Modelování časových řad akciových výnosů #

Transkript

1 Aca Oecoomica Pragesia, roč. 5, č., 2007 Modelováí časových řad akciových výosů # Jiří Trešl Dagmar Blaá * Cílem předložeého příspěvku je ukáza možosi použií růzých modelů vhodých pro aalýzu časových řad akciových výosů ejlikvidějších iulů a BCPP. Primárí vsupí daa jsou deí uzavírací cey v období , j. 256 hodo. Ve druhém kroku byly vypočey logarimické výosy v proceech. Pro aalýzy jsme vybrali ásledující akcie: CEZ (ČEZ), KB (Komerčí baka), PM (Philip Morris), TEL (Český Telecom) a UNIP (Uiperol). V ásledujícím exu budeme zači odpovídající logarimické výosy jako RCEZ, RKB, RPM, RTEL, RUNIP a jejich absoluí výosy jako ARCEZ, ARKB, ARPM, ARTEL, ARUNIP. V ab. jsou uvedey vybraé elemeárí popisé charakerisiky. Tab. č. : Elemeárí popisé charakerisiky logarimických výosů RCEZ RKB RPM RTEL RUNIP Průměr +0,6 +0, +0,09 +0,00 +0, Směr.odchylka +,99 +,98 +,88 +2,39 +2,43 Var.rozpěí 26,9 9,69 22,59 26,22 35,40 Dolí kvaril 0,79,.00 0,8,05 0,78 Horí kvaril +,22 +,3 +,04 +, +,2 Šikmos,0 0,8 0,64 0,30 0,59 Špičaos +9,0 +2,0 +6,57 +4,33 +9,7 Zdroj: vlasí výpočy pomocí sofware Sagraphics Plus 3.. # Čláek je zpracová jako jede z výsupů výzkumého projeku Aalýza vysokofrekvečích da a fiačích rzích regisrovaého u Graové ageury České republiky pod evidečím číslem 402/05/028. * Doc. Ig. Jiří Trešl, CSc.; Kaedra saisiky a pravděpodobosi, Fakula iformaiky a saisiky, VŠE v Praze, resl@vse.cz. Doc. Ig. Dagmar Blaá, CSc.; Kaedra saisiky a pravděpodobosi, Fakula iformaiky a saisiky, VŠE v Praze, blaa@vse.cz. 4

2 Jiří Trešl Dagmar Blaá Modelováí časových řad akciových výosů Modely GARCH Vzhledem k příomosi heeroskedasiciy se modely GARCH saly sadardím ásrojem v oblasi modelováí fiačích časových řad (Bollerslev, 986). Symerický AR-GARCH (p, q) model lze vyjádři jako y = σ e e N q p = + iy i + j i= j= σ ω α β σ ( 0,) 2 kde σ podmíěý rozpyl. Obecější možosí je použií modelu EGARCH (Expoeial GARCH), umožňující zachyi případou asymerickou reakci a kladé a záporé hodoy (Hamilo, 994) log y σ p q ( 2 ) log ( 2 i i σ = ω+ β j σ j) + αi + γi (2) y σ j= i= i i V ab.2 jsou uvedey vypočeé hodoy paramerů jedolivých GARCH modelů. Tab. č. 2: Saisicky výzamé (5%) paramery GARCH modelů pro výosy MODEL Paramer RCEZ RKB RPM RTEL RUNIP GARCH Kosaa 0,222-0,098 x 0,08 GARCH ω x - x x x GARCH α 0,68-0,00 0,099 0,234 GARCH β 0,743-0,853 0,90 0,766 EGARCH ω - 0, EGARCH γ - 0, EGARCH α - 0, EGARCH β - 0, Zdroj: vlasí výpočy pomocí sofware Eviews 5. () Modely ARFIMA Výzačým rysem moha fiačích časových řad je dlouhá paměť vzhledem k absoluím hodoám ebo čvercům. Auokorelačí fukce (ACF) poom klesá relaivě pomalu hyperbolickým způsobem (obr. ). 5

3 Aca Oecoomica Pragesia, roč. 5, č., 2007 Obr. č. : Auokorelačí fukce absoluích hodo výosů ARTEL (zpožděí 26) 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0, Zdroj: vlasí výpočy pomocí sofware Sagraphics Plus 3.. Užiečým ásrojem pro modelováí akových časových řad je geeralizace ARIMA modelů ve smyslu připušěí eceločíselého diferecováí. Nejjedodušší model frakcioálího diferecováí ozačujeme jako ARFIMA(0,d,0). Může bý zapsá ve varu (Hoskig, 98): d d k d( d )...( d k+ ) k ( B) y = u ( B) = ( ) B (3) k = 0 k! kde B operáor zpěého posuuí, d řád diferecováí, u bílý šum. Jako příklad uvažujme zv. relaxačí proces ve varu (Peers, 994): ( ) y = y + u < <+ u R (4) 2 ρ ρ ρ 0, kde ρ korelačí koeficie, R rovoměré rozděleí. Aplikací modelu ARFIMA(0,d,0) získáme hledaý řád diferecováí d. Výsledky jsou zázorěy a obr. 2. Obr. č. 2: Relaxačí proces: závislos řádu diferecováí d a korelačím koeficieu 0,6 0,4 0,2 0-0,2-0,7-0,5-0,3-0, 0, 0,3 0,5 0,7-0,4-0,6 Zdroj: vlasí výpočy pomocí sofware PcGive 0. Kladé hodoy d sigalizují určiou edeci k perziseímu chováí (vořeí cyklů), zaímco záporé hodoy d odpovídají aiperziseímu chováí (více bodů 6

4 Jiří Trešl Dagmar Blaá Modelováí časových řad akciových výosů obrau ež u procesu bílého šumu). Vypočeé hodoy d pro absoluí hodoy výosů jsou sesavey v ásledující abulce. Tab. č. 3: Saisicky výzamé (5%) hodoy d pro absoluí hodoy výosů ARCEZ ARKB ARPM ARTEL ARUNIP d +0,70 +0,30 +0,38 +0,204 +0,244 Zdroj: vlasí výpočy pomocí sofware PcGive 0. Dále byly vypočey hodoy d pro časové řady 5deí a 0deí směrodaé odchylky výosů reprezeující volailiu. Obr. č. 3: Saisicky výzamé (5%) hodoy d pro 5deí a 0deí volailiu výosů 5deí RCEZ RKB RPM RTEL RUNIP směr.odchylka d +0,44 +0,408 +0,380 +0,408 +0,40 0deí směr.odchylka d +0,85 +0,68 +0,232 +0,35 +0,257 Zdroj: vlasí výpočy pomocí sofware PcGive 0. Všechy hodoy d jsou kladé, j. exisuje edece k vořeí cyklů volailiy. Dále jsou hodoy d pro 0deí volailiu vždy ižší ež pro 5deí volailiu. Koečě je eo pokles relaivě ízký pro RTEL a relaivě vysoký pro RCEZ a RKB. Bilieárí modely Jiou možos předsavuje použií bilieárích modelů, keré mohou bý obecě zapsáy ve varu (Tsay, 2002): kde p q m s = + φi i θ j j + βij i j + i= j= i= j=, (5) y c y u y u u u bílý šum. Aplikací ěcho modelů a výosy posupě dosaeme: RCEZ : y = y 0.y u 2 RKB : y = 0.076y 0.09y u 4 3 RPM : y = y 0.069y 0.053y u y u RTEL : y = 0.063y 0.06y u y u y u RUNIP : y = 0.05y 0.080y u y u V ěcho výrazech byly poecháy pouze koeficiey saisicky výzamé a 5% hladiě výzamosi. Ve všech případech bylo použií bilieárích modelů oprávěé. Odpovídající modely pro 5deí volailiu jsou: 7 (6)

5 Aca Oecoomica Pragesia, roč. 5, č., 2007 VOL5 RCEZ : y = y VOL5 RKB : y = y VOL5 RPM : y = y + 0.5y 3 VOL5 RTEL : y = y y y 2 4 VOL5 RUNIP : y = y y u 0.0y u 2 Zde jsou aopak dosačující AR modely s výjimkou volailiy RUNIP. Nakoec byly vypočey modely pro 0deí volailiu výosů: VOL0 RCEZ : y = y y 5 VOL0 RKB : y = y VOL0 RPM : y = y y u 2 2 VOL 0 RTEL: y = y y 0.25y u y u VOL0 RUNIP : y = y y y u 4 2 Ve řech případech edy bylo uo použí bilieárí modely. Všechy výpočy byly provedey pomocí sofware PcGive 0. (7) (8) R/S aalýza R/S aalýza (Rescaled Rage Aalysis) paří mezi meody, keré se mimo jié ukázaly bý užiečé při klasifikaci chováí fiačích časových řad a k deekci případých epravidelých cyklů. Obecý posup R/S aalýzy je ásledující (Peers, 994): Je dáa časová řada hodo x, x 2,..., x N regisrovaých v časech = 2,,..., N Celou časovou řadu rozdělíme do m sousedících a epřekrývajících se iervalů délky, a edy N = m a pro každý ierval vypočeme: Průměrou hodou x j = xij j =,2,..., m (9) i = Časovou řadu kumulaivích odchylek od průměru k zkj = ( xij x j ) k =,2,..., (0) i= Rozpěí kumulaivích odchylek od průměru R = max z mi z 0 () ( ) ( ) j kj kj Směrodaou odchylku ( ) 2 ij j i = Sj = x x (2) 8

6 Jiří Trešl Dagmar Blaá Modelováí časových řad akciových výosů Průměré přeškálovaé rozpěí R/S pro ierval délky m R / S = R / S (3) ( ) ( j j) m j = Hurs předpokládal obecý yp závislosi R/S a čase ve varu ( R / S) H = C (4) kde C je kosaa a H Hursův expoe, kerý lze odhadou pomocí lieárí regrese ( ) log R/ S = logc+ Hlog (5) pomocí hodo přeškálovaých rozpěí vypočeých pro růzá. Ierpreace Hursova expoeu je pak ásledující: Je-li H = 0,50, pak je časová řada geerováa i.i.d. procesem. V rozmezí 0,50 < H <,00 se jedá o zv. persiseí procesy charakerizovaé dlouhou paměí. Naproi omu do rozmezí 0 < H< 0,50 spadají zv. aipersiseí procesy, keré měí zaméko časěji ež ryze áhodé procesy. V ásledující abulce jsou uvedey hodoy Hursova expoeu pro jedolivé výosy. Tab. č. 4: Hodoy Hursova expoeu pro jedolivé výosy RCEZ RKB RPM RTEL RUNIP H 0,535 0,499 0,472 0,498 0,539 Zdroj: vlasí výpočy pomocí sofware Chaos Daa Aalyzer 2.. Závěr Z aalýz provedeých pomocí GARCH modelů vyplývá, že symerický model GARCH(,) byl posačující pro modelováí časových řad akciových výosů ve všech případech kromě výosů Komerčí baky, kde bylo uo použí expoeciálího GARCH modelu (ypické hodoy příslušého koeficieu β v ab. 2 jsou 0,7 0,9). Aplikace modelů ARFIMA a časové řady absoluích hodo akciových výosů vedla ke zjišěí, že pořebý řád frakcioálího diferecováí d se pohybuje v rozmezí 0,3 (Komerčí baka) až 0,24 (Uiperol). U časových řad 5deí volailiy čiily ypické hodoy d 0,4, zaímco u časových řad 0deí volailiy kolísaly v rozmezí 0,7 0,35. Použií bilieárích modelů bylo ué ve všech případech akciových výosů, v případě 5deí volailiy pouze v jedom a u 0deí volailiy ve řech případech. Nejvyšší hodoy Hursova expoeu vykazovaly časové řady výosů akcií ČEZ a Uiperol, což je v souladu s jejich celkovým růsovým redem. Lieraura [] BOLLERSLEV, T., 986: Geeralized Auoregressive Codiioal Heeroscedasiciy. Joural of Ecoomerics, 986, 3, s

7 Aca Oecoomica Pragesia, roč. 5, č., 2007 [2] HAMILTON, J., 994: Time Series Aalysis. Priceo, Priceo Uiversiy Press, 994. [3] HOSKING, J., 98: Fracioal Differecig. Biomerika, 98, 68, s [4] TSAY, R., 2002: Aalysis of Fiacial Time Series. New York, Wiley, [5] PETERS, E., 994: Fracal Marke Aalysis. New York, Wiley, 994. Modelováí časových řad akciových výosů Jiří Trešl Dagmar Blaá Absrak V předložeé sudii jsou aplikováy vybraé meody aalýzy fiačích časových řad a deí výosy ejlikvidějších akcií a českém kapiálovém rhu. Ve věšiě případů jsou symerické GARCH(,) modely zcela posačující. K modelováí časových řad absoluích hodo výosů a jejich volailiy slouží modely ARFIMA, umožňující zachyi dlouhou paměť geerujících procesů. Jiou možosí je použií bilieárích modelů, keré se ukazují bý vhodé zejméa pro výosy. Vypočeé hodoy Hursových expoeů sigalizují v ěkerých případech edeci ke vořeí cyklů (ČEZ, Uiperol). Klíčová slova: fiačí časové řady; akciové výosy; GARCH modely. Modellig of Sock Reurs Time-Series Absrac I he sudy submied, seleced mehods of fiacial ime-series aalysis are applied o daily reurs of he mos liquid socks a Czech capial marke. I mos cases, symmeric GARCH(,) models are quie saisfacory. Furher, ARFIMA models eablig o cach log memory of uderlyig processes are suiable for he modellig boh absolue values of reurs ad heir volailiy. Aleraive posibiliy is o employ biliear models, which prove o be suiable amely for reurs. Hurs expoes compued sigalize some edecy o cycles creaio i some cases (ČEZ, Uiperol). Key words: fiacial ime-series; sock reurs; GARCH models. JEL classificaio: C22 20