JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY. Pavel Pech

Transkript

1 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY Pvel Pech České Budějovice 004

2 JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH KUŽELOSEČKY Pvel Pech České Budějovice 004

3 Recenzenti: doc Ing Ld Vňtová, CSc, RNDr Jroslv Hor, CSc Pvel Pech, 004 ISBN

4 OBSAH Předmluv 5 Elips 7 Hyperbol 6 3 Prbol 44 4 Kuželosečky jko řezy n kuželové ploše 56 5 Trnsformce soustvy souřdnic 65 6 Uvedení rovnice kuželosečky n knonický tvr pomocí otočení posunutí 75 7 Obecné vlstnosti kuželoseček 90 8 Singulární kuželosečky 0 9 Tečn polár kuželosečky 3 0 Sdružené průměry kuželosečky Hlvní směry kuželosečky 9 Uvedení rovnice kuželosečky n knonický tvr užitím hlvních směrů 35 3 Výsledky cvičení 43 Seznm použité litertury 49 3

5 4

6 PŘEDMLUVA V této učebnici jsou podány zákldy teorie lgebrických křivek stupně, které též nzýváme kuželosečkmi Pro studium této knihy se předpokládjí znlosti zákldního kurzu nlytické geometrie lineárních útvrů, viz npř [0] Některé důležité pojmy jsou zopkovány, by byl text přístupný většímu okruhu čtenářů Důležitá je filosofie výkldu Existuje řd publikcí n tém kuželosečky zdálo by se, že je velmi jednoduché o kuželosečkách přednášet n vysoké škole Není to všk prvd, lespoň z mého pohledu Většin učebnic o kuželosečkách jsou vlstně učebnicemi lgebry, geometrie bývá velmi málo V tomto textu jsem se pokusil shrnout své zkušenosti z několikleté přednášky n Pedgogické fkultě Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích tk, by v něm vedle lgebry měl místo i geometrie by se tyto dvě disciplíny vzájemně doplňovly V textu je zřzeno mnoho obrázků, protože geometrie bez obrázků není geometrií Úvodní kpitoly pojednávjí o jednotlivých kuželosečkách jejich vlstnostech Je uvedeno několik definic konstrukcí kuželoseček Byl snh definovt kuželosečky různými způsoby pokud možno jednotným způsobem V první části je klden důrz n geometrii, tedy n řešení úloh syntetickou metodou n nkreslení objektu Tyto geometrické vlstnosti jsou v zápětí vystřídány lgebrickými vlstnostmi kuželoseček, tkže student by měl umět njít rovnici kuželosečky z dných zákldních prvků, npst rovnici tečny dným bodem, dným směrem td Tento přístup se prolíná celou učebnicí Od kpitoly 6, tedy přibližně v jedné polovině, jsou kuželosečky zkoumány jko lgebrické křivky druhého stupně Po zvedení nezbytných pojmů je proveden klsifikce kuželoseček převedením jejich rovnice n knonický tvr pomocí otočení posunutí soustvy souřdnic V dlších kpitolách jsou z lgebrického hledisk zkoumány singulární body, symptotické směry střed kuželosečky Dále jsou studovány tečn její zobecnění polár, sdružené směry sdružené průměry V závěru jsou pomocí chrkteristické rovnice vlstních čísel nlezeny hlvní směry kuželosečky n zákldě této metody je ukázán klsifikce kuželoseček převedení rovnice kuželosečky n knonický tvr Tto metod je použit při klsifikci kvdrtických ploch, které všk zde zkoumány nejsou Během výkldu byl klden důrz n 5

7 skutečnost, že zváděné pojmy nezávisí n volbě soustvy souřdnic Používli jsme hlvně krtézskou soustvu souřdnic, le někdy i lineární, pokud to povh věci dovolovl Kždá kpitol obshuje kromě výkldu též řdu řešených příkldů N konci kždé kpitoly jsou cvičení, která obshují dlší příkldy k smosttné práci V závěru knížky ve výsledcích je možné si výsledky zkontrolovt Kromě trdičního rýsování tužkou s použitím prvítk kružítk byl během přednášek cvičení používán též dynmický softwre Cbri II Používání tohoto softwru vyžduje při konstrukci úlohy stejné znlosti jko klsické rýsování, tkže v tomto směru studentům počítč práci nijk neulehčuje N druhé strně, rýsování pomocí počítče je velmi vysoké kvlity, počítč studenty motivuje, dynmický softwre umožňuje sestrojením jediného bodu objektu npř bodu elipsy znázornění všech bodů dné množiny, softwre dovoluje vytváření hypotéz pod Poděkování ptří recenzentům - pní doc Ing L Vňtové, CSc pnu RNDr J Horovi, CSc z pečlivé přečtení rukopisu cenné rdy připomínky, které přispěly ke zkvlitnění textu V Českých Budějovicích 6 červn 004 Pvel Pech 6

8 Elips Elips Zákldní vlstnosti Definice Elips je množin bodů v rovině, jejichž součet vzdáleností od dných bodů F, F je konstntní M C A F S F B D Body F, F nzýváme ohnisk elipsy Spojnice libovolného bodu M elipsy s ohnisky F, F nzveme průvodiče bodu M Někdy budeme průvodičem bodu M rozumět vzdálenost MF popř MF Elips je potom množin bodů, které mjí od dvou dných bodů stálý součet průvodičů Tento součet budeme znčit, tj pltí MF + MF Vzdálenost ohnisek F, F znčíme e nzýváme ohnisková vzdálenost Zřejmě pltí > e Číslo e se nzývá (délková) výstřednost elipsy znčí vzdálenost ohnisek elipsy od středu S elipsy Místo slov výstřednost se též užívá názvu excentricit Číslo nzýváme délk hlvní poloosy elipsy číslo b e nzýváme délk vedlejší poloosy Přímk, n níž leží ohnisk elipsy F, F je hlvní os elipsy Body A, B n hlvní ose elipsy, které náleží elipse jsou hlvní vrcholy elipsy Pro ně pltí AS BS Přímk jdoucí středem S elipsy, kolmo n hlvní osu o, je vedlejší os elipsy Body C, D elipsy, ležící zároveň n vedlejší ose, jsou vedlejší vrcholy elipsy Pro vedlejší vrcholy z lt "focus" ohnisko 7

9 P Pech: Kuželosečky pltí CS DS b CF CF DF DF Prvoúhlý trojúhelník SF C nzýváme chrkteristický trojúhelník elipsy Jeho strny jsou vázány vzthem b + e Všimněme si, že v přípdě, kdy ohnisk splynou v jeden bod, dostneme kružnici Potom e 0, tj kružnice má nulovou excentricitu pltí b V litertuře se čsto setkáváme s názvem excentricit pro číslo ε e /, které budeme pro odlišení nzývt numerická výstřednost Dále zvedeme pojem vnějších vnitřních bodů elipsy Bod X se nzývá vnější bod elipsy, jestliže F X + F X > Bod X je vnitřním bodem elipsy, jestliže F X + F X < Rovin je tk elipsou rozdělen n tři části - n množinu vnitřních bodů elipsy, které tvoří vnitřek elipsy (obshuje ohnisk), - n množinu bodů elipsy, - n množinu vnějších bodů elipsy, které tvoří vnějšek elipsy Rovnice elipsy V této části odvodíme rovnici elipsy Zvolme krtézskou soustvu souřdnic tk, by F [, 0] F [, 0] e y e X[x,y] C[0,b] A[-,0] F [-e,0] O F [e,0] B[,0] x D[0,-b] Nechť X [ x, y] je libovolný bod elipsy Podle definice pltí XF + XF () 8

10 Elips Rozepsáním rovnice () dostáváme ( x + e) + y + ( x e) + y Druhý sčítnec n levé strně převedeme n prvou strnu rovnici umocníme Po jednoduché úprvě dostneme ( x e) + y xe Dlším umocněním s využitím vzthu e b dostáváme rovnici x y + () b Tedy kždý bod X [ x, y] elipsy, vyhovující (), splňuje rovnici () Ukážeme nyní obráceně, že kždý bod X o souřdnicích [ x, y], který vyhovuje rovnici (), je bodem elipsy, tj splňuje vzth () Úprvou rovnice () dostneme x x y b nebo y ( e ) Odtud e e e XF ( x + e) + y + x + x + x, neboť z () plyne x <, z definice elipsy pk > e Anlogicky e e XF ( x e) + y x x Sečtením obou vzthů dostáváme rovnici () ü Ukázli jsme, že vzthy () () jsou ekvivlentní Můžeme tedy definovt elipsu tké následujícím způsobem: Definice Elips je množin bodů X [ x, y], které vyhovují v nějké krtézské soustvě souřdnic rovnici 9

11 P Pech: Kuželosečky x y + b Rovnice (3) se nzývá knonická rovnice elipsy Dále jsme ukázli, že pro průvodiče libovolného bodu X [ x, y] elipsy (3) s ohnisky F [ e, 0] F [ e, 0] pltí e e XF + x XF x (4) Poznámk V přípdě kružnice je e 0 Oznčíme-li r b, potom má rovnice kružnice o poloměru r se středem v počátku tvr x + y r Konstrukce elipsy Jednotlivé body elipsy lze sestrojit následujícím způsobem - tzv bodová konstrukce elipsy N úsečce omezené ohnisky F, F zvolme pomocný bod I sestrojme kruhové oblouky k, k o poloměrech r AI, r BI se středy v ohniscích F F M 3, C k M (3) k A F r S I F r B M 4 D M V průsečících dostáváme body M, M, M 3, M 4 elipsy Npř pro bod M pltí M F + M F AI + IB AB 0

12 Elips Součet průvodičů bodu M je roven, tedy bod M náleží elipse s vrcholy A, B Při rýsování nhrzujeme elipsu v okolí jejích vrcholů oblouky oskulčních kružnic Tyto kružnice nejlépe ze všech kružnic nhrzují E C A S F O F r r B D elipsu, jk se dokzuje v diferenciální geometrii Ukžme si jejich konstrukci Body A, O, C doplníme n obdélník AOCE z vrcholu E spustíme kolmici n úhlopříčku AC Průsečík této kolmice s hlvní vedlejší poloosou dává středy S S příslušných oskulčních kružnic Oprávněnost této konstrukce možno nhlédnout následujícím způsobem Nechť k je libovolná kružnice, mjící střed S n hlvní ose elipsy procházející npř vrcholem A elipsy Rovnice této kružnice má tvr C S X[x,y] k A F S[s,0] F B ( x s) + y ( s) Pro průsečík X [ x, y] kružnice k s elipsou o rovnici b x + y b pltí vzth Y D z lt "osculum" polibek

13 P Pech: Kuželosečky x e sx ( e s) 0 Kružnice k bude nejlépe nhrzovt elipsu v okolí vrcholu A, jestliže její průsečíky A X s elipsou splynou Tento přípd nstne, jestliže má hořejší kvdrtická rovnice dvojnásobný kořen, tj jestliže její diskriminnt je roven nule Diskriminnt je roven nule právě když je splněn vzth ( s e ) 0, e b tj když s Pro poloměr r tkové kružnice pltí r s Pro poloměr oskulční kružnice ve vedlejších vrcholech elipsy nlogicky dostáváme r Odtud tké plyne uvedená konstrukce středů b S, S oskulčních kružnic ve vrcholech elipsy Pltí totiž, že trojúhelníky ES A S A AE CAE jsou podobné Odtud Oskulční kružnice ve AE CE vrcholech elipsy se někdy nzývjí hyperoskulční kružnice, termín oskulční kružnice je pk vyhrzen pro kružnici, kterou nhrzujeme elipsu v libovolném jejím bodě Z definice elipsy plyne dlší jednoduchá konstrukce, která má příznčný název zhrdnická konstrukce elipsy Upevníme-li konce provázku o délce v ohniscích F, F, potom při pohybu hrotu, při kterém zůstává provázek stále npnutý, opisuje hrot elipsu, viz obrázek, který je převzt ze [7]

14 Elips Jiná konstrukce elipsy je zložen n pohybu proužku ppíru, odtud její název proužková konstrukce elipsy Rozeznáváme dvě proužkové konstrukce elipsy - součtovou rozdílovou Při součtové konstrukci elipsy se po dvou k sobě kolmých přímkách pohybuje svými koncovými body úsečk PQ délky + b Potom bod X, dělící úsečku PQ v poměru : b opisuje elipsu o poloosách,b Při rozdílové konstrukci se po dvou k sobě kolmých osách pohybuje svými dvěm koncovými body úsečk P, Q délky b Nše tvrzení dokážeme npř pro součtovou proužkovou konstrukci Zvolme krtézskou soustvu souřdnic tk, by osy x y byly v dných kolmých přímkách předpokládejme, že body P, Q, X, mjí v této soustvě souřdnice P [ p, 0], Q [ 0, q], X [ x, y] Q C X C X b b A S P B A S Q P -b B D D Součtová proužková konstrukce Rozdílová proužková konstrukce Podle Pythgorovy věty pltí p + q ( + b) () Z podobnosti trojúhelníků POQ, XX, PX X dále plyne odtud x p, + b 3 Q y b q + b + b + b p x q y b

15 P Pech: Kuželosečky Doszením těchto vzthů do () dostáváme rovnici elipsy Bod X se tedy pohybuje po elipse Anlogicky se provede důkz pro rozdílovou proužkovou konstrukci Poznámk N principu proužkové konstrukce je zložen přístroj elipsogrf, pomocí kterého je možno nrýsovt libovolnou elipsu Jedná se tedy o zobecněné kružítko, neboť umístíme-li npř v součtové konstrukci hrot X do středu Q r X k r r O P úsečky, jejíž krjní body P, Q se pohybují po dvou k sobě kolmých přímkách, dostneme kružnici Tento speciální přípd lze dokázt též přímo V prvoúhlém trojúhelníku POQ je bod X středem přepony PQ Potom z Thletovy věty plyne, že délk těžnice OX je rovn polovině přepony, tedy je konstntní Tímto způsobem je řešeno npř zvírání otvírání dveří ve vozidlech městské hromdné doprvy Dlší konstrukce, tzv trojúhelníková konstrukce elipsy o poloosách, b, je následující Nd úsečkmi AB CD sestrojíme po řdě dvě soustředné kružnice, tzv hlvní vrcholovou kružnici vedlejší vrcholovou kružnici Polopřímk p vedená středem elipsy protíná kružnice v bodech M M Potom se rovnoběžk s hlvní osou elipsy, vedená bodem M, rovnoběžk s vedlejší osu elipsy, vedená bodem M, protínjí v bodě M elipsy Oznčíme-li totiž t úhel, který svírá 4

16 Elips polopřímk p s kldnou částí osy x, potom pro souřdnice x, y bodu M v dné soustvě souřdnic pltí x cos t, y b sin t, () kde t 0, π ) Čsto píšeme [ x, y] [ cos t, b sin t] Dosdíme-li vzthy () do rovnice elipsy, dostneme identitu To znmená, že tkto vytvořený bod M náleží elipse y C[0,b] M M M[x,y] A[-,0] O t B[,0] x D[0,-b] Rovnice () nzýváme prmetrické rovnice elipsy Afinní obrz kružnice Podle trojúhelníkové konstrukce ke kždému reálnému číslu t 0,π ) existuje jediný bod elipsy X ( t) [ cos t, b sin t] Podobně můžeme libovolnému bodu X [ x, y] kružnice přiřdit bod X [ x, y ] elipsy, ležícímu n rovnoběžce s osou y Ob body X X mjí stejné x-ové souřdnice, pro y-ové souřdnice pltí y sin t, y b sin t Odtud b máme y y, obr Toto zobrzení přiřzuje bodu X [ x, y] bod X [ x, y ] tk, že pltí x x b () y y 5

17 P Pech: Kuželosečky Zobrzení dné rovnicemi () nzýváme prvoúhlá finit Os x je os finity Ze vzthu () vidíme, že tto přímk je jediná množin smodružných bodů, tj bodů, které se zobrzují smy n sebe Směr dný dvojicí sobě odpovídjících bodů X, X je směr finity, který je v přípdě prvoúhlé finity kolmý n osu finity Prvoúhlá finit () zobrzí y C[0,b] X[x,y] X'[x',y'] A[-,0] t O B[,0] x D[0,-b] y, kružnici o rovnici x + y n křivku o rovnici x + b x y což je rovnice elipsy + Dokázli jsme větu: b Vět Obrzem kružnice v prvoúhlé finitě () je elips Sndno se ukáže, že prvoúhlá finit je určen osou finity x párem X X' Y Y' I x 6

18 Elips odpovídjících bodů X, X, kde XX x Je-li Y libovolný bod roviny, určíme jeho obrz následovně Sestrojíme přímku XY její průnik I s osou finity Bod Y leží v průniku přímky X I kolmice n osu finity bodem Y, obr Prvoúhlé finity můžeme využít při konstrukci průsečíků elipsy přímky p Předpokládejme, že elips je dán npř vrcholy A, B ohnisky F, F Sestrojíme hlvní vrcholovou kružnici v Vedlejšímu vrcholu C odpovídá bod C n hlvní kružnici Máme tedy pár odpovídjících bodů, osou finity je hlvní os elipsy Přímce p odpovídá přímk p, která prochází průsečíkem přímky p s osou finity bodem R, který je obrzem libovolně zvoleného bodu R přímky p, který je sestrojen podle předchozí konstrukce Průsečíkům X, Y přímky p s kružnicí v odpovídjí hledné průsečíky X, Y přímky p s elipsou p' C' p Y' Y R' C R A F F B X D X' Tečn elipsy Předpokládejme, že bod M [ m, n] je bod elipsy o rovnici D' Bodem jsou x + b y () M veďme libovolnou přímku r, jejíž prmetrické rovnice 7

19 P Pech: Kuželosečky r : x m + ut, y n + vt, () kde t je prmetr u ( u, v) je směrový vektor přímky r Budeme hledt společné body elipsy přímky r Dosďme proto rovnice () do () Dostáváme rovnici pro neznámou t tvru kde At + Bt + C 0, (3) A C b B vn v m + b + u + umb n,, Rovnice (3) je kvdrtická, ze (4) totiž plyne, že A 0 Protože bod M náleží elipse, je zřejmě C 0 Rovnice (3) se potom redukuje n tvr At + Bt 0 (5) Jeden kořen této rovnice je nul Tento kořen vede, po doszení do rovnice (), k průsečíku M přímky r elipsy Bod M bude dvojnásobným průsečíkem přímky r elipsy, jestliže nul bude dvojnásobným kořenem rovnice t ( At + B) 0, tj jestliže B 0 Ze b (4) t M A F F B o n vzthu 0 B vn + umb dostneme npř volbou u n, v mb souřdnice u, v směrového vektoru u přímky r Zřejmě je tkto zvolený vektor u vždy nenulový přímk r v kždém bodě elipsy existuje 8

20 Elips Definice Nechť M je libovolný bod elipsy Přímk, procházející bodem M, který je dvojnásobným průsečíkem této přímky s elipsou, se nzývá tečn elipsy s dotykovým bodem M Přímk, procházející bodem M, která je kolmá n tečnu se nzývá normál v bodě M Nyní odvodíme rovnici tečny elipsy s bodem dotyku M [ m, n] Přímk r má prmetrické rovnice r : x m + n t, y n mb t Vyloučíme-li z těchto rovnic prmetr t, má obecná rovnice přímky r tvr mx ny + b Rovnice (6) je rovnice tečny elipsy () s bodem dotyku M [ m, n] Poznámk Pro lepší zpmtování rovnice tečny elipsy je užitečné všimnout si podoby rovnice tečny elipsy (6) s rovnicí elipsy () V dlší části uvedeme jednu velmi důležitou vlstnost tečny elipsy, která nám umožní sestrojení tečny elipsy v libovolném jejím bodě Nejprve zvedeme dlší potřebný pojem Průvodiče bodu M elipsy, tj spojnice bodu M s ohnisky F, F, dělí rovinu n dvě dvojice vrcholových úhlů Té dvojici vrcholových úhlů, která obshuje střed elipsy S, říkáme vnitřní úhly průvodičů bodu M Dvojice vrcholových úhlů, která neobshuje střed elipsy, tvoří vnější úhly průvodičů bodu M A nyní již ke zmíněné vlstnosti tečny elipsy Vět Tečn elipsy půlí vnější úhly průvodičů bodu dotyku Důkz: Soustvu souřdnic zvolme tk, by dná elips měl rovnici () Pro ohnisk F, F pk je F [, 0] e, F [ e, 0] pro bod M elipsy (6) 9

21 P Pech: Kuželosečky nechť je M [ m, n] Rovnice tečny v bodě M je dán vzthem (6) Stčí ukázt, že průvodiče F M F M svírjí s tečnou t stejný úhel t α M β A F F B Ukážeme, že sin α sin β Pro vzdálenost F t ohnisk F od tečny t em εm + e pltí podle (6) Ft, kde jsme oznčili ε, m n k b m n k + Pro vzdálenost 4 4 b F M ohnisk F od bodu dotyku M je podle (4) z kpitoly "Rovnice elipsy " Ft F M + εm sinα Pro druhý úhel β nlogicky F M k em εm dostneme F t F M εm Tedy k k Ft sin β Odtud sin α sin β α β ü F M k Poznámk Této vlstnosti tečny by bylo využívt npř v medicínské prxi Necháme-li rotovt elipsu kolem hlvní osy, vznikne ploch zvná rotční elipsoid Předstvte si komoru tvru rotčního elipsoidu 0

22 Elips umístěme do jednoho ohnisk nemocný orgán pcient, který ozřujeme látkou, umístěnou ve druhém ohnisku Vyzřovné pprsky se odrážejí od stěn elipsoidu do jediného bodu, do druhého ohnisk Pprsek jdoucí npř z ohnisk F se odrzí od stěny elipsoidu podle fyzikálního zákon úhel odrzu se rovná úhlu dopdu, přičemž plochu nhrzujeme v blízkosti bodu dopdu tečnou rovinou plochy, čili v řezu tečnou elipsy Elipsu tk můžeme chápt jko usměrňovč pprsků do jednoho bodu Pro tečnu elipsy dále pltí následující vět, které se též někdy používá jko definice tečny Vět Tečn elipsy je přímk, která má s elipsou jediný společný bod, jejíž všechny osttní body jsou vnější Důkz: Dokážeme, že přímk, která půlí úhel průvodičů bodu M elipsy má, kromě bodu dotyku M, všechny osttní body vnější Nechť R je libovolný bod tečny t, různý od bodu M Pro průvodiče bodu R je F R + F R F R + QR > FQ F M + F M odtud F R + F R > Q t R M A F F B Tedy bod R je bodem vnějším ü

23 P Pech: Kuželosečky Ohniskové vlstnosti elipsy Dále vyslovíme dokážeme dvě věty, kterých se čsto užívá ke konstrukci elipsy z dných prvků Vět Množin bodů souměrných s jedním ohniskem elipsy podle všech tečen je kružnice se středem ve druhém ohnisku o poloměru Důkz: Předpokládejme nejprve, že bod Q má vlstnost z věty, tj je souměrný npř s ohniskem F podle tečny t Protože tečn půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku M, je F Q F M + MQ F M + MF, Q t M P A F S F B v g odtud plyne, že bod M leží n kružnici g ( F, ) Nechť obráceně bod Q je libovolný bod kružnice g Oznčme t osu úsečky F Q sestrojme průsečík M přímek t F Q Bod M zřejmě vždy existuje, neboť kdyby byly přímky t F Q rovnoběžné, potom bude přímk F Q kolmá n F Q trojúhelník F F Q bude prvoúhlý Odtud F Q < F F to je spor Pro průsečík M pltí <

24 Elips F M + F M F M + MQ FQ, tj bod M náleží elipse Přímk t prochází bodem M je osou úhlu QMF, tedy je tečnou, podle níž je bod Q souměrný s ohniskem F ü Poznámk Kružnice g ( F, ), g F, ) se nzývjí řídící kružnice elipsy ( V dlší větě budeme zkoumt pty kolmic spuštěných z ohnisek elipsy n tečny Vět Množin pt kolmic spuštěných z ohnisek elipsy n její tečny je kružnice se středem ve středu elipsy o poloměru Důkz: Nechť bod P je pt kolmice spuštěné npř z ohnisk F n tečnu t, obr Jelikož tečn t je osou úhlu QMF, je bod P středem úsečky QF střed elipsy S je středem úsečky F F Úsečk SP je proto v trojúhelníku F F Q střední příčkou SP FQ Bod P tedy náleží kružnici v ( S, ) Obráceně se obdobným způsobem jko v předchozí větě ukáže, že libovolný bod P kružnice v ( S, ) je ptou kolmice spuštěné z ohnisk n nějkou tečnu elipsy ü Poznámk ) Kružnice v ( S, ) se nzývá (hlvní) vrcholová kružnice elipsy ) Množin pt kolmic spuštěných z pevného bodu-pólu P n tečny křivky se nzývá úptnice dné křivky vzhledem k pólu P Úptnicí elipsy s pólem v jednom ohnisku elipsy je tedy podle poslední věty vrcholová kružnice elipsy v Příkld Je dán kružnice k uvnitř kružnice pevný bod M Vyšetřete množinu středů všech kružnic, které se dotýkjí dné kružnice k procházejí dným bodem M 3

25 P Pech: Kuželosečky Řešení: Oznčme k ( O, r) Nechť kružnice l je libovolná kružnice splňující podmínky úlohy, obr Oznčme X její střed nechť Y je bod dotyku kružnic k l Jk známo, body O, X, Y leží n jedné přímce pltí OX + XM OX + XY OY r Tedy součet vzdáleností bodu X od dvou dných pevných bodů O, M je konstntní bod X náleží elipse s ohnisky v bodech O, M, jejíž délk r hlvní poloosy je Obráceně, je-li bod X libovolný bod uvedené elipsy, potom je r OX + XM OX + XY odtud XM XY Bod X je tedy středem kružnice, která se dotýká dné kružnice k prochází dným bodem M k l X Y O M Závěr: Hlednou množinou bodů je elips s ohnisky ve středu O r kružnice k v bodě M, jejíž délk hlvní poloosy je rovn ü V poslední úloze jsme vlstně řešili úlohu určit elipsu, známe-li její řídící kružnici obě ohnisk, z nichž jedno je ve středu řídící kružnice 4

26 Elips Cvičení Sestrojte elipsu, jsou-li dány hlvní vrcholy A, B bod M elipsy Z bodu R veďte tečny k elipse 3 K elipse veďte tečny dným směrem s 4 Do trojúhelníku PQR vepište elipsu tk, by dný bod F byl jejím ohniskem 5 Sestrojte elipsu, je-li dáno: ) hlvní vrchol A, vedlejší vrchol C, délk hlvní poloosy, b) hlvní vrchol A, vedlejší vrchol C, délk vedlejší poloosy b, c) ohnisk F, F, bod M elipsy, d) ohnisko F, vedlejší vrchol C, délk vedlejší poloosy b, e) ohnisko F, vedlejší vrchol C, excentricit e, f) hlvní vrchol A, ohnisko F, délk vedlejší poloosy b, g) hlvní vrcholy A, B, tečn t, h) ohnisk F, F, tečn t, i) ohnisko F, bod M elipsy, délk vedlejší poloosyb, excentricit e, j) ohnisko F, tečny t,t, délk hlvní poloosy, k) ohnisko F, tečn t s bodem dotyku T, délk hlvní poloosy, l) ohnisko F, bod M elipsy, tečn t, délk vedlejší poloosy, m) ohnisko F, body M, M elipsy, délk hlvní poloosy, n) ohnisko F, tečny t,t, bod V vedlejší osy 6 Npište rovnici kružnice, která se dotýká os souřdnic prochází bodem M [ 8,] 7 Je dán trojúhelník ABC svými vrcholy A [ 4, ], B [, ], C [,3] Npište rovnici kružnice trojúhelníku opsné 8 Npište rovnici kružnice vepsné trojúhelníku A [, 3], B [6,5 / ], C [,0] 5

27 P Pech: Kuželosečky Hyperbol Zákldní vlstnosti Definice Hyperbol je množin bodů v rovině, jejichž rozdíl vzdáleností od dných bodů F, F je konstntní Q M F A S B F Body F, F nzýváme ohnisk hyperboly Konstntní rozdíl vzdáleností budeme znčit Spojnice libovolného bodu M hyperboly s ohnisky F, F jsou průvodiče bodu M Můžeme též říci, že hyperbol je množin bodů, které mjí od dvou dných bodů stálý rozdíl průvodičů, tj MF MF Vzdálenost ohnisek F, F znčíme e nzýváme ji ohnisková vzdálenost Podle definice pltí < e Číslo e se nzývá délková výstřednost (excentricit) hyperboly vyjdřuje vzdálenost ohnisek hyperboly od středu S hyperboly Číslo nzýváme délk hlvní poloosy hyperboly číslo b e nzýváme délk vedlejší poloosy Přímk, n níž leží ohnisk F, F je hlvní os hyperboly Body A, B hyperboly ležící n hlvní ose jsou (hlvní) vrcholy hyperboly Pro body A, B pltí AS BS Přímk jdoucí středem S kolmo k hlvní ose je vedlejší os hyperboly Z definice je zřejmé, že vedlejší os žádné body 6

28 Hyperbol hyperboly neobshuje (rozdíl průvodičů bodů n vedlejší ose je roven nule) Hyperbol se skládá ze dvou disjunktních částí, které nzýváme větve hyperboly Pro body M n jedné větvi je MF MF, ztímco pro body druhé větve hyperboly máme MF MF u u E b e ϕ F A S B F e Číslo ε se nzývá numerická výstřednost Numerická výstřednost hyperboly je vždy větší než jedn, neboť e > Pro určení tvru hyperboly jsou velmi užitečné symptoty u,u hyperboly Jsou to přímky jdoucí středem hyperboly S svírjící s hlvní b osou úhel ϕ, pro který pltí tn ϕ Bod X se nzývá vnější bod hyperboly, pltí-li F X F X < Bod 7 X se nzývá vnitřní bod hyperboly, pltí-li F X F X > Hyperbol tk dělí rovinu n - vnějšek hyperboly, který je tvořen vnějšími body, - n body hyperboly - vnitřek hyperboly (obshuje ohnisk), který je tvořen vnitřními body hyperboly

29 P Pech: Kuželosečky V přípdě, že e, potom b hyperbol se nzývá rovnoosá Asymptoty rovnoosé hyperboly jsou, jk sndno nhlédneme, vzájemně kolmé Rovnice hyperboly Nyní odvodíme rovnici hyperboly Předpokládejme, že hyperbol je dán ohnisky F, F délkou hlvní poloosy Krtézskou soustvu souřdnic zvolme tk, by pltilo F [,0], F [,0] e e y X[x,y] F [-e,0] A[-,0] O B[,0] F [e,0] x Dále předpokládejme, že X [ x, y] je libovolný bod hyperboly Podle definice hyperboly pltí Rozepsáním rovnice () dostáváme XF XF () ( x + e) + y ( x e) + y Rovnici povýšíme n druhou x + e + y (( x + e) + y )(( x e) + y ) Po dlším umocnění úprvě dostneme 4 + x e x e y 0 8

30 Hyperbol S následným užitím vzthu b e získáme rovnici x y () b Obráceně, předpokládejme, že bod X [ x, y] vyhovuje vzthu () Chceme ukázt, že potom bod X náleží hyperbole o poloosách,b, tj že pltí () Je Vyjádříme-li ( x + e) + y, F X ( x e) F + X y y ze vzthu (), po krátké úprvě máme XF e x + e x + e x + e x, e x +, pro x >, pro x <, (3) XF Odvodíme ještě prmetrické rovnice hyperboly 9 e x e x e x e x +, e x, pro x >, pro x < Využili jsme při tom nerovnosti x, která plyne z (), nerovnosti e > z definice hyperboly Odečtením (4) od (3) dostneme vzth () Tedy bod X náleží hyperbole Rovnice () je knonická rovnice hyperboly Z nšich úvh vyplývá i tto možnost definice hyperboly: Definice Hyperbol je množin bodů X [ x, y] v rovině, které v nějké krtézské soustvě souřdnic vyhovují rovnici x y b (4)

31 P Pech: Kuželosečky Nechť pro souřdnice bodu X [ x, y] pltí x, y b tn t, (5) cos t π 3π kde t 0,π), t, t Je zřejmé, že vzthy (5) vyhovují rovnici hyperboly () Rovnice (5) nzýváme prmetrické rovnice hyperboly Uvedeme ještě jiné, čsto užívné prmetrické rovnice hyperboly, využívjící vlstností funkcí hyperbolický sinus hyperbolický kosinus Jk známo, pro hyperbolický sinus hyperbolický kosinus pltí vzth cosh t sinh t, pro všechn reálná t Připomeňme, že t t t t e + e e e cosh t, sinh t Pro bod X [ x, y] roviny, položme x cosh t, y b sinh t, (6) kde prmetr t je libovolné reálné číslo Dosdíme-li rovnice (6) do knonické rovnice hyperboly (), dostneme identitu Rovnice (6) jsou prmetrické rovnice hyperboly Asymptoty hyperboly o poloosách, b dostneme z rovnice (), položíme-li n prvou strnu nulu, tj Rozepsáním (7) máme x b y 0 ( bx y) ( bx + y) 0, odtud pro rovnice symptot u,u dostneme u u : : b y x, b y x (7) 30

32 Hyperbol Konstrukce hyperboly Jednotlivé body hyperboly můžeme sndno sestrojit následujícím způsobem, tzv bodová konstrukce hyperboly Zvolme n polopřímce opčné k F F libovolný bod R z ohnisek F, F opišme kruhové oblouky k, k o poloměrech AR, BR Průsečíky kruhových oblouků u k u M3 M E k S F A S B F R M 4 M k, k dávjí body M, M, M 3, M 4 hyperboly Při konstrukci se hyperbol nhrzuje v okolí vrcholů, obdobně jko v přípdě elipsy, oblouky oskulčních kružnic Konstrukci oskulční kružnice popíšeme V hlvním vrcholu A vztyčíme kolmici jejím průsečíkem E s symptotou vedeme kolmici k této symptotě Průsečík této kolmice s hlvní osou dává střed S oskulční kružnice Oprávněnost této konstrukce lze vidět z následující úvhy Nechť k je libovolná kružnice mjící střed S n hlvní ose hyperboly procházející npř vrcholem B hyperboly Rovnice této kružnice má tvr ( x s) + y ( s ) Pro průsečík X [ x, y] kružnice k s hyperbolou o rovnici b x y b pltí vzth 3

33 P Pech: Kuželosečky x e sx ( e s) 0 Kružnice k bude nejlépe nhrzovt hyperbolu v okolí vrcholu B, jestliže její průsečíky B X s hyperbolou splynou Tento přípd nstne, jestliže má hořejší kvdrtická rovnice dvojnásobný kořen, tj y X[x,y] F A O B F [e,0] S[s,0] x jestliže její diskriminnt je roven nule Diskriminnt je roven nule právě když je splněn vzth ( s e ) 0, e b nebo tké s Pro poloměr ρ tkové kružnice je ρ s Odtud tké plyne uvedená konstrukce středu oskulční kružnice ve vrcholech hyperboly Pltí totiž, že trojúhelníky SAE EAS jsou SA AE podobné, tedy AE AS Tečn hyperboly Nechť M [ m, n] je libovolný bod hyperboly nechť r je libovolná přímk určená bodem M směrovým vektorem u ( u, v) Předpokládejme, že hyperbol je dán knonickou rovnicí 3

34 Hyperbol x b y Rovnice přímky r jsou r : x m + tu, () y n + tv Hledejme společné body přímky r hyperboly Doszením rovnic () do () získáme rovnici tvru At + Bt + C 0, (3) kde pro koeficienty A, B, C pltí A b C b u m B b um vn, v n, Zřejmě je C 0, neboť bod M náleží hyperbole Rovnice (3) se potom redukuje n tvr At + Bt 0 (5) Tto rovnice je kvdrtická pro A 0, tj pro u (, b) nebo u (, b), jk plyne ze (4) Zvolme směrový vektor u přímky r tk, by u (, b) u (, b) Potom rovnice (3) má dvojnásobný kořen právě když nul vyhovuje rovnici At + B 0, tj jestliže B 0 Ze vzthu 0 B b um vn vypočteme souřdnice směrového vektoru u ( u, v) přímky r, která má s hyperbolou dvojnásobný průsečík M [ m, n] Stčí volit npř u n, v b m Tkto zvolený vektor u ( u, v) je zřejmě pro jkoukoliv volbu bodu M hyperboly nenulový tková přímk tedy v kždém bodě hyperboly existuje Definice Nechť M je libovolný bod hyperboly Přímk procházející bodem M, který je dvojnásobným průsečíkem této přímky s hyperbolou, se nzývá tečn hyperboly s dotykovým bodem M Přímk procházející bodem M, která je kolmá n tečnu se nzývá normál v bodě M b () (4) 33

35 P Pech: Kuželosečky Q M n F A S B F t Nyní odvodíme rovnici tečny hyperboly s bodem dotyku M [ m, n] Přímk r má prmetrické rovnice r : x m + n t, y n + mb t Vyloučíme-li z těchto rovnic prmetr t, má (vzhledem k tomu, že v rovnici (4) je C 0 ) obecná rovnice přímky r tvr xm ym r : (6) b Rovnice (6) je rovnice tečny hyperboly () s bodem dotyku M [ m, n] Poznámk Pro lepší zpmtování rovnice tečny hyperboly je užitečné si všimnout podoby rovnice tečny (6) s rovnicí hyperboly () V dlší části uvedeme důležitou vlstnost tečny hyperboly, která nám umožní sestrojení tečny hyperboly v libovolném jejím bodě Nejprve zvedeme dlší potřebný pojem Průvodiče bodu M hyperboly, tj spojnice bodu M s ohnisky F, F, dělí rovinu n dvě dvojice vrcholových úhlů Té dvojici vrcholových úhlů, která obshuje střed hyperboly, říkáme vnější úhly průvodičů bodu M Dvojice vrcholových úhlů neobshující střed tvoří vnitřní úhly průvodičů bodu M A nyní již ke zmíněné vlstnosti tečny hyperboly 34

36 Hyperbol Vět Tečn hyperboly půlí vnější úhly průvodičů bodu dotyku M α β F A S B F t Důkz: Tvrzení dokážeme nlytickou metodou Soustvu souřdnic zvolme tk, by dná elips měl rovnici () Pro ohnisk F, F pk je F [ e, 0], F [ e, 0] pro bod M elipsy nechť je M [ x 0, y0 ] Rovnice tečny t v bodě M je dán vzthem (6) Ukážeme, že průvodiče F M F M svírjí s tečnou t stejný úhel Stčí ukázt, že sin α sin β Pro vzdálenost F t ohnisk F od tečny t pltí ex0 εx0 + x0 y0 Ft, kde jsme oznčili k +, 4 4 x y k b b e ε Pro vzdálenost F M ohnisk F od bodu dotyku M je podle (3) z kpitoly "Rovnice hyperboly" F M ε x + vychází Ft sinα F M k Pro druhý úhel β nlogicky dostneme 35 0

37 P Pech: Kuželosečky ex0 εx0 Ft F M εx0 k k Ft Tedy sin β Odtud sin α sin β α β ü F M k Pro tečnu hyperboly dále pltí následující vět, které se též někdy používá jko definice tečny g Q P R M F A S B F t v Vět Tečn hyperboly je přímk, která má s hyperbolou jediný společný bod, jejíž osttní body jsou vnější Důkz: Dokážeme, že přímk, která půlí úhel průvodičů bodu M hyperboly má, kromě bodu dotyku M, všechny osttní body vnější Nechť R je libovolný bod tečny různý od bodu M Pro průvodiče bodu R je odtud F R F R F R QR < F Q F M F M Tedy bod R je bodem vnějším < F R F R ü 36

38 Hyperbol Ohniskové vlstnosti hyperboly Dále vyslovíme dokážeme dvě věty, kterých se čsto užívá ke konstrukci hyperboly z dných prvků Vět Množin bodů souměrných s jedním ohniskem hyperboly podle všech tečen leží n kružnici se středem ve druhém ohnisku o poloměru Důkz: Předpokládejme nejprve, že bod Q má vlstnost z věty tj je souměrný npř s ohniskem F podle tečny t Protože tečn půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku M, pltí F Q F M MQ F M MF Odtud plyne, že bod M leží n kružnici g ( F, ) ü g Q P A F S B F v P Q Poznámk Všimněme si rozdílu mezi právě dokáznou větou obdobnou větou pro elipsu U elipsy je hlednou množinou celá kružnice g ( F, ), ztímco u hyperboly její podmnožin nebo jink řečeno, z kružnice g je 37

39 P Pech: Kuželosečky nutno některé body vyjmout Jsou to ty body, které nejsou souměrné s ohniskem F podle některé tečny Ukžme, které body to jsou, obr Nechť Q je libovolný bod kružnice g Oznčme t osu úsečky F Q sestrojme průsečík M přímek t F Q Bod M zřejmě vždy existuje, kromě přípdu, že přímky t F Q jsou rovnoběžné Potom přímk F Q je kolmá n F Q trojúhelník F F Q je prvoúhlý Z kružnice g je tedy nutno vyjmout bod Q, který je bodem dotyku tečny ke kružnici g z ohnisk F Anlogicky je nutno z kružnice g vyjmout bod Q, který je symetrický s bodem Q podle hlvní osy hyperboly Kružnice g ( F, ), g ( F, ) se nzývjí řídící kružnice hyperboly V dlší větě budeme zkoumt pty kolmic spuštěných z ohnisek hyperboly n tečny Vět Množin pt kolmic spuštěných z ohnisek hyperboly n její tečny leží n kružnici se středem ve středu hyperboly o poloměru Důkz: Nechť bod P je pt kolmice spuštěné npř z ohnisk F n tečnu t Jelikož tečn t je osou úhlu QMF, je bod P středem úsečky QF, střed hyperboly S je středem úsečky F F Úsečk SP je proto v trojúhelníku F F Q střední příčkou SP FQ Bod P tedy náleží kružnici v ( S, ) ü Poznámk Tké zde je nutné si všimnout rozdílu mezi právě uvedenou větou nlogickou větou pro elipsu Hlednou množinou zde není celá kružnice v, le pouze její podmnožin Z kružnice v je nutno vyjmout body dotyku tečen P, P, vedených ke kružnici v z ohnisek F F Kružnice v ( S, ) se nzývá vrcholová kružnice hyperboly 38

40 Hyperbol Příkld Je dán kružnice k vně kružnice pevný bod M Vyšetřete množinu středů všech kružnic, které se dotýkjí dné kružnice k procházejí dným bodem M Řešení: Oznčme k ( O, r) kružnici se středem O poloměrem r Nechť kružnice l je libovolná kružnice splňující podmínky úlohy, která má s kružnicí k npř vnější dotyk Oznčme X její střed nechť Y je bod dotyku kružnic k l Jk známo, body O, X, Y leží n jedné přímce pltí OX XM OX XY OY r Tedy rozdíl vzdáleností bodu X od dvou dných pevných bodů O, M je konstntní bod X náleží hyperbole s ohnisky v bodech O, M, jejíž r délk hlvní poloosy je k Y X O M l Obráceně, je-li X libovolný bod uvedené hyperboly, potom r OX XM OX XY odtud XM XY Bod X je tedy středem kružnice, která se dotýká dné kružnice k prochází dným bodem M Závěr: Hlednou množinou bodů je hyperbol s ohnisky ve středu O r kružnice k v bodě M, jejíž délk hlvní poloosy je rovn ü 39

41 P Pech: Kuželosečky Dlší vlstnosti hyperboly V této části uvedeme některé dlší vlstnosti hyperboly Pltí vět: Vět Úsek tečny omezený symptotmi hyperboly je půlen bodem dotyku u N u T α F A B F S M t Důkz: Větu dokážeme nlytickou metodou Při vhodně zvolené x y soustvě souřdnic je rovnice hyperboly, rovnice tečny t s b xx0 yy0 bodem dotyku T [ x 0, y0 ] je rovnice symptot b u, u x y hyperboly je 0 Njdeme průsečíky M, N tečny t s b symptotmi u, u Z rovnice tečny vyjádříme y dosdíme do xx0 b rovnice symptot Je y odtud y 0 y0 b x0 b x0 b x x y y y

42 Hyperbol Protože bod dotyku T x 0, y ] leží n hyperbole, je [ 0 y0 b x0 b rovnice pro výpočet průsečíků má po vynásobení nenulovou konstntou tvr x xx + 0 () Součet kořenů rovnice () je podle Vietových vzorců roven x 0 odtud x-ová souřdnice středu je x 0 Středem úsečky M, N je tedy bod dotyku x, ] ü [ 0 y0 Předchozí větu lze využít ke konstrukci tečny v dném bodě, známe-li symptoty hyperboly Stčí sestrojit příčku, jejíž krjní body leží n hyperbole, která je dným bodem půlen (s pomocí středové souměrnosti) Výsledky věty užijeme ve větě následující Vět Tečn hyperboly spolu s symptotmi určuje trojúhelník, který má konstntní obsh Důkz: Dokážeme, že obsh trojúhelník SMN nezávisí n volbě tečny Nechť M [ x, y] N [ x, y ] Pro obsh P trojúhelník SMN pltí P SM SN sin α, kde α je úhel symptot Dále je SM cosα x, SN cosα x Tedy x x P sin α Ze cos α vzthu () plyne x x Po doszení úprvě dostneme vzth 0 P tnα, () který nezávisí n volbě tečny ü N závěr této kpitoly uvedeme úlohu, ve které se vlstností hyperboly využívá v prktické činnosti Jedná se o tkzvnou zvukoměřičskou úlohu (název je převzt ze strší litertury) 4

43 P Pech: Kuželosečky Zvukoměřičská úloh Ve třech různých místech A,B,C byl v zznmenán zvukový signál po řdě v čsech t, t, t3 Určete místo zdroje signálu Řešení: Předpokládejme, že čsy jsou udány v sekundách že pltí t t t3 V místě A byl signál zznmenán nejdříve, v místě B byl signál zznmenán se zpožděním t t sekund oproti místu A Předpokládáme-li, že se zvuk šíří rychlostí v m/s (je to přibližně 330 m/s), je zdroj signálu X o ( t t) v metrů dál od míst B než od míst A Tedy pro rozdíl vzdáleností pltí XB XA ( t t) v zdroj signálu X leží n hyperbole, jejíž ohnisk jsou v bodech A,B ( t t) v Uvžujeme pouze tu větev hyperboly, která je blíže bodu A, obr C A X B Anlogicky vyšetříme situci vzhledem k bodům B,C (příp A,C) V tomto přípdě pltí pro vzdálenosti XB, XC rovnost XC XB ( t3 t ) v bod X leží n hyperbole, jejíž ohnisk jsou v bodech B,C ( t3 t ) v Opět uvžujeme pouze jednu větev hyperboly, sice tu, která je blíže bodu B Průsečík dvou větví hyperboly dává hledný bod X ü 4

44 Hyperbol Poznámk ) Uvedené vlstnosti hyperboly se v součsné době velmi využívá pro stnovení polohy v rovině či v prostoru s použitím kontrolních bodů - geostcionárních družic, které jsou zvěšeny nd zemským povrchem V prostoru se místo hyperbol používá prostorová nlogie - rotční jednodílný hyperboloid Rovněž zvukový signál je nhrzen jiným druhem signálu (rádiový, lserový, světelný pod) b) Dříve se k určení bodu X, vzhledem k náročnosti výpočtu v dném čse, nhrzovly hyperboly jejich symptotmi Cvičení Z bodu R veďte tečny k hyperbole Sestrojte hyperbolu, je-li dáno ) ohnisko F, symptot m, směr s druhé symptoty, b) ohnisk F, F, tečn t, c) ohnisk F, F, bod M hyperboly, d) hlvní vrcholy A, B, tečn t, e) ohnisko F, tečn t s bodem dotyku T, směr s hlvní osy, f) ohnisko F, symptot m, délk hlvní poloosy, g) ohnisko F, symptot m, tečn t, h) střed S, symptot m, tečn t, délk hlvní poloosy, i) ohnisko F, tečn t s bodem dotyku T, dlší tečn t, j) ohnisko F, body M, M hyperboly, délk hlvní poloosy, k) ohnisko F, tečny t,t, délk hlvní poloosy 3 Sestrojte rovnoosou hyperbolu, je-li dán střed S, tečn t, délk hlvní poloosy o 4 K hyperbole veďte tečny, které svírjí s hlvní osou úhel 75 5 Určete knonický tvr hyperboly x y 4x + 6y 6 0 Kuželosečku nkreslete 6 Určete kuželosečku xy + 3 x y + 0 Návod: Z rovnice vyjádřete proměnnou y 43

45 PPech: Kuželosečky 3 Prbol Zákldní vlstnosti Definice Prbol je množin bodů v rovině, které mjí od dného bodu F dné přímky d stejnou vzdálenost d M V F o Bod F nzýváme ohnisko, přímk d je řídící přímk Spojnice libovolného bodu M prboly s ohniskem F přímk kolmá n řídící přímku procházející bodem M jsou průvodiče bodu M Někdy budeme průvodičem bodu M rozumět vzdálenost MF popř Md Prbol je množin bodů, které mjí od dné přímky dného bodu stejné průvodiče, tj MF Md Vzdálenost ohnisk od řídící přímky je prmetr p Přímk kolmá k řídící přímce d procházející ohniskem F je os o prboly Bod V n ose, který půlí vzdálenost bodu F od řídící přímky, se nzývá vrchol Dále zvedeme pojem vnějších vnitřních bodů prboly Bod X nzveme vnějším bodem prboly, jestliže XF > Xd Pltí-li vzth XF < Xd, potom se bod X nzývá vnitřní bod prboly Prbol tk dělí rovinu n tři části - vnějšek prboly, který je tvořen vnějšími body, - body prboly, - vnitřek prboly (obshuje ohnisko), který je tvořen vnitřními body prboly 44

46 3 Prbol Rovnice prboly Nyní odvodíme rovnici prboly Krtézskou soustvu souřdnic zvolme p p tk, by F, 0 rovnice řídící přímky d byl d : x Nechť X [ x, y] je libovolný bod roviny d y X[x,y] [-p/,0] V[0,0] F[p/,0] x Předpokládejme nejprve, že bod X náleží prbole Potom podle definice XF Xd () Rozepíšeme-li tento vzth v souřdnicích, dostáváme p x + y x + p Umocníme tuto rovnici n druhou po krátké úprvě máme y px () Obráceně předpokládejme, že pro bod X [ x, y] pltí rovnice () p x dostneme Doszením z y z () do výrzu XF + y XF x + p Xd Tedy pltí () 45

47 PPech: Kuželosečky Rovnice () se nzývá knonická rovnice prboly Vzhledem k tomu můžeme definovt prbolu následujícím způsobem: Definice Prbol je množin bodů X [ x, y] v rovině, které v nějké krtézské soustvě souřdnic vyhovují rovnici y px Ukžme ještě prmetrické rovnice prboly Zde stčí položit x t, y, p t (3) kde t je libovolné reálné číslo Rovnice (3) nzýváme prmetrické rovnice prboly Konstrukce prboly Libovolný bod prboly, která je dán ohniskem F řídící přímkou d, sestrojíme tkto tzv bodová konstrukce prboly d k M D V F p S R o M Nejprve sestrojíme vrchol V prboly, který leží n ose o pro který je VF Vd Dále v libovolném bodě R polopřímky VF sestrojíme kolmici k ose prboly njdeme její průsečíky M, M s kružnicí k, která má střed v ohnisku F poloměr R d Body M, M zjevně náleží prbole 46

48 3 Prbol Při konstrukci nhrzujeme prbolu v okolí vrcholu V obloukem oskulční kružnice Její střed S sestrojíme sndno, neboť jk se dokzuje v diferenciální geometrii, poloměr oskulční kružnice prboly v jejím vrcholu je roven prmetru p Stčí tedy nnést vzdálenost p Fd n polopřímku VF dostneme střed S oskulční kružnice prboly Oprávněnost této konstrukce můžeme nhlédnout následovně y X[x,y] V[0,0] F[p/,0] S[s,0] x Mějme libovolnou kružnici k se středem S [s, 0] n ose prboly, o rovnici ( x s) + y s, která má s prbolou y px společný vrchol V [0, 0] Pro průsečík X [ x, y] kružnice s prbolou pltí rovnice x x ( p s) 0 Průsečík X splyne s vrcholem prboly, jestliže má tto rovnice dvojnásobný kořen, což nstne právě když s p Tečn prboly Předpokládejme, že bod M [ m, n] je bodem prboly o rovnici y px 0 () Bodem M veďme libovolnou přímku r, jejíž prmetrické rovnice jsou 47

49 PPech: Kuželosečky r : x m + ut, () y n + vt, kde t je prmetr u ( u, v) je směrový vektor Budeme hledt společné body prboly přímky r Dosďme proto rovnice () do () Dostáváme rovnici pro neznámou t tvru kde Přímk r má prmetrické rovnice 48 At + Bt + C 0, (3) A v B nv pu, C n, pm Protože bod M náleží prbole, je zřejmě C 0 Rovnice (3) se potom redukuje n tvr At + Bt 0 (5) Rovnice (5) je kvdrtická právě když A 0 to nstne podle (4) pouze v přípdě kdy v 0 Zvolme tedy směrový vektor u ( u, v) přímky r tk by nebyl rovnoběžný s osou prboly Jeden kořen této rovnice je nul Tento kořen vede, po doszení do rovnice (), k průsečíku M přímky r prboly Bod M bude dvojnásobným průsečíkem přímky r prboly, jestliže nul bude dvojnásobným kořenem rovnice (5) t ( At + B) 0, tj jestliže B 0 Ze vzthu 0 B nv pu dostneme npř volbou u n, v p souřdnice u, v směrového vektoru u přímky r Zřejmě je tkto zvolený vektor u vždy nenulový přímk r v kždém bodě prboly existuje Definice Nechť M je libovolný bod prboly Přímk procházející bodem M, který je dvojnásobným průsečíkem této přímky s prbolou, se nzývá tečn prboly s dotykovým bodem M Přímk procházející bodem M, která je kolmá n tečnu se nzývá normál v bodě M Nyní odvodíme rovnici tečny prboly s bodem dotyku M [ m, n] (4)

50 3 Prbol r : x m + tn y n + tp Vyloučíme-li z těchto rovnic prmetr t, má obecná rovnice přímky r tvr r : yn p ( x m) n 0 (6) Odečteme-li od obou strn rovnice (6) výrz pm, lze tuto rovnici (protože bod M náleží prbole, je n pm 0) uprvit n následující tvr r : yn p ( x + m) 0 (7) Rovnice (7) je rovnice tečny prboly () s bodem dotyku M [ m, n] d t Q M n F Poznámk Pro lepší zpmtování rovnice tečny prboly je užitečné si všimnout podoby rovnice tečny (7) s rovnicí prboly () Dále dokážeme důležitou vlstnost tečny prboly, které se též, obdobně jko u elipsy, využívá v prxi Nejprve všk zveďme pojem úhlu průvodičů Průvodiče bodu M prboly dělí rovinu prboly n dvě dvojice vrcholových úhlů Ty dv vrcholové úhly, z nichž jeden obshuje vrchol prboly, jsou vnější úhly průvodičů bodu M prboly Zbylé dv vrcholové úhly jsou vnitřní úhly průvodičů bodu M A nyní slíbená vět: 49

51 PPech: Kuželosečky Vět Tečn prboly půlí vnější úhel průvodičů Důkz: Větu dokážeme užitím nlytické metody Pro prbolu o rovnici y p px je F, 0, rovnice tečny t v bodě M [ x 0, y0 ] prboly je d t Q β α M F podle (7) t px y y px 0 pltí y 0 px0 : 0 0 Ukážeme, že úhly, které svírá tečn t s přímkmi QM FM jsou shodné Stčí ukázt, že je splněn rovnost sin α sin β Pltí p + px0 Ft p sinα, kde jsme oznčili FM p k p + y0 x + y0 Qt y0 + px0 p k p + y0 Anlogicky sin β, MQ p + y x k 0 0 tedy sin α sin β α β ü 50

52 3 Prbol Právě dokázná vlstnost tečny prboly má široké použití v prxi Npříkld při konstrukci svítilen má svítiln tvr rotčního prboloidu, který vznikne rotcí prboly kolem osy Situci můžeme sledovt n řezu prboloidu rovinou obshující osu rotce Řezem je prbol, v jejímž ohnisku je umístěno vlákno žárovky Světelné pprsky se odrážejí od stěn prboloidu do jediného směru, který je rovnoběžný s osou rotce Prbol tk působí jko usměrňovč, který pprskům všech možných směrů dává jediný směr N stejném principu jsou zloženy i televizní prbolické ntény, sluneční pece pod d F o Pomocí předchozí věty dokážeme následující vlstnost tečny prboly, které se někdy užívá k definici tečny prboly Vět Tečn prboly je přímk, která má s prbolou jediný společný bod, jejíž všechny osttní body jsou vnější Důkz: Větu dokážeme syntetickou metodou Je-li R libovolný bod tečny t prboly, různý od bodu dotyku M, potom RF RQ, protože tečn t půlí vnější úhel průvodičů bodu dotyku M Z prvoúhlého trojúhelník QXR dále plyne RQ > R d Odtud RF > R d, tedy bod R je vnějším bodem prboly ü Dále následují dvě věty, které pojednávjí o množině bodů souměrných s ohniskem podle tečen o množině pt kolmic z ohnisk n tečny 5

53 PPech: Kuželosečky X R t Q M P K D V F o d v Vět Množin bodů souměrných s ohniskem prboly podle všech tečen je řídící přímk d Důkz: Nechť bod Q je souměrný s ohniskem F podle tečny t Protože tečn půlí vnější úhel průvodičů, jsou trojúhelníky PFM PQM shodné Odtud QM FM, tj bod Q náleží řídící přímce d Obráceně, nechť Q je libovolný bod řídící přímky d Sestrojíme osu t úsečky QF Rovnoběžk s osou prboly bodem Q vždy protne přímku t v bodě M, pro který pltí QM MF neboť t je os úsečky QF Bod M tedy náleží prbole přímk t je její tečnou Vět Množin pt kolmic spuštěných z ohnisk prboly n její tečny je vrcholová tečn v Důkz: Nechť bod P je ptou kolmice, která je spuštěn z ohnisk F n tečnu t Bod P je středem strny QF bod V je středem strny DF Potom je přímk PV střední příčkou v trojúhelníku DFQ, odkud plyne, že bod P náleží vrcholové tečně v Důkz obrácené implikce je nlogický ü 5 ü

54 3 Prbol V dlší části zvedeme dv nové pojmy Nechť je v libovolném bodě M prboly sestrojen tečn t Bod dotyku M promítneme kolmo n osu prboly o do bodu M Oznčme písmenem K průsečík tečny t s osou o písmenem N průsečík normály n s osou prboly o Potom úsečku K M nzýváme subtngent úsečku M N subnormál Pltí následující vět: Vět Subtngent je půlen vrcholem délk subnormály je rovn prmetru p prboly d t Q M n K D V F M' N Důkz: Obě tvrzení věty plynou okmžitě z prvoúhlého trojúhelník K M M prvoúhlého trojúhelník N M M, který je shodný s trojúhelníkem FDQ Dále je vhodné si uvědomit, že čtyřúhelník KFMQ je kosočtverec V následující větě uvedeme vlstnost prboly, které se čsto využívá ke konstrukci prboly z dných prvků Vět Přímk, která spojuje průsečík dvou tečen prboly se středem spojnice jejich bodů dotyku je rovnoběžná s osou prboly Důkz: Oznčme průsečík tečen prboly t,t písmenem R jejich body dotyku po řdě T,T, obr Protože tečn půlí úhel průvodičů, je tečn t osou úsečky FQ tečn t osou úsečky FQ Proto pltí 53 ü

55 PPech: Kuželosečky RQ RF RQ, to znmená, že body Q, F, Q leží n kružnici k ( R, RF ) Bodem R veďme rovnoběžku s s osou o prboly Přímk s je kolmá n úsečku Q Q, která je tětivou kružnice k Jk známo, z vlstnosti tětivy kružnice, kolmice n tětivu Q Q středem R kružnice protíná tětivu Q Q v jejím středu U Přímk s protíná strny lichoběžník Q QTT s prvými úhly při vrcholech Q,Q v bodech U S Protože s Q T QT, je úsečk US střední příčk lichoběžník Q QTT Odtud plyne, že bod S je středem strny T T Ukázli jsme, že přímk RS o ü d t k Q T R U F S o s Q T t Poznámk Přímk RS se nzývá průměr prboly Později ukážeme, že tečn v bodě, v němž RS protíná prbolu je rovnoběžná s T T Obdobná vlstnost pltí i pro elipsu hyperbolu V těchto přípdech si je třeb uvědomit, že průměr elipsy i hyperboly prochází středem kuželosečky Pokuste se věty pro elipsu hyperbolu zformulovt Cvičení Z bodu R veďte tečny k prbole K prbole veďte tečny dným směrem s 54

56 3 Prbol 3 Sestrojte prbolu, je-li dáno: ) os o, bod M prboly, prmetr p, b) vrchol V, tečn t s bodem dotyku T, c) vrcholová tečn v, bod M prboly, prmetr p, d) os o, vrchol V, bod M prboly, e) os o, ohnisko F, tečn t, f) os o, tečn t s bodem dotyku T, g) ohnisko F, tečny t,t, h) vrcholová tečn v, tečny t,t, i) ohnisko F, body M, M prboly, j) ohnisko F, tečn t, bod M prboly, k) vrcholová tečn v, tečn t s bodem dotyku T, l) řídící přímk d, tečny t,t, m) řídící přímk d, tečn t, bod M prboly, n) tečny t,t jejich body dotyku T,T 4 Z bodu P n řídící přímce d veďte tečny k prbole Dokžte, že tečny jsou vzájemně kolmé 5 Ukžte, že rovnicí y + x 4y + 0 je dán prbol, určete její prmetr p vrchol 6 Určete množinu bodů, které mjí od přímky q bodu M stálý součet vzdáleností Návod: Řešte nlytickou nebo syntetickou metodou 7 Určete prmetr vrchol prboly y 0x y 0 Kuželosečku nkreslete 55

57 P Pech: Kuželosečky 4 Kuželosečky jko řezy n kuželové ploše Řezy n rotční kuželové ploše Křivky, kterými jsme se zbývli v předchozích kpitolách, se souhrnně nzývjí kuželosečky, neboť je lze získt, jk sám název npovídá, jko řezy n kuželové ploše Při řezu rotční kuželové plochy rovinou, která neprochází vrcholem kuželové plochy totiž dostneme právě jen elipsu, hyperbolu nebo prbolu Typ kuželosečky, který obdržíme, je závislý n tom, pod jkým úhlem protíná rovin řezu kuželovou plochu Oznčme α úhel, který svírjí povrchové přímky rotční kuželové plochy s rovinou kolmou k ose rotce Oznčme dále β úhel, který svírá rovin řezu σ s rovinou kolmou k ose rotční kuželové plochy Potom mohou nstt tyto tři přípdy: β α α β α β ) b) c) ) α > β, řezem je elips b) α β, řezem je prbol c) α < β, řezem je hyperbol Důkz tohoto tvrzení podává následující vět: 56

58 4 Kuželosečky jko řezy n kuželové ploše Vět (Quételetov-Dndelinov ) Rovin σ, která neprochází vrcholem kuželové plochy která svírá s rovinou kolmou k ose rotční kuželové plochy úhel β menší než je úhel α, který svírjí povrchové přímky kuželové plochy s rovinou kolmou k ose rotce, protíná kuželovou plochu v elipse Je-li úhel α roven úhlu β, potom rovin σ protíná kuželovou plochu v prbole Je-li úhel β větší než úhel α, potom řezem roviny σ kuželové plochy je hyperbol Ohnisk F F popř ohnisko F v přípdě prboly, jsou body dotyku kulových ploch κ, κ vepsných kuželové ploše, které se zároveň dotýkjí roviny řezu σ Důkz: ) eliptický řez V tomto přípdě předpokládejme, že α > β : A' P' k' B' d' B κ' S' B σ Q P F' κ" A F" β α k" A" P" B" p S" Nechť P je libovolný bod řezu Ukážeme, že pltí P F + PF AB, () čti: Kételetov - Dándelenov L A J Quételet ( ) - belgický mtemtik stronom, zkldtel mtemtické sttistiky, G P Dndelin ( ) - belgický fyzik mtemtik 57