limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200
limití Outlie limití
limití efiice: Řekeme, že stacioárí posloupost {X t, t Z} se středí hodotou µ je ergodická podle (kvadratického) středu, eboli splňuje záko velkých v L 2 (Ω, A, P), jestliže pro X t µ podle kvadratického středu. () Jestliže {X t, t Z} je posloupost, která je ergodická podle kvadratického středu, platí i X t P µ, tj. je splě slabý záko velkých pro stacioárí posloupost.
limití Věta 38: Stacioárí áhodá posloupost {X t, t Z} se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R je ergodická podle kvadratického středu právě tehdy, když R(t) 0 pro. (2) ůkaz: BÚNO: µ = 0 (jiak položíme X t := X t µ). Uvažujme spektrálí rozklad X t = π π e itλ dz(λ), kde {Z λ, λ [ π, π]} je proces s ortogoálími přírůstky a přírůstkovou distribučí fukcí F, která je totožá se spektrálí distribučí fukcí poslouposti {X t, t Z}.
limití Potom X t = kde = π π h (λ) = ( π ále uvažujme fukci π h (λ)dz(λ), ) π e itλ dz(λ) = π( e itλ = h(λ) = e itλ) dz(λ) { e iλ ( e iλ ), e iλ λ 0,, λ = 0. { 0, λ 0,, λ = 0 a defiujme áhodou veličiu Z 0 = π π h(λ)dz(λ).
limití Zřejmě h (λ) h(λ) pro každé λ [ π, π]. Zároveň platí, že h h v L 2 (F ), eboť h (λ) h(λ) 2 4 a podle Lebesgueovy π π h (λ) h(λ) 2 df (λ) 0. Proto pro X t = podle středu. π π h (λ)dz(λ) π π h(λ)dz(λ) = Z 0
limití Nyí stačí ukázat, že Z 0 = 0 s. j. R(t) 0 pro. (3) Z 26 plye, že EZ 0 = 0; tedy Z 0 = 0 s. j. právě tehdy, když E Z 0 2 = 0. Z 26 dále plye, že E Z 0 2 = E π π h(λ)dz(λ) 2 = π π h(λ) 2 df (λ). Ze spektrálího rozkladu autokovariačí fukce = R(t) = π π [ π k= h (λ)df (λ) π π ] π e itλ df (λ) = π ůkaz potom plye z (3) a (4). h(λ)df (λ) = π( π π e itλ) df (λ) h(λ) 2 df (λ) (4)
limití Příklad: Uvažujme posloupost AR(), X t = ϕx t + Y t, Y t WN(0, σ 2 ), ϕ <.. Víme, že {X t, t Z} má autokovariačí fukci R X (t) = σ2 ϕ 2 ϕ t. Zřejmě platí R X (t) = σ2 ϕ 2 ϕ t = σ 2 ϕ( ϕ ) ϕ 2 0 ϕ pro, z čehož plye, že {X t, t Z} je ergodická podle středu.
limití Příklad: Nechť {X t, t Z} je stacioárí ergodická posloupost se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R X. efiujme áhodou posloupost {Z t, t Z} předpisem Z t = X t + Y, t Z, kde EY = 0, vary = σ 2 (0, ), a EX t Y = 0 t Z. Potom EZ t = EX t + EY = µ pro každé t Z a E(Z s+t µ)(z t µ) = R X (s) + σ 2 := R Z (s), z čehož plye, že posloupost {Z t, t Z} je slabě stacioárí. Neí ale ergodická podle středu, eboť pro R Z (t) = R X (t) + σ 2 σ 2 > 0.
limití Věta 39: Nechť {X t, t Z} je reálá stacioárí posloupost se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R, pro kterou t= R(t) <. Potom pro ůkaz:. k= X = k= X t µ podle kvadratického středu, (5) var X k= R(k). (6) R(k) < R(k) 0 pro k, tedy i R(k) 0 pro a tvrzeí (5) plye z 38.
limití 2. ( var X = var k= ) X k k= = [ 2 var X k + ] cov (X j, X k ) j k = ] [R(0) 2 + 2 ( j)r(j) j= j= = [ ( R(0) + 2 j ) ] R(j) = j= + ( j ) R(j). (7) (pro reálou posloupost je R(k) = R( k).)
limití Tedy varx = j= + R(j) 2 jr(j). j= Tvrzeí (6) plye ihed z předpokladu a Kroeckerova lemmatu. efiice: Řekeme, že stacioárí proces {X t, t R} se středí hodotou µ a spojitý podle (kvadratického) středu je ergodický podle kvadratického středu, eboli splňuje záko velkých v L 2 (Ω, A, P), jestliže pro τ τ τ 0 X t dt µ podle kvadratického středu.
limití Věta 40: Stacioárí proces {X t, t R} spojitý podle středu je ergodický podle středu právě tehdy, když pro jeho autokovariačí fukci platí τ τ 0 R(t)dt 0 pro τ. Věta 4: Nechť {X t, t R} je reálý stacioárí proces spojitý podle středu, se středí hodotou µ a autokovariačí fukcí R, pro kterou R(t) dt <. Potom pro τ X τ = τ τ 0 X t dt µ podle kvadratického středu, (8) τ var X τ R(t)dt. (9)
limití Příklad: {X t, t R} - stacioárí cetrovaý áhodý proces s autokovariačí fukcí R(t) = ce α t, t R, α > 0, c > 0. Teto proces je spojitý podle středu (proč?) τ R(t)dt = c τ e αt dt = c e ατ τ 0 τ 0 τ α 0 pro τ, proces {X t, t R} je ergodický podle středu a τ var X τ 2c α.
limití Pomocé asymptotické výsledky Věta 42 (Cramérova-Sluckého věta): Nechť {X, N}, {Y, N} jsou poslouposti áhodých veliči a X je áhodá veličia taková, že pro platí P X X, Y 0. Potom X + Y X pro. Věta 43: Nechť {ξ, N}, {S k, N, k N}, {ψ k, k N} a ψ jsou áhodé veličiy, pro které platí S k ψ k,, pro každé k =, 2,..., 2 ψ k ψ, k, 3 lim k lim P( ξ S k > ɛ) = 0 pro každé ɛ > 0. Potom ξ ψ pro. ůkaz: Brockwell, avis (99), tvrzeí 6.3.9.
limití Věta 44 (Lévyho-Lidebergova CLV): Nechť {Y t, t Z} je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči se středí hodotou µ a koečým kladým rozptylem σ 2. Nechť Y = j= Y j. Potom pro Y µ σ N (0, ). (0) Věta 45( Cramérova-Woldova věta): Nechť X, X, X 2,..., jsou k-rozměré áhodé vektory. Potom X X pro právě tehdy, když pro každé c R k c X c X pro.
limití Věta 46: Nechť {X t, t Z} je áhodá posloupost defiovaá předpisem m X t = µ + b j Y t j, kde µ R, {Y t, t Z} je striktí bílý šum, tj. posloupost ezávislých stejě rozděleých (iid) áhodých veliči s ulovou středí hodotou a koečým kladým rozptylem σ 2. Nechť b 0 = a b,..., b m jsou reálé kostaty takové, že m j=0 b j 0. Potom pro j=0 (X t µ) N(0, 2 ), () kde 2 = σ 2 ( m j=0 b j) 2.
limití ůkaz: (X t µ) = = = + bm Y t + b ( m ) b j Y t j j=0 Y t + + bm Y t + b ( ) Y t + Y 0 Y +... ( Y t + ( m ) = b j j=0 0 k= m+ Y k Y t + ξ, j= m+ Y j ) Y t m
limití kde ξ = m ( m ) m ( Y s b j Y s s= j=s s=0 m j=s+ b j ) je koečá lieárí kombiace iid veliči Y 0, Y,..., Y m+, Y, Y,..., Y m+ s ulovou středí hodotou a rozptylem σ 2. Podle 44 Y t N (0, σ 2 ) pro. Odtud ( m j=0 b j ) Y t N (0, 2 ), kde 2 = σ 2( m j=0 Podle 42 yí stačí dokázat, že P ξ b j ) 2. (2) P 0 pro : ( ) ξ > ɛ ( ) ɛ 2 E ξ2 = σ 2 kost ɛ 2 0.
limití Věta 47: Nechť {X t, t Z} je áhodá posloupost, pro kterou X t = µ + b j Y t j, j=0 kde µ R, {Y t, t Z} je posloupost ezávislých stejě rozděleých áhodých veliči s ulovou středí hodotou a koečým kladým rozptylem σ 2. Nechť b j, j N 0, jsou reálé kostaty, pro které j=0 b j <, j=0 b j 0 a b 0 =. Potom pro (X t µ) N (0, 2 ), kde 2 = σ 2 ( j=0 b j) 2.
limití ůkaz: Zvolme k N. Potom k X t µ = b j Y t j + tedy j=0 (X t µ) = j=k+ Ozačíme-li ξ = (X t µ), S k = máme b j Y t j =: U kt + V kt, U kt + ξ = S k + k. Podle 46 platí pro a každé k N S k kde ψ k N (0, 2 k ), 2 k = σ2 ( k j=0 b j) 2. V kt. U kt, k = V kt, ψ k, (3)
limití ále z předpokladů plye, že pro k k 2 k = σ2 2 σ 2 b j b j j=0 j=0 2 = 2 a pro k ψ k Podle Čebyševovy erovosti je N (0, 2 ). (4) P( ξ S k > ɛ) = P( k > ɛ) ɛ 2 var k ( ) = ɛ 2 var V kt.
limití Z předpokladu j=0 b j < a 33 plye, že pro každé k N je {V kt, t Z} cetrovaá stacioárí posloupost s autokovariačí fukcí R V (t) = σ 2 j=k+ b jb j+ t. S přihlédutím k vzorci (7) tedy můžeme dále psát
limití P( ξ S k > ɛ) ɛ 2 var ( = ɛ 2 j= + ) V kt ( R V (j) j ) ɛ 2 = ] [R ɛ 2 V (0) + 2 R V (j) = σ2 ɛ 2 [ σ2 ɛ 2 [ σ2 ɛ 2 [ j=k+ j=k+ j=k+ j= bj 2 + 2 j= bj 2 + 2 b j 2 + 2 ν=k+ j= ν=k+ ν=k+ j= + b ν b ν+j ] ] b ν b ν+j b ν j= R V (j) ] b ν+j = σ2 ( ɛ 2 j=k+ b j ) 2,
limití takže lim lim P( ξ σ 2 S k > ɛ) lim k k ɛ 2 j=k+ b j 2 = 0 (5) pro každé ɛ > 0. Odtud podle (3) a (4) a z 43 vyplývá, že pro ξ = (X t µ) N (0, 2 ).
limití Příklad: Uvažujme posloupost {X t, t Z}, která je defiováa předpisem X t = µ + Z t, Z t = az t + Y t, kde µ R, a < a {Y t, t Z} je striktí bílý šum s koečým rozptylem σ 2 > 0. Z podmíky a < plye, že j=0 a j <, tedy X t = µ + a j Y t j, t Z. j=0 Protože j=0 aj 0, platí pro (X t µ) N (0, 2 ), 2 = σ 2 ( a) 2. Pro velká je X N ( µ, σ 2 ( a) 2 ).
limití efiice: Řekeme, že áhodé veličiy poslouposti {X t, t Z} jsou m-závislé, kde m N 0 je daé číslo, jestliže pro každé t Z jsou áhodé vektory (..., X t, X t ) a (X t+m+, X t+m+2,... ) ezávislé. Příklad: Posloupost MA(m) geerovaá pomocí gaussovského bílého šumu je posloupost m-závislých áhodých veliči. Příklad: Nechť {Y t, t Z} je striktí bílý šum. efiujme {X t, t Z} předpisem X t = Y t Y t+m, t Z, pro ějaké m N. Potom X t jsou m-závislé, EX t = E(Y t Y t+m ) = 0, EX s X t = E(Y t Y t+m Y s Y s+m ) = 0 pro t s. X t jsou vzájemě ekorelovaé, ikoliv však ezávislé.
limití Věta 48: Nechť {X t, t Z} je reálá striktě stacioárí cetrovaá posloupost m-závislých áhodých veliči s koečými druhými momety a autokovariačí fukcí R, pro kterou m 2 m = R(k) 0. Potom pro k= m varx 2 m, (6) X t N (0, 2 m). (7) ůkaz:. Posloupost {X t, t Z} je striktě stacioárí s koečými druhými momety, tedy i slabě stacioárí. Z m-závislosti plye, že R(k) = 0 pro k > m. Podle 39 platí m lim varx = R(k) = R(k) = 2 m. k= k= m
limití 2. Nechť k > 2m a = k r, kde k N, r N. Potom (X,..., X ) = (U, V, U 2, V 2,..., U r, V r ), U j = (X (j )k+,..., X jk m ), j =,..., r, V j = (X jk m+,..., X jk ), j =,..., r. U,..., U r jsou vzájemě ezávislé (z m-závislosti a k > 2m) a stejě rozděleé (ze striktí stacioarity). Podobě V,..., V r jsou iid. Je tedy X t = r r S j + T j, j= j= S j, j =,..., r, jsou iid (S j je součet prvků vektoru U j,) T j, j =,..., r, jsou iid (součet prvků vektorů V j ). Pro k > 2m platí ES = 0, ET = 0 a var S = var (X + + X k m ) = m (k m ν )R(ν) = 2 mk. ν= m
limití Podobě s využitím striktí stacioarity var T = var (X k m+ + + X k ) = var (X + + X m ) = m ν= m+ Nyí můžeme psát (m ν )R(ν) = δ 2 m. X t := ξ = S k + k, (8) kde S k = /k S j = r k j= r S j, (9) j= k = /k T j = r k j= r T j. (20) j=
limití Podle Lévyho-Lidebergovy pro r r r j= S j N (0, 2 mk ). Pro pevé k a r také, takže ( kde ψ k má rozděleí N S k 0, 2 mk k ψ k, (2) ). Protože pro k 2 mk k m R(j) = 2 m, j= m ψ k N (0, 2 m), k (22)
limití Podle Čebyševovy erovosti Tedy P( ξ S k > ɛ) = P( k > ɛ) ɛ 2 ( r ) var T j = ɛ 2 k var T = ɛ 2 k δ2 m. j= lim lim P( ξ S k > ɛ) = 0 (23) k a důkaz plye z (2), (22), (23) a 43.
Příklad: Nechť X t = µ + Y t + a Y t + a 2 Y t 2, t Z, limití kde Y t jsou iid, EY t = 0, vary t = σ 2 > 0. {X t, t Z} je striktě stacioárí a X t jsou m-závislé, m = 2. Autokovariačí fukce {X t, t Z} : R(0) = σ 2 ( + a 2 + a2), 2 R() = σ 2 (a + a a 2 ) = R( ), R(2) = σ 2 a 2 = R( 2), R(k) = 0, k > 2. Potom 2 m = m k= m R(k) = R(0) + 2R() + 2R(2) = σ 2 ( + a + a 2 ) 2. Podle předchozí (X t µ) N (0, 2 m), pokud 2 m 0.
limití Příklad: Nechť {Y t, t Z} je posloupost iid, EY t = 0, vary t = σ 2, EYt 4 <. okažte, že pro každé k > 0 a pro platí (Y 2 t σ 2 ) N (0, τ 2 ), Y t Y t+k N (0, σ 4 ), k Y t Y t+k N (0, σ 4 ), X t N k (0, σ 4 I), kde τ 2 = var Y 2, X t = (Y t Y t+,..., Y t Y t+k ) a I je jedotková matice řádu k.
limití. Y 2 t jsou iid, EY 2 t = σ 2, var Y 2 t = τ 2. věta (věta 44) (Y 2 t σ 2 ) N (0, τ 2 ). Řešeí. 2. Ozačme X t := Y t Y t+k pro k > 0. Posloupost {X t, t Z} je striktě stacioárí, EX t = 0, EXt 2 = σ 4, X t jsou vzájemě ekorelovaé, ale k-závislé. Podle 48 X t kde 2 k = k j= k R X (j) = σ 4. N (0, 2 k ),
limití 3. k Y t Y t+k = Podle 2. Y t Y t+k Y t Y t+k N (0, σ 4 ) Podle Čebyševovy erovosti ( ) P Y t Y t+k > ɛ = P ɛ 2 E ( t= k+ t= k+ X t ) 2 = ɛ 2 t= k+ ( t= k+ t= k+ EX 2 t = ɛ 2 k σ 4 Y t Y t+k. X t > ɛ ) 0 pro a pevé k.
limití 4. efiujme Z t := c X t, t Z, c R k. Náhodé vektory X t mají ulovou středí hodotu a variačí matici σ 4 I a jsou vzájemě ekorelovaé. Náhodé veličiy Z t jsou cetrovaé, s rozptylem σ 4 c Ic, jsou ekorelovaé a k-závislé {Z t, t Z} je striktě stacioárí. Podle 48 Z t N (0, 2 k ), kde 2 k = k j= k R Z (j) = σ 4 c Ic. Podle 45 a z vlastostí ormálího rozděleí odtud plye posledí tvrzeí.