Úvod do analýzy časových řad

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úvod do analýzy časových řad"

Transkript

1 VŠB TU OSTRAVA, FEI, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Úvod do lýz čsových řd [Zdeje podiul dokueu.] Mri Lischová

2 Popis čsových řd Čsová řd je uerická proěá, jejíž hodo podsě závisí čse, v ěž bl získá (posloupos chroologick uspořádých pozorováí). Čsové okžik, kd bl d získá, jsou od sebe věšiou sejě vzdále. Jde příkld o poč vrobeých předěů v jedolivých ěsících, poč uoobilových ehod Brdovské osě v jedolivých ěsících, deí produkce lék Veselé kráv. Popis poocí popisých sisik (krbicové grf, se & lef) poskuje dobrou předsvu o vlsosech čsové řd jko jedoho celku d, le eposkuje iforce o její čsové vývoji (dojivos kráv Milk). Zákldí poj Čsové řd lze klsifikov podle růzých hledisek, př.: podle chrkeru d, jejichž hodo voří čsovou řdu čsové řd iervlové - d závisí délce iervlu, kerý je sledová (př. ěsíčí výrob ceeu v ČR) čsové řd okžikové - d se vzhují k určiéu okžiku (poče zěs.v podiku v r (viz. Př..3)) podle periodici, s jkou jsou d sledová čsové řd údjů ročích čsové řd krákodobé podle druhu sledových d čsové řd bsoluích ukzelů ěsíčí výrob ceeu čsové řd odvozeých chrkerisik př. čsová řd kuuliví (kuálí sv výrob ceeu) Mri Lischová Sr

3 Očišěí čsové řd o důsledk kledářích vricí Chcee-li porováv jedolivé hodo u iervlových krákodobých čsových řd, usí se o hodo vzhov ke sejě dlouhý čsový iervlů. Očišěí ěsíce sdrdí ěsíc o délce 3 dů údj z kždý ěsíc se vdělí poče dů v ěsíci vásobí se 3, souče ěsíčích údjů z rok poo odpovídá roku o délce 36 dí sdrdí ěsíc o délce 365/ dů souče ěsíčích údjů z rok odpovídá délce roku 365 dí očišěí prcoví d provádí se obdobě jko očišěí ěsíce Shrováí údjů čsových řd iervlové řd shrováí se provádí poocí prosých součů ebo rie. prů. okžikové řd shrováí se provádí v přípdě sejých vzdáleosi ezi jedolivýi okžik poocí prosého chroologického průěru, v přípdě esejých vzdáleosi poocí vážeého chroologického průěru Nechť čsový okžiků,,, odpovídjí hodo čsové řd,, : Prosý chroologický průěr:... Vážeý chroologický průěr: Mri Lischová Sr 3

4 Zákldí chrkerisik čsových řd Chrkerisik, keré si dále uvedee vždují sejou délku čsových iervlů v iervlových čsových řdách ebo sejé vzdáleosi ezi okžik zjišťováí v okžikových čsových řdách. Absoluí přírůsk =, =,3,, =, = 3,4,,, d. Průěrý bsoluí přírůsek = = = Reliví přírůsk δ = =, =,3,, Koeficie růsu k,3,..., Průěrý koeficie růsu k k k k 3... Př. : Měsíčí výrob ceeu v ČR běhe roku 99 voří čsovou řdu 536, 384, 77, 789, 87, 798, 87, 86, 87, 765, 675, 358 (v is. u). Pro účel srováí ěsíčí produkce ceeu sesve čsovou řdu produkcí pro sdrdí ěsíc o délce 3 dů 365/ dů. Řešeí: Pro očišěou výrobu v ledu plí (výchozí i očišěé údje jsou uvede v ásledující bulce): ) sdrdí ěsíc o délce 3 dů ,7 3 Mri Lischová Sr 4

5 b) sdrdí ěsíc o délce 365/ dů , 3 Pro dlší ěsíce provedee očišěí podobě. Měsíc Výrob Poče dí v ěsíci Výrob z 3 dů Výrob z 365/ dů Lede Úor Březe Dube Kvěe Červe Červeec Srpe Září Říje Lisopd Prosiec Př. : N zákldě údjů ásledující bulk určee průěrou ročí výrobu s v ČR v leech : Rok Výrob s (is. u) Řešeí: Jedá se o iervlovou čsovou řdu. Pro výpoče průěré výrob s použijee prosý rieický průěr: is.u živé hoosi 5 V leech se v ČR vrobilo průěrě 54 is. u s ročě. Mri Lischová Sr 5

6 Př. 3: V ásledující bulce jsou uvede údje o poču zěsců určiého podiku. Určee průěrý poče zěsců v podiku v roce 99. Du Poče zěsců Řešeí: Jedá se o čsovou řdu okžikovou. Proože ezi jedolivýi okžik jsou sejě dlouhé čs. iervl, použijee pro výpoče prosý chroologický průěr Průěrý poče zěsců v r. 99 bl 4,5. 4,5 Př. 4: Určee průěrý poče obvel ČR v leech 98 99, áe-li k dispozici ásledující údje: Rok Poče obv. (is.) Řešeí: Jedá se o čsovou řdu okžikovou. Proože ezi okžik zjišťováí jsou iervl esejé délk, použijee pro výpoče průěrého poču obvel vážeý chroologický průěr = 337,7 Průěrý poče obvel ČR v leech bl cc.,3 ilióů. Př. 5: Pro čsovou řdu hodo průěré ěsíčí zd prcovíků sáího družsevího sekoru árodího hospodářsví v ČR v leech (69, 757, 88, 858, 9, 944, 35, 338, 347) vpočěe: Mri Lischová Sr 6

7 ) bsoluí přírůsk průěrý bsoluí přírůsek, b) koeficie růsu průěrý koeficie růsu, c) druhé diferece. Řešeí: k , , , , , , , , ,35 4 d) Absoluí přírůsk jsou uvede ve řeí sloupci bulk (př ) Průěrý bsoluí přírůsek: 6, 67 Průěrá ěsíčí zd soupl v leech prů. o 6,-Kč z rok. db) Koeficie růsu jsou vpoče ve čvré sloupci bulk 757 (př. k 98, 4 ) Průěrý koeficie růsu: k 9, 69 Průěrá ěsíčí zd soupl v leech v průěru o,%. dc) Druhé diferece (bsoluí přírůsk. řádu) jsou vpoče v páé sloupci (př. 983 = 5 65 = 4) Mri Lischová Sr 7

8 Rozkld čsových řd V éo čási bude ší shou rozloži čsovou řdu souče (ebo souči) ěkolik složek, z ichž kždá bude podsě jedodušší bude í jsou ierpreci. Těio složki budou: Tred D Sezóí složk S Cklická složk C Náhodá složk E Budee-li se sži rozloži čsovou řdu {X } souče složek, budee předpoklád, že ho lze zps ve vru: X = D + S + C + E Touo způsobu rozkldu čsové řd říkáe diiví rozkld. Tred Odráží dlouhodobý vývoj (obvkle růs ebo pokles, le obecě eusí bý o složk ooóí) dého procesu. Co je dlouhodobé? (růs eplo běhe de z pohledu lžře, zeědělce, eeorolog). Sezóí složk Odráží periodické zě, keré se ohou v dé řdě projevov, jejich period je svázá s kledáře (jí periodu jedu hodiu, jede de, ýde, ěsíc, rok, soleí ). Velký výz v ekooii, eeorologii Cklická složk Odráží periodické zě, keré se ohou v dé řdě projevov, jejichž period eodpovídá délce ějké kledáří jedok. V echických vědách se sezóí složk obvkle euvžuje všech periodické jev se zhrují do cklické složk. Náhodá (reziduálí) složk Zbývá v čsové řdě po odsrěí redu, sezóích cklických složek. Mri Lischová Sr 8

9 Je voře áhodýi flukucei, keré ejí žádý sseický chrker. Ndále budee prcov vžd s áhodý procese s ěkerou jeho relizcí. Pro odlišeí budee čsové řd ozčov velkýi píse (př. X ) jejich kokréí relizce lýi píse (př. x ). Zlos kždé jedolivé složk á uoží příkld lepší odhd vývoje dého procesu do budouc (predikci). Hledáí redu Všech eod hledáí redu vcházejí z podobé předsv. Uvžuje čsovou řdu X jko souče ějkého redu zbkového (reziduálího) procesu. Ted X = D + E. Tredovou složku se budee sži vjádři poocí ějké křivk závislé ěkolik álo prerech. Chcee-li odhdou hodou redu v ějké čsové okžiku, usíe eliiov vliv šuu. Přehled ejběžějších redových křivek Lieárí red D,,..., Odhd prerů, získáe eodou eješích čverců (viz. lieárí regrese). Kvdrický red D,,..., Odhd prerů,, získáe eodou eješích čverců plikovou rovici rsforovou prosředicví subsiuce i = i. Mri Lischová Sr 9

10 Mri Lischová Sr Expoeciálí red,,...,. D Odhd prerů, získáe eodou eješích čverců plikovou rovici lierizovou prosředicví logriu. Modifikový expoeciálí red D,..,, Odhd prerů provádíe eodou čásečých součů. Soubor pozorováí rozdělíe 3 sejé velké čási o délce (eplí-li = 3, vecháe ebo pozorováí zčáku) sečee pozorováí v jedolivých čásech. Odhd k, i b prerů (D = k + ) odifikového expoeciálího redu dosee řešeí ří elieárích rovic: Kždá relizce usí vhovov rovici: = k + k k k 3 3 To rovice uprvíe vr: k k k 3 odud:

11 = =+ = k Logisický red D,,...,, Proože rsforcí logisického redu vr: D získáe odifikový expoeciálí red s prer,, lze při odhdu preru plikov výše popsou eodu čásečých součů. Volb vhodého odelu redu Při hledáí ejvhodějšího pu redu vcházíe předevší z předpokládých vlsosí redové fukce, vplývjících z eoreického rozboru. Výběr usdí grfické zázorěí čsové řd. Kroě oho lze vuží esů zložeých jedoduchých chrkerisikách čs. řd (viz. íže uvedeá bulk). Tred Tes Lieárí Prví diferece přibližě kosí Kvdrický Druhé diferece přibližě kosí Expoeciálí Koeficie růsu přibližě kosí Logisický Křivk prvích diferecí se podobá křivce huso orálího rozděleí Při rozhodováí ezi ěkolik p redových fukcí je vhodé porov hodo ěkerých ásledujících chrkerisik. Mri Lischová Sr

12 Sředí chb odhdu eboli průěr hodo reziduí M. E. = = Y Sředí kvdrická chb odhdu eboli průěr čverců reziduí M. S. E. = = Y Sředí bsoluí chb odhdu eboli průěr bsoluích hodo reziduí M. A. E. = = Y Sředí chb proceuálí eboli průěr hodo reziduí děleých odpovídjící hodoou čsové řd (v proceech) M. P. E. = Y = Sředí bsoluí chb proceuálí eboli průěr bsoluích hodo reziduí děleých odpovídjící hodoou čsové řd (v proceech) M. P. E. = Y = Z uvedeých kriérií se ejčsěji používá průěr čverců reziduí M.S.E. Obecě dáváe předos odelu, u ěhož je hodo M.S.E. ejižší. Př. 6: Pro čsovou řdu hodo spořeb s (v kg) obvele v ČR v leech 98 ž 989 (viz. b.) vpočěe průěrý ročí přírůsek spořeb s ) poocí krjích hodo čsové řd, b) poocí vrováí regresí příkou. c) Odhděe velikos spořeb s v r. 99 z předpokldu, že se dosvdí chrker čsové řd ezěil. Mri Lischová Sr

13 Řešeí: Rok 98 83,9 83, ,8 4 75,6 3, ,7 9 66,, , ,, , ,, , ,, , 49 67,7, , ,,3 souče 36 78, ,7 x 97,4 83,9 ), 93 7 Velikos spořeb s v r. 99 lze odhdou 99,33 (97,4+,93) kg/obvel. b) Vzhlede k ou, že hodo prvích diferecí lze povžov z sálé (evkzují i rosoucí, i klesjící edeci), ůžee použií lieárího odelu povžov z opodsěé. Aplikujee eodu eješích čverců:. Souče čverců reziduí Souče čverců reziduí iilizujee: = = Dou sousvu uprvíe vr: = = Řešeí lezee ve vru: = = Mri Lischová Sr 3

14 Po doszeí: , , ,3 36, ,86,8 D 8,86, 8 [kg] Spořeb s Yˆ 9 D9 8,86,8.9 99, Velikos spořeb s v roce 99 lze odhdou 99, kg/obvele. Mri Lischová Sr 4

15 Př. 7: Uvžuje čsovou řdu (viz. b.) udávjící spořebu ásl (v kg) obvele ČSFR v leech Vroveje dou řdu prosředicví kvdrického redu. Odhděe spořebu ásl v roce 99. Řešeí: Použijee eodu eješích čverců plikovou rsforový odel víceásobé regrese. Rok = = = = 3 = 4 = = 98 8,3 8,3 8,3 98 8, ,8 33, , ,7 79, , ,4 37, , ,, , ,8 36, , ,9 46, , ,6 556, , ,4 696, ,5 85, 85, 99 8, ,7 5,7 souče 66 94, ,6 4377,9 Původí rovice: Subsiuce: =, = Souče čverců reziduí: Miilizce: Po úprvě: = = = = Mri Lischová Sr 5

16 = = V řešeí éo sousv (ři rovice o řech ezáých) spočívá práce sisických progrů určeých k zprcováí čsových řd (přesěji, k hledáí kvdrických redů). [kg] 9 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,4 8,3 8, Spořeb ásl D 8,3,6, Spořebu ásl v roce 99 odhdee prosředicví redu jko D. D = 8,3 +,6. --,. = 8,4 kg / obvele. V roce 99 odhdujee spořebu ásl 8,4kg/obvele. Př. 8: Pro čsovou řdu růsu zisku (v is. dol.) důlí společosi (viz. b.) v prvích šesi leech, určee průěrý koeficie růsu: ) poocí krjích hodo čsové řd, b) poocí vrováí expoeciálí rede. c) Odhděe zisk společosi v ásledujících dvou leech. Mri Lischová Sr 6

17 k l( ).l( ) 4,7 4,7 49,33 4 5,, 3 38, ,47 6, , ,87 3, , ,36 3, , ,77 4,6 souče 3 x 9 34,9 7,3 Řešeí: 867 ) Průěrý koeficie růsu: k 5, 56, o zeá že zisk společosi se kždý rok zvýšil průěrě o 5,6%. Předpověď pro 7.rok: Y 7 = 867.,56 = 35,7 Předpověď pro 8.rok: Y 8 = 867. (,56) = 966,387 b) Vrováí čsové řd expoeciálí fukcí: Koeficie růsu evkzují i rosoucí i klesjící edeci, ůžee je ed povžov z kosí, j. ůžee použí expoeciálí odel redu. D Pro lezeí koeficieů rsforujee dý odel prosředicví logriu použijee eodu eješích čverců. l = l + l b = l b = l Souče čverců reziduí: l b b Miilizce: l b b = l b b = Mri Lischová Sr 7

18 Po úprvě: l b b = l b b = Řešeí sousv: b = b = l b l l = e b = e b Řešeí pro kokréí přípd: b b 6.7,3.34, ,9,4. 6 4,3,4 4,3 e,4 e 68,7,5 D 68,7., 5 [is. $] Zisk důlí společosi Rok Odhd zisku společosi v roce: D 68,7.,5 7 88, 7 8 D8 68,7.,5 958,9 Mri Lischová Sr 8

19 Př. 9: Obje dovozu ze zeí bývlého Sověského svzu je dá čsovou řdou (viz. b.) udou v ilirdách Kč. Předpokládeje, že se jedá o odifikový expoeciálí red. Odhděe jeho prer velikos dovozu v roce 999. Rok 99 57, 99 6, , , , , , , ,6 Řešeí: Odhd prerů eodou čásečých součů (odvozeí viz. Modifikový expoeciálí red): D k = =+ = k , 6,8 7, 9, Mri Lischová Sr 9

20 ,5 9,6 97, 7, 99,9,4,6 3,9 3,9 7, 7, 9, 3 =,733,733,733 3,733 7, 9, = 77,3 3,733 9, 77,3.,733,733 k 3 6,94 [ilird Kč] Obje dovozu Rok D 6,94 77,3., 733 D 6,94 77,3.,733 3,5 Odhd dovozu ze zeí bývlého Sověského svzu v roce 999 je 3,5 ilird Kč. Mri Lischová Sr

21 Klouzvé průěr Jiou eodou hledáí redu je vhlzeí původí čsové řd, j. odsrěí šuu. Jedou z ěcho eod je eod klouzvých průěrů, kd se řd původích pozorováí hrdí řdou vpočeých klouzvých průěrů. To eod je dpiví, z. dokáže prcov s rede, kerý v čse ěí svůj chrker kerý ed elze pops jediou křivkou. Klouzvý průěr je určiou lieárí kobicí p+ čleů původí řd. Čí věší je délk klouzvého průěru, í věší je vhlzeí čsové řd. V přípdě, že zvoleá délk klouzvého průěru je lichá, získáe jejich hodo jko občejé rieické průěr dé délk (prosé klouzvé průěr). Prosé klouzvé průěr Úsek čsové řd o délce p+ vrováe k, že je hrdíe prosý rieický průěre. p p p... p p i p, p,..., p p p i p p hodo zčáku p hodo koci čsové řd zůsává evrováo. Sudá délk klouzvých průěrů se volí je veli zřídk. V přípdě, že délku klouzvých průěrů zvolíe rovu p, používáe zv. cerových klouzvých průěrů. Cerové klouzvé průěr = 4p p + p p + +p = p +,, p Mšlek ohoo vrováí je prosá. K ou, b vrová hodo odpovídl déu období, pořebujee lichý poče čleů v klouzvé průěru. Te získáe ejlépe k, že íso prvího čleu v klouzvé průěru vezee průěr prví posledí hodo dé period.ted klouzvé průěr jí vr = p + +p + p p+ p = 4p p + p p + +p Mri Lischová Sr

22 Př. : Čsová řd (viz. b.) udává ročí obje vývozu piv (v il. l.) z ČSFR v leech 98 ž 99. Vroveje čsovou řdu 3-čleýi 5-čleýi klouzvýi průěr. Řešeí: Rok 3-čleé klouzvé průěr 5-čleé klouzvé průěr , ,333 8, , ,667, , ,333 94, ,333 88, ,333 87, ,333 4, čleý klouzvý průěr v roce 98 = 8, čleý klouzvý průěr v roce 98 = 5, čleý klouzvý průěr v roce 98 = 8, 6 5 d. Volb délk klouzvých průěrů U eperiodických čsových řd se ejčsěji používjí průěr délk 3, 5, 7. Pokud chcee z ší čsové řd odsri sezóí vliv (př. kolísáí hodo běhe ýde, ěsíce ), vužíváe klouzvých průěrů s délkou rovou délce sezóího období. Mri Lischová Sr

23 Čsová řd vrová 3-čleýi klouzvýi průěr Př. : Čsová řd 485, 477, 455, 47, 453, 45, 46, 436, 454, 485, 493, 454, 443, 48, 44, 449, 45, 393, 377, 369, 388, 36 předsvuje ýdeí údje popávk po určié výrobku. Zázorěe grfick vrováí 3-čleýi 5-čleýi klouzvýi průěr. Řešeí: D Kl. průěr délk3 Kl. průěr délk Př. : V ásledující bulce jsou ěsíčí údje ákupu lék v ČR (v il. l) v leech Vroveje čsovou řdu klouzvýi průěr. Mri Lischová Sr 3

24 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Řešeí: D Kl. průěr délk i čleé klouzvé průěr Jelikož se zřejě jedá o čsovou řdu se sezóí složkou s periodou, zvolíe k vrováí -i čleé klouzvé průěr. (p = 6) Npř. hodou 7 určíe jko Prvích 6 posledích 6 hodo zůse evrových. = 36,5 d. Mri Lischová Sr 4

25 Poče bsolveů oboru zeědělsví D Klouzvé ediá délk ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Meod Kočák (vrováváí koců čs. řd) Jk jse se již dříve dozvěděli, vrováe-li čsovou řdu klouzvýi průěr (ediá) o délce p+, prvích posledích p hodo zůsává evrových. Jedou z ožosí jk koce čsových řd vrov je zkopírováí posledích vrových hodo. Poče bsolveů oboru zeědělsví D Klouzvé ediá délk 5 Z uvedeého grfu je zřejé, že eo způsob vrováváí koců eí ejvhodější. Rozuější způsobe se ukzuje posup KONČÁK. Vrová hodo v posledí čsové okžiku ( ) b ěl odráže chováí čsové řd v iulosi i příoosi předvíd její chováí v budoucosi. Reprezee příoosi je hodo ěřeá v čse ( ), reprezee iulosi je posledí vrová hodo (v čse - ). Jko repreze budoucosi se bere hodo odhdující chováí v čse +. To je příkld hodo prožeé úsečk spojující vrové hodo v čsech - -. Hodo éo úsečk se bere v čse +. Jko vrovou hodou v čse pk beree průěr (edi) z reprezeů iulosi, příoosi budoucosi. Vrováváí počáku čsových řd se provádí obdobě. (Ukže!) Př. 3: Vroveje koce čsové řd z příkldu. eodou Kočák. Použije klouzvé ediá délk 5. Mri Lischová Sr 5

26 Řešeí: Rok 5-čleé klouzvé edi ) Vrováí koce: Repreze 99 =35 příoosi: +*7=45 Repreze, 989= iulosi: 94-94=7 Repreze budoucosi: Repreze 99 =7 příoosi: 35+*4=83 Repreze, 99=35 iulosi: =4 Repreze budoucosi: Mri Lischová Sr 6

27 b) Vrováí počáku: Repreze 98 =4 Repreze, 98=8 příoosi: iulosi: 8+*= 8 8-6= 6 Repreze budoucosi: Repreze příoosi: 98 =5 Repreze iulosi:, 98=8 8 Repreze budoucosi: * Vrováí koců čsových řd D Kopírováí koců Posup Kočák Mri Lischová Sr 7

28 * Lierur:. J. Aděl: Sisická lýz čsových řd, SNTL, Prh, 976. Výukové eriál SPSS: Alýz predikce čsových řd, 3. V. Roglewicz: Sochsické proces, ČVUT, Prh, E. Jrošová: Sisik B, VŠE, Prh, J. Housek, P. Chrz: Moderí eod zprcováí d,grada, Prh, 99 Mri Lischová Sr 8

Řešení soustav lineárních rovnic

Řešení soustav lineárních rovnic Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí

Více

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.

Algebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t. ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz

Více

Část IV. Analýza časových řad. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Část IV. Analýza časových řad. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Čás IV. Aalýza časových řad Ig. Michal Dorda, Ph.D. Časovou řadou rozuíe posloupos věcě a prosorově srovaelých pozorováí (da), kerá jsou jedozačě uspořádáa z hlediska času ve sěru iulos příoos. Časovou

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- JEDNODUCHÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/.5./34.948 IV-2 Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- JEDNODCHÉ

Více

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011

Ekonomika podniku. Katedra ekonomiky, manažerství a humanitních věd Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze. Ing. Kučerková Blanka, 2011 Evropský socálí fod Praha & EU: Ivesujee do vaší budoucos Ekooka podku aedra ekooky, aažersví a huaích věd Fakula elekroechcká ČVUT v Praze Ig. učerková Blaka, 20 Úrokový poče, základy fačí aeaky (BI-EP)

Více

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254

Tento materiál vznikl díky Operačnímu programu Praha Adaptabilita CZ.2.17/3.1.00/33254 Evropský socálí fod Prh & EU: Ivestuee do vší udoucost eto terál vkl díky Operčíu progru Prh dptlt CZ..7/3..00/3354 Mžerské kvtttví etody II - předášk č. - eore her eore her 96 vo Neu, Morgester kldtelé

Více

9. Racionální lomená funkce

9. Racionální lomená funkce @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro

Více

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n

D = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n /9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x

Více

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA

1.2. MOCNINA A ODMOCNINA .. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:

6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte: 6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.

Napíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců. 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýz časových řad Doc.Ig. Jaa Hačlová, CSc. Kaedra maemaických meod v ekoomice Ig. Lubor Tvrdý Kaedra regioálí ekoomik Ekoomická fakula, VŠB-TU Osrava Osrava, 003 - - Úvod do aalýz časových řad

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ

FINANČNÍ MATEMATIKA- SLOŽENÉ ÚROKOVÁNÍ Projek ŠABLONY NA GVM Gymázium Velké Meziříčí regisračí číslo projeku: CZ..7/../.98 IV- Iovace a zkvaliěí výuky směřující k rozvoji maemaické gramoosi žáků sředích škol FINANČNÍ MATEMATIA- SLOŽENÉ ÚROOVÁNÍ

Více

8.2.7 Geometrická posloupnost

8.2.7 Geometrická posloupnost 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Úvod do aalýzy časových řad Obsah Úvod... Teoreické základy pro aalýzu časových řad.... Základí pojmy..... Druhy časových řad..... Grafická aalýza.....3 Popisé charakerisiky... 4. Základí úpravy časových

Více

Přehled modelů viskoelastických těles a materiálů

Přehled modelů viskoelastických těles a materiálů Přehled modelů vskoelsckých ěles merálů Klscké reologcké modely Klscké reologcké modely vycházejí z předsvy, že chováí ěles lze hrd chováím sysému složeého z pruž písů, edy z ookeových ewoových ěles. ookeovo

Více

5. Modifikovaný exponenciální trend

5. Modifikovaný exponenciální trend 5. Modifikovaný exponenciální rend Tvar rendu Paraer: α, β, Tr = + α β, =,..., n ( β > 0) Hodí se k odelování rendu s konsanní podíle sousedních diferencí Aspoick oezen (viz obr., α < 0,0 < β 0) α

Více

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu

Metody odhadu poptávky a nabídky v podmínkách nerovnovážného modelu 4. eziárodí koferece Řízeí a odelováí fiačích rizik Osrava VŠB-TU Osrava, Ekooická fakula, kaedra Fiací.-. září 8 Meody odhadu popávky a abídky v podíkách erovovážého odelu Pavla Vodová Absrak Cíle ohoo

Více

Vývoj a analýza ceny lahvového piva v České republice

Vývoj a analýza ceny lahvového piva v České republice Medelov zemědělská lescká uverz v Brě Provozě ekoomcká fkul Úsv ssky operčího výzkumu Vývoj lýz cey lhvového pv v České republce Bklářská práce Vedoucí práce: Mgr. Keř Myšková Jméo příjmeí uor: Mrké Pejchlová

Více

Analýza světla odraženého tenkým kmitajícím zrcadleěm s použitím MATLABu

Analýza světla odraženého tenkým kmitajícím zrcadleěm s použitím MATLABu Alýz svěl odžeého eký kijící zcdleě s požií MATLAB A.Mikš J.Novák ked fzik Fkl svebí ČVUT v Pze Absk Páce se zbývá eoeicko lýzo vibcí ekého oviého zcdl khového půřez vlive defocí kovéhoo zcdl svělo odžeé

Více

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }

Nekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a } Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle

Více

Křivky 2D. Klasifikace křivek (1) Klasifikace křivek (2) Navazování a spojitost křivek. Přednáška 8

Křivky 2D. Klasifikace křivek (1) Klasifikace křivek (2) Navazování a spojitost křivek. Přednáška 8 Předáš 8 Křv D Žár, J., Beeš, B., Felel, P. Moderí počíčová grf. Compuer Press, Bro, 998. ISBN 8-76-49-9. Cee, P. Počíčová grf. Srp Uverz Prdubce, 999. ISBN 8-794-9-4. Klsfce řve ( Podle prosoru D D Podle

Více

Rovnoměrně zrychlený pohyb v grafech

Rovnoměrně zrychlený pohyb v grafech ..9 Ronoměrně zrychlený pohyb grfech Předpokldy: 4 Př. : N obrázku jsou nkresleny grfy dráhy, rychlosi zrychlení ronoměrně zrychleného pohybu. Přiřď grfy eličinám. s,, ronoměrně zrychlený pohyb: zrychlení

Více

-1- Finanční matematika. Složené úrokování

-1- Finanční matematika. Složené úrokování -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí

Více

10 Transformace 3D. 10.1 Transformace a jejich realizace. Studijní cíl. Doba nutná k nastudování. Průvodce studiem

10 Transformace 3D. 10.1 Transformace a jejich realizace. Studijní cíl. Doba nutná k nastudování. Průvodce studiem Trnsformce 3D Sudijní cíl Teno blok je věnován rnsformcím 3D grfik. V eu budou popsán ákldní rnsformce v prosoru posunuí oočení kosení měn měřík používné při prcování 3D modelu. Jednolivé rnsformce budou

Více

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť

Sbírka úloh z matematiky pro 9.ročník Lomené výrazy ZŠ Třešť Sík úloh z tetik po 9.očík I. Loeé výz ZŠ Třešť . Loeý výz je zloek. Jeovtel zloku e eí ovt ule. U loeých výzů učujee vžd podík, po kteé á loeý výz l. Řešeý příkld Uči podík, po kteé jí výz l, řeš dlší

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

ř ě ě š ř ů ř ěž ú ěž ú ú Č ě Ú š ž ú ž ě ě ř ž ě ú ů ě ř š ž ú ě š ž ě ů š ě ř ě Ú ř ě ř ě ř ě ě ř š ž ž ř ě ť ř ě ů š ř š ě ě ř š ď ů ř ř ž Ž ř ě ž ř ě ř š ř ě ř ř ů ř ž ř ř ř ě ě š ž ř ě ě ž ž ř ž š

Více

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic

Logické rovnice. 1 Úvod. 2 Soustavy logických rovnic Logické rovice J Bborák, Gyáziu Česká Líp, bbork@sez.cz Ev Svobodová, Krlíské gyáziu, evsvobo@gil.co Doiik Tělupil, Gyáziu Bro, dtelupil@gil.co Abstrkt Záklde šeho iiproektu e počítáí poocí Booleovy lgebry

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

8.2.4 Užití aritmetických posloupností

8.2.4 Užití aritmetických posloupností 8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl

Více

Časová zátěž Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 8 hodin studia.

Časová zátěž Na prostudování této kapitoly a splnění úkolů s ní spojených budete potřebovat asi 8 hodin studia. Kapiola 0.: Úvod do aalýzy časových řad Cíl kapioly Po prosudováí éo kapioly budee umě - očisi časovou řadu od důsledků kaledářích variací - graficky zázori okamžikovou i iervalovou časovou řadu - vypočía

Více

ť í ď Á Í Á č ď ž Á ž ť á ě Ý ž ť ť ť ť Ť á é ť ť č ě č č ě é č š ŠÁ š á Š Á Ž í á é ě ž č Í ě í ě á í Ž é í č č ší ě š á š ě í é é í č á á á á Ž á á í Í á Ž á á č č á á é ě š ě í ž é á ě í š ě ě Ž ě ďší

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů

1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů .8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících

Více

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3

No. 1 Michal Hlaváček Difuse technologií 2001/3 No. Michl Hlváček Difuse echoloií 200/3 . Úvod Hospodářský vývoj ve svěě proděll v posledích páci leech ěkolik změ, přičemž ekoomická eorie ě věšiou v odpovídjící míře ereovl. Trdičí ekoomické eorie, keré

Více

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.

Seznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti. Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK

Více

Příklady časových řad a jejich použití. Z2069 Statistické metody a zpracování dat II Analýza časových řad vývoj cen akcií objem obchodování na burze

Příklady časových řad a jejich použití. Z2069 Statistické metody a zpracování dat II Analýza časových řad vývoj cen akcií objem obchodování na burze Přílad časových řad a jejich použií hp://www.cru.uea.ac.u/cru/ifo/warmig/ 3 Objem obchodu (iervalová řada Kurz acie (oamžiová řada 5 Z69 Saisicé meod a zpracováí da II Aalýza časových řad vývoj ce acií

Více

1.1.20 Sbírka na procvičení vztahů mezi veličinami popisujícími pohyb

1.1.20 Sbírka na procvičení vztahů mezi veličinami popisujícími pohyb 1.1.20 Sbírk n procvičení vzhů mezi veličinmi popisujícími pohyb Máme ři veličiny popisující pohyb dv vzhy, keré je spojují nvzájem. s v = Rychlos je změn dráhy z změnu čsu (rychlos říká, jk se v čse mění

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

7 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD TRENDOVÁ SLOŽKA

7 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD TRENDOVÁ SLOŽKA Elea Mielcová Radmila Soklasová a Jaroslav Ramík; Saisické program 7 ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD TRENDOVÁ SLOŽKA RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Aalýza časových řad umožňuje maemaickým modelem popsa jev a základě časově

Více

Vztahy mezi veličinami popisujíscími pohyb

Vztahy mezi veličinami popisujíscími pohyb 1.1.23 Vzhy mezi veličinmi popisujíscími pohyb Předpokldy: 010122 Pedgogická poznámk: Cílem hodiny je: získání ciu pro diferenciální chování veličin, nácvik dovednosi dodržování prvidel (kreslení derivovných

Více

Přednáška č. 7 Analýza experimentálních údajů, testování statistických hypotéz, testy střední hodnoty

Přednáška č. 7 Analýza experimentálních údajů, testování statistických hypotéz, testy střední hodnoty Předáška č 7 Aalýza eperieálích údajů, esoáí saisických hypoéz, esy sředí hodoy K popisu lasosí základího souboru e saisice souboru ýběroého, kerý předsauje určiý koečý poče údajů získaých z proedeých

Více

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů:

Algebraické výrazy. Mnohočleny 1) Sčítání (odčítání) mnohočlenů: Algeicé ýz Výz = ždý zápis, eý je spáě oře podle zásd o zápisech čísel, poěých, ýsledů opecí, hodo fcí. Npř. π,,... Výz číselé s poěo Výzo spi oří loeé ýz s ezáo e jeoeli ( sí ý ede podí, ýz á ssl poze

Více

Souhrn vzorců z finanční matematiky

Souhrn vzorců z finanční matematiky ouh zoců z fčí ey Jedoduché úočeí polhůí předlhůí loí yádřeí Výpoče úou Výpoče úou poocí úooé szby Výpoče úou poocí úooých čísel úooých dělelů Výpoče úou součoý zoce oečý pál př edoduché polhůí úočeí oečý

Více

T t. S t krátkodobé náhodná složka. sezónní. Trend + periodická složka = deterministická složka

T t. S t krátkodobé náhodná složka. sezónní. Trend + periodická složka = deterministická složka Analýza časových řad Klasický přísup k analýze ČŘ dekompozice časové řady - rozklad ČŘ na složky charakerizující různé druhy pohybů v ČŘ, keré umíme popsa a kvanifikova rend periodické kolísání cyklické

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

6. Optika. Konstrukce vlnoploch pro světlo:

6. Optika. Konstrukce vlnoploch pro světlo: 6. Opi 6. Záldní pojmy Těles, erá vysíljí svělo, jsou svěelné zdroje. Zářivá energie v nich vzniá přeměnou z energie elericé, chemicé, jderné. Zdrojem svěl mohou bý i osvělená ěles (vidíme je díy odrzu

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě. Přednášky jsou každý pátek, cvičení tedy vždy předcházejí přednášky.

P Poznámka: Odpřednášená témata obarvuji žlutě. Přednášky jsou každý pátek, cvičení tedy vždy předcházejí přednášky. ýde ozám: Odpředášeá ém obrvuji žluě ředášy jsou ždý páe, cvičeí edy vždy předcházejí předášy ) ojmy: Difereciálí rovice, obyčejá dif rovice, řád rovice, řešeí rovice ( eprázdé možiě, iervlu), iegrálí

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Posloupnosti a řady. Obsah

Posloupnosti a řady. Obsah Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ FAKULTA. Finanční matematika. Distanční studijní opora. Petr Červinek, František Čámský

MASARYKOVA UNIVERZITA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ FAKULTA. Finanční matematika. Distanční studijní opora. Petr Červinek, František Čámský MASARYOVA UNIVERZITA EONOMICO-SPRÁVNÍ FAULTA Fčí ek Dsčí sudjí opor Per Čerek, Fršek Čáský Bro 9 Lekorol: Ig. Bors Šurc Per Čerek, Fršek Čáský, 9 Předlu Dsčí sudjí opor (DSO) je urče předeší sudeů koboé

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

ý ý ž ž š š ě ě ě ě ě ě ž Á ť ě ý ý ý Ú ý ž š ý ý ž ý ž ý ž Š ě ý ž ý ž Í ý ž ě ž ě ý ú ě ě ý ý ě ě ý ě ú ů ý ž ě ú ú ě ý Ú š ú ů ýš ů ě ú š š ý Ú š ý ě ďě š ú ž Š ě ú Š ě Ť ž ú š ú ž ú ě ě ť ě ý ú ě ž

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-

Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava- Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

ř Ř Š Í í ž í ří ó ří ó Í Í Í Á Í í í č í ř í č í č š íš ěž ú í č Á Ě í čí ě ě Ž Í žď Ď č čí í ú ž Ř Á Á Í ř íš í ž í ž ř č í č í čí ř í č ří š č ří ó č ě č í ó ž ě í ě ě í í ň ď í ž č íč í č í ří š čí

Více

2 Základní poznatky o číselných oborech

2 Základní poznatky o číselných oborech Zákldí poztky o číselých oorech Mozí lidé jsou evědoí je proto, že vycházejí z pojů, které jsou podle tetických ěřítek epřesé (Sokrtes). Přirozeá čísl Přirozeá čísl ozčují počet prvků koečých oži. Kždé

Více

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+

Přehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+ Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby.

Jestliže nějaký objekt A můžeme vybrat m způsoby a jiný objekt B lze vybrat n způsoby, potom výběr buď A nebo B je možné provést m+n způsoby. V kapitole Ituitiví kobiatorika jse řešili příklady více éě stejý způsobe a stejých pricipech. Nyí si je zobecíe a adefiujee obvyklou teriologii. pravidlo součtu: Jestliže ějaký objekt A ůžee vybrat způsoby

Více

12. MOCNINY A ODMOCNINY

12. MOCNINY A ODMOCNINY . MOCIY A ODMOCIY.. Vypoči: ( 0 8 8 6 6 0 ( 8 9 7 7 d 8 6 0 ( 0 ( 6 00 ŘEŠEÍ: ( 0 8 ( 0 8+ 6 8 7 6 6 8 ( ( 8 8 6 6 8 96 08 0 8 8 8+ 96+ 08088 6 ( 6 ( ( 6 6 0 ( 0 ( ( ( 6 00 8+ 8+ 87 6 8+ 6+ 6 0 6 ( ( 9

Více

é řě ú čí í řě ú ž ě á á í š ýž ž ž á ě č ž ří é ž í á ý ď á číš š í á ě ě řě í ó í ž é ž í ó ř í ě ší ž é ž é é é řě á ý á ě č ž á á řěč í á á Ž ě ž

é řě ú čí í řě ú ž ě á á í š ýž ž ž á ě č ž ří é ž í á ý ď á číš š í á ě ě řě í ó í ž é ž í ó ř í ě ší ž é ž é é é řě á ý á ě č ž á á řěč í á á Ž ě ž ž í í á ý š á ž ž ý ř ě ů ž Ží ř ě Ž ří í í ž Í ž é ž Řá á č Ú é úř ší úř í ů ý ž ó á ě í é é š ří Ž í ů ě č Ž ří ří í í é á ě á í í ú ú žď č ž Řá á č ŘÁ Á É ý č ý ž íú ě á úř í á ď í ř ř ří č ž ě ž á

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II.

Lineární a adaptivní zpracování dat. 9. Modely časových řad II. Lieárí a adaptiví zpracováí dat 9. Modely časových řad II. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Opakováí K čemu je dobré vytvářet modely procesů geerující časové řady? Dekompozice časový řad: jaké

Více

Kinematika hmotného bodu

Kinematika hmotného bodu DOPLŇKOVÉ TEXTY BB1 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ Kinemik hmoného bodu Obsh Klsická mechnik... Vzžný sysém... Polohoý ekor... Trjekorie... Prmerické ronice rjekorie... 3 Příkld 1... 3

Více

Ť č č š Í š ž ň č ŘÍ Í š ť č Í Ž Ž Ž ť Í É ť ž ž Ť ž ř č č č ž Ž Ť Ť ň š ž Ť Ý ž Ť Ť Ť š Ť Ť č Ť ú Ť Ť ň Ť š ť č č ť Š ť Ť č ň š Ť š Ť Ť š Ť Ž č Ť šť č č č č š š č Ť č ž š ž Ž č Í Í ť ž Ť ž Ť č Ť č Ž Ť

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

č É Á Á Í š Ě š š Á ú ř í ř í í č ě ě í ě š č é í í ž ě é Í ůž í ě í ší í ě é ě í š Ř š é š ě é í Č ť í Ý ř í č š ď í Č í í š ř ě í é Á í ě ě č ě ě ž ž í Š Í ě ě š ě é ů é ž é é ž ž ů š ě ů é ž č í ž ě

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ Předmět: Ročík: Vytvořil: Dtum: MATEMATIKA TŘETÍ MGR JÜTTNEROVÁ Název zprcového celku: GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST A JEJÍ UŽITÍ GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST Defiice: Poloupot e zývá geometrická právě tehdy, když

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

í ě ž č é čí ý ř ý ě ě í ý ů ř ě í ý ž ě Í é ě ří é ě ý ů ě ě ž ě ý ú é é č Í í í ě é ů ě ý ří ž ý ě ý ě ř ě é ž ž í ž č ě í ž ř č ž ž í ž ě ý ý ě ě ě

í ě ž č é čí ý ř ý ě ě í ý ů ř ě í ý ž ě Í é ě ří é ě ý ů ě ě ž ě ý ú é é č Í í í ě é ů ě ý ří ž ý ě ý ě ř ě é ž ž í ž č ě í ž ř č ž ž í ž ě ý ý ě ě ě í ž ěď ž čč ě ž é č ě ř ě ý ž č Í ž ě ě é ž ž ě ě ý č ž č ý ď č íč ř í ž ý ť ě é é ň é í ě ě ží ě ý é ď ď ě é ě ř ž ý ží é ří ž ě ě ý ý ď í ě ě říž í ě ž é é ě é é ě č ř ý ě ě ý č í ě ř č ě é í í ž ě ý

Více

Tento dokument je obsahově identický s oficiální tištěnou verzí. Byl vytvořen v systému TP online a v žádném případě nenahrazuje tištěnou verzi.

Tento dokument je obsahově identický s oficiální tištěnou verzí. Byl vytvořen v systému TP online a v žádném případě nenahrazuje tištěnou verzi. ěř á ů ě ý ů Á Í Í Č Č ÚČ Í č é ř ěř á ů ě ý ů Í Á Ú ÍČÁ Ě Á É Ú Š Č ý Ř ŘÍ Á ŽÍ Íš Č ý Ř Ř Ř Ž Í Í Ř ŘÍ Š č ý Ř Ů Á ĚŘÍ Č é ř ěř á ů č Ý ů Ú Í ČÁ š ě ř ů ě ý ř é Í áž ě ř č á á á ě é ů ř žš ř ě ů ě é

Více

í Ž é á é é ě í ě í ů ž é ší é í í í ž é ŽÍ Í ě á ř á é ě á í é Ú áří Í ě ž í í í í ě á š é ý ě ř í á é Ž ží á é ř Í Ší ů č í á č é é í í Ž š ř í č í ř áší ŠÍ úž é ý ěž ří č ý í Í ú é ř ě í ě ý ů ů é ž

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení

Nejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie

Více

é é Ť í í íš ě é é á í Ěí é é á í Ť á Ž á Ť č é č í Ťá Í č é é ě ě í č š í é é ě ě ší Ť á ě á í š í é é á é ě Ť Í č é é í áš é Ť í á í á í í č é č í Ť

é é Ť í í íš ě é é á í Ěí é é á í Ť á Ž á Ť č é č í Ťá Í č é é ě ě í č š í é é ě ě ší Ť á ě á í š í é é á é ě Ť Í č é é í áš é Ť í á í á í í č é č í Ť Č č É á á é ě é č á í ž é Ťí ě á Ť ě é é í ž á Ž č ě č č č é í í ě í Ž é Ť é í é á ž ž á éč é á í á ž í ž Ťí í í č é á ď í á ž í í č í ě í č í ě š í ě í éž í Ť í šť á í á ě é í š Ť ž í í Ť ě ž í á ší é

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

ř á á ü č ů á ř ř á ě ř ý á á ě á á ř á Č á á á ě řč á Č á ě á ř ř á ě ý ů á ě ř á á Ř Ě Ě Ř É Á ř á á ř ř á á Ž ř ř ř ě ě ř á á ě ěá ě ř á á ě ě ě ěá ř ě ě ř á á čá ř ě ě ř á ý ů č ě šíř č Š á ř á á

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

ůř Í ý Í Ť ý Á Ž Í Á ť Í ť ý ť Ť ě č ě Š ř ú ý š Č ř č ď ř Á Í Í ě ě ř ó ě č ř č ě ř š ě Á Í č ě Í Í Č É ě Š Í Č ě Í ě ů ů ů Č ý ú Ž ří Á Ý Í Á ÍČ ŽÍ Ý Ů ě č ě ě ě ř ě ě ó ž ž ě ýš ě ě ó ě ř ú ě ďý ě Ú

Více

ý á ó íž á ýř č Č á ě č ř ú é ě é é ó ý ž ý ďúč ý á ě ý ž í ó ě ě š á áš í ý í ř á é á š á ó ě čí č ě á í ž á á Ž š á ě ž ř á č é š ě é ě ř ř š ší É š ěž ý ří ý ř š ý š ý ěý š ý ý ý ž č ř č ó ř ě í ř í

Více

Opakovací test. Posloupnosti A, B

Opakovací test. Posloupnosti A, B VY INOVACE_MAT_189 Opkovcí test Poslouposti A, B Mgr. Rdk Mlázovská Období vytvořeí: prosiec 01 Ročík: čtvrtý Temtická oblst: mtemtické vzděláváí Předmět: mtemtik, příprv k mturitě, příprv VŠ, opkováí,

Více