového zápisu a tzv. Einsteinovy sumační konvence, označíme parametry (souřadnice v parametrickém prostoru) pomocí proměnných u 1 a u 2. Použití horních indexů je do jisté míry neobvyklé, neboť hrozí záměna s mocninou. Pokud by se v textu objevila mocnina, použijeme proto závorek. Definice 1. Regulární plochou třídy C n v E 3 rozumíme množinu P E 3, pro kterou existuje vektorová funkce P (u 1, u 2 ), (u 1, u 2 ) Ω, kde Ω je oblast (otevřená kompaktní množina) taková, že (a) P : Ω P je zobrazení na množinu, (b) P je třídy C n (n 3), (c) P u 1 a P u 2 jsou lineárně nezávislé ve všech bodech oblasti Ω, (d) (u 1 0, u 2 0) Ω, (u 1 1, u 2 1) Ω a (u 1 0, u 2 0) (u 1 1, u 2 1) P (u 1 0, u 2 0) P (u 1 1, u 2 1). Poznámka 1. Pro regulární plochu ve všech bodech vzhledem k bodu c) definice platí P u P 1 u 0. 2 Podobně jako u regulární křivky proběhne zobecnění a zavedení singulárních bodů (podmínka (c) u křivek i ploch), kde v bodě vratu křivky neexistuje tečna a ve vrcholu plochy neexistuje tečná rovina. 23

4 2.1. Vyjádření plochy 24 Obrázek 2.1: K definici plochy Definice 2. Nechť je dána plocha určená vektorovou funkcí P (u 1, u 2 ) na oblasti Ω a nechť jsou dány funkce α 1 (t) a α 2 (t), t I, určující křivku v Ω, pak P (α 1 (t), α 2 (t)) nazýváme křivkou na ploše. Je-li α 1 (t) nebo α 2 (t) konstantní, nazýváme křivku parametrickou křivkou plochy. Obrázek 2.2: K definici parametrických křivek plochy Poznámka 2. Zpravidla Ω = I u I v, tj. jde o dvourozměrný interval. Jinak může dojít k rozpadu parametrické křivky. Věta 1. Každým bodem plochy procházejí dvě parametrické křivky, které se nedotýkají. Důkaz. Plyne z definice 1 bodu (c).

5 2.2. Transformace parametrů 25 Poznámka 3. Stejně jako u křivek i u ploch se objevuje problém odstranitelných a neodstranitelných singularit. Poznámka 4. Kromě vektorových funkcí mají plochy i implicitní vyjádření F (x, y, z) = 0. Vyjádření x = f 1 (y, z) nebo y = f 2 (x, z) nebo z = f 3 (x, y) se nazývá explicitní. Lokálně jsou možné vzájemné převody. 2.2 Transformace parametrů Věta 2. Je dána plocha P (u 1, u 2 ) na oblasti Ω a nechť je dáno zobrazení oblasti Ω na Ω vztahy u 1 = ϕ 1 (u 1, u 2 ) a u 2 = ϕ 2 (u 1, u 2 ). Nechť (a) ϕ 1, ϕ 2 jsou třídy C n, (b) na Ω je Jakobián (c) zobrazení je prosté, pak plochy P (u 1, u 2 ) a P (u 1, u 2 ) = P ϕ 1 ϕ 2 u 1 u 1 ϕ 1 ϕ 2 u 2 u 2 Důkaz. Ověřením podmínek definice 1. 0, ( ) ϕ 1 (u 1, u 2 ), ϕ 2 (u 1, u 2 ) splývají. Definice 3. Einsteinovou sumační konvencí rozumíme úmluvu, podle níž ve vztazích, kde je týž index použit zároveň jako dolní a horní, provádíme podle tohoto indexu sčítání. Příklad 1. Určíme P u 1 a P u 2. Označme ϕ 1 u 1 ( ) ; ϕ 2 u 2 ( ) a proveďme výpočet (za vyjádření pomocí Einsteinovy sumační konvence). Použijeme-li zápis a v Einsteinově sumaci P u 1 = P u 1 P u 2 = P u 1 P u i u 1 u 1 u 1 u 2 = P i, lze psát + P u 2 + P u 2 P u i = P 1 u1 u i + P 2 u2 u i P u i = P j uj u i. u 2 u 1 u 2 u 2

6 2.3. Tečné vlastnosti ploch Tečné vlastnosti ploch Věta 3. Všechny tečny regulárních křivek na regulární ploše v daném bodě leží v jedné rovině. Důkaz. Uvažujme křivku (u 1 (t), u 2 (t) ) na ploše P ( u 1, u 2 ). Určíme dp dt = P 1 du1 dt + P 2 du2 dt = P i dui dt. Tedy tečný vektor je lineární kombinací nekolineárních vektorů P 1 a P 2. K tomu, aby šlo o regulární křivku, stačí, aby ( du1 dt, du2 dt ) 0 a zobrazení bylo třídy C 1 a bylo prosté. Definice 4. Rovinu R(α 1, α 2 ) = P + α 1 P 1 + α 2 P 2 = P + α i P i nazýváme tečná rovina plochy. Přímku Q(t) = P + t(p 1 P 2 ) normálou plochy a vektor λ(p 1 P 2 ), λ 0, normálovým vektorem v daném bodě. Věta 4. Nechť je plocha dána implicitním vyjádřením f(x 1, x 2, x 3 ) = 0. Pak jejím normálovým vektorem (v daném bodě) je vektor n = (f 1, f 2, f 3 ), jehož složky jsou dány parciálními derivacemi funkce f. Důkaz. V okolí daného bodu existuje parametrizace x 1 (u 1, u 2 ), x 2 (u 1, u 2 ), x 3 (u 1, u 2 ). Derivujeme f ( x 1 (u 1, u 2 ), x 2 (u 1, u 2 ), x 3 (u 1, u 2 ) ) = 0 podle u 1 a u 2 f u 1 = f 1 x 1 u 1 + f 2 x 2 u 1 + f 3 x 3 u 1 = n P 1 = 0, podobně n P 2 = 0. Vektor n je tedy ortogonální k P 1 i P 2 a tvrzení je dokázáno.

7 2.4. Obalové plochy Obalové plochy Je dán jednoparametrický systém ploch (regulárních) f(x 1, x 2, x 3, α) = 0, α I. Obalová plocha κ se v každém bodě dotýká některé z ploch a naopak každá plocha dané jednoparametrické soustavy se dotýká κ. Navíc předpokládáme, že plochy nemají společné části. Věta 5. Pro obalovou plochu f(x 1, x 2, x 3, α) platí: pro bod [x 1, x 2, x 3 ] ležící na obalové ploše existuje α tak, že f(x 1, x 2, x 3, α) = 0 a f α (x 1, x 2, x 3, α) = 0. Důkaz. Uvažujme obalovou plochu P (u, v). Existuje α tak, že f(x 1, x 2, x 3, α) = 0 se obalové plochy dotýká. α je rovněž funkcí u a v. Derivujme obě strany rovnice podle u a v. Dostaneme f ( x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v), α(u, v) ) = 0 f x 1 x 1 u + f x 2 x 2 u + f x 3 x 3 u + f α α u = 0, f x 1 x 1 v + f x 2 x 2 v + f x 3 x 3 v + f α α v = 0. Součet prvních tří členů je nulový: a vektory ( f x 1, f x 2, f x 3 ) = n ( x 1 u, x 2 u, x 3 u ) a ( x 1 v, x 2 v, x 3 v ) jsou ortogonální k n. Tedy f α α u = 0 a f α α v = 0, tj. buď f α = 0, nebo α = α u v = 0. Vyloučíme druhou možnost, pak by totiž α = konst. v nějakém okolí, což znamená, že splývá část obalové a tvořící plochy. Proto musí být a věta je dokázána. f α = f α(x 1, x 2, x 3, α) = 0

8 2.5. Rozvinutelné plochy 28 Definice 5. Je-li pro zvolené α rovnicemi f(x 1, x 2, x 3, α) = 0 a f α (x 1, x 2, x 3, α) = 0 popsána křivka, nazýváme ji charakteristika obalové plochy. Příklad 2. Uvažujme systém jednotkových kulových ploch (x 1 α) 2 + x x = 0. Určete obalovou plochu a charakteristiku. f α = 2(x 1 α) ( 1) = 0 x 1 α = 0. Rovnice obalové plochy je x x = 0, což je v E 3 rotační válcová plocha a v E 2 charakteristika (kružnice v rovině x 1 = α). Obrázek 2.3: Válcová plocha jako obálka jednoparametrické soustavy kulových ploch 2.5 Rozvinutelné plochy Definice 6. Regulární plocha, která je obalovou plochou jednoparametrického systému rovin, se nazývá rozvinutelná plocha. Uvažujme jednoparametrický systém rovin ve tvaru Z věty 5 plyne n 1 (α)x 1 + n 2 (α)x 2 + n 3 (α)x 3 + d(α) = 0. (2.1) n 1(α)x 1 + n 2(α)x 2 + n 3(α)x 3 + d (α) = 0. (2.2)

9 2.5. Rozvinutelné plochy 29 Nechť n(α) n(α) = 1. Derivováním tohoto vztahu získáme 2n(α) n (α) = 0, z čehož plyne ortogonalita (předpokládáme nenulovost n ) vektorů n a n. Uvažujme soustavu n 1 (α)x 1 + n 2 (α)x 2 + n 3 (α)x 3 + d(α) = 0, n 1(α)x 1 + n 2(α)x 2 + n 3(α)x 3 + d (α) = 0, (2.3) n 1(α)x 1 + n 2(α)x 2 + n 3(α)x 3 + d (α) = 0 a zkoumejme její řešitelnost pro neznámé x 1, x 2, x 3. Mohou nastat tyto případy (tomu budou odpovídat jednotlivé typy rozvinutelných ploch): (i) Nechť pro libovolné α je determinant matice soustavy (2.3) nulový. Přičemž označme m(α) jednotkový vektor průsečnice rovin (2.1) a (2.2). Nutně m(α) n(α) = 0 a m(α) n (α) = 0, pak ale vzhledem k nulovosti determinantu matice soustavy (2.3) je n (α) lineární kombinací vektorů n(α) a n (α). Tedy m(α) n (α) = 0. Ukážeme, že m (α) = 0 (půjde o válcovou plochu). [n(α) m(α)] = n m }{{} =0 [n (α) m(α)] = n m }{{} =0 m má nulový skalární součin s n, n i s m + n m = 0 n m = 0, + n m = 0 n m = 0. ([m m] = 2m m = [1] = 0), tj. s prvky repéru, pak je ale m nulový vektor, směr průsečnice rovin se nemění. Plocha je tedy tvořena navzájem rovnoběžnými přímkami. Jde tudíž o obecnou válcovou plochu. (ii) Nechť determinant matice soustavy (2.3) je pro libovolné α nenulový a řešení nezávisí na α, tj. je jím bod. Pak ale všechny přímky dané soustavou rovnic (2.1) a (2.2) procházejí tímto bodem. Jde tedy o obecnou kuželovou plochu. (iii) Poslední možností je situace, kdy determinant matice soustavy (2.3) je pro libovolné α nenulový a řešení závisí na α, kde P (α) = ( x 1 (α), x 2 (α), x 3 (α) )

10 2.6. Vektory na ploše 30 popisuje křivku a platí P (α) n (i) (α) + d (i) (α) = 0, i = 0, 1, 2. Derivováním tohoto vztahu pro i = 0 Podle (2.3) ale P (α) n(α) + P (α) n (α) + d (α) = 0. P (α) n (α) + d (α) = 0, tedy z rozdílu výše uvedených rovnic vyplývá, že P (α) n(α) = 0. Podobně lze ze vztahů pro derivace (i = 1) odvodit P (α) n (α) = 0. Tedy P (α) je ortogonální k n(α) i n (α), tj. je kolineární s vektorem m průsečnice (2.1) a (2.2). Tedy P (α) je křivka, jejíž tečny jsou površkami obalové plochy - je to plocha tečen prostorové křivky. Věta 6. Rozvinutelnými plochami jsou válcové plochy, kuželové plochy a plochy tečen prostorových křivek. Důkaz. Důkaz je uveden před větou. 2.6 Vektory na ploše Je dána plocha P (u 1, u 2 ), kde P 1, P 2 jsou souřadnicové vektory v tečné rovině. a = P i a i je vektor ze zaměření tečné roviny. Definice 7. Je dána plocha P (u 1, u 2 ). Vektorem na ploše rozumíme vektor a = P i a i = P i a i ; P i = P u i. Čísla a i, i = 1, 2, nazýváme kontravariantní souřadnice vektoru a. Ukažme, jak se při změně parametrizace mění kontravariantní souřadnice. Nechť a = P i a i a změnou parametrizace a = P i a i. Vztahy mezi parametrizacemi jsou P i a i = P i a i, P (u 1, u 2 ) = P (u 1 (u 1, u 2 ), u 2 (u 1, u 2 )), P 1 = P 1 u1 u 1 + P 2 u2 u 1 = P i ui u 1. Podobně můžeme určit P 2 a po dosazení máme větu.

11 2.6. Vektory na ploše 31 Věta 7. Při transformaci parametrizace plochy se kontravariantní souřadnice vektoru na ploše transformují pomocí vztahů a i = ui u j aj, Důkaz. Důkaz je uveden před větou. a j = uj u i ai. Příklad 3. Uvažujme rovinu a proveďme změnu souřadnic, tj. změnu parametrizace roviny. x = u u = u + v u = u v y = v v = v v = v z = 0 P 1 = (1, 0, 0) ; P 2 = (0, 1, 0) ; P 1 = (1, 0, 0) ; P 2 = ( 1, 1, 0) u u = 1 ; u v = 1 ; v u = 0 ; v v = 1 a 1 = 1 a a 2 ; a 2 = 0 a a 2 a 1 = a 1 + a 2 ; a 2 = a 2 a = (1, 1) a = (2, 1) Uvažujme skalární součin a b (vektorů na ploše) a vyjádřeme ho v kontravariantních souřadnicích, kde a = a i P i ; b = b i P i. Platí Věta 8. Platí Důkaz. a b = a i b j P i P j a označme g ij = P i P j, potom a b = a i b j g ij g = g 11 g 12 g 21 g 22 > 0. P i P j = P i P j cos ϕ ij, pro i j je ϕ ij 0, ϕ ij π (tj. P i, P j nejsou kolineární). g = P 1 2 P 1 P 2 cos ϕ 12 P 1 P 2 cos ϕ 12 P 2 2 = = P 1 2 P 2 2 (1 cos 2 ϕ 12 ) = P 1 2 P 2 2 (sin 2 ϕ 12 ) > 0.

12 2.7. Tenzory na ploše a tenzorová pole 32 Definice 8. Označme a i = a P i a nazvěme ji kovariantní souřadnicí vektoru a. Odvodíme vztah mezi kovariantními a kontravariantními souřadnicemi. a i = a P i = P i P j a j a i = g ij a j Matice (g ij ) je dle věty 8 regulární. Jelikož ( (a 1, a 2 ) = (a 1, a 2 g11 g ) 12 g 21 g 22 ), proto ( (a 1, a 2 g11 g ) = (a 1, a 2 ) 12 g 21 g 22 ) 1. Značíme: g 11 = g 22 g ; g 22 = g 11 g ; g 12 = g 21 = g 12 g a i = g ij a j Věta 9. Pro převody mezi kontravariantními a kovariantními souřadnicemi platí vztahy a i = g ij a j a a i = g ij a j, kde g ij = P i P j a matice (g ij ) je inverzní k (g ij ). Pro převod mezi parametrizacemi platí Důkaz. Důkaz je uveden před větou. a j = ui u j ai ; a i = uj u i aj. 2.7 Tenzory na ploše a tenzorová pole Definice 9. Tenzorem řádu n v bodě plochy rozumíme 2 n čísel a j 1...j h i 1...i d, h + d = n (indexy nabývají hodnoty 1 nebo 2), jestliže se při změně parametrizace plochy transformují pomocí vztahu a n 1...n h m 1...m d = ui 1 u m 1... uid u m d un1 u j 1... unh u j h aj 1...j h i 1...i d Tenzor nultého řádu se nazývá skalár. Tenzor prvního řádu se nazývá vektor. Říkáme, že a j 1...j h i 1...i d je d krát kovariantní a h krát kontravariantní.

13 2.8. První základní forma plochy 33 Věta 10. g ij je dvakrát kovariantní kvadratický tenzor. g ij je dvakrát kontravariantní tenzor. Důkaz. Důkaz plyne z výpočtů před větou 9. Definice 10. Řekněme, že (a) tenzor je symetrický, je-li nezávislý k záměně indexů, (b) tenzor je antisymetrický, mění-li se znaménko hodnoty při záměně indexů, (c) součtem dvou tenzorů rozumíme tenzor, jehož složky jsou součtem složek sčítanců, (d) součinem tenzorů rozumíme tenzor, jehož složky jsou součinem složek daných tenzorů, tj. např. c lm ijk = a ij b lm k, (e) úžením tenzoru rozumíme vytvoření tenzoru eliminací jednoho dolního a jednoho horního indexu sečtením a kl ij b l j = a il ik = a 1l 1k + a 2l 2k, (f) zvýšením, resp. snížením indexu rozumíme a...i = g ij a...j a...i... = g ij a...j... Poznámka 5. Měli bychom dokázat, že obrazy tenzorů v daných operací jsou opět tenzory. Jde ovšem o rutinní početní cvičení. Definice 11. Je-li v každém bodě plochy definován tenzor, mluvíme o tenzorovém poli. Speciálně o skalárním poli, resp. vektorovém poli, pro tenzory nultého a prvního řádu První základní forma plochy Definice 12. Kvadratickou formu ϕ(x 1, x 2 ) = g ij x i x j nazýváme první základní formou plochy. Tenzor g ij je prvním (neboli metrickým) tenzorem plochy.

14 2.8. První základní forma plochy 34 Věta 11. Nechť R(t) = P (u 1 (t), u 2 (t)) je křivka na ploše a t t 0, t 1, pak integrál t 1 du g i du j ij dt dt dt určuje délku oblouku křivky pro t t 0, t 1. Důkaz. t 1 t 0 R R dt = t 1 t 0 t 0 ( ) 2 P i dui dt = dt t 1 t 0 g ij du i dt duj dt dt Definice 13. Nechť jsou dány plochy P (u 1, u 2 ) nad oblastí ω a R(v 1, v 2 ) nad oblastí λ. Vzájemně jednoznačné zobrazení ϕ : P R nazýváme regulární, jestliže na jedné z ploch lze provést transformaci τ parametrů tak, že odpovídající si body mají stejné křivočaré souřadnice, tj. ϕ(p (u 1, u 2 )) = R(τ(v 1, v 2 )). Definice 14. Regulární zobrazení dvou ploch nazýváme rozvinutím (délkojevným zobrazením), právě když obrazem křivky je křivka stejné délky. Věta 12. Regulární zobrazení ploch P (u 1, u 2 ), R(u 1, u 2 ) nad oblastí Ω je rozvinutím, právě když v odpovídajících si bodech jsou stejné kovariantní souřadnice prvních základních tenzorů. Důkaz. (a) Předpokládáme rovnost tenzorů, tj g ij = ĝ ij v odpovídajících si bodech. Pak se samozřejmě rovnají i následující integrály t 2 gij du i du j dt = t 2 ĝij du i du j dt, t 1 t 1 kde t je parametr na křivce a na t závisí i ostatní veličiny pod odmocninou. (b) Předpokládáme, že se rovná délka obrazu a vzoru křivky a dokazujeme rovnost tenzorů v bodech křivky. Důkaz vedeme sporem. Nechť v bodě (u 1, u 2 ) se nerovnají souřadnice tenzoru na ploše P a R. Ze spojitosti plyne, že souřadnice se liší v jistém okolí (u 1, u 2 ). Tak najdeme křivku, která má rozdílnou délku vzoru a obrazu, což je spor.

15 2.8. První základní forma plochy 35 Věta 13. Pro úhel α dvou křivek na ploše platí cos α = g ij du i dv j gkl du k du l g mn dv m dv n. (2.4) Přitom (du 1, du 2 ) a (dv 1, dv 2 ) jsou kontravariantní souřadnice tečných vektorů daných křivek. Pro úhel parametrických křivek platí cos α = g 12 g11 g 22 (2.5) a nutnou a postačující podmínkou pro ortogonalitu parametrické sítě je, aby ve všech bodech plochy platilo Důkaz. Vztah (2.4) plyne ze známého vztahu g 12 = 0. (2.6) cos α = a b a b (2.7) a ze zavedení metrického tenzoru. Rovnice (2.5) plyne z parametrických křivek (du 1, du 2 ) = (1, 0) a (dv 1, dv 2 ) = (0, 1). Podmínka (2.6) je již snadným důsledkem (2.7). Definice 15. Regulární zobrazení dvou ploch, které zachovává úhly křivek, nazýváme konformní zobrazení. Obrázek 2.4: Konformní zobrazení plochy na plochu Věta 14. Regulární zobrazení dvou ploch je konformní, právě když při použití shodných křivočarých souřadnic platí g ij = λ ĝ ij, i = 1, 2, j = 1, 2, λ 0, tj. metrické tenzory mají úměrné kovariantní souřadnice.

16 2.8. První základní forma plochy 36 Důkaz. (a) Nechť g ij = λ ĝ ij, λ 0, pak ze vztahu (2.4) plyne snadno dokazované tvrzení. (b) Nechť je zobrazení konformní. Uvažujme dvě dvojice kolmých vektorů (a 1, a 2 ), (b 1, b 2 ) a (c 1, c 2 ), (d 1, d 2 ), tj. platí pak i (konformnost) g ij a i b j = 0, g ij c i d j = 0, (2.8) ĝ ij a i b j = 0, ĝ ij c i d j = 0. (2.9) Soustava dvou rovnic (2.8) je homogenní pro tři neznámé g 11, g 12 (= g 21 ) a g 22. Podobně v (2.9). Netriviální řešení soustav (homogenních) se stejnou maticí jsou v tomto případě násobkem (3 neznámé, hodnost 2), koeficient označme λ a samozřejmě z netriviálnosti řešení plyne λ 0. Tím je věta dokázána. Věta 15. Nechť je dána plocha P (u, v) na oblasti Ω. Pak obsah plochy je (pokud existuje) dán vztahem P = g11 g 22 (g 12 ) 2 du 1 du 2. Ω Důkaz. Platí Pro vektory platí P = Ω P u P 1 u 2 du1 du 2. (a b) (c d) = (a c) (b d) (a d) (b c). Tedy ( P u P ) ( P 1 u 2 u P ) = g 1 u 2 11 g 22 (g 12 ) 2. Věta 16. Regulární zobrazení je rovnoploché (plochojevné), tj. zachovává obsah plochy, právě když při vyjádření ve shodných křivočarých souřadnicích se rovnají diskriminanty prvních tenzorů, tj. g 11 g 22 (g 12 ) 2 = ĝ 11 ĝ 22 (ĝ 12 ) 2. Důkaz. Důkaz podobně jako u věty 14.

17 2.9. Druhá základní forma plochy Druhá základní forma plochy Zabývejme se křivostmi ploch a křivek na ploše. Označme P i = P u i, i = 1, 2 a definujme h ij = n i P j. n = P 1 P 2 P 1 P 2, P ij = 2 P u i u j, n i = n u i Věta 17. Čísla (funkce) h ij tvoří symetrický tenzor (tzv. druhý základní tenzor plochy) a platí h ij = np ij. Důkaz. (a) Snadno se vypočte, že pro h ij platí příslušné transformační vztahy, tj. že jde o tenzor. (b) Ukážeme, že h ij = np ij. Jistě platí np i = 0 (n je vektorový součin P 1 P 2 ). Derivováním n j P i + np ij = 0 h ij = np ij. (c) Symetrie tenzoru h ij plyne ze zaměnitelnosti derivování h ij = np ij = np ji = h ji Normálová křivost a Meusnierova věta Studujme křivost křivky na ploše P (s) = P ( u 1 (s), u 2 (s) ). Křivka je parametrizována obloukem. První křivost P P P = 1 k ν (ν je jednotkový vektor hlavní normály). Označíme γ = n ν, tj. odchyliku normály plochy a hlavní normály křivky. Definice 16. Normálovou křivostí křivky k v daném bodě rozumíme číslo n k = P P P n. Poznámka 6. Platí také n k = 1 k cos γ (viz geometrický význam skalárního součinu). Věta 18. Normálová křivost všech křivek plochy se společnou tečnou v daném bodě je stejná.

18 2.11. Dupinova indikatrix a významné směry na ploše 38 Důkaz. Vyjdeme ze vztahu P (s) = P ( u 1 (s), u 2 (s) ). Platí ( P P (s 0 ) = P i u 1 (s 0 ), u 2 (s 0 ) ) u i (s 0 ) P P P (s 0 ) = P ij ( u 1 (s 0 ), u 2 (s 0 ) ) u i (s 0 ) u j (s 0 ) + P i ( u 1 (s 0 ), u 2 (s 0 ) ) ü i (s 0 ) Vypočteme n k násobením (skalárním) vektorem n n k = P P P n = P ij n u i (s 0 ) u j (s 0 ) + P i n ü i (s 0 ) = h ij u i (s 0 ) u j (s 0 ) Tedy n k je dáno tečným vektorem a druhým tenzorem plochy, tj. normálová křivost je stejná pro všechny křivky plochy s daným tečným vektorem. Věta 19. (Meusnierova) Středy křivosti (středy oskulačních kružnic) křivek plochy, které se dotýkají jedné tečny plochy, leží na kružnici. Důkaz. Platí n k = 1 k cos γ. Pro normálový řez s danou tečnou n k = 1 k. Označme n ρ = 1 n k a n ρ = 1 1 k. Pak ale n ρ = n ρ cos γ a podle Thaletovy věty střed křivosti leží na kružnici nad průměrem XS, kde XS = n ρ. Věta 20. Pro normálovou křivost platí n k = h ij du i du j g ij du i du j Důkaz. Derivaci podle oblouku u i nahradíme derivací podle obecného parametru: du i = λ u i, λ 0. Pro λ platí λ = (du 1, du 2 ), ale pro velikost vektoru na ploše (např. věta 14) platí λ = g ij du i du i. Tedy u i = du i gij du i du j a n k = h ij u i u j = h ij du i du j g ij du i du j Dupinova indikatrix a významné směry na ploše Definice 17. Směr, pro nějž je normálová křivost nulová, nazýváme asymptotický.

19 2.11. Dupinova indikatrix a významné směry na ploše 39 Obrázek 2.5: a) Eliptický, b) parabolický, c) hyperbolický bod X dané plochy Bod, v němž každý směr je asymptotický, nazýváme planární bod. Kruhovým bodem rozumíme bod, v němž normálová křivost je konstantní (ve všech směrech stejná) a nenulová. Uvažujme jednotkový vektor v tečné rovině a = (du 1, du 2 ) a označme 1 R = h ij du i du j, R je poloměr oskulační kružnice normálového řezu. Vytvořme křivku P (t) = X + a(t) R. Tato křivka se nazývá Dupinova indikatrix. Věta 21. Dupinova indikatrix v bodě, který není planární, je středovou kuželosečkou nebo dvojicí středových kuželoseček. Důkaz. 1 R = h ij du i du j ; (α 1, α 2 ) = R (du 1, du 2 ), pak (du i, du j ) určuje jednotkový vektor. Označme 1 R = h ij α i R α j R, tj. h ij α i α j = ±1. h ij α i α j obsahuje jen kvadratické členy, jde tedy o středovou kuželosečku. Dvě různá znaménka umožňují existenci dvou hyperbol. (Pro elipsu je jedna z nich imaginární.) Stanovme h = h 11 h 22 (h 12 ) 2, diskriminant druhé formy plochy. Pomocí znaménka h můžeme rozhodnout o počtu asymptotických směrů plochy.

20 2.11. Dupinova indikatrix a významné směry na ploše 40 Definice 18. Řekněme, že bod plochy je: 1. eliptický, je-li h > 0, 2. parabolický, je-li h = 0, 3. hyperbolický, je-li h < 0. Věta 22. Dupinova indikatrix v eliptickém (hyperbolickém, parabolickém) bodě je elipsa (dvojice hyperbol se společnými asymptotami, dvojice rovnoběžných přímek). V hyperbolickém (parabolickém, eliptickém) bodě existují dva (jeden, žádný) asymptotický směr. Důkaz. Vyjdeme ze vztahu h ij α i α j = ±1 a pro asymptotické směry platí h ij α i α j = 0 a lze zavést λ = α1 nebo λ = α2 (jedno z čísel musí být nenulové). Pak o existenci asymptotického směru rozhoduje diskriminant kva- α 2 α 1 dratické rovnice h 11 (λ) 2 + 2h 12 (λ) + h 22 = 0, tj. (h 12 ) 2 h 11 h 22 = h. Další část je snadným důsledkem klasifikace kuželoseček. Definice 19. Směr plochy je hlavní, je-li normálová křivost v něm extrémální (maximální, resp. minimální). Věta 23. Nenulový vektor (du 1, du 2 ) plochy určuje hlavní směr, právě když (du 2 ) 2 du 1 du 2 (du 1 ) 2 g 11 g 12 g 22 = 0. h 11 h 12 h 22 Důkaz. Z vlastností Dupinovy indikatrix plyne, že g ij du i dv j = 0 pro (du 1, du 2 ) a (dv 1, dv 2 ) ležící v hlavních směrech. Hlavní osy kuželosečky jsou totiž hlavními směry. Z teorie kuželoseček plyne i konjugovanost hlavních směrů, tj. h ij du i dv j = 0. Jde o sdružené průměry. Máme tedy soustavu tj. g ij du i dv j = 0 h ij du i dv j = 0, (g 11 du 1 + g 21 du 2 ) dv 1 + (g 12 du 1 + g 22 du 2 ) dv 2 = 0 (h 11 du 1 + h 21 du 2 ) dv 1 + (h 12 du 1 + h 22 du 2 ) dv 2 = 0.

21 2.12. Gaussova a střední křivost 41 Pro existenci (dv 1, dv 2 ) 0 je nutné a stačí, aby g 11du 1 + g 21 du 2 g 12 du 1 + g 22 du 2 h 11 du 1 + h 21 du 2 h 12 du 1 + h 22 du 2 = 0, tj. použitím věty o součtu a násobku pro determinanty (du 1 ) 2 g 11 g 12 h 11 h 12 + (du 2 ) 2 g 21 g 22 h 21 h 22 + du 1 du 2 g 11 g 22 h 11 h 22 + du 1 du 2 g 21 g 12 h 21 h 12 kde g 21 g 12 h 21 h 12 = 0, pak již plyne tvrzení (rozvoj determinantu). + = 0, 2.12 Gaussova a střední křivost Definice 20. Hlavními křivostmi plochy v neplanárním bodě rozumíme normálové křivosti v hlavních směrech. Označme je n k min, n k max. Gaussovou křivostí plochy v daném neplanárním bodě rozumíme číslo K = n k min nk max. Střední křivost plochy v neplanárním bodě je dána vztahem H = n k min + n k max 2 Odvodíme vzorce pro výpočet Gaussovy a střední křivosti. Pro (du 1, du 2 ) máme normálovou křivost n k a platí Dále n k min n k n k max. n k = h ij du i du j g ij du i du j = κ γ. Určení hlavních křivostí lze chápat jako hledání extrémů funkce κ n kγ. Pro n k = n k max je κ n k max γ 0 (a právě pro hlavní směr nastane rovnost), podobně pro k = n k min je κ n k min γ 0 a pro hlavní směr nastane rovnost..

22 2.12. Gaussova a střední křivost 42 Hledáme tedy (du 1, du 2 ) tak, aby (κ n k ex γ) bylo extrémní. Parciálním derivováním podle du 1 a du 2 dostaneme: du 1 (κ n k ex γ) = 0 a du 2 (κ n k ex γ) = 0, tj. 2h 11 du 1 + 2h 12 du 2 n k ex (2g 11 du 1 + 2g 12 du 2 ) = 0 2h 12 du 1 + 2h 22 du 2 n k ex (2g 12 du 1 + 2g 22 du 2 ) = 0 tj. pro neznámé du 1, du 2, které tvoří nenulový vektor, musí být h 11 n k ex g 11 h 12 n k ex g 12 h 12 n k ex g 12 h 22 n k ex g 22 = 0. To je kvadratická rovnice pro n k ex : ( g11 g 22 (g 12 ) 2)n k 2 ex (g 11 h 22 2g 12 h 12 +g 22 h 11 ) n k ex + ( h 11 h 22 (h 12 ) 2) = 0. Absolutní člen rovnice (v normalizovaném tvaru) je součinem kořenů Věta 24. Pro Gaussovu křivost platí n k min nk max = h 11 h 22 (h 12 ) 2 g 11 g 22 (g 12 ) 2 = h g. K = h g, kde h a g jsou diskriminanty druhé a první základní formy plochy. Pro střední křivost H = 1 2 g11 h 22 2g 12 h 12 + g 22 h 11. g Důkaz. Zdůvodnění pro Gaussovu křivost je uvedeno před větou. Tvrzení o střední křivosti plyne z vlastnosti lineárního členu kvadratické rovnice v normovaném tvaru (koeficient se rovná opačné hodnotě k součtu kořenů). Věta 25. (Eulerova) Pro normálovou křivost n k platí n k = n k max cos 2 ϕ + n k min sin 2 ϕ, kde ϕ je odchylka směru od hlavního směru s maximální normálovou křivostí.

23 2.12. Gaussova a střední křivost 43 Důkaz. Uvažujme (α 1, α 2 ) a (β 1, β 2 ) kontravariantní souřadnice jednotkových vektorů hlavních směrů. Hlavní směry jsou ortogonální, což plyne např. z existence Dupinovy indikatrix. Označme (γ 1, γ 2 ) směr na ploše, jistě lze psát γ i = α i cos ϕ + β i sin ϕ Normálová křivost pro směr (γ 1, γ 2 ) n k = h ij γ i γ j = h ij (α i cos ϕ + β i sin ϕ) (α j cos ϕ + β j sin ϕ) = = h 11 [(α 1 ) 2 cos 2 ϕ + (β 1 ) 2 sin 2 ϕ + 2α 1 β 1 sin ϕ cos ϕ ] + + 2h 12 [α 1 α 2 cos 2 ϕ + β 1 β 2 sin 2 ϕ + β 1 α 2 sin ϕ cos ϕ + α 1 β 2 sin ϕ cos ϕ ] + + h 22 [(α 2 ) 2 cos 2 ϕ + (β 2 ) 2 sin 2 ϕ + 2α 2 β 2 sin ϕ cos ϕ ] = = n k max cos 2 ϕ + n k min sin 2 ϕ + 2 sin ϕ cos ϕ h ij α i β j = }{{} =0 = n k max cos 2 ϕ + n k min sin 2 ϕ. Dané směry jsou sdružené, tj. h ij α i β j = 0. Tím je věta dokázána. Bez důkazu uvedeme větu, kterou v roce 1827 objevil Gauss a považoval ji za slavný objev (egregium = slavný). Věta 26. (Theorema Egregium) Gaussovu křivost lze vyjádřit pouze pomocí koeficientů g ij a jejich prvních a druhých derivací. Důsledek 1. (Theoremy Egregium) (i) Plochy, které lze na sebe rozvinout (délkojevně zobrazit), mají v odpovídajících bodech stejnou Gaussovu křivost. (ii) Rozvinutelné plochy mají nulovou Gaussovu křivost. (iii) Gaussova křivost je kladná v eliptických, nulová v parabolických a záporná v hyperbolických bodech. Důkaz. (i) Plyne snadno z věty 26. Rovina má samozřejmě Gaussovu křivost K = 0. (ii) Stejně jako (i). (iii) Plyne z věty 24, znaménko K je dáno znaménkem h (g > 0, věta 8).

24 2.13. Geodetická křivost plochy Geodetická křivost plochy Definice 21. Nechť P (t), t I, je křivka na ploše κ. Velikost průmětu vektoru první křivosti P P P křivky do tečné roviny plochy nazýváme geodetická křivost křivky na ploše. Obrázek 2.6: Geometrický význam geodetické křivosti křivky na ploše Věta 27. Pro geodetickou křivost křivky na ploše platí g k = (n, P P, P P P ) = n ( P P P P P ), kde n je jednotkový normálový vektor plochy, P jednotkový tečný vektor křivky a P P P vektor první křivosti křivky. Důkaz. Označme c = n P P. Vektor c, c = 1, patří do zaměření tečné roviny. Zřejmě g k = c P P P. Tedy (záměnou pořadí vektorů se ve smíšeném součinu mění případně jen znaménko) g k = (n P P ) P P P = (n, P P, P P P ) Weingartenovy a Gaussovy rovnice Věta 28. (Weingartenova) Pro vektory P i = P u i platí n i = h j i P j a n i = n i, i = 1, 2, u

25 2.14. Weingartenovy a Gaussovy rovnice 45 Důkaz. Vyjdeme ze vztahu n n = 1, tj. n n i = 0. Tedy n i leží v tečné rovině, tj. n i = k j i P j, kde k j i jsou kombinační koeficienty, které vypočteme. Vynásobíme rovnici P k : neboli k j i = hj i P k n i = k j i P j P k h ik = k j i g jk (jde o operaci snížení indexu). Věta 29. (Gaussova) Pro vektory P ij platí P ij = Γ k ij P k + h ij n, kde Γ k ij jsou tzv. Christoffelovy symboly, pro než Γ k ij = P ij P l g lk Důkaz. P ij vyjádříme v bázi P 1, P 2, n a stanovíme koeficienty λ k ij a b ij. Vyjdeme z platnosti těchto vztahů: P ij = λ k ij P k + b ij n (2.10) n n = 1, n P i = 0, n P ij = h ij. Po skalárním vynásobení (2.10) vektorem n dostaneme n P ij = h ij = b ij. Po skalárním vynásobení (2.10) vektorem P r dostaneme P r P ij = λ k ij P k P r = λ k ij g kr. Poznámka 7. Weingartenovy a Gaussovy vzorce tvoří pro plochu analogii k Frenetovým vzorcům pro křivku. Popisují změnu lokálního repéru plochy, který je tvořen tečnými vektory parametrických křivek a vektorem normály plochy. Celkem jde o šest rovnic, ale dvě z nich vzhledem k zaměnitelnosti pořadí derivování splývají. n 1 = h j 1 P j n 2 = h j 2 P j P 11 = Γ k 11 P k + h 11 n P 12 = Γ k 12 P k + h 12 n P 22 = Γ k 22 P k + h 22 n

26 2.15. Asymptotické, hlavní a geodetické křivky 46 Poznámka 8. Christoffelovy symboly netvoří tenzor, neboť jejich transformace při změně souřadnic je obecnější než u tenzoru. Christoffelovy symboly jsou příkladem tzv. konexe Asymptotické, hlavní a geodetické křivky Definice 22. Křivka plochy je asymptotická, je-li její normálová křivost v každém bodě nulová. Věta 30. Tečna asymptotické křivky je určena asymptotickým směrem. Hlavní normála asymptotické křivky leží v tečné rovině plochy (binormála je normálou plochy). Asymptotická křivka je určena diferenciální rovnicí h ij du i du j = 0. Důkaz. Plyne z vlastností normálové křivosti. Poznámka 9. Pro parametrické křivky, které jsou asymptotické, platí h 11 = h 22 = 0. Definice 23. Křivka plochy je hlavní křivkou, je-li její tečna v každém bodě určena hlavním směrem. Poznámka 10. Hlavní křivky jsou nazývány také křivoznačné. Věta 31. Hlavní křivky na ploše bez planárních a kruhových bodů jsou popsány diferenciální rovnicí (du 2 ) 2 du 1 du 2 (du 1 ) 2 g 11 g 12 g 22 = 0. h 11 h 12 h 22 Hlavní křivky (na takové ploše) tvoří ortogonální síť. Parametrické křivky jsou hlavními křivkami, právě když g 12 = h 12 = 0. Důkaz. plyne z vlastností hlavních směrů. Věta 32. (Rodriguesova) Křivka P (t) = P ( u 1 (t), u 2 (t) ) plochy je hlavní křivkou plochy, právě když v každém bodě jsou vektory n a P lineárně závislé. Koeficient kolineárnosti je roven příslušné hlavní křivosti n k ex, tj. n = n k ex P.

27 2.15. Asymptotické, hlavní a geodetické křivky 47 Důkaz. n je jednotkový vektor normály plochy a n n = 0, tj. n leží v zaměření tečné roviny, tedy n = α P + β P P, ( P = 1, P P P = 0), (2.11) P kde P je kolmý vektor na P a leží v tečné rovině. Rovnici (2.11) vynásobíme P : n P P = β, ale n = n j (u j ) a P = P i b i, tedy β = [n j (u j ) ] [P i b i ] = h ij (u j ) b i. Jde o hlavní křivku, derivace normálové křivosti musí být nulová, tj. β = 0. Snadno spočteme n = α P, tedy n P = α P P, tj. α = n n P P P = h ij (u i ) (u j ) = n k g ij (u i ) (u j ) ex. n P Předpokládáme n = α P a ukážeme, že vektor P a P jsou konjungované k 2. základní formě. To plyne ze vztahu n P P = 0, čili ( n j (u j ) ) (P i b i) = h ij (u j ) c i = 0. n P n Definice 24. Křivku plochy, která obsahuje jen body s nulovou geodetickou křivostí, nazýváme geodetickou křivkou (neboli geodetikou). Věta 33. Pro geodetickou křivost platí g k = m, Důkaz. P P = P i dui ds Pomocí Gaussovy věty (29) kde m = ( d 2 u k ds 2 + Γk ij dui ds duj ) P k ds ; P P P = P ij dui ds duj ds + P i d2 u i ds 2. P P P = ( Γ k ij P k + h ij n ) dui ds duj ds + P i d2 u i ds 2. Z toho že g k je velikost pravoúhlého průmětu vektoru 1. křivosti do tečné roviny plyne vzorec.

28 2.15. Asymptotické, hlavní a geodetické křivky 48 Poznámka 11. Větu (33) lze chápat i jako soustavu diferenciálních rovnic pro určení geodetik. Vypočteme Christoffelovy symboly tak, že vystačíme s 1. tenzorem. Tím ukážeme, že geodetická křivost je pojmem vnitřní geometrie plochy. Platí g ij = P i P j, derivujeme cyklickou záměnou Vytvoříme (2.12) + (2.13) - (2.14) k g ij = P ik P j + P i P jk (2.12) j g ki = P kj P i + P k P ij (2.13) i g jk = P ji P k + P j P ki (2.14) 2 P i P jk = ( k g ij + j g ki i g jk ), tedy Γ k ij lze vyjádřit pomocí derivací g ij. Věta 34. (O geodetice I.) (a) Křivka plochy je geodetikou, právě když v každém bodě (s nenulovou první křivostí) splývá hlavní normála křivky s normálou plochy. (b) Je-li geodetická křivka rovinná (ale není přímkou), pak je hlavní křivkou. (c) Při rozvinutí dvou ploch na sebe (délkojevné zobrazení) se všechny geodetiky jedné plochy zobrazí na geodetiky druhé plochy. Důkaz. (a) Plyne z definice geodetické křivosti. (b) Je důsledkem lemmatu Lemma 1. Křivka plochy je hlavní, právě když plocha tvořená normálami plochy v bodech křivky je rozvinutelná. (c) Plyne z toho, že lze Γ k ij vyjádřit pomocí derivací g ij. Věta 35. (O nejkratší spojnici) (a) Pokud mezi dvěma body plochy existuje nejkratší spojnice, pak je geodetikou. (b) Každým bodem plochy prochází jediná geodetika s danou tečnou.

29 2.15. Asymptotické, hlavní a geodetické křivky 49 Důkaz. Odvození vyžaduje hlubší znalosti z variačního počtu, proto zde důkaz nemůže být podán. Věta 36. (O geodetice II.) (a) Každá přímka (nebo její část) na ploše je geodetikou. (b) Každý normálový řez plochy je geodetikou. Poznámka 12. Řez je normálový, je-li rovina řezu v každém bodě řezu kolmá na tečnou rovinu (obsahuje normálu plochy). Důkaz. Je zřejmý z definice. Příklad 4. (a) Geodetikami v rovině jsou právě její přímky. Splývá množina geodetik a nejkratších spojnic. (b) Geodetikami na kulové ploše jsou tzv. hlavní kružnice, tj. kružnice, které mají střed ve středu kulové plochy. To plyne např. z věty 36 - b. (c) Geodetikou (jednou z geodetik) na obecné válcové ploše je normálový řez (viz věta 36 - b). (d) Geodetikami na rotační válcové ploše jsou: površky, rovnoběžkové kružnice a šroubovice. Zvolíme-li na povrchu dva body, existuje mezi nimi (nejsou-li na téže rovnoběžkové kružnici, tj. normálovém řezu) nekonečně mnoho geodetik. Jen jedna z nich je nejkratší spojnicí. (e) Uvažujme rotační plochu P (u, v) = ( α(u) cos v, α(u) sin v, β(u) ) Pak každý meridián je geodetikou (je normálovým řezem). Rovnoběžková kružnice je geodetikou, právě když pro meridiány M v bodech dané rovnoběžkové kružnice platí M (u) = ( α (u), 0, β (u) ) = ( 0, 0, β (u) ) 0, tj. α (u) = 0. Jde tedy o rovníkové a hrdlové kružnice. Důkaz plyne z toho, že jde o normálový řez. Samozřejmě, že na rotační ploše existují i jiné geodetiky (viz šroubovice na rotační válcové ploše).

30 2.16. Minimální plochy 50 Věta 37. (Clairautova) Nechť G(t) je geodetikou na rotační ploše s osou o a nechť ρ(t) je vzdálenost bodu křivky G(t) od osy o. Označme ϕ(t) odchylku křivky G(t) od meridiánu M(k) v daném společném bodě, tj. ϕ(t) = arccos G M G G (t) M (k) G G (t) M M (k). Pak součin ρ(t) sin(ϕ(t)) je konstatní. Naopak je-li součin ρ(t) sin(ϕ(t)) konstantní, je křivka G(t) geodetikou. Důkaz. Standardním výpočtem. Druhá část vyžaduje řešení diferenciální rovnice Minimální plochy Pro prostorovou křivku (uzavřenou) hledáme plochu, která ji obsahuje a má minimální povrch. Z fyzikálního hlediska jde o problém mýdlové bubliny. Počátky jsou v 18. století u Eulera a Lagrange. Problém bývá nazýván problém Plateau (Plateau byl fyzik, který se věnoval kapilárním jevům a vytváření povrchů na mřížkách). Definice 25. Řekneme, že plocha je minimální, právě když ve všech jejích bodech je nulová střední křivost. Věta 38. Řešením problému Plateau jsou minimální plochy, tj. pokud pro danou uzavřenou křivku existuje plocha (plát, část plochy) s touto hranicí taková, že ze všech ploch s danou vlastností má minimální povrch, pak jde o plochu minimální, tj. o plochu s nulovou střední křivostí ve všech jejích bodech. Příklad 5. (a) Mezi rotačními plochami existuje jediná minimální plocha. Je jí katenoid, který vzniká rotací řetězovky. Řetězovka: z = a 1 cosh(ax), a > 0. Katenoid: P (u, v) = ( 1 a cosh(au) cos v, 1 a cosh(au) sin v, u ). (b) Jedinou přímkovou minimální plochou (kromě roviny) je helikoid P (u, v) = (u cos v, u sin v, v 0 v). Helikoid je pravoúhlou uzavřenou šroubovou plochou (povrchové přímky jsou kolmé k ose šroubového pohybu a osu protínají).

31 2.16. Minimální plochy 51 (c) Enneperův deštník P (u, v) = (u 1 3 u3 + uv 2, v 1 3 v3 + vu 2, u 2 v 2 ) je minimální plochou.

32 Literatura [1] Budinský, B. Kepr, B.: Základy diferenciální geometrie s technickými aplikacemi. SNTL, Praha [2] Budinský, B.: Analytická a diferenciální geometrie. SNTL, Praha [3] Pradlová, J.: Diferenciální geometrie sbírka řešených příkladů. ZČU, Plzeň [4] Pressley, A.: Elementary differential geometry. Springer, London [5] Švec, A.: Úvod do diferencovatelných variet. MFF, Praha [6] Vanžurová, A.: Diferenciální geometrie křivek a ploch. Univerzita Palackého, Olomouc