GEOMETRICKÉ HÁDANKY. Franco Favilli * a Carlo Romanelli **

Transkript

1 GEOMETRICKÉ HÁDANKY Franco Favilli * a Carlo Romanelli ** ÚVOD Geometrický diskurs vyžaduje dobré vdomosti a zvládnutí terminologie a pojm. Na druhé stran však žákm pi osvojování geometrických pojm pomáhá, když se komunikace ve tíd opírá o vyvážené využívání grafického jazyka, pirozeného nematematického projevu a odborného jazyka geometrie. Pi navrhované aktivit budou žáci pracovat ve dvojicích, piemž jeden žák dává druhému sled pokyn pro nákres geometrického útvaru. Oba žáci pak mají za úkol útvar popsat a definovat. Tato aktivita pro výuku geometrie mže být zajímavou píležitostí, jak zdraznit potebu využívat rzné zpsoby vyjadování a cílen je koordinovat pomocí vhodných úkol, které umožují využívat tyto registry stídav. Studenti uitelství si mohou prostednictvím pedloženého didaktického návrhu lépe uvdomit, jak je pro žáky nároné pejít od prostého popisu geometrického útvaru k jeho definici. Tento návrh byl pipraven a vyzkoušen v Itálii, na Universit v Pise. Pilotáž byla souasn provedena na Universit v italské Sien a pozdji na pedagogické fakult I.U.F.M. v Paíži. * Centro di Ateneo di Formazione e Ricerca Educativa CAFRE, Università di Pisa, Itálie. ** Istituto Comprensivo E. Pea, Seravezza (LU), Itálie. 1

2 Hlavní pilotáž Franco Favilli a Carlo Romanelli NÁVRH Aktivita nazvaná Geometriclé hádanky, jak se zdá, koresponduje s dobrým zpsobem zacházení s matematickými pojmy. Uvádí je pomocí smsi teoretických a praktických úkol. Rozšíení a prohloubení uiva mže snadno zavést debatu ve tíd mimo rámec bžných osnov pro výuku matematiky na 2. stupni základní školy. Pilotáž aktivity proto vyžaduje pedevším definici specifických didaktických cíl a výbr jen nkolika z možných matematických pojm pro výklad, pop. další využití (v pípad, že je žáci již ovládají). Na zaátku hodiny dostanou žáci list papíru (Návod pro žáky, viz Píloha A) s vysvtlujícími poznámkami k obsahu a pravidlm této didaktické aktivity. Zde jsou základní pravidla: Žáci pracují ve dvojicích. Jeden žák z každé dvojice dostane lístek s názvem útvaru (geometrie nebo stereometrie). Do konce aktivity ho nesmí prozradit druhému žákovi. Pak první žák dává druhému sled pokyn jak narýsovat i nakreslit daný útvar. Jednomu slovnímu pokynu mže odpovídat pouze jedna grafická innost. Nap. povoluje se pokyn narýsuj úseku, nepovoluje se pokyn narýsuj osu úseky AB, protože nejprve vyžaduje urení stedu S úseky AB a dále vztyení kolmice k úsece AB v bod S. Oba žáci zapíší každý pokyn na list papíru. Pokud je teba, pokyn lze zopakovat, nesmí se ale pozmnit ani vysvtlit. Pro rýsování i kreslení používají žáci tverekovaný papír a pero (žádná tužka, pravítko, ani kružítko apod.). Nepovoluje se gumování ani opravy. Nepovoluje se ukazovat nehotovou kresbu. Když skoní sled pokyn, druhý žák ukáže konenou podobu nákresu prvnímu a porovná ji s názvem daného geometrického útvaru. Oba žáci mají pak za úkol íci název, popis a nakonec i definici daného útvaru. Aktivitu uzavírá diskuse s celou tídou. Porovnávají a hodnotí se nákresy i pokyny pro jejich vytvoení. Tento postup je teba zachovat jak v seminái pro pípravu budoucích uitel matematiky tak pi následné pedagogické praxi, kdy studenti uitelství pracují se žáky ve vku 2. stupn základní školy. V Pise bylo vypracováno následující schéma pro pípravu a prbh pilotáže; pro každý krok je stanoven poet hodin: 2

3 Postup Uitelé VŠ (10 h) Píprava didaktického návrhu Krátkodobé Dlouhodobé Uitelé a studenti Cíle VŠ (4 h) Úvod Práce ve skupinách Diskuse Vdomosti Kompetence Metodologie Socializace Studenti VŠ (2 h) Promýšlení píprava na hodinu Studenti VŠ a žáci ZŠ (2 h) Úvod Práce ve skupinách Diskuse Studenti VŠ Vdomosti Metodologie Studenti VŠ (2 h) Metodologie, kontext Žáci Vdomosti Kompetence Socializace Promýšlení hodiny Zpráva Studenti VŠ a uitelé VŠ (4 h) Podávání zpráv z praxe Diskuse Uitelé VŠ Socializace Metodologie Studenti VŠ Metodologie Studenti VŠ (4 h) Promýšlení Poznámky Dokonování Uitelé VŠ (5 h) Konená zpráva Všeobecné informace Poet uitel VŠ: 2 (autoi textu) Poet student VŠ: 42 Poet tíd, které se zapojily do pilotáže: 2 (2. a 3. roník, tj. jako naše 7. a 8. tída) Poet žák a jejich vk: 24 žáci ve vku 12 let (7. t.) a 22 žák ve vku 13 let (8. t.) Poet dosplých v každé tíd pi výuce: 2 uitelé VŠ (v tchto tídách hospitovali poprvé) a vyuující. Cíle Vzdlávací cíle této aktivity lze zhruba rozdlit na cíle všeobecné a matematické. Za všeobecné cíle mžeme považovat: Rozvoj povdomí a kritických postoj k využívání jazyka a jeho interpretaci. Povdomí o dležitosti používání specifických a jednoznaných výraz. Nárst schopnosti žák rozumt ústním pokynm a pracovat podle nich. Stimulace kritického naslouchání pokynm. Zdokonalení dovednosti tení s porozumním, respektování a aplikace pravidel didaktické innosti. Osvojení pojmu jednoduchý, nelenný pokyn. Schopnost respektovat pracovní tempo spolužák. Dovednost uvést dvod pro volbu postup používaných v prbhu aktivity. Za matematické cíle mžeme považovat: Zdokonalené využívání matematického jazyka. 3

4 Posílení znalosti jazyka geometrie a stereometrie. Zlepšení dovednosti provádt nákresy. Upevnní vdomostí z geometrie a stereometrie. Schopnost pedstavit si trojrozmrné pedmty podle dvojrozmrného znázornní a dovednost znázornit tleso v rovin. Schopnost popsat základní geometrické a stereometrické útvary tak, aby vynikly vlastnosti, které jsou jak nezbytn nutné, tak postaující pro jejich definování. Rozvíjení schopnosti nacházet rovnováhu mezi popisem a definicí geometrického i stereometrického útvaru. Pochopení významu definice v geometrii. Schopnost porovnávat a vyhodnocovat rzné typy informací v prbhu diskuse s ohledem na správné utváení pojm v geometrii a stereometrii. Úkoly pro studenty uitelství Protte si peliv Návod pro uitele (viz Píloha B)! Okomentujte Návod pro uitele, který jste dostali na zaátku této aktivity. Navrhnte úpravy zadání. Jsou pravidla uvedená v návodu jasná pro žáky základní školy? Když zaadíte tuto aktivitu do výuky ve škole, budete používat deník (tj. popis prbhu hodiny)? Kolik asu by se mlo vnovat úvodu, hlavní ásti hodiny urené pro tuto aktivitu a kolik závrené diskusi? Mla by se tato didaktická aktivita prezentovat žákm jako hra, kde budou hrát urité role? Vezmeme-li v úvahu, že komunikace mezi žáky, a to jak aktivní tak pasivní, má pi této aktivit znanou váhu, jaký jazykový registr budete v hovoru se žáky používat? Je dležité, aby žáci vytvoili dvojice rovnomrn podle svých schopností? Pokud jde o geometrický útvar, který se má nakreslit, je lepší zvolit takový, který žáci už znají, anebo nový útvar? Jaké jsou výhody a nevýhody obou pedchozích možností? Je lépe použít tverekovaný nebo obyejný papír? Povoluje se pouze jednoduchý pokyn. Pojem jednoduchý nebo nelenný pokyn mže být ponkud sporný: uvete píklad a vysvtlete ho žákm. Pro a jak? Jaké pedchozí vdomosti jsou pro tuto aktivitu zapotebí? Napište si seznam pravdpodobného sledu pokyn pro nákres zvoleného geometrického útvaru. 4

5 Uvete píklady možných nejasných pokyn a tudíž odlišných nákres a chybného porozumní. Je vaším cílem zavést definici daného geometrického útvaru? Jak byste mohli žákm pomoci na cest od popisu geometrického útvaru pes (alespo nkteré) jeho vlastnosti k definici? Navrhnte pípravu na hodinu. Co oekáváte od závrené diskuse? Jakou roli jí pipisujete? Budete od žák vyžadovat závrenou zprávu o aktivit? Od jednotlivc nebo dvojic? Okomentujte Návod pro uitele, který jste dostali na zaátku této aktivity. Navrhnte úpravy zadání. Splnili jste cíle, které jste si stanovili v této píprav na hodinu? Úkoly pro žáky 2. stupn ZŠ a nižších gymnázií Pette si peliv Návod pro žáky! Ujistte se, že jste se dohodli s uitelem i s kamarádem ve dvojici na smyslu výrazu jednoduchý, nelenný pokyn. Nepovoluje se opravovat již zadaný pokyn nebo ást nákresu. Dávejte si velký pozor, než zanete mluvit nebo kreslit i rýsovat! Kdy jste si uvdomili (týká se žák, kteí zadávali pokyny), o jaký geometrický útvar jde, co je cílem nákresu? Pomohlo vám to? Pestali jste pak provádt jednotlivé pokyny, které vám dávali kamarádi (tj. pestali jste jim vnovat pozornost)? Nakolik vám pomohly pedchozí vdomosti z geometrie? Nakolik bylo obtížné porozumt smyslu uritého pokynu? Uvete alespo jeden píklad. Dostali jste njaký nejasný pokyn? Pokud ano, uvete píklad. Nakreslili nebo narýsovali jste si (týká se žák, kteí zadávali pokyny) daný geometrický útvar, díve než jste zaali dávat pokyny, anebo jste si útvar kreslili krok za krokem, a dlali tak to, co se požadovalo od kamaráda? Pokud tomu tak bylo, pomohlo to? Nakolik bylo obtížné nalézt vhodná slova, abyste mohli zadat pokyn? Uvete alespo jeden píklad. Máte z této zkušenosti dobrý pocit? Pro? Byli byste si radši s kamarádem vymnili role? Bylo tžké uvdomit si, že nkteré vlastnosti daného geometrického útvaru závisejí na jiných? Uvete píklad. Pro, podle vašeho názoru, navrhl uitel tuto aktivitu? Budete pipravovat zprávu o této aktivit? Okomentujte Návod pro žáky, který jste dostali na zaátku této aktivity. Navrhnte úpravy zadání. 5

6 PILOTÁŽ Seminá na pedagogické fakult Na zaátku semináe dali vyuující studentm istý list papíru a Návod pro žáky a vysvtlili aktivitu, která mla probhnout. Studenti vytvoili dvojice a rozhodli se, který z nich bude zadávat pokyny, a kdo je bude pijímat a provádt nákres. Studenti, kteí mli pokyny zadávat, dostali papír se slovem kosotverec nebo krychle. Jakmile se studenti pustili do provádní aktivity, požadovali nkteí z nich nové objasnní smyslu výrazu jednoduchý, nelenný pokyn. Vyuující uvedli nkolik dalších, nematematických píklad. Aktivita proto zaala pl hodiny po zahájení semináe. Po další plhodin, když byli všichni studenti hotovi se zadáváním pokyn, nákresy, popisem a definováním, mohla zaít diskuse. Studenti diskutují Následující diskuse probhla ve tech stadiích: všeobecné záležitosti, zejména ty, které se vztahují k pravidlm uvedeným v Návodu pro žáky; porovnání výsledk (seznamy pokyn, nákresy, popis a definice); poznámky a komentáe k pedchozím, nejprve na téma kosotverec, pak krychle. Debaty a diskuse se protáhly na ti hodiny, až do konce didaktického semináe. Studentka zahajuje debatu 6

7 Vtšina ze student konstatovala, že si uvdomili, jak je obtížné vyjadovat se jasn a strun by jen o jednoduchých matematických pojmech a vlastnostech, tak jak to vyžaduje uritý pokyn. K vyjadování používali vtšinou jen pirozený hovorový, nematematický jazyk. Nejtžší bylo najít rovnováhu mezi tímto neodborným jazykem a jazykem matematiky a brát pitom na zetel omezení týkající se používání matematické terminologie, uvedená v Návodu pro žáky. Jak se dalo oekávat, vtšina nákres byla správná, pestože mnoho student uvedlo, že ve chvíli, kdy si uvdomili, jaký útvar mají nakreslit, dokonili nákres (tém) bez povšimnutí dalších pokyn, které jim zadával kolega ve dvojici. To by se dalo v této fázi pilotáže pokládat za slabinu, protože nebylo možné dodaten porovnat uritý pokyn s píslušnou ástí nákresu. Je proto nesmírn dležité zdraznit žákm ve škole, aby se soustedili a dbali na to, aby každá dílí ást nákresu pesn odpovídala každému dílímu pokynu, a už je pokyn správný anebo špatný. V prbhu diskuse zaznlo nkolik nejasných pokyn, což umožnilo vyuujícím pipomenout studentm - budoucím uitelm - nkteré matematické pojmy, pop. pomoci jim je lépe pochopit. Na tomto míst je nutno pipomenout, že vtšina student v tomto seminái absolvovala vysokoškolské studium rzných pírodovdných pedmt, nikoli však obor matematika. V prbhu pregraduální pípravy se studenti úastnili jen dvou matematických kurs. Poteba lepšího osvojení nkterých základních matematických pojm se podle oekávání znovu ozejmila v prbhu diskuse o definicích kosotverce a krychle. asto se stávalo, že vztah mezi popisem vlastností a definicí geometrického útvaru nebyl vbec jasný. Bylo proto teba vnovat vci více asu a také se zamit na rozdíly mezi pedstavou/nákresem geometrického útvaru a útvarem samotným. Hodina matematiky ve škole Dva ze student didaktického semináe se nabídli, že provedou pilotáž aktivity s kosotvercem ve 2. roníku stední školy (tj. jako naše 7. tída ZŠ). Dva další nabídli pilotáž s použitím krychle ve 3. roníku (tj. jako naše 8. tída ZŠ). Ped pilotáží je vyuující VŠ znovu vyzvali, aby se vyjádili k aktivit a pravidlm pro žáky (ve vku let). Snahou bylo docílení maximální efektivity experimentu s pihlédnutím k dílím cílm stanoveným na fakult i k pípadným modifikacím, které si mezi sebou dohodnou studenti uitelství. Ped zahájením výuky byl mírn pozmnn Návod pro žáky. Studenti uitelství se rozhodli pracovat se tverekovaným papírem a bez bžných pomcek na geometrii, tj. bez pravítka a trojúhelníku. 7

8 Dvojice pi práci Nejvýznamnjší výsledky, podobné tm, ke kterým došli studenti na pedagogické fakult: Bylo nezbytné lépe vysvtlit, co znamená jednoduchý, nelenný pokyn. Nkteí ze žák, kteí zadávali pokyny, uvedli, že je tžké najít správná slova k vyjádení pokynu, a to i tehdy, mají-li jasnou pedstavu o tom, co by mli jejich spolužáci nakreslit i narýsovat. Seznam pokyn Po nkolika pokynech dokonila vtšina žák úspšn svj nákres, i když (tém) bez povšimnutí zbývajících pokyn: nkteré nákresy byly správné, i když pokyny k nim byly špatné (dležité bylo pece vyhrát!). Použití tverekovaného papíru usnadnilo provádní nákres. Nkolik pokyn bylo nejasných a tedy zavádjících. Dsledky nejasných pokyn 8

9 Nejvýznamnjší výsledky, odlišné od tch, ke kterým došli studenti na pedagogické fakult: Od zaátku hodiny si žáci stžovali na obtížnost jazykového registru, který používali uitelé (studenti na praxi) jak v Návodu, tak pi ústní komunikaci. Vtšina žák použila k oznaení konce úseek písmen. Pro vtšinu žák bylo popsat geometrický útvar a definovat ho jedno a totéž. Z této aktivity nejvíce vytžili slabí žáci. Závrenou debatu zahájily prezentace jednotlivých dvojic, které popisovaly aktivitu ostatním ve tíd. Následovala diskuse. Doplující inností byla zámna rolí uvnit dvojic. Žáci si ji chtli vyzkoušet s jiným geometrickým útvarem. Zptná vazba pro studenty budoucí uitele Analýzy hodiny se krom dvou vyuujících a všech student zúastnili i dva školní žáci. tyi studenti pedstavili pilotáž se žáky 2. a 3. roníku svým kolegm, ukázali a komentovali videozáznamy z jednotlivých hodin. Budoucí uitelé pedstavují pilotáž svým kolegm Vtšina z výsledk pilotáže se stala podntem k diskusi. Je však teba poznamenat, že zatímco žáci byli velmi aktivní, studenti, kteí se pilotáže pímo nezúastnili, se do diskuse zapojili jen sporadicky. Žáci diskutují se studenty uitelství 9

10 Dodatené závry z diskuse: Najít správný zpsob, jak tuto aktivitu uvést a motivovat žáky ke splnní cíl. Urit správný didaktický kontrakt mezi uiteli a žáky pro dosažení optimálního výsledku. Uivo si v hodin správn asov rozvrhnout (pilotáž zabrala více asu, než bylo pvodn naplánováno). Zvážit možnost pedem žáky seznámit s geometrickým softwarem, mohlo by to pomoci zejména tm žákm, kteí mají zadávat pokyny. Všímat si rozdíl mezi matematickým jazykem, který je ustálený, a flexibilitou bžného hovorového jazyka. Rozhodnout se, jak se dá žákm tohoto vku ukázat pechod od popisu geometrického útvaru k jeho definici. Druhá pilotáž Lucia Doretti * REALIZACE NÁVRHU Cílem aktivity bylo pivést studenty budoucí uitele k uvažování o dvou odlišných jazycích, grafickém a verbálním, které se prolínají v prbhu geometrického diskursu a pomocí koordinované interakce urují rozvoj vdomostí. Aktivita se projevila jako zajímavá píležitost jak zdraznit potebu vyuovat využívání rzných zpsob vyjadování a jejich koordinaci v geometrii prostednictvím vhodných úkol, které umožují využívat tyto registry stídav. Aktivita se studenty uitelství Poet student: 18 Doba trvání celkem: tyi hodiny (jedna hodina na práci ve dvojicích ti hodiny na diskusi) Studenti utvoili dvojice a v každé z nich si rozdlili role píjemce a poskytovatele pokyn. Každý student pak dostal instrukce jak postupovat, sled pokyn a další materiály. Ped zahájením aktivity bylo teba pomocí píklad vyjasnit v textu význam výrazu jednoduchý, nelenný pokyn, který ml úastníkm aktivity umožnit nákres tlesa pomocí krátkých, za sebou následujících krok. Na papírech pro studenty, kteí mli zadávat pokyny, byla uvedena slova kosotverec, rovnoramenný lichobžník, nebo krychle. Na konci první fáze, hodinu a pl po zahájení práce: * Dipartimento di Scienze Matematiche e Informatiche, Università di Siena, Itálie. 10

11 každý len dvojice dokonil vyplování pracovního listu bu s danými nebo pijatými pokyny, s písemným záznamem o poznámkách v prbhu aktivity a s definicí daného útvaru všechny dvojice ukázaly papír s názvem útvaru a hotovým nákresem. Následující fáze byla kolektivní diskusí nad prací každé z dvojic. První pipomínky zúastnných student se týkaly neoekávaných obtíží, se kterými se pi práci setkali navzdory tomu, že s danými geometrickými útvary byli dobe obeznámeni. Všichni se shodli na tom, že role poskytovatele pokyn je obtížnjší než role píjemce a vykonavatele pokyn: ti, kteí pokyny zadávali, museli mít stále na zeteli, jak daný útvar vypadá a jak se jmenuje, aby mohli tuto pedstavu interpretovat jako vjem i kognitivn a dokázali formulovat vhodné a pimené údaje pro její reprodukci. Nkteí prohlásili, že se jim nepodailo projít celým seznamem pokyn (a to dokonce po mnoha pokusech), jiní piznali, že mli potíže s formulací pokyn a nebyli se jistí, zda jim jejich kolegové rozumí. Pak se studenti zabývali nkolika seznamy pokyn, které pipravili vyuující (práce se zptným projektorem). Seznamy analyzovali a komentovali rzné zpsoby interpretace pokyn a jejich grafického znázorování u jednotlivých píjemc. Píloha C uvádí záznam nkterých komentá na pracovních listech. Diskuse v didaktickém seminái byla píležitostí pro reflexi student na dva následující aspekty: jazyk matematiky a jeho role v procesu utváení vdomostí; role definice v geometrii. A. Jazyk matematiky a jeho role v procesu utváení vdomostí Vhodné užívání jazyka pedpokládá plné uvdomní zavedené matematické terminologie a také povdomí o nutnosti pesných instrukcí, které všichni chápou stejn. V uritých momentech pilotáže byly pokyny zadávány zpsobem, který umožnil provést nákres útvar s jinými geometrickými vlastnostmi, než jsme chtli dosáhnout (napíklad následující instrukce: 1. narýsuj úseku; 2. narýsuj další úseku, která je na ni uprosted kolmá, nevedou k jednoznané identifikaci kosotverce, jak bylo pvodn zamýšleno). Mli jsme pocit, že téma související s jazykem mže nabídnout zajímavý materiál pro práci v hodinách matematiky, i když ne všichni studenti se s tímto názorem ztotožovali. Nkteré studenty pekvapila kritická analýza, kterou jsme u daných instrukcí provádli, a vyslovili se takto pestože pokyny nejsou moc pesné, píjemce má za úkol je interpretovat a provést správn. Všimli jsme si, že nkteré nákresy neodpovídají tm, které jsme oekávali, z pokyn nebylo ale možné odhalit píinu. Studenti mli tendenci doplnit u chybných nebo nepostaujících pokyn chybjící informace v souladu s pedchozími údaji, využívali k tomu fenomen vnímání a zákonitosti; v jiných pípadech prvotní vizualizace útvaru, vytvoené pvodn 11

12 získanou informací, vedly píjemce k tomu, že pokraoval ve správném nákresu, pestože instrukce nebyly správné 1. Diskuse rovnž poukázala na rozdíl mezi pirozeným hovorovým jazykem, který se vyznauje bohatostí a rznorodostí vyjadovacích prostedk, a jazykem matematiky, v nmž má každý termín svj specifický význam a ten uruje jeho použití. Nakonec se ukázalo, že v mnoha pípadech byl pro vysvtlení zaveden cizí prvek : máme na mysli skutenost, že byla použita informace popisující útvar jakožto umístný standardním zpsobem v pirozeném referenním rámci, který tvoily okraje stránky. To dokazuje existenci stereotyp u pedstav o pojmech a geometrických vztazích (pokyny vlastn asto obsahovaly výrazy jako horizontální a vertikální : narýsuj horizontální úseku, narýsuj vertikální úseku, která protíná sted ). Tato zkušenost pivedla studenty k úvahám o nutnosti rozvíjet specifické innosti se vztahem k jazyku matematiky, k jeho osvojování a používání ve výuce: i když správné užívání jazyka vyžaduje dlouhý as nácviku, je pesto základním nástrojem pro utváení vdomostí. B. Role definic Další námt pro úvahy pinesl úkol na jednom pracovním listu, a to podat definici narýsovaného nebo popsaného útvaru. Tento úkol si rzní studenti vyložili rzn: nkteí pouze oznaili název útvaru, zatímco jiní uvedli adu vlastností, asto víc, než bylo k jeho charakteristice teba. Zde je napíklad nkolik definic kosotverce, které poskytli studenti ve snaze poukázat na tento aspekt a které analyzovali v prbhu didaktického semináe: Kosotverec: Rovinný geometrický útvar, který se dá chápat jako zvláštní pípad rovnobžníku s protilehlými stranami párov rovnobžnými, vnitními úhly párov shodnými a s kolmými úhlopíkami o nestejné délce. Kosotverec: tyúhelník, který má shodné všechny strany a všechny protilehlé úhly. Kosotverec: Rovnobžník s kolmými úhlopíkami, které nejsou shodné. Kosotverec: tyúhelník se tymi shodnými stranami, které jsou párov rovnobžné. Uvažovali jsme o smyslu definice v matematice a o rozdílu mezi vlastnostmi, které útvar popisují a vlastnostmi, které ho definují. Diskutovali jsme zejména o tom, jak minimalizovat uvedené vlastnosti kosotverce, abychom dokázali urit takové, které jsou vždy nezbytn nutné a pro charakteristiku postaující. Všimli jsme si, že urení nezbytn nutných a postaujících vlastností je jak základním momentem pi tvorb definice, tak nároným a složitým mezníkem pro žáky pi vyuování. Je tedy nutné hledat operativní postupy v práci se žáky pi tvorb definic. Pi tchto 1 V jedné poznámce jsme etli Pestože instrukce nebyly vždy úpln pesné, ídil jsem se instrukcemi co nejlogitjším zpsobem (možná tím nejtriviálnjším!). Asi proto, že v geometrických pojmech mám celkem jasno. 12

13 postupech mohou napomoci speciáln vyvinuté materiály 2 a/nebo software Cabri (konstrukní modus Cabri ukazuje, které nezbytn nutné a postaující vlastnosti byly vzaty v úvahu a o kterou definici jde). Zdraznili jsme studentm, že otázka definice je úzce svázána s otázkou tídní: tj. vlastnosti vyjádené definicí nám musí umožnit zaazení pedmtu pouze do takové tídy, která má stejné vlastnosti. Všimli jsme si také, že definice zapsané studenty asto vedly k tzv. klasifikace vyleováním (požadavek, že kosotverec má být rovnobžník s kolmými úhlopíkami, které nejsou shodné implikuje vylenní tverc z množiny kosotverc). To byla píležitost k upozornní, že Euklid ve své knize Elementy rovnž definuje vyleováním: napíklad definice tyúhelníku, které uvádí, mají za cíl stanovit i odlišení i vylenní uvnit množiny tchto útvar. Definice, kterým dáváme pednost v dnešní dob, dávají prchod vzniku inkluzívních vztah, umožujících srovnávání geometrických útvar pomocí popisu shodných a rozdílných rys. Pokud je však teba rozlišovat mezi pojmy (nap. konkávní nebo konvexní tyúhelníky), musíme odkazovat na definice vyleováním (partition). Diskutovali jsme o tom, že klasifikace pomocí vleování (inclusion) i s ohledem na skutenost, že je mnohem více komplexní, umožuje deduktivní systematizaci pojm (dílí pojmy jsou podmnožinou pojm obecnjších), je také mnohem více ekonomická než klasifikace vyleováním a umožuje piaovat každému geometrickému útvaru více alternativních definic (tverec je kosotverec se shodnými úhlopíkami nebo tyúhelník, jehož všechny strany jsou stejn dlouhé). Pi výuce je zásadní vcí neuvádt a neoekávat definici dív, než je vytvoeno prostedí, v nmž definice dává smysl. Realizace aktivity v hodinách matematiky na ZŠ Poet student na pedagogické praxi: 2 Celková doba trvání aktivity v každé tíd: dv hodiny (jedna hodina na výklad a provedení aktivity, jedna hodina urená pro diskusi) Aktivitu se rozhodli vyzkoušet dva studenti pi pedagogické praxi: jeden z nich uil v 6. tíd (18 žák ve vku let) a v 8. tíd (18 žák ve vku let), a druhý ve dvou 7. tídách (20 žák a 17 žák ve vku 12-13let). V každé hodin byl pítomen tídní uitel. Oba praktikanti prezentovali aktivitu žákm jako hru pro dvojice, která se jmenuje Objevujeme geometrické útvary. Jeden soutžící napovídal druhému podle seznamu, druhý soutžící ml za úkol uhodnout útvar. Práce ve tíd byla strukturována stejným zpsobem jako v didaktickém seminái. I zde bylo teba vnovat více asu, než se pedpokládalo, vysvtlování, jak se mají zadávat pokyny (i tak se ale v písemném projevu našly nevhodné formulace). Zvolenými útvary byl kosotverec, lichobžník, rovnoramenný trojúhelník a krychle. 2 Nap. dynamické modely : pi manipulaci s nimi, analýze a jejich popisu mžeme shromáždit prvky ( elementy ) pro tvorbu definic útvar, které odkazují na rzné vlastnosti. 13

14 Ve více než jedné tíd požadovali žáci vyzkoušet si aktivitu s výmnou rolí. V jedné tíd navrhl uitel zmnu aktivity, aby zabránil žákm v rámci dvojice pomáhat jeden druhému, pomocí pravidla o výmn zakázaných informací. Došlo i na další úpravy: oba žáci ve dvojici dostali papír s názvem útvaru, který ml být uchován v tajnosti (názvy útvar se ale na každém archu lišily); každý žák musel zapsat seznam pokyn, aby jejich partner mohl sestrojit útvar; poté se archy s instrukcemi vymnily a každý žák si mohl peíst a písemn okomentovat obdržené instrukce, pokud nebyly dost jasné, a nakonec útvar narýsovat. V závru mli žáci vrátit archy s instrukcemi, komentáem a nákresem svým partnerm. Na samém konci aktivity si každá dvojice pohovoila o své práci se spolužáky a s uitelem. Zptná vazba kolektivní diskuse Poet student: 18 Celková doba trvání: dv hodiny Studenti, kteí vedli hodiny pi pedagogické praxi, referovali ostatním o svých zkušenostech. Jedna z prvních vcí, které v debat zaznly, byl údiv žák, když jim uitel aktivitu navrhl: bylo to nco neobvyklého, mli pocit, že nejsou na nco takového pipraveni, báli se, že je uitel bude negativn hodnotit. Uklidnili se, až když je uitel ujistil, že jde o hru, která jim má pomoci pi studiu geometrie. Pak teprve byli schopni se voln vyjadovat. Nkolik dvojic, zejména v 7. tíd, ovlivnila skutenost, že museli správný nákres útvaru odevzdat, a tak to njak sfoukli, i když to vbec neodpovídalo pokynm napsaným na papíru, který dostali (jasná známka ilegální výmny informací). Uitel proto ped zahájením hry v druhé 7. tíd navrhl úpravu pravidel. Požádal žáky, aby hráli tutéž roli souasn, ale se dvma rznými útvary. Výsledky dávaly podle oekávání vtší smysl a prokázaly v zásad dobrý, odpovídající vztah mezi souborem pokyn a narýsovaným útvarem. Všimli jsme si také, že žáci, (podobn jako pedtím studenti pi didaktickém seminái na fakult), hodnotili úkol zadávání instrukcí jako tžší a pipustili pochybnosti o tom, zda se vyjadovali správn. Ti, kteí pokyny pijímali, pipouštli, že mli asto problémy a nkdy provedli nákres až teprve tehdy, když si pokyn vyložili sami pro sebe ( Kdybych sama nevdla, o co jde, nikdy bych ten nákres nedotáhla do konce: nkteré údaje byly dost šílené ). Studenti si pak prohlédli nkteré žákovské práce: projevila se rzná úrove porozumní jazyku geometrie a jeho používání, v nkterých pípadech dokonce znané disproporce mezi tím, co žáci chtli popsat a co skuten popsali. Vymezili jsme také další aspekt, problém jaký smysl dává vta: uvete definici pro narýsovaný útvar. Pro mnoho žák to bylo rozpoznat útvar a zapsat jeho název, pro jiné to znamenalo napsat seznam jeho vlastností. 14

15 Poznámky Geometrické Hádanky Navrhovaná aktivita pivedla studenty budoucí uitele k uvažování o mnoha aspektech výuky. Obtížnost správn používat jazyk matematiky: nejistota, pochybnosti a chyby, které nastaly pi pedávání instrukcí znamenají nutnost vnovat ve výuce matematiky zvýšenou pozornost ústnímu projevu uitele a žák, nejen aby byli schopni jasn a správn vyjádit své myšlenky, ale i proto, aby to, co eknou, dávalo smysl pro ostatní. Poteba vhodným zpsobem užívat jazyk jako dorozumívací nástroj i když vyžaduje dlouhý as nácviku je to základ pro utváení vdomostí. Poteba zaazovat podobné aktivity do výuky, protože dávají uiteli potebné informace o vdomostech žák, o úrovni konceptualizace, které již dosáhli, pípadných mezerách a špatn pochopené látce. Tyto informace uitel nezbytn potebuje k tomu, aby mohl ve tíd vhodn intervenovat prostednictvím správn naplánovaných výukových inností. Obecnjší poteba rozvíjet geometrický diskurs pomocí koordinované interakce mezi rznými registry (verbálním, grafickým a symbolickým) a uznání dležitosti role, kterou hrají pi výuce percepce a vizualizace. Jeden student, budoucí uitel, si zapsal: Osobn mám za to, že aktivita, kterou jsme se dnes zabývali, byla velice zajímavá. Není to lehké ani pro lidi, kteí mají dost hluboké znalosti oboru, pevádt mluvený jazyk na jazyk grafický a obrácen. Proto si myslím, že tatáž aktivita provedená na druhém stupni základní školy mže vyvolat zájem a zvdavost jak u vyuujících tak u žák. Tetí pilotáž (IUFM Paíž) a Závr Franco Favilli TETÍ PILOTÁŽ Návrh byl také pilotován v ponkud pozmnné podob na pedagogické fakult IUFM v Creteil, Francie. Experiment provedla studentka Catherine Taveau pod vedením tídní uitelky (Cynthia Dobin). Ve tíd bylo pítomno 28 žák ve vku 11 až 12 let, v prvním roníku víceletého gymnázia. Hlavní dva cíle, které si uitelka stanovila, byly totožné s pedchozími dvma školními experimenty posílit u žák znalost jazyka používaného v hodinách geometrie a umožnit pechod od vnjší podoby uritého útvaru k jeho vlastnostem (tj. od toho, co žáci vidí, k tomu, co mohou pochopit) návrh byl realizován ve dvou vyuovacích hodinách. 15

16 První hodina Píjemci mli útvar pouze nakreslit od ruky, bez použití pomcek bžných pro hodiny geometrie. Kreslení pímek Poznámky Mnoho žák se pokusilo zapsat instrukce pro kreslení pesn téhož útvaru (uvedli napíklad i míry), a v nkolika pípadech nebyly tyto instrukce dostaten pesné, to však nezabránilo píjemcm nakreslit útvar správn. Druhá hodina Tato hodina se konala o msíc pozdji. Uitelka dala žákm geometrický miniglosá a požádala píjemce, aby narýsovali (s patinými pomckami) dané útvary co nejpesnji. Rýsování kružnic Poznámky Instrukce pro první ti útvary byly vtšinou správné, až na tu poslední. Uitelka se rozhodla rozšíit výuku o aktivitu s poítai s využitím Cabri geometrie. Uitelka se o tuto tematiku velice zajímá a byla si vdoma, že žáci tohoto vku mohou mít problémy s užitím pesného jazyka geometrie. Ale brzy jí bylo jasné, že podobné úkoly (vetn využití Cabri) jsou dobrým prostedkem k tomu, aby žáci pochopili rozdíl mezi popisem útvaru a jeho definicí. Aby si žáci lépe uvdomili rozdíl mezi popisem útvaru a jeho definicí a aby sami našli cestu k pojmu definice uritého útvaru, se praktikující studenti pi první pilotáži na universit v italské Pise ped nástupem do školy rozhodli: Nejprve požádat žáky, aby si pipravili seznam vlastností, které mohli na daném útvaru vidt ; dále je nechat uvažovat o každé z tchto vlastností a porovnat ji s ostatními; nakonec vymazat ze seznamu takové vlastnosti, o kterých si mysleli, že pouze vyplývají z ostatních. Tímto zpsobem dospli žáci k pesvdení, že vlastnosti, které pežily, pedstavují lepší, dokonalejší a kratší popis útvaru: nco ekvivalentního nebo velmi blízkého 16

17 tomu, co uitelka oznaila za definici. Diskuse s celou tídou o seznamech, které sepsaly rzné skupiny žák, a pedevším vysvtlení, která vedla k vymazávání, velice pispla k tomu, že žáci pijali výklad jednoho z nejsložitjších a nejobtížnjších témat v matematice, pojem definice, jako téma atraktivní a nakonec ho dobe zvládli. Je dležité pipomenout, že všechny ti experimenty dokázaly, že pro studenty na vysoké škole a pro žáky na škole základní i stední je rozhodn namíst ovládat nejen jazyk geometrie, ale i dobe organizovat a umt se vyjadovat o algoritmech, tj. postupech (sled pokyn) 3. Mohli tak snáze získat kýžený výsledek (nákres), který provedl další student, který ml za úkol jen dané pokyny provádt. Jak bylo ale již uvedeno, nesnadnost (i nemožnost) chovat se jako pouhý vykonavatel spolu s faktem, že pedchozí vdomosti asto vedly ke správnému nákresu bez ohledu na obdržené informace, ukázaly na dležitost plného respektování pijímaných instrukcí podle toho, jak byly zadány a pochopeny. Pro studenty, ale pedevším pro školní žáky, je touha uhodnout nebo dokonce vyhrát asto tak silná, že odolá i nejednomu pravidlu. Z nerovnováhy, kterou bylo možné pozorovat u zadání pro jednotlivé leny dvojice (poskytovatel a vykonavatel pokyn), vyplývá, že je vhodné zopakovat aktivitu s použitím jiného útvaru a s výmnou rolí, tak jak to realizovaly první dva experimenty. DOPORUENÁ LITERATURA Ellerton, N.F. and Clarkson, P.C. (1996). Language Factors in Mathematics Teaching and Learning, in Bishop A.J. et al. (eds.), International Handbook of Mathematics Education (pp ). Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. Favilli, F., Japelt, A. and Novotná, J. (2005). Developing good practices for teacher training focused on understanding classroom environment, in Novotná J. (ed.), Proceedings of SEMT '05 International Symposium Elementary Maths Teaching (pp ). Charles University, Prague. Favilli, F. and Villani, V. (1993). Disegno e definizione del cubo: un esperienza didattica in Somalia. L insegnamento della matematica e delle scienze integrate, 16, n.10, Maier, H. (1995). Il conflitto tra lingua matematica e lingua quotidiana per gli allievi. La matematica e la sua didattica, 3, UMI-CIIM (2001). Matematica 2001, Materiali per il XXVII Convegno Nazionale sull Insegnamento della matematica. Lucca: Liceo Scientifico A. Vallisneri. 3 Tato schopnost se nedá brát jako samozejmost ani mezi uiteli na vysoké škole, a již matematiky nebo didaktiky matematiky, což jasn dokázala dílna k tomuto návrhu, která se konala jako souást vdeckých aktivit na kongresu SEMT 05 v Praze. 17

18 Píloha A1: Geometrické hádanky Návod pro žáky Materiály pro tuto aktivitu: Staí list papíru, pero a formulá k vyplnní. Žáci pracují ve dvojicích. Každý žák ve dvojici má jinou roli: jeden žák (instruktor) dává pokyny a druhý žák (kresli) poizuje nárty podle pokyn, které dostane. INSTRUKTOR Dostanete papír s názvem geometrického rovinného nebo prostorového útvaru. Nesmíte ho nikomu ukázat ani o nm mluvit. Máte za úkol umožnit spolužákovi nakreslit daný útvar krok za krokem pomocí nkolika pokyn. 1. Chcete-li, mžete si útvar nakreslit pedem nebo v prbhu hry; 2. Smíte užívat jen jednoduché pokyny, to znamená, že každý pokyn vyžaduje od vašeho spolužáka nakreslit jen jednu jedinou ást geometrického útvaru. Ukažme si to na nematematickém píkladu: jestliže máte na papíe napsáno prostený stl, první jednoduchý (tudíž povolený) pokyn je: Prosti ubrus polož nž polož vidliku - Pozor, žádný z následujících pokyn se nepovoluje: Prosti stl k obdu používáme to denn pi jídle. 3. Pi zadávání pokynu mžete použít matematické výrazy, nap. úseka, osa, úhel atd., ale nemžete použít názvy mnohoúhelník (trojúhelník, tverec atd.), geometrické vzorce a názvy pedmt pipomínajících geometrický útvar, který se má nakreslit (nap. pokud je útvar kružnice, nesmíte íct nakresli kolo). 4. Zapište každou instrukci do formuláe, který jste dostali. Pipojte poznámky, je-li teba. 5. Pokud vás kresli požádá, abyste pokyn zopakovali, mžete to udlat jedin pomocí stejné formulace. 6. Další pokyn mžete dát teprve tehdy, když kresli provedl pedchozí pokyn. 7. Po provedení posledního pokynu napište popis a definici zadaného útvaru. KRESLI Váš spolužák dostane papír s názvem geometrického rovinného nebo prostorového útvaru. Požádá vás, abyste nakreslili tento útvar na základ nkolika pokyn. Vaším úkolem je nakreslit daný útvar krok za krokem. 1. Zapište si každý pokyn, který vám dá instruktor, do formuláe, který jste dostali, a je-li teba, pipojte poznámky. 2. Pokud je pokyn nejasný, mžete instruktora požádat o zopakování, ale ne o výklad. 3. Pokud je pokyn stále nejasný, mžete si ho zapsat s poznámkami do formuláe. 4. V nákresu nesmíte provádt žádné opravy. 5. Pokud zjistíte, že jste se spletli, zapište si to do formuláe. 6. Po provedení posledního pokynu si zapište název, popis a definici zadaného útvaru. 7. Konený nákres mžete ukázat instruktorovi a celé tíd teprve tehdy, až skoní všechny dvojice. 18

19 Geometrical puzzles Píloha A2: Geometrické hádanky Formulá pro zapsání pokyn Dvojice 1) Pokyny Poznámky 2)... Název útvaru: Popis útvaru: Definice útvaru: 19

20 Geometrical puzzles Píloha A2: Geometrické hádanky Návod pro uitele Cílem návodu je pomoci uitelm pizpsobit aktivitu schopnostem tídy, ve které se bude realizovat. Protože aktivita je urena žákm 2. stupn ZŠ, musíme mít na zeteli, že v tomto vku (11-14 let) se vdomí žák abstrakci teprve otevírá. Pro tento vk je typický posun od konkrétních k abstraktním formulacím. Cíle Aktivita se zamuje na jedné stran na posílení schopnosti žák užívat jazyk geometrie a na druhé stran na schopnost uitele budovat geometrické pojmy v žákov mysli a nebýt pitom píliš omezován definicemi. Potebné pedchozí znalosti Aktivita vyžaduje od žák znalost základních geometrických pojm, jako jsou úseka, úhel, kolmé a rovnobžné úseky. Další doporuené výukové materiály Užiteným nástrojem pro tuto aktivitu je geo-plane, protože umožní lepší pedstavu útvaru. Další výhodou je, že neomezuje kreativitu žák. Popis a poznámky 1. Aktivita se zadá žákm jako hra; omezí se tak strach z možného hodnocení, žákm se tak umožní projít aktivitou bez stresu. Aktivita se zadá jako hra pro dvojici. Úastníci mají dv rzné role: Žák, který dává pokyny (instruktor); Žák, který pokyny pijímá (kresli). Instruktor dostane papír s názvem geometrického útvaru a jeho úkolem je umožnit spolužákovi daný útvar nakreslit. 2. e uitele by mla odpovídat vku žák. Proto by se ml uitel vyhnout používání tvar imperativu, který je autoritativní a pipomíná jazyk, který asto používají uebnice matematiky (nap. zjednodušte následující výraz, vyešte následující úlohu). Uitel by ml spíše používat první osobu množného ísla. Je také možné zjemnit tvary imperativu použitím tázacích výraz a slovesa moci. 3. Pi této aktivit nemusí být dvojice nutn na stejné úrovni, protože cílem je komunikace mezi žáky, a to jak aktivní, tak pasivní. Uitel mže vytvoit i nesourodé dvojice. V první etap aktivity pi práci ve dvojicích je dležité usnadnit socializaci. 4. Geometrické obrazce, které se mají nakreslit, mžete vybírat mezi tmi, které už žáci znají, a tmi, které jsou pro n nové. Na jedné stran by mohla žákova pedchozí znalost geometrického obrazce posílit jeho znalosti vlastností obrazce a usnadnit komunikaci ve dvojicích; na druhé stran by mohla aktivovat žákova myšlenková schémata vytvoená díve. Napíklad ten z žák, který má roli kreslie, by mohl v uritém okamžiku pokraovat v kreslení pouze z toho dvodu, že si uvdomí, o jaký obrazec jde, a ne pomocí pokyn, které dostává od svého spolužáka. Nco podobného by se mohlo stát žákovi, který má roli instruktora, protože nemusí rozpoznat rzné možné interpretace svých pokyn; napíklad z pokynu nakresli dv rovnobžné strany není jasné: a) zda jsou strany shodné nebo ne; b) jaké je vzdálenost mezi stranami; c) zda mají strany nkterý krajní bod na spolené kolmici nebo ne. 20

21 Geometrical puzzles Lze oekávat, že žák, který dostane tento pokyn, nakreslí dv rovnobžné strany tverce. Použijeme-li obrazec, který žáci neznají, budou dávat vtší pozor na formu zadávaných pokyn a na to, jak je budou provádt, protože nemají žádná myšlenková schémata, která by s útvarem souvisela. Aktivita však v tomto pípad mže být pro žáky obtížnjší. 5. Použití tverekovaného papíru mže usnadnit úkol obma žákm ve dvojici (instruktorovi i kreslii). Mže se to však stát i limitujícím faktorem, protože žáci mohou ve tvercové síti dávat pednost uritým cestám (nap. pokyn nakresli šikmou úseku by mohl vést k tomu, že kresli nakreslí úseku svírající se sítí úhel 45, protože použije tverce v síti). Pokud se uitel rozhodne použít nelinkovaný papír, bylo by užitené nechat žáky používat pravítko i trojúhelník. Také žák v roli instruktora by ml dostat list papíru, kam by si mohl sám také kreslit obrazec, je to pro nj dležitá vizuální opora. Je známo, že žáci v tomto vku (11 až 14 let) mají malou schopnost abstrakce a to, že si nakreslí obrázek podle svých vlastních pokyn by jim mohlo usnadnit monitorování postupu spolužáka. 6. Protože je aktivita založena na komunikaci mezi žáky v každé dvojici, ml by uitel zamit pozornost žák na to, že jsou povoleny pouze jednoduché pokyny. Pojem jednoduchého neboli nestrukturovaného pokynu by mohl být dost diskutabilní: uitel musí vybrat zpsob, jak ho vysvtlí žákm. Napíklad pro nakreslení úhlopíek kosotverce mohou být zadány dva soubory pokyn: a) nakresli úseku AB ozna M její sted nakresli úseku MC kolmou k AB nakresli úseku MD shodnou a pilehlou k MC (posloupnost ty jednotkových pokyn). b) nakresli dv navzájem kolmé úseky, které se protínají ve stedech (pouze jeden pokyn, který ale není jednotkový). Ve formulái, který žáci dostanou, je užitené uvést píklad nestrukturovaného pokynu ne z matematiky, ale z každodenního života; žáci se pak budou cítit volnji v prbhu aktivity. 7. Na konci aktivity požádejte žáky, aby: a) napsali jméno obrazce, který nakreslili; b) obrazec popsali; c) definovali ho. Tato poslední etapa aktivity je pro žáky užitená pro budování pojmu geometrického obrazce, který jim byl zadán. Podle situace ve tíd mže uitel rozhodnout, zda bude požadovat pesnou definici geometrického obrazce nebo ne. 8. Závrená debata ve tíd je dležitou etapou aktivity, protože umožuje uiteli i celé tíd prohlížet si konené nákresy, porovnávat soubor pokyn a nákresy každé dvojice, poslouchat a diskutovat rzné nápady o zadaném obrazci. Z tohoto pohledu je možné zvolit tyto strategie: Nejprve by mla dvojice prezentovat a popsat svj postup ostatním spolužákm; ti k nmu mohou pokládat otázky a komentovat ho, což vytváí podmínky pro opravdovou diskusi mezi dvojicemi; Potom je možné navrhnout zmnu ve složení dvojic, nap. instruktor z jedné dvojice mže pracovat s kresliem z jiné dvojice. Tak by se žákm dala možnost porozumt tomu, jak je dležité používat jednoznaný matematický jazyk a terminologii. 9. Obmny aktivity Dát všem žákm ve tíd stejný soubor pokyn pro kreslení geometrického útvaru. Nkteré z pokyn mohou být zadány nejasn, což umožní sledovat reakce žák na rzné interpretace. 21

22 Geometrical puzzles Chtít od žák, aby nakreslili nestandardní geometrický obrazec. Rozdlit žáky do skupin. Každá skupina si vybere nkterý geometrický obrazec a soubor jednotkových pokyn pro jeho nakreslení. Každá skupina pak požádá uitele, aby byl jejich kresliem a nakreslil vybraný obrazec. Rozdlit žáky do skupin. Každá skupina pedá soubor nestrukturovaných pokyn pro nakreslení geometrického obrazce jiné skupin a obrácen, jako v soutži. 22

23 Geometrical puzzles Píloha C: Geometrické hádanky Dva pracovní listy student uitelství Píklad 1: Konstrukce kosotverce Seznam pokyn Komentá píjemce 1. Narýsuj vodorovnou úseku. 2. Vyzna sted této úseky. 3. Narýsuj vertikální úseku, která prochází tímto stedem. 4. Poátení body úseky musí být ve stejné vzdálenosti od koncových bod úseky. Není jasné, o jakou úseku jde. 5. Tyto dv úseky nesmí mít stejnou délku. 6. Spojte koncové body obou úseek. Nákres kosotverce vytvoený pomocí tchto instrukcí Definice útvaru (podle píjemce pokyn) Kosotverec: rovnobžník s kolmými úhlopíkami, které nejsou shodné. Definice útvaru (podle poskytovatele pokyn) Kosotverec: rovinný geometrický útvar, který se dá chápat jako zvláštní pípad rovnobžníku s protilehlými stranami párov rovnobžnými, vnitními úhly po dvou shodnými a s kolmými úhlopíkami o nestejné délce. Píklad 2: Konstrukce rovnoramenného lichobžníku Seznam pokyn Komentá žák, kteí zadávají pokyny Komentá tch, kdo pokyny pijímají 1. Narýsuj vodorovnou úseku. 2. Rozdl vodorovnou úseku na ti stejné ásti. 3. Ozna tyi body, které tím na úsece vznikly, po ad písmeny A, Neekli, že máme zaít zleva. B, C, D 4. Narýsuj úseku rovnobžnou s BC. 5. Vyzna úseku EF. 6. Spoj body A a E. 7. Spoj body D a F. Copak jsem to neekl jasn? Peskoil jsem tohle: Narýsuj kolmici k AB v bod B a kolmici k CD v bod C. Mžu ji narýsovat, kde chci, ale udlám ji nad úsekou BC a stejn dlouhou. Nákres lichobžníku vytvoený pomocí tchto instrukcí Definice útvaru: Útvar je rovnoramenný lichobžník, který je tyúhelníkem s dvma rovnobžnými stranami o nestejné délce a dvma shodnými stranami. Vnitní protilehlé úhly jsou styné. 23