Úvod do analýzy časových řad

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do analýzy časových řad"

Transkript

1 VŠB TU OSTRAVA, FEI, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Úvod do lýz čsových řd [Zdeje podiul dokueu.] Mri Lischová

2 Popis čsových řd Čsová řd je uerická proěá, jejíž hodo podsě závisí čse, v ěž bl získá (posloupos chroologick uspořádých pozorováí). Čsové okžik, kd bl d získá, jsou od sebe věšiou sejě vzdále. Jde příkld o poč vrobeých předěů v jedolivých ěsících, poč uoobilových ehod Brdovské osě v jedolivých ěsících, deí produkce lék Veselé kráv. Popis poocí popisých sisik (krbicové grf, se & lef) poskuje dobrou předsvu o vlsosech čsové řd jko jedoho celku d, le eposkuje iforce o její čsové vývoji (dojivos kráv Milk). Zákldí poj Čsové řd lze klsifikov podle růzých hledisek, př.: podle chrkeru d, jejichž hodo voří čsovou řdu čsové řd iervlové - d závisí délce iervlu, kerý je sledová (př. ěsíčí výrob ceeu v ČR) čsové řd okžikové - d se vzhují k určiéu okžiku (poče zěs.v podiku v r (viz. Př..3)) podle periodici, s jkou jsou d sledová čsové řd údjů ročích čsové řd krákodobé podle druhu sledových d čsové řd bsoluích ukzelů ěsíčí výrob ceeu čsové řd odvozeých chrkerisik př. čsová řd kuuliví (kuálí sv výrob ceeu) Mri Lischová Sr

3 Očišěí čsové řd o důsledk kledářích vricí Chcee-li porováv jedolivé hodo u iervlových krákodobých čsových řd, usí se o hodo vzhov ke sejě dlouhý čsový iervlů. Očišěí ěsíce sdrdí ěsíc o délce 3 dů údj z kždý ěsíc se vdělí poče dů v ěsíci vásobí se 3, souče ěsíčích údjů z rok poo odpovídá roku o délce 36 dí sdrdí ěsíc o délce 365/ dů souče ěsíčích údjů z rok odpovídá délce roku 365 dí očišěí prcoví d provádí se obdobě jko očišěí ěsíce Shrováí údjů čsových řd iervlové řd shrováí se provádí poocí prosých součů ebo rie. prů. okžikové řd shrováí se provádí v přípdě sejých vzdáleosi ezi jedolivýi okžik poocí prosého chroologického průěru, v přípdě esejých vzdáleosi poocí vážeého chroologického průěru Nechť čsový okžiků,,, odpovídjí hodo čsové řd,, : Prosý chroologický průěr:... Vážeý chroologický průěr: Mri Lischová Sr 3

4 Zákldí chrkerisik čsových řd Chrkerisik, keré si dále uvedee vždují sejou délku čsových iervlů v iervlových čsových řdách ebo sejé vzdáleosi ezi okžik zjišťováí v okžikových čsových řdách. Absoluí přírůsk =, =,3,, =, = 3,4,,, d. Průěrý bsoluí přírůsek = = = Reliví přírůsk δ = =, =,3,, Koeficie růsu k,3,..., Průěrý koeficie růsu k k k k 3... Př. : Měsíčí výrob ceeu v ČR běhe roku 99 voří čsovou řdu 536, 384, 77, 789, 87, 798, 87, 86, 87, 765, 675, 358 (v is. u). Pro účel srováí ěsíčí produkce ceeu sesve čsovou řdu produkcí pro sdrdí ěsíc o délce 3 dů 365/ dů. Řešeí: Pro očišěou výrobu v ledu plí (výchozí i očišěé údje jsou uvede v ásledující bulce): ) sdrdí ěsíc o délce 3 dů ,7 3 Mri Lischová Sr 4

5 b) sdrdí ěsíc o délce 365/ dů , 3 Pro dlší ěsíce provedee očišěí podobě. Měsíc Výrob Poče dí v ěsíci Výrob z 3 dů Výrob z 365/ dů Lede Úor Březe Dube Kvěe Červe Červeec Srpe Září Říje Lisopd Prosiec Př. : N zákldě údjů ásledující bulk určee průěrou ročí výrobu s v ČR v leech : Rok Výrob s (is. u) Řešeí: Jedá se o iervlovou čsovou řdu. Pro výpoče průěré výrob s použijee prosý rieický průěr: is.u živé hoosi 5 V leech se v ČR vrobilo průěrě 54 is. u s ročě. Mri Lischová Sr 5

6 Př. 3: V ásledující bulce jsou uvede údje o poču zěsců určiého podiku. Určee průěrý poče zěsců v podiku v roce 99. Du Poče zěsců Řešeí: Jedá se o čsovou řdu okžikovou. Proože ezi jedolivýi okžik jsou sejě dlouhé čs. iervl, použijee pro výpoče prosý chroologický průěr Průěrý poče zěsců v r. 99 bl 4,5. 4,5 Př. 4: Určee průěrý poče obvel ČR v leech 98 99, áe-li k dispozici ásledující údje: Rok Poče obv. (is.) Řešeí: Jedá se o čsovou řdu okžikovou. Proože ezi okžik zjišťováí jsou iervl esejé délk, použijee pro výpoče průěrého poču obvel vážeý chroologický průěr = 337,7 Průěrý poče obvel ČR v leech bl cc.,3 ilióů. Př. 5: Pro čsovou řdu hodo průěré ěsíčí zd prcovíků sáího družsevího sekoru árodího hospodářsví v ČR v leech (69, 757, 88, 858, 9, 944, 35, 338, 347) vpočěe: Mri Lischová Sr 6

7 ) bsoluí přírůsk průěrý bsoluí přírůsek, b) koeficie růsu průěrý koeficie růsu, c) druhé diferece. Řešeí: k , , , , , , , , ,35 4 d) Absoluí přírůsk jsou uvede ve řeí sloupci bulk (př ) Průěrý bsoluí přírůsek: 6, 67 Průěrá ěsíčí zd soupl v leech prů. o 6,-Kč z rok. db) Koeficie růsu jsou vpoče ve čvré sloupci bulk 757 (př. k 98, 4 ) Průěrý koeficie růsu: k 9, 69 Průěrá ěsíčí zd soupl v leech v průěru o,%. dc) Druhé diferece (bsoluí přírůsk. řádu) jsou vpoče v páé sloupci (př. 983 = 5 65 = 4) Mri Lischová Sr 7

8 Rozkld čsových řd V éo čási bude ší shou rozloži čsovou řdu souče (ebo souči) ěkolik složek, z ichž kždá bude podsě jedodušší bude í jsou ierpreci. Těio složki budou: Tred D Sezóí složk S Cklická složk C Náhodá složk E Budee-li se sži rozloži čsovou řdu {X } souče složek, budee předpoklád, že ho lze zps ve vru: X = D + S + C + E Touo způsobu rozkldu čsové řd říkáe diiví rozkld. Tred Odráží dlouhodobý vývoj (obvkle růs ebo pokles, le obecě eusí bý o složk ooóí) dého procesu. Co je dlouhodobé? (růs eplo běhe de z pohledu lžře, zeědělce, eeorolog). Sezóí složk Odráží periodické zě, keré se ohou v dé řdě projevov, jejich period je svázá s kledáře (jí periodu jedu hodiu, jede de, ýde, ěsíc, rok, soleí ). Velký výz v ekooii, eeorologii Cklická složk Odráží periodické zě, keré se ohou v dé řdě projevov, jejichž period eodpovídá délce ějké kledáří jedok. V echických vědách se sezóí složk obvkle euvžuje všech periodické jev se zhrují do cklické složk. Náhodá (reziduálí) složk Zbývá v čsové řdě po odsrěí redu, sezóích cklických složek. Mri Lischová Sr 8

9 Je voře áhodýi flukucei, keré ejí žádý sseický chrker. Ndále budee prcov vžd s áhodý procese s ěkerou jeho relizcí. Pro odlišeí budee čsové řd ozčov velkýi píse (př. X ) jejich kokréí relizce lýi píse (př. x ). Zlos kždé jedolivé složk á uoží příkld lepší odhd vývoje dého procesu do budouc (predikci). Hledáí redu Všech eod hledáí redu vcházejí z podobé předsv. Uvžuje čsovou řdu X jko souče ějkého redu zbkového (reziduálího) procesu. Ted X = D + E. Tredovou složku se budee sži vjádři poocí ějké křivk závislé ěkolik álo prerech. Chcee-li odhdou hodou redu v ějké čsové okžiku, usíe eliiov vliv šuu. Přehled ejběžějších redových křivek Lieárí red D,,..., Odhd prerů, získáe eodou eješích čverců (viz. lieárí regrese). Kvdrický red D,,..., Odhd prerů,, získáe eodou eješích čverců plikovou rovici rsforovou prosředicví subsiuce i = i. Mri Lischová Sr 9

10 Mri Lischová Sr Expoeciálí red,,...,. D Odhd prerů, získáe eodou eješích čverců plikovou rovici lierizovou prosředicví logriu. Modifikový expoeciálí red D,..,, Odhd prerů provádíe eodou čásečých součů. Soubor pozorováí rozdělíe 3 sejé velké čási o délce (eplí-li = 3, vecháe ebo pozorováí zčáku) sečee pozorováí v jedolivých čásech. Odhd k, i b prerů (D = k + ) odifikového expoeciálího redu dosee řešeí ří elieárích rovic: Kždá relizce usí vhovov rovici: = k + k k k 3 3 To rovice uprvíe vr: k k k 3 odud:

11 = =+ = k Logisický red D,,...,, Proože rsforcí logisického redu vr: D získáe odifikový expoeciálí red s prer,, lze při odhdu preru plikov výše popsou eodu čásečých součů. Volb vhodého odelu redu Při hledáí ejvhodějšího pu redu vcházíe předevší z předpokládých vlsosí redové fukce, vplývjících z eoreického rozboru. Výběr usdí grfické zázorěí čsové řd. Kroě oho lze vuží esů zložeých jedoduchých chrkerisikách čs. řd (viz. íže uvedeá bulk). Tred Tes Lieárí Prví diferece přibližě kosí Kvdrický Druhé diferece přibližě kosí Expoeciálí Koeficie růsu přibližě kosí Logisický Křivk prvích diferecí se podobá křivce huso orálího rozděleí Při rozhodováí ezi ěkolik p redových fukcí je vhodé porov hodo ěkerých ásledujících chrkerisik. Mri Lischová Sr

12 Sředí chb odhdu eboli průěr hodo reziduí M. E. = = Y Sředí kvdrická chb odhdu eboli průěr čverců reziduí M. S. E. = = Y Sředí bsoluí chb odhdu eboli průěr bsoluích hodo reziduí M. A. E. = = Y Sředí chb proceuálí eboli průěr hodo reziduí děleých odpovídjící hodoou čsové řd (v proceech) M. P. E. = Y = Sředí bsoluí chb proceuálí eboli průěr bsoluích hodo reziduí děleých odpovídjící hodoou čsové řd (v proceech) M. P. E. = Y = Z uvedeých kriérií se ejčsěji používá průěr čverců reziduí M.S.E. Obecě dáváe předos odelu, u ěhož je hodo M.S.E. ejižší. Př. 6: Pro čsovou řdu hodo spořeb s (v kg) obvele v ČR v leech 98 ž 989 (viz. b.) vpočěe průěrý ročí přírůsek spořeb s ) poocí krjích hodo čsové řd, b) poocí vrováí regresí příkou. c) Odhděe velikos spořeb s v r. 99 z předpokldu, že se dosvdí chrker čsové řd ezěil. Mri Lischová Sr

13 Řešeí: Rok 98 83,9 83, ,8 4 75,6 3, ,7 9 66,, , ,, , ,, , ,, , 49 67,7, , ,,3 souče 36 78, ,7 x 97,4 83,9 ), 93 7 Velikos spořeb s v r. 99 lze odhdou 99,33 (97,4+,93) kg/obvel. b) Vzhlede k ou, že hodo prvích diferecí lze povžov z sálé (evkzují i rosoucí, i klesjící edeci), ůžee použií lieárího odelu povžov z opodsěé. Aplikujee eodu eješích čverců:. Souče čverců reziduí Souče čverců reziduí iilizujee: = = Dou sousvu uprvíe vr: = = Řešeí lezee ve vru: = = Mri Lischová Sr 3

14 Po doszeí: , , ,3 36, ,86,8 D 8,86, 8 [kg] Spořeb s Yˆ 9 D9 8,86,8.9 99, Velikos spořeb s v roce 99 lze odhdou 99, kg/obvele. Mri Lischová Sr 4

15 Př. 7: Uvžuje čsovou řdu (viz. b.) udávjící spořebu ásl (v kg) obvele ČSFR v leech Vroveje dou řdu prosředicví kvdrického redu. Odhděe spořebu ásl v roce 99. Řešeí: Použijee eodu eješích čverců plikovou rsforový odel víceásobé regrese. Rok = = = = 3 = 4 = = 98 8,3 8,3 8,3 98 8, ,8 33, , ,7 79, , ,4 37, , ,, , ,8 36, , ,9 46, , ,6 556, , ,4 696, ,5 85, 85, 99 8, ,7 5,7 souče 66 94, ,6 4377,9 Původí rovice: Subsiuce: =, = Souče čverců reziduí: Miilizce: Po úprvě: = = = = Mri Lischová Sr 5

16 = = V řešeí éo sousv (ři rovice o řech ezáých) spočívá práce sisických progrů určeých k zprcováí čsových řd (přesěji, k hledáí kvdrických redů). [kg] 9 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,4 8,3 8, Spořeb ásl D 8,3,6, Spořebu ásl v roce 99 odhdee prosředicví redu jko D. D = 8,3 +,6. --,. = 8,4 kg / obvele. V roce 99 odhdujee spořebu ásl 8,4kg/obvele. Př. 8: Pro čsovou řdu růsu zisku (v is. dol.) důlí společosi (viz. b.) v prvích šesi leech, určee průěrý koeficie růsu: ) poocí krjích hodo čsové řd, b) poocí vrováí expoeciálí rede. c) Odhděe zisk společosi v ásledujících dvou leech. Mri Lischová Sr 6

17 k l( ).l( ) 4,7 4,7 49,33 4 5,, 3 38, ,47 6, , ,87 3, , ,36 3, , ,77 4,6 souče 3 x 9 34,9 7,3 Řešeí: 867 ) Průěrý koeficie růsu: k 5, 56, o zeá že zisk společosi se kždý rok zvýšil průěrě o 5,6%. Předpověď pro 7.rok: Y 7 = 867.,56 = 35,7 Předpověď pro 8.rok: Y 8 = 867. (,56) = 966,387 b) Vrováí čsové řd expoeciálí fukcí: Koeficie růsu evkzují i rosoucí i klesjící edeci, ůžee je ed povžov z kosí, j. ůžee použí expoeciálí odel redu. D Pro lezeí koeficieů rsforujee dý odel prosředicví logriu použijee eodu eješích čverců. l = l + l b = l b = l Souče čverců reziduí: l b b Miilizce: l b b = l b b = Mri Lischová Sr 7

18 Po úprvě: l b b = l b b = Řešeí sousv: b = b = l b l l = e b = e b Řešeí pro kokréí přípd: b b 6.7,3.34, ,9,4. 6 4,3,4 4,3 e,4 e 68,7,5 D 68,7., 5 [is. $] Zisk důlí společosi Rok Odhd zisku společosi v roce: D 68,7.,5 7 88, 7 8 D8 68,7.,5 958,9 Mri Lischová Sr 8

19 Př. 9: Obje dovozu ze zeí bývlého Sověského svzu je dá čsovou řdou (viz. b.) udou v ilirdách Kč. Předpokládeje, že se jedá o odifikový expoeciálí red. Odhděe jeho prer velikos dovozu v roce 999. Rok 99 57, 99 6, , , , , , , ,6 Řešeí: Odhd prerů eodou čásečých součů (odvozeí viz. Modifikový expoeciálí red): D k = =+ = k , 6,8 7, 9, Mri Lischová Sr 9

20 ,5 9,6 97, 7, 99,9,4,6 3,9 3,9 7, 7, 9, 3 =,733,733,733 3,733 7, 9, = 77,3 3,733 9, 77,3.,733,733 k 3 6,94 [ilird Kč] Obje dovozu Rok D 6,94 77,3., 733 D 6,94 77,3.,733 3,5 Odhd dovozu ze zeí bývlého Sověského svzu v roce 999 je 3,5 ilird Kč. Mri Lischová Sr

21 Klouzvé průěr Jiou eodou hledáí redu je vhlzeí původí čsové řd, j. odsrěí šuu. Jedou z ěcho eod je eod klouzvých průěrů, kd se řd původích pozorováí hrdí řdou vpočeých klouzvých průěrů. To eod je dpiví, z. dokáže prcov s rede, kerý v čse ěí svůj chrker kerý ed elze pops jediou křivkou. Klouzvý průěr je určiou lieárí kobicí p+ čleů původí řd. Čí věší je délk klouzvého průěru, í věší je vhlzeí čsové řd. V přípdě, že zvoleá délk klouzvého průěru je lichá, získáe jejich hodo jko občejé rieické průěr dé délk (prosé klouzvé průěr). Prosé klouzvé průěr Úsek čsové řd o délce p+ vrováe k, že je hrdíe prosý rieický průěre. p p p... p p i p, p,..., p p p i p p hodo zčáku p hodo koci čsové řd zůsává evrováo. Sudá délk klouzvých průěrů se volí je veli zřídk. V přípdě, že délku klouzvých průěrů zvolíe rovu p, používáe zv. cerových klouzvých průěrů. Cerové klouzvé průěr = 4p p + p p + +p = p +,, p Mšlek ohoo vrováí je prosá. K ou, b vrová hodo odpovídl déu období, pořebujee lichý poče čleů v klouzvé průěru. Te získáe ejlépe k, že íso prvího čleu v klouzvé průěru vezee průěr prví posledí hodo dé period.ted klouzvé průěr jí vr = p + +p + p p+ p = 4p p + p p + +p Mri Lischová Sr

22 Př. : Čsová řd (viz. b.) udává ročí obje vývozu piv (v il. l.) z ČSFR v leech 98 ž 99. Vroveje čsovou řdu 3-čleýi 5-čleýi klouzvýi průěr. Řešeí: Rok 3-čleé klouzvé průěr 5-čleé klouzvé průěr , ,333 8, , ,667, , ,333 94, ,333 88, ,333 87, ,333 4, čleý klouzvý průěr v roce 98 = 8, čleý klouzvý průěr v roce 98 = 5, čleý klouzvý průěr v roce 98 = 8, 6 5 d. Volb délk klouzvých průěrů U eperiodických čsových řd se ejčsěji používjí průěr délk 3, 5, 7. Pokud chcee z ší čsové řd odsri sezóí vliv (př. kolísáí hodo běhe ýde, ěsíce ), vužíváe klouzvých průěrů s délkou rovou délce sezóího období. Mri Lischová Sr

23 Čsová řd vrová 3-čleýi klouzvýi průěr Př. : Čsová řd 485, 477, 455, 47, 453, 45, 46, 436, 454, 485, 493, 454, 443, 48, 44, 449, 45, 393, 377, 369, 388, 36 předsvuje ýdeí údje popávk po určié výrobku. Zázorěe grfick vrováí 3-čleýi 5-čleýi klouzvýi průěr. Řešeí: D Kl. průěr délk3 Kl. průěr délk Př. : V ásledující bulce jsou ěsíčí údje ákupu lék v ČR (v il. l) v leech Vroveje čsovou řdu klouzvýi průěr. Mri Lischová Sr 3

24 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Řešeí: D Kl. průěr délk i čleé klouzvé průěr Jelikož se zřejě jedá o čsovou řdu se sezóí složkou s periodou, zvolíe k vrováí -i čleé klouzvé průěr. (p = 6) Npř. hodou 7 určíe jko Prvích 6 posledích 6 hodo zůse evrových. = 36,5 d. Mri Lischová Sr 4

25 Poče bsolveů oboru zeědělsví D Klouzvé ediá délk ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Meod Kočák (vrováváí koců čs. řd) Jk jse se již dříve dozvěděli, vrováe-li čsovou řdu klouzvýi průěr (ediá) o délce p+, prvích posledích p hodo zůsává evrových. Jedou z ožosí jk koce čsových řd vrov je zkopírováí posledích vrových hodo. Poče bsolveů oboru zeědělsví D Klouzvé ediá délk 5 Z uvedeého grfu je zřejé, že eo způsob vrováváí koců eí ejvhodější. Rozuější způsobe se ukzuje posup KONČÁK. Vrová hodo v posledí čsové okžiku ( ) b ěl odráže chováí čsové řd v iulosi i příoosi předvíd její chováí v budoucosi. Reprezee příoosi je hodo ěřeá v čse ( ), reprezee iulosi je posledí vrová hodo (v čse - ). Jko repreze budoucosi se bere hodo odhdující chováí v čse +. To je příkld hodo prožeé úsečk spojující vrové hodo v čsech - -. Hodo éo úsečk se bere v čse +. Jko vrovou hodou v čse pk beree průěr (edi) z reprezeů iulosi, příoosi budoucosi. Vrováváí počáku čsových řd se provádí obdobě. (Ukže!) Př. 3: Vroveje koce čsové řd z příkldu. eodou Kočák. Použije klouzvé ediá délk 5. Mri Lischová Sr 5

26 Řešeí: Rok 5-čleé klouzvé edi ) Vrováí koce: Repreze 99 =35 příoosi: +*7=45 Repreze, 989= iulosi: 94-94=7 Repreze budoucosi: Repreze 99 =7 příoosi: 35+*4=83 Repreze, 99=35 iulosi: =4 Repreze budoucosi: Mri Lischová Sr 6

27 b) Vrováí počáku: Repreze 98 =4 Repreze, 98=8 příoosi: iulosi: 8+*= 8 8-6= 6 Repreze budoucosi: Repreze příoosi: 98 =5 Repreze iulosi:, 98=8 8 Repreze budoucosi: * Vrováí koců čsových řd D Kopírováí koců Posup Kočák Mri Lischová Sr 7

28 * Lierur:. J. Aděl: Sisická lýz čsových řd, SNTL, Prh, 976. Výukové eriál SPSS: Alýz predikce čsových řd, 3. V. Roglewicz: Sochsické proces, ČVUT, Prh, E. Jrošová: Sisik B, VŠE, Prh, J. Housek, P. Chrz: Moderí eod zprcováí d,grada, Prh, 99 Mri Lischová Sr 8

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýz časových řad Doc.Ig. Jaa Hačlová, CSc. Kaedra maemaických meod v ekoomice Ig. Lubor Tvrdý Kaedra regioálí ekoomik Ekoomická fakula, VŠB-TU Osrava Osrava, 003 - - Úvod do aalýz časových řad

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýzy časových řad Obsah Úvod... Teoreické základy pro aalýzu časových řad.... Základí pojmy..... Druhy časových řad..... Grafická aalýza.....3 Popisé charakerisiky... 4. Základí úpravy časových

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu 4. eziárodí koferece Řízeí a odelováí fiačích rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekooická fakula, kaedra Fiací.-. září 8 Meody odhadu popávky a abídky v podíkách erovovážého odelu Pavla Vodová Absrak Cíle ohoo

Více

Křivky 2D. Klasifikace křivek (1) Klasifikace křivek (2) Navazování a spojitost křivek. Přednáška 8

Křivky 2D. Klasifikace křivek (1) Klasifikace křivek (2) Navazování a spojitost křivek. Přednáška 8 Předáš 8 Křv D Žár, J., Beeš, B., Felel, P. Moderí počíčová grf. Compuer Press, Bro, 998. ISBN 8-76-49-9. Cee, P. Počíčová grf. Srp Uverz Prdubce, 999. ISBN 8-794-9-4. Klsfce řve ( Podle prosoru D D Podle

Více

Vývoj a analýza ceny lahvového piva v České republice

Vývoj a analýza ceny lahvového piva v České republice Medelov zemědělská lescká uverz v Brě Provozě ekoomcká fkul Úsv ssky operčího výzkumu Vývoj lýz cey lhvového pv v České republce Bklářská práce Vedoucí práce: Mgr. Keř Myšková Jméo příjmeí uor: Mrké Pejchlová

Více

Analýza světla odraženého tenkým kmitajícím zrcadleěm s použitím MATLABu

Analýza světla odraženého tenkým kmitajícím zrcadleěm s použitím MATLABu Alýz svěl odžeého eký kijící zcdleě s požií MATLAB A.Mikš J.Novák ked fzik Fkl svebí ČVUT v Pze Absk Páce se zbývá eoeicko lýzo vibcí ekého oviého zcdl khového půřez vlive defocí kovéhoo zcdl svělo odžeé

Více

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť Sík úloh z tetik po 9.očík I. Loeé výz ZŠ Třešť . Loeý výz je zloek. Jeovtel zloku e eí ovt ule. U loeých výzů učujee vžd podík, po kteé á loeý výz l. Řešeý příkld Uči podík, po kteé jí výz l, řeš dlší

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

10 Transformace 3D. 10.1 Transformace a jejich realizace. Studijní cíl. Doba nutná k nastudování. Průvodce studiem

10 Transformace 3D. 10.1 Transformace a jejich realizace. Studijní cíl. Doba nutná k nastudování. Průvodce studiem Trnsformce 3D Sudijní cíl Teno blok je věnován rnsformcím 3D grfik. V eu budou popsán ákldní rnsformce v prosoru posunuí oočení kosení měn měřík používné při prcování 3D modelu. Jednolivé rnsformce budou

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

ř ě ě š ř ů ř ěž ú ěž ú ú Č ě Ú š ž ú ž ě ě ř ž ě ú ů ě ř š ž ú ě š ž ě ů š ě ř ě Ú ř ě ř ě ř ě ě ř š ž ž ř ě ť ř ě ů š ř š ě ě ř š ď ů ř ř ž Ž ř ě ž ř ě ř š ř ě ř ř ů ř ž ř ř ř ě ě š ž ř ě ě ž ž ř ž š

Více

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3 No. Michl Hlváček Difuse echoloií 200/3 . Úvod Hospodářský vývoj ve svěě proděll v posledích páci leech ěkolik změ, přičemž ekoomická eorie ě věšiou v odpovídjící míře ereovl. Trdičí ekoomické eorie, keré

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

ť í ď Á Í Á č ď ž Á ž ť á ě Ý ž ť ť ť ť Ť á é ť ť č ě č č ě é č š ŠÁ š á Š Á Ž í á é ě ž č Í ě í ě á í Ž é í č č ší ě š á š ě í é é í č á á á á Ž á á í Í á Ž á á č č á á é ě š ě í ž é á ě í š ě ě Ž ě ďší

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1.1.20 Sbírka na procvičení vztahů mezi veličinami popisujícími pohyb

1.1.20 Sbírka na procvičení vztahů mezi veličinami popisujícími pohyb 1.1.20 Sbírk n procvičení vzhů mezi veličinmi popisujícími pohyb Máme ři veličiny popisující pohyb dv vzhy, keré je spojují nvzájem. s v = Rychlos je změn dráhy z změnu čsu (rychlos říká, jk se v čse mění

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů:

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů: Algeicé ýz Výz = ždý zápis, eý je spáě oře podle zásd o zápisech čísel, poěých, ýsledů opecí, hodo fcí. Npř. π,,... Výz číselé s poěo Výzo spi oří loeé ýz s ezáo e jeoeli ( sí ý ede podí, ýz á ssl poze

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Souhrn vzorců z finanční matematiky

Souhrn vzorců z finanční matematiky ouh zoců z fčí ey Jedoduché úočeí polhůí předlhůí loí yádřeí Výpoče úou Výpoče úou poocí úooé szby Výpoče úou poocí úooých čísel úooých dělelů Výpoče úou součoý zoce oečý pál př edoduché polhůí úočeí oečý

Více

6. Optika. Konstrukce vlnoploch pro světlo:

6. Optika. Konstrukce vlnoploch pro světlo: 6. Opi 6. Záldní pojmy Těles, erá vysíljí svělo, jsou svěelné zdroje. Zářivá energie v nich vzniá přeměnou z energie elericé, chemicé, jderné. Zdrojem svěl mohou bý i osvělená ěles (vidíme je díy odrzu

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

ý ý ž ž š š ě ě ě ě ě ě ž Á ť ě ý ý ý Ú ý ž š ý ý ž ý ž ý ž Š ě ý ž ý ž Í ý ž ě ž ě ý ú ě ě ý ý ě ě ý ě ú ů ý ž ě ú ú ě ý Ú š ú ů ýš ů ě ú š š ý Ú š ý ě ďě š ú ž Š ě ú Š ě Ť ž ú š ú ž ú ě ě ť ě ý ú ě ž

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

ř Ř Š Í í ž í ří ó ří ó Í Í Í Á Í í í č í ř í č í č š íš ěž ú í č Á Ě í čí ě ě Ž Í žď Ď č čí í ú ž Ř Á Á Í ř íš í ž í ž ř č í č í čí ř í č ří š č ří ó č ě č í ó ž ě í ě ě í í ň ď í ž č íč í č í ří š čí

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Kinematika hmotného bodu

Kinematika hmotného bodu DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Kinemik hmoného bodu Obsh Klsická mechnik... Vzžný sysém... Polohoý ekor... Trjekorie... Prmerické ronice rjekorie... 3 Příkld 1... 3

Více

Ť č č š Í š ž ň č ŘÍ Í š ť č Í Ž Ž Ž ť Í É ť ž ž Ť ž ř č č č ž Ž Ť Ť ň š ž Ť Ý ž Ť Ť Ť š Ť Ť č Ť ú Ť Ť ň Ť š ť č č ť Š ť Ť č ň š Ť š Ť Ť š Ť Ž č Ť šť č č č č š š č Ť č ž š ž Ž č Í Í ť ž Ť ž Ť č Ť č Ž Ť

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

č É Á Á Í š Ě š š Á ú ř í ř í í č ě ě í ě š č é í í ž ě é Í ůž í ě í ší í ě é ě í š Ř š é š ě é í Č ť í Ý ř í č š ď í Č í í š ř ě í é Á í ě ě č ě ě ž ž í Š Í ě ě š ě é ů é ž é é ž ž ů š ě ů é ž č í ž ě

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

Tento dokument je obsahově identický s oficiální tištěnou verzí. Byl vytvořen v systému TP online a v žádném případě nenahrazuje tištěnou verzi.

Tento dokument je obsahově identický s oficiální tištěnou verzí. Byl vytvořen v systému TP online a v žádném případě nenahrazuje tištěnou verzi. ěř á ů ě ý ů Á Í Í Č Č ÚČ Í č é ř ěř á ů ě ý ů Í Á Ú ÍČÁ Ě Á É Ú Š Č ý Ř ŘÍ Á ŽÍ Íš Č ý Ř Ř Ř Ž Í Í Ř ŘÍ Š č ý Ř Ů Á ĚŘÍ Č é ř ěř á ů č Ý ů Ú Í ČÁ š ě ř ů ě ý ř é Í áž ě ř č á á á ě é ů ř žš ř ě ů ě é

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie

Více

ůř Í ý Í Ť ý Á Ž Í Á ť Í ť ý ť Ť ě č ě Š ř ú ý š Č ř č ď ř Á Í Í ě ě ř ó ě č ř č ě ř š ě Á Í č ě Í Í Č É ě Š Í Č ě Í ě ů ů ů Č ý ú Ž ří Á Ý Í Á ÍČ ŽÍ Ý Ů ě č ě ě ě ř ě ě ó ž ž ě ýš ě ě ó ě ř ú ě ďý ě Ú

Více

í Ž é á é é ě í ě í ů ž é ší é í í í ž é ŽÍ Í ě á ř á é ě á í é Ú áří Í ě ž í í í í ě á š é ý ě ř í á é Ž ží á é ř Í Ší ů č í á č é é í í Ž š ř í č í ř áší ŠÍ úž é ý ěž ří č ý í Í ú é ř ě í ě ý ů ů é ž

Více

ř á á ü č ů á ř ř á ě ř ý á á ě á á ř á Č á á á ě řč á Č á ě á ř ř á ě ý ů á ě ř á á Ř Ě Ě Ř É Á ř á á ř ř á á Ž ř ř ř ě ě ř á á ě ěá ě ř á á ě ě ě ěá ř ě ě ř á á čá ř ě ě ř á ý ů č ě šíř č Š á ř á á

Více

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investiční činnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Ivesičí čios Exisují růzá pojeí ivesičí čiosi: Z pohledu ekoomické eorie Podikové pojeí ivesic Klasifikace ivesic v podiku 1) Hmoé (věcé, fyzické, kapiálové) ivesice 2) Nehmoé (emaeriálí) ivesice 3) Fiačí

Více

ý á ó íž á ýř č Č á ě č ř ú é ě é é ó ý ž ý ďúč ý á ě ý ž í ó ě ě š á áš í ý í ř á é á š á ó ě čí č ě á í ž á á Ž š á ě ž ř á č é š ě é ě ř ř š ší É š ěž ý ří ý ř š ý š ý ěý š ý ý ý ž č ř č ó ř ě í ř í

Více

í í ý ý ý é íš ů ý í á ě í ří áš ý í ě í í ý ý ý á íš á í Ží á á ů í á í á é á é Č ů é é é á í š ě Ž Č ů ř í á ášť á ě á ř í Č áš á ě á é ř ý í é á ý ě ý š í ý ší í í á ř á í í í ý ě ř š í í Ž í é ř š

Více

ž Á Ů Í Í č ž š ě š š ě Í ť ž š č š š ž ž č Í š č ě ě č Í č š č ě ž ž č Í ě š ě ěž š ě š č š ž ě š ěž Í ě ě ž ě ž ž Í č ě Š ž Í ě š ě ž ž ě ě ě ě ť ě Ť ž ž Ť č ě Ť š ž č ž ž ě ž Ť ž ž č Ť š ě ž ě ž ž ě

Více

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák

Základy teorie chyb a zpracování fyzikálních měření Jiří Novák Zálad eore chb a zpracováí zálích měřeí Jří ová Teo e je zamýšle jao pomůca pro vpracováí laboraorích úloh z z Je urče pouze pro sudjí účel a jeho účelem je objas meod zpracováí měřeí Chb měřeí Druh chb

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

ODRAZ A LOM SVTLA. Odraz svtla lom svtla index lomu úplný odraz svtla píklady

ODRAZ A LOM SVTLA. Odraz svtla lom svtla index lomu úplný odraz svtla píklady ODRAZ A LOM SVTLA Odraz svtla lo svtla idex lou úplý odraz svtla píklady Každý z Vás se urit kdy díval do vody. Na klidé vodí hladi vidl kro svého obrazu také kaey ebo písek a d. Na základí škole jste

Více

é é í č é í ě í é é ř í í í ší č ý í í č ý š ě í říň ě é é í ě ů ý ž ů á í í ě č ž ří ř á í úč á č é ř í ž ě čá í á ž í ž ř é ý ý š ě č ř íň Č éř ř é í ýš ý í é ž í ů ý í ý ý ý ší é é í í ž á á í í é č

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x)

v. Úkolem regrese (vyrovnání) argumentu y je nalézt vhodnou regresní funkci Y f (x) 9 REGRESE A KORELACE Slovo regrese oecě zmeá poh zpět ústup ávrt regresví = ustupující Opčým termíem je progrese pokrok postup šířeí růst Pojem regrese l do sttstk zvede kocem 9 století rtským učecem Frcsem

Více

á í ř í č é á é Č é ó š ř č Ť ř ů ž í čů Č á č á á č á ů Č žá í žá í ú Š í é ř Č ř č á í žá ě é ří ř Ř á žá á í ě žá é á ě ů š ěží žá í ří á á áž ě žá í žá í á ě á í ř ť Č ř č ří ří č í žá í á ďě ř ž á

Více

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy

6 Algoritmy ořezávání a testování polohy 6 lgorim ořezáváí a esováí poloh Sudijí íl Teo blok je věová problemaie vzájemé poloh grafikýh primiiv, zejméa poloze bodu vzhledem k mohoúhelíku včeě jedolivýh speifikýh varia jako jsou čřúhelík, jehož

Více

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu

EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu EKONOMETRIE 6. přednáška Modely národního důchodu Makroekonomické modely se zabývají modelováním a analýzou vzahů mezi agregáními ekonomickými veličinami jako je důchod, spořeba, invesice, vládní výdaje,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

í éž í ě í ú ů ú í Í š ě í í ě ě š í ž Ó š ý č š ě ě ú ď ě Á Á Á Í š ž ě ě ž í í š š š š ú ť ž é ž ě í č ý é ď ý ž ě š ž ž ě ž ž í ě ž č ú í ž ý ý ý š š č ě š ý ě ý š ě ě š ě č é í ý ě Ž ý č ě ě í ú ě

Více

Obecná chemie. Jan Sedláček, Miroslav Štěpánek, Petr Šmejkal

Obecná chemie. Jan Sedláček, Miroslav Štěpánek, Petr Šmejkal Oecá chee J Sedláče rolv Šěpáe Per Šel Sechoercé výpoč Aoové ádro 3 Eleroový ol ou 4 Checá v 5 Opcé vlo láe 6 Speroope 7 Supeé v láe 8. vě erod: erochee 9. vě erod: rér rovováh 0 Checé rovováh Fáové rovováh

Více

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2.

a 1 = 2; a n+1 = a n + 2. Vyjářeí poloupoti Poloupot můžeme určit ěkolik růzými způoby. Prvím je protý výčet prvků. Npříkl jeouchá poloupot uých číel by e výčtem l zpt tkto:,, 6,,... Dlší možotí je vzorec pro tý čle. Stejá poloupot

Více

č é é Á č č í ě ě Ť é Ť é í š č š ě ší í í Ť č í ě Í ž Íňí í ť č íč č í č é í ž Í í č š é é é č ňí č Ť ÍíŽ č é Ě é Č ě č ž č Ťí ž í š é é ě é ě ž í ě č ď ě Ž č í č é é ě Ťí ě ž ě ň ě í Ů ě é č é é é ě

Více

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl

Střední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti

Více

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na

CHEMICKÁ KINETIKA. Tuto rovnici lze po zavedení okamžitých molárních koncentrací C a rozsahu reakce x vyjádřeného pomocí koncentrací přepsat na HEMIKÁ KINETIK hemická kietik je část fyzikálí chemie zbývjící se způsobem rychlostí, kterými chemické rekce procházejí mezi počátečím koečým stvem. To jí odlišuje od chemické termodymiky, která studuje

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

ř ů Á Í š ť ř ž Ó ú š ů Ů ó Š ř š Č ů ř šť š š Ů Š ř š ř ČÍ š Á ř š ů ž ř ů š ď š š Ý ů š ů Áš Ě ř ž Í ů ř ř š ř š Ř ř š ď ř ž š š ř ř š ř ř ř š ř ř ř š ř ř ř ř Ů ž ž Š š š š ř ž š ř ř š ř ř ř š Ř ř ř

Více

á ší í ž í Í á í ž í á ě í á á í í ě á é í í íž ó ó áš í á í ú é á á š í ě ě ží á í ě ě é š é ě é í ú é á í í Í á š é í í ě š í ž é í ě á š í š ěš á áž é á Č ě š Č ě šší Í ě ž í áš í í Ž é ž Ž ě á í ě

Více

ěš š Č É Ý Í š ň ň ť ť Á Ř Ř Ú ú š ů Ť ů ě ě ě ů ě ě š ó ó ó Ý ěž ú ě ě ž ě Ž ů ž ú ů ž ž Ž š ž Ž ě ž ě š ě ě ě ů ě ů š š ě ú ě ě ě ě ú ů ě ů ě ů ě ě ů ěž ě ů ě Ť ž Ž šš ů ě ú š Š Ý Ž Ý Í š š Í ů ů ů

Více

č Ž ě ŘÍ Á Ž ť ř č ě ě ž ů ž ú ř ř ř š ž č ě ě Ž ř ř č ž ř š š š š ě ř ž úč ů Ž ř š Ž úč ů ě ř č Ž Č ě Ž Č Ž Ž Í ž úč š ŘÍ Č ŽÍ Á ě ěž ě ě Č Ž ú ě ů ó Ž ř ě ó š č ř ř ř ů ů ř č ž ď ř č ě ř č ř ů ž š ů

Více

É Á Ť š č č š ď Ž č š š č š š ď č Í š č ť č š ť č š č č š š č č š š č č š š š Í č č č Í Ů Ť Ó š š č š ť ť š Í š č š ú š č š ť č š č š š č Ť š č š š š š č Ů ú š š š č Ž ď š č č č č š š ť š Ů š č č č š č

Více

ý Í ť č í ý úř í á ěř ý í ří í Č í ě č á Č í ě č áš ý á ě í Č á í Č á á ě í Č á á á í š č á ž í á ě á ýš č í ří š ú ýš č ě čá č ú í š š í ů čá č í á í ří ýš č á á á í íí í Ž í á í ž í áš á á ž ý ě í ý

Více

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5

Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně Ústav konstruování. KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody. Přednáška 5 Fakula srojího ižeýrsví VUT v Brě Úsav kosruováí KONSTRUOVÁNÍ STROJŮ převody Předáška 5 Čelí soukolí se šikmými zuby hp://www.audiforum.l/ Moderaio is bes, ad o avoid all exremes. PLUTARCHOS Čelí soukolí

Více

ť á ý š í č ě í č ář í š ý ý ý ž ří á á ě ý á ě ř í ě í í í ů ě ší é ý í čí ě á í ž š á ž ň ě é ů ž ě ří á ě í ý ě í ě ě š ř í ý ý ř ů ň í áží ý í ý ů í ří ě č é ě ří ě ž é á ý ó ý á í á í ě á ů ří š í

Více

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt

OBJEKTOVÁ ALGEBRA. Zdeněk Pezlar. Ústav Informatiky, Provozně-ekonomická fakulta MZLU, Brno, ČR. Abstrakt OBEKTOVÁ ALGEBRA Zdeěk Pezlar Úsav Iformaiky, Provozě-ekoomická fakula MZLU, Bro, ČR Absrak V objekovém modelu da defiujeme objekové schéma (řídu) jako čveřici skládající se ze jméa řídy, aribuů, domé

Více

ANALÝZA VÝROBY ELEKTRICKÉ ENERGIE V ČR Bakalářská práce

ANALÝZA VÝROBY ELEKTRICKÉ ENERGIE V ČR Bakalářská práce MENDELOVA ZEMĚDĚLSKÁ A LESNICKÁ UNIVERZITA V BRNĚ PROVOZNĚ EKONOMICKÁ FAKULTA ÚSTAV STATISTIKY A OPERAČNÍHO VÝZKUMU ANALÝZA VÝROBY ELEKTRICKÉ ENERGIE V ČR Bakalářská práce Vedoucí bakalářské práce Mgr.

Více

1. Trapézový plech poloha pozitivní (betonem jsou vyplněna úzká žebra) TR 50/250-1mm. Tloušťka Hmotnost PL Ý PRŮŘEZ EFEKTIV Í PRŮŘEZ

1. Trapézový plech poloha pozitivní (betonem jsou vyplněna úzká žebra) TR 50/250-1mm. Tloušťka Hmotnost PL Ý PRŮŘEZ EFEKTIV Í PRŮŘEZ Příkld 0: Nvrhěte pouďte protě uložeou oelobetoovou tropii rozpětí 6 m včetě poouzeí trpézového plehu jko ztreého beděí. - rozteč tropi m - tloušťk betoové dek elkem 00 mm - oel S 5 - beto C 0/5 - užité

Více

ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION PARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM PRODUCT LIFE TESTS

ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION PARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM PRODUCT LIFE TESTS ESTIMATION OF DENSITY FUNCTION ARAMETERS WITH CENSORED DATA FROM RODUCT LIFE TESTS J.Tůa * Suary: The paper deals wih a saisial ehod for he evaluaio of life es resuls. I is supposed ha oly soe of he es

Více

Á Á Ě ĺ ć É Í řč Áľ Á Á ř č ě ě ě š ř ů ä č š ě ě ĺ ě ě š ř ů č č ý ě ř ý ě ě š ř ů ě š ř ž Ú š ě š ě ř Ú š ě Š ě Č ĺ č úč ě ĺ ž ě ĺ ě řč ä š ě ě ř Úř Č Í Í Č ě ří ě č úě ď Š ě ý Ú ľĺ ě ř ř ř ř š ě ř ä

Více

í í Č Á ý í ě ž ř é ž é ů é ů í ž é í ý é é é í é ě íě č ž ý č ž ě í ž ř í ž ý ě ř í í é í é é í ž ý č ž ř é í Ž ž é ří í ýš č ří ů í ž é ů ě í Ž ší ě ž í ž é ž ě ž ě í é ě ž í í Ž ž ý š Í č ý č ů é č

Více

é á í ů ů ů ů ž š áž š í ě ě ěž Ž ěž é ě č ě Ří í ří ý á ď ě Í Ý ó í řá á í é í é é ň č č á ň í é ý á ř ě č á ě š ř á é ďá ř ř á ý š á í ý ří ý Ž ď ř ě ý ů ží ě ú ě ú ů ř í Íá í í ú é í š ř ě ř ě á ř úř

Více

Ě Ý Í Č í ří í Ř ř ř ří é í í í Ž ř é ř é č ů í é é ž č é č é ž í ů é č í é é ž í í Ž Ž é ú í ř é é Íí ř ů é ž č ů ú í ů ů ú é í í č í í é ř é ů ů í é ř é í ů ž í Í é Í Ř ř ů ř ů ž í é í č í č í í ří í

Více

í é í íč š Č é š ří í ů é č í ř ý í í ří í ř Č š ý ř í í ů é é Č č Č í ě ší í ý ě í í ř í í ř í í ř í ř í ř ý í ří ý š ý í íč í ý ěř í ě í ř ěř ří ý é é í Ž č é í ů ů í í ů í ů Ů í í č í í úč ů ů í í ý

Více

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26

1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26 Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

MATEMATIKA PRO EKONOMY

MATEMATIKA PRO EKONOMY VYSOKÁ ŠKOLA POLYECHNICKÁ JIHLAVA Ktedr mtemtik MAEMAIKA PRO EKONOMY Rdek Stolí 8 Recezovl: doc RNDr Ev Věčková CSc Mgr Adre Kubišová Z jzkovou věcou správost obshu díl odpovídá utor et eprošel jzkovou

Více