1 Dvojný integrál Křivky v R n a jejich parametrizace Zavedení dvojného integrálu... 10

Transkript

1 Obsah Dvojný integrál 5. Křivk v R n a jejich parametrizace Zavedení dvojného integrálu Přípravné úvah Konstrukce dvojného integrálu Zavedení integrálu v R pro zvídavější čtenáře Vlastnosti dvojného integrálu Některé aplikace dvojného integrálu Integrace pomocí Fubiniho vět Fubiniho věta pro přípustnou oblast Příklad Úloh Integrace pomocí substituce Přípravné úvah Věta o substituci ve dvojném integrálu Příklad Úloh Trojný integrál 55. Plocha v prostoru R 3 a její parametrizace List v prostoru R Plocha v prostoru R Zavedení trojného integrálu Přípustná oblast v R Konstrukce trojného integrálu Vlastnosti trojného integrálu Některé aplikace trojného integrálu Integrace pomocí Fubiniho vět Fubiniho věta Příklad Úloh Integrace pomocí substituce Přípravné úvah Věta o substituci v trojném integrálu Příklad Úloh

2 4 OBSAH 3 Křivkové integrál 9 3. Křivkový integrál. druhu Délka oblouku Křivkový integrál. druhu po oblouku Některé aplikace křivkového integrálu Křivkový integrál. druhu po křivce Křivkový integrál. druhu Křivkový integrál. druhu po oblouku Křivkový integrál. druhu po křivce Plošné integrál 3 4. List v prostoru R 3 a jeho parametrizace Plošný integrál. druhu Plošný integrál. druhu po listu Plošný integrál. druhu po ploše Některé aplikace plošného integrálu Plošný integrál. druhu Plošný integrál. druhu po listě Plošný integrál. druhu po ploše Integrální vět Diferenciální operátor vektorové analýz Skalární a vektorové pole Použití křivkového integrálu Křivkový integrál po orientované cestě Greenova věta Použití plošného integrálu Gaussova věta Stokesova věta

3 Kapitola Dvojný integrál. Křivk v R n a jejich parametrizace Klíčová slova: Oblouk v R n, parametrizace oblouku, krajní bod oblouku, počáteční bod oblouku, koncový bod oblouku, krajní bod oblouku, vnitřní bod oblouku, tečný vektor oblouku, pole tečných vektorů oblouku, orientace oblouku, orientace oblouku indukovaná parametrizací, křivka v prostoru R n, parametrizace křivk, uzavřená křivka, prostá křivka, orientace křivk, orientace křivk indukovaná parametrizací Oblouk v R n nožinu O R n nazýváme obloukem (nebo také hladkým obloukem) v R n právě tehd, kdž existuje vektorová funkce taková, že. O = {x R n x = g(t), t a, b }; g: a, b R n, a < b, (.). funkce g = (g, g,..., g n ) je spojitá v uzavřeném intervalu a, b a má spojité derivace v otevřeném intervalu (a, b); 3. pro žádné t a, b neplatí ġ(t) = o; 4. jsou-li t, t a, b, t t, pak g(t ) g(t ). Vektorovou funkci g nazýváme parametrizací oblouku O. Bod g(a), g(b) nazýváme krajními bod oblouku O. Bod g(a), resp. g(b) nazýváme počátečním, resp. koncovým bodem oblouku O. Bod x = g(t), t (a, b), nazývame vnitřními bod oblouku O. Parametrizace g(t), t a, b, oblouku O má podle definice spojitou a nenulovou derivaci v každém bodě t intervalu (a, b). Vektor ġ(t), t (a, b), je tečným vektorem oblouku O v bodě g(t). Každá parametrizace určuje jednoznačně vektorové pole tečných vektorů ġ(t). Směrové vektor t (g(t)) = ġ(t), t (a, b), (.) ġ(t) tohoto vektorového pole jsou souhlasné se směrem, v němž se pohbuje bod g(t) po oblouku O kdž se parametr t mění od hodnot a do hodnot b (tj. ve směru rostoucího 5

4 6 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL parametru t). V každém bodě oblouku O existují dva jednotkové tečné vektor ġ(t) ġ(t) a ġ(t) ġ(t). (.3) Říkáme, že oblouk O je orientovaný, je-li zadán smsl pohbu bodu po oblouku O, tj. je-li na oblouku O zadáno spojité vektorové pole τ (x) jednotkových tečných vektorů. Zadané jednotkové tečné vektorové pole τ nazveme orientací oblouku O. Každý oblouk lze ted orientovat jednou ze dvou navzájem opačných orientací. Orientaci lze zadat kterýmkoli z následujících způsobů:. zvolíme smsl pohbu bodu po křivce;. zvolíme jeden z krajních bodů za počáteční a druhý za koncový; 3. zvolíme spojité vektorové pole jednotkových tečných vektorů. Je vidět, že každá parametrizace určuje právě jednu ze dvou možných orientací oblouku. Parametrizace g(t), t a, b, určuje, v jakém směru se pohbuje bod g(t) po křivce, jestliže t probíhá interval a, b. Volbou bodu g(a) jako počátečního bodu a bodu g(b) jako koncového bodu při pohbu po oblouku O je již zvolena nějaká jeho orientace. Takto zvolená orientace je souhlasná s orientací danou polem jednotkových tečných vektorů (.) a říkáme o ní, že je to orientace oblouku O indukovaná jeho parametrizací. Křivka v prostoru R n Pojem oblouku je sice dosti obecný a zahrnuje např. rozsáhlou třídu různých částí kuželoseček, průniků různých ploch v prostoru apod. Nicméně obloukem není například kružnice, trojúhelník, obdélník apod. Přitom je zřejmé, že každý z právě vjmenovaných geometrických útvarů můžeme vtvořit jako sjednocení konečného počtu oblouků. Takové útvar budeme nazývat křivkami. Jsou-li O, O,..., O r, oblouk v R n s parametrizacemi g k : a k, b k R n, k =,,..., r, takové, že. žádné tři oblouk nemají společný bod (nenastává situace podobná té, která je znázorněna na obr.. a));. dva různé oblouk se buď neprotínají, nebo mají společné pouze některé ze svých krajních bodů (nemohou nastat situace podobné těm, které jsou znázorněn na obr.. b) a c)); 3. pro krajní bod oblouků platí (viz obr.. d)) pak množinu g k (b k ) = g k+ (a k+ ), k =,,..., r, r K = O k (.4) k= nazýváme křivkou (nebo také po částech hladkou křivkou) v R n. Parametrizací křivk K budeme nazývat množinu g = {g, g,..., g r }

5 .. KŘIVKY V R N A JEJICH PARAETRIZACE 7 O O O 3 a) O 3 O O b) O 3 O O c) g (b ) = g (a ) O O O 3 g (b ) = g 3(a 3) d) æ parametrizací oblouků tvořících křivku K. Obrázek.: K definici křivk Uvědomme si, že v definici parametrizace křivk nepožadujeme, ab interval a k, b k bl pro různá k různé. Je docela možné, že parametrizace všech oblouků vtvářejících křivku mají týž definiční interval. Je nutné mít na zřeteli, že pohb po k tém oblouku křivk je určen parametrizací g k. Požadavek, ab se obraz koncového bodu definičního intervalu parametrizace g k shodoval s obrazem počátečního bodu definičního intervalu parametrizace g k+ zaručuje, že kdž se parametr t pohbuje postupně po intervalech a, b, a, b,..., a r, b r, pohbuje se bod g(t) po křivce K tak, že se postupně pohbuje po oblouku O, O, až O r, a to ve směru orientace příslušného oblouku indukované jeho parametrizací. Je-li g (a ) = g k (b k ), pak říkáme, že křivka K je uzavřená. V opačném případě říkáme, že křivka je prostá (také jednoduchá). Je-li křivka K prostá, pak volbou jejího počátečního a koncového bodu volíme na ni orientaci. Orientaci, při níž je bod g (a ) jejím počátečním bodem a bod g k (b k ) jejím koncovým bodem nazýváme orientací křivk K indukovanou parametrizací. Tato orientace je dána rovněž tečným vektorem ġ k (t) libovolného oblouku O k v jeho libovolném bodě g k (t), t (a k, b k ). Volbou parametrizace lze zadat i orientaci uzavřené křivk. Každá křivka má dvě navzájem opačné orientace. Příklad. Příkladem oblouku je horní půlkružnice O se středem v počátku a poloměrem

6 8 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL O O R x R R R x O a) æ b) æ Obrázek.: Ilustrace k. až 3. příkladu R >, načrtnuta na obr.. a). ůžeme jej popsat jako obraz intervalu, π v zobrazení g = (g, g ) :, π R, g(t) = (R cos t, R sin t), (.5) tj. x = g (t) = R cos t, = g (t) = R sin t, t, π. (.6). Příkladem křivk vtvořené ze dvou oblouků je kružnice se středem v počátku a poloměrem R >, načrtnuta na obr.. b). ůžeme ji popsat jako sjednocení dvou oblouků O a O, kde O, resp O je horní, resp. dolní půlkružnice, popsaná jako obraz intervalu, π v zobrazení g = (g, g ) :, π R, g (t) = (R cos t, R sin t), (.7) resp. tj. resp. g = (g, g ) :, π R, g (t) = ( R cos t, R sin t), (.8) x = g (t) = R cos t, = g (t) = R sin t, t, π, (.9) x = g (t) = R cos t, = g (t) = R sin t, t, π. (.) 3. Kružnici K se středem v počátku a poloměrem R >, tj. křivku vtvořenou jako sjednocení dvou oblouků O a O, kde O, resp O je horní, resp. dolní půlkružnice, jsme v předchozím příkladě popsali tak, že každou půlkružnici jsme vtvořili jako obraz téhož intervalu, π v různých zobrazeních. Snadno se ukáže, že k popisu této křivk nám stačí pouze jeden společný předpis pro zobrazení, který pro jednotlivé oblouk bude definován na různých intervalech. ůžeme totiž zřejmě volit g = (g, g ) :, π R, g (t) = (R cos t, R sin t), (.) resp. g = (g, g ) : π, π R, g (t) = (R cos t, R sin t). (.)

7 .. KŘIVKY V R N A JEJICH PARAETRIZACE 9 R B O O R R x A C O 3 3 x R a) æ æ b) Obrázek.3: Ilustrace k 4. až 6. příkladu 4. Nní ukážeme, jak lze popsat jako křivku trojúhelník K s vrchol v bodech A = (, ), B = (, ), C = (3, ), nakreslený na obrázku.3 a). Budeme parametrizovat tento trojúhelník pomocí parametrizací tří oblouků O, O a O 3, kde O je úsečka AB, O je úsečka BC, O 3 je úsečka CA, přičemž parametrizace úseček zvolíme tak, ab trojúhelník bl obrazem jediného intervalu, 6. Parametrizaci g = {g, g, g 3 } můžeme definovat například předpis g (t) = (t, t), t,, g (t) = (t, 3 t), t, 3, g 3 (t) = (6 t, ), t 3, 6. (.3) 5. V předchozím příkladě jsme parametrizovali trojúhelník pomocí zobrazení definovaného na různých podintervalech jediného intervalu, 6, a to tak, že trojúhelník bl popsán jako obraz tohoto intervalu. Nní ukážeme, jak lze popsat týž trojúhelník pomocí parametrizací jeho stran definovaných na témže intervalu,. K tomu lze použít např. zobrazení definovaná předpis g (t): x =, = t, t,, g (t): x = t +, = t, t,, g 3 (t): x = 3 3t, = ; t,. 6. Jako poslední příklad uvažujme množinu, která je načrtnuta na obrázku.3 b). Tuto množinu můžeme popsat jako obraz intervalu, 3π/ v zobrazení tj. g = (g, g ) :, 3π/ R, g(t) = (R cos t, R sin t), (.4) x = g (t) = R cos t, = g (t) = R sin t, t, 3π/. (.5) Tato množina není křivka ve smslu naší definice, protože obraz bodů t = π/ a t = 3π/ splývají, a nelze ji ted rozložit na oblouk tak, jak je požadováno v definici křivk.

8 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL. Zavedení dvojného integrálu Klíčová slova: přípustná oblast, zanedbatelná množina, dvojný Riemannův integrál, integrovatelná funkce, aditivita integrálu, linearita integrálu, monotonie integrálu.. Přípravné úvah Přípustné oblasti a jejich popis nožinu R budeme nazývat přípustnou oblastí právě tehd, kdž je omezená a její hranici tvoří konečně mnoho prostých křivek. Jelikož hranice přípustné oblasti je tvořena prostými po částech hladkými křivkami, můžeme pomocí vět o implicitně definovaných funkcích každou takovou křivku rozdělit na konečný počet oblouků, z nichž každý můžeme parametrizovat jako graf nějaké funkce. Přitom nezávisle proměnnou této funkce může být někd proměnná x a jind proměnná. Pro jednoduchost a větší názornost popisu přípustné oblasti předpokládejme, že daná přípustná oblast je taková, že její hranici můžeme popsat jako graf dvou funkcí a(x) a b(x), resp. c() a d(). Takové oblasti jsou načrtnut na obr..4 a). Definičním oborem c() b(x) a(x) d() 3 x x x a) x æ b) æ Obrázek.4: Popis přípustných oblastí těchto funkcí je interval x, x, resp.,, který je průmětem množin na osu x, resp na osu. nožinu pak můžeme popsat buď pomocí funkcí a(x) a b(x) nebo pomocí funkcí c() a d() = {(x, ) R x x x, a(x) b(x)}, (.6) = {(x, ) R, c() x d()}. (.7) V případě, kd nelze celou hranici množin popsat pomocí dvou funkcí, postupujeme tak, jak ukazuje obr..4 b). Zanedbatelná množina v R Při integrování funkcí jedné proměnné jsme mohli libovolně změnit hodnotu integrandu v konečném počtu bodů integračního oboru, aniž to ovlivnilo hodnotu integrálu. Analogická situace je i u integrálů funkcí více proměnných. Zde už nebudeme v integračním oboru

9 .. ZAVEDENÍ DVOJNÉHO INTEGRÁLU vnechávat jen bod, ale i o různé křivk. Pro takové množin zavedeme nní následující názorné pojmenování. Říkáme, že množina A R je zanedbatelná v R právě tehd, kdž je sjednocením konečně mnoha bodů a konečně mnoha prostých křivek... Konstrukce dvojného integrálu Dvojný integrál na intervalu Nejdříve budeme zavádět integrál v rovině na jedné z jejích nejjednodušších podmnožin, a to na obdélníku, který představuje dvourozměrný interval a je přímým zobecněním intervalu na reálné ose. Předpokládejme ted, že v rovině R máme dvourozměrný interval I = a, a b, b. Další postup můžeme sledovat na obr..5. b = n b n. j D j j I ij = Dx i D j b = b a = x x x x m x m = a a) x æ a x i Dx i a x b) x i æ Obrázek.5: K definici rozkladu intervalu Definujeme dělení d obdélníka I takto: Rozdělíme interval a, a, resp. b, b bod tak, že platí x i, i =,,..., m, resp. j, j =,,..., n, (.8) a = x < x < x <... < x m = a, b = < < <... < n = b. (.9) Označme Pak platí Dx i = x i, x i, i =,,..., m; D j = j, j, j =,,..., n. (.) a, a = Dx Dx... Dx m, b, b = D D... D n. (.) Pomocí těchto dvou dělení intervalů na osách x a můžeme nní zavést dělení obdélníka I = a, a b, b na obdélník I ij = Dx i D j, i =,,..., m, j =,,..., n, jak ukazuje obr..5 b). Označme x i, resp. j délku intervalu Dx i, resp. D j. Označme D množinu všech takových dělení dvourozměrného intervalu I a zvolme jedno dělení d D.

10 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL Ted d je množina obdélníků I ij = Dx i D j, i =,,..., m, j =,,..., n, takových, že jejich sjednocení je celý interval I = a, a b, b a každé dva různé obdélníčk I ij, I rs pro (i, j) (r, s) jsou buď disjunktní nebo mají společný jeden vrchol nebo jednu stranu. Platí ted, že průnik každých dvou takových obdélníčků je množina zanedbatelná v R. Nechť je dána funkce f, definovaná a omezená na intervalu I. Označme m = inf{f(x, ) (x, ) I }, = sup{f(x, ) (x, ) I }, m ij = inf{f(x, ) (x, ) I ij }, ij = sup{f(x, ) (x, ) I ij }. (.) Číslo resp. s(f, d) = i,j m ij x i j, (.3) S(f, d) = i,j ij x i j (.4) nazýváme dolním, resp. horním Riemannovým součtem funkce f na intervalu I pro dělení d. Zřejmě je Číslo resp. m(a a )(b b ) s(f, d) S(f, d) (a a )(b b ). (.5) s(f) = sup{s(f, d) přes všechna dělení d D}, (.6) S(f) = inf{s(f, d) přes všechna dělení d D} (.7) nazýváme dolním, resp. horním Riemannovým integrálem funkce f na intervalu I. Je-li s(f) = S(f), pak číslo s(f) = S(f) = f(x, ) dx d (.8) I nazýváme Riemannovým integrálem funkce f na intervalu I. Říkáme pak, že funkce f je integrovatelná na intervalu I. Z konstrukce Riemannova integrálu, z vlastností supréma množin a z vět o funkcích spojitých na uzavřené a omezené množině plne, že každá spojitá funkce na intervalu I je na tomto intervalu integrovatelná. Dvojný integrál na přípustné množině Prozatím jsme definovali Riemannův integrál přes interval a, a b, b. Nní tuto definici rozšíříme na integraci přes libovolnou přípustnou oblast. Nechť R je přípustná oblast, nechť f je funkce definovaná a omezená na a nechť I je interval v R takový, že I (viz obr..6). Definujme funkci g předpisem g(x, ) = { f(x, ) pro (x, ), pro (x, ) I \. (.9)

11 .. ZAVEDENÍ DVOJNÉHO INTEGRÁLU 3 O x æ Obrázek.6: K definici integrálu na přípustné množině Je-li funkce g integrovatelná na intervalu I, pak definujeme f(x, ) dx d = g(x, ) dx d. (.3) Říkáme pak také, že funkce f je integrovatelná na množině. Pro tento integrál, zvaný také dvojný Riemannův integrál, budeme občas používat stručné označení f(x, ) dx d f. (.3)..3 Zavedení integrálu v R pro zvídavější čtenáře Dělení intervalu Nechť I = a, a je kompaktní (tj. omezený a uzavřený) interval v R. Dělením d I intervalu I budeme nazývat každou konečnou posloupnost čísel x, x,..., x n, takovou, že a = x < x < x < < x n = a ; (.3) píšeme také d I = (x, x,..., x n ). Nechť J = b, b je další kompaktní interval, d J = (,,..., m ) nějaké jeho dělení. Označme Dx i = x i, x i, i =,,..., n a D j = j, j, j =,,..., m. Uvažujme dvourozměrný interval nožinu všech obdélníků tvaru I I = I J. (.33) I ij = x i, x i j, j = Dx i D j (.34) pro i =,,..., n, j =,,..., m označíme d a budeme nazývat dělením intervalu I (vzniklým z dělení d I, d J ). Budeme také psát d = (I ij ). Označme x i, resp. j délku intervalu Dx i, resp. D j a µ(i) velikost plošného obsahu obdélníka I, tj. µ(i) = (a a )(b b ). Podobně µ(i ij ) = (x i x i )( j j ) = x i j. (.35)

12 4 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL Jelikož obdélníků I ij je konečný počet, platí n m µ(i ij ) = µ(i). (.36) i= j= Zavedeme ještě pojem norm dělení. Diametrem (průměrem) množin R nazveme číslo diam, definované předpisem diam = sup{ x x, }. (.37) Je-li d = (I ij ) libovolné dělení intervalu I R, definujeme normu dělení d jako číslo d = max{diami ij I ij d}. (.38) Dolní a horní součet I nadále budeme předpokládat, že f je omezená funkce na R. Pro každou dvojici přirozených čísel i =,,..., n, j =,,..., m označme m ij = inf{f(x) x I ij } ij = sup{f(x) x I ij }. (.39) Zřejmě je vžd m ij ij. Jelikož funkce f je podle předpokladu omezená, jsou obě čísla m ij, ij konečná. Dolním součtem s(f, d), resp. horním součtem S(f, d) funkce f na intervalu I při dělení d nazýváme číslo s(f, d) = n m m ij µ(i ij ) = m ij µ(i ij ), (.4) resp. I ij d Jelikož m ij ij a µ(i ij ) >, je určitě i= j= S(f, d) = n m ij µ(i ij ) = ij µ(i ij ). (.4) I ij d i= j= s(f, d) S(f, d). (.4) Tento vztah mezi dolním a horním součtem je zřejmý, jedná-li se o dolní a horní součet při tomtéž dělení I. V dalším bude důležité vědět, že totéž platí i kdž se jedná o součt pro různá dělení, tj. jsou-li d, d dvě libovolná dělení obdélníku I, pak s(f, d ) S(f, d ). (.43) Nejdříve zavedeme pojem zjemnění dělení. Nechť d = (I ij ), d = (I rs) jsou dvě dělení intervalu I. Řekneme, že dělení d je zjemněním dělení d právě tehd, kdž pro každé I rs d existuje I ij d tak, že I rs I ij. Je vidět, že kdž dělení d vzniklo z dělení d I, d J a dělení d vzniklo z dělení d I, d J, tj. je-li d I = (x, x,..., x n ), d J = (,,..., m ), (.44) d I = (x, x,..., x n ), d J = (,,..., m ), (.45)

13 .. ZAVEDENÍ DVOJNÉHO INTEGRÁLU 5 pak dělení d je zjemněním dělení d právě tehd, kdž { x, x,..., x n } { x, x,..., x n }, {,,..., m } {,,..., m }. (.46) V dalších úvahách budou hrát důležitou roli následující nerovnosti mezi dolními a horními součt. Nechť f je omezená funkce na intervalu I R, nechť d je dělení intervalu I a nechť d je zjemnění dělení d. Pak platí nerovnosti s(f, d) s(f, d ) S(f, d ) S(f, d). (.47) Dokážeme první nerovnost. Pro I ij d, I rs d označme m ij = inf{f(x) x I ij } m rs = inf{f(x) x I rs}. (.48) Z definice infima snadno plne, že pro = N R je inf N inf. Odtud plne, že pokud I rs I ij, pak m rs m ij. Je-li dělení d zjemněním dělení d, pak pro I ij d, I rs d platí I rs = I ij, µ(i rs) = µ(i ij ). (.49) I rs I ij I rs I ij Odtud s(f, d ) = I ij d m ij µ(i rs) = I ij d I rs I ij I ij d I rs d m rsµ(i rs) = m rsµ(i rs) I rs I ij m ij µ(i ij ) = s(f, d), což je požadovaná nerovnost. Druhá nerovnost je zřejmá a třetí se dokazuje podobně jako první. Z právě provedených úvah plne tento závěr: Je-li f omezená funkce na intervalu I R a jsou-li d, d libovolná dvě dělení I, pak platí nerovnost s(f, d ) S(f, d ). (.5) Toto důležité tvrzení nám dovoluje vslovit následující definici. Zavedení Riemannova integrálu v rovině R Nechť f je omezená funkce na omezeném intervalu I R. Označme D množinu všech dělení intervalu I. Horním Riemannovým integrálem S(f), resp. dolním Riemannovým integrálem s(f) funkce f na intervalu I nazýváme číslo S(f) = inf{s(f, d) d D}, resp. s(f) = sup{s(f, d) d D}. (.5) Je-li s(f) = S(f), pak řekneme, že f má na intervalu I Riemannův integrál; společnou hodnotu s(f) = S(f) značíme potom Geometrický význam Riemannova integrálu f f(x)dx f(x, ) dx d. (.5) I I I

14 6 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL Z definice integrálů s(f) a S(f) je přímo vidět, že je vžd s(f) S(f). Vezmeme-li v úvahu nerovnosti pro integrální součt, snadno ověříme, že funkce f má na intervalu I Riemannův integrál právě tehd, kdž pro každé ε > existuje dělení d intervalu I tak, že S(f, d) s(f, d) < ε. á-li přitom funkce f na intervalu I Riemannův integrál, je vžd s(f, d) f S(f, d). Předpokládejme, že f na I a položme I V = { (x,, z) R 3 (x, ) I, z f(x, ) }. (.53) Ukažme, že pokud Riemannův integrál I f existuje, lze se na jeho hodnotu dívat jako na objem tělesa V. Hodnotu tohoto objemu označme µ 3 (V ). Nechť d = (I ij ) je nějaké dělení intervalu I. Označme Dá se očekávat, že platí Pro každé (x, ) I ij je a ted Přitom je ovšem V ij = { (x,, z) R 3 (x, ) I ij, z f(x, ) }, q ij = { (x,, z) R 3 (x, ) I ij, z m ij }, Q ij = { (x,, z) R 3 (x, ) I ij, z ij }. µ 3 (V ) = I ij d µ 3 (V ij ). m ij f(x, ) ij, µ 3 (q ij ) µ 3 (V ij ) µ 3 (Q ij ). µ 3 (q ij ) = m ij µ(i ij ), µ 3 (Q ij ) = ij µ(i ij ). Z definice horních a dolních součtů okamžitě dostáváme, že s(f, d) µ 3 (V ) S(f, d), tj. horní a dolní součt omezují shora a zdola objem tělesa V. Existuje-li Riemannův integrál funkce f přes interval I, pak je nutně µ 3 (V ) = f. (.54) Jordan-Peanův objem množin Nechť R a nechť χ značí charakteristickou funkci množin, tj. funkci definovanou na R předpisem I χ (x) = { pro x, pro x R \. (.55)

15 .. ZAVEDENÍ DVOJNÉHO INTEGRÁLU 7 Nechť I R je interval a nechť I. Říkáme, že má Jordan-Peanův objem µ () právě tehd, kdž existuje Riemannův integrál funkce χ přes interval I. Definujeme potom µ () = χ (x, ) dx d. (.56) I Nechť I R je interval a nechť I má Jordan-Peanův objem. Je-li f funkce definovaná alespoň na a omezená na, definujeme f(x, ) dx d = f(x, )χ (x, ) dx d, (.57) I pokud integrál vpravo existuje. Přitom klademe f(x, )χ (x, ) = i v těch bodech (x, ), v nichž funkce f není případně definována. Ukážeme, že Jordan-Peanův objem má význam plošného obsahu ploch. To lze ukázat např. takto. Víme, že objem válcového tělesa, tj. tělesa tvaru a, a, kde R, je dán jako součin velikosti plošného obsahu množin a čísla (a a ). Je-li pak Q = { (x,, z) R 3 ((x, ) I) ( z χ (x, )) } = (, ) (I { }), µ 3 (Q) = χ (x, ) dx d. (.58) I Jelikož evidentně µ 3 (I { }) =, je χ (x, ) dx d = µ 3 (, ). (.59) I Přitom je ovšem µ 3 (, ) rovno plošnému obsahu množin (krát ). V případě složitější množin nemusí být zřejmé, co je to vlastně plošný obsah množin. V takovém případě můžeme definiční vztah µ () = χ (x, ) dx d (.6) I brát jako definici plošného obsahu množin R. Jordan-Peanův objem není obecně definován pro každou množinu I. ohli bchom rozšířit definici objemu na větší třídu množin, kdbchom v jeho definici místo Riemannova integrálu použili daleko obecnější integrál Lebesgueův. Pak bchom místo o Jordan- Peanově objemu mluvili o míře množin (o tzv. Lebesgueově míře). nožin, které mají míru, bchom nazývali měřitelnými množinami (vzhledem k Lebesgueově míře). ěřitelné množin jsou ted t množin, na nichž lze definovat integrál přes množinu. Takové množin vzhledem k Riemannovu integrálu jsou ted t, které mají Jordan-Peanův objem. Nebývá však zvkem množin, které mají Jordan-Peanův objem, nazývat měřitelné. Důvod je především v tom, že Jordan-Peanův objem není míra. Aniž skutečně definujeme obecný pojem mír, naznačme zhruba, o co se tu jedná.

16 8 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL Jednou ze základních vlastností mír je její tzv. σ aditivita. Je-li ν míra,,,... spočetně mnoho měřitelných množin vzhledem k míře ν (tj. ν( i ) existuje), pak = i= i je také ν -měřitelná, a jsou-li navíc i navzájem disjunktní, pak ( ) ν i = i i ν( i ). Jordan-Peanův objem tuto vlastnost nemá. Snadno se zjistí (přímo z definice integrálu), že každá jednobodová množina má Jordan-Peanův objem (rovný nule). Každou spočetnou množinu lze napsat jako sjednocení spočetně mnoha jednobodových množin. Kdb Jordan-Peanův objem měl předchozí vlastnost, znamenalo b to, že každá spočetná (omezená) množina má Jordan-Peanův objem. Uvažujme ale např. následující množinu. Řekneme, že bod (x, ) R je racionální bod, jestliže obě jeho souřadnice x, jsou racionální čísla. Položíme = { (x, ),, (x, ) je racionální bod }. Předpokládáme, že čtenář ví, že množina racionálních čísel je spočetná a kartézský součin dvou spočetných množin je rovněž spočetná množina, takže je spočetná množina. Ukažme, že nemá Jordan-Peanův objem. Je-li d = (I ij ) libovolné dělení intervalu I =,,, pak pro každé i, j existují bod x ij I ij, ij I ij tak, že x ij, ij (rozmslete si!). To ale znamená, že pro každé I ij d je m ij = inf x I ij χ (x) =, ij = sup x I ij χ (x) =. Odtud ihned vidíme, že (pro každé dělení d) s(χ, d) =, S(χ, d) = a dále s(χ ) =, S(χ ) =. To znamená, že funkce χ a ted nemá Jordan-Peanův objem. nemá Riemannův integrál, Existence Riemannova integrálu spojité funkce Nní uvedeme a dokážeme jedno z nejzákladnějších tvrzení pro početní techniku integrování. Nechť funkce f je spojitá na kompaktním intervalu I R. Potom Riemannův integrál I f(x, ) dx d (.6) existuje. Je-li { d n } libovolná posloupnost dělení intervalu I taková, že d n pro n, pak I f(x, ) dx d = lim n s(f, d n ) = lim n S(f, d n ). (.6) V důkazu tohoto tvrzení vužijeme jistou vlastnost funkcí spojitých na kompaktním intervalu, kterou nejdříve popíšeme a dokážeme.

17 .. ZAVEDENÍ DVOJNÉHO INTEGRÁLU 9 Nechť funkce f je spojitá na kompaktní množině K R. Potom f je na K stejnoměrně spojitá, tj. ke každému ε > existuje δ > tak, že pro všechna x, K splňující podmínku x < δ je f(x) f() < ε. Tvrzení dokážeme sporem. Předpokládejme, že funkce f je spojitá na množině K a že tvrzení neplatí. Potom existuje ε > tak, že ke každému přirozenému číslu n existují bod x n, n K takové, že x n n < n, f(x n) f( n ) ε. (.63) Jelikož K je kompaktní množina, existuje vbraná posloupnost ( x nk ) taková, že x nk x K pro k. Vzhledem k podmínce x n n < /n musí existovat vbraná posloupnost nk taková, že nk x pro k. Nní vužijeme ještě předpokladu spojitosti funkce f. Protože f je spojitá v bodě x, existuje číslo δ > tak, že pro všechna z K taková, že z x < δ, je f(z) f(x ) < ε /. Jelikož x nk x, nk x, existuje k tomuto číslu δ index k tak, že pro všechna k > k je x nk x < δ, nk x < δ. Odtud pro všechna k > k plne f(x nk ) f( nk ) f(x nk ) f(x ) + f(x ) f( nk ) < ε + ε = ε, (.64) což je zřejmě ve sporu s naším předpokladem. Nní přistoupíme k důkazu vlastního tvrzení o existenci integrálu. K důkazu jeho existence stačí dokázat, že ke každému číslu ε > existuje dělení d intervalu I tak, že S(f, d) s(f, d) < ε. Nechť je ted dáno ε >. Jelikož f je spojitá na I a I je kompaktní, existuje δ > tak, že pro všechna x, I, x < δ je f(x) f() < ε µ(i). (.65) Zvolme libovolné dělení d = (I ij ) intervalu I tak, ab blo d < δ. To lze zřejmě vžd udělat. Označme m ij = inf{f(x) x I ij } ij = sup{f(x) x I ij }. Jelikož f je spojitá, I ij jsou kompaktní, existují x ij, ij I ij tak, že m ij = f(x ij ), ij = f( ij ). Jelikož je x ij ij diami ij d δ, musí být ij m ij < ε µ(i).

18 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL Odtud dostáváme S(f, d) s(f, d) = < I ij d ε µ(i) ij µ(i ij ) I ij d I ij d µ(i ij ) = ε, takže integrál z f přes interval I opravdu existuje. Jelikož je s(f, d) f(x, ) S(f, d), musí pro všechna dělení d splňující podmínku d < δ platit s(f, d) f(x, ) dx d < ε, I To však znamená, že pokud d n, pak opravdu platí I I m ij µ(i ij ) = ( ij m ij )µ(i ij ) < I I ij d S(f, d) f(x, ) dx d < ε. f(x, ) dx d = lim n s(f, d n ) = lim n S(f, d n ). (.66)..4 Vlastnosti dvojného integrálu Nezávislost na zanedbatelné množině (i) Nechť, jsou přípustné oblasti, které se liší jen o zanedbatelnou množinu. Je-li f integrovatelná na, pak je integrovatelná i na a platí f = f. (.67) (ii) Nechť je přípustná oblast. Jestliže funkce f se na množině liší od funkce g pouze na zanedbatelné podmnožině množin a je-li f integrovatelná na, pak také g je integrovatelná na a platí f = g. (.68) Aditivita vzhledem k integračnímu oboru Nechť, jsou přípustné oblasti, nechť = a nechť f je funkce integrovatelná na množině. Je-li zanedbatelná množina, pak f je integrovatelná na i na a platí f = f + f. (.69) Této vlastnosti integrálu se říká aditivita integrálu vzhledem k integračnímu oboru. Linearita

19 .. ZAVEDENÍ DVOJNÉHO INTEGRÁLU Nechť je přípustná oblast a nechť f, g jsou funkce integrovatelné na množině. Jsou-li α, β R, pak také lineární kombinace αf + βg je integrovatelná na množině a platí rovnost (αf + βg) = α f + β g. (.7) Této vlastnosti integrálu se říká linearita integrálu. onotonie Nechť je přípustná oblast a nechť f, g jsou funkce integrovatelné na množině. Je-li f g na, pak f g. (.7) Této vlastnosti integrálu se říká monotonie integrálu. Odhad (i) Nechť je přípustná oblast a nechť f, g jsou funkce integrovatelné na množině, g. Jsou-li k, K reálná čísla taková, že k f(x) K pro všechna x, pak platí nerovnosti k g fg K g. (.7) (ii) Nechť je přípustná oblast a nechť f je funkce integrovatelná na množině. Pak f f. (.73) Poznámka Čtenář ať si na tomto místě uvědomí, že pro dvojný Riemannův integrál obecně neplatí rovnosti fg = f g ani f g = f g. (.74) Důkaz základních vlastností integrálu, určené pro zvídavější čtenáře Pro čtenáře, který si přečetl zavedení integrálu pro zvídavé uvádíme nní důkaz alespoň některých vlastností integrálu. Důkaz zbývajících vlastností si takový čtenář může provést sám. V dalších úvahách se nám budou hodit tto jednoduché nerovnosti. Nechť je neprázdná podmnožina prostoru R a nechť f, g jsou funkce omezené na množině. Potom je inf{f(x) + g(x) x } inf{f(x) x } + inf{g(x) x }, sup{f(x) + g(x) x } sup{f(x) x } + sup{g(x) x }. (.75) Jejich důkaz jsou velice prosté. Např. pro první nerovnost označme a = inf{f(x) x }, b = inf{g(x) x }.

20 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL Funkce f a g jsou podle předpokladu omezené, takže čísla a, b jsou konečná. Potom pro každé x je f(x) a, g(x) b, a ted nerovnost f(x) + g(x) a + b platí pro každé x. Odtud okamžitě plne dokazovaná nerovnost. Ukažme důkaz tvrzení o aditivitě integrálu vzhledem k integrandu. Nechť f, g jsou omezené funkce na kompaktním intervalu I R, které mají na I Riemannův integrál a nechť c je libovolné číslo z R. Potom funkce f + g a funkce cf mají také Riemannův integrál na I) a platí (f + g) = f + g, (cf) = c f. (.76) I I K libovolnému danému ε > existuje dělení d = (I ij ) intervalu I tak, že Označíme-li I S(f, d) s(f, d) < ε, S(g, d) s(g, d) < ε. I I f ij = inf{f(x) x I ij }, F ij = sup{f(x) x I ij }, g ij = inf{g(x) x I ij }, G ij = sup{g(x) x I ij }, h ij = inf{f(x) + g(x) x I ij }, H ij = sup{f(x) + g(x) x I ij }, (.77) pak Odtud h ij f ij + g ij, H ij F ij + G ij. s(f + g, d) = h ij µ(i ij ) (f ij + g ij )µ(i ij ) = s(f, d) + s(g, d) I ij d I ij d a podobně Z toho okamžitě S(f + g, d) S(f, d) + S(g, d). S(f + g, d) s(f + g, d) S(f, d) + S(g, d) s(f, d) s(g, d) < ε + ε = ε, odkud plne existence integrálu funkce f +g. Jelikož předchozí nerovnosti můžeme napsat ve tvaru vidíme, že platí rovnost s(f, d) + s(g, d) s(f + g, d) S(f + g, d) S(f, d) + S(g, d), (f + g) = f + g. I Nní naznačíme základní mšlenk a postup při dokazování existence integrálu funkce cf a rovnosti (cf) = c f. Vchází se z toho, že pro c je I inf{cf(x) x I ij } = c inf{f(x) x I ij }, I I I

21 .. ZAVEDENÍ DVOJNÉHO INTEGRÁLU 3 sup{cf(x) x I ij } = c sup{f(x) x I ij } a pro c < je inf{cf(x) x I ij } = c sup{f(x) x I ij }, sup{cf(x) x I ij } = c inf{f(x) x I ij }. Odtud již přímo plne dokazovaná existence i rovnost. Právě dokázaná rovnost má tento prostý, ale důležitý důsledek: Je-li R omezená množina, která má Jordan-Peanův objem, c R konstanta, pak c = cµ (). Je-li totiž I nějaký obdélník v R obsahující množinu, pak c = I cχ = c I χ = cµ (). Ukažme nní důkaz monotonie integrálu. Nechť I R je kompaktní interval, nechť funkce f, g jsou omezené a mají Riemannův integrál. Je-li f g, pak f g. (.78) Je-li f g a je-li d = (I ij ) libovolné dělení intervalu I, pak např. To však znamená, že platí nerovnost I inf{f(x) x I ij } inf{g(x) x I ij }. I s(f, d) s(g, d), z níž již bezprostředně plne dokazované tvrzení. Zmiňme se ještě o důkazu jednoho z odhadů. Nechť I R je kompaktní interval, f omezená funkce na I, která má Riemannův integrál. Potom také funkce f má Riemannův integrál a platí I f f. (.79) Pokud již víme, že f má Riemannův integrál, plne dokazovaná nerovnost z tvrzení o monotonii, neboť f f a také f f. Důkaz existence integrálu f je v obecném případě poněkud složitější. Postrádáme totiž charakterizaci funkcí, které mají Riemannův integrál a nebudeme jej proto zde provádět. Je-li však funkce f spojitá, je i f spojitá a existence integrálu pro spojité funkce bla dokázána. I

22 4 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL..5 Některé aplikace dvojného integrálu. Obsah rovinného obrazce. Je-li R přípustná množina, pak pro její plošný obsah µ() platí µ() = dx d. (.8). Hmotnost tenkých desek. Je-li σ(x, ) hustota přípustné množin (tenké desk), pak pro její celkovou hmotnost m() platí m() = σ(x, ) dx d. (.8) Analogick se počítá celkový náboj tenké desk. V tomto případě může hustota σ(x, ) náboje nabývat i záporných hodnot. 3. Statický moment rovinného obrazce. Je-li R přípustná oblast (tenká deska) s hustotou σ(x, ), pak její statický moment S x (), resp. S () vzhledem k ose, resp. vzhledem k ose x je S x () = σ(x, ) dx d, resp. S () = xσ(x, ) dx d. (.8) 4. Souřadnice těžiště rovinného obrazce. Pro souřadnice (x t (), t ()) těžiště tenké desk platí x t () = S () m(), t() = S x() m(). (.83).3 Integrace pomocí Fubiniho vět Klíčová slova: Fubiniova věta, dvojnásobný integrál.3. Fubiniho věta pro přípustnou oblast Nechť je přípustná oblast, nechť x, x,, jsou čísla a a(x), b(x), c(), d() funkce popisující tuto přípustnou oblast (viz obr..4) a nechť existuje dvojný integrál Existuje-li jeden z integrálů g(x) = b(x) a(x) f(x, ) d, x x, x, h() = f(x, ) dx d. (.84) d() c() f(x, ) dx,,, (.85)

23 .3. INTEGRACE POOCÍ FUBINIHO VĚTY 5 pak existuje i druhý a platí x g(x) dx x f(x, ) dx d = h() d = x ( b(x) f(x, ) d) dx, x a(x) = ( d() f(x, ) dx) d. c() (.86) Integrál na pravé straně rovnosti se obvkle nazývají dvojnásobné integrál, a proto se Fubiniova věta pro dvojný integrál uvádí jako věta o převedení dvojného integrálu na dvojnásobný. Uvědomme si ještě, že v případě, kd integrační obor je uzvřená a omezená množina a integrand f(x, ) je spojitý na celé množině, jsou předpoklad Fubiniho vět splněn. Důkaz Fubiniho vět je poměrně komplikovaný. Pro zvídavé čtenáře jej zde ukážeme, ale jen pro speciální případ, kd integrační obor je obdélník, takže všechn meze jsou konstantní. Budeme ted dokazovat Fubiniho větu v tomto znění. Nechť I = a, a b, b je interval v R, nechť f je spojitá funkce na intervalu I. Pro každé x a, a, resp. b, b označme g(x) = b b f(x, ) d, resp. h() = a a f(x, ) dx. (.87) Pak funkce g je spojitá na intervalu a, a, funkce h je spojitá na intervalu b, b a platí a g(x) dx = a ( b f(x, ) d) dx, a a b f(x, ) dx d = (.88) I b h() d = b ( a f(x, ) dx) d. b b a Ukažme nejprve, že např. funkce g je spojitá na intervalu a, a. Funkce f je podle předpokladu spojitá na kompaktním intervalu I, a ted je na něm stejnoměrně spojitá. Proto ke každému pevně danému ε > existuje δ > tak, že pro všechna x, I, splňující nerovnost x < δ, je ε f(x) f() <. b b Zvolme nní libovolný bod x a, a a ukažme, že funkce g je spojitá v tomto bodě. Z předchozí nerovnosti plne, že k danému ε > existuje δ > tak, že pro všechna x a, a splňující podmínku x x < δ a každé b, b je ε f(x, ) f( x, ) <. b b Odtud b b b g(x) g( x) = f(x, ) d f( x, ) d = b b b b f(x, ) f( x, ) d b b b (f(x, ) f( x, )) d ε b b d = ε.

24 6 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL To znamená, že funkce g je spojitá v bodě x. Jelikož x a, a blo libovolné, je funkce g spojitá na intervalu a, a. Podobně b se dokazovala spojitost funkce h. Nní budeme dokazovat záměnnost pořadí integrace. Zvolme opět pevně ε >. K němu existuje δ > tak, že pro x, I, x < δ je f(x) f() < ε µ(i) = ε (a a )(b b ). (.89) Zvolme dělení d = (I ij ) intervalu I tak, ab pro jeho normu platilo d < δ/. Předpokládejme, že dělení d je určeno děleními d I, d J, kde I = a, a, J = b, b a d I, d J mají tvar d I = (x, x,..., x n ), d J = (,,..., m ). Označme jako obvkle I ij = x i, x i j, j a f ij = inf{f(x) x I ij }. Na intervalu I definujeme pomocnou funkci f předpisem f (x, ) = f ij pro (x, ) x i, x i ) j, j ), f (a, ) = f nj pro j, j ), f (x, b ) = f im pro x x i, x i ), f (a, b ) = f nm. Slov můžeme tento předpis popsat následovně: f je funkce, která je na obdélníku I po částech konstantní. Na každém obdélníku I ij bez jeho pravého a horního okraje nabývá hodnot f ij, na pravém okraji intervalu I nabývá hodnot f nj, na horním okraji intervalu I nabývá hodnot f im, a v pravém horním rohu intervalu I hodnotu f nm. Snadno se ověří, že funkce f je riemannovsk integrovatelná na intervalu I. Stačí si uvědomit, že funkce f je vlastně součet funkcí, které jsou vžd na jednom polootevřeném obdélníku konstantní a jinde nulové. Jelikož pro normu dělení d platí d < δ/, je f(x) f (x) < ε µ(o), a ted Označíme-li pro x a, a I f I f f f I g (x) = b I f (x, ) d, ε µ(i) = ε. (.9) dostáváme pro všechna x a, a b g (x) g(x) = b b b f (x, ) d f(x, ) d f (x, ) f(x, ) d b b b b ε (a a )(b b ) d = ε (a a ) b

25 .3. INTEGRACE POOCÍ FUBINIHO VĚTY 7 a odtud a a g a a (x) dx g(x) dx g ε (x) g(x) dx (a a ) dx = ε. (.9) a Nní dokážeme, že platí rovnost Je vidět, že platí a a I a a a g (x) dx = f (x, ) dx d. (.9) Jelikož pro každé x x i, x i ) platí I f (x, ) dx d = je funkce g na x i, x i ) konstantní, takže I ij d f ij µ(i ij ). b m g (x) = f (x, ) d = f ij ( j j ), b j= a a g (x) dx = = n n m g (x i )(x i x i ) = (x i x i ) f ij ( j j ) = i= i= j= n m f ij (x i x i )( j j ), i= j= což je dokazovaná rovnost. Nní použijeme dosažené mezivýsledk, abchom dokončili důkaz. Dostáváme + a a a a g(x) dx f(x, ) dx d g(x) dx a g (x) dx I f (x, ) dx d + I I a f (x, ) dx d I a a g (x) dx + f(x, ) dx d < ε ++ ε = ε. Jelikož ε > blo libovolné, znamená to, že platí první rovnosti dokazované vět. Podobně bchom postupovali při dokazování druhých rovností..3. Příklad. áme najít hodnotu dvojného integrálu I = (x + ) dx d, = {(x, ) R x x}. (.93) Nejdříve si uvědomme, že integrand je spojitá funkce na omezené a uzavřené množině, takže počítaný integrál existuje. Nejdříve musíme popsat integrační obor, načrtnutý na obr..7 a).

26 8 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL = x = x x a) æ = x f(x, ) = f(x, ) = x x x b) æ Obrázek.7: Ilustrace k. a. příkladu Z podmínk x x plne x x, a ted x. Volme nejdříve vnitřní integraci podle proměnné. Pak je x =, x =, a(x) = x, b(x) = x. Odtud pro funkci g(x) z Fubiniho vět dostáváme x g(x) = (x + ) d = [x + ] =x = x + =x x x 3 x4 = 3 x x 3 x4. x Funkce g(x) je spojitá, takže je na intervalu, riemannovsk integrovatelná. ůžeme ted použít Fubiniho větu. Integrací podle proměnné x výpočet našeho integrálu dokončíme. Dostáváme I = g(x) dx = (3x x 3 x 4 ) dx = 3. Vměníme-li roli souřadnicových os, můžeme množinu popsat pomocí proměnné ve tvaru = {(x, ) R x }. Z nerovnosti x plne pro proměnnou podmínka, a ted. Nní můžeme volit =, =, c() =, d() =. Odtud pro funkci h() z Fubiniho vět dostáváme h() = [ x= (x + ) dx = x + x] x= = + 3/ = ( + 3/ 3 ). Opět jsme dostali spojitou funkci, takže její integrál existuje. Integrací podle proměnné vpočteme hledanou hodnotu I = ( + 3/ 3 ) d = 3.

27 .3. INTEGRACE POOCÍ FUBINIHO VĚTY 9. Nní uvedeme příklad, na němž ilustrujeme význam předpokladu Fubiniho vět o existenci dvojného integrálu. V tomto příkladu existují oba dvojnásobné integrál, ale mají různé hodnot. Dvojný integrál samozřejmě nemůže existovat. Budeme počítat hodnot dvojnásobných integrálů, na které můžeme formálním postupem podle Fubiniho vět převést integrál I = f, kde = {(x, ) R ( < x ) ( < )} a f(x, ) = pro < x, (.94) x pro < < x. Uvědomme si nejdříve, že integrand není omezený, a ted integrál neexistuje. (Tento integrál neexistuje dokonce ani jeho daleko obecnější Lebesgueův integrál. Je zde totiž f + = f =.) Integrační obor a informace o integrandech jsou zachcen na obr..7 b). Pro první dvojnásobný integrál dostáváme = I = ( ([ ] x= x x= f(x, ) dx) d = [ x ] x= ) x= d = Pro druhý dvojnásobný integrál dostáváme = I = ( [ ] [ =x + x = f(x, ) d) dx = ] = =x x dx = dx x dx d = ( + ) d = ( ) d + x x d =. d dx = ( x + ) dx = x dx =. Vidíme, že skutečně při různých volbách pořadí integrace téže funkce na témž oboru dostáváme různé hodnot. 3. áme najít hodnotu integrálu (x + + ) dx d, kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. (.95) Integrand je spojitá funkce na omezené a uzavřené množině, takže integrál existuje. Integrační obor je obdélník, takže můžeme volit buď vnitřní integraci podle

28 3 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL proměnné x a vnější podle proměnné, nebo opačné pořadí. Zvolme vnitřní integraci podle proměnné. Pak musíme volit x =, x =, a(x) =, b(x) =. Dostaneme tak = dx d = (x + + ) [ x áme najít hodnotu integrálu ] = = dx = (x + + ) d dx = ( x + ) dx = x + 3 = [ln(x + ) ln(x + 3)] = ln ln 3 = ln 3. x dx d, kde = {(x, ) (x < ) ( < x) (x )}. (.96) Integrační obor je načrtnut na obr..8 a). Je to průnik polorovin určených podmínkami x <, < x a části rovin ohraničené graf hperbol, zadané podmínkou x. Průmět integračního oboru do os x je interval, na ose x, průmět do os je interval /, na ose. Vidíme, že integrační obor je omezený a že integrand je spojitá funkce na omezené a uzavřené množině, takže integrál existuje. ůžeme použít Fubiniho větu, v níž můžeme volit vnitřní integraci podle proměnné x a vnější podle proměnné, nebo naopak. Zvolme vnitřní integraci podle proměnné. Pak je x =, x =, a(x) = /x, b(x) = x. Dostaneme tak x dx d = x /x x [ d dx = x ] x ( dx = x x ) dx = 9 x 4. /x Kdbchom zvolili opačné pořadí integrace, museli bchom daný integrál rozdělit na dva integrál. V prvním bchom volili = /, =, c() = /, d() = a ve druhém =, =, c() =, d() =. 5. áme najít hodnotu integrálu x dx d, kde = {(x, ) R (x ) ( x)}. (.97) Integrační obor je načrtnut na obr..8 b). Je to průnik částí rovin, ohraničených graf dvou parabol zadaných podmínkami x a x. Z rovnic hraničních křivek x = a = x dostáváme rovnost x 4 = x, která je splněna právě tehd, kdž x = nebo x =. Odtud již snadno plne, že průmět integračního oboru do os x je interval, na ose x, průmět do os je interval, na ose. Vidíme, že integrační obor je omezený. Pozorný čtenář si však jistě již uvědomil, že s integrandem není v okolí počátku všechno v pořádku. Snadno zjistíme, že integrand

29 .3. INTEGRACE POOCÍ FUBINIHO VĚTY 3 = x x = x = = x = x a) x æ b) x æ Obrázek.8: Integrační obor pro integrál 4. a 5. příkladu x / nemá v bodě (, ) limitu. Skutečně, vzhledem k přímce = x je limita rovna, vzhledem k parabole = x je limita rovna, vzhledem k parabole = x je limita rovna. Vzhledem k přímce = kx je lim x x k x = k. Přestože integrand není omezený, a ted zadaný integrál neexistuje, použijme formálně postup z Fubiniho vět a počítejme dvojnásobné integrál, přičemž vnější integraci chápeme ve smslu nevlastního jednorozměrného Riemannova integrálu. ůžeme volit jak vnitřní integraci podle proměnné x a vnější podle proměnné, tak i opačné pořadí. Zvolme vnitřní integraci podle proměnné. Pak musíme volit x =, x =, a(x) = x, b(x) = x. Dostaneme tak = x x x d dx = ( x x ) dx = ( x 3/ ) dx = x [ x ] x dx = x [ x 5 x/5 ] = 3 5. Vměňme nní role souřadnicových os a počítejme druhý dvojnásobný integrál. Nní je =, =, c() =, d() =, a ted x dx d = ( ) 4 d = Vidíme, že integrand je neomezený, dvojný integrál neexistuje, a přesto oba dvojnásobné integrál existují (jako nevlastní ) a nabývají stejné hodnot. 6. áme najít hodnotu integrálu ( + x + ) dx d, kde = {(x, ) 3 R ( x 5) ( 3)}. (.98)

30 3 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL Protože integrand je spojitá funkce na omezené a uzavřené množině, integrál existuje. Integrační obor je obdélník, takže oba dvojnásobné integrál mají konstantní meze. Zvolíme-li opět vnitřní integraci podle a vnější podle x, dostáváme 5 5 dx d = ( + x + ) 3 3 ( + x + ) 3/ d dx = 5 [ ( + x + ) / ] = 3 = dx = (( + x) / (4 + x) / ) dx = 7. áme najít hodnotu integrálu = [ + x 4 + x] 5 = ( 6 ). (x + ) dx d, kde = {(x, ) R x < }. (.99) Nejdříve si uvědomme, že integrand je spojitá funkce na omezené a uzavřené množině, takže integrál existuje. Integrační obor je načrtnut na obr..9. = = x x æ Obrázek.9: Integrační obor pro integrál 7. příkladu Je to část rovin ohraničená zdola grafem funkce = x a shora přímkou =. Průmět množin do os x je interval,. Zřejmě je x =, x =, a(x) = x, b(x) =. Je ted (x + ) dxd = ( x (x + ) d dx = [x + ] = =x = = (x + x4 ) x4 dx = ( + x 3 x4 ) dx = 6 5.

31 .3. INTEGRACE POOCÍ FUBINIHO VĚTY áme najít hodnotu integrálu x dx d, kde = {(x, ) R < x <, < a < < b}, a, b (, ). (.) Jelikož integrand je nezáporná spojitá funkce na omezeném intervalu, dvojný integrál existuje. Integrační obor je obdélník, takže oba dvojnásobné integrál mají konstantní meze a nevidíme důvod, proč bchom měli dávat přednost některé z obou možných voleb pořadí integrace. Zvolme nejdříve vnitřní integraci podle a vnější podle x. Zjistíme, že touto volbou docházíme k jednorozměrnému integrálu x dx d = b ( a x d dx = x b x a ln x dx, který neumíme spočítat. Změňme pořadí a zkusme počítat druhý dvojnásobný integrál b a ( x dx) d = b a b + [x+ ] x= x= d = a b + d = ln + a +. Zjišťujeme, že tento postup nás dovedl úspěšně do cíle. Jelikož hledaný dvojný integrál existuje, musí se oba dvojnásobné integrál sobě rovnat. usí ted platit rovnost x b x a b + dx = ln ln x a +. Vidíme, že pomocí Fubiniho vět jsme nalezli hodnotu jednorozměrného integrálu, který jsme přímo spočítat neuměli. 9. áme najít hodnotu integrálu x e x dx d, kde = {(x, ) R < x <, < < }. (.) Integrand je nezáporná spojitá funkce na omezeném intervalu, a ted hledaný dvojný integrál existuje. Integrační obor je čtverec, takže oba dvojnásobné integrál mají konstantní meze. Zvolme nejdříve vnitřní integraci podle a vnější podle x. Je pak kde g(x) = x e x dx d = xxe x d = g(x) dx, u =, v = xe x u =, v = e x = x[e x ] = = xe x d = xe x e x +, =

32 34 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL a ted x e x dx d = ( x e x d) dx = (xe x e x +) dx = [xe x e x +x] = 3 e. Zvolíme-li opačné pořadí integrace, dostaneme integrací podle proměnné x funkci h() = x e x dx = u = x, v = e x u =, v = e x = kterou zintegrovat neumíme. = [x e x ] x= x= xe x dx = e + e,. áme najít hodnotu integrálu x x + dx d, kde = {(x, ) R ( x ) ( x)}. (.) Integrační obor je načrtnut na obr.. a). = x = x x + = x a) x æ b) x æ Obrázek.: Integrační obor pro integrál. a. příkladu Jeho hranice je tvořena částí grafu parabol x = a úseček, ležících na přímkách = x a x =. Z rovnic hraničních křivek x = a = x dostáváme rovnost x = x, která je splněna právě tehd, kdž x = nebo x =. Odtud již snadno plne, že průmět integračního oboru do os x je interval, na ose x. Vidíme, že integrační obor je omezená a uzavřená množina, integrand je nezáporná spojitá funkce na omezeném intervalu, takže dvojný integrál existuje a můžeme použít Fubiniho větu.

33 .3. INTEGRACE POOCÍ FUBINIHO VĚTY 35 Zvolme vnitřní integraci podle proměnné x a vnější podle proměnné. Pak musíme volit x =, x =, a(x) = x /, b(x) = x. Dostaneme tak Je x dx d = x + = x x / u = x, du = x d x x, x = x x x + d dx = = x/ (arctg arctg x ) dx = π 4 arctg x dx = u =, v = arctg x u = x, v = 4 4+x x / + ( x ) + u du dx = arctg x dx. [x = arctg x ] x d dx = x 4 + x dx = = arctg arctg [ln(4 + x )] = π arctg / + ln 5/8. Je ted x x + dx d = π 4 arctg x dx = arctg / ln 5/8 π 4. Ve sbírkách úloh z matematik se vsktuje tento integrál s integračním oborem = {(x, ) R ( < x ) ( x)}. Pak je x =, x =, a(x) = x /, b(x) = x. Počítáme-li integrál opět ve stejném pořadí, projde vnitřní integrace beze změn. Při vnější integraci je dolní mez rovna. Výpočet pak projde rovněž bez problémů a dostaneme arctg x dx = u =, v = arctg x u = x, v = 4 4+x [x = arctg x ] x 4 + x dx = = arctg [ln(4 + x )] = π ln 8 + ln 4 = π ln. Všechno ted vchází, až na to, že pro = kx pro integrand platí lim (x,kx) (,) x x + kx = lim x ( + k )x =, takže integrand není omezen a ted počítaný integrál neexistuje.. áme najít hodnotu integrálu x dx d, kde = {(x, ) R (x + x) ( )}. (.3)

34 36 KAPITOLA. DVOJNÝ INTEGRÁL Integrační obor je průnik kruhu se středem v bodě (, ) a poloměrem a polorovin, jak je načrtnuto na obr.. b). Integrační obor je ted omezený, integrand spojitý a nezáporný, takže integrál existuje. Z podmínek x + x, plne x x. ůžeme ted volit x =, x =, a(x) =, b(x) = x x, takže x, x x. Dostaneme x dx d = ( x x x d) dx = x (x x ) dx = Úloh. Nalezněte hodnot následujících integrálů. (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) x dx d, kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. [] x dx d, kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. [4] (x + x + 4) dx d, kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. [3/3] (x + ) dx d, kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. [/3.] e x+ dx d, kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. [e.] dx d, + x kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. dx d, (x + + ) kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. [π/.] [ ln 4 3.]

35 .3. INTEGRACE POOCÍ FUBINIHO VĚTY 37 (h) dx d, (x + + ) kde = {(x, ) R ( x 4) ( )}. [ ln 9 5.] (i) ln( + x) dx d, (j) (k) (l) (m) (n) kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. [ ln.] x sin dx d, kde = {(x, ) R ( x ) ( π/)}. [3/.] x e x dx d, kde = {(x, ) R ( x ) ( )}. [.] x dx d, kde = {(x, ) R x x}. [/4] e x dx d, kde = {(x, ) R ( ) ( x )}. [/] e x dx d, (o) kde = {(x, ) R ( x ) ( x)}. sin(x + ) dx d, [(e-)/] (p) (q) kde = {(x, ) R (x + π/) (x π/) ( > )}. [.] (x + ) dx d, kde = {(x, ) R x }. [3/] x dx d, kde = {(x, ) R x 4 x }. [/5]