, neboť. Je patrné, že váhy splňují podmínku

Transkript

1 Meoda expoeciálího vrováváí [RGBrow-RFMeer] Je dalším přísupů, kerý e řae (vedle meod klouavých průměrů) k adapivím echikám určeí redové složk časové řad Výchoí úvahou éo echik e, že se k predikci ové hodo časové řad : a) erou v úvahu všecha dosupá poorováí časové řad ) sarší poorováí sou hlediska síl ovlivěí akuálích předpovědí ráa s ižší výamosí ež poorováí ová (akuálí) Váhová srukura, kerá e při Browově expoeciálím vrováváí uplaěa, e předsavováa geomerickým roděleím Váh sou ed saove podle vorce () Je paré, že váh splňuí podmíku i w i i w i i, eoť i wi i Nechť epřekvapí, že váhová srukura se řídí roděleím, keré e defiováo a eomeeém ooru, přesože poče poorováí časové řad, kerým sou váh přiřaová e vžd koečý - maemaického hlediska epředsavue ao okolos žádý prolém Náev expoeciálí odpovídal espoiěí siuace, eoť odoou diskréího geomerického roděleí e ve spoiém případě roděleí expoeciálí Náev ed emá ic společého s expoeciálím průěhem redu Podoě ako meoda klouavých průměrů e i expoeciálí vrováváí aložeo a lokáím vrováí časové řad edoduchou maemaickou křivkou (a rodíl od meod klouavých průměrů se však vaá poorováí eváží smerick ) Podle pu vrovávaící křivk rolišueme ři ákladí vere ohoo posupu : Jedoduché (kosaí) expoeciálí vrováváí (lokálě vrovávaící křivkou e po čásech kosaí fukce) Dvoié (aké lieárí) expoeciálí vrováváí (de e lokálě vrovávaící křivkou lieárí fukce) Troié (aké kvadraické) expoeciálí vrováí (uplaňue se paraola supě lokálě vrovávaící křivkou kvadraická fukce) Posup všech pů expoeciálího vrováváí e evruě popsá v moografii: Brow,R,G: moohig, forecasig ad predicio of discree ime series Lodo, Preice- Hall 9 popř v čláku Brow,R,G,Meer, R,F : The fudameal heor of expoeial smoohig Operaios Research 9/9 sr 7-8

2 Všech vere expoeciálího vrováváí se opíraí o ásleduící úvahu : V kerémkoliv odě (pevě voleém okamžiku ) máme k dispoici edak : - posledí poorováí aalovaé časové řad, ed * - předpověď éhož poorováí (určeou dříve a ákladě předím, do času - dosupých poorováí, ed do hodo včeě) Předpověď pro opraveou hodou ŷ ed í vvořme pomocí vážeého průměru () ŷ ŷ že ová předpověď e kosruováa ako vážeý arimeický průměr skuečé hodo ového poorováí a saré předpovědi ohoo poorováí * (při iformaci dosupé do okamžiku - včeě) Hodoa váhové kosa rohodue o om, keré oou uplaňuících se iformací přisoudíme věší výam (resp v aké proporci udeme o iformace rá) Opakovaou susiucí dosáváme e vahu () výra ŷ ŷ ŷ ŷ ŷ ŷ ŷ ad, až po () ŷ ŷ Při dosaečě velkém (eoreick pro () ŷ ŷ, což e ) dospěeme k ekoečému souču vlasě arimeický průměr (o ekoečém poču čleů) vrovaých hodo s vahami ve varu () Výra () ŷ ŷ, kde e vrovávací kosaa le dále edoduchou úpravou přepsa a var ŷ ŷ ŷ ŷ ŷ ( ) ŷ d, kerý ývá aývá ako chový či korekčí: pro opravu předchoí vrovaé hodo ŷ použieme (akmile dosaeme poorováí ) příslušě upraveou chu předpovědi d o ede krok dopředu (kosruovaou v čase -) ( ), kde * d * d * * což le ierpreova ak, že ovou předpověď * pro dosaeme ako souče

3 skuečé hodo poorováí a určiého (x ) proceího podílu ch * předpovědi d éže veliči určeé a ákladě iformací ámých e do miulého odoí - (predikce e sesroeá oliko hodo,, ) Důležiou oákou e v omo koexu vol vrovávaící kosa : pravidla se omeueme a rosah mei (,,) Někd e však vrovávací kosaa poímáa ako doplěk do, saoví se ed,9 ;, 7 Čím e hodoa líže k ím váh přiřaovaé edolivým poorováím směrem do miulosi klesaí pomalei O rchlosi klesáí dává předsavu oo srováí s kosaou : k = roveme:,9,8,79,,99,,88,8,,,,9,78,,77,7,9,,,,87,79,79 Zaímco podíl vah u ečersvěších (epožděých) poorováí e 9/7 =,87 :, e u desáých poorováí ( se požděím 9) eo poměr iž,87/ 8,/,7,9,,,87,79,8,78,,88,9,8,79,,99,,7897,7,87,878 Přiroeou oákou e, da exisuí užiečá vodíka pro určeí kosa : a) Pravidla vvoeá e saisických požadavků a odhad oecě : a) Jeda možos vcháí vol vrovávací kosa e vahu () odkud pro daé dosaeme a) Další možosí vcháí variaího modelu (vrováí paraolou k-ého řádu), a ákladě kerého se volí ak, a vhovovalo vahu () k k k e v ekvivaleí vrovávací kosaa a) Ješě iá možos vcháí elépe vrovávaícího (poorovaé hodo časové řad) klouavého průměru délk d Pak se saoví ako pro kosaí/edoduché expoeciálí vrováváí a seě ak (7A) pro dvoié expoeciálí vrováváí (klouavý průměr) (7B) pro roié expoeciálí vrováváí d d, kde d e délka (poče čleů) elépe vrovávaícího klouavého průměru ) imulačí půso: ierval,7 - se rodělí apř a úseků po,, provedou se predikce a ěkolik kroků dopředu, spoče se průměrá eo sředí kvadraická cha predikce a vhledá se aková hodoa, při keré e ao cha predikce emeší d d

4 Poámka: Výpočové vorce (eméa u roiého expoeciálího vrováváí) sou iž aolik (echick) složié, že e uživael pravidla odkáá a ěkerý e sofwarových produků určeých k aalýe časových řad, keré pravidla všech ři vere expoeciálího vrováváí osahuí Proo e daleko vhoděší pořídi si příslušé sofware (TATGRAPHIC, P, RAT apod), ež pracě počía hodo vrováí a předpovědí (rekureě) aulkovými procesor, kalkulačkou eo dokoce ručě Komparačí hodoceí: čím e vrovávací kosaa vdáleěší od (ed líže k ule), ím e vrováí flexiilěší a provedeá ásledá predikce vkaue všší rokolísaos Podoý rs vkaue aké roié expoeciálí vrováváí ve srováí s dvoiým a eméa vůči edoduchému, keré dává velmi rigidí předpovědi ( po čásech kosaím redem)

5 Jedoduché (kosaí) expoeciálí vrováváí Formulace modelu e aložea a předsavě, že pro daé pevé a hodo požděí,,,, le uplai kosaí red varu () Tr ˆ pro =,,,,, kde, e (ediý) eámý paramer Tao doměka (o kosaosi vývoe) eí příliš realisická, avšak edoduchos modelu () umožňue přilíži posup odhadu paramerů i u složiěších modelů Výchoím předpokladem modelu () e ed red ve varu po čásech kosaí fukce Miimaliačí kriérium má de var () Mi G (,, ) ve kerém se uplaňue redový model varu Tr ( ed kosaí red ) i Odhad parameru realiovaý vážeou meodou emeších čverců (WL) e pak dá vahem () ověřeí: Derivací výrau () podle dosaeme: (A) ( G (,, )) ( Upravíme-li kráceím ( ) a položíme-li derivaci rovou ule, dosaeme (A) Pak s vužiím oho, že souče řad ), održíme () U ohoo pu mohou ý vslove ámik, že model s kosaím redem () e pro věšiu reálých siuací sěží použielý, poěvadž red časové řad se pravidla vvíí iým půsoem ež po čásech kosaí fukcí () vrováí pro akuálí odoí : ˆ () predikce a odoí dopředu : ŷ Předpovídaé hodo a liovolé odoí dopředu sou ed shodé s posledí poorovaou hodoou (e řemé, že ao ásada eí vhodá pro siuace, kd časová řada vkaue akýkoliv aelý red) Le ešě uží v chový vorec: (A) ŷ ŷ ŷ ŷ ŷ ŷ ( ) ŷ d ŷ

6 V případě dvoiého a roiého expoeciálího vrováváí e užiečé defiova dvě v "vrovávací saisik" : (a) () * Pro o vrovávací saisik plaí ásleduící rekureí vah : (7a) (7) ověřeí (7a),(7): Levou srau (7a) le vádři ako k k Levou srau (7) le vádři ako k, přičemž k Výpoče ěcho saisik se provádí rekureě počíae k k k, Vola vrovávací kosa pro edoduché expoeciálí vrováváí: Omeueme se de pravidla a ierval, a podoě ako pro edoduché se užívá a) fixí vola, eo, ) vola m, kde d m e délka klouavých průměrů adekváí éo řadě (odvoea požadavku, a v sředí věk vah edoduchých klouavých průměrů éo délk, vrováváí, m k k m a sředí věk vah edoduchého expoeciálího m k k l shodé Přísup ale eí ideálí, proože seě k musíme ví vhodé délk klouavého průměru c) Jako možé hodo se vemou hodo iervalu,,,,,, vere se a hodoa, kerá elépe predikue ve smslu miimálí mír E a

7 ( p ) předpovědí ierval pro edoduché expoeciálí vrováváí V případě, že roděleí áhodé složk uvažovaé řad e alespoň přiližě ormálí, le v rámci expoeciálího vrováváí vedle odových předpovědí kosruova aké předpovědí ierval Jako ( p ) předpovědí ierval pro edoduché vrováváí se doporučue kosruova ierval ve varu liovolé p / ŷ ( ) u p / d MAE ; ŷ ( ) u p / d MAE, kde e u p / kvail ormovaého ormálího roděleí d defiováo ako d, sloužící k převodu ME a MAE MAE e sředí asoluí cha, ed MAE ŷ ( ) 7

8 Dvoié (lieárí) expoeciálí vrováváí Formulace modelu e aložea a předsavě, že pro daé pevé a hodo požděí,,,, le uplai lokálě lieárí red varu () Tr ˆ pro =,,,,, Miimaliačí kriérium má v omo případě var () Mi G (,,, ), ve kerém se uplaňue lieárí redový model varu Tr Výchoím předpokladem modelu () e ed red ve varu po čásech lieárí fukce V omo případě sou předměem odhadu dva paramer - ako odhad - a - ako odhad parameru Odhad oou paramerů v () ískáme řešeím sousav ormálích rovic (A) (B) ověřeí (A), (B): Derivací výrau () podle dosaeme (A) G (,,, ) Podoě, derivací výrau () podle dosaeme: (B) G (,,, ) Upravíme-li ( A) a položíme-li příslušou derivaci rovou ule: ( ) (A), eoli (A*) a s vužiím oho, že souče řad a souče řad održíme a ásledě vásoeím ískáme (A) 8

9 9 Kráíme-li (B) výraem a položíme-li levosraou derivaci rovou ule: (B) Výra s eámými, přemísíme v rovici alevo (B*) a s vužiím oho, že souč řad, máme ) (, což po vásoeí dává (B) Máme ed sousavu dvou ormálích rovic pro výpoče paramerů, (A) (B), kerou můžeme vádři v maicovém varu (), akže (7), kde deermia maice sousav (7) e rove Takže (8) (8)

10 (9) Odud máme pro oa paramer výsledé výra eoli (A) a (B)

11 Pokud pracueme s koečým počem poorováí, má odpovídaící sousava ormálích rovice eo var: (A) (B) Jeím řešeím dosaeme odhad paramerů ve varu (A) (B) Včíslíme výra e psiloových čleů s vužiím oho, že plaí dle (), (), () Výra ve meovaelích (A), (B) e rový Poom dle (A) OK a podle (B)

12 OK

13 Ta e srovaelá s (A), (B), proože pokud e dosaečě velké, le ahradi (A) (B) (7A) (7B), což po vásoeí prví rovice a druhé rovice dává přesě (A) (B) Zavedeme-li pomocé veliči (a) () *, eo éž ] [ le apsa výsledé odhad paramerů, aké ako (A) (B)

14 přímé (aleraiví) ověřeí výpoču paramerů e sousav (A), (B): (A) (B) Vděme (A), (B) a vádřeme oou ěcho vahů : (A) (B) Porováme oě sra a máme, odečeme, OK a dále podle (A): ed pak po úpravě

15 , až dospěeme k výsledému varu OK Máme dosa vrováí pro akuálí odoí : () * predikce a odoí dopředu e dáa vah () * eoli (a) * Model dvoiého expoeciálího vrováváí () e pro řadu siuací dorým predikčím ásroem, pokud se při volě vrovávací kosa řídíme ěkerým výše uvedeých pravidel Při výpoču saisik, posupueme rekureě, přičemž eich počáečí hodo pro ískáme e vahů : (A) (B) Počáečí hodo odhadů ískáme prosou lieárí regresí ak, že ěkolik (cca -) počáečích poorováí řad proložíme regresí přímkou e příslušá úrovňová kosaa, e paramer sklou regresí přímk () Mi, Derivací výrau () podle a eho aulováím dosaeme: kráíme výraem

16 Výra s eámými, přemísíme alevo což apíšeme ako Proože dle (), u eámé máme čle Dále dle () u eámé máme Ted (B) Vola vrovávací kosa : omeueme se de pravidla a ierval, a podoě ako pro edoduché se užívá a) fixí vola m, kde m d e délka klouavých průměrů adekváí ) pro daou řadu (vplývá opě porováí sředích věku vah edoduchých klouavých průměrů a vah dvoiého exp vrováváí) c)jako vhodé hodo se všeří hodo iervalu,,,,,, a vere se a hodoa, kerá elépe predikue ve smslu mír E Jako ) p ( předpovědí ierval se doporučue kosruova ve varu MAE d u ) ( ŷ ; MAE d u ) ( ŷ / p / p, kde pro liovolé e d defiováo ako, d

17 7 aleraiví odvoeí odhadu paramerů (A),(B) : (A) (B), (A) máme (B) máme, komparací po úpravě Odečeím výrau od oou sra dosaeme Dále vužierme (A)

18 8

19 Troié (kvadraické) expoeciálí vrováváí e řeím užívaým pem expoeciálího vrováváí, keré se uplaňue především u časových řad vačuících se ve svém dosavadím vývoi úsek se řeelou akcelerací eo aopak decelerací průěhu v čase Miimaliačí kriérium má u oho pu vrováí var () Mi ve kerém se uplaňue redový model varu () * Zde máme co do čiěí iž se řemi kosaami,, co s odhad roice eámých paramerů kvadraické fukce,, Odhad ěcho paramerů se opě održí vvoeím e sousav (ří) ormálích rovic Ve výraech se eokrá uplaňuí iž ři vrovávací saisik : edoduchá vrovávací saisika dvoiá vrovávací saisika () s vlasosí roiá vrovávací saisika Pomocí ich se daí vádři ak vrovaé, ak předpovídaé hodo : vrováí pro akuálí odoí : () predikce a odoí dopředu : * () * Predikce pomocí roiého expoeciálího vrováí sou (eméa při íké volě kosa - líké,7) ačě cilivé a chováí posledích - poorovaých hodo řad Vkauí-li ao poorováí řeelý odklo oproi předchoímu průěhu časové řad, poske kvadraické vrováí pravidla epoužielé předpovědi (o se vchluí uď příliš ahoru eo příliš dolů podle směru vchýleí právě posledích ečersvěších poorováí) Při určováí počáečích odhadů,, se v omo případě doporučue voli delší úsek (až / poču všech poorováí) Vrováí se de provádí (pomocí prosé meod emeších čverců) kvadraickým redem 9

20 Odvoeí ormálích rovic pro roié expoeciálí vrováváí: Derivací výrau () podle a eho aulováím dosaeme: eoli (A) Derivací výrau () podle a eho aulováím dosaeme: eoli (B) Derivací výrau () podle a eho aulováím dosaeme: eoli (C) (A) upravíme a Po včísleí sumací máme (B) upravíme a Po včísleí sumací máme (C) upravíme a Po včísleí sumací máme Dosáváme ed sousavu ří ormálích rovic k výpoču paramerů,, :

21 (7) h íž l hledaé paramer ískaelé vahem (8) 7 h Je icméě řemé, že i kdž pricipiálě ako paramer,, ískáme, udou příslušé ři vorce iž silě epřehledé

22 Poámka: Při výpočech součů kovergeích ekoečých řad, keré se vskuí v ormálích rovicích u růých verí expoeciálího vrováváí, le užiečě uplai poak odvoeé eorie mociých řad Máme-li pro argume defiováu fukci resp mociou řadu () ) ( F, pak výpoče derivací éo fukce (do čvré derivace včeě) vede k ěmo výsledkům: () ) ( ' F () ) ( ' ' F () ) ( ' ' ' F () ) ( ' v F Všiměme si, že sumace derivovaých prvků mocié řad (výra v součech v (,,,) se ískaí velmi prosým půsoem ím, že derivueme fukci ) ( F Plaí o pro prví, druhou i řeí (případě i všší) derivaci Vememe-li a argume vrovávací kosau - o e přípusé, eoť eí hodo rověž leží v iervalu (,) - dosaeme : (7), (7), (7) což vpočeme rovoe Dále máme ešě (7)

23 odvoeí (7): Ted vužiím (), () a () dosaeme až koečě máme (7) Uvedeé vah se akivě uplaňuí při výpoču výraů, keré vedou v edolivých pech expoeciálího vrováváí k určeí odhadů paramerů,, Pokusme se ešě spočía (7)

24 7 7 Ted (7) 7 h

25 Holova vrovávací meoda Jisým oecěím dvoiého expoeciálího vrováváí e v Holova meoda, ve keré se uplaňuí dvě vrovávací kosa, pro vrováí úrově L pro vrováí směrice T éže řad (8) L L T Vhlaeí úrově e ed defiováo ako kovexí komiace posledí poorovaé hodo v čase a odhadu éo hodo vaého v předchoím čase (8) T L L T Pro vrováí, resp predikci de plaí předpis: (8) ŷ L (8) ŷ ( ) L T pro Jako vol počáečích hodo se doporučuí: (8A) L (8B) T Za pooros soí, že Holova meoda la eprve avržea ako ad hoc posup a ákladě prosé logické úvah Teprve poděi lo prokááo, že Browovo dvoié expoeciálí vrováváí se voleou vrovávací kosaou e speciálím případem Holova meod, eíž vrovávací kosa sou pak (8) H B B, Za pooros soí, že Holova meoda la eprve avržea ako ad hoc posup a ákladě prosé logické úvah Teprve poděi lo prokááo, že Browovo dvoié expoeciálí vrováváí se voleou vrovávací kosaou e speciálím případem Holova meod, eíž vrovávací kosa sou pak,, B,, poom H,,, 9 H, 7,, 9,, B,, pak H,,, H,,, 9,, B,, odud H,,, H, 77,, 7 H B B Posup e popsá v exu: Hol, C,C: Forecasig seasoal ad reds expoeiall weighed movig averages Res mem No Caregie Isiue of Techolog Pisurg 97