Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 /
Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 /
Geometrický význam integrálu definice určitý integrál představuje velikost plochy: I = b a f (x) dx = lim x j 0 m m f (ξ j ) x j j=1 klasická definice: limita částečných součtů částečný součet lze použít jako numerickou metodu předpoklad: funkce f je dostatečně hladká připomenutí: neurčitý integrál (primitivní funkce) je metoda výpočtu určitého integrálu F (x) = f (x) dx F (x) = f (x) Newton-Leibnitzova formule: I = F(b) F(a) ( ) Numerické metody a statistika 016-017 3 /
Jednoduché vzorce Newton-Cotesovy: vzniknou integrací interpolačního polynomu odvození pomocí Lagrangeova tvaru IP: p n (x) = n f (x i )l i (x), i=1 l i (x) polynomy Lagr. báze pro uzly a x 0 < x 1 < < x n b integrací dostaneme: I b a p n (x) dx = n f (x i )w i, kde w i = i=1 b a l i (x) dx jsou integrační váhy ( ) Numerické metody a statistika 016-017 4 /
obrázek 1) Obdélníkové pravidlo ( ) a + b I obd = (b a)f odvození: ( ) a + b b p 0 (x) = f, l 0 (x) = 1, w 0 = 1 dx = b a a ( ) Numerické metody a statistika 016-017 5 /
) Lichoběžníkové pravidlo I lich = b a (f (a) + f (b)) obrázek odvození: p 1 (x) = f (a)l 0 (x) + f (b)l 1 (x), l 0 (x) = x b a b, l 1(x) = x a b a w 0 = b a x b a b dx = b a = w 1 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 6 /
obrázek 3) Simpsonovo pravidlo I Sim = b a 6 ( f (a) + 4f ( a + b ) ) + f (b) odvození: ( ) a + b p (x) = f (a)l 0 (x) + f l 1 (x) + f (b)l (x) w 0 = w 1 = 4w 0, w = w 0 b a (x x 1 )(x x ) (x 0 x 1 )(x 0 x ) dx = b a 6 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 7 /
Složené vzorce Newton-Cotesovy vzorce odvozené z polynomů vyššího stupně nedávají dobré výsledky z jednoduchých vzorců se proto sestavují vzorce složené analogie částečných součtů I = b a f (x) dx = m j=1 xj x j 1 f (x) dx a = x 0 < x 1 < < x m = b, h = x j x j 1 je krok integrály za sumou aproximujeme jednoduchými vzorci ( ) Numerické metody a statistika 016-017 8 /
složené obdélníkové pravidlo I SO = h m ( ) xj 1 + x j f j=1 složené lichoběžníkové pravidlo I SL = h f (x 0 ) + m 1 j=1 f (x j ) + f (x m ) složené Simpsonovo pravidlo, pro m = k (sudé) I SS = h k k 1 f (x 0 ) + 4 f (x j 1 ) + f (x j ) + f (x m ) 6 j=1 j=1 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 9 /
Analýza chyby Věta I(h) označuje přibližnou hodnotu integrálu počítanou pro krok h platí: I(h) I, pro h 0 jak rychle (jaký je řád diskretizace)? Necht má funkce f na a, b spojitou. resp. 4. derivaci. Platí: I I obd = f (ξ) (b a)3 4 I I lich = f (ξ) (b a)3 1 I I Sim = f (4) (ξ) (b a)5 90 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 10 /
Důkaz: Použijeme vzorec pro interpolační chybu: Věta I I lich = f (ξ) f (x) p 1 (x) = f ( ξ) (x a)(x b) b a (x a)(x b) dx = f (ξ) 1 (b a)3 6 Necht má funkce f na a, b spojitou. resp. 4. derivaci. Platí: I I SL = m i=1 I I SO C 1 h, C 1 > 0 I I SL C h, C > 0 I I SS C 3 h 4, C 3 > 0 f (ξ i ) 1 h3 h3 1 m i=1 f (ξ i ) h3 1 Mm = b a 1 Mh ( ) Numerické metody a statistika 016-017 11 /
Výpočet integrálu pro zadanou přesnost pro dané ε požadujeme: I I(h) ε dvojný přepočet: připomíná iterační metodu vypočítáme I(h) a I(h) platí, výsledek je I(h) = I ± ε I(h) I(h) ε neplatí, zmenšíme krok h := h/ vylepšením je Richardsonova extrapolace: pomocí informace o řádu formule se odvodí přesnější vzorce (viz skriptum) ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 /
Numerické derivování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 13 /
Geometrický význam derivace definice derivace představuje směrnici tečny: f (x) = lim h 0 f (x + h) f (x) h zlomek za limitou představuje směrnici sečny lze ho použít pro numerický výpočet derivace předpoklad: funkce f je dostatečně hladká alternativa k výpočetu derivace pomocí algebraických postupů ( ) Numerické metody a statistika 016-017 14 /
Vzorce a jejich odvození přehled vzorců f (x) f (x + h) f (x) h f (x) f (x h) h f (x + h) f (x h) h (1) () f (x) f (x + h) f (x) + f (x h) h (3) vzorce lze odvodit derivací interpolačního polynomu ( ) Numerické metody a statistika 016-017 15 /
Odvození (1) použijeme Newtonův tvar IP pro uzly t 0 = x, t 1 = x + h p 1 (t) = f (x) + f [x + h, x](t x) p 1 (t) = f [x + h, x] dosadíme t = x p 1 f (x + h) f (x) (x) = f (x) h ( ) Numerické metody a statistika 016-017 16 /
Odvození (3) a () Newtonův tvar IP pro uzly t 0 = x h, t 1 = x, t = x + h p (t) = f (x h)+f [x h, x](t x+h)+f [x h, x, x+h](t x+h)(t x) první a druhá derivace p (t) = f [x h, x] + f [x h, x, x + h](t x + h) p (t) = f [x h, x, x + h] dosadíme t = x f (x+h) f (x) (x) = h h p f (x) f (x h) h = f (x + h) f (x) + f (x h) h ( ) Numerické metody a statistika 016-017 17 /
p f (x) f (x h) (x) = + h f (x+h) f (x) h h f (x) f (x h) h h = = f (x) f (x h) h + f (x + h) f (x h) h f (x + h) f (x) + f (x h) h h ( ) Numerické metody a statistika 016-017 18 /
Věta (o diskretizační chybě) Necht má funkce f v okolí bodu x spojitou spojitou. resp. 3. derivaci. Platí: Důkaz (5): Z Taylorova polynomu vyjádříme první derivaci. p 1 (x) f (x) = h f (ξ) p (x) f (x) = h f (3) (ξ) 3 p (x) f (x) = h f (4) (ξ) 1 f (x + h) = f (x) + hf (x) + h f (ξ) (4) ( ) Numerické metody a statistika 016-017 19 /
Příklad (s překvapivým výsledkem) vypočteme přibližnou hodnotu 1. derivace podle vzorce (1) pro f (x) = sin x, x = 1 přesná hodnota na 4 destinná místa f (1) = cos 1 = 0.5403 pro h = 0.01 f (1) sin 1.01 sin 1 0.01 = 0.8468 0.8415 0.01 = 0.53 pro h = 0.001 f (1) sin 1.001 sin 1 0.001 = 0.840 0.8415 0.001 = 0.5 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 0 /
Celková chyba při numerickém derivování součet diskretizační a zaokrouhlovací chyby E(h) = e(h) + z(h) graf E(h) = přímka + hyperbola = Ch + κ h důsledek: velmi malý krok h dává špatné výsledky ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 /
Souhrn jednoduché vzorce, Newton-Cotesovy složené vzorce analýza chyby řád vzorců výpočet pro zadanou přesnost numerický výpočet derivace Zdroj skripta Numerické metody str. 113 131 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 /