Elementární úvod do infinitesimálního kalkulu

Transkript

1 Část II. Elementární úvod do infinitesimálního kalkulu Mgr. David Zoul 0

2

3 3 Obsah Absolutní hodnota čísla a její vlastnosti 0 Věta o absolutní hodnotě součtu 0 Věta o absolutní hodnotě rozdílu Věta o absolutní hodnotě součinu Věta o absolutní hodnotě podílu Zobrazení a funkce Kartézský součin množin Zobrazení mezi množinami 4 Funkce coby speciální druh zobrazení 6 Inverzní funkce a její vlastnosti 8 Shrnutí učiva 0 Operace komposice funkcí Elementární funkce Klasifikace funkcí 4 Okolí bodu 4 Věta o okolí součtu bodů 4 Věta o okolí součinu bodů 5 Věta o okolí podílu bodů 7 Limita funkce jedné reálné proměnné 8 Definice limity funkce v bodě 9 Věta o jednoznačnosti limity funkce v bodě 30 Věta o limitě součtu, součinu a podílu funkcí 3 Spojitost funkce 33 Heineova definice spojitosti 33 Věta o spojitosti součtu, součinu a podílu funkcí 33 Věta o spojitosti komposice funkcí 34

4 4 Singularity funkce 35 Metody výpočtu limit funkcí jedné reálné proměnné 4 Limity racionálních lomených funkcí 4 Limity iracionálních lomených funkcí 44 Limity goniometrických funkcí 46 Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech 50 Příklady výpočtu nevlastní limity 50 Příklady výpočtu limit v nevlastních bodech 50 Substituční metoda výpočtu limit 54 Sandwich theorem 57 Rředehra k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné 60 Derivace, diference a diferenciál funkce 60 Derivace součinu funkcí 63 Derivace podílu funkcí 63 Derivace komposice funkcí 64 Derivace inverzní funkce 65 Příklady výpočtu derivací 65 Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné 69 První Bolzanova věta 69 Druhá Bolzanova věta 70 Weierstrassona věta 7 Rolleova věta 7 Cauchyova věta 73 Lagrangeova věta 75 l Hospitalova věta 77 l Hospitalova metoda výpočtu limit 83 Taylorova věta 86

5 5 Analýza průběhu funkcí jedné reálné proměnné 88 Taylorova a Maclauronova řada funkce 88 Tečna a asymptota 94 Oskulační kružnice a křivost funkce v bodě 95 Rotující vztažná soustava 00 Věta o konvenosti a konkávnosti funkce v bodě 06 Věta o etrémech funkce 07 Věta o infleních bodech funkce 09 Analytické vyšetřování průběhu funkcí jedné reálné proměnné Slovní úlohy na výpočet lokálních etrémů funkce 6 Maimalizace obsahu 6 Maimalizace objemu 7 Minimalizace povrchu 8 Optimalizace osvětlení plochy 9 Odvození Snellova zákona z Fermatova variačního principu Výpočet rezonanční frekvence tlumeného harmonického oscilátoru 5 Metoda nejmenších čtverců 8 Leibnizův integrál 3 Primitivní funkce 3 Leibnizova věta 3 Metody výpočtu Leibnizova integrálu 34 Metoda přímého invertování derivace 34 Metoda per partes 35 Příklady použití metody per partes 36 První věta o substituci 39 Příklady použití substituční metody 39 Druhá věta o substituci 43

6 6 Speciální substituce 46 Příklady integrace pomocí speciálních substitucí 48 Integrování ryze racionálních lomených funkcí 5 Věta o racionálních kořenech polynomické funkce 5 Integrování obecných racionálních lomených funkcí 57 Integrování obecných racionálních lomených funkcí 64 Jednoduché fyzikální aplikace Leibnizova integrálu 78 Pohybové rovnice částice v konzervativním silovém poli 78 Poruchové řešení pohybových rovnic částice v nekonzervativním silovém poli 79 Úvod do teorie lineárních diferenciálních rovnic 83 Jednoduché příklady použití lineárních diferenciálních rovnic 99 Chladnutí čaje 99 Lineární harmonický oscilátor 00 Radioaktivní rozpad jader 0 Neutronová aktivace vzorku 08 Úvod do teorie Riemannova integrálu 0 Hlavní Riemannova věta Věta o aditivitě Riemannova integrálu 5 Věta o tranzitivitě Riemannova integrálu 6 Věta o střední hodnotě Riemannova integrálu 7 Zálkadní věta matematické analýzy 8

7 7 Elementární příklady aplikace Riemannova integrálu 0 Geometrické aplikace Riemannova integrálu 0 Obsah plochy 0 Délka rovinné křivky 5 Objem rotačního tělesa 7 Povrch pláště rotačního tělesa 9 Povrch pláště obecného tělesa 3 Délka prostorové křivky 36 Fyzikální aplikace Riemannova integrálu statika 37 Tlaková síla vody 37 Statické momenty a těžiště těles 34 Momenty setrvačnosti rotačních těles vzhledem k rotační ose 4 Fyzikální aplikace Riemannova integrálu dynamika 43 Práce a energie 43 Radiální pohyb v centrálně symetrickém gravitačním poli 45 Úniková rychlost 49 Obecná trajektorie tělesa v centrálně symetrickém gravitačním poli 50 Lineární harmonický oscilátor 54 Kinetická energie rotujícího tělesa 57 Lebesgueův integrál 6 Základy teorie dvojného integrálu 6 Integrační obory v kartézských souřadnicích 63 Integrační obory v polárních souřadnicích 64 Výpočet dvojného integrálu v kartézských souřadnicích 70 Výpočet dvojného integrálu v polárních souřadnicích 7 Fubiniho věta 7 Geometrické aplikace dvojného integrálu 74

8 8 Fyzikální zobecnění 80 Křivkový integrál 83 Výpočet křivkového integrálu 83 Těžiště obecné křivky 88 Konzervativní vektorová pole 89 Věta o konzervativitě pole 89 Zobecnění 90 Věta o nezávislosti na integrační cestě 9 Greenova věta 98 Stokesova věta 303 Úvod do teorie trojného integrálu 308 Integrační obory v kartézských souřadnicích 30 Integrační obory v cilindrických souřadnicích 3 Integrační obory ve sférických souřadnicích 3 Integrační obory v eliptických souřadnicích 33 Objem a těžiště obecného tělesa 33 Gaussova Ostrogradského věta, divergence vektorového pole 3 Solenoidální vektorová pole 35 Hamiltonův a Laplaceův operátor, směrová derivace 37 Tečná rovina 333 Taylorův rozvoj funkce více proměnných 335 Lokální etrémy funkce více proměnných 339 Vázané etrémy funkce více proměnných 34 Úvod do řešení parciálních diferenciálních rovnic 346

9 9 Schrödingerova rovnice 346 Úvod do Fourierovy analýzy 356 Fourierova řada 356 Fourierova transformace 363 Základní vlastnosti 365 Příklady aplikací Fourierovy transformace 368 Princip neurčitosti 368 Gaussova funkce 369 Gaussovské vlnové klubko 370 Heisenbergovy relace neurčitosti 373 Skalární součin na prostoru funkcí 377 Prostorové rozlišení, modulační přenosová funkce 378 Nyquistovo kritérium, aliasing 380 Vícerozměrné zobecnění 384 Difrakce 385 Zobrazení nukleární magnetickou rezonancí MRI 387 Prostorové dekódování MR signálu 387 Frekvenční k-prostor 390 Výstavba MR obrazu 39 Vlastnosti k-prostoru 393 Zobrazení výpočetní tomografií CT 394

10 0 Absolutní hodnota čísla a její vlastnosti Absolutní hodnotu čísla a značíme a a definujeme jako a a. ( ) Z této definice okamžitě plynou vlastnosti absolutní hodnoty a a a pro a 0 pro a 0 ( ) Věta o absolutní hodnotě součtu a, b R : a + b a + b ( 3 ) Důkaz Zřejmě je a a b b a + b a + b. ( 4 ) Podobně a a a b b b ( a + b) a + b. ( 5 ) Protože a + b a + b a + b ( a + b), ( 6 ) musí platit a + b a + b. ( 7 )

11 Věta o absolutní hodnotě rozdílu a, b R : a b a b ( 8 ) Důkaz Z předešlé věty okamžitě vidíme, že a ( a b) + b a a b + b a b a b. ( 9 ) Podobně též b ( b a) + a b b a + a ( a b ) b a b a, ( 0 ) přičemž platí samozřejmě rovnost b a a b. ( ) Protože a b a b a b ( a b ), ( ) musí být a b a b ( 3 ) Věta o absolutní hodnotě součinu a, b R : ab a b ( 4 ) Důkaz Rozebereme postupně všechny 3 případy, které zde mohou nastat

12 a 0 b 0 ab 0 ab ab a b, a 0 b 0 b 0 ab ab a b a b a b, a 0 b 0 a 0 b 0 ab a b a b a b. Věta o absolutní hodnotě podílu ( 5 ) a a a, b R, b 0 : b b. ( 6 ) Důkaz S využitím předešlé věty okamžitě dostáváme a a a a a a a a. ( 7 ) b b b b Zobrazení a funkce Kartézský součin množin René Descartes ( ) Mějme např. následující dvě množiny bodů

13 3 A B { a a a3} { b b b },,,,,. 3 4 ( 8 ) Kartézský součin A B je definován coby množina uspořádaných dvojic bodů, z nichž první vždy náleží množině A, druhý množině B: A B {( a b ) ( a b3 ) ( a b4 ) ( a b ) ( a b3 ) ( a b4 ) ( a3 b ) ( a3 b3 ) ( a3 b4 )},,,,,,,,,,,,,,,,,. ( 9 ) Pozorování: kartézský součin množin zjevně není komutativní operace, tj. A B B A. ( 0 ) Druhá mocnina množiny je definována pomocí kartézského součinu jako A A A {( a a ) ( a a ) ( a a3 ) ( a a ) ( a a ) ( a a3 ) ( a3 a ) ( a3 a ) ( a3 a3 )},,,,,,,,,,,,,,,,,, ( ) Geometricky lze tyto množiny bodů vyjádřit následujícími grafy Obr. B A B A B A B b 4 a 4 b 4 b 3 a 3 b 3 b a b b a b A A B a a a 3 a 4 a a a 3 a 4 b b b 3 b 4

14 4 Přejdeme-li nyní od diskrétních množin ke spojitým, budou obrazy kartézského součinu tvořit plochy obdélníků, jak ukazuje následující příklad Příklad kartézské součiny spojitých množin A B,4,,4, ( ) Obr. B A B A B 3 3 B A A B Zobrazení mezi množinami Operátorem zobrazení z množiny A do množiny B budeme rozumět předpis, kterým vybíráme z výše zobrazeného obdélníku kartézského součinu množin A a B pouze určité body. Operátory zobrazení obvykle značíme písmeny f, g, h,. Platí tedy { } A y B f : A B, y A B. ( 3 ) Množinu A budeme nazývat vzorovou množinou zobrazení f, množinu B obrazovou množinou. Prvky množiny A pak nazýváme vzory. Všechny prvky y množiny B, jež mají svůj vzor ve vzorové množině náleží do množiny H ( f ) B, kterou nazýváme oborem hodnot zobrazení f. Prvky oboru hodnot se nazývají obrazy, nebo též hodnoty zobrazení f.

15 5 Podmnožinu všech prvků vzorové množiny, které mají svůj obraz v obrazové množině, budeme nazývat definičním oborem zobrazení f, což značíme D(f), Zobrazení nazveme injektivním zobrazením neboli monomorfismem, jestliže platí [, y ],[, y ] f : ( y y ). ( 4 ) Zobrazení nazveme surjektivním zobrazením neboli epimorfismem, jestliže A : H f B. ( 5 ) Je-li zobrazení injektivní a zároveň surjektivní, nazýváme jej bijektivním zobrazením, neboli isomorfismem. Zobrazení nazveme refleivním, právě když platí [ ] A :, f : A B ( 6 ) Zobrazení nazveme symetrickým, právě když platí [, ] [, ] y f y f ( 7 ) Zobrazení nazveme inverzním a značíme f, právě když platí ( ), ( ), D f H f H f D f f y y f. ( 8 ) Jádrem zobrazení nazveme množinu bodů (tzv. kořenů) ker f A: f A B 0 ( 9 )

16 6 Funkce coby speciální druh zobrazení Funkcí nazveme každé zobrazení, pro které platí [, y ],[, y ] f : ( y y ). ( 30 ) Proměnné, ze vzorové množiny, nazýváme nezávisle proměnnými, proměnné y z obrazové množiny B, na které se nám přes příslušný operátor f zobrazují nezávisle proměnné, nazýváme závisle proměnnýmy. Příklad : Nechť A 0,, B 0,4 a nechť f ( A B) znázorňuje následující obrázek Obr. 3 B f. Pak graf příslušné funkce A Vidíme, že nezávisle proměnnými jsou všechna čísla z intervalu A 0, a podobně, závisle proměnnými jsou všechna čísla z intervalu B 0,4. Jedná se tedy o epimorfismus. Paritou funkce rozumíme vlastnost generovanou předpisem : ( ) k D f f f. ( 3 )

17 7 Je-li k sudé číslo, pak specielně platí : D f f f ( 3 ) a paritu takovéto funkce nazveme sudou. Sudá funkce je generována např. operátorem Je-li k liché číslo, pak platí : f. D f f f ( 33 ) a paritu takovéto funkce nazveme lichou. Příklady operátorů generujících liché funkce jsou třeba 3 f ( ), f ( ), f ( ), ( 34 ) a jiné. Funkci nazveme periodickou s periodou p, jestliže : D f + p D f f + p f. ( 35 ) Příklady operátorů generujících periodické funkce jsou např. i i e e f ( ) sin, i i i e + e f ( ) cos, ( 36 ) a mnohé další.

18 8 Inverzní funkce a její vlastnosti Dle definice inverzního zobrazení získáme inverzní funkci vzájemnou záměnou závisle a nezávisle proměnné. Poznamenejme, že k eistenci inverzní funkce f operátoru f je nutnou a postačující podmínkou, že operátor f je bijektivní. Příklad 3: f ( ) y, ( 37 ) odkud elementární úpravou dostáváme dvojici zobrazení ± y. ( 38 ) Formálním přejmenováním závisle a nezávisle proměnné nyní získáme dvě funkce y ±, ( 39 ) které dohromady tvoří inverzní zobrazení f k funkci f. Povšimněme si, že zobrazení ( 39 ) jako celek není funkcí, jeho kladná a záporná komponenta (každá odděleně) však ano. Je to důsledkem zjevné skutečnosti, že původní operátor ( 37 ) evidentně není bijektivní (neboť nesplňuje kritérium injektivity). Graficky tvoří inverzní zobrazení funkce f, vzhledem k diagonále f vždy zrcadlový obraz původní f.

19 9 Obr. 4 B f() 4 f() 3 f - () / 3 4 A Otočení kolem diagonály má zajímavý důsledek pro jádro zobrazení. Nalezneme-li totiž funkce f, které dohromady tvoří inverzní operátor f { f i } i k operátoru f, pak jádro operátoru f je množinou ker f 0. ( 40 ) Příklad 4: Hledejme jádro operátoru ( 37 ). Řešení: Protože jeho inverzní operátor ( 38 ) jsme již nalezli, stačí dosadit za jeho nezávisle proměnnou číslo 0 a dostáváme ± 0 ( 4 ) Hledané jádro je tedy množinou kořenů ker f ( ) ker {, } ( 4 )

20 0 Shrnutí učiva Na následujících diagramech f ( A B) si můžeme prohlédnout jednotlivé výše probrané typy zobrazení Obr. 5 A B injektivní surjektivní, není funkcí bijektivní bijektivní inverzní surjektivní

21 Příklad 5: Mějme zobrazení f ( R R) generovaná následujícími operátory: f +, f sin f cos f + f + ( 43 ) Přiřaďte k jednotlivým zobrazením ( 43 ) následující atributy ) Surjektivní ) Liché 3) Sudé 4) Injektivní 5) Bijektivní Upozorňujeme, že každému z uvedených zobrazení vyhovuje právě jeden z atributů. Operace komposice funkcí Mějme funkce f ( ), g ( ). Operaci ( f g )( ) f g ( ) ( 44 ) nazýváme komposicí funkcí f a g v tomto pořadí. Příklad 6: vypočtěme operátor komponovaný z následujících funkcí ( ) f sin ln ( 45 )

22 Řešení: f sinu v w ln, ( 46 ) kde,, ln. ( 47 ) u v v w w Máme tedy sin ln f. ( 48 ) Povšimněme si, že operace komposice funkcí je obecně nekomutativní, tj. opět závislá na pořadí. Elementární funkce V tomto oddílu si ukážeme překvapující skutečnost, že ačkoli lze napsat neomezené množství různých operátorů, jejichž působením vzniká nekonečné množství různých funkcí, všechny operátory lze s pomocí operace komposice, inverze, (a samozřejmě elementárních operací známých ze základní školy, jako je sčítání, odčítání, násobení a dělení) vytvořit z jednoho jediného základního operátoru ep e, ( 49 ) kde konstanta e je tzv. Eulerovo číslo (viz dále ( 7 ) a ( 45 )). Tento operátor je pro matematiky přesně tím, čím jsou pro fyziky elementární částice. Ba ještě více, neboť tu skutečně jedinou, nejzákladnější částici, fyzika dosud nenalezla.

23 3 Leonhard Paul Euler ( ) Abychom pochopili jak je to možné, připomeňme si zde krátce definici logaritmu: a a log z. ( 50 ) z Všechny známé funkce jsou utvořeny z jednodušších funkcí typu a ln, log, a,, sin, cos, ( 5 ) a a podobných. Připomeňme si, že logaritmus naturalis se logaritmuje při základu e, tj. ln log e, u dekadického logaritmu je základem číslo 0, které se však eplicitně neuvádí, tj. log log0. Funkce ln je inverzní k elementární funkci ep, neboli ln ep. ( 5 ) Funkci log a z ní můžeme jednoduše utvořit logaritmováním: loga, ( 53 ) loga a ln ln a loga ln a odkud již dostáváme log a ln. ( 54 ) ln a

24 4 Podobně a ln a e, ( 55 ) odkud a e, ( 56 ) ln a nebo obráceně e. ( 57 ) a aln Klasifikace funkcí Funkce Transcendentní Algebraické Iracionální Racionální Polynomické Racionální lomené Okolí bodu Věta o okolí součtu bodů K libovolnému okolí U bodu L + M eistuje takové okolí U bodu L a takové okolí U bodu M, že y U z U : y + z U. ( 58 )

25 5 Důkaz: Nechť U má poloměr r, tj. (, ) U L + M r L + M + r. ( 59 ) Položme r r U L, L +, r r U M, M +. ( 60 ) Nechť y U, z U. Potom r r L < y < L +, r r M < z < M +. ( 6 ) Sečtením obou těchto nerovností máme L + M r < y + z < L + M + r, ( 6 ) neboli y + z U. ( 63 ) Věta o okolí součinu bodů K libovolnému okolí U bodu L M eistuje takové okolí U bodu L a takové okolí U bohu M, že y U z U : y z U. ( 64 )

26 6 Důkaz: Nejprve je dobré si uvědomit, že (, ) K r K + r K < r. ( 65 ) Nechť (, ) U LM r LM + r. ( 66 ) Položme dále r r0 min, r, r L M + + U L r L + r (, ), 0 0 U M r, M + r. 0 0 ( 67 ) Zjevně platí y U z U : y L < r z M < r. ( 68 ) 0 0 Potom yz LM yz ym + ym LM y z M + M y L < < y r + M r y L + L r + M r < < r + L r + M r r + L + M r r ( r + L + M ) r ( r + L + M ) r r + L + M 0. ( 69 ) Tedy skutečně y U z U : y z U ( 70 )

27 7 Věta o okolí podílu bodů Nechť M 0. Potom k libovolnému okolí U bodu L M eistuje takové okolí U bodu L a takové okolí U bohu M, že y U : y z U U. ( 7 ) z Důkaz: Nechť L L U r, + r M M. ( 7 ) Položme dále M rm r0 min,, ( L M ) + U L r L + r (, ), 0 0 U M r, M + r. 0 0 ( 73 ) Zjevně platí y U z U : y L < r z M z M < r. ( 74 ) 0 0 Podle věty o absolutní hodnotě rozdílu musí dále platit M z < r 0, ( 75 ) neboli

28 8 M M z > M r0 M. ( 76 ) Odtud a z věty o absolutní hodnotě součinu a rozdílu plyne, že y L ym Lz < My Lz M y L z z M z M M M M y L z + M y L z M ( + ) ( + ) ( L + M ) ( M y L + L M z ) < r 0 M M L M rm r. M L M ( 77 ) Tedy skutečně y U : y z U U ( 78 ) z Limita funkce jedné reálné proměnné Definice: Nechť a A rozumíme interval bodů je bodem funkce f ( A B),. Potom ε-okolím bodu a Uε a f a r f a + r, ( 79 ) kde r je libovolné reálné číslo. Podobně, δ-okolím bodu a rozumíme interval bodů (, ) Uδ a a s a + s, ( 80 )

29 9 kde s je opět libovolné reálné číslo. Poznámka: Je-li hodnota f v bodě a známa, často namísto označení Uε ( a) používáme ekvivalentní označení U f ( a) Pozorování: ε. Čísla r a s nejsou vzájemně nezávislá jakmile zvolíme jedno z nich, druhé je pak jednoznačně určeno operátorem f. Definice: Nechť a A je bodem funkce f ( A B). Potom redukovaným ε-okolím bodu a rozumíme množinu intervalů {(, );(, )} U a f a r f a f a f a + r, ( 8 ) ε kde r je libovolné reálné číslo. Podobně, redukovaným δ-okolím bodu a rozumíme interval bodů { } (, );(, ) U a a s a a a + s, ( 8 ) δ kde s je opět libovolné reálné číslo. Definice limity funkce v bodě Říkáme, že funkce f má v bodě a limitu L, což zapisujeme symbolem lim f L, ( 83 ) a jestliže k libovolnému okolí U ( a) δ eistuje okolí

30 30 (, ) Uε a L r L + r. ( 84 ) Příklad : Dokažme, že funkce f ( ) 5 má v bodě 3 limitu. Řešení: Nechť ( 3) (, ) Uε r + r ( 85 ) je libovolné ε-okolí bodu 3. Zvolme okolí r r U δ ( 3) 3,3 +. ( 86 ) Jestliže U δ ( 3), znamená to, že r r 3 < < 3 +, ( 87 ) neboli (vynásobením dvěmi a odečtením čísla 5) r < 5 < + r, ( 88 ) což ale neznamená nic jiného, než že ( 3) f U ε. ( 89 ) Věta o jednoznačnosti limity funkce v bodě Funkce f nemůže mít v daném bodě více než jednu limitu

31 3 Důkaz: Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že funkce f má v nějakém bodě a dvě různé limity L, M, L M. Zvolme taková dvě okolí U ( a ), U ( a ε ε ) pro něž platí L M L U a U a. ( 90 ) ε ε K okolí Uε ( a), resp. Uε ( a) eistjí okolí U ( a), resp. U ( a) taková, že L M M, resp. :, resp. U a U a f U a f U a. Potom ale δ δ ε ε L M L M δ L δ M ( 9 ) : U a U a f U a f U a δ δ ε ε L M L M { ε ε } f U a U a. L M ( 9 ) Věta o limitě součtu, součinu a podílu funkcí Nechť binární operátor provádí některou z binárních operací +,,,/. Nechť dále eistují limity lim f L, a lim g M. a ( 93 ) Potom rovněž i funkce h f g má v bodě a limitu a platí lim h lim f g L M lim f lim g. ( 94 ) a a a a

32 3 Důkaz: Nechť U ( a) U ( a ), resp. U ( a ) L ε je libovolné okolí obrazu L M bodu a, ε ε taková okolí obrazu L, resp. M bodu a, že M ( y U ( a ), z U ( a )) : y z U ( a ε ε ε ). ( 95 ) L M Protože lim, eistuje k Uε ( a) takové okolí U ( a) že L f L a : L L δ bodu a, U a f U a. ( 96 ) δ ε Protože dále lim, eistuje k Uε ( a) takové okolí Uδ ( a) bodu a, že M g M a : U a g U a. ( 97 ) δ Položme L M ε M U a U U. ( 98 ) δ δ δ Potom : U a y f U a z g U a. ( 99 ) Proto δ ε ε : L U a h f g U a. ( 00 ) δ ε M M L M

33 33 Spojitost funkce Heineova definice spojitosti Heinrich Eduard Heine (8 88) Funkce f je spojitá v bodě c D( f ) posloupnost ( n ) v n n právě tehdy, jestliže pro každou D f platí implikace c f f c. ( 0 ) Věta o spojitosti součtu, součinu a podílu funkcí Nechť funkce f, g, jsou spojité v bodě c. Potom i funkce h f g, kde g ( c) 0, je spojitá v bodě c. Důkaz: Chceme dokázat, že pro každou posloupnost ( n ) v D( f g ) n n platí c f g f g c. ( 0 ) Z předpokladu spojitosti funkcí f a g v bodě c plyne, že lim n lim f f c g g c. ( 03 ) n c c n n

34 34 Můžeme tedy psát ( f g )( ) f ( ) g ( ) f ( c) g ( c) ( f g )( c) h( c) lim lim. n n n c c n Věta o spojitosti komposice funkcí n ( 04 ) Nechť funkce g je spojitá v bodě c a funkce f spojitá v bodě d g ( c) Potom složená funkce h f g je spojitá v bodě c. Důkaz: Chceme dokázat, že pro každou posloupnost ( n ) v D( f g ) n n. platí c f g f g c, ( 05 ) neboli n ( ( n )) c f g f g c. ( 06 ) Z předpokladu spojitosti funkcí f a g v bodě c plyne, že lim n lim f f c g g c. ( 07 ) n c c Můžeme tedy psát n n ( f g )( ) f ( ) g ( ) f ( c) g ( c) ( f g )( c) h( c) lim lim. n n n c c n Jestliže ( n ) n je posloupností v D( f ) D g. Pro všechna n N položme y n n ( 08 ) g, je rovněž posloupností v g. ( 09 )

35 Potom ( y n ) je posloupnost v plyne D f. Z předpokladů dokazované věty ( n c yn g ( n ) g ( c) d ) yn d f ( yn ) f ( d ) h( ) f g ( ) f g c h c n ( n ) ( ). Singularity funkce Definice: ( 0 ) Body definičního oboru D( f ) funkce f nazýváme regulárními body funkce f. Body mimo její definiční obor, pak nazýváme singulárními body funkce f, nebo krátce singularitami funkce f. Typickými příklady singularit jsou nuly ve jmenovateli racionálních lomených funkcí (tomuto typu říkáme bodové singularity), záporná čísla v odmocninách, nekladná čísla v argumentech logaritmů, apod. (tento typ nazýváme spojitými singularitami). Standardní metoda výpočtu singularit vede k řešení odpovídajících rovnic (bodové singularity) či nerovnic (spojité singularity). Příklady: Vypočtěte singularity následujících funkcí: 35 f f f ( ) ( ) ( ) 3 +, S ( f ) { 5;} , S ( f ) ; 4 4 +, S ( f ) { + 5; 5; 4;}

36 36 f ( ) , S ( f ) 7 ; ; 7 f , S ( f ) { 0;} f ( ) + 3, S ( f ) 8 f f f ( ) ( ) ( ) , 4 S ( f ) sin , S ( f ) { 7}, S ( f ) { ; } f ( ) 3 sin + cos + +, S ( f ) { 4; 88;3} 4 6 f f ( ) ( ) cos , S ( f ) { ; } + 3 4, S ( f ) { } ( ) f, S ( f ) 3 ;4 4

37 37 f ( ) 3, S ( f ) ; 3 f ( ) 3 + 7, S ( f ) ( ; 5) ; ) ln ( 5 6) + +, S ( f ) 4;8) f ln ( 3 ) f +, S f 4; 3 f ( ) ln + 3, S ( f ) ( ; 3) f ( ) 3 5 +, S ( f ) ; f ( ) 3 4 +, S ( f ) 7 ; f ( ) + ( + ) ( )( + ) 3 5, S ( f ) ; f f ( ) ( ) , S ( f ) ( ;) , S ( f ) ( ;3) ( 5;7) f ( ) ln + +, S ( f ) ; ( ; ) 5

38 38 ln ( 3 0 ) f + +, S ( f ) 7; + 5 ln ( 3 3 ), S ( f ) ; f f ( ) 5 ln 4 +, S ( f ) 3; 5 f ( ) 6 +, S ( f ) ( 48 ; 4 3; 3 f ( ) 6 5 6, S ( f ) f ( ) 3 4 6, S ( f ) (;6 3 ; 3 5 4, S ( f ) ( 3; ) f ln ( 3 4) f, S ( f ) ( ;6) f f ( ) , S ( f ) ( ) , S ( f ) { } ;; f f ( ) ( ) ( 7) ( 8 + ) 3 3 3, S ( f ) { ; }, S ( f ) { 3; }

39 39 f f f ( ) , S ( f ) ( ) , S ( f ) ( ) , S ( f ) 4 3 ; ; 3 4 5; 5 3;; ; 3 f ( ) f 5 7, S ( f ) log9 log9 log5, S ( f ) { } f ( ) , S ( f ) { } f , S ( f ) 7 log 0 3 log 4 f ( ) f ( ) ( ) 3 4 4, S ( f ) { }, S ( f )

40 40 f f ( ) , S ( f ), S ( f ) log3 log ± log6 f ( ) 3 +, S ( f ) { ; } f ( ) , S ( f ) , S ( f ) f 4 f ( ) + ( ) sin cos π π S f k kπ 3 6, + π; + f f ( ) ( ) log ( ) log ( ) log log, S ( f ) 0, 0, S ( f ) { 0,} f ( ) log 4log + log + log 9, S ( f ) f ( ) log 3 log log ( + ) + ( ) +, S ( f ) { 7}

41 4 f ( ) f, log + log + log + log 6 log 7 3 log 3 log 3 log S ( f ) 3, 3, S ( f ) { 9} f ( ) log log + log 3 3, S ( f ) 0, 0 f ( ) 9 log 3log 0 log, S ( f ) 0, f ( ) i log i, S ( f ) { 0}

42 4 Metody výpočtu limit funkcí jedné reálné proměnné V této kapitole si na celkem 50 modelových příkladech demonstrujeme hlavní postupy používané při výpočtu limit. Limity racionálních lomených funkcí ( ) lim lim ( + )( ) lim lim lim( + ) ( + )( ) + lim lim lim ( + ) ( + ) ( + )( ) 3 + lim lim lim lim + 3 ( ) lim + lim( + ) lim + lim( ) lim + lim ( ) 8 +

43 43 lim lim lim 0 ( ) 3 ( + ) 3 lim lim lim ( ) + ( ) lim 0 ( + 4)( 4 + 4) ( )( + ) ( + 4) lim lim 0 0 ( + 4)( ) lim lim lim lim lim lim ( ) lim lim lim

44 44 lim ( 3 + ) ( )( )( + ) + ( )( ) 3( ) ( )( 4) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) + ( ) lim lim 3 4 lim Limity iracionálních lomených funkcí 4 4 lim lim lim ( + )( ) ( + ) ( )( )( ) ( ) lim lim lim lim ( )( + ) + lim lim lim lim ( + ) + ( ) ( )( + + ) + + lim lim lim lim + + 4

45 lim lim lim lim ( + ) ( ) 3 ( + )( ) lim lim lim lim lim lim + ( + ) lim 4 lim ( + ) lim ( + ) ( ) + lim ( ) lim 0 ( + + ) 3 ( + ) + + ( ) lim 0 + +

46 46 lim lim + 3 ( + ) ( ) ( 3 ) lim ( ) ( 8 3 ) lim ( ) Limity goniometrických funkcí Ze školy víme, že v limitě 0 se funkce sin stále více podobá funkci (tzv. aproimace malých výchylek). Vskutku se dá celkem snadno dokázat, že sin lim. ( ) 0 Důkaz: Obr. 6 sin tan

47 47 Z konstrukce goniometrických funkcí na jednotkové kružnici plyne zřejmá nerovnost (viz obr. 6) sin sin tan, ( ) cos odkud vydělením funkcí sin ihned dostáváme sin cos. ( 3 ) Zapůsobíme-li na celou tuto nerovnici limitou 0, dostáváme lim, ( 4 ) 0 sin odkud a z věty o limitě podílu, již plyne dokazovaná rovnost. Uvedený důkaz je jednoduchým příkladem aplikace tzv. sandwich teorému, o kterém budeme ještě hovořit za chvíli, v samostatném oddílu. Získanou limitu však využijeme již v tomto oddílu k výpočtu celé řady různých limit. lim cos tan lim sin π π lim cot ( a) lim lim cos( a) lim 0 0 sin a 0 0 a a cos cos sin lim lim lim ( + cos ) ( + cos ) sin lim lim 0 0 cos +

48 48 sin sin tan sin cos sin sin cos lim lim lim sin sin cos cos ( ) sin ( cos ) sin ( )( + ) ( + ) lim lim 0 0 cos cos cos 0 cos cos sin sin tan sin cos sin ( cos ) lim lim lim sin sin sin sin cos cos ( ) lim ( )( + ) ( + ) cos lim 0 cos cos cos 0 cos cos cos + tan cos + sin + tan lim lim 0 sin 0 sin sin sin + cos sin ( cos ) lim + lim 0 0 sin sin cos sin cos + lim lim cos ( ) ( ) ( ) sin cos sin cos cos lim lim cos sin cos sin π π 4 4 sin cos cos lim cos sin π 4 ( ) cos sin cos lim lim( cos ) cos sin π π 4 4

49 ( cos )( + cos + cos ) lim 0 sin cos cos ( cos )( + cos + cos ) 3 3 cos cos lim lim lim 0 sin 0 sin cos 0 sin cos ( + ) ( + + ) sin cos cos lim 0 cos cos ( + ) sin + cos + cos lim lim 0 0 cos cos π 3 π 3 π 3 ( + ) ( ) 3 4 ( ) 3 3 tan 3tan tan 3tan sin 3cos sin lim lim lim π π π 3 π 3 3 cos 3 3 ( 3 cos sin ) cos + cos sin 6 4cos sin lim 3 cos sin cos 3 ( ) sin ( 4cos )( 3 cos + sin ) lim 3 cos 3cos sin ( ) sin 4cos 3 cos + sin lim 3 cos 4cos π 3 ( + ) sin 3 cos sin lim 4 3 cos 49

50 50 Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech Definice: Nevlastní limitou rozumíme limitu funkce v některém jejím bodě, jejíž hodnota leží v + nebo. Typickým případem, kdy toto nastává, je dělení reálného čísla nulou, jež vede v limitě vždy ke kladnému, či zápornému nekonečnému výsledku. Nevlastním bodem limity rozumíme bod v + nebo, v němž počítáme limitu dané funkce. Příklady výpočtu limit v nevlastních bodech: + + lim lim lim lim lim lim lim lim Poslední limita je tedy limitou v nevlastním bodě a zároveň i nevlastní limitou. Na základě výše uvedených příkladů můžeme vytvořit obecný

51 5 závěr ohledně limit racionálních lomených funkcí v nevlastních bodech: 0 pro m < n m m a + a + + am a lim pro m n n n b + b + + bn b pro m > n ( 5 ) Analogický závěr můžeme učinit i pro limitu obdobných funkcí v opačném nevlastním bodě: lim 0 pro m < n m m a + a + + am a pro m n n n b + b + + bn b m n > 0 sudé ± m n > 0 liché ( 6 ) Poznámka: Také Eulerovo číslo je definováno jako limita v nevlastním bodě: n e lim + n n. ( 7 ) Vztahy ( 5 ), ( 6 ) dovolují v případě určování limit v nevlastních bodech všech racionálních funkcí postupovat mnohem rychleji. Příklady: lim lim ,

52 5 ( + ) lim lim lim Analogických postupů však lze použít též pro výpočet limit iracionálních polynomických funkcí v nevlastních bodech: lim + lim lim lim + + lim lim lim lim lim lim lim lim ( + ) lim lim ± + + ± + + ±

53 53 ( ) ( + + ) ( + ) lim lim ± ± + + ± + lim lim ± + + ± + ± + + ± + U posledních dvou limit si povšimněme, jak se mění znaménka odmocnin i samotného limitního bodu v případě, že limitu počítáme v záporném nevlastním bodě. Jedná se o speciální případ substituce, o níž obecněji pojednává hned následující odstavec. Substituční metoda výpočtu limit Metodu si demonstrujme na následujících jednoduchých příkladech: lim lim u lim u limu u 3 + u u +. π π π lim( ) tan lim ytan y y 0 π π π π sin cos y sin y cos lim y y 0 π π π π cos cos y + sin sin y π π π cos y y cos y lim y lim lim y 0 π y 0 π y 0 π sin y sin y π

54 54 sin lim tan lim π + π π + cos π π π ysin y + + cos y + lim π y 0 π y cos y + π π π π y sin y cos + cos ysin + cos y cos + sin ysin lim y 0 π π y cos y cos + sin ysin y cos y sin y cos y ysin y cos y lim lim y 0 ysin y y 0 sin y + y cos y ysin y sin y + y cos y lim lim 0 y 0 sin y + y cos y y 0 cos y y cos y

55 55 sin cos lim lim π π cos cos sin cos cos sin + sin cos lim π cos sin + sin 4 4 cos cos + sin 4 4 lim π cos sin + sin 4 4 cos( y)( cos y + sin y) lim cos y sin y + sin y π y 4 4 π y 4 π y 4 ( ) cos( y)( cos y + sin y) ( y) ( + ( y) ) ( cos y + sin y) + ( y) lim cos sin lim sin

56 56 lim cos cos lim cos cos sin lim cos cos sin 4 4 cos y cos ysin y lim y y 0 y 0 cos co 4 cos y cos y cos y lim y 0 y 4 cos y cos y lim y 0 y lim y ( y) ( y) y y 0 + y y s lim cos cos cos y sin lim 0 y y cos y + cos ysin y lim 0 y y sin y 3 lim lim( + cos y) y 0 y y 0 Sandwich theorem Tuto metodu jsme již naznačili při výpočtu veledůležité limity sin lim. Zde si nyní podrobněji ukážeme její princip na příkladu 0 výpočtu dalších dvou naprosto klíčových limit, se kterými budeme pracovat v následujících kapitolách. Jedná se o limity ln e lim, lim. ( 8 ) 0

57 57 Započneme konstrukcí první z těchto limit: z vlastností přirozených logaritmů ihned plyne nerovnost (viz obr. 7) y, : ln y y. ( 9 ) Zavedeme-li substituci, dostáváme zcela analogicky (viz obr. 7) y (, ) : ln. ( 0 ) Obr. 7 f() - f() / - f() ln - f() ln (/) Jelikož ln ln ln ln, ( ) dostáváme z ( 0 ) nerovnost (, ) : ln, ( )

58 58 neboli, srov. ( ) se ( 9 ), (, ) : ln. ( 3 ) Vydělíme-li poslední nerovnost výrazem, získáme nerovnost. (, ) : ln. ( 4 ) Provedeme-li analogickou úvahu pro ( 0,) sekvencí kroků k závěru, že, dospějeme obdobnou ( 0, ) : ln, ( 5 ) Protože ale lim, ( 6 ) máme tak vyšetřovanou funkci sevřenu jako šunku v sendviči, mezi dvě housky, reprezentované jinými funkcemi, které mají shodné limity. Limita hledané funkce tak nemá nikam úniku a musí pro ni platit ln lim. ( 7 ) Provedeme-li nyní substituci z e, což je regulerní, neboť z + z R : e R, ( 8 ) můžeme limitu ( 7 ) přepsat do tvaru

59 59 z ln e z lim lim. ( 9 ) z e z z 0 z e e Proto rovněž e lim z z z lim z z 0 z e e z lim lim z 0 z 0 z 0. ( 30 ) Předehra k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné Derivace, diference a diferenciál funkce Obr. 8 f s f() t f() f( 0 ) 0 Definice: Uvažujme funkci f. Směrnici tečny grafu této funkce v nějakém bodě 0 nazveme derivací funkce f v bodě 0, což značíme f ( 0 ).

60 60 Při konstrukci derivace začneme nejprve konstrukcí sečny s, podle grafu 8, kterou jsme zde označili červenou barvou. Její směrnice je zřejmě dána výrazem f f f Výraz ( 3 ) f f 0 f 0 0 ( 3 ) nazýváme diferencí funkce f v bodě 0. Z grafu 8 je zřejmé, že položíme-li 0, začne nám zkoumaná sečna splývat s hledanou tečnou. Limitu 0 označujeme podle Leibnize jako d, jí odpovídající diferenci pak analogicky jako df. Příklad : Vypočtěmež derivaci paraboly Řešení: f. Změní-li se na + d, změní se na ( + d) f + df, neboli df f + df f + d + d + d + d. ( 33 ) d Protože ale f, máme rovnost df d d d d d d + +. ( 34 ) Vydělením této rovnice výrazem d odtud dostáváme

61 6 df d d +. ( 35 ) Protože ale d 0, máme konečně df d. ( 36 ) Protože výraz df je zřejmě směrnicí tečny grafu funkce f v bodě, je d tudíž totožný s hledanou derivací funkce f : df f. ( 37 ) d Pozorování: Přeložíme-li výše naznačený postup do jazyka limit, přejde rovnost ( 3 ) definující směrnici sečny grafu funkce f v bodech a 0, na rovnost df f f lim 0 0 d 0 0 ( 38 ) definující směrnici tečny grafu funkce f v bodě 0 (k němuž jsme bod nekonečně přiblížili). Diference funkce f v této limitě pak přechází v tzv. diferenciál funkce f v bodě 0 : f f df lim d f d. ( 39 ) Poznámka: Derivace funkce více proměnných f f (, y, z, ) značíme

62 6 f f f,,, y z ( 40 ) a nazýváme je parciální derivace funkce f podle proměnných, y, z., Vznikají obyčejným derivováním funkce f vždy podle proměnné uvedené ve jmenovateli (na ostatní proměnné daná parciální derivace nepůsobí, takže se vzhledem k derivování chovají jako obyčejné konstanty). Alternativním označením parciálních derivací ( 40 ) je f, f, f., ( 4 ) y z Derivace součinu funkcí Mají-li funkce f a g v bodě 0 derivaci, má v tomto bodě derivaci i funkce h f g (plyne z věty o limitě součinu) a platí: h ( ) h h f g f g lim lim f g f g f g f g lim 0 0 f f g g lim g + lim f f f g g g lim + f lim g f + f g Derivace podílu funkcí Mají-li funkce f a g v bodě 0 derivaci a je-li bodě derivaci i funkce. ( 4 ) g 0 0, má v tomto f h (plyne z věty o limitě podílu) a platí: g

63 63 h ( ) ( 0 ) lim lim f ( ) g ( 0 ) f ( 0 ) g ( ) 0 g ( ) g ( 0 )( 0 ) f ( ) g ( 0 ) f ( 0 ) g ( 0 ) + f ( 0 ) g ( 0 ) f ( 0 ) g ( ) 0 g ( ) g ( 0 )( 0 ) f ( ) f ( 0 ) g ( ) g ( 0 ) g ( 0 ) f ( 0 ) 0 g ( ) g ( 0 ) 0 0 f ( ) f ( 0 ) g ( ) g ( 0 ) g ( 0 ) lim f ( 0 ) lim ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ). g ( ) lim lim f f h h g g lim g g f f g Derivace komposice funkcí 0 ( 43 ) Mají-li funkce g derivaci v bodě 0 a funkce f derivaci v bodě u0 g ( 0 ), pak složená funkce h f g f ( g ) má derivaci v bodě 0 (plyne z věty o limitě komposice) a platí: h ( ) h( ) h ( ( 0 )) 0 0 lim lim f ( g ( ) ) f ( g ( 0 )) g ( ) g ( 0 ) lim 0 g ( ) g ( ) f ( u) f ( u0 ) g ( ) g ( 0 ) lim lim g g lim g f u0 g 0 u u u u ( ( 0 )) ( 0 ) f g g. f g f g ( 44 )

64 64 Derivace inverzní funkce Má-li funkce g ( ) g ( y) ( g ) ( y0 ) y derivaci v bodě 0, pak funkce k ní inverzní má derivaci v bodě y 0 a platí: g y g y lim lim y y g g 0 0 y y0 g g g ( ) g ( 0 ) g ( 0 ) g ( g ( y0 lim )) 0 0 ( 45 ) Po formální záměně závisle a nezávisle proměnné odtud dostáváme užitečný výsledek: ( g ) ( ). ( 46 ) g g 0 ( ( 0 )) Příklady výpočtu derivací Demonstrujme si názorně použití výše odvozených vztahů pro výpočet derivací některých základních funkcí. Započneme funkcí elementární: 0 0 y e e 0 e 0 e 0 0 ( e ) lim lim e e lim e. 0 0 y ( 0 ) y ( 47 ) V předchozích odstavcích jsme si ukázali některé unikátní vlastnosti elementární funkce. Zde jsme byli právě svědky další z nich elementární funkce je sama sobě derivací. Jinými slovy, působením derivace na elementární funkci se tato nijak nezmění. Zkusme si zderivovat další funkci:

65 ln ln ln ln ln y ( ) 0 0 ( 48 ) Uvědomíme-li si, že funkce ln je zároveň inverzní, k funkci e, můžeme dospět k témuž výsledku kratší cestou za pomoci věty o derivaci inverzní funkce ln 0 lim lim lim lim y y 0 ( ), ( 49 ) e e ln y ln y ( e ) kde nyní již stačí jen dosadit za konkrétní bod 0 a máme shodný výsledek. Vyzbrojeni arzenálem předchozích znalostí nyní již můžeme derivovat další a další funkce zcela mechanicky, v několika málo krocích: ( log ) a ln, ( 50 ) ln a ln a a a aln u u a aln a a a e e a e e a ( 5 ) ( ln ) ln ( 5 ) a u u ln a a e e ln a e ln a e ln a a ln a 65 i i e e e + e cos i i i ( sin ) i i e e + e e sin i i i ( cos ) ( 53 ) ( 54 )

66 66 sin cos ( sin ) sin ( cos ) cos + sin cos cos cos + tan cos ( 55 ) cos sin ( cos ) cos ( sin ) sin cos cot + sin sin sin cot sin ( 56 ) arcsin ( 57 ) cos sin y y sin y ( tan ) ( arccos ) ( arctan ) ( arccot ) sin y cos y ( cos y) + tan y + ( tan y) ( cot y) + cot y + ( 58 ) ( 59 ) ( 60 ) Kde poslední 4 funkce jsme derivovali pomocí věty o derivaci inverzní funkce. Pozorování: Z definice derivace funkce coby směrnice tečny grafu této funkce v daném bodě plyne následující pozorování: Nechť má funkce f v každém bodě intervalu a, b derivaci (říkáme, že je na tomto intervalu spojitě diferencovatelná). Jestliže

67 67 a, b : f > 0, resp. f < 0, ( 6 ) je funkce f na celém tomto intervalu rostoucí resp. klesající. Příklad : Určeme, v kterých intervalech roste a v kterých klesá funkce f. ( 6 ) Řešení: 3 ( 6 ) ( 3) f +. ( 63 ) Nulovými body funkce f jsou tedy L L L 3, 0, 3. ( 64 ) Tyto body dělí funkci f na 4 intervaly, ve kterých má vždy monotónní průběh: Tabulka (, ) (,0) ( 0,3 ) ( 3, ) f Z uvedené tabulky je zřejmé, že,0 3, : f > 0,, 0,3 : f < 0. ( 65 )

68 68 Proto f roste na intervalech (,0) a (,) a ( 0,3 ). Diferenciální počet funkcí jedné proměnné První Bolzanova věta 3, a klesá na intervalech Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (78 848) Nechť funkce f je spojitá v bodě c a nechť f ( c ) > 0 resp. f ( c ) < 0. Potom eistuje takové okolí U ( c). Že δ D f : U c f c > 0 f c < 0. ( 66 ) Důkaz: Položme δ U f r f r f r ( ) 0 δ 0 0, 0 +, 0 > 0,. ( 67 ) Protože f lim 0 f f, ( 68 ) 0

69 69 eistuje k okolí Uε ( 0 ) takové okolí Uδ ( 0 ), že :, U f U f r f + r, ( 69 ) neboli δ 0 ε f 0 f 0 Uδ ( 0 ) : f ( ) > f ( 0 ) r f ( 0 ) > 0. ( 70 ) V případě, že f ( 0 ) < 0 se důkaz provede zcela analogicky. Druhá Bolzanova věta Je-li funkce f spojitá na intervalu a, b a platí > 0 > f ( b), resp. f ( a) 0 f ( b) f a potom 0 0 < <, ( 7 ) a, b : f 0. ( 7 ) Důkaz: Vyšetříme třeba případ f ( a) 0 f ( b) { } 0 > >. Označme M a, b : f > 0 ; sup M. ( 73 ) Dle první Bolzanovy věty je funkce f kladná na jistém pravém okolí bodu a a záporná na jistém levém okolí bodu b. Odtud a z definice a b. suprema vyplývá, že 0 (, ) Dále musí být f ( ), neboť skutečnost 0 0 f by dle první 0 0 Bolzanovy věty vedla ke sporu s předpokladem, že 0 sup M. f a < 0 < f b bychom v důkazu postupovali obdobně. V případě

70 70 Weierstrassova věta Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (85 887) Jestliže je funkce f spojitá na intervalu a, b, potom eistují čísla min f ( a, b ), ma f ( a, b ). ( 74 ) Důkaz: Dokažme např. eistenci ma f ( a, b ). Zvolme tedy posloupnost ( yn ) f ( a, b ), pro kterou platí: y sup f a, b. ( 75 ) n Zvolme dále posloupnost ( ), : n n n a b takovou, že n N f y. ( 76 ) Z posloupnosti ( n ) vybereme konvergentní podposloupnost ( k ) takovou, že c a, b. ( 77 ) k n Odtud a ze spojitosti funkce f v bodě c plyne, že

71 7 ( k ) k f y f c. ( 78 ) n n Porovnáním ( 78 ) a ( 75 ) obdržíme rovnost sup (, ) f c f a b. ( 79 ) Jelikož však také (, ) f c f a b, ( 80 ) platí dokonce ma (, ) f c f a b. ( 8 ) Eistence min f ( a, b ) se dokazuje obdobně. Rolleova věta Michel Rolle (65 79) Nechť f : a, b R je spojitá funkce, diferencovatelná na intervalu ( a, b ). Nechť dále f ( a) f ( b) ( a b) f ( ξ ). Potom ξ, : 0. ( 8 )

72 7 Důkaz: Funkce f je spojitá na a, b a proto zde dle Weierstrassovy věty nabývá lokálního maima i minima. a) Nechť a, b : f konst f 0, ( 83 ) takže ( ξ ) ξ a, b : f 0. ( 84 ) b) Nechť ( a, b) : f ( ξ ) f ( a) f ( b) ξ. ( 85 ) Funkce f pak musí nabývat alespoň jeden lokální etrém v bodě ξ a, b a proto opět platí f ( ξ ) 0.

73 73 Cauchyova věta Baron Augustin-Louis Cauchy ( ) Nechť f : a, b R, g : a, b R, ( 86 ) jsou spojité funkce, diferencovatelné na ( a, b ). Nechť dále a, b : g 0. ( 87 ) Potom ( ξ ) ( ξ ) ( a, b) : f b f a f ξ. ( 88 ) g b g a g Důkaz: a) Ukážeme nejprve, že g ( a) g ( b) 0. Důkaz provedeme sporem. Kdyby g ( a) g ( b) 0, tak by platilo g ( a) g ( b) dle Rolleovy věty by ξ ( a, b) : g ( ξ ) 0, což je spor s předpokladem Cauchyovy věty. a

74 74 b) Uvažujme nyní funkci ( ) h : a, b R : h f b f a g g b g a f Je to spojitá funkce diferencovatelná na (, ) následující vlastnosti: ( ) ( 89 ) a b, která má f ( b) g ( a) f ( a) g ( a) g ( b) f ( a) g ( a) f ( a) f ( b) g ( a) g ( b) f ( a) h( b), h a f b f a g a g b g a f a + ( 90 ) h f b f a g g b g a f. ( 9 ) ( ) Podle Rolleovy věty ( ) ξ a, b : h ξ f b f a g ξ g b g a f ξ 0 odkud již ( ξ ) ( ξ ) ( 9 ) f b f a f. ( 93 ) g b g a g Lagrangeova věta. Joseph Louis Lagrange (736 83)

75 75 Nechť f : a, b R je spojitá funkce, diferencovatelná na intervalu ( a, b ). Potom ( a, b) : f ( b) f ( a) f ( ξ )( b a) ξ. ( 94 ) Důkaz: Zvolme funkci g : a, b R, g. ( 95 ) Tato funkce je spojitá a diferencovatelná na ( a, b ), přičemž ( ) g. ( 96 ) Funkce f, g tedy splňují na a, b předpoklady Cauchyovy věty. Proto f ( a) f b b a Odtud f ( ξ ). ( 97 ) ( ξ ) f b f a f b a ( 98 ) kde ( a, b) ξ. Důsledek: f ( a) f b Protože je směrnicí sečny grafu funkce f procházející b a body a, f ( a), b, f ( b), a zároveň je směrnicí tečny tohoto grafu

76 76 v bodě ξ, f ( ξ ), pak ξ, f ( ξ ), ξ ( a, b) takový, že tečna grafu funkce f v tomto bodě je rovnoběžná s výše zmíněnou sečnou grafu funkce f. Obr. 9 f(b) f(ξ) f(a) a ξ b l Hospitalova věta Nechť Guillaume François Antoine, markýz de l Hospital (66 704) ) ) f : a, b R, g : a, b R ( 99 ) jsou diferencovatelné funkce, a ) < b. Nechť dále a, b : g 0 g 0. ( 00 )

77 77 a) Nechť lim f lim g 0. ( 0 ) b b Pak platí implikace lim f f L R lim L. ( 0 ) g g b b b Nechť lim g b. ( 03 ) Pak platí následující implikace: lim Důkaz: f f L R lim L. ( 04 ) g g b b a) Zvolme libovolné U ( L) ε. Protože ( ) lim b f g ( ) ( ) L : : f U b U b U ( L) δ δ g ε. ( 05 ) Nechť, y U b, < y < b. ( 06 ) δ Pak pro interval, y jsou splněny podmínky Cauchyovy věty, takže,

78 ( ξ ) ( ξ ) (, ) : f y f f ξ y Uδ b U ε ( L). g y g g ( 07 ) lim f lim g 0, Dle předpokladu L Hospitalovy věty tedy platí, že b b f y f f Uδ ( b) : lim Uε L y b g y g g. ( 08 ) K libovolnému Uε ( L) tedy vskutku eistuje takové Uδ ( b) že f f Uδ ( b) : Uε ( L) lim L. ( 09 ) g b g b) Analogickým postupem, jako v předchozím bodě důkazu, dojdeme k závěru, že ( ξ ) ( ξ ) (, ) : f f y f ξ y Uδ b U ε ( L), g g y g ( 0 ) kde jsme tentokrát vololi y <. Zvolme tedy U ( b). Protože lim b g, ( ) δ : : U b U b g > g y. ( ) δ Dále ( ) δ U b : U b : g > 0. ( ) δ 3 3 Zvolme δ min { δ, δ } tak, aby y U ( b) 0 3 δ 0 δ. Pak zřejmě, 78

79 79 U b U b ( 3 ) a δ δ 0 0 U b : g > g y g g y > 0 g > 0. δ Přepíšeme-li nyní podmínku ( 0 ) do tvaru g ( y) ( 4 ) ε f f y ε L < < L +, ( 5 ) g pak po vynásobení výrazem g ( ) g ( y), o kterém jsme právě dokázali, že je > 0, postupně dostáváme ε L ( g ( ) g ( y) ) < f ( ) f ( y) < ε < L + ( g ( ) g ( y) ), ε L ( g ( ) g ( y) ) + f ( y) < f ( ) < ε < L + ( g ( ) g ( y) ) + f ( y), ε L ( g ( ) g ( y) ) f y f + < < g g g ε L + ( g ( ) g ( y) ) f < + g g ( y), ( 6 ) ( 7 ) ( 8 )

80 80 ε ε L g ( ) L g ( y) f y f + < < g g g ε ε L + g ( ) L + g ( y) f < + g g g ( ) g ( ) ( y), ε ε g y f y f L L + < < g g g ε ε g y f y < L + L + +. ( 9 ) ( 0 ) Při pevném y platí ε g y f y ε g y f y lim L + 0 lim L + +. g g g g ( ) Proto ε g y f y ε Uδ ( b) Uδ ( b) : U ( b) : L 0 δ + > g g a tedy ε g y f y ε L + + <, g g ( ) ε g y f y g y f y L ε L ε < + < + + < ε. g g g g ( 3 ) Proto

81 8 ( ) f Uδ ( b) : L ε < < L + ε, ( 4 ) g tj. f f Uε ( L) lim L. ( 5 ) g b g Specielně je potřeba prozkoumat případ L, neboť v nevlastních bodech oboru svých hodnot mohou funkce jevit řadu patologických vlastností. Je zřejmé, že R : f f y ε >. ( 6 ) g g y ε Proto Uδ ( b) : f ( ) f ( y) > ( g ( ) g ( y) ) ε f ( ) > g ( ) g ( y) + f ( y). ε ε ( 7 ) Po vydělení této nerovnosti funkcí g ( ) dostáváme nerovnost f g y f y g > ε ε g + g. ( 8 ) Protože lim g b je při pevném y, ( 9 )

82 8 g y f y lim + 0. ( 30 ) b ε g g Proto g y f y U ( b) U ( b) : U δ δ ( b) : 0 δ + >, ε g g ε ( 3 ) odkud U ( b) : f y g y f g y f y δ > > + g ε g ε g ε ε g g ( 3 ) a tedy ( ) f >. ( 33 ) g ε ε To ale znamená, že : f Uδ b Uε ( L). ( 34 ) g K libovolnému U ( ) tedy eistuje takové U ( b) δ, že f f Uδ ( b) : Uε ( ) lim. ( 35 ) g b g Tím je věta dokázána.

83 83 l Hospitalova metoda výpočtu limit l Hospotalova věta patří k velmi mocným nástrojům pro výpočet limit typu 0 0, či. Demonstrujme si opět její funkci na několika jednoduchých příkladech, z nichž některé jsme již dříve řešili klasickými postupy: ln lim lim sin cos lim lim 0 0 cos sin lim lim 0 0 tan 0 cos 3 lim lim lim lim lim lim lim sin + sin + cos sin lim lim 0 + sin 0 + cos 3

84 84 n n n n lim lim n( n + ) n sin sin + sin 3 3 cos cos cos lim lim 3 cos 0 0 sin cos 3 3 cos cos lim 0 cos lim lim ( + ) ( + ) 3 lim lim 3 4 ( + 3y y y ) ( y ) lim y 6 y + y y lim y y

85 85 sin sin cos sin cos lim lim lim sin sin + sin cos sin + sin cos lim 0 sin cos( ) ( ) lim 0 sin sin sin cos cos lim 0 sin sin + + cos sin si n + cos + sin lim 0 sin sin( ) cos ( ) Taylorova věta Brook Taylor (685 73) Nechť n N a nechť Nechť f : a, b R je n-kráte spojitě diferencovatelná a (n )-kráte diferencovatelná na intervalu, a b. Potom

86 86 i ( i ) ( a) f i ξ ( a, b) : f ( b) f ( a) b a i! Důkaz: Uvažujme funkci n i n f a f i ( + ) i ( ξ ) ( b a ) ( b a) i! ( n + )! + n+ ( 36 ) f ( ) f ( )!! ( n ) h : a, b R, h f b f b b f n b b n! n +! λ n+. ( 37 ) h a. Nyní Zřejmě je h( b ) 0 a λ můžeme zvolit tak, aby rovněž 0 spočtěme derivaci funkce h : f f h ( ) f ( ) b b!! ( n ) ( n+ f ) n f ( ) n f ( ) b ( b ) f ( ) ( b ) n! n!! ( n ) n λ n ( n+ b b λ f ) ( ) ( ) f b + + n! n! n! n.. Dle Rolleovy věty tedy ( 38 ) ( ( ) ) n+ b ξ ξ a, b : h ξ λ f ξ 0 ( 39 ) n! a odtud n

87 87 ( n+ ) ( ξ ) λ f, ( 40 ) takže f f h( ) f ( b) f ( ) b b!! ( n ) ( n+ ) n ( ξ ) ( b ) ( b ) n! ( n + )! f f n+ ( 4 ) a zároveň f a f a h( a) f ( b) f ( a) b a b a!! ( n ) ( n+ ) n ( ξ ) ( b a ) ( b a) n! ( n + )! f a f n+ 0 ( 4 ) Proto f a f a f ( b) f ( a) b a + b a +!! ( n ) ( n+ ) n ( ξ ) ( b a ) ( b a) n! ( n + )! f a f + + n+ ( 43 )

88 88 Analýza průběhu funkcí jedné reálné proměnné Taylorova a Maclaurinova řada funkce Colin Maclaurin ( ) Nechť funkce f je v bodě 0 nekonečněkrát diferencovatelná. Potom nekonečnou řadu ( i f ) ( 0 ) i ( 0 ) ( 44 ) i! i 0 f kde 0 je libovolný prvek množiny bodů, v nichž je řada konvergentní, nazýváme Taylorovou řadou funkce f v bodě 0. Specielně, volíme-li 0 0, nazýváme odpovídající Taylorovu řadu Maclaurinovou řadou. Příklady: e n n ( 45 )!! n! n! n 0

89 n n cos ( 46 )! 4! 6!!! ( n) ( n ) n 0 n ( n ) 3 5 n+ n+ sin + + ( 47 )! 3! 5! +! +! a n 0 n ( n ) 3 3 n n ln a ln a ln a ln a n n ( ln a)!! 3!! n! ( 48 ) Jak okamžitě plyne ze vztahu ( 36 ), omezíme-li se na n členů a, a chyby Maclaurinovy řady, dopouštíme se na intervalu ( n+ f ) ( ξ ) ( n + )! sup n+ f a, ξ a, a Příklad :. ( 49 ) n π Urči sin s přesností lepší, než Řešení: Taylorův rozvoje funkce sin je n+ n ( 50 ) 0 ( n + )! n sin Tzv. Taylorův zbytek ( 49 ) pak utvoříme z (n + )-ho prvku ( 50 ) jednoduše tak, že všechna n v ( 50 ) nahradíme čísly (n + ). Výsledný výraz poté vynásobíme suprémem absolutní hodnoty (n + )-ní derivace odpovídající funkce dle vztahu ( 49 ) a z výsledného výrazu stanovíme absolutní hodnotu:

90 90 ( n + ) ( n + ) sup sin ξ π π f 0 ( ) 3! 9 3! 9 n+ n+ 3 n+ 3 9 n+ ( 5 ) Odtud n+ 3 9 π 0 + 3! 9 n 3. 3 n 0 ( n ) Tedy n π π π π π 9 π sin + 9! 9 3! 5! 7! n ( n + ) 0, Přesná hodnota je ( 5 ) ( 53 ) 0, ( 54 ) Příklad : Urči s jakou přesností aproimuje Taylorův rozvoj 4. řádu funkci π π sin( ) na intervalu,. 9 9 Řešení: ( 4 + ξ ) sup sin sup cosξ ( 55 ) 4+ 3 π π ! 9! 9 3 ( 56 )

91 9 Vskutku, přidáním jediného dalšího členu Taylorova rozvoje, máme 4 n 0 n ( n + ) n π π π π π π 9 π sin + + 9! 9 3! 5! 7! 9! Příklad 3: 0, Vypočtěte součty následujících divergentních a oscilujících řad: a) b) c) d) e) f) Řešení: ( 57 ) Spočteme si Maclaurinovy řady některých racionálních lomených funkcí a pokusíme se z nich zkonstruovat výše zadané řady: ( + ) k 0 k 0 + k ( ) k 0 ( k )( ) π k sin + + k 0 k + k k Volbou dostáváme z první rovnosti výsledek řady a)

92 Volbou 0 dostaneme z téže rovnosti výsledek řady b) Z druhé rovnosti dostáváme volbou výsledek c) + + +, volbou výsledek d) volbou - výsledek a) , Ze čtvrté rovnosti volbou plyne součet řady e) Ze třetí rovnosti volbou plyne součet řady f) Poznámka Výsledky součtu divergentních řad a) a b) můžeme ověřit i způsobem nezávislým na Maclaurinových řadách:

93 93 S S S S S S S S. 9 Ačkoliv se výše uvedené příklady konečných výsledků divergujících řad na první pohled příčí zdravému rozumu, nutno podotknout, že se jedná nejenom o matematicky zcela korektní závěry, eaktně ošetřené v tzv. teorii Riemannovy zeta funkce, ale v řadě případů dokonce o eperimentálně ověřená fakta, která fyzikové již mnohá desetiletí s úspěchem využívají v kvantové teorii pole, při aplikaci metod zvaných renormalizace a regularizace. Pozorování Povšimněme si, že regularizace není obyčejným sčítáním, neboť záleží obecně na pořadí, v jakém uvnitř řady jednotlivé operace provádíme. Neplatí zde komutativní, ani asociativní zákon. Kromě nekonečných sum se dají regularizovat i nekonečné produkty. Např. součin všech přirozených čísel dává π, součin všech prvočísel je 4π, atp.

94 94 Tečna a asymptota Z Taylorovy věty plyne, že je-li funkce n-kráte diferencovatelná, aproimuje Taylorova řada funkci tím lépe, čím více se počet jejích členů (včetně nultého) blíží číslu n. Omezíme-li se pouze na n (tedy nultý a první člen), vyjadřuje Taylorova řada funkce f přímku f f + f ( 58 ) která není ničím jiným, než analytickým vyjádřením tečny grafu funkce f v bodě 0, o níž byla řeč již v kapitole pojednávající o derivaci. Nyní máme konečně předpis, jak tuto tečnu vždy nalézt. Ačkoli je to nejhrubější aproimace funkce f ve vybraném bodě (samozřejmě vyjma triviálního případu nultého členu Taylorovy řady, který aproimuje graf funkce v bodě 0 pouhým jedním bodem f ( 0 ) ), vystihuje první derivace přesně směrnici závislosti f f ( ) ve vybraném bodě. Jak budeme svědky v příkladech na aplikaci derivace, má tato vlastnost dalekosáhlé důsledky pro naše porozumění fyzikální realitě a velmi široké využití ve vědě a technice. Definice: Asymptotami se směrnicí grafu funkce f budeme rozumět tečny ± funkce f. grafu funkce f, konstruované v nevlastních bodech 0 Jako všechny tečny mají i asymptoty směrnicové vyjádření ( 58 ) které si nyní převedeme do tvaru f f + f f a + b. ( 59 ) Pro směrnice asymptot zjevně musí platit rovnost f a f ( 0 ) lim. ( 60 ) ± Absolutní člen pak můžeme vyjádřit z rovnice tečny ( 59 ):

95 95 ( ) lim lim ( ) b f f f f f a. Definice: ± ± ( 6 ) Jestliže je funkce definována na nějakém intervalu ( a, b) ( b, c), zatímco bod b je singulárním bodem f, pak přímka b se nazývá asymptotou bez směrnice grafu funkce f právě tehdy, má-li funkce f v bodě b alespoň jednu jednostrannou nevlastní limitu. Oskulační kružnice a křivost funkce v bodě Každý další člen Taylorova rozvoje závisí vždy na vyšší derivaci funkce f, která přidává další informaci o průběhu vyšetřované funkce. Kromě prvních derivací, aproimujících funkci f přímkou a charakterizujících okamžitou rychlost změny závisle proměnné se změnou nezávisle proměnné, jsou fyzikálně velmi zajímavé i derivace druhé, charakterizující zrychlování či zpomalování těchto změn. Je to zcela nová informace o průběhu funkce, která fyzikálně velmi často odpovídá veličině zvané intenzita silového pole. Ta je definována druhým Newtonovým zákonem jako d s F a, ( 6 ) dt m a je tedy přímo úměrná veličině F zvané síla. Rovnoměrný pohyb tělesa hmoty m po kružnici poloměru r konstantní úhlovou rychlostí ω, popíšeme vektorově parametrickými rovnicemi ( ω ) ( ω ) s r sin t, s r cos t. ( 63 ) Odtud derivováním získáme rychlost: ( ω ) ( ω ) v rω cos t, v rω sin t, ( 64 )

96 96 Vektorový součet obou na sebe kolmých složek rychlosti dává sin v r cos t t r ω ω + ω ω. ( 65 ) Druhým derivováním získáme zrychlení: ( ω ) ( ω ) a rω t sin, a rω t cos. ( 66 ) Vektorový součet obou na sebe kolmých složek zrychlení dává cos a r t t r ω sin ω + ω ω. ( 67 ) Protože výsledná rychlost, jak vidno, není funkcí času, znamená to, že se s časem nemění. Jelikož ale výsledné zrychlení vyšlo přesto nenulové, nemůže vektor zrychlení obsahovat žádnou složku rovnoběžnou se směrem vektoru rychlosti (jinak by tato složka pochopitelně přispívala k časové změně rychlosti a rychlost by musela být nutně funkcí času, což ale není). I bez použití analytické geometrie tak docházíme k přirozenému závěru, že vektor celkového zrychlení je v tomto případě pohybu kolmý na vektor rychlosti a tedy na okamžitý směr pohybu hmotného bodu. Z druhého Newtonova zákona ( 6 ) pak můžeme ihned vyjádřit velikost odstředivé síly působící na těleso, jež je tímto vektorem generována: Fo mrω. ( 68 ) Ačkoliv je rovnoměrný pohyb po kružnici jen jedním vysoce speciálním případem z množiny všech možných pohybů hmotného bodu v rovině, dá se ukázat, že jakýkoliv myslitelný pohyb lze ve skutečnosti, za pomoci druhé derivace, vyjádřit jako součet nekonečně mnoha dílčích pohybů po infinitesimálních úsecích kružnic různého poloměru. Na tento poloměr je přitom kladena jediná podmínka aby aproimoval poloměr zakřivení grafu analyzované funkce na nějakém

97 97 okolí vybraného bodu 0, s přesností do. řádu Taylorova rozvoje, abychom dokázali spočítat příslušná zrychlení. To zní jako velmi dobrá motivace pro pokus o konstrukci těchto, tzv. oskulačních kružnic: Mějme tedy dánu funkci g ( ) alespoň derivace, přičemž g ( ) 0 y a bod 0, v němž má funkce g. Kružnice se středem v bodě [ a, b ] a poloměrem r má rovnici a + y b r. ( 69 ) Kružnice jako celek tvoří zobrazení v rovině, které zjevně nesplňuje kritéria pro to býti funkcí. Její horní, resp. dolní půlkružnice však již ano. Uvažujme např. horní půlkružnici f r a + b. ( 70 ) Je-li část této půlkružnice grafem funkce g, pak platí a + f b r. ( 7 ) Po zderivování obou stran této rovnice a vydělení dvěmi, dostaneme 0 a + f b f, ( 7 ) a po druhém derivování, máme ( ) + f + f b f 0. ( 73 ) Má-li být ( n ) ( n ) f g pro n 0,,, musí koeficienty a, b, r 0 0 splňovat soustavu rovnic

98 98 ( 0 ) ( 0 ) a + y b r a + y b y y + y b y ( 74 ) Z druhé rovnice získáme a y y b ( 75 ) a po dosazení do první rovnice, máme y 0 y0 b + y0 b y 0 y0 b + y0 b ( ) y b + y r 0 0 ( 76 ) odkud r y b + y. ( 77 ) 0 0 Ze třetí rovnice dostaneme y 0 ( ) + y b y 0 0. ( 78 ) Po dosazení poslední rovnice do ( 77 ) a ( 75 ) získáváme hledané parametry oskulační kružnice:

99 99 + r a 0 ( y ) 0 y 0 3 ( y ) 0 0 ( y ) 0, y y + b y0 + y., ( 79 ) Čím je menší poloměr oskulační kružnice, tím je graf funkce g v daném bodě zakřivenější. Zavádí se proto pojem křivost funkce g v bodě 0, jakožto převrácená hodnota poloměru r oskulační kružnice v tomto bodě: k + y 0 ( y ) 0 3. ( 80 ) Vrátíme-li se na závěr tohoto odstavce k naší fyzikální motivaci pojmu oskulační kružnice, pak hledané vyjádření normálové složky zrychlení hmotného bodu, pohybujícího se po dráze g ( ) rychlostí v, bude dáno vztahem v a ω r v k r + v g 0 ( g ( 0 )) 3, ( 8 ) a jemu odpovídající odstředivá síla tedy bude F o mv g 0 + ( g ( 0 )) 3. ( 8 )

100 00 Rotující vztažná soustava V minulém odstavci jsme si podrobněji rozebrali rovnoměrný pohyb po kružnici a jeho vztah k obecnějším křivočarým pohybům na pozadí inerciální vztažné soustavy. Nyní si povíme, jak se celá situace změní v případě, že celá vztažná soustava rotuje. Mějme dánu ortonormální bázi β e, e prostoru E, kterou otočíme o orientovaný úhel velikosti ωt do báze β e, e. Obr. 0 Máme za úkol najít rovnice které pro E popisují vztah mezi původními souřadnicemi β (, ) a novými souřadnicemi β (, ). Vektor e resp. e má v původní bázi směrník ωt resp. ωt + π/. Protože platí π cos ωt + sin ( ωt) ; π sin ωt + cos ( ωt), ( 83 ) můžeme psát

101 0 ( ωt) sin( ωt) ( ωt) ( ωt) e e cos + e e e sin + e cos. ( 84 ) Operátor zobrazení z báze β do báze β tedy tvoří matice ( ωt) sin( ωt) ( ωt) cos( ωt) ˆ cos R. ( 85 ) sin Tento operátor, jak snadno zjistíme, je ortonormální, takže platí ˆ ˆ T R R, ( 86 ) čili operátor přechodu od báze β k bázi β tvoří matice ( ωt) sin( ωt) ( ωt) cos( ωt) ˆ cos R. ( 87 ) sin Hledaná maticová rovnice T T ˆ R ( 88 ) β β po rozepsání do souřadnic pak dá soustavu rovnic popisujících vzájemný vztah mezi oběma uvažovanými bázemi: ( ω ) sin( ω ) ( ω ) ( ω ) cos t + t sin t + cos t. ( 89 ) Odtud po zderivování obou rovnic dostáváme d d v cos( ωt) ω sin( ωt) + sin( ωt) + ω cos( ωt) dt dt d d v sin( ωt) ω cos( ωt) + cos( ωt) ω sin ( ωt), dt dt

102 0 neboli ( 90 ) ( ω ) ( ω ) ω ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) ω ( ω ) ( ω ) v v cos t + v sin t + sin t + cos t v v cos t v sin t cos t + sin t a vzhledem k ( 89 ) vyjádříme rychlost ještě jednodušeji ( 9 ) sin v v cos ωt + v ωt + ω v v cos ωt v sin ωt ω. ( 9 ) Tuto soustavu opět zderivujeme a máme dv dv d a cos( ωt) v ω sin( ωt) + sin( ωt) + v ω cos( ωt) + ω dt dt dt dv dv d a sin( ωt) v ω cos( ωt) + cos( ωt) v ω sin ( ωt) ω, dt dt dt ( 93 ) čili ( ω ) ( ω ) ω ω ( ω ) ( ω ) ( ω ) ( ω ) ω ω ( ω ) ( ω ) a a cos t + a sin t + v + v sin t + v cos t a a sin t + a cos t v v cos t + v sin t. ( 94 ) Porovnáním s rovnicemi ( 9 ) odtud plyne ( ω ) sin( ω ) ω ω ( ω ) ( ω ) ( ω ) ω ω ( ω ) a a cos t + a t + v + v + a a sin t + a cos t v v, ( 95 ) tj. a a cos ωt + a sin ωt + ω v + ω a a sin ωt + a cos ωt ω v ω. ( 96 )

103 03 Konstanta ω zde má zřejmě význam úhlové rychlosti, takže r ω, ( 97 ) t kde vektor r je normálovým vektorem pohybu. Pak po dosazení do ( 96 ) máme F m ω v + m ω F m ω v + m ω, ( 98 ) kde m je hmotnost testovací částice. Rovnice ( 98 ) můžeme tedy krátce zapsat jako F F + F c o F F + F c o,, ( 99 ) kde F c je tzv. Coriolisova síla, F o je síla odstředivá, kterou jsme si odvodili v nezměněné podobě již v minulém odstavci. Gaspard-Gustave de Coriolis (79 843) V důsledku rotace Zeměkoule a z ní plynoucí eistence Coriolisovy síly dochází k řadě jevů:

104 04. Coriolisova síla se uplatní při střelbě na velké vzdálenosti, kdy kulka vypálená z hlavně pušky bude odkláněna od svého původního směru. Střelec s touto silou tedy musí počítat. Situaci na severním polokouli znázorňuje obr. a, situaci na jižní polokouli pak obr. b. Obr. a Obr. b. Na severní (resp. na jižní) polokouli dochází v důsledku eistence Coriolisovy síly k většímu opotřebovávání pravých (resp. levých) kolejnic jednosměrných tratí vedoucích přibližně ve směru poledníků, neboť vlak pohybující se danou rychlostí je na tuto stranu přitahován. 3. Na severní (resp. na jižní) polokouli dochází v důsledku Coriolisovy síly k většímu podemílání pravých (resp. levých) břehů řek tekoucích přibližně ve směru poledníků. Voda proudící určitou rychlostí je opět k tomuto břehu přitahována. 4. Mezi nejdůležitější projevy Coriolisovy síly patří dynamika oceánu a atmosféry. Pokud v atmosféře vznikne tlaková níže, vzduch proudí směrem k ní, ale Coriolisova síla jej odchyluje ve směru kolmém na rychlost. Systém se dostane do rovnováhy ve vířivém pohybu. Protiváhu ke Coriolisově síle, jež působí směrem od tlakové níže, tvoří síla způsobená rozdílem tlaku.

105 05 Místo aby vzduch proudil přímo do tlakové níže, ve velkém měřítku má atmosféra a oceán sklon pohybovat se kolmo ke směru poklesu tlaku. Jev je známý jako geostrofický vítr. Na planetě, která se neotáčí, by tekutiny proudily po nejkratší možné dráze tak, aby vyrovnaly rozdíly v tlaku. Za povšimnutí stojí, že geostrofická rovnováha se velmi liší od setrvačných pohybů, což vysvětluje proč jsou cyklóny ve středních zeměpisných šířkách o řád větší, než by způsobilo samotné setrvačné proudění. Na severní polokouli směřuje pohyb okolo tlakové níže proti směru hodinových ručiček. Na jižní polokouli směřuje po směru hodinových ručiček; dynamika otáčení je zde zrcadlovým odrazem severu. Cyklóny se nevytváří na rovníku, protože v tamnějších oblastech je Coriolisův efekt příliš malý. Coriolisův efekt ve velkém měřítku rovněž značně ovlivňuje oceánské a atmosférické proudy, což vede ke vzniku jevů, jako je například tryskové proudění (jet stream). Takové jevy jsou v geostrofické rovnováze, což znamená, že Coriolisova síla a síla působící díky gradientu tlaku jsou v rovnováze. Coriolisův efekt také zodpovídá za šíření mnoha druhů vln v oceánu i atmosféře. Obr. : Zrcadlově převrácený směr otáčení cyklón na severní a jižní polokouli. Vlevo hurikán u pobřeží Floridy, vpravo hurikán u pobřeží Brazílie.

106 06 Věta o konvenosti a konkávnosti funkce v bodě Nechť f je spojitá, alespoň dvakrát diferencovatelná funkce. Eistuje-li bod 0 tak, že Uδ 0 : f > 0, ( 300 ) potom je funkce f na tomto okolí ryze konvení. Eistuje-li bod 0 tak, že naopak Uδ 0 : f < 0, ( 30 ) potom je funkce f na tomto okolí ryze konkávní. Důkaz: Nechť je např. U ( ) f ( ) δ 0 : > 0. Potom : : + U f < f U f < f. δ 0 0 δ 0 0 ( 30 ) Na nějakém redukovaném okolí bodu 0 tedy funkce f roste. To ale znamená, že ( 0 ) ( ) ( 0 ); 0 : f f f f + δ U < < 0 ( 303 ) tj. na nějakém pravém redukovaném okolí bodu 0 je funkce f ryze konvení. Obdobně bychom dokázali, že rovněž na nějakém levém redukovaném okolí bodu 0 je f ryze konvení. Nechť U 0 je f konvení. Potom δ f ( ) f ( 0 ) f ( ) f ( ) ( 0 );,; : + δ i U i < < 0,

107 07 a tedy f f f f U : lim < lim neboli + 0 δ 0 0 0, ( 304 ) ( 305 ) : U f < f. ( 306 ) δ Funkce f tedy na nějakém pravém redukovaném okolí bodu 0 všude roste. Podobně se dokáže, že rovněž i na nějakém levém redukovaném okolí bodu 0 funkce f roste. To ale znamená, že vskutku Uδ 0 : f > 0. ( 307 ) Pro případ konkávního průběhu funkce f se provede důkaz naprosto analogicky. Věta o etrémech funkce Nechť funkce f je k-krát spojitě diferencovatelná, k. Nechť dále ( k ) ( k ) f f f 0, f 0. ( 308 ) Jeli k sudé, potom má funkce f v bodě 0 lokální etrém. Je-li navíc ( k ) f <, ( 309 ) 0 0 jedná se o lokální minimum, je-li naopak ( k ) f >, ( 30 ) 0 0 jedná se o lokální maimum funkce f v bodě 0.

108 08 Pokud je ale k liché číslo, nemá funkce f v bodě 0 žádný lokální etrém. Důkaz: Z Taylorovy věty plyne, že ( k ) ( ξ ) f k f ( ) f ( 0 ) 0, ( 3 ) k! kde ξ U 0. δ Nechť tedy např. ( k ) f >. Vzhledem ke spojitosti 0 0 ( k ) f v bodě 0 ( k ) 0 : ( δ 0 : 0) U U f >, ( 3 ) δ viz první Bolzanovu větu. Protože ξ U 0 δ, platí rovněž ( k f ) ( ξ ) > 0. ( 33 ) Je-li k sudé číslo, dostáváme: ( k ) ( ξ ) f k Uδ ( 0 ) : f ( ) f ( 0 ) 0 > 0 k! U : f > f. δ 0 0 ( 34 ) To ale znamená, že funkce f má v bodě 0 lokální minimum. Je-li ale k liché číslo, bude

109 09 ( k ) ( ξ ) f k Uδ ( 0 ) : f ( ) f ( 0 ) 0 < 0 k! U : f < f, ( k ) ( ξ ) 0 0 f k + Uδ ( 0 ) : f ( ) f ( 0 ) 0 > 0 k! δ + U : f > f. δ 0 0 ( 35 ) Pro lichá k tedy funkce f na nějakém levém redukovaném okolí bodu 0 roste a taktéž činí i na nějakém pravém okolí bodu 0. To však znamená, že v tomto bodě nemůže mít funkce f žádný lokální etrém. ( k V případě, že f ) ( 0 ) < 0 bychom zcela obdobným způsobem ověřili, že pro sudá k má funkce f v bodě 0 lokální maimum, kdežto pro lichá k nemá funkce f v 0 žádný lokální etrém. Věta o infleních bodech funkce Nechť je funkce f k-krát spojitě diferencovatelná, k 3. Nechť dále ( k ) ( k ) f f f 0, f 0. ( 36 ) Jeli k liché, potom má funkce f v bodě 0 inflení bod. Pokud je ale k sudé číslo, nemá funkce f v bodě 0 inflení bod. Důkaz: Definujme funkci g f, ( 37 ) která je dle předpokladu věty (k )-krát spojitě diferencovatelná, tedy

110 ( ) ( ) k 3 k k f 0 g 0 g 0 g 0 0, g 0 f 0 0. ( 38 ) Potom ( k g ) ( ξ ) ( ) 0 k! ( k ) ( ξ ) ( k )! g k, ξ U : f g g g δ Nechť tedy např ( k ) 0 0 k f >. Vzhledem ke spojitosti ( k ( ) 0 : δ 0 : 0). ( k ) ( 39 ) f v bodě 0 U U f >, ( 30 ) δ viz první Bolzanovu větu. Protože ξ Uδ 0, platí rovněž ( k f ) ( ξ ) > 0. ( 3 ) Je-li k sudé číslo, pak ( k f ) ( ξ ) k k! U : f > 0. ( 3 ) δ 0 0 Funkce f je tedy všude na Uδ ( 0 ) ryze konvení a proto zde nemůže mít inflení bod. 0 Zároveň to ale dle předešlé věty znamená, že funkce f má v bodě 0 lokální minimum. Je-li ale k liché číslo, bude

111 ( k f ) ( ξ ) k! 0 0 ( k f ) ( ξ ) k! 0 0 k U : f < 0, δ k + U : f > 0. δ ( 33 ) Pro lichá k je tedy funkce f na nějakém levém redukovaném okolí bodu 0 ryze konkávní, zatímco na nějakém pravém okolí bodu 0 je ryze konvení. To však znamená, že v tomto bodě má funkce f inflení bod. ( k V případě, že f ) ( 0 ) < 0 bychom zcela obdobným způsobem ověřili, že pro sudá k nemá funkce f v bodě 0 inflení bod, kdežto pro lichá k tam inflení bod má. Analytické vyšetřování průběhu funkcí jedné reálné proměnné Příklad : Vyšetřeme průběh funkce f ( ) 3 4 ( 34 ) Řešení: V první řadě najdeme její singulární body: S ( f ) ± ( 35 ) V dalším kroku stanovíme paritu funkce 3 n n N : f ( ) f ( ) ( ) f ( ) ( 36 ) 4 Vyšetřovaná funkce má tedy lichou paritu. Nyní spočteme první a druhou derivaci f :

112 ( ) f ( ) f ( ) ( 4) ( + ) 3 ( 4) 8, ( 37 ). ( 38 ) Jádro první derivace je určeno rovnicí 0 ( 39 ) a je tedy tvořeno body ( ) { } ker f ± 3,0. ( 330 ) Jádro druhé derivace určuje rovnice ( 33 ) a tvoří jej tedy jediný prvek ( ) ker f 0. ( 33 ) Odtud je ihned vidět, že vyšetřovaná funkce f má etrémy v bodech, ± 3. ( 333 ) V bodě 3 má f své lokální maimum, v bodě + 3 má lokální minimum:

113 3 ( f ) min 3, 7 ( f ) ma 3, 7 ( 334 ) Bod 3 0 je horkým kandidátem na inflení bod. Abychom tuto hypotézu ověřili, musíme stanovit ještě třetí derivaci funkce f : ( ) f 4 ( ) ( 4) ( 335 ) Snadno se lze přesvědčit, že 4 ( ) ( 4) R : f 0, ( 336 ) neboli ( ) ker f. ( 337 ) V bodě 3 0 je tedy vskutku jediný inflení bod funkce f : I ( f ) ( 0,0). ( 338 ) Zbývá stanovit asymptoty funkce f. Začneme výpočtem asymptot se směrnicí: a f lim lim lim ± ± 4 ± ( 339 ) b lim ( f ( ) ) lim lim lim 0 ± ± 4 ± 4 ± ( 340 ) Funkce f má tedy jedinou asymptotu se směrnicí a tou je diagonála

114 4 y a + b. ( 34 ) Nyní určíme asymptoty bez směrnice. Jedinými kandidáty na možnou polohu tohoto druhu asymptot jsou singulární body. Spočteme v nich proto jednostranné limity: 3 lim, lim +, 4 3 lim, lim +. 4 ( 34 ) Funkce má tedy v obou svých singulárních bodech jednostranné nevlastní limity. V obou singulárních bodech tudíž eistují asymptoty bez směrnice. Pro určení intervalů monotonie resp. konvenosti a konkávnosti průběhu stačí vyšetřit znaménko první, resp. druhé derivace na vhodném jednostranném δ-okolí infleního bodu. Vhodnými jednostrannými δ-okolími jsou v našem případě U δ ( 0) (,0) + U δ ( 0) ( 0,), kde je f spojitá., resp. Dosadíme-li do první, resp. druhé derivace libovolný bod např. levého redukovaného okolí infleního bodu (např. ) dostáváme f ( ) < 0 ( 343 ) 9 04 f ( ) > 0. ( 344 ) 7

115 V intervalu (,0) je tedy funkce f ryze konvení a klesající, což současně znamená, že v intervalu ( 0, ) je f ryze konkávní a rostoucí. V intervalu (, ) neeistuje žádný inflení ani singulární bod, zato zde eistuje lokální maimum, takže f má zde všude ryze konkávní průběh. Eistence maima také znamená, že na podintervalu (, 3) je funkce rostoucí a na podintervalu ( 3, ) naopak klesající. V intervalu (, ) jsou splněny obdobné podmínky, ale f zde má naopak lokální minimum. Proto má v tomto intervalu ryze konvení průběh. Eistence minima v tomto intervalu dále znamená, že na podintervalu (, 3 ) funkce f klesá, zatímco na podintervalu ( 3, ) všude roste. Všechny tyto poznatky nám nyní již dovolují poměrně věrně zrekonstruovat graf vyšetřované funkce f : Obr. 3 5

116 6 Slovní úlohy na výpočet lokálních etrémů funkce Příklad - Maimalizace obsahu Mějme k dispozici 00 metrů drátěného pletiva, jímž máme oplotit pozemek tvaru pravoúhlého čtyřúhelníku tak, aby měl maimální obsah. Jaký bude poměr stran tohoto čtyřúhelníku? Řešení: a + b 00 b 50 a ( 345 ) S ab a a 50, ( 346 ) ds a 50 0 da + ( 347 ) a 5 b. ( 348 ) Největší plošný obsah tedy získáme, utvoříme-li čtverec o straně 5 m. Modifikujme nyní tuto úlohu předpokladem, že jednu stranu našeho pozemku můžeme vymezit stěnou již stojící budovy. Řešení: a + b 00 b 00 a, ( 349 ) S ab a a 00, ( 350 ) ds 4a 00 0 da + ( 35 ) a 5, b 50. ( 35 )

117 7 V tomto případě je tedy délka ohrady při maimálním obsahu dvojnásobkem její šířky. Příklad - Maimalizace objemu Mějme plech obdélníkového tvaru, v jehož rozích máme vystřihnout čtverce o straně, tak, abychom po ohnutí plechu podél červených čar obdrželi krabici s maimálním objemem Obr. 4 b Řešení: a 3 ( )( ) 4 V a b ab a b +, ( 353 ) dv 4( a b) ab 0 d + +, ( 354 ) 4 a + b ± 6 a + b 48ab a + b ± a ab + b,. 4 6 ( 355 ) d V 4 4 ( a b) 0 d + <, ( 356 ) ( a + b) <. ( 357 ) 6 Této podmínce zřejmě vyhovuje pouze řešení

118 8 a + b a ab + b. ( 358 ) 6 Příklad 3 - Minimalizace povrchu Jaké rozměry musí mít litrová válcová konzerva, má-li spotřeba plechu na její výrobu včetně odpadu být co nejmenší? Předpokládejme, že polotovarem je plech tvaru obdélníku. Řešení: Plech spotřebovaný na podstavu má tvar čtverce opsaného podstavě. Součet obsahů obou podstav včetně odpadu je tedy S 8r dm. Obsah pláště válce je S π rv dm. Spotřebu plechu tedy vyjadřuje funkce S r rv r v 8 + π,, 0,, ( 359 ) což je funkce dvou proměnných r, v. Protože však V π r v dm 3, ( 360 ) plyne odtud v. ( 36 ) π r Po dosazení do vztahu ( 359 ) dostáváme π r S 8r + 8r + r ( 36 ) π r a po zderivování

119 9 ds dr 6r r ( 363 ) ds položíme 0 a máme rovnici dr 6r 0, ( 364 ) r která má jediný kladný kořen 4 v dm, odkud π r dm, čemuž odpovídá výška S min 6 dm. ( 365 ) Příklad 4 - Optimalizace osvětlení plochy V jaké výšce nad osvětlovanou rovinou je třeba umístit bodový zdroj světla, aby osvětlení E bylo maimální v bodě A ležícím ve vzdálenosti a od paty kolmice vedené od zdroje k osvětlované rovině Obr. 5 r ϕ a A

120 0 Řešení: Pro osvětlení platí známý vzorec E sinϕ I, ( 366 ) r kde r a sinϕ +. ( 367 ) Odtud máme E I + a r a a a ( + ) + ( + ) 3 Osvětlení je tedy funkcí jedné proměnné ( 0, ) 5 de I a a d ( ). ( 368 ), jejíž derivace je +. ( 369 ) Její nulovost vede (vzhledem k tomu, že a > 0 ) k rovnici a 0, ( 370 ) která má jediný kladný kořen a. ( 37 ) Z logiky úlohy je zřejmé, že jediným nenulovým etrémem funkce E ( ) je právě maimum osvětlení v bodě A. Dosazením nalezené výšky bodového světelného zdroje nad osvětlovanou rovinou do

121 vztahu ( 366 ) pro osvětlení, nalézáme hodnotu maimálního dosažitelného osvětlení v bodě A: 3 3 a a a 3a 4I ma + E I a I 08a. ( 37 ) Příklad 5 - Odvození Snellova zákona z Fermatova variačního principu Budiž bod A stanovištěm plavčíka a bod B místem na moři, kde tonoucí zoufale volá o pomoc. Přímka procházející body P, Q budiž rozhraním mezi mořem a souší. Označme v rychlost, kterou se plavčík, spěchající na pomoc tonoucímu, pohybuje po souši a v rychlost, jíž se pohybuje v moři. Úkol zní nalézt takovou trajektorii z bodu A do bodu B, po níž se plavčík dostane k tonoucímu za co nejkratší čas. Obr. 6 A d v s a α P Q β s b v y B

122 Řešení: Z Pythagorovy věty pro délku trajektorie dostáváme s a + + b + y ( 373 ) což je funkce dvou proměnných, y, kterou dále upravíme na tvar s a b d + + +, ( 374 ) čímž jsme eliminovali proměnnou y. Pro čas t potom platí t s b + d i + s a +. ( 375 ) v v v v i i Nyní vypočteme derivaci času podle : b ( d ) dt d a d d v v d d d d ( a + ) u + ( b + d d + ) w v d d v d d d + ( d ) v u v w v u v w d sinα sin β +. v a + v b + d v v ( 376 ) Pro minimální čas tak musí platit dt 0 d, ( 377 )

123 3 (t ma ) takže dostáváme konečný výsledek pro hledanou dráhu sinα sin v β v. ( 378 ) Willebrord Snellius (580 66) Christiaan Huygens (69 695) To je ovšem známý Snellův zákon, který lze odvodit rovněž z Huygensova principu vlnové mechaniky a tedy např. i optiky (viz obr. 7). Obr. 7

124 4 Fotony se tedy vždy šíří takovou cestou, která jim zabere minimální čas, což je věta známá jako Fermatův princip. Pierre de Fermat (60 663) Obr. 8

125 5 Příklad 6 - Výpočet rezonanční frekvence tlumeného harmonického oscilátoru Harmonickým oscilátorem rozumíme fyzikální systém, jehož potenciální energie je kvadratickou funkcí souřadnic. V nejjednodušším jednorozměrném případě si jej lze představit jako pohyb bodu pod vlivem síly, která je přímo úměrná vzdálenosti bodu od rovnovážné polohy a má opačný směr, tedy d Fe m k 0. ( 379 ) dt Jedná se o příklad tzv. diferenciální rovnice druhého řádu. O některých typech diferenciálních rovnic budeme hovořit ve druhé části knihy, věnované integrálnímu počtu. V tomto případě se však bez integrálů obejdeme. Snadno totiž uhodneme, že řešením nemůže být nic jiného, než harmonická funkce + t +, ( 380 ) sin 0 ma ( ω ϕ ) neboť právě harmonické funkce mají tu vlastnost, že jejich druhá derivace je přímo úměrná jim samým (srov. ( 53 ), ( 54 )). Parametry ve výrazu ( 380 ) jsou určeny počátečními podmínkami, okrajovými podmínkami a volbou soustavy souřadné. Parametr 0 určuje tzv. rovnovážnou polohu oscilátoru (polohu, v níž se oscilátor nachází, pokud na něj nepůsobí žádné vnější síly) vzhledem ke zvolené souřadné soustavě. Tu proto zpravidla volíme tak, aby se bod 0 nacházel v jejím počátku, čímž nám parametr 0 z rovnic vypadne. Parametr ma je tzv. amplituda oscilátoru, tzn, jeho maimální výchylka z rovnovážné polohy. Parametr ϕ představuje fázi kmitů, takže závisí na volbě počátku časové osy (i tento parametr lze tudíž anulovat vhodnou volbou souřadnic) a konečně parametr ω je nám již dobře známá úhlová frekvence kmitání. Zpětným dosazením ( 380 ) do rovnice ( 379 ) zjistíme, že

126 6 k ω. ( 38 ) m Reálné fyzikální systémy jsou ovšem komplikovanější a kromě elastické složky F e obsahují i disperzní složku F d, která je lineární funkcí rychlosti pohybu oscilátoru a způsobuje postupný útlum amplitudy oscilací. Dodáváme-li navíc takovémuto systému energii působením vnější harmonické síly F h, bude systém nakonec popsán rovnicí F Fe + Fd + Fh ( 38 ) neboli v řeči derivací d d m k h + F sin a ( Ω t). ( 383 ) dt dt Zavedeme-li ještě tzv. koeficient útlumu δ předpisem h δ, ( 384 ) m můžeme diferenciální rovnici ( 383 ) přepsat ve tvaru d d F δ ω a sin ( t) + + Ω. ( 385 ) dt dt m Dosazením známého partikulárního řešení ( 380 ) nabývá tato rovnice tvar ( ϕ ) δ ( ϕ ) ω ( ϕ ) Ω sin Ω t + + Ωcos Ω t + + sin Ω t + ma ma ma Fa sin ( Ωt), m ( 386 )

127 7 který lze dále upravit do finální podoby s pomocí goniometrických identit ( Ω t + ) ( Ω t) + ( Ωt) ( Ω t + ) ( Ωt) ( Ωt) sin ϕ sin cosϕ cos sin ϕ, cos ϕ cos cosϕ sin sin ϕ, ( 387 ) odkud ( ω ) cosϕ δ sinϕ sin( t) ma Ω Ω Ω + Fa + ma ( ω ) sinϕ δ cosϕ Ω Ω cos( Ω t) sin ( Ωt). m ( 388 ) Rovnice je splněna právě tehdy, platí-li současně ma ma F a ω cosϕ δ sin ϕ Ω Ω, m ω sinϕ δ cosϕ Ω Ω 0. ( 389 ) Umocněním a následným sečtením obou rovnic dostáváme F ma a Ω + 4 Ω m ω δ Pro nalezení etrému amplitudy položíme d dω ( ω Ω δ ) ma 3. ( 390 ) F a Ω 0. ( 39 ) m ( ω Ω ) + 4δ ω Odtud plynou frekvence budících kmitů, v nichž má amplituda Ω svůj etrém: ma

128 8 Ω 0 ω δ ( 39 ) První z etrémů je zjevně minimum, takže druhý etrém představuje hledanou rezonanční frekvenci (frekvenci budících kmitů, při níž nabývá amplituda tlumeného harmonického oscilátoru svého maima). Metoda nejmenších čtverců V úvodu do lineární algebry jsme se seznámili s metodami proložení polynomu body, kterými uvedený polynom skutečně prochází. V této části budeme sledovat složitější problém nalezení tzv. regresní funkce. To jest takové funkce, která uvedenou množinou bodů obecně procházet nemusí, ale jejíž kvadrát odchylky od zadaných bodů je nejmenší možný. Kvadrát odchylky požíváme z toho důvodu, že minimalizuje míru významnosti velmi malých odchylek, zatímco větší odchylky činí ještě významnějšími. Z toho důvodu hovoříme o metodě nejmenších čtverců. Metodu zde nebudeme formalizovat, raději si rovnou předvedeme její princip na konkrétním příkladu: Příklad: Metodou nejmenších čtverců proložte body [, 3 ], [ 0, ], [,8] funkci f ( ) a + b. Najděte reziduální vektor a ukažte, na které vektory je kolmý. Řešení: Máme tři rovnice o dvou neznámých, které mají v maticovém zápisu tvar

129 9 A ˆ b, kde 3 0 a 0 b. 8 Jedná se tedy o přeurčený systém, ktrý obecně nemá přesné řešení. Řešením ve smyslu nejmenších čtverců je nalezení takového vektoru *, pro který bude míra nesplnění rovnic, čili tzv. residuum ˆ R A b minimální. Ve skutečnosti ale požadujeme minimalizaci dokonce kvadrátu residua: T R R R min, neboli, po dosazení, T A ˆ b A ˆ b min. To je však kvadratická forma snadno upravitelná na tvar ˆ ˆ ˆ T T T T T A A A b + b b min. Tento funkcionál snadno zderivujeme podle vektoru *, a derivaci položíme rovnu nule: ˆ T ˆ ˆ T A A A b 0, neboli ˆ T ˆ ˆ T A A A b.

130 30 Důležité pozorování: Povšimněme si, že stačilo vynásobit původní soustavu zleva transponovanou maticí Â. Nalézáme tak řešení ve tvaru ˆ + A b, kde T - Aˆ Aˆ Aˆ A ˆ + T je tzv. pseudoinverzní matice k matici Â. V našem přépadě je tedy ˆ A, ,.75 a hledanými koeficienty jsou a 4.8, b.75. Residuum pak vyjde 0.30 R 0.75, 0.30 a pro jeho kvadrát dostáváme hodnotu

131 3 R Sloupcové vektory matice  generují rovinu, ve které jsme se pomocí parametrů a a b pohybovali tak, abychom se dostali k ideálnímu řešení (ležícímu ovšem mimo tuto rovinu soustava je přeurčená a nemá přesné řešení) co nejblíže. Jakmile se ke správnému řešení s naším vektorem * maimálně přiblížíme, bude toto řešení ležet na kolmici k naší rovině, která prochází bodem *. Residuum je proto kolmé na oba sloupcové vektory matice Â. Leibnizův integrál Primitivní funkce Gottfried Wilhelm von Leibniz (646 76) Nechť f je funkce, jejíž definiční obor obsahuje interval ( a, b ). Funkci F nazveme primitivní funkcí k funkci f na intervalu ( a, b ), platí-li ( a, b) : df f ( ), ( 393 ) d což značíme

132 3 f ( ) d F ( ), ( 394 ) kterýžto výraz nazýváme Leibnizův integrál. Jak vidno z definice, je Leibnizův integrál inverzním operátorem k derivaci. Jinými slovy, Leibnizův integrál zobrazuje funkci f na funkci f. Toto zobrazení je ve skutečnosti jednoznačné až na konstantu, jak si ihned ukážeme Leibnizova věta Nechť F, G jsou dvě primitivní funkce k funkci f na intervalu ( a, b ). Potom se funkce F a G liší o konstantu, neboli (, ) (, ) : a b c a b F G + c. ( 395 ) Důkaz: Položme H ( ) F ( ) G( ). ( 396 ) Potom a, b : H F G f f 0. ( 397 ) To však podle Lagrangeovy věty znamená, že, a, b, <, c, : H H H c 0. ( 398 ) Proto i (, ) : a b H H c. ( 399 ) Odtud již plyne dokazovaná rovnost

133 33 F ( ) G( ) c. ( 400 ) Příklad : Vypočtěme Leibnizův integrál funkce f ( ) sin cos. ( 40 ) Řešení: Při výpočtu můžeme postupovat dvěma různými způsoby: ) ( ) sin sin cos sin cos sin( ) sin( )( ) 4 4 cos( ), 4 ( 40 ) odkud tedy ( ) cos sin cos d ( 403 ) 4 ) sin sin cos sin ( sin ) ( sin ), ( 404 ) odkud sin sin cos d. ( 405 )

134 34 Odečteme-li od sebe obě nalezené primitivní funkce, dostáváme hledanou konstantu ( ) sin cos sin cos sin sin sin c sin sin Metody výpočtu Leibnizova integrálu Metoda přímého invertování derivace ( 406 ) U jednoduchých funkcí lze využít jednoduchosti jejich derivací a vlastnosti ( 393 ) Leibnizova integrálu: Příklady: a a a d a + c, ( 407 ) +, ( 408 ) e e e d e c d ln + c, ( 409 ) ( ln ) sin cos cos d sin + c, ( 40 ) cos sin sin d cos + c, ( 4 )

135 35 a ln a a a a a d + c, ( 4 ) ln a ln a ln a n+ n+ n + n n n d + c, ( 43 ) n + n + n + Metoda per partes Nechť J je interval a f, g : J R jsou spojitě diferencovatelné funkce na tomto intervalu. Potom eistuje primitivní funkce H : J R fg J R a funkce ( fg H ) : J R je k funkci : primitivní k funkci ( f g ) : J R. Důkaz: Z předpokladu věty plyne, že f : J R, g : J R, f : J R, g : J R jsou spojité funkce. Potom též ( fg ) : J R je spojitá funkce (viz věta o spojitosti součinu funkcí). Proto k ní eistuje primitivní funkce H : J R, tzn., jejíž derivace H fg. ( 44 ) Z věty o derivaci součinu fg f g + fg ( 45 ) pak integrací obou jejích stran okamžitě plyne ( fg ) fg f g + fg, ( 46 ) neboli

136 36 f g fg fg. ( 47 ) Příklady použití metody per partes Jak je vidno z důkazu, metoda per partes invertuje derivace součinu funkcí. Používá se tedy pro integraci funkcí ve tvaru součinu jednodušších funkcí, které jsme schopni integrovat např. metodou přímého invertování derivace (viz výše). Uveďme si několik jednoduchých příkladů per partes integrování: ln d ln d ln ln f, f, g ln, g 3 f f g g ln ln ln d d ,, ln, 3 ( 3ln ) ( ) 0 ln0 0 d 0 d ln0 ln0 ln0 ln 0 ln 0 0 f 0, f, g, g ln0 arctan d arctan d arctan d + + ( + ) ln arctan f, f, g arctan, g +

137 37 Některé funkce vyžadují, pro své úplné zintegrování, opakované použití metody: ln ln ln ln ln f, f, g ln, g ln ln ln d d d d d 4 f, f, g ln, g ln ln ln d + ln ln + 4 ln e cos d e sin e sin d f cos, f sin, g e, g e e sin d e cos + e cos d f sin, f cos, g e, g e e cos d e sin + e cos 4e cos d 5 cos sin + cos e d e e e e cos d ( sin + cos ) 5

138 38 sin( ) d sin cos d sin sin d sin cos d + f cos, f sin, g sin, g sin cos 3 d d,, sin, cos sin sin cos f f g g 3 3 cos d sin 3 sin d f cos, f sin, g, g 3 3 sin d cos + cos d sin, cos,, f f g g cos d sin sin d sin + cos { } 3 sin d sin sin 3 sin cos cos 3 sin + sin + sin + 6 cos sin cos 3 sin 6 cos sin cos d + 3 sin 6 + 6cos

139 39 První věta o substituci Nechť I, J jsou dva intervaly. Nechť funkce ( J I ) spojitá. ϕ je diferencovatelná a funkce f Nechť F ( I R ) je primitivní k funkci Potom funkce ( J ) f I R. I R je Fϕ R ( 48 ) je primitivní k funkci ( f ϕ ) ϕ ( J ) R. ( 49 ) Důkaz: Podle předpokladu věty platí F f. ( 40 ) Potom ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, ( 4 ) ( F ) ( F ) ( f ) což po zintegrování obou stran dává konečný výsledek fϕ ϕ Fϕ f ϕ. ( 4 ) Příklady použití substituční metody Jak plyne z důkazu věty, substituční metoda integrování invertuje derivace komposice funkcí. Je tedy vhodná pro integraci funkcí ve tvaru komposice jednodušších funkcí. Uveďme si opět několik jednoduchých příkladů integrování touto metodou:

140 40 e d dy ln 4 + y ln 4 + e 4 + e 4 + y ( 43 ) dy y e, e, dy e d d Zde jsme využili skutečnost, že ( ln f ( ) ) ( ln u) f ( ) f ( ) neboli ( ) f, ( 44 ) u f f d ln f ( ). ( 45 ) f ( ) Další příklady: ln 4 4 ln d ln d d 5 5 dy y ln,, d dt d t e t dt e 3t dt e d e e y y t dy d 3 y, 3, dy 3 d

141 4 d d dy ln y ln ln ln ln y dy y ln,, dy d d e e y y d d e d e dy e e e dy y,, dy d d d + 5 d y dy y dy y + 5,, dy d d 9 ( ) ( ) ( ) ( ) sin cos cos d d d dy y,, dy d d sin cos( ) cos y dy sin y sin sin sin d 4 4 Zcela analogicky ( ) ( ) + cos + sin cos d d 4

142 4 Podobně, jako v případě per partes integrace, také při substitučním integrování je možno použít metodu opakovaně, popř. obě dvě metody vzájemně kombinovat: ( + ) ( ) ( + ) ln arctan ln arctan ln y d d dy arctan arctan + y dy y arctan,, dy d d + + ( ) ln arctan ln y z ln y ln arctan d d z dz y arctan dz z ln y,, dy d d 3 e 3 y e d d y e dy dy y,, dy d d 3 y y 3 y y e dy e y 3 y e dy y y f e, f e, g y, g 3y 3 y y y y e dy e y ye dy y y,,, f e f e g y g y ( ) ye dy ye e dy y e y y y y y y f e, f e, g y, g y 3 e d e y 3y 6( y ) e 3 6 3

143 43 ( ) y y ln d ln d y e dy e y y dy y ln,, dy d d ln ln V posledním příkladu jsme využili výsledků integrace z předposledního příkladu. Druhá věta o substituci Nechť I, J jsou intervaly. Nechť f ( I R ) je spojitá funkce a ( J I ) diferencovatelná bijekce. Nechť dále G( J R ) je primitivní funkce k funkci ( f ϕ ) ϕ ( J ) Potom ϕ je spojitě R. ( 46 ) ϕ G R ( 47 ) ( J ) je primitivní k funkci f ( I R ). Důkaz: Ze spojitosti funkce f ( I R ) vyplývá eistence její primitivní funkce : F I R F f ( 48 ) Proto je funkce ( fϕ )( J ) R diferencovatelná a

144 44 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ. ( 49 ) ( F ) ( F ) ( f ) Funkce ( f ϕ )( J ) R ( 430 ) je tak primitivní k funkci ( f ϕ ) ϕ ( J ) R. ( 43 ) Odtud vyplývá, že ( ϕ ) c R : J : G F + c. ( 43 ) Potom ( ) ( )( ) ( ϕϕ ) I : G ϕ G ϕ F ϕ ϕ + c F + c F + c, ( 433 ) Odkud ( ϕ ) ( ) I : G F + c F f. ( 434 ) To ale znamená, že vskutku Gϕ ( J ) f ( I R ), neboli f ( f ϕ ) ϕ ϕ R je primitivní k funkci. ( 435 )

145 45 Příklad: Vypočti na intervalu (, ) následující integrál d ( 436 ) + Řešení: Zavedeme substituci y + ϕ, ( 437 ) odkud invertováním plyne y ϕ y, d y ϕ ( y), dy d ydy. ( 438 ) Máme tedy y d y dy ( y ) dy y dy dy + y y y + ( ). 3 3 ( 439 )

146 46 Speciální substituce Volba správné substituce může být u komplikovanějších integrálů poměrně obtížnou záležitostí. V této sekci si proto uvedeme substituce užívané standardně pro integraci několika nejběžněji se vyskytujících typů funkcí: a) Integrály typu a + + b R d ( 440 ) c d Řešíme substitucí ( ad ) bc y y,, d dy. a + b dy b c + d a cy a cy ( 44 ) b) Integrály typu R( sin,cos ) d ( 44 ) řešíme substitucí y tan, ( 443 ) při které platí y y sin, cos, d dy. ( 444 ) + y + y + y c) Integrály typu

147 47 m n sin cos d ( 445 ) řešíme v závislosti na paritě eponentů m a n. ) jsou-li m, n 0 obě sudá, použijeme buď goniometrických vzorců ( ) ( ) cos + cos sin, cos, ( 446 ) nebo substituce y tan, dy tan d +. ( 447 ) ) je-li n liché, nejprve upravíme integrand na tvar n m n m sin cos d sin sin cos d, ( 448 ) a poté řešíme substitucí y sin, dy cos d. ( 449 ) 3) Je-li m liché, upravíme integrand na tvar m m n n sin cos d cos cos sin d, ( 450 ) načež užijeme substituce y cos, dy sin d. ( 45 )

148 48 d) Eulerovy integrály (, + + ) R a b c d ( 45 ) řešíme různými substitucemi v závislosti na znaménku koeficientů a, b, c: ) Pro a > 0 užijeme substituci y ± a a + b + c, ( 453 ) ) Pro c > 0 užijeme substituci c ± y a + b + c, ( 454 ) 3) Pro a < 0, b < 0 užijeme substituci y 0 a b c + +, ( 455 ) kde 0 je libovolný kořen polynomu a + b + c. Příklady integrace pomocí speciálních substitucí d dy dy ln y ln tan sin y + y y + y d y tan ϕ, arctan y ϕ y, ϕ y dy + y y d dy, sin, + y + y

149 sin cos 4 sin cos d d sin cos sin d sin y y y ( y ) y d y y + y dy cos cos cos dy y cos ϕ ( ), sin ϕ ( ), dy sin d d y + y + y y y d dy dy ( y + ) + y + ( y + ) ln + ln ( y ) ( ) y,,, y + y y y + ϕ y d y + y + y y + y + ϕ ( y), + + y dy y + y +

150 50 + d y y dy 3y 3y 3 5 y + + y y ( ) + arctan arctan dt y + y y y ϕ ( ), ϕ ( y), + 3 y d y y ϕ ( y), d dy. dy y y ( ) ( y y ) 4 5 d dy dy ( y y 5) y + y + 5 y y 4 5 arctan arctan y y + y 4 5, , d 4( y y 5) ( y y ) 4y y + y y + 5 dy y ,,, 4y 5 y y + 5 y

151 5 Integrování ryze racionálních lomených funkcí Věta o racionálních kořenech polynomické funkce Má-li algebraická rovnice n n P a + a + + a + a ( 456 ) n n 0 0 všechny koeficienty celočíslené, pak an a, p q p + p q ξ ker ( P), ξ Q, p N, q N, N, N : q q p P( m) N p mq ( 457 ) Důkaz: 0 N N a) Dosadíme do rovnice ( 456 ) za p : q n n p p p n n n 0 an + a + + a + a 0 q q q q a p + a p q + + a pq + a q 0. n n n n n n 0 n ( 458 ) Odtud je n p a n a n p + a n p q + + a pq + a q q n n n n ( 0 ) n q a 0 a p + a p q + + a pq + a q p n n n n ( n n )., ( 459 ) Protože na pravé straně obou těchto rovnic jsou celá čísla, musí i levé strany reprezentovat celá čísla. Protože p, q jsou dle předpokladu

152 5 nesoudělná čísla, musí číslo q dělit koeficient a n, kdežto číslo p musí dělit koeficient a 0. b) Rozložme polynom P() v součet mocnin ( m celé číslo: n n n n 0 ) k, kde m je libovolné b m + b m + + b m + b, ( 460 ) kde b i jsou vhodná celá čísla, přičemž b P( m) opět p, postupně dostaneme q n n n 0. Dosadíme-li sem p p p bn m + bn m + + b m + b0 0 q q q q n p p p bn q m b q m q b q m q b q q q q n n + n n n n n n 0 bn p mq + b p mq q + + b p mq q + b q 0. ( 46 ) odtud pro případ p mq máme n b q 0 n p mq n n n bn p mq + bn p mq q + + b q. ( 46 ) Ze stejného důvodu jako v bodě a) musí být číslo n b0q p mq Z. ( 463 ) Protože číslo

153 53 p mq p m ( 464 ) q q není pro q číslem celým, musí být čísla q a p mq nesoudělná. Proto číslo p mq b P m. Příklad : dělí číslo Rozložme následující polynomickou funkci P ( 465 ) na součin kořenových činitelů Řešení: p ±, ±, ± 3, ± 4, ± 5, ± 6, ± 8, ± 0, ±, ± 5, m, P 4 p q ±, ±, ± 3, ± 4, ± 6, ± 8, ± ( 466 ) Vzhledem k tomu, že q, mohou se z těchto možností realizovat pouze tyto: ( ), 3, ( 4) 5 p p p p, p 3, p 4 3, p 6 5 ( 467 ) Máme tedy množinu podezřelých bodů kandidátů na prvky ker( P ) p q, ±, ± 3, ± 4, 6 ( 468 ) Pro rozpoznání, které z těchto podezřelých bodů jsou opravdovými kořeny vyšetřovaného polynomu, lze použít např. tzv. Hornerovo síto:

154 54 William George Horner ( ) p q Tabulka V něm je prvkem buňky vždy součet příslušného koeficientu polynomu v odpovídajícím sloupci tabulky (horní záhlaví tabulky) a součinu podezřelého bodu v odpovídajícím řádku tabulky (levé záhlaví tabulky) s hodnotou sousední buňky vlevo od buňky počítané. Pokud se nalevo od počítané buňky již nenachází žádná další buňka, počítá se tato neeistující buňka automaticky jako virtuální buňka s hodnotou nula. Podezřelé body, které projdou Hornerovým sítem s výslednou hodnotou 0 v posledním sloupci tabulky (napravo) jsou hledanými kořeny vyšetřovaného polynomu. Konečný rozklad vyšetřovaného polynomu do kořenových činitelů tedy zní: ( 3)( 4)( 5) P + +. ( 469 )

155 55 Příklad : Vypočtěme integrál d. ( 470 ) Řešení: Využijeme skutečnosti, že polynom tvořící jmenovatel integrandu jsme již v minulé úloze rozložili na součin kořenových činitelů. Můžeme tedy rovnou psát d d d + d + ( )( 3)( 4)( 5) ( 3 )( 3)( 3 4)( 3 5) d + + d ( 4 )( 4 3)( 4)( 4 5) ( 5 )( 5 3)( 5 4)( 5) d ( 3) d ( ) d ( 4) d + ( 5) d ln 3 ln ln 4 + ln Příklad 3: Vypočtěme integrál ( 47 ) d ( 47 )

156 56 Řešení: q, p ±, ±, ± 4, ± 8, ± 6, P 9, ±, ± 3, ± 9 9 p q, ± 3, 9 p, p 3, p 3 4, p 9 8 ( 473 ) Hornerovo síto má tedy tvar Tabulka 3 p q První 3 podezřelé body jím prošly a jsou tedy skutečnými kořeny vyšetřovaného polynomu. Odtud d d ( + )( )( 4) ( + )( )( 4) c d ( 4 + )( 4 )( 4) ( + ) ( ) + ( 4) + c d 4 8 ( 474 )

157 57 Konstantu c určíme pro jako rozdíl c +. ( 475 ) ( + ) 8( ) ( 4) Máme tedy výsledek d d d + 4 d + d ln + ln + ln Integrování obecných racionálních lomených funkcí ( 476 ) Ne každý polynom lze rozložit na součin reálných kořenových činitelů. Ne každou racionální lomenou funkci tak lze vyjádřit jako součet elementárních zlomků, které dokážeme snadno integrovat. Racionální lomené funkce u nichž to lze a se kterými jsme se setkali v minulém odstavci, nazýváme ryze racionální lomené funkce. Všechny ostatní racionální lomené funkce nazveme neryze racionální lomené funkce. Věta: Nechť P( ) a Q( ) jsou dva polynomy, přičemž 0 stupně. Potom Q je n-tého! P : P P P Q ( 477 ) kde P n. je buď nulový polynom, nebo polynom stupně nižšího než

158 58 Důkaz: Nechť n Q b + b + + b, b 0, 0 P a + a + + a 0 n m m. n ( 478 ) Když m n musel být alespoň n. Když m n <, musí být P ( ), jinak by stupeň polynomu P ( ) 0 >, musí být polynomy P ( ) a jejich rozdíl mohl být stupně nižšího než n. Proto polynom být stupně m n. Tedy P c + c + + a 0 P stejného stupně aby P musí m n m n. ( 479 ) Koeficienty c i přitom musí vyhovovat podmínce aby se v polynomu P P P Q ( m ) ( m a0 a a n 0 )( n m c c am n b0 b bn ) n n+ m rovnaly nule pro,,,. To bude splněno právě když ( 480 ) a c b m m n n a c b + c b m m n n m n n... a c b + c b + + c b n 0 n n m n n m n ( 48 ) přičemž členy ve kterých vystupuje b k s indeem k < 0 je třeba vynechat, neboli položíme b b 0. Protože bn 0, z první rovnice plyne

159 59 c a m m n. ( 48 ) bn Potom z druhé rovnice dostáváme c m n a c b b m m n n, ( 483 ) n atd. Z toho vyplývá, že všechny koeficienty c i polynomu P ( ) jsou určeny jednoznačně, čímž je důkaz hotov. Pozorování: Rovnost ( 477 ) snadno přepíšeme do tvaru P P Q P + ( 484 ) Q což znamená, že každou racionální funkci lze zapsat jako součet polynomu a ryze racionální funkce: Příklad : Racionální lomenou funkci ( 485 ) upravíme dělením na tvar ( 486 ) Zlomek na pravé straně je tzv. parciální zlomek. Je zřejmé, že polynom ve jmenovateli parciálního zlomku má pár kompleně

160 60 sdružených kořenů a nelze jej tedy dále rozložit na elementární zlomky. Věta: Nechť P( R R ) je polynom stupně nižšího než Q( ) dále K { R Q( ) 0}. Nechť α R je k-násobným ( k > 0) kořenem polynomu Q( ), tj. k ( α ) R R. Nechť Q R R : R : Q Q Q 0. ( 487 ) Potom eistuje číslo A R a polynom P ( ) k nulový, nebo stupně nižšího, než polynom ( α ) Q ( ) R R který je buď, že A ( ) P ( ) ( ) P R \ K : + Q k k α α Q ( 488 ) Důkaz: ( α ) P( ) ( k α ) P( ) AQ ( ). k ( α ) ( P( ) AQ ( ) ) + AQ ( ) k ( α ) P R \ K : Q Q Q A + k Q Číslo A zvolíme tak, aby platilo ( α ) ( α ) ( 489 ) P AQ 0. ( 490 ) Q α Jelikož 0, stačí volit

161 6 ( α ) P α A. ( 49 ) Q Při této volbě A je ( ) α ker P AQ. ( 49 ) Je-li P( ) AQ ( ) nulový polynom, máme větu dokázánu. V opačném případě pak : P R R P AQ α P, ( 493 ) stupně nižšího, než polynom P( ) AQ ( ) Protože polynom P( ) AQ ( ) k ( α ). je nižšího stupně než polynom Q Q, ( 494 ) k je polynom P ( ) nižšího stupně, než polynom ( α ) Q ( ) je to nulový polynom. Důsledek: Nechť jsou splněny předpoklady předchozí věty. Potom A, A,, A R, P R R < Q R R : k k A A Ak ( α ) ( α ) ( α ), nebo P Pk : R \ K : Q k Q ( 495 ) Důkaz: Použijeme-li větu k-krát, postupně dostaneme

162 6 P( ) A P ( k ) + k k Q( ) ( α ) ( α ) Q ( ) P ( ) A P k ( ) + k k k ( α ) Q ( ) ( α ) ( α ) Q ( ) k ( α )... P A P k + Q α Q ( 496 ) Věta: Nechť P( R R ) je polynom stupně nižšího než Q( ) dále K { R Q( ) 0}. Nechť α a + ib C, b 0 je k-násobným ( k > 0) kořenem polynomu Q( ). Potom eistují čísla M, N R a polynom P ( ) R R. Nechť R R který je buď k nulový, nebo stupně nižšího, než polynom ( p q) Q ( ) + +, že P M + N + P R \ K : Q k k + p + q + p + q Q ( 497 ) Důkaz: ( P( ) ( M + N ) Q ( ) ) + ( M + N ) Q ( ) P R \ K : Q p q Q M + N P M + N Q + k + p + q + p + q Q k k ( + + ) ( 498 ) Čísla M, N zvolíme tak, aby platilo ( α ) ( α ) P AQ 0. ( 499 ).

163 63 Jelikož Q α 0, stačí volit ( α ) ( + ) ( α ) ( + ) P P a ib Mα + N c + id Ma + imb + N. ( 500 ) Q Q a ib Odtud plyne d da M, N c b b. ( 50 ) Při této volbě M, N jsou ( ) α, α ker P M + N Q. ( 50 ) Je-li P( ) ( M N ) Q ( ) + nulový polynom, máme větu dokázánu. V opačném případě pak ( R R) : P P M + N Q + p + q P stupně o dva nižšího než polynom P( ) ( M N ) Q ( ) Protože polynom P( ) ( M N ) Q ( ) polynom k +. + je nižšího stupně než. ( 503 ) Q + p + q Q, ( 504 ) je polynom k P nižšího stupně, než polynom ( p q) Q ( ) nebo je to nulový polynom. + +,

164 64 Důsledek: Nechť jsou splněny předpoklady předchozí věty. Potom ( + p + q) M, N, M, N,, M, N R, P R R < Q R R : k k k P( ) M + N M + N : \ K : Q + p + q + p + q R + + M + N k k + + k Důkaz: P k Q ( ) ( ) Použijeme-li větu k-krát, postupně dostaneme P M k + N P k + k Q + p + q + p + q Q k ( ) P M + N P + p q Q p q p q Q k k k k k k ( + p + q) Q ( ) ( 505 )... P + Pk ( ) M + N + p + q Q Integrování obecných racionálních lomených funkcí Uvažujme funkci ( 506 ) f A + R \ R, n N. ( 507 ) ( { α} ) ( α ) n Počítejme její integrál

165 65 A ( α ) n d A d A n n ( α ) n ( α ), n Aln a, n ( 508 ) Uvažujme dále funkci g M + N + R R, n N. ( 509 ) ( + p + q) n Vypočteme d ( + p + q ) + p. ( 50 ) d Z věty ( 477 ) plyne, že M + N k P( ) M + N, Q( ) + p : k, k R : k +, + p + p ( 5 ) neboli ( ) M + N k + p + k. ( 5 ) Proto M + N + p k + k ( + p + q) ( + p + q) ( + p + q) n n n. ( 53 ) Počítejme integrál prvního parciálního zlomku:

166 66 n y, n + p n d dy n n n + p + q n y ln y ln + p + q, n ( + p + q) dy d, ϕ, ( ) y + p + q ϕ + p dy + p d Integrál druhého parciálního zlomku nejprve upravíme d d n n + p + q p 4q p n ( y ) ( 54 ) 4q p 4q p 4 dy 4 dy n n n 4q p 4q p 4q p ( y + ) y q p 4 + n dy 4q p p d 4q p 4q p y ϕ ( y), ϕ ( y), d dy 4 dy 4 4 ( 55 ) Zbývá tedy již jen vypočítat integrál I n dy. ( 56 ) n ( y + ) K jeho výpočtu použijeme metodu per partes:

167 67 y y dy + n dy n n n+ ( y + ) ( y + ) ( y + ) y ( y + ) n dy n n+ ( y + ) ( y + ) + y + n dy n dy n n n+ ( y + ) ( y + ) ( y + ) ny f, f y, g, g n ( y + ) ( y + ) n+ ( 57 ) Což můžeme napsat jako y I + ni ni ( y + ) n n n n+ Odtud plyne rekurentní vyjádření. ( 58 ) I n y I + n n y ( + ) n+ n n. ( 59 ) Musíme tedy pouze určit I. Metodou přímého invertování derivace okamžitě vidíme, že I dy arctan y. ( 50 ) y + Příklad : Vypočtěme integrál racionální lomené funkce d ( 5 )

168 68 Řešení: Danou racionální funkci zapíšeme jako součet polynomu a ryze racionální funkce: + + d + d A B C + d d ( 3) ( 3) ( 3) ( ) d 3 Příklad 3: Vypočtěme integrál ( ) ( 3) ( 3) ( ) ( 3) ( 5 ) d ( 53 ) Řešení: Protože polynom ve jmenovateli má komplení kořeny, integrujeme vlastně parciální zlomek. Vypočteme tedy derivaci d ( ) + 4, ( 54 ) d odkud ( ) , ( 55 ) neboli

169 M + N k + p + k ( 56 ) Máme tedy ( ) d d d ( ) ( ) Integrály na pravé straně budeme řešit substituční metodou: + 4 d dy y y ( ) d ( 57 ) + + ϕ dy d + ϕ ( + ) ( 58 ) d d 3 dy y 4 3, 4, dy 4 d ( ) ( + ) + 9 ( 9y + 9) arctan y y dy + 7 ( y + ) 7 ( y + ) 3( + ) ( + ) + 3y ϕ y, + arctan d + 3 ϕ y, d 3 dy, y ϕ dy 3 ( 59 ) Konečný výsledek potom je

170 70 3( + ) d arctan + ( ) ( 530 ) Příklad 4: Vypočtěme integrál racionální lomené funkce d ( 53 ) Řešení: 3 ( ) ( ) ( ) ( + ) A B M + N O + p d + ( ) ( + ) d d ( 53 ) Integrand vynásobíme společným jmenovatelem a máme

171 7 ( ) ( ) A + B + M + N + ( O p)( )( ) A + + B + + ( M N )( 4 4) ( O p)( )( 4 4) A( ) B( )( ) 4 3 ( M N )( 4 4) ( O p) ( ) A 4A + 8A 8A + 4A + B 6B + 6B 4B + 0B 8B M 4M + 4M + N 4N + 4N + O 6O + 4O 6O + 8O P 6P + 4P 6P + 8 P. ( 533 ) Z četností výskytu hledaných koeficientů v jednotlivých členech tohoto výrazu sestavíme matici K, v níž jednotlivé sloupce plníme shora dolů sestupně podle klesající mocniny proměnné odpovídajícího členu. Koeficienty čitatele integrované racionální lomené funkce budou tvořit vektor v pravých stran: A B M N O P K , v ( 534 ) Gaussovou eliminační metodou (GEM) odtud dostaneme

172 7 Johann Carl Friedrich Gauss ( ) ( 535 ) Odkud zpětným chodem GEM získáme hledané koeficienty

173 73 P, O 5, N, M 3, B, A. ( 536 ) Máme tedy integrovat parciální zlomky d, ( 537 ) + ( ) ( + ) což nám s použitím metod odvozených v této kapitole nebude činiti žádných potíží: d ( 538 ) ( ) ln d ( 539 ) ( ) d d d d d d d ln + 4arctan ( ) ( ) ( 540 )

174 74 ( ) d d d Takže výsledkem je funkce 3 d + d ( + ) ( + ) 3 d + d ( + ) ( ) arctan ( ) + + ( ) arctan ( ) + + ( + ) 5 + arctan ( ) d ( ) ( 54 ) ln ln ( + ) + 3arctan + ( 54 ) Celá řada speciálních substitucí aplikovaných na transcendentní funkce může rovněž vést na integrály racionálních lomených funkcí. Předveďme si opět několik jednoduchých ukázek:

175 75 cos d d dy ( sin ) cos sin ( sin ) y ( y ) y + + dy + ln y y + y y y sin + + ln sin sin dy y sin ϕ ( ), cos ϕ ( ), dy cos d d sin cos y y d + + y y + y ( sin cos ) y y dy y y + + y( y + ) dy ( y )( y + ) dy y y + ln y arctan y ln tan d y tan, arctan y ϕ ( y), ϕ ( y), dy + y y y d dy, sin, cos + y + y + y. ( 543 ) ( 544 )

176 y 5 8y d 6y dy dy 3 4 y y y y, y +, 6 y, d y + y + 4y + 8y dt y y y 4y 8y y + 3ln y ( ) 9 ( ) 4 ( ) ln d dy 5 6y dy ( 545 )

177 77 y + dy y 4y d ( )( 3) ( + y ) 4( + y ) ( + y ) y + y 8y dy ( + y )( 3 + y )( 5 + y ) dy + y 3 + y 5 + y 6 y y arctan y arctan + 5 arctan arctan arctan arctan + ( ) y ϕ y 6 8 5, 4, ( + y ) ( ) + y d 4y 4,,, + y dy + y y ϕ y ϕ y 4y y d dy, y. ( + y ) + y + y ( 546 )

178 78 Jednoduché Fyzikální aplikace Leibnizova integrálu Pohybové rovnice částice v konzervativním silovém poli Z předchozích příkladů již víme, že fyzikální veličiny rychlost a zrychlení jsou definovány coby časové derivace dráhy dr v, dt dv a dt d r dt. ( 547 ) Ve fyzikálních aplikacích jsme nejčastěji postaveni před problém, kdy známe tvar silového pole a tedy průběh jeho intenzity a, přičemž máme nalézt rovnice popisující dráhu testovací částice v tomto poli. Příklad : Nalezněme pohybové rovnice hmotného bodu pohybujícího se a 0,0, a, s počáteční v homogenním silovém poli o intenzitě rychlostí v ( v, v, v ) a z místa r ( r, r, r ). Řešení: Dvojnásobnou integrací intenzity pole podle času získáme okamžitě parametrické vyjádření dráhy, čili hledené vektorové vyjádření pohybových rovnic testovací částice v daném poli: r 0 dt v dt v t r r, + 0 α + 0 r 0 dt v dt v t r vt cos r, at at r a dt at v dt v t r vt sin r, α + 03 ( 548 )

179 79 Povšimněme si, že po každé integraci nám vyskočí integrační konstanta s fyzikálním rozměrem odpovídajícím dané úrovni inegrování (po první integraci intenzity jsme na úrovni rychlostí, po druhé integraci na úrovni poloh), která vyjadřuje počáteční podmínky úlohy (v daném případě počáteční rychlost a počáteční polohu v čase t 0). Uvědomme si dále, že v homogenním silovém poli můžeme vždy s výhodou natočit souřadný systém, ve kterém počítáme tak, aby se nám jedna ze složek počáteční rychlosti anulovala, jak jsme to v našem příkladu učinili se složkou v. Zbylé dvě komponenty počáteční rychlosti jsme nakonec vyjádřili pomocí velikosti celkové počáteční rychlosti v v polárním souřadném systému, kde úhel α nazýváme elevačním úhlem. Obr. 9 α Poruchové řešení pohybových rovnic částice v nekonzervativním silovém poli Příklad : Předchozí úlohu můžeme považovat za idealizovaný případ skutečných pohybů, mezi něž patří např. vrh šikmý vzhůru v gravitačním poli Země. Idealizace je přitom dvojího druhu: Zaprvé, reálné gravitační pole, jak na Zemi, tak i na kterémkoli jiném nebeském tělese, je vždy obecně nehomogenní a obvykle se blíží spíše centrálně symetrickému poli. Pokud se však zajímáme pouze o úsek dráhy mnohem kratší v porovnání s poloměrem křivosti gravitujícího tělesa, nedopouštíme se velké chyby, považujeme-li pole na takto krátkém úseku za homogenní.

180 80 Zadruhé, pokud zkoumáme pohyb testovacího tělesa v odporujícím prostředí planetární atmosféry, působí na těleso kromě samotného gravitačního pole ještě i odporová síla okolního prostředí, kterou jsme v předešlé úloze ignorovali. Tato síla přitom může ovlivnit výslednou dráhu reálného tělesa poměrně znatelně. Podívejme se tedy, jak se celá situace změní, budeme-li uvažovat rovněž i odpor plynného prostředí, jímž se testovací těleso pohybuje. Řešení: Složky odporové síly F jsou v případě turbulentního proudění dány Newtonovým vztahem F F 3 CSρv CSρv 3,. ( 549 ) Vzhledem k tomu, že můžeme souřadný systém vždy vhodně natočit tak, aby se nám jedna ze složek rychlosti anulovala, můžeme vždy zařídit, aby se např. druhá komponenta odporové síly stala nulovou a uvažovat tedy pouze první a třetí komponentu. Povšimněme si nyní, že pro složky rychlosti, pomocí nichž vyjadřujeme tyto dvě složky odporové síly, platí: v v 3 dr, dt dr3. dt ( 550 ) Tedy dráha kterou počítáme, je funkcí rychlosti, která je ale zpětně v každém bodě a v každém čase funkcí dráhy, jíž počítáme. Tento typ zpětné vazby vede k nelineárním diferenciálním rovnicím, které řešíme tzv. poruchovou metodou.

181 8 V nulté aproimaci zcela zanedbáme odpor prostředí a zapíšeme pohybové rovnice v konzervativním poli, jak jsme je nalezli v minulé úloze: r r 3 vt cos α, at + vt sin α, ( 55 ) kde jsme nyní navíc položili počátek soustavy souřadné do polohového vektoru v čase t 0 (počáteční poloha), čímž jsme jej rovněž anulovali. V dalším kroku vypočteme složky rychlosti v dr dt dr dt vcos α, sin α. 3 v3 v at ( 55 ) Odporová síla tvoří z fyzikálního hlediska tzv. poruchu, kterou je třeba přičíst k bezporuchovému řešení ( 55 ). Tato porucha bude podle. Newtonova zákona generovat zrychlení a a a 3 F, m F3, m ( 553 ) které bude působit proti směru pohybu a bude nám tedy krátit výslednou dráhu. Jeho dvojnásobnou časovou integrací dostaneme F a dt dt m F Ft, m 3 3 a 3dt dt m F t. m ( 554 )

182 8 Tyto záporné dráhové úseky tvoří poruchovou korekci prvního řádu, kterou nyní přičteme k bezporuchovému řešení ( 55 ): CSρv t CSρv t cos α r vt cosα vt cosα 4m 4m ( sinα ) at CSρv3 t at ρ r 3 + vt sinα + vt sinα 4m 4m ( 555 ) Opakováním naznačeného postupu můžeme získat stále další a další členy poruchové řady, které reprezentují větší a větší zpřesnění řešeného problému. Spočtěme si ještě pro ukázku poruchový člen druhého řádu: CS t v at v dr dt vcosα 3 v3 vsin at CSρv t cos α m ( sin 3 sin + ) dr CSρt v α vat α a t α dt m ( 556 ) Odkud CSρv t cos α CSρv t r vt cosα 4m 4m ( sin ) ( sinα ) ( cos cos ) ρ α ρ α CSρv t cos α CS t mv CS v t vt cosα 3 4m 6m 3 at CSρt v α at CSρv t r3 + vt sinα 4m 4m CS t v at at ρ + vt sinα 4m ρ α ρ α 3 6m CS t m vsin at CS t v sin 3va ( t sinα + a t ) ( 557 )

183 83 Nelze si nevšimnout, že velikost členů vyššího řádu poruchového rozvoje velmi rychle klesá. Omezíme-li se tedy na několik prvních členů, získáme již velmi dobrou aproimaci reálné situace pro realistické vstupní parametry. Již námi nalezený poruchový rozvoj druhého řádu dává pro vrh šikmý v homogenním zemském gravitačním poli a vzdušném prostředí při normálním tlaku a teplotě, reálné balistické křivky pro všechny běžné homogenní a kompaktní projektily nejrůznějších tvarů. Obr. 0 α Úvod do teorie lineárních diferenciálních rovnic Získané poznatky o Leibnizově integrálu nyní využijeme pro řešení diferenciálních rovnic, tj. rovnic s neznámou skrytou v derivaci. Podobně, jako je tomu při řešení integrálů, také řešením diferenciálních rovnic nejsou čísla, ale operátory zobrazení (funkce). Teorii diferenciálních rovnic si namísto přísně formálního přístupu vybudujeme s pomocí 3 příkladů, jež si v této kapitole postupně vyřešíme. Rovnice a jsou jen přestrojenými integrály, rovnice 3 až 6 jsou diferenciální rovnice se separovatelnými proměnnými a zbytek budou lineární diferenciální rovnice prvního řádu. Diferenciálními rovnicemi vyšších řádů a soustavami diferenciálních rovnic se v této učebnici hlouběji zabývat nebudeme, řešení některých jednoduchých případů tohoto typu si přesto předvedeme v ukázkách aplikací v následující kapitole.

184 84 Příklad Zadání: y sin + cos ; y 0 y 0 0 y 0 ( 558 ) Řešení: 3 sin + cos cos + sin + y d a d a sin cos + b + c d cos sin + + b + c. Okrajové podmínky dávají: ( 559 ) cos0 + sin 0 + a a sin 0 cos0 + b 0 b cos0 sin 0 + c c 0. ( 560 ) Výsledek: y cos sin + +. ( 56 ) Příklad Zadání: y ; y 0 5 y 0 ( 56 )

185 85 Řešení:. ( 563 ) 3 y d 6 + a d + a + b Z okrajových podmínek plyne c ; d 5. ( 564 ) Výsledek: y ( 565 ) Příklad 3 Zadání: e y 3y y( 0) e y y ( 566 ) Řešení: ) 3y 3 dy d y dy e e d 3y dy e d ( 567 ) y a e b + 3 y e c.

186 86 Z okrajové podmínky plyne: 3 3 c e c e +. ( 568 ) Výsledek: y e e ( 569 ) ) dy y d dy d y y dy d ( 570 ) y + a + b y + c y + c 4 Z okrajové podmínky nyní plyne: c e ( 57 ) Takže máme výsledek: y + e. ( 57 ) 4

187 87 Příklad 4 Zadání: y ( 573 ) Řešení: y d + c. ( 574 ) Příklad 5 Zadání: y e y + e ( 575 ) Řešení: dy e ( + ) y d e e y e e dy d + e y e e dy + e d y e + a ln e + + b ( 576 ) y ln e ln ln e + + c Výsledek: ( ) y ln ln e + + c. ( 577 )

188 88 Příklad 6 Zadání: y y. ( 578 ) Řešení: dy y d dy d y dy d ( 579 ) y ln y + a + b + c c y e e e Výsledek: y k ep. ( 580 ) Příklad 7 Zadání: 3. ( 58 ) y y Řešení: Jedná se o lineární diferenciální rovnici prvního řádu, takže při hledání jejího řešení použijeme metodu variace konstanty.

189 89 ) Partikulární řešení: y y 0 y y dy y d dy d y dy d y ln y + a ( 58 ) ( 583 ) y e e e + a a. Výsledek: y c e. ( 584 ) ) Obecné řešení: Toužíme-li nalézti obecné řešení rovnice ( 58 ), nebude již struktura c vystupovat jako konstanta, alébrž bude obecně funkcí proměnné, tj. bude platit: y c e. ( 585 ) Derivací rovnice ( 585 ) zjistíme, že y c e c e +. ( 586 ) Dosazením řešení ( 586 ) do rovnice ( 58 ) obdržíme 3 c e + c e e. ( 587 )

190 90 Vidíme, že metoda nám anulovala výraz v závorce. Lze snadno dokázat (ponechávám jako jednoduché domácí cvičení), že metoda tak činí zcela obecně, nikoliv pouze v tomto konkrétním případě. Máme tak 3, ( 588 ) c e čili 3 d. ( 589 ) e c Substitucí y nejprve integrál ( 589 ) upravíme na tvar y c( ) y e dy, ( 590 ) a ten dopočítáme per partes: y y y y y e dy y e e dy e ( y + ) + c, ( 59 ) kde jsme volili y f e ; g y. ( 59 ) Po konečném odsubstituování tedy máme ( ) c e +. ( 593 ) Dosazením tohoto řešení do formule ( 584 ) obdržíme obecné řešení rovnice ( 58 ): ( ) y e + C e, ( 594 )

191 9 neboli. ( 595 ) y C e Poznámka: na tomto příkladu jsme podrobně demonstrovali princip metody variace konstant. V dalších příkladech již proto můžeme postupovat trochu rychleji. Příklad 8 Zadání: ( ) y y ( ) + +. ( 596 ) Řešení: Rovnici nejprve upravíme na tvar y + y p( ) q( ) ( 597 ) (lineární diferenciální rovnice prvního řádu): y y + + ( 598 ) Nalezneme partikulární řešení:

192 9 y y + dy y d + dy d ( 599 ) y + ln ln y + a + + b ( ) c y e + Partikulární řešení: ( ) y c +. ( 600 ) Poznámka: prohlédneme-li si ještě jednou sekvenci kroků ( 599 ), jimiž jsme dospěli k partikulárnímu řešení ( 600 ), snadno dospějeme k závěru, že partikulární řešení je obecně dáno jednoduchou formulí y p( ) d e. ( 60 ) Dle modelového příkladu 7 nyní hledáme obecné řešení, pro které, jak víme, platí: ( ) ( ) c + +, ( 60 ) čili ( ) c. ( 603 ) Odtud c( ) d + C ( 604 )

193 93 Dosazením tohoto výsledku za konstantu c do partikulárního řešení nalézáme Obecné řešení: ( ) y + C +. ( 605 ) Nyní je na čase, abychom si odvodili jednoduchý recept, jenž vznikne prostým smrsknutím všech kroků výše popsané metody do jediné formulky, která chrlí řešení lineárních diferenciálních rovnic prvního řádu rovnou. Tento vzorec zní: p( ) d y q( ) e d + k p( ) d. ( 606 ) e p( ) d Jelikož e není nic jiného, než naše staré dobré partikulární řešení ( 60 ), plyne odtud dosazením z ( 598 ) a ( 600 ) do vzorce ( 606 ): + y c ( + ) d + k ( + ) d + k c ( + ) c + ( )( C) + +. ( 607 ) To již vypadá stejně jednoduše, jako recept na omeletu není-li pravda. Tak jej ihned vyzkoušejme na dalším příkladu: Příklad 9 Zadání: + 3 ; 0. ( 608 ) y y y

194 94 Partikulární řešení: 3 d y e c e 3. ( 609 ) Obecné řešení: y c e e d k e e d k c e c 3 C e ( 60 ) Poznámka: integrál jsme vypočetli substitucí t 3, která postupně dává: dt d dt 3, 3 d, ( 6 ) tj. t t e e e d e dt + c + c ( 6 ) 3 3 Z okrajové podmínky pak plyne: 5 C + C, ( 63 ) 3 3 odkud máme konečný výsledek: 3 y 5 e +. ( 64 ) 3

195 95 Příklad 0 Zadání: y + y sin. ( 65 ) Partikulární řešení: y e c e d ( 66 ) Obecné řešení: e y c e sin d + k e sin e d k c e c + ( sin cos ) + C e Poznámka: Integrál jsme počítali per partes, ve dvou krocích s výsledným zacyklením:, ( 67 ) e sin d e sin e cos d e sin e cos e sin d odkud ( 68 ) e d e ( ), ( 69 ) sin sin cos čili

196 96 e e sin d ( sin cos ). ( 60 ) Okrajová podmínka dává + C 0 C. ( 6 ) Výsledek: y ( sin cos + e ). ( 6 ) Příklad Zadání: Na intervalu ( 0; ) vypočtěte ;. ( 63 ) y y y Partikulární řešení: c 3 d 3 ln. ( 64 ) 3 y e e Protože se příklad řeší pouze na intervalu ( 0; ), nebude hrát absolutní hodnota žádnou roli, takže ji v dalším řešení již nemusíme psát.

197 97 Obecné řešení: c c k y d + k d + + C + C c ( 65 ) Okrajová podmínka: ( ) + C C. ( 66 ) Výsledek: y 3. ( 67 ) Příklad Zadání: 3. ( 68 ) y y Partikulární řešení: d ln. ( 69 ) y e e c Obecné řešení: 3 4 y c d + k d + c k + C c. ( 630 )

198 98 Příklad 3 Zadání: π π Na intervalu, vypočtěte: y y tan cos. ( 63 ) Partikulární řešení: tan d ln cos + a y e e c cos ( 63 ) Absolutní hodnota opět nehraje roli, z podobných důvodů jako π v příkladu (kosínus je na intervalu, π všude kladný). Obecné řešení: y c cos cos d + k cos d + c k cos c cos cos + C cos. ( 633 )

199 99 Jednoduché příklady použití lineárních diferenciálních rovnic Příklad - Chladnutí čaje Za jak dlouho se čaj ohřátý na 00 C ochladí na 5 C, jestliže se na 60 C ochladí za 0 minut? Předpokládejme, že teplota okolního vzduchu je konstantní a rovna 0 C, a že rychlost ochlazování je přímo úměrná rozdílu teplot čaje a okolí. Řešení: Slovní úloha zjevně vede na diferenciální rovnici dt t dt λt t, ( 634 ) kde funkce T ( t ) je přímo rovna rozdílu teploty čaje a okolí, vzhledem k tomu, že do teploty okolí vkládáme počátek soustavy souřadné, ve které počítáme. Integrací této rovnice dt t λ dt T t ( 635 ) dostáváme řešení ln 0 λ 0 lnt t T t + t ( 636 ) neboli ( λ ) T t T ep t ( 637 ) 0 kde konstanty s indeem 0 mají význam počátečních podmínek. Dosazením odpovídajících hodnot nejprve vypočteme parametr λ :

200 00 0λ e, ln 60 ln00 0 λ, ln00 ln 60 λ 0,05. 0 ( 638 ) A nyní již určíme hledanou dobu chladnutí čaje 5 00e 0.05t ln 5 ln t ln00 ln 5 t 7 min 0.05 ( 639 ) Příklad - Lineární harmonický oscilátor Jeho pohyb je určen rovnicí d ψ 0 + ω ψ, ( 640 ) dt což je lineární diferenciální rovnice druhého řádu. Protože zřejmě platí dψ ψ dt d ψ dt ( 64 ) a odtud rovněž ψ ψ ψ d d d d dt dt dt dt, ( 64 ) můžeme rovnici ( 640 ) rozšířit funkcí d ψ : dt

201 0 dψ d ψ dψ dψ d ψ + + dt dt dt dt dt ω ψ ω ψ 0 ( 643 ) a poté vyjádřit ve tvaru d dt ω dt ψ dψ + 0. ( 644 ) To však znamená, že dψ + dt ω ψ konst. ( 645 ) Označíme-li konst. ( k ω), ( 646 ) získáme rovnici dψ ω dt ( k ψ ), ( 647 ) z níž již separací proměnných plyne výraz dψ dt k ψ ω ( 648 ) připravený k integrování. Máme tedy integrální rovnici dψ ω dt k ψ. ( 649 )

202 0 Zavedeme substituci ψ k sin ( 650 ) a odtud dψ k cos dψ k cos d. ( 65 ) dt Vyintegrujeme nejprve levou stranu rovnice ( 649 ): dψ k cos k cos d d ψ sin sin k k k k cos d cos d ( 65 ) Porovnáním tohoto výsledku s pravou stranou rovnice ( 649 ) dostaneme d ω dt, ( 653 ) což po integraci dá konečný výsledek ωt + α. ( 654 ) Dosazením do substituční rovnice ( 650 ) nyní nalézáme obecné řešení rovnice ( 640 ) ve tvaru ψ k sin( ωt + α ). ( 655 ) Příklad 3 - Radioaktivní rozpad jader Položme si nyní otázku, jak se bude měnit aktivita A radionuklidového zářiče v průběhu času. V čase t 0 bude zářič obsahovat N 0 nestabilních jader. Časová změna počtu těchto

203 03 nestabilních jader bude zjevně přímo úměrná tomuto počtu (čím více nestabilních jader zářič obsahuje, tím víc se jich za jednotku času rozpadne), což zapíšeme dn A λn, ( 656 ) dt kde znaménko minus na pravé straně rovnice zohledňuje, že počet nestabilních jader s časem klesá. Konstanta úměrnosti λ charakterizuje rychlost, s jakou tento počet klesá, tj. jak silně radionuklid v daném okamžiku září. Diferenciální rovnici ( 656 ) snadno vyřešíme metodou separace proměnných: dn λ dt N, ( 657 ) což po integraci dává ln N ln N λt + t, ( 658 ) 0 0 kde integrační konstanta t 0 odpovídá času, do kterého klademe počet nestabilních jader roven N 0. Definitoricky tedy můžeme položit t 0 0. Po úpravě odtud dostáváme N N t, ( 659 ) ep 0 ( λ ) což je známý rozpadový zákon. Rozpadová konstanta λ je základní charakteristikou specifikující vlastnosti každého radionuklidu. Položme si nyní otázku, v jakém čase poklesne aktivita daného radionuklidového zářiče přesně na polovinu. Z ( 659 ) plyne okamžitě odpověď v podobě eponenciální rovnice ( λ ) ep T, ( 660 ) což po zlogaritmování dává

204 04 0 ln λt, ( 66 ) čili T ln. ( 66 ) λ Konstantě T / odvozené z rozpadové konstanty λ vztahem ( 66 ), říkáme poločas rozpadu radionuklidu a je to další význačná charakteristika radionuklidvého zářiče. Přepíšeme-li rozpadový zákon ( 659 ) s použitím poločasu rozpadu namísto rozpadové konstanty, obdržíme jeho alternativní vyjádření: t T 0 N N. ( 663 ) Obr. V prai je však celá situace obvykle komplikována tím, že použitý radionuklid je členem nějaké rozpadové řady. Rozeberme si nyní alespoň nejjednodušší případ radionuklidu R, jehož rozpadem vzniká radionuklid R, který se dále rozpadá na již stabilní nuklid. Potom

205 05 pravděpodobné počty jader obou nuklidů N (t) a N (t) budou vyhovovat systému diferenciálních rovnic dn dt dn dt λ N λ N λ N,, ( 664 ) První rovnice systému se týká jednoho výchozího nuklidu R a je shodná s výše diskutovaným případem. V druhé rovnici udává první člen na pravé straně přírůstek radionuklidu R vznikajícího rozpadem nuklidu R a druhý člen úbytek jader nuklidu R způsobený jeho rozpadem. Známé řešení první rovnice ( 0) ep( λ ) N t N t ( 665 ) dosadíme do druhé dn dt ( 0) ep + λ N λ N λ t, ( 666 ) což je nehomogenní diferenciální rovnice prvního řádu. Položíme ep( λ ) N t f t t. ( 667 ) Zřejmě musí platit f ( 0) N ( 0). Po dosazení za N (t) do nehomogenní rovnice dostaneme jednoduou rovnici pro f(t), jejímž řešením je ( 0) ( ) λ N f ( t) N + e λ λ λ λ t 0, ( 668 ) takže

206 06 ( 0) λ N ( 0) ( λt λt ) N t N + e e λ λ. ( 669 ) Pro N ( 0) 0 dosáhne pravděpodobný počet jader R maimální dn hodnoty v čase t m, který je dán podmínkou 0. Z uvedených dt vztahů nalezneme t m λ ln λ λ λ. ( 670 ) Z druhé rovnice ( 664 ) plyne, že v čase t m bude λ λ N t N t, ( 67 ) m m a proto aktivity nuklidů R a R jsou v čase t m stejné. Prozkoumejme ještě, k jakým modifikacím rozpadového zákona ( 659 ) rovnice ( 669 ) s výchozím počtem jader N (0) 0 vede. Předpokládejme nejprve, že λ > λ, a zapišme rovnici ( 669 ) s pomocí aktivit λ λ λ t λt A t A 0 e e λ λ. ( 67 ) 5 Pro t je eponenciela v hranaté závorce prakticky λ λ zanedbatelná vůči jedničce a časový vývoj aktivity se bude řídit prostým eponenciálním zákonem ( 659 ) s rozpadovou konstantou λ (viz obr. )

207 07 Obr. Pro λ < λ upravíme ( 669 ) na tvar λ ( λ λ ) t A t e A t λ λ. ( 673 ) 5 5t Pro časy t m se bude A λ λ (t) lišit od A (t) pouze o λ ln λ multiplikativní konstantu a budeme proto mít pro A (t) eponenciální zákon ( 659 ) s rozpadovou konstantou λ. Odtud je již patrné, jak bychom postupovali v případech, kdy máme radioaktivní řadu obsahující více radionuklidů. Následující dva obrázky ukazují průběh rozpadové křivky pro λ < λ a pro λ λ.

208 08 Obr. 3 Příklad 4 Neutronová aktivace vzorku Vystavíme-li materiál trvale neutronovému záření o určitém konstantním dávkovém příkonu D ɺ, bude postupně (v určitém rozmezí dávek téměř lineárně s dávkou viz červená křivka v grafu na obr. ) narůstat počet radioaktivních jader N ve vzorku a tedy i jeho aktivita A. Tím ale bude eponenciálně s dávkou narůstat rychlost, s jakou se vzorek sám deaktivuje rozpadem beta viz modrá křivka v témže grafu. Po určité době proto nastane rovnovážný stav, kdy vzorek nadále už nebude výrazně měnit svoji aktivitu. Úloha tak zní, nalézt funkci, která popíše, jak se bude za daných podmínek měnit aktivita vzorku s časem. Diferenciální rovnice, vyjadřující uvedené děje zní dy bd ay dt ɺ, kde první člen na pravé straně odpovídá aktivaci vzorku, druhý člen pak jeho beta rozpadu. Řešení této rovnice snadno nalezneme metodou separace proměnných. Vyjadřuje je funkce

209 09 y bd ɺ a at ( e ), viz zelená křivka na obr..

210 0 Úvod do teorie Riemannova integrálu Bernhard Riemann (86-866) Příklad : Urči, která funkce vytvoří s úsečkami y 0,, útvar o obsahu 3 S. ( 674 ) 3 Řešení: Změní-li se na + d, změní se S na S + yd a dále platí d S + yd ( + d) + d + d +. ( 675 ) Odtud 3 d S d y d d 3d d ( 676 ) Protože d 0, můžeme jej zanedbat a dostáváme hledanou funkci y. ( 677 )

211 Obecný postup nalezení obsahu množiny určené grafem funkce f je tedy následující: ) Vezmeme nekonečně malý úsek délky d na ose. ) Obsah nekonečně úzkého obdélníku šířky d a délky f() pak f d. bude 3) Zbývá sčítat nekonečně mnoho takovýchto nekonečně malých obsahů. Vzniklý součet provedený na intervalu a, b nazýváme Riemannovým integrálem na intervalu a, b a značíme b f ( ) d. ( 678 ) a Čtenář jistě nemohl přehlédnout zjevnou souvislost mezi nalezeným obsahem plochy vymezené funkcí f() a osou s výsledkem Leibnizovské integrace téže funkce: 3 d. ( 679 ) 3 Tato souvislost vskutku platí zcela obecně a přesně ji vyjadřuje následující věta. Hlavní věta Riemannova věta Nechť f je funkce spojitá na intervalu a, b R. Nechť dále ( ) F a, b : a, b : F f. ( 680 ) Potom eistuje číslo

212 b f ( ) d F ( b) F ( a) ( 68 ) a takové, že n b n mi i i f d M i i i i a i, ( 68 ) ( ) ( ) kde m i resp. M i je minimum, resp. maimum funkce f na intervalu, i i. Důkaz: Máme dokázat, že n mi ( i i ) F ( b) F ( a) M i ( i i ). ( 683 ) i i Za tímto účelem vyjádříme výraz F ( b) F ( a) n jako řadu ( n ) ( 0 ) F ( n ) F ( n ) F ( n ) F ( n ) + F ( ) F ( ) + F ( ) F ( ) F b F a F F ( 684 ) n F F ( ). i i i čímž dostáváme nerovnost

213 3 n n n mi ( i i ) F ( i ) F ( i ) M i ( i i ). i i i Stačí tedy jen dokázat, že i i i i i i i i ( 685 ) m F F M. ( 686 ) To je však snadné, neboť podle Lagrangeovy věty (, ) ( a, b) : F ( ) F ( ) F ( ξ )( ) f ( ξ )( ). ξ i i i i i i i i Krom toho i i i ( 687 ) ( ξ ) m f M, ( 688 ) i i i a proto ( ξ ) m f M, ( 689 ) i i i i i i i i i neboli m F F M. ( 690 ) i i i i i i i i Sečteme-li tyto nerovnosti, dostáváme konečný důkaz, že n n n mi ( i i ) F ( i ) F ( i ) M i ( i i ), i i i což je ovšem totéž, jako n ( 69 ) mi ( i i ) F ( b) F ( a) M i ( i i ), ( 69 ) i i n

214 4 čili n b n mi i i f d M i i i i a i Obr. 4. ( 693 ) ( ) ( )

215 5 Věta o aditivitě Riemannova integrálu Nechť f, g jsou funkce spojité na intervalu a, b, c, d R. Potom b b b ( + ) + cf dg d c f d d g d. ( 694 ) a a a Důkaz: Nechť funkce F, G jsou spojité na intervalu a, b R, a nechť (, ) :, a b F f G g. ( 695 ) Potom i funkce H ( ) cf ( ) + dg( ) ( 696 ) je dle věty o spojitosti součtu spojitá na a, b a platí: H cf + dg cf + dg cf + dg. Proto b a ( ) ( ) cf + dg d cf b + bg b cf a + bg a ( ) b a b a. c F b F a + b G b G a c f d + d g d ( 697 ) ( 698 )

216 6 Věta o tranzitivitě Riemannova integrálu Nechť je funkce f spojitá na intervalu, b c b a b, c ( a, b). Potom platí f ( ) d f ( ) d + f ( ) d. ( 699 ) a a c Důkaz: Nechť funkce F je spojitá na intervalu a, b R, a nechť (, ) : a b F f. ( 700 ) Podle hlavní Riemannovy věty pak platí c a b c f d F c F a f d F b F c,. ( 70 ) Proto b a f d F b F a F b F c + F c F a c b a c. f d + f d ( 70 )

217 7 Věta o střední hodnotě Riemannova integrálu Nechť funkce F je spojitá na intervalu a, b R. Potom b ( ξ ). ( 703 ) ξ a, b : f d f b a Důkaz: a Ze spojitosti gunkce f : a, b R plyne, že na intervalu a, b nabývá svého maima i minima (Weierstrassova věta). Proto ( ) c, c a, b : a, b : f c b a f c. ( 704 ) Tedy b f ( c )( b a) f ( ) d f ( c )( b a), ( 705 ) a což po vydělení výrazem ( b a) b dá f ( c ) f ( ) d f ( c ). ( 706 ) b a a Protože funkce spojitá na intervalu nabývá na tomto intervalu každé z hodnot mezi dvěma různými hodnotami funkce v bodech tohoto intervalu, musí b ξ a, b : f ( ξ ) f ( ) d, ( 707 ) b a a

218 8 Základní věta matematické analýzy Nechť funkce F je spojitá na intervalu a, b R. Definujme F f t dt. ( 708 ) a Potom F ( ) f ( ). ( 709 ) Důkaz: Podle věty o tranzitivitě Riemannova integrálu a věty o střední hodnotě Riemannova integrálu platí + d F ( ) ( F ( + d) F ( ) ) f ( t) dt f ( t) dt d d a a + d f t dt f d f d d ( ξ ) ( ξ ) ( 70 ) kde ξ, + d. Tedy v limitě d 0 dostáváme rovnost f ( ξ ) f ( ). ( 7 ) Důsledek: Každá spojitá funkce má vždy primitivní funkci.,

219 9 Příklad : Vyjádřeme Riemannovým integrálem primitivní funkci k funkci f ( ) +. ( 7 ) Řešení: F f d d a 3 3 a a , ( 73 ) a kde konstantu na pravé straně můžeme považovat za integrační konstantu. Specielně, požadujeme-li integrační konstantu nulovou, je potřeba použít jako dolní integrační mez a prvek a ker f d, ( 74 ) Jádro tvoří v našem případě kořeny rovnice 3 a a + 0, ( 75 ) 3 neboli a a ( 76 ) Tedy 3 a ker f d 0, Odtud tedy buď. ( 77 )

220 F f d d nebo 0 0. ( 78 ) F f d d 3 3. ( 79 ) Elementární příklady aplikace Riemannova integrálu ) Geometrické aplikace Riemannova integrálu Obsah plochy Je-li plocha S ohraničena na intervalu, přičemž a b křivkami f ( ) a g, a, b : f g, ( 70 ) potom b a S ( fg ) f ( ) g ( ) d. ( 7 ) ab Důkaz: Dokazovaný vztah rozepíšeme podle věty o aditivitě Riemannova integrálu: b S fg f d g d ab a b. ( 7 ) a

221 Podle hlavní Riemannovy věty je b a A f d ( 73 ) plocha, vymezená na intervalu, b a a b funkcí f a osou. Podobně B g d ( 74 ) je plocha, vymezená na intervalu, Chceme dokázat, že hledaný obsah plochy a b funkcí g a osou. A B A B ( 75 ) (viz první de Morganův zákon), se dá vyjádřit jako Booleovský rozdíl dvou množin A B A B. ( 76 ) jemuž odpovídá plocha b S fg f d g d ab a b. ( 77 ) a Je-li B A, pak A je univerzální množina a vskutku A B B A B, A B A A B A A A B A B, ( 78 )

222 takže A B ( A B ). ( 79 ) Pokud B A, pak přičtením vhodné konstanty c k oběma funkcím f, g, můžeme vždy zařídit, aby nová plocha již splňovala podmínku B A. Přitom stále platí, že b a b a f + c d g + c d b b b b f d g d + c d c d a a a a b b a a. f d g d S fg ab ( 730 ) Přičtení stejné konstanty k horní i dolní hranici integrované plochy tedy nemění její obsah (plocha se tím pouze posune vzhledem ke zvolené bázi). Pro úplnost ještě ověříme, že výraz ( 7 ) dává vždy nezápornou h a, b R. hodnotu: Mějme dánu nějakou spojitou funkci Je-li a, b : h( ) < 0, potom její primitivní funkce všude na tomto intervalu klesající, neboli H ( b) H a H je >. ( 73 ) Podle Hlavní Riemannovy věty tedy musí platit b h( ) H ( b) H ( a) < 0. ( 73 ) a

223 3 Je-li a, b : h( ) > 0, potom její primitivní funkce všude na tomto intervalu rostoucí, neboli H ( b) H a H je < ( 733 ) Podle Hlavní Riemannovy věty tedy musí být b f ( ) H ( b) H ( a) > 0. ( 734 ) a Vzhledem k předpokladu věty a, b : f g ( 735 ) mohou tedy na každém dílčím podintervalu, i i a, b nastat celkem 3 případy: ) f ( ) g ( ), : 0 0 i i. Potom i f ( ) d g ( ) d 0 ( 736 ) i i i ) f ( ) g ( ), : 0 0 i i. Potom f ( ) g ( ) a tedy i i i i f ( ) d g ( ) d g ( ) d f ( ) d 0 ( 737 ) i i i i

224 4 3) f ( ) g ( ), : 0 0 i i Potom i i i i f ( ) d g ( ) d f ( ) d + g ( ) d 0 ( 738 ) i i i i Sumací přes všechny podintervaly,, i i a b získáme, vzhledem k platnosti věty o tranzitivitě Riemannova integrálu, integrální součet přes celý interval a, b, čímž je věta dokázána. Příklad : Vypočtěme obsah plochy ohraničené parabolami y, y 4. ( 739 ) Obr. 5

225 5 Řešení: Nejprve najdeme průsečíky daných křivek ( 740 ) Průsečíky tedy mají -ové souřadnice a 0, b 3. Proto b S fg d ab 3. ( 74 ) 3 Délka rovinné křivky a Délka grafu funkce f jedné reálné proměnné mezi dvěma body a, b, je dána vztahem b a d ( f ) + f ( ) d ( 74 ) a, b Důkaz: Element délky grafu f() je vlastně délkou přepony trojúhelníka s odvěsnami 0 i i, y f f i i, ( 743 ) takže dle Pythagorovy věty d f + f f. ( 744 ) i, i i i i i

226 6 Budeme-li sčítat mnoho takovýchto elementů délky, dostaneme i i i i, ( 745 ) ( ) + a, b n d f f f kde zřejmě i n b a i i. ( 746 ) To můžeme podle Lagrangeovy věty upravit na tvar ( ξ ) a, b n i n i ( ) d f + f i i i i i ( f ( ξi )) ( i i ) +. ( 747 ) Vlimitě i i bude i i d, n a suma přejde v integrál b a d ( f ) + f ( ) d ( 748 ) a, b

227 7 Obr. 6 f( 4 ) f( 3 ) f( ) f( ) a 3 4 b Objem rotačního tělesa Objem rotačního tělesa vytvořeného rotací křivky f ( ) vymezené body a, b, kolem osy f ( ) 0 je dán vztahem π a, b b V f f d. ( 749 ) a Důkaz: Objem je zřejmě sdola omezen součty objemů válců o poloměrech m i a výškách i i, shora pak součty objemů obdobných válců s poloměry M i, kde m i resp. M i je minimum, resp. maimum funkce f na i-tém intervalu,. Máme tedy π n i i mi ( i i ) V ( f ) π M ( ) a, b i i i. ( 750 ) i i n

228 8 Vlimitě i i bude i i d, n a suma přejde v integrál π a, b b V f f d. ( 75 ) a Obr. 7 a 3 6 b 4 5 Příklad : Vypočtěme objemy následujících rotačních těles: a) válec, b) rotační kužel, c) koule, d) rotační elipsoid. Řešení: a) v π π. ( 75 ) V r d r v 0

229 9 b) v v π π r r r v V π d d v v 3 c). ( 753 ) 0 0 r 3 π ( ) π ( ) π 3 V r d r d r d) r 3 3 r 4 3 π r π r. 3 3 r ( 754 ) a 0 a 3 b b V π b d π b d πb a a 3a a a 4 πb a πb a 3 3. Povrch pláště rotačního tělesa 0 Obsah rotační plochy, která vznikne rotací úseku křivky f ( ) vymezené body a, b, kolem osy f ( ) 0 je dán vztahem b r 0 a 0 ( 755 ) P( f ) π f ( ) + f ( ) d ( 756 ) a, b a

230 30 Důkaz: Povrch rotačního tělesa budeme nyní aproimovat součtem plášťů komolých kuželů o výškách i i mezi základnami o poloměrech f. f ( i ) a ( i ) Obr. 8 r v d r Obsah pláště komolého kužele je dán vztahem P π d r + r, ( 757 ) neboli ( ( i ) ( i ) ) ( i i ) ( i ) ( i ) π P f + f + f + f. ( 758 ) Po sumaci a aplikaci Lagrangeovy věty odtud dostáváme ( i i ) ( ( ξi )) ( i i ). ( 759 ) π a, b n P f f + f + f i 0 Vlimitě i i bude i i d, n a suma přejde v integrál

231 3 b P( f ) π f ( ) + f ( ) d ( 760 ) a, b Obr. 9 a f( 4 ) f( 3 ) f( ) f( ) a 3 4 b

232 3 Příklad 3: Odvoďme vzorec pro výpočet povrchu koule Řešení: f r ( ) f r, r. r,, ( 76 ) Tedy r, r r r r π r r P f π r + d r + d r r [ ] π r d π r 4π r r r Povrch pláště obecného tělesa Uvažujme po částech hladkou křivku C zadanou parametricky v rovině:, 0 ( 76 ) r s s i + y s j s λ ( 763 ) kde parametr s má význam délky křivky.

233 33 Obr. 30 Definujme dělení intevalu 0,λ, 0 0 n s < s < < s λ, ( 764 ) tak, že na každém si, si je křivka C hladká. Nechť je v každém bodě [, ], Pi pi qi s y s ( 765 ) křivky C zadána spojitá funkce (, ) a utvořme součet n f y. Označme s s s i i i f ( pi, qi ) si. ( 766 ) i Tento součet přejde v limitě { s } ma 0 v Riemannův integrál i n i

234 34 λ 0 (, ) f s y s ds. ( 767 ) f pi qi si vyjadřuje přibližně obsah S i, výraz ( 766 ) součet odpovídajících obsahů a ( 767 ) pak obsah plochy ohraničené sdola plochou z 0, shora plochou z f (, y), a vyplněné přímkami rovnoběžnými s osou z, protínajícími křivku C. Na obrázku 3 je velmi názorná interpretace. Výraz (, ) Obr. 3 K výpočtu integrálu ( 767 ) stačí již jen stanovit ds. Jejikož parametr s má význam délky oblouku, rozdělíme křivku na částečné oblouky a koncové body každého z nich spojíme úsečkou. Tím vznikne polygon vepsaný do křivky. Jsou-li,, P t y t Q t + t, y t + t, ( 768 ) její koncové body, pak

235 35 ds t + t t + y t + t y t + y. ( 769 ) Tento výraz upravíme pomocí Lagrangeovy věty do konečné podoby ( ) ( ) ds d + dy t + y t dt ( 770 ) Odtud pro délku rovinné křivky zadané parametricky rovnicí ( 763 ), plyne b a ( ) s t + y t dt t dt b r ( 77 ) a pro hledaný povrch odtud máme b a (, ) a f t y t r t dt. ( 77 ) Příklad 4: Vypočtěme povrch pláště tělesa omezeného rovinou y a funkcí g, y y, jehož průmětem do roviny y je kružnice sin + cos r t i t j t. Řešení: π 0 C π sin cos cos sin 0 P y ds t t t + t dt ( t) t sin ( sin t cost ) dt sint π 4 π 0 ( 773 )

236 36 Délka prostorové křivky Uvažujme po částech hladkou křivku C zadanou parametricky v prostoru:, 0 r s s i + y s j + z s k s λ ( 774 ) kde parametr s má význam délky křivky. Jednoduchým zobecněním konstrukce provedené v minulém odstavci dospíváme okamžitě k integrálnímu výrazu pro její délku: b a ( ) ( ) r. ( 775 ) s t + y t + z t dt t dt Příklad 5: Vypočtěme délku šroubovice o jednotkovém poloměru a stoupání π. Řešení: Vyjádříme zadanou šroubovici parametrickými rovnicemi sin + cos +, 0 r s i t j t k t t π ( 776 ) či v ekvivalentní podobě b a sin t, y cos t, z t. ( 777 ) Odtud

237 37 π π π cos sin π 0 ( 778 ) s t + t + dt dt t 0 0 Výsledek můžeme snadno ověřit trigonometricky. Jeden závit šroubovice jednotkového poloměru vystoupá dle zadání do výšky π. Počítáme tedy ve skutečnosti délku přepony rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka s oběma odvěsnami délky π. Dle Pythagorovy věty pro její délku vskutku platí s π π π ( 779 ) Obr. 3 π π. π ) Fyzikální aplikace Riemannova integrálu - statika Příklad - Tlaková síla vody Jakou tlakovou silou působí voda na přehradu tvaru obdélníku o stranách a, b? Nalezněme rovněž působiště této tlakové síly Obr. 33 b a

238 38 Řešení: Plocha přehrady je S ab. ( 780 ) Tlaková síla na tuto plochu je definována jako F p S, ( 78 ) V našem případě je p lineární funkcí hloubky h (změnu intenzity gravitačního pole g s hloubkou zanedbáváme, tj. úlohu řešíme pro homogenní gravitační pole, vodu považujeme za nestlačitelnou kapalinu, takže rovněž i hustotu ρ pokládáme za invariant): p( h) ρgh. ( 78 ) Odtud diferenciál síly činí df h p h S dh ρ gsh dh ρ gabh dh. ( 783 ) Integrací získáme výslednou sílu působící na celou plochu přehrady: F h b 0 b 3 ρ gabh ρgab ρ gabh dh. ( 784 ) Moment tlakových sil vzhledem k přímce h 0 je 0 h ρ 3 ρ 3 ( 785 ) 0 M Sgh dh Sgh a působiště síly leží tedy v hloubce

239 39 h 0 M h. ( 786 ) F 3 Statické momenty a těžiště těles Pokud se těleso skládá z diskrétních hmotných bodů, vypočteme jeho těžiště coby bod, vzhledm k němuž je součet momentů gravitační síly působící na všechny body tělesa nulový. Požadujeme tedy, aby j k l m y m z m i i i i i i T, T, T i i i j y k z l m i m i i i i m i ( 787 ) Protože m m V i ρ, ( 788 ) můžeme ( 787 ) rovněž psát jako j k l V y V z V i i i i i i T, Ty, Tz V V V. ( 789 ) Ve speciálních případech lineárních resp. plošných útvarů samozřejmě nahradíme objemovou hustotu lineární, resp. plošnou hustotou, a objem délkou, resp. plochou. Zobecnění diskrétního tělesa spojitým, vede k nahrazení sumačních znaků integrály:

240 40 b d V d y V d z V d a c e T, Ty, Tz. V V V ( 790 ) Výrazy v čitateli se nazývají statické momenty tělesa. V případě lineárních a plošných útvarů nám nebude výpočet těchto integrálů činit žádné potíže. Pro obecné třírozměrné těleso vede tento problém na integrály funkcí více proměnných (tzv. trojné integrály). Pokud se však zkoumané těleso vyznačuje rotační symetrií, naše úloha se tím výrazně zjednoduší. Můžeme pak využít poznatky z minulé kapitoly pro sestavení následující tabulky f Druh ttělesa Lineární tělesa Plošná tělesa Dutá rotační tělesa Rotační tělesa Statické momenty b a ( ) S f + f d y Tabulka 4 Geometrické charakteristiky b ( ) l + f d Těžiště b a ( ) S y Ty l a S + f d b S ( f g ( ) ) d y a b ( ) S f g d T S l b a S ( ) Ty S a S f g d T y S y S S yz S z 0 b T P P π f ( ) + ( f ( ) ) b d S ( ) a yz π f + f d Ty Tz 0 a S z 0 b V f d a yz π Ty Tz 0 S f d a b π T S V yz

241 4 Příklad : Stanovme polohu hmotného středu homogenní polokoule Řešení: Vězměme tu část koule, která leží v poloprostoru > 0. Dvě ze souřadnic středu T y a T z jsou z důvodu symetri nulové. Potom T r π dv 0 r dv π0 ( ) r d 4 π r 4 3 r. ( 79 ) ( ) r d 3 π r 8 3 Momenty setrvačnosti rotačních těles vzhledem k rotační ose Výpočet momentu setrvačnosti obecného tělesa je poměrně komplikovaný problém vedoucí k tenzorovým rovnicím. Pro případ eistence rotační symetrie a homogenity se dá však ukázat, že moment setrvačnosti tělesa vyjadřuje jednoduchý integrální výraz b πρ. ( 79 ) 4 J f d a Příklad 3: Vypočtěme momenty setrvačnosti následujících rotačních těles: a) válec, b) rotační kužel, c) koule, d) rotační elipsoid.

242 4 Řešení: a) v π π r mr. ( 793 ) 4 4 J ρ r d ρ r v ρ π r v b) 0 v v π r π r ρπ r v π r v r r J ρ d ρ d ρ m v v c). 0 0 r r r r r r d ρπ r ( 794 ) π 4 π π 4 4 J ρ ( r ) d ρ ( r ) d ρ r r + d d) r r r 3 5 r ρπ r 0r + 3r 8 4 r ρπ ρπ r ρ π r mr a a 0 a 4 4 b π 4 b b 4 ρ 4 a a a a π J ρ b d b + d a b b 4 4 ρπ b + d ρπb a a + a a r 0. ( 795 ) ρπb a a + a ρπb a ρ πb a b mb ( 796 ) a

243 43 3) Fyzikální aplikace Riemannova integrálu - dynamika Práce a energie Práce W vykonyná silou F() po dráze je definována jako integrál síly F() podle dráhy. W F d. ( 797 ) Působíme-li touto silou na hmotný bod hmotnosti m a vyjádříme-li sílu podle. Newtonova zákona, máme v v d dt dv dt d dt v v mv mv W m d m d m dv m v dv, ( 798 ) kde v je rychlost hmotného bodu v místě i. Specielně, pro nulovou i počáteční rychlost ( v 0) odtud dostáváme mv W. ( 799 ) Zavedeme ještě veličinu E k zvanou kinetická energie, coby míru práce, kterou je třeba vynaložit na urychlení tělesa z nulové rychlosti na výslednou rychlost v. Pak vzhledem k ( 799 ) zřejmě platí mv E k. ( 800 ) Aplikujme nyní naše dosavadní poznatky na nám již dobře známý případ homogenního gravitačního pole. To je charakterizováno působením konstantní síly velikosti

244 44 Fg mg ( 80 ) na testovací těleso hmotnosti m, kde g konst. je gravitační zrychlení. Práce, kterou je nutno v tomto poli vykonat na vyzdvižení testovacího tělesa do výšky h je podle ( 797 ) dána integrálem W m g d m g d mgh h. ( 80 ) 0 S vykonáním této práce je rovněž spojena změna jistého druhu energie. V tomto případě se jedná o energii potenciální E p. Můžeme-li zanedbat nekonzervativní síly, jako např. odpor vzduchu, pak práce vykonaná na testovacím tělese představuje energii, jež nemůže testovací těleso nijak opustit a zůstává v něm tedy trvale akumulována. V čistě konzervativním poli, se nám tak zachovává celková energie E testovacího tělesa, která je dána součtem E E + E konst. ( 803 ) k Příklad : p Jakou rychlostí dopadne na zem těleso, puštěné volným pádem z výšky h 00 m? Řešení: Protože platí tedy h R, můžeme pole považovat za homogenní. Máme z E mgh E p k mv v gh 44 m/s 59 km/h ( 804 )

245 45 Náraz do pevné překážky ve stošedesátikilometrové rychlosti tedy přibližně odpovídá pádu ze stometrové výšky na tvrdou plochu. Radiální pohyb v centrálně symetrickém gravitačním poli Pohyb v centrálním gravitačním poli je obecně popsán rovnicí d r t GM. ( 805 ) dt r t Operovat budeme v soustavě souřadné s počátkem v centru gravitačního pole. Protože gravitační pole je pole konzervativní, můžeme nalézt obecné řešení rovnice ( 805 ) prostým porovnáním E p E, ( 806 ) k kde r r Ep Fg dr G m M r dr G m M k r G m M r r 0 r r v v r r dv dr mv E F dr m dr m dv m v dv Odtud dt st r0 r0 v0 v0 v0 m dr v dt 0 r r v ( 807 ) ( 808 )

246 46 dr v0 GM dt r r0 ( 809 ) a tedy ( ) + dr GM r r v rr v GM + v dt r r rr ( 80 ) neboli dt rr GM r r v rr dr ( 8 ) a t r 0 0 dr. ( 8 ) GM ( r0 r) + v0 rr0 r rr Abychom dostali pohybovou rovnici, měli bychom odtud vyjádřit r. Provedením substituce r r v GM + GMr, GMr0 r r v GM, ( 83 ) obdržíme diferenciál ( 0 0 ) d r v GM dr. ( 84 ) Odtud, dosazením do ( 8 ), máme

247 47 r ( ) ( ) r GMr r GMr t dr d ( r0 v0 GM ) ( r0 v0 GM ) r r r GMr r v GM 0 0 r 0 0 r r d ( 85 ) Poslední integrál můžeme snadno převést substitucí GMr y GMr0, y 0 d 4GMr y 0 ( y ), dy, ( 86 ) na integrál racionální lomené funkce r0 r0 3 r0 GMr 4GM r 0 0 y r r, t d dy r v GM r v GM y jejíž epanzí dostaneme výsledek 0 0 r 0 r ( y ) ( y + ) 3 0 GM r0 y ln. + GM r0 v0 y y + y + r r ( 87 ) 3 4GM r0 t + + dy r v GM y 4 y + Odsubstituováním dostáváme hledanou pohybovou rovnici: ( 88 )

248 48 r ( r0 v0 GM ) ( ) + 3 GM r 0 r r0 v0 GM GMr 0 t + ln GM r 0v 0 r ( r0 v0 GM ) r ( r0 v0 GM ) r r0 v0 GM + + r ( r0 v0 GM ) + GMr0 r ( r0 v0 GM ) + GMr0 r r0 v0 GM + GMr 0 Příklad : ( 89 ) Za jakou dobu dopadne na zemský povrch těleso, puštěné volným pádem z výšky h 000 km? Odpor vzduchu neuvažujme. Řešení: Protože tato výška je již řádově srovnatelná s poloměrem Země, nejsme oprávněni použít aproimace homogenního pole. Proto r0 r t r dr 509,5 s. ( 80 ) ( r) G Bude zajímavé, porovnat získaný přesný výsledek s přibližným výsledkem vypočteným pro homogenní pole o konstantní intenzitě - g 9.8 m s : gt h g dt, ( 8 ) odkud t h s. ( 8 ) g 9.8 Jelikož intenzita centrálně symetrického pole klesá s druhou mocninou výšky h, kdežto u homogeního pole na h vůbec nezávisí, vychází doba volného pádu pro centrálně symetrický případ zcela pochopitelně větší.

249 49 Úniková rychlost Příklad 3: Vypočtěme, jakou minimální rychlostí je potřeba v centrálně symetrickém poli vrhnout těleso kolmo vzhůru, aby uletělo do nekonečna. Odpor prostředí opět zanedbejme. Řešení: Máme stanovit minimální kinetickou energii, která na nějaké ekvipotenciální ploše v centrálně symetrickém gravitačním poli odpovídá potenciální energii téhož tělesa v nekonečnu. To je však snadné. Vyjdeme-li ze vztahů ( 807 ) a ( 808 ) odvozených v minulém odstavci, stačí porovnat E G m M E v p m dr k 0 r r0 dt. ( 83 ) Protože počítáme minimální únikovou rychlost, máme okrajové podmínky r 0, dr dt 0, ( 84 ) čili v nekonečnu se má těleso úplně zastavit. S těmito okrajovými podmínkami se nám rovnice ( 83 ) zjednoduší na tvar GM r v. ( 85 ) 0 0 Odtud již máme výsledek

250 50 v 0 GM. ( 86 ) r 0 Pozorování: Specielně, položíme-li počáteční rychlost rovnu rychlosti světla v0 c, ( 87 ) můžeme z výrazu ( 86 ) vyjádřit poloměr r 0, pod nějž když stlačíme veškerou hmotu M, neunikne do nekonečna dokonce ani samo světlo. Jedná se o tzv. gravitační poloměr, tvořící horizont událostí, neboli hranici černé díry: r GM. ( 88 ) c 0 Např. pro celou hmotu Zeměkoule činí gravitační poloměr pouhých 9 mm. Obecná trajektorie tělesa v centrálně symetrickém gravitačním poli V centrálním gravitačním poli jsou celková mechanická energie E a moment hybnosti testovací částice b konstantní: E konst. b rmvsinα konst. ( 89 ) Tyto rovnice vyjadřují zachování celkové energie a absolutní hodnoty momentu hybnosti v průběhu pohybu. Tyto rovnice nyní přepíšeme do polárních souřadnic, v nichž se nám úloha značně zjednoduší. Pro azimutální složku rychlosti v ϕ plyne dϕ vϕ rω r, ( 830 ) dt

251 5 odkud dϕ b mr. ( 83 ) dt Pro radiální složku rychlosti v r máme v r dr, ( 83 ) dt odkud pro kvadrát celkové rychlosti plyne dr dϕ r + ϕ + v v v r dt dt. ( 833 ) Proto GMm dr dϕ GMm E Ek + E p mv m + r. r dt dt r ( 834 ) Isaac Newton (643 77) Rovnice ( 83 ), ( 834 ) tvoří hledanou soustavu diferenciálních rovnic pro určení neznámých funkcí

252 5, ( t) r r t ϕ ϕ, ( 835 ) popisujících pohyb tělesa v centrálním gravitačním poli. Dosazením ( 833 ) do ( 834 ) máme E dr b GMm m +, ( 836 ) dt mr r odkud dr E GM b + dt m r m r ( 837 ) a tedy t E GM b dr. ( 838 ) m r m r + Pro nalezení dráhy je však potřeba najít závislost r r ( ϕ ) o derivaci komposice můžeme psát. Podle věty dϕ dϕ dt, ( 839 ) dr dt dr přičemž hodnotu d ϕ dr lze určit z rovnice ( 83 ) a hodnotu dt dt z rovnice ( 837 ). Dostáváme tak dϕ b dr E GM b mr + m r m r, ( 840 )

253 53 neboli b GMm b ϕ dr arccos r b. E GM b mr + GMm m r m r me + b ( 84 ) Rovnici ( 84 ) lze upravit na tvar b GMm r odkud Eb + + cosϕ, ( 84 ) G M m 3 r ( ϕ ) GMm b Eb + + cosϕ 3 G M m, ( 843 ) což je hledaná trajektorie testovací částice vyjádřená v polárních souřadnicích. Obr. 34 Všimněme si, že je-li výraz pod odmocninou menší než, pak rovnice ( 843 ) popisuje uzavřenou eliptickou dráhu. Je-li tento výraz naopak větší než, pohybuje se testovací částice po hyperbole. Pakliže je

254 54 výraz pod odmocninou přesně jednotkový, jde o mezní případ pohybu po parabolické dráze (elipsa protažená do nekonečna). Lineární harmonický oscilátor Jak již víme, harmonickým oscilátorem rozumíme systém, jehož potenciální energie je kvadratickou funkcí souřadnic. V nejjednodušším jednorozměrném případě si jej lze představit jako pohyb bodu pod vlivem síly, která je přímo úměrná vzdálenosti bodu od rovnovážné polohy a má opačný směr, tedy d m k 0. ( 844 ) dt Řešením je harmonická funkce sin 0 ma ( ω ϕ ) + t +. ( 845 ) Pro kinetickou energii odtud dostáváme (s vědomím že v 0 0) d ma E mv m k cos ( ωt + ϕ ), dt ( 846 ) a pro energii potenciální V F d k( 0 ) d k k k k ( ) ( 0 ) kma sin ( ωt + ϕ ). ( 847 ) Celková energie harmonického oscilátoru tedy bude 0

255 55 W E + V k ( ) ma sin ωt + ϕ + cos ωt + ϕ mω ma. ( 848 ) Příklad 4: Vypočtěme práci potřebnou pro natažení pružiny tuhosti k o úsek ma. Na jaké frekvenci bude kmitat oscilátor tvořený touto pružinou a závažím hmotnosti m? Řešení: Z definice práce plyne, že máme spočítat W ma F d. ( 849 ) 0 Z diferenciální rovnice ( 379 ) ihned vidíme, že F ( ) takže k, ( 850 ) W ma ma k kma k d. ( 85 ) 0 0 Pozorování: Porovnáním vztahů ( 85 ) a ( 848 ) dospíváme okamžitě k rovnosti ( 38 ) k ω, ( 85 ) m což je zároveň odpověď na druhou část otázky.

256 56 Kinetická energie rotujícího tělesa Mechanická energie rotujícího tělesa je dána součtem kinetických energií všech jeho částic: k i i i ( ω i ) i ω i ( ω i ) i i i E m v m r m r r. Poslední výraz přepíšeme ve složkách ( 853 ) ( δ ) ω ω. ( 854 ) E m r r r k i kl i ik il k l i, k, l Definujeme-li výraz ( δ ) ( 855 ) J m r r r kl i kl i ik il i jako tenzor setrvačnosti, pak můžeme ( 854 ) přepsat v kompaktním tvaru, jako E J ω ω. ( 856 ) k kl k l k, l Protože je tenzor setrvačnsti symetrický, eistuje vždy taková soustava souřadnic, ve které je diagonální. Jeho diagonální složky v této soustavě označme J, J y, J z, a potom platí: Ek ( J ω + J yωy + J zωz ). ( 857 ) Kde ω,ω y,ω z jsou složky vektoru úhlové rychlosti v této soustavě. Specielně, zajímáme-li se pouze o rotaci vůči pevné ose, tedy ose jejíž

257 57 poloha se v tělese nemění, definujeme skalární moment setrvačnosti J vůči této ose jako J m r, ( 858 ) i i i kde r i je vzdálenost i-té částice od osy rotace. Výraz pro kinetickou energii rotujícího tělesa v tomto případě nabývá velmi jednoduchý tvar Ek Jω. ( 859 ) Příklad 5: Vypočti dobu kutálení mosazného kolečka znázorněného na následujícím obrázku, vypuštěného z klidu, po nakloněné rovině délky l m, s úhlem sklonu α arctan 0, Obr. 35 0,036 0,03 0,00 0,06 0,030 0,054 0,066 0,085

258 58 Řešení: Drážku na obvodu kola aproimujeme parabolou procházející body 0;0,070, 0,05;0,045, 0,055;0,045. Řešíme tedy rovnici [ ] [ ] [ ] A y, ( 860 ) kde 0 0 0,070 0,055 0,055 0,05 A 0,055 0,055 ; y 0,045. ( 86 ) Řešením je vektor 64,50 A y 0. ( 86 ) 0,07 Hledaná parabola je proto funkcí f 64,5 + 0,07. ( 863 ) Postranní vybrání mají tvar kulových ploch. Z naměřených hodnot metodami analytické geometrie snadno vypočteme jejich poloměr r 0,06 m. Eplicitní vyjádření ve vhodné bázi má potom tvar 0,06 g ±. ( 864 ) Zbylé části tělesa pak již tvoří pouze válce. Moment setrvačnosti tohoto kola tedy vypočteme jako

259 59 0,055 0,005 0,0 πρ J ( 64,5 + 0,07) d + 0,045 d + 0,05 d 0, ,06 0, ( 0,06 ) d 0,008 d 6,57 0 kg m 0,05 0 ( 865 ) a pro jeho hmotnost dostáváme 0,055 0,005 0,0 m πρ ( 64,5 + 0,07) d + 0,045 d + 0,05 d 0, ,06 0,036 ( 0,06 ) d 0,008 d 0,88 kg. 0,05 0 ( 866 ) Vyjádříme-li energetickou bilanci celého eperimentu, platí rovnost E mgh Jω + mv Jω + m ωr. ( 867 ) Odtud získáme velikost úhlové rychlosti kola po překonání dráhy m po nakloněné rovině: ω mgh 8 rad s J + mr -. ( 868 ) Pro obvodovou rychlost valivého pohybu na konci dráhy odtud vychází ω,9. ( 869 ) v r m s

260 60 Nyní zbývá již jen určit čas, za který těleso překoná uvažovanou dráhu. Protože úhlové zrychlení dω d ϕ ε konst., ( 870 ) dt dt platí ω ε dt εt ϕ ε ε - 8 rad s, dt t r l 3,53 rad. ( 87 ) Z první rovnice ( 87 ) vyjádříme úhlové zrychlení 8 ε ( 87 ) t a po dosazení do druhé rovnice ( 87 ) máme konečně t ϕ,68 s. ( 873 ) ω Přímým měřením byly získány tyo eperimentální výsledky: -,04 0,040 m s, v ± t,704 ± 0,060 s. ( 874 ) Rozdíly jsou v řádu setin a jsou patrně způsobeny převážně zanedbáním disipativních procesů, jako je valivý odpor, odpor vzduchu, apod.

261 6 Lebesgueův integrál Henri Léon Lebesgue (875 94) a) Základy teorie dvojného integrálu Nechť je dán v rovině y obdélník P a, b c, d. ( 875 ) Zvolme dělení intervalů a, b a c, d, tj. množin { a 0,,, m b}, { c y y y d},,,, 0 m ( 876 ) s kroky i i i i i i ( ) ( ), i,, m, y y y, i,, n. ( 877 ) množinu bodů {, y } i j τ ( 878 ) nazveme sítí s kroky ( 877 ). Ta je tvořena množstvím mn podobných obdélníků

262 6 P, y, y ( 879 ) i i j j o stranách ( 877 ). Zvolené síti dále přiřadíme číslo h τ ma i + y j ( 880 ) i, j odpovídající délce největší úhlopříčky obdélníků P ij. V každém obdélníku P ij dále zvolíme libovoný bod U p, q ( 88 ) ij i j a utvoříme integrální součet m n f ( Uij ) i y j. ( 88 ) i j Jestliže ( ( τ ) + I R : k N h R, h > 0 : h < h, U P, m n k 0 ( i,,, m),( j,,, n) : f ( Uij ) i y j I, i j ( 883 ) pak číslo I značíme (, ) I f y ddy ( 884 ) P ij ij a říkáme, že funkce f je integrabilní na obdélníku P.

263 63 Na obecné omezené množině A E definujeme dvojný integrál funkce f tak, že zvolíme obdélník P, aby platilo A P. Dále definujeme na P funkci g takovou, že g, y f, y pro, y A, g, y 0 pro, y A. ( 885 ) Říkáme, že funkce f je integrabilní na množině A, jestliže eistuje funkce g integrabilní na obdélníku P a dvojným integrálem funkce f na A je integrál funkce g na P: f (, y) ddy g (, y) ddy. ( 886 ) A P Integrál funkce f na množině A pak nezávisí na volbě obdélníku P. Integrační obory v kartézských souřadnicích Obrazce prvního typu jsou množiny bodů [, y ] ohraničené grafy funkcí a b, d y h. ( 887 ) Obrazce druhého typu jsou množiny bodů [, y ] ohraničené grafy funkcí c y d, l y p y. ( 888 )

264 64 Obr. 36 Integrační obory v polárních souřadnicích jsou množiny bodů [ ρ, ϕ ] ohraničené grafy funkcí α ϕ β, d ( ϕ ) ρ h( ϕ ). ( 889 ) Připomeňme, že vztah mezi polární a kartézskou soustavou souřadnic je dán vztahem plynoucím z definice goniometrických funkcí na jednotkové kružnici: ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ. ( 890 )

265 65 Obr. 37 Příklad : Zapišme v kartézských souřadnicích obor ohraničený křivkami 0,, y + y,. ( 89 ) Obr. 38 Řešení: Obor bude výhodné vyjádřit jako obrazec prvního typu, neboť 0, : > +. ( 89 )

266 66 Tedy 0, y +. ( 893 ) Příklad : Zapišme v kartézských souřadnicích obor ohraničený přímkami y 0, y, ( 894 ) a horní půlkružnicí R + y R. ( 895 ) Obr. 39 Řešení: Obor bude výhodné vyjádřit jako obrazec druhého typu, neboť 0, : y R R + R y y. ( 896 ) Tedy 0 y R, y R + R y. ( 897 )

267 67 Příklad 3: Zapišme v polárních souřadnicích obor ohraničený částí mezikruží v prvním a třetím kvadrantu, ohraničeného kružnicemi o poloměrech R, R, R < R. Obr. 40 Řešení: Rovnice jednotlivých kružnic jsou ρ ρ R, R. ( 898 ) Pro úhel ϕ platí 3π ϕ 0,. ( 899 ) Obor tedy zapíšeme nerovnostmi

268 68 3π 0 ϕ, R ρ R. ( 900 ) Obr. 4 Příklad 4: Zapišme v polárních souřadnicích obor ohraničený kružnicí + y R R, ( 90 ) a přímkami y, y. ( 90 )

269 69 Obr. 4 Řešení: Dosazením za a y do rovnice kružnice dostaneme postupně ρ cos ϕ + ρ sin ϕ Rρ sin ϕ + R R, ρ Rρ ϕ sin 0, ( R ϕ ) ρ ρ sin 0. ( 903 ) Poslední rovnice má řešení: ρ Rsin ϕ, ρ 0, ( 904 ) což je polární vyjádření kružnice a jejího středu. Hranice určené rovnicemi y, y se transformují do polárních souřadnic jako sinϕ cos ϕ, sinϕ cos ϕ. ( 905 ) což jsou goniometrické rovnice s kořeny

270 70 π 3π ϕ, 4 4 ( 906 ) Hledaný obor tedy zapíšeme nerovnostmi π 3 π ϕ, ρ Rsin ϕ. ( 907 ) Obr. 43 Výpočet dvojného integrálu v kartézských souřadnicích Předpokládejme, že je funkce f spojitá na oboru A. Je-li tímto oborem obrazec prvního typu, potom platí b h f (, y) ddy f (, y) dyd, ( 908 ) A a d Je-li oborem A obrazec druhého typu, potom platí

271 7 d p y f (, y) ddy f (, y) ddy. ( 909 ) A c l y Výpočet dvojného integrálu v polárních souřadnicích Zavedením substituce ( 890 ) do vztahu ( 908 ) dostaneme okamžitě vyjádření dvojného integrálu v polárním souřadném systému A ( ϕ ) β h α d (, ) (, ) f y ddy g ρ ϕ ρd ρdϕ ( ϕ ) ( ϕ ) β h α d ( ϕ ) f ρ cos ϕ, ρ sin ϕ ρd ρdϕ. ( 90 ) Obr. 44

272 7 Fubiniho věta Guido Fubini ( ) M { y y M} { } p q Je-li ortogonální průmět p : (, ) q p p+ q M y R R : (, y) M možiny M q resp. q R, pak R R resp. (, ) (, ) p q p { R R :(. ) } { R :(. ) } M y y M y M resp. R do prostoru f y ddy f y dyd, ( 9 ) (, ) (, ) f y ddy f y ddy. ( 9 ) q p p { R R :(. ) } { R :(. ) } M y y M y M Příklad 5 Spočtěme tzv. Laplaceův integrál p R I e d 0. ( 93 )

273 73 Řešení: Tento integrál nelze vypočíst pomocí hlavní Riemannovy věty, neboť primitivní funkce k integrandu neeistuje. Přesto je integrand integrabilní Lebesgueovsky, neboť funkce y e + je spojitá a kladná ve čtvrtrovině Ω R + R + a lze tedy aplikovat Fubiniho větu Ω ( + y ) y e ddy e e dyd I. ( 94 ) 0 0 Přechodem do polárních souřadnic dostáváme π π π 4, ρ ρ ρ I ρe dρdϕ ρe dϕdρ e 0< ρ< 0 0 0< ϕ< π 0 ( 95 ) odkud již. ( 96 ) I e d 0 π Příklad 6 Vypočtěme tzv. Newtonův integrál sin I d. ( 97 ) 0

274 74 Řešení: Podobně, jako v předchozím příkladu, ani zde nemá integrand primitivní funkci a proto nelze přímo aplikovat Riemannovskou integraci. Uvážíme-li však, že y R + : e dy, ( 98 ) 0 můžeme ( 97 ) napsat ve tvaru cos + ysin dy π I e sin ddy e dy. y y y + + y Geometrické aplikace dvojného integrálu Uvažujme nyní obecnou plochu S zadanou funkcí g (, y ), jejíž ( 99 ) průmětem do roviny y je obrazec A prvního, nebo druhého typu. Nechť dále funkce g a její parciální derivace g, g jsou spojité na A. Potom obsah plochy S zadané rovnicí z g (, y) y je dán vztahem S g g ds + + ddy y A. ( 90 )

275 75 Obr. 45 Důkaz: Je-li množina A obrazcem prvního nebo druhého typu, pak její obsah je určen integrálem S A ds ( 9 ) A kde v kartézských souřadnicích platí pro element obsahu ds ds ddy, ( 9 ) v polárních souřadnicích pak

276 76 ds ρdρdϕ. ( 93 ) V obecném případě funkce g (, y ) proveďme dělení množiny A ( i,, n) i. Označme S i část plochy S, jejíž průmět do roviny y je A i. Uvažujme A i (element plochy A) jako obdélník o stranách d, dy a jemu odpovídající část S i jako element plochy S. Platí S S A S i i ddy, ds. ( 94 ) Nahradíme plochu S i částí tečné roviny k ploše S v bodě [ 0, 0 ] rovina je jednoznačně určena vektory u, v, a bodem [, ] platí 0 0 y. Tato y, přičemž g a tanα d ( 95 ) odkud g a a tedy d ( 96 ) g u d,0, d, g v 0, dy, d. y ( 97 ) Obsah plochy S i se blíží obsahu rovnoběžníka u v :

277 77 g g ds u v ddyi ddyj + ddyk y g g ( d) ( dy) + ( d) ( dy) + ( d) ( dy) y g g + + ddy. y Pozorování: ( 98 ) Pro těžiště rovinného obrazce ze vztahů ( 9 ), ( 790 ) plyne jednoduchý výraz T ds y ds S S,. ( 99 ) ds ds S S Příklad 7: Vypočtěme obsahy ploch A z příkladů ( ) ( 4 ). Řešení: dyd ( + ) d ( 930 ) 0 0 0

278 78 r r+ r y r 0 y 0 dyd r + r y y dy r y y ry + r arcsin + y r y r π r r π 4 r + r + 0 ( 93 ) 3π 3π r 0 r 0 3π r r 3 ρd ρdϕ r r dϕ π r r 4 ( ) ( ) ( 93 ) 3π 3π 4 Rsinϕ 4 3π 4 ϕ sin( ϕ ) ρd ρdϕ R sin ϕ dϕ R 4 π π 0 π ( 933 ) R 3π 3π π π π R sin + sin 4 4 Příklad 8: Vypočtěme obsahy ploch S na povrchu sešikmeného oblouku g (, y) + y, jejichž průměty do roviny y jsou množiny A, vymezené křivkami a) 0 y y, ( 934 )

279 79 b) ρ r, ρ r, 3π ϕ 0, ( 935 ) Řešení: Nejprve spočteme všechny parciální derivace funkce g: g g,. ( 936 ) y Odtud ds + 4 ddy, ( 937 ) či v polárních souřadnicích ds ρ + 4ρ cos ϕ dρdϕ ( 938 ) a) dyd y + d + d ln ( + ) ln ( 939 )

280 80 b) 3π 3π r 4 cos 0 r 0 ( 4r cos + ) ( 4r cos + ) ( r r ) ( 4ρ cos ϕ + ) 3 ρ + ρ ϕ d ρdϕ dϕ cos ϕ 3π π dϕ [ r ] r 0 ϕ ϕ ϕ cos ϕ 3 π Fyzikální zobecnění: r r ( 940 ) Uvažujme libovolnou množinu M E3. Vektorovým polem na M rozumíme funkci, která každému bodu z M přiřazuje vektor a vztahem (, y, z) u(, y, z) v(, y, z) w(, y, z) a a i + j + k. ( 94 ) Z výsledků předešlého odstavce přímo plyne, že integrál g g g g ds + ddy u v + w ddy y y an a i j k S A A (,, (, )) g, y g, y u(, y, g (, y) ) v(, y, g (, y) ) + y A + w y g y ddy kde jednotkový vektor ve směru normály k zadané ploše ( 94 )

281 8 f f i j ± k u v y n ± u v f f + + y ( 943 ) odpovídá toku vektoru a plochou S. Volbou + resp. ve vztahu ( 943 ) vybíráme jednu ze stran plochy, a vztahem ( 943 ) je pak jednoznačně stanovena její orientace. Je-li a např. vektorem rychlosti kapaliny, pak ( 94 ) udává množství kapaliny, která proteče plochou S za jednotku času. Příklad 9: Určeme tok vektoru a i + yj + zk ( 944 ) plochou S tvořenou částí paraboloidu (, ) 4 g y + y, ( 945 ) ležící nad rovinou y. Obr. 46

282 8 Řešení: Vypočteme parciální derivace g g y, y. ( 946 ) Proto g g an ds a i j + k ddy a i + yj + k ddy y S A A kde A A ( ) ( 4 ) ( ) i + yj + y k i + yj + k ddy A + y + 4 y ddy y ddy, {[, ]: 4} ( 947 ) A y + y. ( 948 ) Transformací do polárních souřadnic dostaneme π π S an ds 4 + ρ ρ d ρdϕ dϕ 4 π. ( 949 )

283 83 b) Křivkový integrál Uvažujme po částech hladkou křivku C zadanou rovnicí + + C : r s s i y s j z s k, ( 950 ) kde parametr s má význam délky oblouku. V každém bodě, v němž je křivka C hladká, je pak definován jednotkový tečný vektor t ve směru rostoucího parametru s. Dále nechť je na otevřené množině M obsahující C zadáno vektorové pole ( 94 ). Jestliže eistuje číslo λ C 0 a dr at ds, 0 s λ, ( 95 ) nazývá se křivkovým integrálem vektoru a na křivce C. Z definice je patrno, že je-li C * křivka opačně orientovaná k C, pak jednotkový tečný vektor t se změní na t a dostaneme λ λ ( ) C 0 0 C a dr a t ds at ds a dr. ( 95 ) Výpočet křivkového integrálu V kapitole o Riemannově integrálu jsme si jako jednu z interpretací b f ( ) d ( 953 ) a uvedli práci síly na úsečce reprezentované intervalem, a b reálné osy. Naším úkolem bude nyní zobecnit tuto úlohu na výpočet práce síly, působící po libovolné křivce, zadané rovnicí

284 84 C : r t t i + y t j + z t k, t a, b. ( 954 ) Pro jednotkový tečný vektor t platí t r r ( t) ( t), ( 955 ) kde ( t) ( t) + y ( t) + z ( t) r. Odtud srovnáním ( 954 ), ( 775 ), ( 94 ) a ( 95 ) dostáváme b C a b a ( t) ( t) r a dr a( ( t), y( t), z( t) ) r ( t) dt r a ( ) r t, y t, z t t dt. ( 956 ) Po rozepsání pak máme b a a b a (,, ) r t y t z t t dt ( ) ( ) u t, y t, z t i + v t, y t, z t j + w t, y t, z t k t i + y t j + z t k dt, Odkud ( 957 )

285 85 C a dr b a (,, ),, ( ) u t y t z t t + v t y t z t y t + + w t, y t, z t z t dt u d + v dy + w dz. Ve vztahu ( 958 ) lze formálně psát v integrandu (,, ) (,, ) (,, ) C ( 958 ) u y z + v y z + w y z, ( 959 ) kde,,, t y y t z z t d t, dy y t, dz z t, ( 960 ) čímž je zdůvodněno označení psané napravo v ( 958 ). Podobně platí rovnost d C C a r a r t dt. ( 96 ) Výpočet křivkového integrálu, jak vidno z ( 958 ), tedy vede k úloze vypočíst Riemannův integrál. Z aditivity Riemannova integrálu okamžitě plyne též aditivita křivkového integrálu: C n i C a dr a dr. ( 96 ) i

286 86 Příklad : Vypočtěme práci vektoru F i + j ( 963 ) po křivce C : r t ti + t j, t, ( 964 ) Obr. 47 Řešení: F i + tj, r i + tj, t ( 965 ) odkud F r i j i j C 3 t 7 d ( + t )( + t ) dt ( + t ) dt t + J. 3 3 ( 966 )

287 87 Příklad : Vypočtěme práci silového pole F 4yi + j + k ( 967 ) po křivce C : r t 4icost + 4jsint + tk, t,π. ( 968 ) Řešení: F 6isint + 8jcos t + k, r 4isint + 4jcost + k, t ( 969 ) odkud π C 0 π 0 ( 6 sin 8 cos )( 4 sin 4 cos ) F dr i t + j t + k i t + j t + k dt 64sin t + 3cos t + dt 8π J. Příklad 3: Vypočtěme práci silového pole ( 970 ) F zi + 3z j + y k, ( 97 ) po dráze y 4z, ( 97 )

288 88 mezi dvěma body P P [ ] [ ] 0,0,0, 4,,. ( 973 ) Řešení: P F r 3 4 A d z d z dy y dz + + P d y dy 4 z dz y z J. 3 3 ( 974 ) Těžiště obecné křivky: Jinou z možností využití křivkového integrálu je výpočet těžiště obecné prostorové křivky, pro nějž zřejmě platí vztah (srov. ( 790 )): T f (, y, z) ds yf (, y, z) ds zf (, y, z) ds C C C,,, ( 975 ) f (, y, z) ds f (, y, z) ds f (, y, z) ds C C C kde f je hustotní pole křivky.

289 89 Konzervativní vektorová pole Definice: Vektorové pole ( 94 ) na M nazveme konzervativním (potenciálovým), jestliže na M eistuje spojitě diferencovatelná funkce f splňující rovnosti f u, f v, y f w. z ( 976 ) Věta o konzervativitě pole: mají spojité parciální derivace na množině M, která je otevřeným kruhem. Pak vektorové pole a ui + vj je konzervativní na M, právě když ve všech bodech množiny M platí rovnost Předpokládejme, že funkce u u(, y), v v(, y) u v y. ( 977 ) Důkaz: Podle předpokladu věty eistuje potenciálová funkce f, pro níž u f f, v y. ( 978 ) Potom

290 90 u f v f, y y y ( 979 ) (První výraz ve jmenovateli vyšších parciálních derivací říká, podle které proměnné se derivovalo při první parciální derivaci, druhý výraz obsahuje proměnnou, podle které se derivovalo při druhé parciální derivaci, atd.) Ze spojitosti u y, v vyplývá f y f y a tudíž vskutku u v y. ( 980 ) Zobecnění: Předpokládejme, že funkce u u(, y, z), v v(, y, z), w (, y, z) mají spojité parciální derivace na množině M, která je otevřenou koulí. Pak vektorové pole a ui + vj + wk je konzervativní na M, právě když ve všech bodech množiny M platí rovnosti w v u w v u,, y z z y. ( 98 ) Zavedeme-li vektorový operátor zvaný rotace vektorového pole předpisem i j k w v u w v u rot a,, y z z y y z u v w, ( 98 ) pak vidíme, že vektorové pole a ui + vj + wk je konzervativní na M, právě když ve všech bodech množiny M platí rovnost rot a 0. ( 983 )

291 9 Příklad 4: Nalezněme potenciál pole o intenzitě E yi + y j ( 984 ) Řešení: u, y v. ( 985 ) Pole E je tedy potenciálové a proto eistuje jeho potenciál ϕ daný rovnicí E ϕ ϕ + i y j. ( 986 ) (Připomeňme si, že potenciál pole je mírou potenciální energie testovací částice v tomto poli a ta je integrálem intenzity pole. Intenzita pole je pak mírou síly, jež v daném poli působí na testovací částici. Proto je parciální derivace potenciálu rovna intenzitě pole podél vybrané souřadnice). Odtud plyne soustava integrálních rovnic ϕ ϕ + + d y d y g ( y) c, ϕ y ϕ d ( y) dy y + h( ) + c. y ( 987 ) Dosazením z druhé rovnice do první vidíme, že

292 9 g y h 0, y, ( 988 ) odkud již plyne hledaný tvar potenciálu ϕ pole E: y ϕ (, y) y + c. ( 989 ) Věta o nezávislosti na integrační cestě: Uvažujme množinu M E3, která je otevřenou koulí, dále křivku C : r t t i + y t j + z t k, t a, b ( 990 ) ležící v M a vektorové pole (, y, z) u(, y, z) v(, y, z) w(, y, z) a a i + j + k ( 99 ) kde u, v jsou funkce spojité v M. Jestliže a je konzervativní pole, pak platí C (,, ),, b, y b, z b ( y z) ( a), y( a), z( a) f,,. a dr f b y b z b f a y a z a ( 99 ) Důkaz: Z předpokladu věty plyne eistence potenciálové funkce f (potenciálu), pro níž f f f a grad f i + j + k. ( 993 ) y z

293 93 Operátor grad f, přiřazující skalární funkci f vektorovou funkci a, nazýváme gradientem funkce f. Blíže se s jeho vlastnostmi seznámíme v kapitole o směrové derivaci. Dostáváme tak b a r C a d dy d f ( ( t), y( t), z( t) ) + f y ( ( t), y( t), z( t) ) + dt dt b, y b, z b ( y z) ( a), y( a), z( a) f,,, b a dz d + f z ( ( t), y( t), z( t) ) f ( ( t), y( t), z( t) ) dt dt dt ( 994 ) kde jsme užili větu o derivaci komposice funkcí více proměnných, (,,, p ) f h g g g, ( 995 ) která je přímočarým zobecněním věty o komposici funkcí jedné proměnné: p f ( A) h( B) gk ( A), ( 996 ) j k j k y kde B g A g A g A. ( 997 ),,, p Důsledek: Jsou-li splněny předpoklady věty o nezávislosti na integrační cestě pro jednoduchou uzavřenou křivku C a vektorové pole a, pak platí:

294 94 a d r 0. ( 998 ) C Důkaz: Zvolme na křivce C různé body A, B a rozdělme křivku C na křivky C, C, C C C ( 999 ) jak jest to znázorněno na obr. 48. Podle ( 96 ) platí + C C C a dr a dr a dr. ( 000 ) Z ( 95 ) dále plyne, že d C C a r a dr. ( 00 ) Podle věty o nezávislosti na integrační cestě je tedy d C C a r a dr, ( 00 ) neboli d C C a r a dr 0. ( 003 ) Odtud máme

295 95 C C C 0 a dr + a dr a dr. ( 004 ) Obr. 48 Definice: Integrál vektoru a po uzavřené křivce značíme a dr ( 005 ) C a nazýváme jej cirkulace vektoru a. Podle poslední věty tedy platí, že cirkulace vektoru a v konzervativním poli je nulová: a d r 0. ( 006 ) C

296 96 Příklad 5: Vypočtěme yd + dy + zdz ( 007 ) C po kružnici C : r t ir cost + j rsin t, t 0, π ( 008 ) Řešení: Všechny parciální derivace vektorového pole a iy + j + k z ( 009 ) jsou rovny nule, takže rot a 0. ( 00 ) Pole a je tedy potenciálové. Integrační cestou je uzavřená křivka, odkud již plyne, že yd + dy + zdz 0. ( 0 ) C Příklad 6: Vypočtěme C 3 ( + ) + ( 3 + ) y d y dy, ( 0 )

297 97 kde C je libovolná jednoduchá uzavřená křivka. Řešení: u y v y 3, y +, y, 3 +. ( 03 ) Odtud u y v 3 y, 3 y. ( 04 ) pole 3 ( y ) ( 3y ) a + i + + j ( 05 ) je tedy potenciálové a proto platí 3 y + d + 3y + dy 0 ( 06 ) C Definice: Orientaci uzavřené křivky nazveme kladnou, resp. zápornou, jestliže její obíhání volíme proti směru, resp. po směru hodinových ručiček.

298 98 Greenova věta George Green (793 84) Uvažujme množinu M E, jejíž hranici tvoří jednoduchá uzavřená po částech hladká křivka C. Předpokládejme dále, že funkce u v u, v,, jsou spojité na M i C. Potom platí y (, ) + (, ) (, ) (, ) y C u y d v y dy v y u y ddy, kde C je orientovaná kladně. Důkaz: Nechť je M kupř. obrazcem prvního typu: {[ ] } M ( 07 ) M :, y ; a b, f y f. ( 08 )

299 99 Obr. 49 V tomto případě lze parametrizovat C : t, y f t, t a, b, C : t, y f t, t a, b. ( 09 ) Dostaneme C C C (, ) (, ) (, ) u y d u y d u y d b a b a b a (, ), u t f t dt u t f t dt ( ) u t, f t u t, f t dt. ( 00 ) Dále platí

300 300 b ( ) y y M a f a b a f u, y ddy u, y dyd u(, y) d Z ( 00 ) a ( 0 ) vyplývá, že ( ) u, f u, f d. b ( 0 ) u(, y) d u(, y) ddy. ( 0 ) y C M Zcela analogickým způsobem dojdeme k závěru, že rovněž v(, y) d v(, y) ddy. ( 03 ) C Obr. 50 M Odtud již plyne dokazovaná rovnost

301 30 (, ) + (, ) (, ) (, ) y C u y d v y dy v y u y ddy. Důsledek: M ( 04 ) Obsah rovinného obrazce ohraničeného uzavřenou křivkou C, je roven číslu S dy y d. ( 05 ) C Důkaz: Z teorie dvojného integrálu víme, že obsah množiny M je S ddy ddy. ( 06 ) M Odtud M v, u y, y v, u. ( 07 ) Dosazením do Greenovy věty ( 07 ) odtud plyne S ddy dy y d. ( 08 ) M C

302 30 Příklad 7: Pomocí Greenovy věty vypočtěme obsah kružnice poloměru r. Řešení: r r y r r y r y r y S ddy ddy [ ] dy r y y r r r r y r y r r r y y arcsin arcsin r r y dy r + y r y r r r 3 r r π π r arcsin arcsin. Příklad 8: Vypočtěme ( 3 ) r r ( 09 ) y d + + y dy, ( 030 ) C Obr. 5

303 303 kde C je kladně orientovaná uzavřená křivka skládající se z části 3 kubické paraboly y a úsečky y. Řešení: Předpoklady Greenovy věty jsou zřejmě splněny. Dosazením do ( 07 ) vychází ( 3 ) ( ) y d y dy y y ddy C M dyd 3 y ( 3 3 ) d. 4 4 ( 03 ) Z příkladu je patrno, že není-li křivka C zadána v parametrickém tvaru, není ji nutno pro potřeby výpočtu dvojného integrálu na pravé straně ( 07 ) na tento tvar převádět. Stokesova věta 0 George Gabriel Stokes (89 903) Nechť S je orientovaná plocha s okrajem tvořeným jednoduchou, po částech hladkou uzavřenou křivkou C. Dále nechť je zadáno vektorové pole ( 94 ), přičemž u, v, w mají spojité parciální derivace na otevřené množině obsahující S a C. Pak platí

304 304 S rot an ds a dr, ( 03 ) C kde křivka C je orientována ve smyslu orientace plochy S. Jinými slovy, tok vektoru rot a plochou S je roven cirkulaci vektoru a po jejím okraji. Specielně, je-li pole a konzervativní, pak rot a 0 a tedy ronvěž a d r 0. ( 033 ) C Obr. 5 Důkaz: Nechť uzavřená křivka C tvoří hranici plochy S. Na této ploše můžeme opět vést dělící křivky, vytvářet soustavu dílčích ploch, počítat cirkulaci podél jejich hranic a sčítat je. Příspěvky k cirkulacím podél společných hranic dvou sousedních ploch se vzájemně vyruší, neboť zachováváme-li jednotný smysl obcházení křivek, budeme takovou společnou hranici obcházet vždy v opačném směru. Sumární cirkulace bude tedy rovna právě původní cirkulaci podél křivky C:

305 305 n i d i i C C a r a dr Γ. ( 034 ) i Zvolíme v prostoru bod P o souřadnicích, y, z a povedeme jím rovinu libovolné orientace. V této rovině vymezíme uzavřenou křivku malých rozměrů obklopující bod P. Plochu omezenou touto křivkou označíme S, cirkulaci podél této křivky Γ. Budeme nyní dělit tuto plošku na menší části a vyčleníme posloupnost plošek obsahujících bod P. Uvažujme limitu lim p S 0 i Γ S i ( P) i ( P). ( 035 ) Pokud tato limita eistuje, bude závislá na na volbě orientace roviny procházející bodem P, neboli na směru normály k elementární plošce, na jejíž hranici cirkulaci určujeme. Limitu ( 035 ) tak můžeme považovat za projekci určitého vektoru do směru normály k ploše. ( P) Γi n rot a lim ( p. ( 036 ) ) ( P) Si 0 S i Projekce vektoru rot a do daného směru tedy představuje poměr cirkulace pole a po obvodu malé kolmé plošky k velikosti této plošky. Vztah ( 034 ) nyní upravíme do tvaru n n Γi Γ a dr Γ i Si. ( 037 ) Si C i i Pro každý bod P na ploše S můžeme vytvořit posloupnost neomezeně se zmenšujících dílčích plošek tento bod stále obsahujících, V limitě

306 306 Γi přejde tedy podíl v rot a a suma na pravé straně ( 037 ) S i v integrál přes celou plochu S: C S a dr rot a ds. ( 038 ) Příklad 9: Ověřme platnost Stokesovy věty pro vektorové pole (, y, z) z + + y a i j k ( 039 ) a plochu S tvořenou částí paraboloidu z y 4 ( 040 ) odříznutou rovinou z 0 a orientovanou vektorem n podle obr. 53. Obr. 53

307 307 Řešení: Vypočteme rotaci vektorového pole a: rot a yi + j + k. ( 04 ) Pro plochu g (, y, z) 4 y vektor g g i j + k i + yj + k ( 04 ) y souhlasí se zadanou orientací plochy a tedy n i + yj + k. ( 043 ) Potom S 4 y 4 y A rot an ds yi + j + k i + yj + k ddy 4y + 4y + ddy 4 π. ( 044 ) Nyní spočteme křivkový integrál. Parametrizací C dostaneme C : r t icost + j sin t, t 0,π. ( 045 ) Pak C C π 0 a dr z d + dy + y dz 4 cos t dt t + sin t 4π. π 0 ( 046 )

308 308 c) Úvod do teorie trojného integrálu Zobecněním dvojného integrálu je tzv. objemový, čili trojný integrál, popř. výcečetné integrály, definované v prostorech o větším počtu dimenzí. Vzájemný vztah mezi objemem prostoru určeným trojným integrálem, uzavřenou plochou obklopující tento objem a zadaným vektorovým polem, které touto plochou protéká, popisuje tzv. Gaussova Ostrogradského věta. Nechť je dán v prostoru yz kvádr P a, b a, b a, b. ( 047 ) 3 3 Zvolme dělení intervalů a, b tj. množin l l { a 0,,, m b }, { a y y y b },,,, 0 n { a3 z0 z z p b3},,,, ( 048 ) s kroky i i i i i i i i i ( ) ( ) ( ), i,, m, y y y, i,, n, z z z, i,, p, ( 049 ) množinu bodů { i j k } τ, y, z, i,,, m, j,,, n, k,,, p ( 050 ) nazveme sítí s kroky ( 049 ). Ta je tvořena množstvím mn podobných kvádrů P, y, y y, y ( 05 ) ijk i i j j k k

309 309 o stranách ( 049 ). Zvolené síti dále přiřadíme číslo ma i j k i, j, k h τ + y + z ( 05 ) odpovídající délce nejdelší tělesové úhlopříčky kvádrů P ijk. V každém kvádru P ijk dále zvolíme libovoný bod U u, v, w ( 053 ) ijk i j k a utvoříme integrální součet m n p f ( Uijk ) i y j zk. ( 054 ) i j k Jestliže ( R R R ( τ ) ( i,,, m),( j,,, n),( k,,, p) I : q h, h > 0 : h < h, U P, : f ( Uijk ) i y j zk I q, m n p i j k ( 055 ) kde q je libovolně malé číslo, pak číslo I značíme (,, ) I f y z ddydz ( 056 ) Q ijk ijk a říkáme, že funkce f je integrabilní na kvádru Q.

310 30 Na obecné omezené množině B E3 definujeme trojný integrál funkce f tak, že zvolíme kvádr Q, aby platilo B Q. Dále definujeme na Q funkci g takovou, že g, y, z f, y, z pro, y, z B, g, y, z 0 pro, y, z B. ( 057 ) Říkáme, že funkce f je integrabilní na množině B, jestliže eistuje funkce g integrabilní na kvádru Q a trojným integrálem funkce f na A je integrál funkce g na Q: f (, y) ddy g (, y) ddy. ( 058 ) B Q Integrál funkce f na množině A pak nezávisí na volbě kvádru Q. Integrační obory v kartézských souřadnicích Obrazce prvního typu jsou množiny bodů [, y ] ohraničené grafy funkcí a b,, d y h D, z z H, z. ( 059 ) Obrazce druhého typu jsou množiny bodů [, y ] ohraničené grafy funkcí c y d,, l y p y D, y z H, y. ( 060 )

311 3 Obr. 54 Integrační obory v cylindrických souřadnicích jsou množiny bodů [ ρ, ϕ, z] ohraničené grafy funkcí α ϕ β, d ( ϕ ) ρ h( ϕ ), ( ρ ϕ ) ( ρ ϕ ) D, z H,. ( 06 ) Připomeňme, že vztah mezi cylindrickou a kartézskou soustavou souřadnic je dán vztahem plynoucím z definice goniometrických funkcí na jednotkovém válci: ρ cos ϕ, y ρ sin ϕ, z z. ( 06 )

312 3 Obr. 55 Integrační obory ve sférických souřadnicích jsou množiny bodů [ r, ϕ, ϑ ] ohraničené grafy funkcí α ϕ β, γ ϑ δ, ( ϕ ϑ ) ( ϕ ϑ ) D, r H,, ( 063 ) Připomeňme, že vztah mezi sférickou a kartézskou soustavou souřadnic je dán vztahem plynoucím z definice goniometrických funkcí na jednotkové kouli: r cosϕ sin ϑ, y r sinϕ sin ϑ, z r cos ϑ. ( 064 )

313 33 Obr. 56 Integrační obory v eliptických souřadnicích Jedná se o zobecněný tvar sférických souřadnic. Vztah mezi eliptickou a kartézskou soustavou souřadnic je dán vztahem acosϕ cos ϑ, y bsinϕ cos ϑ, z csin ϑ. ( 065 ) Objem a těžiště obecného tělesa Je-li množinou B těleso mezi grafy spojitých funkcí, její objem V B je roven V B dv, ( 066 ) B kde v kartézských souřadnicích platí dv ddydz, ( 067 )

314 34 v cilindrických souřadnicích platí dv ρd ρdϕdz, ( 068 ) Obr. 57 ve sférických souřadnicích platí dv r sinϑdrdϕdϑ. ( 069 ) Obr. 58

315 35 a v eliptických souřadnicích platí dv abccosϑdϑdϕ. ( 070 ) Věta: Je-li D nezáporná spojitá funkce na A, vyjadřuje dvojný integrál H (, y) D(, y) ds ( 07 ) A objem tělesa ohraničeného sdola a shora plochami z z D, y, H, y, ( 07 ) a válcovou plochou, jejíž řídící křivkou je hranice oboru A. Důkaz: Předpokládejme, že funkce f je spojitá na oboru B E3. Je-li obor B těleso určené nerovnostmi a b,, d y h D, y z H, y, ( 073 ) potom můžeme psát b (, ) h H y f (, y, z) dv f (, y, z) dzdyd. ( 074 ) B (, ) a d D y

316 36 Určíme objem tělesa B mezi grafy spojitých funkcí z D(, y) z H (, y), (, y) A, D H., (, ) V dv dz ddy z ddy B H y B A D y A A (, ) H, y D, y ds. H (, y) [ ] D (, y ) ( 075 ) Příklad : Vypočtěme objem rotačního paraboloidu z + y ( 076 ) oříznutého rovinou z. ( 077 ) Obr. 59

317 37 Řešení: V kartézských souřadnicích můžeme dané těleso vyjádřit buď jako obrazec prvního typu:, y, y z +, ( 078 ) nebo jako obrazec druhého typu:, z y z z., ( 079 ) V cilindrických souřadnicích je však toto těleso určeno mnohem jednoduššími nerovnostmi 0 ϕ π, 0 ρ, ρ z. ( 080 ) Podle ( 066 ) tedy máme V π π 0 0 ρ 0 0 π π π [ ] V ρ dρdϕdz ρ dzd ρdϕ ρz d ρdϕ 3 ρ ρ π ( ρ ρ ) d ρdϕ dϕ dϕ. 4 4 ρ ( 08 )

318 38 Příklad : Vypočtěme objem množiny ohraničené plochami + y + z R, z a, z b, ( 08 ) kde 0 < a < b < R. ( 083 ) Obr. 60 Řešení: Množinu nelze zapsat jako jedno z těles mezi grafy spojitých funkcí, neboť horní plocha se skládá z části roviny z b a části polokoule. Úloha je osově symetrická vzhledem k ose z a proto využijeme transformace do cylindrických souřadnic (viz obr. 6).

319 39 Obr. 6 Hleaný obrazec je sjednocením válce poloměru R a výšky b a, o objemu π V π R b a R b b a, ( 084 ) s tělesem objemu V určeným nerovnostmi 0 ϕ π, R ρ R a z R ρ., ( 085 ) R je poloměr kružnice vzniklé řezem kulové plochy + y + z R ( 086 ) rovinou z b, tj. + y R b. ( 087 ) Odtud je R R b. ( 088 )

320 30 Analogicky vypočteme poloměr R R a. ( 089 ) Tedy ( R ) π R R ρ V 0 R a V ρ d ρdϕdz ρ dzd ρdϕ π R b a b a ρ ρ a dρdϕ π. 3 R ( 090 ) Hledaný objem proto je b a V V + V π ( 3R a ab b ). ( 09 ) 3 Poznámka: Povšimněme si, že ke stejnému cíli vede díky osové symetrii předchozích dvou příkladů i jednodušší cesta a tou je přímé použití Riemannova integrálu namísto integrálu objemového. Tak např. poslední příklad směřuje přímo na integrál b b J π ( r ) d π ( r ) d π r a a 3 3 ( ) 3 3 b a 3 3 π r b r a + π 3 r b a b a b a π ( 3 r ( b a) ( b a)( b + ab + a )) π ( 3 r b ab a ). 3 3 ( 09 ) b a

321 3 Pozorování: Ze vztahů ( 066 ), ( 790 ) plyne pro těžiště obecného tělesa jednoduchý vztah T dv y dv z dv V, V, V. ( 093 ) dv dv dv V V V Gaussova Ostrogradského věta, divergence vektorového pole Mějme vektorové pole (, y, z) Michail Vasilěvič Ostrogradskij (80 86) F které protéká uzavřenou plochou S, tvořící hranici tělesa G objemu V. Tok pole F touto plochou je pak dán plošným integrálem. Φ F S d S ( 094 )

322 3 Obr. 6 Rozdělme nyní objem V na N menších objemů V i. Určíme toky pole Φ i plochami S i ohraničujícími tyto dílčí objemy a budeme je sčítat. Opět lze snadno ukázat, že toky vnitřními styčnými ploškami se v tomto součtu navzájem vyruší, neboť při sčítání toků skrze hranici dvou sousedních objemů se objeví jednou s kladným a podruhé se záporným znaménkem (vytéká-li pole z jednoho objemu, zároveň vtéká do sousedního). Sumární tok bude proto roven právě původnímu toku plochou S: N N Φ i F id S i i S Φ. ( 095 ) i Zmenšujeme-li limitně objemy V i, zůstává jejich součet konstantní. Se zmenšováním V i se zmenšují i Φ i ale jejich součet Φ se rovněž nemění. Nabízí se tedy možnost vytvořit podíl těchto dvou neomezeně se zmenšujících veličin a prozkoumat vlastnosti jeho limity. Zvolíme v prostoru bod P o souřadnicích, y, z a obklopíme jej malým objemem V. Tok plochou ohraničující tento objem označíme Φ. ( P) Vytvoříme posloupnost neustále se zmenšujících částí objemu V i

323 33 V, které obsahují bod P. Této posloupnosti bude odpovídat ( P) posloupnost toků Φ. Označíme i ( P) Φi div F lim ( P. ( 096 ) ) ( P) Vi 0 V i Tato limita, pokud eistuje, představuje tok pole F v bodě P vztažený k jednotce objemu. Nazýváme jej divergencí pole F v bodě P. Upravíme-li nyní vztah ( 094 ) na tvar N N Φi Φ F d S Φ i Vi. ( 097 ) Vi S i i V limitě posloupností neustále se zmenšujících objemů obsahujících Φi vždy jeden z bodů tělesa G se souřadnicemi, y, z přejde podíl V i v divergenci pole F a sumu na pravé straně ( 097 ) můžeme nahradit integrálem přes objem V: S V Φ F ds divf dv. ( 098 ) Tím jsme odvodili jednu z nejdůležitějších vět matematické analýzy, známou jako Gaussova Ostrogradského věta. Tato věta jinými slovy říká, že Tok vektorového pole F uzavřenou plochou je roven celkové divergenci tohoto pole v objemu uzavřeném touto plochou. Pozorování: Vztah ( 098 ) umožňuje přejít od objemového integrálu k plošnému integrálu přes ohraničující plochu. Specielně, volíme-li F i + yj + zk, ( 099 )

324 34 můžeme pomocí Gauusovy Ostrogradského věty stanovit objem V G tělesa G výpočtem plošného integrálu přes hranici tělesa G: V G d 3 F S. ( 00 ) S Zbývá nám již jen odvodit vztah pro výpočet div F. k tomuto účelu uvažujme elementární objem tvaru kvádru o hranách, y, z rovnoběžných s odpovídajícími osamy kartézské soustavy. Tok dvojicí rovnoběžných podstav tohoto kvádru bude Φ Φ + Φ Fz, y, z + z y Fz, y, z y Fz y z. z Celkový tok povrchem kvádru tedy bude ( 0 ) F F F y z y z Φ + + V, ( 0 ) kde V y z. Odtud již plyne, že F F y Fz divf + +. ( 03 ) y z Příklad : Vypočtěme objem tělesa T 3 3 y z (, y, z) R : + + ( 04 ) a b c kde a, b, c > 0 jsou konstanty.

325 35 Řešení: Jedná se o obecný elipsoid s poloosami a, b, c, pro jehož výpočet bude výhodné volit eliptické souřadnice ( 065 ). Zřejmě je 0 ϕ π, π π ϑ. ( 05 ) Využijeme-li Gaussovu Ostrogradského větu, okamžitě dostáváme V dv + y + z d dydz + ydzd + zddy 3 i j k S 3 V S A π π abc ( cos ϕ cos ϑ + sin ϕ cos ϑ + sin ϑ ) cosϑdϑdϕ 3 0 π π π abc 3 ( cos ϑ + cosϑ sin ϑ) dϑdϕ 3 0 π π π 4 [ ] abc dϕ abc ϕ π abc. Solenoidální vektorová pole ( 06 ) Vektorové pole, které je možno vyjádřit jako rotaci nějakého jiného vektorového pole: F rot G, ( 07 ) se nazývá solenoidálním polem. Vytvořme uzavřenou plochu S ze dvou jiných ploch S a S o společné hranici l. Podle Stokesovy věty tok pole ( 04 ) uzavřenou plochou S S + S bude

326 36 S S S S F ds rot G ds rot G ds rot G ds l l G dl G dl 0. ( 08 ) Aplikujeme nyní Gaussovu Ostrogradského větu a dostaneme S V rot G ds div rot G dv 0. ( 09 ) Vzhledem k libovůli ve volbě plochy S a objemu V musí v celém prostoru platit div F div rot G 0. ( 0 ) Toto je tedy nutná a postačující podmínka k tomu, aby pole F bylo solenoidální. Odtud zároveň plyne fyzikální představa solenoidálního pole. Siločáry takového pole nesmějí mít nikde v prostoru kladné zdroje (zřídla) ani záporné zdroje (odtoky), což je přesný opak konzervativních polí. Na rozdíl od konzervativních polí se siločáry solenoidálních polí uzavírají samy do sebe, tj. vytvářejí tzv. víry. Příkladem solenoidálního pole je třeba magnetické pole, zatímco příkladem konzervativního pole je pole elektrické, či gravitační. Obecné vektorové pole samozřejmě nemusí být ani konzervativní ani solenoidální, tj. div F 0 rot F. ( ) Lze však dokázat, že každé vektorové pole, které dostatečně rychle klesá v nekonečnu, může být jednoznačným způsobem rozloženo na součet konzervativního a solenoidálního pole.

327 37 Poznámka: Z interpretace plošného integrálu víme, že udává množství kapaliny, které proteče plochou S za jednotku času. Toto množství udává též trojný integrál na pravé straně ( 098 ), který je limitou integrálních součtů, kde se sčítají hodnoty div a v bodech množiny G uvnitř S. V některých bodech je div a > 0 (zřídla), v jiných je div a < 0 (odtoky), nebo div a 0. Jestliže S an ds > 0, ( ) pak ze zřídel vytéká větší objem kapaliny, než stihne odtékat odtoky. V případě, že S an ds < 0, ( 3 ) je tomu přesně naopak. V prvním případě plochou kapalina odtéká, v druhém kapalina do plochy vtéká. Hamiltonův a Laplaceův operátor, směrová derivace Skalárním polem f rozumíme libovolnou funkci n proměnných. Jedná se o funkce, které přiřazují bodům přímky, roviny, prostoru či hyperprostoru skalár. Ve fyzice odpovídá skalárnímu poli např. teplotní pole, v geografii např. nadmořská výška, apod. Definujme Hamiltonův operátor nabla, předpisem,,. ( 4 ) y z

328 38 Sir William Rowan Hamilton ( ) Povšimněme si, že podle definice rotace vektorového pole ( 98 ) platí rot F F. ( 5 ) Podobně, pro divergenci vektorového pole máme div F F. ( 6 ) Působením operátoru nabla na libovolné skalární pole f vzniká nám již známý vektor gradient pole f: f f f f grad f,,. ( 7 ) y z Skalárním součinem operátoru nabla se sebou samým vzniká tzv. Laplaceův operátor delta div grad, ( 8 ) y z + + který může působit jak na skalární, tak i na vektorová pole.

329 39 Pierre-Simon, markýz de Laplace (749 87) Podobnou vlastnost má též operátor s s + s y + s z. ( 9 ) s y z Nazýváme jej směrovou či Gateauovou derivací podle vektoru s. René Eugène Gateau (889 94) Rovněž i tento operátor může působit jak na skalární, tak na vektorová pole:

330 f f f s f s + sy + sz, y z F F F F F F s F s + sy + sz s + sy + sz, ( 0 ) y z y z Fy Fy Fy Fz Fz F z s + sy + sz, s + sy + sz. y z y z Bude-li s jednotkový vektor, potom výraz s f je projekcí gradientu skalárního pole f do směru s, a je tedy totožný s derivací pole v tomto směru. Podobně výraz s F můžeme interpretovat jako derivaci vektorového pole ve směru s. V případě funkcí dvou proměnných lze charakterizovat směrovou derivaci přesněji geometricky, viz obr. 63: tečna průsečnice grafu funkce f s rovinou procházející bodem A [ a, a,0] a rovnoběžnou s vektory s a k svírá s vektorem s úhel ϕ, pro který platí tanϕ f P s Obr. 63. ( ) 330

331 33 Směrová derivace je tak zobecněním pojmu parciální derivace. Popisuje, jak rychle se mění v bodě P závisle proměnná s pohybem ve směru obecného vektoru s. Příklad : Určeme směrovou derivaci funkce (, ) f y + y + y ( ) v bodě P [,] ( 3 ) ve směru s,. ( 4 ) Řešení: y s f, ( + y,4y + ) + + y +. ( 5 ) Odtud f ( P) s ( P) 4 s f. ( 6 ) Příklad : Určeme jednotkový vektor s, v jehož směru je směrová derivace funkce (, ) f y + y + y ( 7 )

332 33 v bodě P [,] ( 8 ) největší a určeme její hodnotu. Řešení: Gradient funkce f v bodě P je ( P) ( 3,5) f. ( 9 ) Největší směrová derivace funkce v bodě P nastává ve směru jednotkového vektoru s, pro který platí s a grad f P 3 a,5 a, a > 0. ( 30 ) Odtud s 9a + 5a a 34, ( 3 ) a tedy a. ( 3 ) 34 Proto 3 5 s,. ( 33 ) Výsledek:

333 s f, ( + y,4 y + ) + y + y ( 34 ) Odtud f ( P) s ( P) 34 s f. ( 35 ) Tečná rovina Definici tečny grafu funkce jedné proměnné, můžeme snadno zobecnit na funkce více proměnných v bodě P [ p, p,, pn ]: n n f ( p) f ( p), f X f P + d f P + p P i i i i i i i kde suma n n f p f p df X d p P i i i i i i i ( 36 ) ( 37 ) představuje diferenciál funkce f více proměnných, v bodě P. Specielně pro funkce f dvou reálných proměnných odpovídá rovnice P p, p : ( 36 ) rovnici tečné roviny grafu funkce f v bodě [ ] f P f P z f ( P) + p + y p y. ( 38 )

334 334 Obr. 64 Příklad : Určeme tečnou rovinu k ploše z y y + + ( 39 ) v bodě P [,]. ( 40 ) Řešení: Uvedená plocha je grafem funkce (, ) f y + y + y. ( 4 )

335 335 Funkce je diferencovatelná v bodě P a její diferenciál je P 3( ) 5( ) df X + y. ( 4 ) Protože f ( P ) 4, ( 43 ) je hledaná rovnice tečné roviny v bodě P z y. ( 44 ) Uvedením na obecný tvar dostáváme 3 + 5y z 4 0. ( 45 ) Taylorův rozvoj funkce více proměnných Analogicky, jako u funkcí jedné proměnné, lze i funkce více proměnných rozvinout v řadu pomocí zobecněné Taylorovy věty: Je-li m přirozené číslo a je-li funkce f v bodě P m-krát diferencovatelná, pak eistuje jediný její Taylorův polynom t ( X ) m-tého řádu v bodě P, přičemž platí: m k tm, P ( X ) d fp ( X ). ( 46 ) k! k 0 Je-li m přirozené číslo a je-li funkce f v bodě P diferencovatelná B U P γ 0, takové, že: ( m + )-krát a je-li pak eistuje δ f B t B + d f B + B P m+ γ + γ ( m + )! m, P P B P m, P. ( 47 )

336 336 Druhý člen na pravé straně vyjadřuje chybu náhrady funkční hodnoty f(b) hodnotou Taylorova polynomu m-tého řádu v bodě P. Příklad : Určeme Taylorův polynom druhého řádu funkce (, ) f y y ( 48 ) v bodě P (,), a určeme chybu aproimace funkce f tímto polynomem na jednotkovém okolí bodu P. Řešení: Nejprve spočteme všechny první a druhé parciální derivace funkce f: f y f y y, ln, y f y f y f f y y( y ), ln, ( + y ln ). y y y y ( 49 ) Dále f P f P dfp ( X ) p + y p, y ( P) ( P) ( P) + + y y y d fp ( X ) p p y p y p Proto ( )( y ). + ( ) + ( )( ) + ( ) + ( ) ( 50 ) t, P X y y. ( 5 )

337 337 Nyní spočteme 3 d f B B P A γ γ B P + +. ( 5 ) Platí věta: Je-li funkce f n proměnných m-krát diferencovatelná v bodě P, pak všechny m-té parciální derivace v bodě P lišící se jen pořadím parciálního derivování jsou si ronvy. Je-li tedy funkce f dvou proměnných třikrát diferencovatelná v bodě P, pak platí f f f, y y y f f f, y y y y y y ( 53 ) Postačí nám tedy spočítat pouze následující třetí derivace 3 f 3 f y 3 f y y 3 f y y y y y y y 3, + y y y y ln, ( ln ln ) + y y 3 ln. y ( 54 ) Hledaný třetí diferenciál v bodě C tak bude mít tvar

338 338 f f + + y d fc X c c y c f f ( c )( y c ) + ( y c ). y y y y y ( 55 ) Neboli c 3 ( ) 3 d fc X c c y c Pak + 3 c + 3 c + c c ln c c c y c + ( c c c ) 3 c c c c y c c c ( y c ) ln + ln + ln. ( 56 ) [ ] γ B b, b U P 0, : 6 3 γ b : b t B + d f B + B P., P A+ γ B A δ ( 57 ) Dosadíme-li nyní do ( 56 ) C P + γ B P X B + γ B P,, ( 58 ) dostáváme konečný výsledek. Protože bod B jsme si stanovili uvnitř jednotkového okolí bodu P, můžeme volit např. B γ, (, ), ( 59 ) a máme C X [ ] [ ],,,3. ( 60 )

339 339 Odtud plyne 3 d f B B P A γ + 0. ( 6 ) + γ B P Na jednotkovém okolí bodu P tak Taylorův polynom + ( ) + ( ) t, P X y ( 6 ) aproimuje funkci (, ) f y y ( 63 ) s absolutní přesností. Lokální etrémy funkce více proměnných Lokální etrémy funkce více proměnných mohou být pouze v těch vnitřních bodech jejího definičního oboru, v nichž každá první parciální derivace, která eistuje, nabývá hodnoty nula. Body, v nichž všechny první parciální derivace eistují a jsou rovny nule, nazveme stacionárními body funkce f. Pro stacionární body funkce f tak platí podmínka ( P) f 0. ( 64 ) Analogicky, jako u funkcí jedné proměnné však funkce ještě nemusí mít ve stacionárním bodě lokální etrém, alébrž tzv. sedlový bod (vícerozměrnou analogii infleního bodu). Nutná a postačující podmínka pro eistenci lokálního etrému je u funkcí více proměnných komplikovanější, než u funkcí jedné proměnné a zní: Věta: Nechť funkce f dvou nebo více proměnných je dvakrát diferencovatelná ve svém stacionárním bodě P. Je-li

340 340 D P > 0, D P > 0,, D P > 0, ( 65 ) resp. n D P < 0, D P < 0,, D P < 0, ( 66 ) kde n n f P f P f P f P f P f P D P f P f P f P n n n n n n, ( 67 ) pak má funkce v bodě P lokální minimum, resp. maimum. Je-li však D P 0, D P 0,, D P 0 ( 68 ) n a zároveň neplatí ( 65 ) ani ( 66 ), potom funkce f nemá v bodě P lokální etrém ale má v něm sedlový bod. Poznámka: V bodech, v nichž funkce f splňuje kritérium ( 65 ) ji nazýváme pozitivně definitní. V bodech, v nichž funkce f splňuje kritérium ( 66 ) ji nazýváme negativně definitní. V bodech v nichž funkce f splňuje kritérium ( 68 ) ji nazýváme indefinitní.

341 34 Vázané etrémy funkce více proměnných Nechť f a g jsou funkce n proměnných. Řekneme, že funkce f má v bodě P vázané maimum s vazbou g(x) 0, jestliže g(a) 0 a X D f : f X f A, g X 0. ( 69 ) Řekneme, že funkce f má v bodě P vázané minimum s vazbou g(x) 0, jestliže g(a) 0 a X D f : f X f A, g X 0. ( 70 ) Vázaná maima a minima nazýváme souhrnným názvem vázané etrémy. Příklad : Určeme vázané lokální etrémy funkce (, ) f y + y ( 7 ) (sedlová plocha) s vazbami a) y + 0, b) c) + y 4 0, ( 7 ) y y

342 34 Obr. 65 Řešení: a) y ϕ +, ( 73 ) takže ϕ, ( 74 ) h f Úloha se tak redukuje na problém nalezení globálních etrémů funkce jedné proměnné. dh d, ( 75 ) odkud

343 343 ( 76 ) 3 d h 6 d. ( 77 ) Bod je tedy globálním maimem funkce h, globální minimum 3 tato funkce nemá. Odtud vyplývá, že funkce f má vázané maimum /3 v bodě,, 3 3, ( 78 ) [ y] vázané minimum nemá. Pozorování: Geometricky úloha nalezení vázaných etrémů znamená nalezení etrémních hodnot podél zadané vazby. b) Vazbu v tomto případě tvoří kružnice se středem v počátku a poloměrem. Kružnice, jak víme, sama o sobě není funkcí, lze ji však vyjádřit jako sjednocení dvou funkcí: ϕ ϕ ( ) ( ) 4, 4. ( 79 ) Obě funkce jsou definovány na intervalu,. Dále

344 344 h h h dh 4 0. d 4 4, ( 80 ) Odkud 0 ( 8 ) je bod lokálního minima, neboť d h 4 d. ( 8 ) Navíc jsou zde dvě globální maima v bodech - a. Původní funkce 0,, 0, a vázané maimum f má tedy vázané minimum v bodech [ ] [ ] v bodech [,0 ], [,0]. c) Zde se nám nepodaří převést implicitně formulovanou vazbu do eplicitního tvaru. V tomto případě se užívá tzv. Lagrangeova metoda: nejprve utvoříme novou funkci h f + λg, ( 83 ) kde g je vazba a λ je číslo, které volíme tak, aby stacionární body funkce h byly současně kořeny g. Jednotlivé stacionární body funkce h pak testujeme na lokální etrémy a má-li v některém z nich funkce h lokální etrém, má v něm funkce f vázaný lokální etrém téhož typu s podmínkou g(x) 0. Určení stacionárních bodů funkce h tak vede na soustavu rovnic

345 345 f f f g + λ 0, g + λ 0, n ( 84 ) g + λ 0, n g 0. Jedná se o soustavu o n + neznámých (n neznámých tvoří souřadnice,,, n příslušného stacionárního bodu a další neznámou je číslo λ). V našem případě tedy dostáváme 3 3 (, ) λ ( 3 ) h y + y + + y y. ( 85 ) Pro její stacionární body z ( 84 ) plyne ( ) ( ) + λ 3 3y 0, y + λ 3y 3 0, y z ( 86 ) Řešením této soustavy jsou dva stacionární body funkce h: [ ] 0,0, λ R, 3 3 4,, λ. 3 ( 87 ) Snadno zjistíme, že v počátku má funkce h např. pro λ 0 lokální minimum, takže funkce f má v počátku vázané lokální minimum.

346 V bodě,, λ má funkce h lokální maimum, takže funkce 3 f zde má vázané lokální maimum. Úvod do řešení parciálních diferenciálních rovnic Schrödingerova rovnice Představa částic, coby drobných kuliček analogických běžným objektům známým z makrosvěta, začíná selhávat již zhruba při Planckových hmotnostech (0-8 kg). Při ještě menších hmotnostech částic se začíná stále výrazněji projevovat jejich vlnová podstata. Již v roce 905 ukázal Albert Einstein, že fotoelektrický jev je vysvětlitelný pouze za předpokladu, že elektromagnetické záření má mimo obvyklých vlnových, zároveň i korpuskulární vlastnosti. Postuloval tak částici světla, která byla později nazvána foton. Energie fotonu o frekvenci ν je dána jednoduchým Einsteinovým vztahem E ν h, ( 88 ) za jehož odvození Einstein obdržel Nobelovu cenu v roce 9. Albert Einstein ( ) Vidíme tedy, že energie fotonu je přímo úměrná jeho frekvenci, kde konstantou úměrnosti je přitom Planckova konstanta h J s, která vyplynula z ještě dřívějších úvah Mae Plancka (psal se rok 900) o vlastnostech vyzařování absolutně černého tělesa.

347 347 Ma Karl Ernst Ludwig Planck ( ) V kvantové mechanice je obvyklé pracovat nikoli s frekvencemi, ale s úhlovými frekvencemi ω πν. ( 89 ) V této symbolice má pak Einsteinova formule ( 88 ) obvyklejší tvar E ω ħ, ( 90 ) h kde ħ je tzv. redukovaná Planckova konstanta která je π považována za skutečně elementární kvantum akce (veličiny dané součinem energie a času). Protože mezi frekvencí a vlnovou délkou platí jednoduchý převodní vztah c ν, ( 9 ) λ kde c je rychlost postupu vlnění, dostáváme pro energii fotonu alternativní vyjádření E c h λ m c. ( 9 )

348 348 Počátkem 0. let minulého století navrhl francouzský fyzik Louis de Broglie, že by formule ( 9 ) měla platit zcela obecně nejen pro fotony, ale i pro všechny ostatní částice. Z rovnosti ( 9 ) okamžitě plyne de Broglieův vztah mezi hybností částice p a její vlnovou délkou λ : λ h h mu p, ( 93 ) kde u nyní značí obecně rychlost částice. Louis Victor Pierre Raymond vévoda de Broglie (89 987) De Broglieova hypotéza byla skutečně eperimentálně potvrzena v eperimentech s elektrony a dalšími částicemi, které po průchodu dvěmi úzkými štěrbinami vzájemně interferovaly, jako by se vskutku jednalo o vlnění o vlnové délce λ. Jestliže jsou částice zároveň vlněním, pak musí být popsány obecnou vlnovou funkcí: ψ Aep iω t u. ( 94 ) Dosadíme-li do tohoto obecného výrazu πν za ω a λν za u, dostaneme vlnovou funkci zcela konkrétní částice: ψ Aep π i ν t λ, ( 95 )

349 349 neboli z de Broglieova vztahu i ψ Aep Et p ħ. ( 96 ) Výraz ( 96 ) je matematickým vyjádřením vlnového ekvivalentu volné částice s celkovou energií E a hybností p, pohybující se ve směru +. Jestliže částice podléhá nejrůznějším omezením, jakým je např. dutina rezonátoru, potřebujeme znát základní diferenciální rovnici, pro funkci ψ v takovémto omezujícím prostředí. Derivujeme li ( 96 ) dvakrát podle a jedenkrát podle t, dostaneme ψ p ψ ħ ψ ie ψ, t ħ ( 97 ) Odtud ψ p ψ ħ, ( 98 ) ħ ψ Eψ. i t ( 99 ) Při nerelativistických rychlostech (malých ve srovnání s rychlostí světla) je celková energie E částice prostým součtem její energie kinetické a potenciální energie V, která je obecně funkcí polohy a času t : E p + V. ( 00 ) m Vynásobením této rovnice vlnovou funkcí ψ částice máme

350 350 p ψ Eψ + Vψ. ( 0 ) m Dosazením výrazů ( 98 ) a ( 99 ) do ( 0 ) obdržíme hledanou diferenciální rovnici : ħ ψ ħ ψ Vψ. ( 0 ) i t m Tuto základní pohybovou rovnici kvantové mechaniky odvodil Erwin Schrödinger v roce 95, který je tak právem považován za rok zrodu kvantové mechaniky. Erwin Rudolf Josef Aleander Schrödinger (887 96) Protože reálný prostoročas je čtyřrozměrný, přičemž jeden rozměr připadá na čas a zbylé 3 na prostor, je potřeba zobecnit Schrödingerovu rovnici na trojrozměrný tvar: ħ ψ ħ i t m ψ Vψ, ( 03 )

351 35 Příklad : Jednorozměrnou vlnovou funkci Ψ částice můžeme upravit do tvaru i iet ip iet Ψ A ep ( Et p) A ep ep ψ ep ħ ħ ħ ħ ( 04 ) iet v němž je Ψ součinem časově závislé funkce ep a funkce ħ polohy ψ. Hermann Ludwig Ferdinand von Helmholtz (8 894) Ve skutečnosti mají všechny vlny v konzervativních silových polích časovou závislost tohoto tvaru. Dosadíme-li nyní Ψ do Schrödingerovy rovnice, obdržíme po drobné úpravě rovnici ψ me + ψ 0 ħ, ( 05 ) což je tzv. stacionární vlnová rovnice. Její trojrozměrný tvar je ψ me ψ ħ + 0. ( 06 )

352 35 Řešme nyní tuto rovnici pro nitro krychlové dutiny, kde je na ψ kladena hraniční podmínka ψ 0 všude na stěnách dutiny. Obr. 66 Rovnice ( 06 ) obsahuje všechny tři souřadnice, y, z. Abychom nalezli řešení, musíme ji nejprve separovat na tři nezávislé rovnice, z nichž každá obsahuje jen jednu souřadnici. Předpokládejme proto, že vlnová funkce ψ(, y, z) je ve skutečnosti součinem tří funkcí ψ (), ψ y (y), ψ z (z), jež závisejí vždy jen na jedné proměnné, y, resp. z, tj. ( y z) ( ) ( y) ( z) ψ,, ψ ψ y ψ z. ( 07 ) Tento předpoklad je rozumný, neboť obsahuje jen nezávislost změny ψ s každou souřadnicí na změnách ψ s ostatními souřadnicemi. Parciální derivace funkce ( 07 ) jsou ψ d ψ d d ψ ψ y ψ z ψ y ψ ψ z y ψ z dy d ψ dz z ψ ψ y,,. ( 08 )

353 353 Dosadíme-li nyní tyto parciální derivace spolu s ψ ψ ψ y ψ z do ( 06 ), dostaneme d ψ d ψ y d ψ z me ψ yψ z + ψ 0 ψ z + ψ ψ y + ψ ψ yψ z. ( 09 ) d dy dz ħ Dělením této rovnice vlnovou funkcí ( 07 ) a uspořádáním členů máme d d ψ d me + +. ( 0 ) ψ ψ ψ ħ ψ y ψ z d y dy z dz Každý člen na levé straně rovnice ( 0 ) je funkcí jiné proměnné a pravá strana je konstanta nezávislá na hodnotách, y, z. Každý člen nalevo se tudíž musí rovnat samostatné konstantě, což lze vyjádřit vztahy d ψ ψ d k, ( ) y ψ y d ψ dy k, ( ) y d ψ ψ z z dz k, ( 3 ) z kde konstanty k jsou ve skutečnosti složkami vlnového vektoru k stojaté vlny uvnitř krychlové dutiny, které musí splňovat podmínku ω me k + k y + kz. ( 4 ) c ħ

354 354 Rovnice ( ), ( ), ( 3 ) mohou mít jen sinová a kosinová řešení. Okrajové podmínky kladené na ψ požadují, aby bylo ψ 0 na stěnách dutiny, tj. v místech, kde je, y, z rovno 0 nebo L. Těmto okrajovým podmínkám vyhovuje jen funkce sinus, neboť jen ona se rovná v počátku 0. Nyní již tedy můžeme zapsat hledanou vlnovou funkci ψ ve tvaru ψ (, y, z) ψ ψ ψ A sin( k ) sin( k y) sin( k z). ( 5 ) y z y z Volbou funkce sinus jsme zatím zajistili, aby bylo ψ 0 v počátku. Nyní musíme určit velikosti k, k y, k z komponent vlnového vektoru tak, aby ψ 0 i při, y, z L. Tyto, tzv. vlastní hodnoty vlnové funkce ψ, získáme z druhé okrajové podmínky, coby k L π n ; n N, k L π n ; n N, y y y k L π n ; n N. z z z ( 6 ) Toto můžeme napsat též ekvivalentním způsobem z pomocí vlnového čísla k pro nějž platí n n y nz k k + k y + kz π + + ; n,, ny nz N. ( 7 ) L L L Vlnové funkce uvnitř dutiny jsou pak dány výrazem nπ nyπ y nzπ z ψ A sin sin sin ; n, ny, nz N. ( 8 ) L L L a možné energie jsou

355 355 ( y z ) E n + n + n π ħ ml ( 9 ) Hodnoty vlnového čísla k netvoří jednoduchou posloupnost jak jsme zvyklí v jednorozměrném případě. Může se stát, že i více než jedna stojatá vlna má tutéž hodnotu k, a tudíž stejnou frekvenci a stejnou energii. Tuto skutečnost použil dánský fyzik Niels Bohr pro popis energetických hladin elektronů v atomu vodíku. Niels Henrick David Bohr (885 96) Mají-li dvě nebo více stojatých vln společnou frekvenci, nazýváme je degenerovanými stojatými vlnami. Obr. 67 n, n y, n z 3

356 356 V dutině je stupeň degenerace tím větší, čím větší má dutina stupeň symetrie. V našem případě krychlové dutiny je vůbec největší. K tomu, aby v krychlové dutině o straně L eistoval mód ( 5 ), musí délka každé komponenty jeho vlnového vektoru být rovna celočíselnému násobku hodnoty π/l. Módy můžeme znázornit zobrazením bodů (k, k y, k z ) v třírozměrném prostoru. V případě obecně obdélníkové dutiny o stranách délky L, L y, L z, můžeme ( 7 ) okamžitě zobecnit n n y nz k k + k y + kz π + + ; n,, ny nz N ( 0 ) L Ly L z odkud pro možné energie plyne E π ħ n n y n z m L Ly L z + +. ( ) Úvod do Fourierovy analýzy a) Fourierova řada Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

357 357 Nejjednodušší odvození Fourierovy transformace vychází z tzv. Fourierovy řady periodické funkce, jejíž motivaci lze nalézt ve skládání anizochronních harmonických kmitů téhož směru s takovými frekvencemi, aby výsledná funkce mohla být periodická, tedy T nt n, kde n je celé císlo. Funkce daná touto superpozicí bude mít tvar a f t an n t bn n t 0 + cos( Ω ) + sin( Ω ) n n, ( ) kde a n, b n jsou funkce tvořící tzv. spektrum operátoru f. Nejprve budeme uvažovat funkci periodickou na intervalu 0,T a budeme předpokládat platnost výše uvedeného rozvoje pro nějakou kombinaci koeficientuů a n, b n. Obě strany rovnosti vynásobíme funkcí sin mω T a prointegrujeme přes interval délky T π. ( 3 ) Ω Dostaneme rovnici T T 0 0 sin sin f t mω t dt a mω t dt + 0 T n n 0 sin + b sin mωt nω t dt + ( 4 ) T n n 0 + a sin mωt cos nωt dt. Využitím vzájemné ortogonality funkcí, sin, cos dostaneme

358 358 T f ( t) cos( mω t) dt ( 5 ) 0 amt Podobně postupujeme při určení koeficientu a n a tím získáme vztahy T 0 am f ( t) cos ( mωt ) dt, T T 0 bm f ( t) sin ( mωt ) dt. T ( 6 ) Aby bylo možno funkci f ( t ) vyjádřit řadou, musí splňovat tzv. Dirichletovy podmínky:. f ( t) je na intervalu 0,T ohraničená,. f ( t ) má na intervalu 0,T nejvýše konečný počet singularit, 3. f ( t ) má na intervalu 0,T alespoň jednu z těchto vlastností: (a) má konečný počet bodů ostrého lokálního etrému, (b) je po částech monotónní, (c) je po částech hladká. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( )

359 Jestliže funkce f ( t ) tyto podmínky splňuje, pak v každém bodě spojitosti ji lze rozvinout v řadu ( ) tak, že je f ( t ) součtem této řady a v každém bodě t 0 nespojitosti prvního druhu je součet této řady roven. Dirichletovy podmínky jsou však pouze postačující, nikoliv nutné. Eistují funkce, které tyto podmínky nesplňují a přesto jim přiřazená Fourierova řada konverguje tak, že jejím součtem je rozvíjená funkce. Pro praktické počítání obvykle vyjadřujeme Fourierovu řadu na intervalu p a, b ve tvaru m a0 π k π k Fm ( ) + ak cos + bk sin, ( 7 ) b a b a kde k 359 b a π k ak f ( ) cos d, b a b a b a π k bk f ( ) sin d. b a b a ( 8 ) Pro derivaci a integrál Fourierovy řady dále platí: m π k m k k k π k F k a sin b cos, b a b a a a0 Fm ( ) d Fm ( t) dt ( + b) + m k π k π k π kb + ak sin bk cos cos. k b a b a b a ( 9 )

360 360 Specielně je možno z Fourierovy řady odvodit tzv. Parsevalovu rovnost: b a k 0 f ( ) d + ( ak + bk ). ( 30 ) b a a Příklad : Marc-Antoine Parseval ( ) Sestrojte Fourierovu řadu padesátého stupně následujících signálů jednotkové amplitudy: a) Jednotkové obdélníkové pulsy, b) Rovnoramenné pilovité pulsy, c) Cykloida jednotkového poloměru. Řešení: 50 F50 ( ) f ( ) d + sin( π k) f ( ) sin( π k) d + k + cos( π k) f ( ) cos ( π k) d, ( 3 )

361 36 kde a) f ( ) sgn( ), ( 3 ) b) f ( ), ( 33 ) c) f ( ). ( 34 ) Grafy této Fourierovy řady pro uvedené funkce f jsou vykresleny na následujících obrázcích. Obr. 68 a)

362 36 Obr. 69 b) Obr. 70 c)

363 363 b) Fourierova transformace Výraz pro Fourierovu transformaci můžeme odvodit z Fourierovy řady provedením limitního procesu T, tedy zvolením nekonečné doby periody, čímž umožníme využití této metody i pro funkce, které nejsou periodické. Dosadíme-li do řady ( ) vzorce pro koeficienty ( 6 ), využitím základních trigonometrických vztahů pro cos( τ t) dostaneme T T f ( τ ) f ( t) dt + f ( t) cos ( nω( τ t) ) dt, T T ( 35 ) T n T Budeme-li uvažovat pouze funkce absolutně integrovatelné na celé reálné ose f ( t ) dt <, ( 36 ) pak první člen bude mít v limitě pro T nulovou hodnotu. Ve druhém členu máme aritmetickou posloupnost nω s konstantní diferencí Ω. Označíme-li nω ω, ω Ω dostaneme π T ( 37 ) π T f ( t) cos( ω ( τ t) ) dt ω, ( 38 ) n T

364 364 Výraz sumace vyjadřuje v limitě T integrální součet a rovnice ( 38 ) přejde ve dvojný integrál f ( τ ) f ( t) cos( ω ( τ t) ) dtdω. ( 39 ) π 0 Dosadíme-li do ( 39 ) podle Eulerova vzorce za funkci cos, dostaneme konečný výraz pro Fourierův integrál iω( τ t) f ( τ ) f ( t) e dtdω π. ( 40 ) Tento vztah se dá zapsat v symetrickém tvaru jako iωt iωτ f ( τ ) f ( t) e dt e dω π π ( 4 ) Výraz uvnitř hranaté závorky považujeme za Fourierovu transformaci funkce f ( t ) a zbylá část vztahu udává inverzní Fourierovu transformaci iωt F ( f ( t) ) F ( ω) f ( t) e dt, ( 4 ) π ( ( ω) ) iωτ F F f t e dω. ( 43 ) π Při odvozování (limitním přechodu) Fourierova integrálu byly použity f t a o její rozvinutelnosti předpoklady o integrovatelnosti funkce ve Fourierovu řadu na každém intervalu a, b (tedy splnění

365 365 Dirichletových podmínek), přičemž se předpokládalo, že integrál vyjadřuje funkci f ( t ) ve všech bodech spojitosti. Fourierova transformace však může eistovat i k funkcím, které tyto podmínky nesplňují. Základní vlastnosti Pro praktické využití Fourierovy transformace jsou důležité její následující vlastnosti: Linearita: Z vlastností integrálu plyne vztah ( ) ( ) F af t + bg t F a f t + bf g t ( 44 ) pro libovolné a, b (i komplení), z čehož plyne linearita Fourierovy transformace. Změna měřítka: Je-li v argumentu funkce f ( t ) provedena změna měřítka, pak platí ω F ( f ( at) ) F. ( 45 ) a a Posun v čase: Provedeme-li v argumentu posunutí τ, pak pro obraz platí ( ( τ )) F f t F f t e ωt. ( 46 ) Modulační věta: Je-li posunutí τ provedeno ve spektrální oblasti, pak platí iτ t ( f ( t) e ) F ( ω τ ) F, ( 47 ) tedy posunutí se projeví modulací.

366 366 Dualita transformace: Pro dvojnásobné užití Fourierovy transformace platí ( ( f ( t) )) f ( ω) F F, ( 48 ) kde je nutno po provedení první transformace formálně zaměnit ω za t. Derivace originálu: Má-li funkce f ( t ) na každém intervalu konečné délky derivaci ve smyslu absolutně spojité funkce f ( t) a obě tyto funkce jsou lebesgueovsky integrovatelné (popř. obě jsou v kvadrátu),, pak platí na intervalu ( f ( t) ) iω f ( t) F F ( 49 ) tedy operace derivování v originálu přechází na násobení v obraze. Opětovným použitím lze odvodit vztah i pro vyšší derivace (n-tého řádu), v němž je výraz iω nahrazen ( iω ) n Derivování obrazu: Nechť jsou funkce f ( t ) a integrabilní (popř. obě v kvadrátu), pak platí ( f ( t) ) i tf ( t) tf t lebesgueovsky F F ( 50 ) tedy derivování obrazu přechází v násobení originálu t. Obdobně pro n n i, t f t. vyšší řády derivace se vyskytnou vztahy Integrace originálu: Eistují-li Fourierovy transformace funkcí f ( t ), f ( t) dt, pak

367 367 t F f ( τ ) dτ ( f ( t) ) iω F, ( 5 ) tedy integrace v obraze přejde v dělení výrazem iω, pro n-násobnou integraci se vyskytuje násobení ( iω ) n. Obraz reálné funkce: Je-li funkce f ( t ) reálná a jestliže k ní eistuje její Fourieruv obraz F(ω), pak platí pro komplení sdružení ( ω) ( ω ) F F ( 5 ) Parsevalova věta: Je-li f ( t ) absolutně integrovatelná a omezená pro skoro všechna t, pak f ( t) dt F ( ω) dω ( 53 ) Limitní vlastnosti: Je-li f ( t ) dt < ( 54 ) pak pro Fourierův obraz F(ω) platí ( ω) lim F 0 ( 55 ) ω

368 368 Příklady aplikací Fourierovy transformace a) Princip neurčitosti Uvažujme funkci f ( t ) se spojitou derivací (pro jednoduchost) a nulovou pro dostatečně vysoké absolutní hodnoty t. Disperze této funkce R vzhledem k bodu a je dána vztahem D f a t a f t dt ( 56 ) Hodnotu a, pro kterou je D f (a) minimální, nazýváme střední argument funkce f. Nechť dále je b střední argument Fourierovy transformace funkce f ( t ) a předpokládejme a b 0. Uvažujme funkci parametru I ( τ ) tf ( t) + τ f ( t) dt, ( 57 ) kterou rozepsáním, integrací per partes a použitím Parsevalovy f t upravíme do tvaru rovnosti pro ( τ ) τ τ I D 0 f + D 0 0. ( 58 ) f Diskriminant tohoto výrazu musí být nekladný: 4 F f 4D 0 D 0 0 ( 59 ) f F z čehož plyne pro normovanou funkci f ( t ) Df ( 0) DF ( 0). ( 60 ) 4

369 369 Čím více je tedy funkce f ( t ) soustředěna kolem středního argumentu, tím méně je soustředěna okolo svého středního argumentu její Fourierova transformace F(ω). Příklad : Gaussova funkce Pro modelování v oblasti teorie pravděpodobnosti i jiných, má velký význam Gaussova funkce γ ( t) t e σ, ( 6 ) kde σ > 0 je parametr určující šířku funkce. Stanovení jejího obrazu provedeme z definičního vztahu, v němž obě eponenciely sloučíme a eponenty převedeme na součet čtverce a části nezávislé na t: F ( γ )( ω) t t + iωt σ iωt σ π t e e dt e dt π t iωσ ω σ t iωσ + + σ 4 ω σ t 4 e σ e dt ω σ 4 σ π e dt e e dt π π ( 6 ) Poslední integrand nemá primitivní funkci, takže jej bylo nutno zintegrovat lebesgueovsky:.

370 370 π t + y ρ σ σ σ e dt e dyd ρe dϕd ρ ρ ρ σ σ σ π ρe d ρ π e πσ, 0 0 ( 63 ) čili t σ e dt πσ. ( 64 ) Lze tedy psát ω σ σ 4 F ( γ ( t) )( ω) e, ( 65 ) což je hledaný Fourierův obraz Gaussovy funkce. Je vidět, že tvar funkce se zachová, ale šírky originálu a obrazu jsou si (v souladu s principem neurčitosti) nepřímo úměrné. Příklad : Gaussovské vlnové klubko Nyní budeme diskutovat případ řešení jednorozměrné Schrödingerovy rovnice pro volnou částici, které lze psát v t 0 ve tvaru tzv. gaussovského vlnového klubka ψ,0 ep ( ) ( π d ) ( a) d 4, ( 66 ) kde d je kladné reálné číslo. Snadno lze ověřit, že tato vlnová funkce splňuje normovací podmínku

371 37 a ψ (,0) d ep d, ( 67 ) d π d kde a d udává vzdálenost od středu vlnového klubka, pro níž hustota pravděpodobnosti klesne na hodnotu e ve srovnání s její amplitudou. Obr. 7 Snadno vypočteme střední hodnotu vlnové funkce ( 66 ): ψ (,0) ψ (,0), ( 68 ) d a která je dle očekávání totožná s polohou středu vlnového klubka. Podobně snadno lze vypočíst i d ψ (,0) ψ (,0). ( 69 ) d + a Odtud pak dostáváme střední kvadratickou odchylku souřadnice

372 37 ψ (,0) ψ (,0) d (,0)( ) ψ (,0) ψ + d (,0) (,0) (,0) (,0) ψ ψ d ψ ψ d + ψ ψ d,0,0 d. ( 70 ) podobný výpočet můžeme provést i pro operátor impulsu. Nejdříve dostaneme d pˆ,0 i,0 d 0 ψ ħ ψ, ( 7 ) d kde integrál vyšel roven nule, neboť integrovaná funkce je lichá. Dále vypočteme d pˆ,0 i,0 d ψ ψ d ħ. ( 7 ) d Pro střední kvadratickou odchylku impulsu odtud plyne pˆ pˆ pˆ pˆ ħ. ( 73 ) d Pro vlnové klubko ( 66 ) vychází tedy nenulová střední kvadratická odchylka jak souřadnice, tak i impulsu. Při měřeních na

373 373 kvantověmechanickém souboru daném touto vlnovou funkcí tedy nedostáváme ostré hodnoty souřadnice a impulsu, nýbrž hodnoty, jejichž distribuce pravděpodobnosti závisí na volbě parametru d. Je zřejmé, že čím je částice přesněji lokalizována v tzv. souřadnicovém prostoru, tím nepřesněji je lokalizována v impulsovém prostoru (tzn. tím nepřesněji je určen její impuls) a naopak. Součin kvadratických odchylek zůstává konstantní: ( ) ( pˆ pˆ ) ħ, ( 74 ) 4 odkud po odmocnění máme pˆ pˆ ħ. ( 75 ) Je zřejmé, že obecné řešení časové Schrödingerovy rovnice pro jednorozměrný pohyb volné částice lze psát ve tvaru superpozice řešení ( 04 ) p t p ψ (, t) c( p) ep m dp, ( 76 ) πħ iħ kde c( p ) je komplení koeficient rozvoje do rovinných vln závislý na p. Z tohoto výrazu je patrno, že funkce c( p ) je Fourierovým obrazem funkce ψ (,0), který lze určit pomocí inverzní Fourierovy transformace p c( p) ψ (,0) ep d. ( 77 ) πħ iħ Dosazením ( 77 ) a ( 66 ) do ( 76 ) získáme hledaný výraz pro jednorozměrnou vlnovou funkci volné částice

374 374 p t p p a ψ (, t) ep dep m dp. 5 i d i 4 π d ħ ħ ħ ( 78 ) Příklad 3: Heisenbergovy Relace neurčitosti Pozoruhodnou vlastností kvantového světa je jeho nekumutativita. Spočtěme si pro jednoduchost střední hodnotu součinu operátorů hybnosti a polohy: ħ ħ ψ p ˆ ˆ ψ ( ψ ) d ψ + ψ d i i ħ ψ ψ ψ d + ψ ψ d ħ ħ ψ d + i i i ħ ħ ψ p ˆˆ ψ ψ d ψ d. i i Odtud plyne nerovnost, ( 79 ) ħ p ˆ ˆ p ˆˆ 0. ( 80 ) i Definujme algebraickou strukturu zvanou komutátor: [ ; ] pˆ ˆ p ˆ ˆ p ˆˆ. ( 8 ) Relaci ( 80 ) pak můžeme zapsat v obvyklejším tvaru

375 ħ ; 0. ( 8 ) i [ pˆ ˆ ] Říkáme, že operátor polohy a hybnosti spolu vzájemně nekomutují. To je vlastnost, která v klasické mechanice nemá obdoby a naopak je zcela běžnou v mechanice kvantové. Předpokládejme, že máme dvě nekomutující proměnné A, B. Potom Aˆ, Bˆ icˆ. ( 83 ) Spočítejme střední kvadratické chyby měření. Použitá Diracova symbolika však bude podrobně vysvětlena až ve třetím dílu věnovaném vyšší algebře, takže čtenář, který s ní není dostatečně obeznámen, může následující výpočet v prvním čtení přeskočit. Pro součin kvadrátů středních kvadratických chyb měření (tzv. variancí) platí ( kv ) ( kv ) a b ψ Aˆ ψ ψ Bˆ ψ Aˆ ψ Aˆ ψ Bˆ ψ Bˆ ψ Po odmocnění dostáváme Aˆ ψ Bˆ ψ Aˆ ψ Bˆ ψ ψ Aˆ Bˆ ψ ( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) ( Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ ) ψ + + ψ { ˆ ˆ} ψ A; B ψ + ψ Aˆ ; Bˆ ψ ψ Aˆ ; Bˆ ψ ψ Aˆ ψ Aˆ ψ ; Bˆ ψ Bˆ ψ ψ ˆ ˆ ψ A; B ψ ˆ ψ ic ψ ( 84 ) 375

376 376 a ˆ kv bkv ψ C ψ. ( 85 ) Dosadíme-li sem např. výsledek ( 8 ), máme C ˆ ħ ˆ a tedy p ħ ψ ˆ ψ ħ. ( 86 ) ve shodě s výsledkem ( 75 ) získaným na základě Fourierovy transformace vlnové funkce. Pozorovatelné důsledky nekomutativity některých operátorů tedy spočívají v tom, že jim odpovídající veličiny nelze měřit současně s neomezenou přesností. Matematicky tento princip poprvé formuloval německý fyzik Werner Heisenberg v roce 98. Werner Heisenberg (90 976) Heisenbergův princip neurčitosti, jak se tento poznatek nazývá, říká, že součin přesnosti, s jakou měříme např. hybnost částice a současně její polohu, bude vždy větší, než polovina redukované Planckovy konstanty. Změříme-li tedy např. hybnost s přesností na 34 desetinných míst (řád Planckovy konstanty), bude již neurčitost její polohy v řádu metrů. A naopak, změříme-li velice přesně polohu, rozmaže se nám informace o hybnosti.

377 377 Heisenbergovy relace neurčitosti platí mezi všemi veličinami, jejichž operátory spolu vzájemně nekomutují. Platí tedy např. i mezi energií a časem: E t ħ, ( 87 ) o čemž se snadno přesvědčíme, pokud dosadíme odpovídající operátory do ( 83 ). Příklad 4: Skalární součin na prostoru funkcí Nekomutativitu kvantového světa můžeme snadno demonstrovat rovněž následujícím způsobem: vyjdeme z vlastností Fourierovy ψ transformace, která navzájem propojuje vlnovou funkci v souřadnicovém prostoru, s jejím Fourierovým obrazem φ ( p) v impulsovém prostoru: p iħ ψ ( ) φ ( p) e dp, πħ p iħ φ ( p) ψ ( ) e d, πħ ( 88 ) kde p označuje -ovou komponentu impulsu. ψ ψ v souřadnicové Přechod od stavového vektoru reprezentaci k jejímu Fourierovu obrazu φ ( p) p ψ, tj. do impulsové reprezentace, lze provést velmi jednoduše: ˆ ψ ψ ψ dp p p ψ p φ p dp. Srovnáném ( 89 ) a ( 88 ) vidíme, že ( 89 )

378 378 p iħ p e e πħ πħ ip ħ ( 90 ) a úplně analogicky bychom ukázali, že p e i πħ p ħ. ( 9 ) Příklad 5: Prostorové rozlišení, modulační přenosová funkce Rozlišení zobrazovacího systému lze popsat prostřednictvím odezvy na bodový impuls. Obraz bodového mpulsu PSF (Point Spread Function) má v ideálním případě tvar gaussovského píku, u něhož stanovujeme rozlišení standardně jako FWHM (Full Widh in Half Magnitude). Obr. 7 F (prostorová frekvence) se udává v lp/mm (line pair per mm). Měření F lze provádět buď pomocí Siemansovy hvězdice, nebo pomocí čárových testů.

379 379 Obr. 73 MTF (modulační přenosová funkce) popisuje, jakým způsobem zobrazovací systém zaznamenává objekty se zvyšujícím se F. Při vysokém F dochází k modulaci MTF MTF lze spočítat Fourierovou transformací LSF. Pokud má LSF gaussovský průběh, rovněž i MTF má gaussovský průběh (viz příklad ). Obr. 74

380 380 Čím je užší LSF (a tedy lepší rozlišení), tím je širší její fourierova transformace MTF (důsledek principu neurčitosti) a tím je vyšší F, jíž jsme schopni rozlišit. Obr. 75 Příklad 6: Nyquistovo kritérium, aliasing Matice detekčních či zobrazovacích elementů je charakterizována vzorkovací šířkou a šířkou detekčního (zobrazovaccího) elementu obě nenulové. Dochází ke vzorkování (pielizaci) obrazu a zprůměrování obrazu přes šířku elementu. Interval prostorových frekvencí F, které mohou být detekovány či zobrazeny, je dán Nyquistovým kritériem F /( ).

381 38 Obr. 76 Mějme obdélníkový puls popsaný funkcí f ( ) E pro 0 L 0 pro > L ( 9 ) Fourierova transformace obdélníkového pulzu je tedy ik cos sin F k f e d f k + i k d + f cos k d i f sin k d. ( 93 ) Protože f() je sudá funkce, je poslední integrand lichou funkcí a jeho integrál je tudíž nulový. Máme tak L E0 sin kl F ( k ) f ( ) cos( k) d E cos( k) d sin( k) E L kl L 0 0 k L L ( 94 )

382 38 Označme L vzorkovací šířku detektoru (vzdálenost středu dvou sousedních detekčních elementů), F prostorovou frekvenci (lp/mm) signálu. (, ) MTF F L Obr. 77 ( Lπ F ) sin E0L ( 95 ) Lπ F

383 383 Je li prostorová frekvence vstupního signálu vyšší než F lim, dochází k modulaci MTF, což se projeví jako splývání struktur aliasing. Frekvence výsledného splynutého signálu je o tolik menší než F, o kolik je větší frekvence vstupního signálu oproti F. F lim L ( 96 ) Obr. 78

384 384 Obr. 79 b) Vícerozměrné zobecnění Dvourozměrnou Fourierovu transformaci můžeme definovat v bázi z funkcí ep[ i(k + ly)] tak, aby zůstaly zachovány vlastnosti platné pro jednoduhou transformaci. Definujeme tedy: i( ζ + yξ ) F ( ζ, ξ ) F ( f (, y) ) f (, y) e ddy, π i( ζ + yξ ) f (, y) F ( f ( t) ) F ( ζ, ξ ) e dζ dξ. π ( 97 )

385 385 Příklad 7 - difrakce Vyjdeme z Helmholtzovy rovnice ( 06 ) pro (bezčasovou) vlnovou funkci ψ a řešme ji pomocí Greenovy integrální věty tak, že napíšeme tutéž rovnici pro funkci ψ 0 ( iκ r) ep, ( 98 ) r vynásobíme ji ψ a odečteme od první rovnice násobené ψ 0, čímž dostaneme ψ ψ 0 ψ 0 ψ 0 a aplikací Greenovy věty máme S ( ψ gradψ 0 ψ 0 gradψ ) ds 0. ( 99 ) Provedeme-li integraci tak, že kolem bodu r 0 opíšeme malou kouli a integrál přes plochu S rozdělíme na dva, vyčíslíme hodnoty a poté budeme zmenšovat poloměr koule k nule, dostaneme tzv. Kirchhoffův integrální vztah ( iκ r) ep( iκ r) ep ψ ( R) gradψ ψ grad ds. ( 300 ) 4π r r S Pro vypočítání integrálu rozdělíme integrační plochu na tři části: plochu stínítka, plochu otvoru a kulovou plochu s poloměrem hodně velkým. Budeme predpokládat, že na ploše otvoru se hodnoty ψ a gradientu liší jen zanedbatelně od stavu bez stínítka, a že na ploše stínítka a kulové plochy je ψ gradψ 0. ( 30 ) Budeme-li dále předpokládat, že vzdálenosti zdroje a bodu pozorování od bodu stínítka jsou r 0 λ, r λ, dostaneme pro bodový zdroj světla tzv. Fresnelův Kirchhoffův difrakční vzorec:

386 386 ψ ( R) ia ep iκ r + r0 0 r S r S ds λ rr0 r S r0 S S ( 30 ) kde výrazy v hranaté závorce napravo vyjadřují kosiny úhlů mezi oběma vektory. Augustin-Jean Fresnel (788 87) Gustav Robert Kirchhoff (84 887) Mění-li se tento činitel v hranaté závorce jen málo (je približně cosτ ) a vzdálenosti r, r 0 lze nahradit vzdálenostmi od počátku souřadnic (v ploše otvoru), dostaneme z ( 30 ) iacosτ ψ ( R) ep iκ ( r r ) ds RR λ ( 303 ) S Rozvineme-li vzdálenosti r 0, r v řadu a zanedbáme-li členy vyšších řádů než lineární (což lze provést, vzhledem k periodicitě funkce ep(), jsou-li nelineární členy mnohem menší než π), dostaneme vzorec ve tvaru ψ ( R) B ep iκ ( ζ + ξ y) ds ( 304 ) S kdeζ, ξ jsou směrové kosiny polohového vektoru bodu R k osám, Γ, y, která je y. Zavedeme-li funkci amplitudové propustnosti

387 387 jednotková v bodech otvoru a nulová mimo něj (obdélníkový puls), můžeme rozšířit integraci přes celý prostor a výsledná vlna je úměrná dvourozměrné Fourierově transformaci funkce propustnosti: ψ ( R) ψ ( ζ, ξ ) Γ(, y) F. ( 305 ) Pro čtvercový a kruhový otvor je difrakční obrazec vykreslen na obr. 80. Obrázek 80: Difrakce na čtvercovém a kruhovém otvoru. Je však nutno upozornit, že daná metoda uvažuje pouze skalární pole, zatímco elektromagnetické pole má vektorový charakter, čímž se dopouštíme dalšího zjednodušení. Příklad 6 Zobrazení nukleární magnetickou rezonancí MRI Prostorové dekódování MR signálu Aby bylo možné odlišit signály vedené z různých vrstev těla, je potřeba, aby protony v různých místech reagovaly při průchodu RF pulzu o vhodné frekvenci. K homogennímu poli hlavního magnetu jsou proto přidána pole další (tzv. gradienty). Pole, jehož intenzita roste s osou těla, vytváří magnetický gradient, který umožňuje zvolit rovinu řezu, a proto je nazýván slice selecting gradient (rovinu řezu určující gradient). V prai pak například u nohou působí pole o síle 0,45 T (odpovídající f 9,60 MHz), kdežto u hlavy 0,55 T (f 3,47 MHz). Vysláním vhodné frekvence vybíráme tedy jen řez, který chceme zobrazit. Pro