Počítačová mechanika tekutin

Transkript

1 Výchova studentů pro aplikace řešené na výkonných počítačích České vysoké učení technické v Praze Fakulta strojní Počítačová mechanika tekutin Jiří Fürst TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY A ROZPOČTEM HLAVNÍHO MĚSTA PRAHY

2 Obsah 1 Eulerovy rovnice Linearizace Eulerových rovnic Okrajové podmínky pro Eulerovy rovnice Podmínky pro linearizované rovnice Numerické řešení Eulerových rovnic Rusanovovo schéma VanLeerovo schéma Potenciální proudění Stacionární potenciální proudění ve 2D Linerizovaná rovnice pro poruchový potenciál Příklad: subsonické proudění GAMM kanálem Tvorba sítí Strukturované sítě Algebraické sítě Eliptické sítě Hyperbolické sítě Nestrukturované sítě Delaunayovská triangulace oblasti Hybridní sítě Adaptivní strukturované sítě Tvorba sítí ve 3D Poznámka na úvod Tento text slouží především jako poznámky pro výuku předmětu Počítačová mechanika tekutin na FS ČVUT. Jedná se pouze o určité doplnění existující literatury (např. série skript Numerická simulace proudění vydávaná na ÚTM FS ČVUT). Některé kapitoly jsou zatím spíše osnovou přednášky a na rozšíření se stále pracuje. Soubor pmt.pdf obsahuje tento dokument v PDF formátu. 1

3 Kapitola 1 Eulerovy rovnice Eulerovy rovnice popisují prodění nevazké stlačitelné tekutiny. Vzniknou z úplného systému Navierových-Stokesových rovnic zanedbáním členů popisujících vazké efekty a vedení tepla. Z tohoto důvodu je lze použít pouze tam, kde tyto efekty nehrají rozhodující roli. Celý systém Eulerových rovnic lze zapsat v tzv. konzervativním tvaru jako kde W t + F (W ) x + G(W ) y + H(W ) z = 0, (1.1) W = [ρ, ρu, ρv, ρw, e] T, (1.2) [ T F (W ) = ρu, ρu 2 + p, ρuv, ρuw, (e + p)u], (1.3) [ T G(W ) = ρv, ρuv, ρv 2 + p, ρvw, (e + p)v], (1.4) [ T H(W ) = ρw, ρuw, ρvw, ρw 2 + p, (e + p)w]. (1.5) Tlak p je dán stavovou rovnicí, která pro případ ideálního plynu vede na vztah [ p = (γ 1) e 1 ] 2 ρ(u2 + v 2 + w 2 ). (1.6) V dalším textu se budeme zabývat pouze jedním problémem a to vhodnou volbou okrajových podmínek pro Eulerovy rovnice. Ostatní problémy (teorie Eulerových rovnic a numerické metody jejich řešení) jsou popsány ve výše uvedené sérii skript. 1.1 Linearizace Eulerových rovnic Převeďme nejprve Eulerovy rovnice pro jednorozměrný případ do primitivních proměnných U = [ρ, u, p] T. Je tedy U t + AU x = 0, (1.7) 2

4 kde kde A = u ρ 0 0 u 1/ρ 0 γp u. (1.8) Provedeme-li linearizaci kolem konstantního stavu ρ, ū, p a dostáváme Ā = U t + ĀU x = 0, (1.9) ū ρ 0 0 ū 1/ ρ 0 γ p ū. (1.10) Vlastní čísla matice Ā jsou ū ā, ū a ū + ā, kde ā2 = γ p/ ρ je kvadrát rychlosti zvuku. Vlastní vektory zapsané po sloupcích do matice R jsou a její inverze je R 1 = R = ρ/ā 1 ρ/ā ρ/ā 0 ρ/ā 0 1/2 1/(2 ρā) 1 0 1/ā 2 0 1/2 1/(2 ρā) (1.11). (1.12) 1.2 Okrajové podmínky pro Eulerovy rovnice V následující sekci si ukážeme jeden z přístupů pro konstrukci okrajových podmínek založený na linearizovaných Eulerových rovnicích. K pochopení těchto podmínek je třeba znát principy řešení lineárních hyperbolických systémů PDR prvního řádu. Tato problematika je opět popsána ve výše zmíněných skriptech Podmínky pro linearizované rovnice Při popisu okrajových podmínek se omezíme nejprve na jednorozměrný případ s rychlostí u 0 a vyjdeme z linearizovaných Eulerových rovnic pro primitivní proměnné. Z nich můžeme snadno určit charakteristické proměnné jako V = R 1 U = [p/( ρā) u, ρ p/ā 2, p/( ρā) + u] T. (1.13) Podmínka na vstupu, subsonický případ U subsonického vstupu pouze jedna charakteristika vystupuje z proudového pole, tedy v 1 = const.. Je tedy třeba zadat dvě veličiny, které nám spolu s extrapolovanou hodnotou v 1 umožní určit všechny složky toku hranicí. 3

5 Zadaný celkový tlak a teplota V tomto případě jsou zadány hodnoty celkového tlaku p 0 a celkové T 0. Z izentropických vztahů T 0 = (1 + γ 1 2 p 0 = (1 + γ 1 2 M 2 )T b, (1.14) M 2 ) γ γ 1 p b (1.15) určíme hodnoty tlaku a teploty na vstupu. Velikost rychlosti pak určíme z charakteristické podmínky Podmínka na pevné stěně ρā(u b u 1 ) (p b p 1 ) = 0. (1.16) Na pevné stěně platí, že ū = 0. To znamená, že pouze jedna charakteristika vstupuje do oblasti a měli bychom tedy předepsat jednu veličinu. Pro výpočet toku hraniční stěnou je zapotřebí znát pouze hodnotu tlaku. Předpokládejme, že stěna je umístěná na pravém okraji oblasti. Pak hodnota tlaku na stěně se určí z podmínky v 3 = const. a u b = 0, tedy p b = p N + ρāu N, (1.17) kde u N je rychlost směrem ke stěně v poslední buňce. Podmínka na výstupu, subsonický případ Pro případ subsonického výstupu se zadavá jediná veličina. Jedna z možností je zadat hodnotu tlaku p b. Zbylé dvě veličiny dopočítáme z charakteristických proměnných. Tedy neboli (p b p N ) ā 2 (ρ b ρ N ) = 0, (1.18) (p b p N ) + ρā(u b u N ) = 0, (1.19) ρ b = ρ N + (p b p N )/ā 2, (1.20) u b = u N (p b p N )/( ρā). (1.21) 4

6 Kapitola 2 Numerické řešení Eulerových rovnic V této části se budeme zabývat problémem numerického řešení Eulerových rovnic. Budeme vycházet z metody konečných objemů (viz např. [3], [2], [4]). Budeme uvažovat nejprve jednorozměrný systém Eulerových rovnic ve tvaru W t + F (W ) x = 0, (2.1) kde W = [ρ, ρu, e] T a F (W ) = [ρu, ρu 2 + p, (e + p)u]. V tomto případě budeme uvažovat numerické schéma ve tvaru W n+1 i = W n i t x i [ H(W n i, W n i+1) H(W n i 1, W n i ) ], (2.2) kde H(W R, W L ) je tzv. numerický tok. Poté přejdeme ke dvourozměrnému systému ve tvaru W t + F (W ) x + G(W ) y = 0, (2.3) kde W = [ρ, ρu, ρv, e] T, F (W ) = [ρu, ρu 2 + p, ρuv, (e + p)u] a G(W ) = [ρv, ρuv, ρv 2 + p, (e + p)v]. Numerické schéma bude v tomto případě W n+1 i = W n i t Ω i 2.1 Rusanovovo schéma j H(W n i, W n j, S ij ). (2.4) Jedno z nejjednodušších schémat. Numerický tok pro jednorozměrný případ je H(W R, W L ) = 1 2 [F (W L) + W (W R ) ( ū + ā) (W R W L )]. (2.5) 5

7 2.2 VanLeerovo schéma VanLeerovo schéma patří mezi tzv. flux-splitting metody, kdy je tok F (W ) rozdělen na dvě části F + (W ) a F (W ) s kladnými resp. zápornými vlastními čísly příslušných Jakobiho matic a numerický tok je poté počítán jako H(W L, W R ) = F + (W L ) + F (W R ). Pro případ Eulerových rovnic je toto rozdělení navíc provedeno zvlášť pro tzv. konvektivní část toku F c (W ) = u[ρ, ρu, e + p] T a pro tlakovou část F p (W ) = [0, p, 0] T. Označme Ψ = [ρ, ρu, e + p] T. Pak konvektivní část toku pro VanLeerovo schéma je H c (W L, W R ) = M L a L Ψ L + M R a R Ψ R, (2.6) a tlaková část toku je a celkový tok je tedy H p (W L, W R ) = [0, P L, 0] T + [0, P R, 0] T, (2.7) H(W L, W R ) = H c (W L, W R ) + H p (W L, W R ). (2.8) Veličiny M a P jsou definovány vztahy M L = a P L = M R = P R = kde M L/R = u L/R a L/R. 0, pro M L (1 + M L) 2, pro 1 < M L < 1 M L, pro 1 M L (2.9) 0, pro M L 1 p L4 (1 + M L ) 2 (2 M L ), pro 1 < M L < 1 (2.10) p L, pro 1 M L M R, pro M R (1 M R) 2, pro 1 < M R < 1 (2.11) 0, pro 1 M R p R, pro M R 1 p R4 (1 M R ) 2 (2 + M R ), pro 1 < M R < 1 (2.12) 0, pro 1 M R 6

8 Kapitola 3 Potenciální proudění Systémy Eulerových resp. Navierových-Stokesových rovnic popisují poměrně širokou třídu tekutin, jejich řešení však může být komplikované a tím pádem i časově velmi náročné. Proto lze v některých případech použít zjednodušené modely. Jedním z takovýchto zjednodušených modelů je model tzv. potenciálního proudění. Předpokládejme, že: proudění je nevazké, nevířivé, a izentropické. Pro jednoduchost dále předpokládejme, že řešíme stacionární problém ve 2D (tyto předpoklady nejsou nutné, nám však usnadní zápis rovnic, pro 3D nestacionární případ odkazujeme čtenáře např. na [1]). 3.1 Stacionární potenciální proudění ve 2D Je-li proudění stacionární a nevazké, je popsáno soustavou Eulerových rovnic Rozderivujeme rovnici (3.1) a dostaneme (ρu) x + (ρv) y = 0, (3.1) (ρu 2 + p) x + (ρuv) y = 0, (3.2) (ρuv) x + (ρv 2 + p) y = 0. (3.3) ρ x u + ρu x + ρ y v + ρv y = 0. (3.4) Je-li proudění izentropické, je z definice rychlosti zvuku c 2 = ( p ρ ) s gradient hustoty ρ x = 1 c 2 p x a ρ y = 1 c 2 p y. Tedy 1 c 2 (p xu + p y v) + ρ(u x + v y ) = 0. (3.5) 7

9 Z rovnice (3.2) vyjádříme p x jako p x = (ρu 2 ) x (ρuv) y = (ρu) x u ρuu x (ρv) y u ρvu y = Podobně z (3.3) je p y = (ρuv) x (ρv 2 ) y = (ρu) x v ρuv x (ρv) y v ρvv y = = ρuu x ρvu y. (3.6) = ρuv x ρvv y. (3.7) Dosadíme derivace tlaku do rovnice (3.5), výslednou rovnici vydělíme hustotou a vynásobíme c 2 a dostáváme u 2 u x uvu y uvv x v 2 v y + c 2 (u x + v y ) = 0. (3.8) Je-li proudění nevířivé, existuje potenciál rychlosti, tj. u = Φ x a v = Φ y. Dosadíme tyto vztahy do poslední rovnice a dostaneme ( c 2 (Φ x ) 2) ( Φ xx 2Φ x Φ y Φ xy + c 2 (Φ y ) 2) Φ yy = 0. (3.9) Tato rovnice se nazývá rovnice potenciálního proudění nebo též potenciální rovnice. Jedná se o nelineární skalární rovnici druhého řádu. Je-li u 2 + v 2 < c 2, jedná se o rovnici eliptického typu, u 2 + v 2 > c 2, jedná se o rovnici hyperbolického typu, u 2 + v 2 = c 2, jedná se o rovnici parabolického typu. 3.2 Linerizovaná rovnice pro poruchový potenciál Dalším zjednodušením předchozí rovnice je linearizace potenciální rovnice pomocí metody malých poruch. Předpokládejme, že do volného proudu o konstantní rychlosti (u, v) = (U, 0) vložíme těleso o velmi malé tloušťce. To způsobí v rovnoměrném proudu určitou poruchu. Rychlost tedy bude u = U + u, (3.10) v = v, (3.11) kde u, v jsou poruchy rychlosti. Nechť φ je potenciál těchto poruch (tj. u = φ x a v = φ y ). Potom Φ = U x + φ. (3.12) Dosadíme tento potenciál do rovnice (3.9) a zanedbáme všechny členy obsahující vyšší mocniny φ. Dále z izentropických vztahů pro rychlost zvuku c 2 0 = c2 + γ 1 2 (u2 + v 2 ) dostaneme c 2 = c 2 + O(φ), (3.13) 8

10 a dostáváme lineární rovnici pro potenciál malých poruch (1 M 2 )φ xx + φ yy = 0. (3.14) Příklad: subsonické proudění GAMM kanálem Jako jednoduchý příklad řešení potenciálního proudění si uveďme subsonické proudění tzv. GAMM kanálem. Jedná se o kanál délky 3 a výšky 1. Na jeho dolní stěně je mezi body [1, 0] a [2, 0] překážka ve tvaru kruhového oblouku procházejícího bodem [1.5, 0.1]. Na vstupu budeme uvažovat proudění o parametrech M = 0.5, u = U = 1 a v = 0. Na horní a dolní stěně uvažujeme podmínku neprostupnosti, tj. (u, v) n = 0. Tyto podmínky transformujeme na okrajové podmínky pro poruchový potenciál φ: Vstup je-li u = U, je φ x = 0, Stěny podmínka neprostupnosti je 0 = (u, v) (n 1, n 2 ) = (U + φ x, φ y ) (n 1, n 2 ) a tedy φ/ n = U n 1, Výstup Ačkoliv jsme při popisu úlohy nezmiňovali žádnou podmínku na výstupu, pro korektní formulaci je třeba i zde zadat vhodnou okrajovou podmínku. Předepíšeme zde např. podmínku v = 0, co6 lze přepsat jako φ = 0. Celý výpočet ještě zjednodušíme tak, že využijeme předpokladu, že překážka je velmi tenka a aproximujeme okrajové podmínky na dolní stěně pouze s prvním řádem přesnosti (vzhledem k tloušťce překážky). Tak bude možno provést výpočet na jednoduché kartézské síti a tvar překážky budeme modelovat pouze zvolenou okrajovou podmínkou. Program Potential/gamm-simple.cpp implemetnuje řešení tohoto problému pomocí Gaussovy-Seidelovy iterační metody. Výsledek (tj. hodnoty poruchového potenciálu) jsou uloženy v souboru Potential/phi.plt. Tento soubor lze zobrazit pomocí komečního programu Tecplot nebo pomocí volně dostupného programu Visit. Obrázek 3.1 ukazuje uživatelské rozhraní programu Visit. Po jeho spuštění najdeme v levém okně soubor phi.plt a stiskneme open. Pomocí nabídky Plots/Mesh zobrazíme výpočetní síť (viz obr. 3.2). Dále můžeme zobrazit rozložení vypočtené hodnoty poruchového potenciálu pomocí volby Plots/- Pseudocolor (obr. 3.3). Pokud bychom chtěli zobrazit například rychlosti, muzeli bychom je nejprve z poruchového potenciálu dopočítat. To můžeme udělat pomocí okna Controls/Expression. Obrázek 3.4 ukazuje postup při výpočtu rychlosti jako součtu konstantního vektoru (U, 0) = (1, 0) a gradientu potenciálu a dále výpočet velikosti rychlosti. Pomocí nabídky Plots/- Vector můžeme zobrazit vektory rychlosti (obr. 3.5). Vybereme-li v řídícím okně graf zobrazující potenciál, můžeme pomocí možnosti Variables změnit zobrazení potenciálu na zobrazení velikosti rychlosti (obr. 3.6). 9

11 Obrázek 3.1: Uživatelské rozhraní programu Visit Obrázek 3.2: Zobrazení sítě 10

12 Obrázek 3.3: Zobrazení poruchového potenciálu Obrázek 3.4: Výpočet rychlosti a její velikosti 11

13 Obrázek 3.5: Zobrazení vektorů rychlosti Obrázek 3.6: Zobrazení velikosti rychlosti 12

14 Kapitola 4 Tvorba sítí V této kapitole se budeme věnovat některým metodám tvorby sítí. Pokusíme se vysvětlit principy těchto metod na relativně jednoduchých dvourozměrných případech. Problematika tvorby sítí ve trojrozměrném prostoru při složitější geometrii se již rozsahem značně vymyká z možností tohoto kurzu a případnému čtenáři doporučujeme například edu/publications/gridbook/ nebo [5]. Algoritmy popisované v této publikaci jsou doplněny demonstračními programy odladěnými v jazyce Python s rozšířením pro numerické výpočty Numeric a pro zobrazovaní sítí používaji program Gnuplot. Tento je pro názorné animace ovladán z jazyka python pomocí modulu Gnuplot.py. Pro správné fungování je zapotřebí modul Grids/grid-base.py. Algoritmy jsou testovány na následujících oblastech: jednotkový čtverec Grids/ctverec.py, kanál s půlkruhohou překážkou Grids/channel.py, kanál s půlkruhohou překážkou se zjemněním Grids/channel-ns.py, GAMM kanál Grids/gamm.py, GAMM kanál se zjemněním Grids/gamm-ns.py. 4.1 Strukturované sítě Algebraické sítě Jednou z nejjednodušších metod tvorby strukturovaných sítí je tzv. algebraická metoda. Ta vychází z přímé geometrické konstrukce sítě ze zadaných bodů na hranici oblasti. V následujícím textu se budeme pokoušet vytvořit dvourozměrnou strukturovanou síť o N timesm buňkách. Vrcholy sítě budeme označovat x i,j, kde i = 0,.., N a j = 0,.., M. 13

15 Nejprvme si představme, že máme zadány pouze body na dolní a horní hranici oblasti, tj. jsou zadány body x i,0 a x i,m pro i = 0,..., N. Body uvnitř oblasti pak můžeme získat vhodnou interpolací těchto hraničních bodů. V nejjednodušším případě můžeme použít lineární interpolaci a máme tedy x i,j = (1 η j )x i,0 + η j x i,m, (4.1) kde 1 η j = j/m a indexy jsou i = 0,.., N a j = 1,..M 1. Tato jednoduchá metoda vytváří síť bez jakéhokoliv zjemnění ve směru indexu j. Navíc levý a pravý okraj sítě oblasti musí být tvořen úsečkou. Program Grids/alg_simple.py ukazuje ukazuje implementaci tohoto algoritmu. Pro jeho použití nejprve vytvořte jedním z výše uvedených programů popis hranice oblasti a potom spusťte tento program. Určitým vylepšením této metody je zavedení vhodnějších interpolačních metod. Lineární interpolaci v (4.1) je možné nahradit interpolací danou funkcemi β k (η), tj. např. x i,j = β 0 (η j )x i,0 + β 1 (η j )x i,m, (4.2) kde β 0 (η) + β 1 (η) = 1 a β 0 je klesající funkce, pro níž β 0 (0) = 1 a β 0 (1) = 0. Velikost derivace funkce β 0 určuje výšku buněk v dané vrstvě. Čím je velikost derivace větší, tím větší je i výška buněk. Dalším rozšířením je interpolace pomocí Lagrangeova polynomu. Mějmě v tomto případě zadány nejen body ve vrstvách 0 a M, ale ještě v několika dalších vrstvách uvnitř sítě. Označme tyto vrstvy včetně krajních jako j k, kde k = 1,.., K. Potom Lagrangeovskou síť dostaneme jako x i,j = k β k (η j )x i,jk, (4.3) kde β k (η jl ) = δ kl. Velmi užitečná může též být interpolace Hermitovská. Zde máme v několika vrstvách zadány nejen souřadnice uzlů, ale také první (nebo vyšší) derivace podle η (neboli směry síťových čar). V nejjednodušším, přesto však velmi užitečném, případě jsou zadány body x a směry síťových čar spolu s velikostí buněk x ξ na hranici. Potom x i,j = β 0 0(η j )x i,0 + β 1 0(η j )(x η ) i,0 + β 0 1(η j )x i,m + β 1 1(η j )(x η ) i,m. (4.4) Funkce β l k jsou přitom zvoleny tak, že β0 0(0) = 1, (β0 0 ) (0) = 0, β0 0(1) = 0, (β0 0 ) (1) = 0, β0 1(0) = 0, (β1 0 ) (0) = 1, β0 1(1) = 0, (β1 0 ) (1) = 0, β1 0(0) = 0, (β0 1 ) (0) = 0, β1 0(1) = 1, (β0 1 ) (1) = 0, β1 1(0) = 0, (β1 1 ) (0) = 0, β1 1(1) = 0, (β1 1 ) (1) = 1. (4.5) 1 Pozor na celočíselné dělení! 14

16 Všechny výše uvedené interpolace však nebraly v úvahu tvar levé a pravé strany oblasti. Předpokládejme nyní, že jsou zadány body na všeh čtyřech stranách oblasti. Pak lze body uvnitř sítě získat tzv. metodou transfinitní interpolace. Ztotožněme zadané body x i,j na hranicích oblasti s hodnotami funkce x(ξ i, η j ). Nechť U(ξ, η) = α 0 (ξ)x(0, η) + α 1 (ξ)x(1, η), (4.6) je jednorozměrná interpolace ve směru indexu i, funkce α 0,1 mohou být např. α 0 (ξ) = 1 ξ a α 1 (ξ) = ξ. Podobně V (ξ, η) = β 0 (η)x(ξ, 0) + β 1 (ξ)x(ξ, 1), (4.7) je interpolace ve směru indexu j. K tomu, aby součet U + V byl vhodnou interpolací, je třeba odečíst korekci UV (ξ, η) = α 0 (ξ)β 0 (η)x(0, 0) + α 1 (ξ)β 0 (η)x(1, 0)+ tedy + α 1 (ξ)β 1 (η)x(1, 1) + α 0 (ξ)β 1 (η)x(0, 1), (4.8) x(ξ, η) = U(ξ, η) + V (ξ, η) UV (ξ, η). (4.9) Obrázek 4.1 ukazuje síť v GAMM kanále získané pomocí výše uvedené metody pomocí programu Grids/alg_tfi_lin.py. (a) Celá oblast (b) Detail Obrázek 4.1: Algebraická síť v GAMM kanále se zjemněním u stěn vytvořená lineární TFI interpolací. Tato jednoduchá metoda však selhává pro případ, kdy je požadováno zjemnění sítě v blízkosti hranice. V tomto případě lze postupovat následujícím způsobem: pro body na hranici nejprve vypočteme délky křivek a to následujícím způsobem: pro levou hranici je u 0,j = 0 a v 0,0 = 0 a v 0,j = v 0,j 1 + x 0,j x 0,j 1 / M l=1 x 0,l x 0,l 1, pro pravou hranici je u N,j = 1 a v N,0 = 0 a v N,j = v N,j 1 + x N,j x N,j 1 / M l=1 x N,l x N,l 1, 15

17 pro dolní hranici je v i,0 = 0 a u 0,0 = 0 a u i,0 = u i 1,0 + x i,0 x i 1,0 / N l=1 x l,0 x l 1,0, pro horní hranici je v i,m = 1 a u 0,M = 0 a u i,m = u i 1,M + x i,m x i 1,M / N l=1 x l,m x l 1,M. Potom se použije výše uvedená transfinitní interpolace (4.9) pro výpočet hodnot u i,j a v i,j z hraničních hodnot a hodnoty parametrů u a v se použijí na místě ξ a η při interpolaci uzlů sítě, viz program Grids/alg_tfi_bsg.py. Pomocí tohoto algoritmu byla získána například síť na obrázku 4.2. (a) Celá oblast (b) Detail Obrázek 4.2: Algebraická síť v GAMM kanále se zjemněním u stěn vytvořená lineární TFI interpolací s uvažováním rozdělení na hranicích Eliptické sítě Eliptická síť se získá řešením Poissonovy rovnice ξ = P (x, y), (4.10) η = Q(x, y), (4.11) se okrajovými podmínkami určenými daným rozdělením bodů na hranicích oblasti. Síťové čáry zde odpovídají izočarám veličin ξ a η. Pro účely numerického řešení je vhodnější tuto rovnici transformovat do křivočarých souřadnic ξ, η jako (viz [5]) kde g 22 (x ξξ + P x ξ ) 2g 12 x ξη + g 11 (x ηη + Qx η ) = 0, (4.12) g 11 = x ξ x ξ = x 2 ξ + y 2 ξ, (4.13) g 12 = x ξ x η = x ξ x η + y ξ y η, (4.14) g 22 = x η x η = x 2 η + y 2 η. (4.15) Význam členů P a Q je podrobněji diskutován v edu/publications/gridbook/. Obecně řečeno kladné hodnoty P posouvají síťové čáry ve směru růstu ξ (doprava), záporné naopak. Podobně Q 16

18 posouvá síťové čáry ve směru souřadnice η (nahoru nebo dolů). Vhodnou volbou těchto zdrojových členů lze dosáhnout například zjemnění sítě nebo kolmost síťových čar v blízkosti hranice. Obrázek 4.3 ukazuje síť získanou řešením rovnice (4.12) bez uvažování zdrojových členů P a Q pomocí programu Grids/eli_simple.py. Obrázek 4.4 ukazuje síť získanou řešením problému se zdrojovými členy zaručujícími ortogonalitu a zachování velikosti buněk u hranice. (a) Celá oblast (b) Detail Obrázek 4.3: Eliptická síť v GAMM kanále se zjemněním u stěn, při tvorbě sítě nebyly uvažovány zdrojové členy. Všimněte si, že síť vůbec nerespektuje požadované zjemnění u stěn. (a) Celá oblast (b) Detail Obrázek 4.4: Eliptická síť v GAMM kanále se zjemněním u stěn, zdrojové členy dle kapitoly z [5] Hyperbolické sítě Další možností pro tvorbu sítí je formulovat požadavek ortogonality síťových čar jako x ξ x η = x ξ x η + y ξ y η = 0. (4.16) Tato rovnice nám při zadaném směru x ξ umožnuje určit směr vektoru x η. Je však třeba doplnit rovnici, pomocí které učíme délku tohoto vektoru (neboli velikost kroku sítě ve směru kolmém na stěnu). Touto rovnicí může být například x ξ x η = x ξ y η x η y ξ = V (ξ, η), (4.17) 17

19 kde V je plocha buňky. Linearizujeme-li rovnice (4.16) a (4.17) kolem stavu x, tj. x = x + x, dostaneme x ξ x η + ȳ ξ ȳ η + x ξ x η + ȳ ξ y η + x ξ x η + y ξȳ η = 0, x ξ ȳ η x η ȳ ξ + x ξ y η x η y ξ + x ξȳ η x ηȳ ξ = V (ξ, η). Vzhledem k tomu, že pro stav s pruhem platí x ξ x η + ȳ ξ ȳ η = 0, můžeme tuto rovnici přičíst k první rovnici posledně uvedeného systému. Dále využijeme toho, že x + x = x a dostáváme x ξ x η + ȳ ξ y η + x η x ξ + ȳ η y ξ = 0. (4.18) Podobně pro druhou rovnici soustavy využijeme vztah x ξ ȳ η x η ȳ ξ = V ( ξ, η) a dostáváme x ξ y η x η y ξ + x ξ ȳ η x η ȳ ξ = V ( ξ, η) + V (ξ, η). (4.19) Tyto dvě rovnice můžeme přepsat do vektorového tvaru jako Bx η + Ax ξ = f, (4.20) kde A = [ xη ȳ η ȳ η x η ] [ xξ ȳ, B = ξ ȳ ξ x ξ ], f = [ 0 V + V ]. (4.21) Tento systém můžeme upravit na tvar x η + Cx ξ = g, (4.22) kde C = B 1 A a g = B 1 f. Přímým výpočtem lze zjistit, že [ ] B 1 1 xξ ȳ = ξ x 2 ξ +, ȳ2 ȳ ξ ξ x ξ [ ] 1 xξ x C = η ȳ ξ ȳ η x ξ ȳ η + ȳ ξ x η x 2 ξ +, ȳ2 ȳ ξ ξ x η + x ξ ȳ η ȳ ξ ȳ η x ξ x η g = V [ ] + V ȳξ x 2 ξ +. ȳ2 x ξ ξ Matice C je symetrická a má tedy reálná vlastní čísla a systém (4.22) je tedy hyperbolický. To nám dává návod na sestavení numerické metody pro výpočet hodnot x(ξ, η) pro η > 0 při zadané počáteční podmínce x(ξ, 0). Vlastní čísla matice C jsou λ C = ± 2 x 2 ξ + x 2 ȳ2 ξ x2 η + ȳξ 2ȳ2 η. (4.23) ξ 18

20 Výpočet j + 1 vrstvy sítě ze zadané j-té vrstvy tedy odpovídá jednomu kroku metody pro řešení hyperbolického systému (4.22). Pro jeho řešení lze využít buď explicitní nebo implicitní metodu. Obě metody vyžadují stabilizaci pomocí nějakého druhu umělé vazkosti. Explicitní variantu centrálního schématu lze zapsat jako x i,j+1 = x i,j 1 2 C i,j (x i+1,j x i 1,j ) + g i,j + ɛ i,j (x i+1,j 2x i,j + x i 1,j ). (4.24) Tato metoda však vyžaduje splnění podmínky stability η ξ/ρ C. V našem případě je η = ξ = 1, takže nejsme schopni volbou vhodného η dosáhnout stability metody. Naproti tomu implicitní metoda ve tvaru... (4.25) 4.2 Nestrukturované sítě Dalším typem sítí jsou tzv. nestrukturované sítě. Na rozdíl od strukturovaných sítí je u těchto sítí pro určení sousedních vrcholů nebo buněk mít k dispozici informaci o topologii sítě. Ve dvourozměrném případě se nejčastěji využívají sítě tvořené trojúhelníkovými nebo čtyřúhelníkovými buňkami Delaunayovská triangulace oblasti Jedna z metod tvorby nestrukturované trojúhelníkové sítě je tzv. Delaunayovská triangulace. Ta je vytvořena tak, že uvnitř kruhu opsaného libovolnému trojúhelníku sítě se nenachází žádný vrchol triangulace. Algoritmus pro tvorbu triangulace byl popsán na přednášce. Zde si ukážeme příklad použití volně dostupného programu triangle. Tento program pracuje v několika režimech. Pro naše účely bude nejužitečnější režim, kdy program automaticky vygeneruje síť uvnitř oblasti se zadanou hranicí. Pro jednoduchost předpokládejme, že oblast je jednoduše souvislá, tj. neobsahuje žádné díry. V tomto případě připravíme vstupní formát typu *.poly. Ten obsahuje body a úseček na hranici oblasti a má následující strukturu: První řádek obsahuje: počet vrcholů ve vstupním souboru, dimenze oblasti (musí být 2), počet atributů, počet hraničních značek (0 nebo 1). Následují řádky obsahující: číslo vrcholu, jeho souřadnice x a y, atributy vrcholu (pokud byl nastaven počet atributů větší než 0), hraniční značka (pokud byl nastaven počet začek 1). Další sekce souboru začíná počtem hraničních úseček spolu s počtem hraničních značek. 19

21 Dále následují řádky obsahující číslo hraniční úsečky, indexy jejích krajních vrcholů a případne hraniční značku. Třetí sekce popisuje díry v oblasti a začína řádkem obsahujícím počet děr (pro jednoduše souvislé oblasti je zde 0). Následující rádky obsahují číslo díry a souřadnice libovolného bodu uvnitř díry. Další sekce jsou nepovinné a pro naše účely zatím zbytečné. Vstupní soubor obsahuje mimo informací o pozici bodů také atributy a hraniční značky. Atributy jsou libovolná čísla, která generátor sítě při síťování interpoluje na nově vzniklé body. Lze tak například nechat přepočítávat řešení při adaptaci sítě. My budeme zatím používat soubory bez atributů. Naproti tomu hraniční značky pro nás budou velmi užitečné. Očíslujeme si ve vstupním souboru hranice oblasti a tato čísla použijeme jako hraniční zvonky. To nám později umožní rozpoznat, která hrana či bod náleží jaké hranici. Síť ve čtverci Jako první příklad si ukážeme tvorbu sítě v oblasti tvaru čtverce. Tu můžeme popsat vstupním souborem Grids/ctverec.poly s následujícím obsahem: # V souboru jsou 4 body bez atributu a hranicnich znacek # # Hranice oblasti je tvorena 4 useckami bez atributu # 1 hranicni znacku nastavime takto: # leva hranice - znacka 10 # prava hranice - znacka 20 # dolni hranice - znacka 30 # horni hranice - znacka # # V oblasti nejsou diry 0 20

22 Síť vytvoříme pomocí příkazu triangle -p ctverec.poly Vzniklou síť lze zobrazit pomocí programu showme, který je součástí balíku triangle příkazem showme ctverec.1.ele Nově vytvořená síť je uložena v souborech ctverec.1.*, kde soubor ctverec.1.ele obsahuje v prvním řádku počet trojúhelníků, počet uzlů troujúhelníku (většinou 3, ale pro tzv. kvadratické prvky je to 6) a počet atributů. Další řádky obsahují číslo trojúhelníku a indexy jeho uzlů v orientaci proti směru hodinových ručiček Soubor ctverec.1.poly obsahuje popis hranice ve stejném formátu, jako měl vstupní soubor. Na rozdíl od něj však neobsahuje souradnice vrcholů trojúhelníků a jejich počet je tedy Soubor ctverec.1.node obsahuje souřadnice vrcholů s atributy a hraničními značkami ve stejném formátu, jako měl vstupní soubor Vzniklá síť je zobrazena na obrázku 4.5. Vlevo je zobrazena základní síť bez zjemnění. Pro síť uprostřed byla pomocí parametru -a0.002 předepsána maximální plocha trojúhelníka a nakonec vpravo byla pomocí parametru -q požadována podmínka minimálního úhlu 20. Tvorbu sítě lze ovlivnit ještě celou řadou dalších voleb. Jejich popis lze snadno získat spuštěním triangle -h 21

23 Obrázek 4.5: Síť v oblasti tvaru čtverce. Vlevo vytvořená pomocí triangle -p ctverec.poly, uprostřed pomocí triangle -a p ctverec.poly a vpravo pomocí triangle -a q -p ctverec.poly. Síť v GAMM kanále Nyní si ukážeme tvorby sítě v oblasti tvaru kanálu s překážkou na dolní stěně (tzv. GAMM kanál). Programem Grids/gammtri.py nejprve vytvoříme vstupní soubor Grids/gamm.poly. V něm je popsáno rozložení bodů na hranicích kanálu odpovídající kroku h = 0.1. Pokud by síť byla tvořena rovnostrannými trojúhelníky, pak plocha každého z nich by byla S = h 2 3/ Přidáme tedy parametr -a Požadujme dále, aby všechny úhly byly větší než 25, tedy -q25 a aby program nepřidával žádné další body na hranici -Y. Síť tedy vytvoříme pomocí triangle -a q25 -Y -p gamm.poly Výsledná síť je znázorněna na obrázku 4.6. Obrázek 4.6: Nestrukturovaná síť v GAMM kanále vytvořená pomocí programu triangle. Poznamenejme, že program triangle nabízí celou řadu dalších funkcí, které lze využít například pro adaptaci sítě. Na druhou stranu je třeba si uvědomit, že kvalita výsledné sítě je silně ovlivněna algoritmem pro určení polohy nově vkládaného bodu. Například programem delaunay 2 byla pro stejně zadané hranice vytvořena síť na obrázku 4.7. Ta obsahuje pouze Tento program je dostupný pouze na požádání u autora tohoto textu. 22

24 uzlů a 632 téměř rovnostranných trojůhelníků oproti 572 vrcholům a 1060 trojůhelníkům z programu triangle. Obrázek 4.7: Nestrukturovaná síť v GAMM kanále vytvořená pomocí programu delaunay. 4.3 Hybridní sítě Na správně vytvořené strukturované síti je většinou snadné získat velmi kvalitní řešení a to i pro případ mezních vrstev, kde jsou používány velmi ploché buňky. Na druhou stranu je jejich tvorba pro složité oblasti velmi komplikovaná. Na druhou stranu nestrukturované sítě lze vytvořit bez větších problémů pro téměř libovolný tvar oblasti, avšak použití trojůhelníků v mezních vrstvách je stále předmětem diskusí. Proto se jako vhodný kompromis jeví tzv. hybridní sítě, které používají strukturovanou (často hyperbolickou) síť v blízkosti hranice oblasti (tj. tam, kde lze očekávat mezní vrstvy) a nestrukturovanou síť ve zbytku oblasti. Obrázek 4.8 ukazuje detail hybridní sítě v okolí náběžné a odtokové hrany turbínové lopatky. Obrázek 4.8: Hybridní síť v okolí náběžné a odtokové hrany turbínové lopatky. 23

25 4.4 Adaptivní strukturované sítě Jednou z možností, jak zlepšit kvalitu numerického řešení, je provést dostatečné zjemnění sítě. Pokud bychom však síť zjemňovali rovnoměrně v celé oblasti, vedlo by to k neúměrnému nárůstu počtu buněk sítě. Proto je výhodnější síť zjemňovat pouze v oblastech, kde lze očekávat velkou chybu. Určitým problémem však je, tyto oblasti identifikovat. Obrázek 4.9 ukazuje nestrukturovanou síť použitou pro výpočet obtékání turbínové mříže SE Vypočtené isočáry Machova čísla jsou na obrázku Tento výsledek byl analyzován a výpočetní síť byla upravena tak, že buňky ve kterých docházelo k velké změně entropie ve smeru proudu byly zjemněny. Na této síti byl znovu proveden výpočet a celý cyklus upravy sítě a výpočtu byl aplikován ještě jednou. Obrázky 4.11 a 4.12 ukazují síť po dvou adaptacích a získané izočáry Machova čísla. Z obrázků je vidět mnohem lepší rozlišení struktury rázových vln na zjemněné síti. Lokálně lokálně zjemněná síť obsahovala buněk. Pokud bychom chtěli získat odpovídající rozlišení v celé oblasti pomocí globálního zjemnění, potřebovali bychom zhruba dvojnásobné množství buňek. 4.5 Tvorba sítí ve 3D V předcházející části jsme se věnovali především problematice tvorby sítí pro dvourozměrné úlohy. Mnohé z uvedených metod lze rozšířit i na trojrozměrný případ. Při řešení reálných problémů se ovšem často setkáváme s komplikovanou geometrií, jejíž popis je dán výstupem z CAD softwaru. Je-li geometrie složitější, nevystačíme si většinou s jednoblokovou sítí a je třeba síť tvořit po částech. Výsledný software pro tvorbu sítí je tedy velmi komplikovaný a v důsledku také velmi drahý. Na tomto místě si ukážeme pouze několik obrázků, které prezentují některé kroky procesu tvorby sítě pomocí komerčního software ICEM CFD. Síť byla vytvořena ing. P. Furmánkem následujícím způsobem: nejprve byla v programu ICEM CFD vytvořen popis tvaru křídla (viz obr. 4.13), dále byla oblast rozdělena na několik bloků (viz obr. 4.14), poté byla v každém bloku zvlášť vytvořena síť pomoci TFI (viz obr. 4.15), nakonec byla celá síť vyhlazena pomocí eliptického generátoru sítě a uložena do souboru pro výpočet. 24

26 Obrázek 4.9: Původní nestrukturovaná síť v okolí lopatky SE

27 Obrázek 4.10: Izočáry Machova čísla získané na původní nestrukturované síťi. 26

28 Obrázek 4.11: Dvakrát adaptivně zjemněná síť v okolí lopatky SE

29 Obrázek 4.12: Izočáry Machova čísla získané na dvakrát adaptivně zjemněné nestrukturované síťi. 28

30 Obrázek 4.13: Popis geometrie křídla v softwaru ICEM CFD. Obrázek 4.14: Rozdělení oblasti na několik bloků v softwaru ICEM CFD. 29

31 Obrázek 4.15: Vícebloková síť kolem křídla vytvořená v ICEM CFD. 30

32 Literatura [1] Rudolf Dvořák. Transsonické proudění. Academia Praha, [2] J. Fořt, J. Fürst, K. Kozel, and P. Louda. Numerické metody řešení proudových polí ii, [3] Karel Kozel and Jiří Fürst. Numerické metody řešení problémů proudění I. Skriptum ČVUT, srpen ISBN [4] Karel Kozel, Jiří Fürst, and Petr Louda. Numerické metody řešení problémů proudění III. Skriptum ČVUT, srpen [5] Joe F. Thompson, Bharat K. Soni, and Nigel P. Weatherill, editors. Handbook of Grid Generation. CRC Press, ISBN