Modelování přenosu tepla, hmoty a hybnosti učební text

Transkript

1 Vsoká škol báňská Technická niverit Ostrv Modelování přenos tepl, hmot hbnosti čební tet Mild Kobková Tomáš Blejchř Mrin Bojko Ostrv 0

2 Recene: prof. Ing. Mári Črnogrská, CSc. Náev: Modelování přenos tepl, hmot hbnosti Ator: Mild Kobková Vdání: první, 0 Nákld: 50 Vdvtel: VŠB -Technická niverit Ostrv Tisk: Tiskárn Frýdek - Místek Stdijní mteriál pro stdijní progrm "Strojírenství", obor "Energetické stroje říení", pro všechn stdent, kteří se bývjí modelováním přenos tepl, hmot hbnosti. Jková korektr: nebl proveden Určeno pro projekt: Operční progrm: Vdělávání pro konkrenceschopnost Náev: Inovce vdělávání strojních inženýrů pro jderno energetik Číslo: CZ..07/..00/ Relice: VŠB Technická niverit Ostrv Projekt je spolfinncován prostředků ESF státního ropočt ČR Mild Kobková VŠB - Technická niverit Ostrv ISBN

3 Předmlv V sočsné době je možno nment intenivní rovoj nových oborů specilicí jko je informční technologie, biotechnologie frmcie, lterntivní energie nnotechnologie. Tto nové plikce spol s trdičními plikcemi v oblsti výrob energie jejího vžití nás tvrjí v tom, že trdiční disciplin bývjící se přenosem hmot, hbnosti tepl je stále ktální bde mít výnm i v bdocn. Spojení problém přenos hmot energie mtemtického řešení s vžitím nmerických metod postpů posová kvlittivně vžití v prktických plikcích. Energetik je v sočsné době jedno e strtegických odvětví. Energetická koncepce stát je silně ávislá n lokálních podmínkách silně sovisí s potřebmi jk ekonomickými tk i potřebmi obvtelstv. V nšich geogrfických podmínkách, kde možnosti lterntivních drojů, jko slnce, vod, vítr jso omeené, je jedino lterntivo ke klsické energetice, ložené n splování pliv plnných, kplných thých, jderná energetik. Ve své podsttě je jderná elektrárn podobná elektrárně helné s tím rodílem, že drojem tepl není splování pliv, le rdioktivní odpd. Jinými slov splovcí komor klsické elektrárn je ekvivlentní primární óně elektrárn jderné. Dlší prvk, jko trbín, výměník, chldící věže pod. jso již koncepčně stejné. Skript jso rčen především pro poslchče oborů měřených n energetik, jderno energetik, le moho je vžít stdenti všech fklt mgisterských doktorských stdijních progrmů, kteří se chtějí senámit se ákld nmerického modelování přenosových jevů v tektině, tj. přenos hmot, hbnosti (moment), tepl, příměsí td. při lminárním trblentním prodění. Předpokládjí se ákldní nlosti oblsti termomechnik mechnik tektin. Teorie je rošířen o oblst víceroměrných mtemtických modelů přenos hmot, hbnosti tepl ákld nmerického modelování. Nmerické modelování je velmi silným nástrojem při řešení mnoh fikálních jevů, jko je lminární, přechodové trblentní prodění stlčitelné nestlčitelné, jednofáové i vícefáové tektin v jednodchých i složitých geometriích, s tím sovisející přenos tepl v thých látkách, kplinách i plnech s vžováním přiroené i smíšené konvekce rdice, přenos chemické příměsi včetně chemických rekcí. Mtemtický model spočívá v definici rovnic popisjících výše vedené děje. Vhledem k tom, že se jedná o děje rovinné dvoroměrné, osově smetrické nebo obecně trojroměrné čsově ávislé, jso popsán sostvo prciálních diferenciálních rovnic, ktero je ntné řešit nmerickými metodmi. Jejich vžívání je podmíněno rošířením nlostí oblsti prodění, trblence, tepl, nmerických metod výpočetní technik. 3

4 K řešení přenos tepl je vžit komerční progrmový sstém Anss Flent. Úkolem živtele je sestvní správného výpočtového model obshjícího mtemtické, fikální technické princip. Uživtel msí bepečně ročlenit všechn informce n údje geometrické (dvoroměrné nebo tříroměrné útvr, topologie) údje o působení vnějších sil fikální údje (informce o prodícím médi, jeho fikálních vlstnostech). Ted nestpitelno úloho živtele je nlost hdromechnik, termomechnik dlších věd podle složitosti problém. Mtemtický model msí být doplněn vstpními údji v pltných normách, které se vžijí jko vstpní dt pro progrmový sstém. Výnmno fáí řešení je verifikce výsledků s teoretickými prktickými pontk správná interpretce výsledků pro dlší požití. Pokd jde o výpočetní metod, n nichž jso ložen žívné progrm, měl b projektnt nát jejich podstt v rosh potřebném pro spolehlivé požití ve stndrdních přípdech. U progrm Anss - Flent je třeb vědět, s jkými tvr konečných objemů se bde prcovt, toho vplývá volb hstot sítě, jká proimční schémt bde vhodné požít, dnmik mít předstv o chrkter čsové ávislosti jednotlivých veličin toho vplývjící velikosti čsového krok, pod. Jednotlivé kpitol obshjí část teoreticko část prkticko, které se podle potřeb prolínjí. Teoretická část obshje nebtné pojm, které bdo vžit při modelování jejich vsvětlení be odvoování, protože to není náplní předmět. Podrobně jso specifikován prktické příkld jso měřené především n výběr mtemtických modelů, kvlitní vhodnocení n metod verifikce výsledků. Tvorb geometrie sítě je složitý problém výnmně ovlivňjící výsledk vždovl b speciální kr. Informtivně bde řešen ve cvičeních v plikcích n jednodchých oblstech. Pon. Vhledem k počt rovnic nebdo kždo rovnicí vsvětlen všechn požité smbol. Poe v přípdě nejsností bdo tto smbol veden. Všechn le jso v senm ončení. V ončení veličin se moho vsktnot jisté nejednotnosti, které jso působené čerpáním podkldů litertr české hrniční. Úplné sjednocení b jistě blo možné, le vhledem k tom, že tto skript jso jen rčitým vodítkem pro nmerické modelování jistě bde ntné doplňovt nlosti doporčené litertr především mnál Flent, blo někde ponecháno ončení veličin v sold s tímto mnálem. Tké ápis čísel je v růných formátech vhledem k tom, že některé veličin tblk bl počítán v Ecel následně kopírován. 4

5 Obsh Předmlv... 3 Obsh... 5 Senm požitých ončení Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek..... Hpoté o kontin (spojitém prostředí)..... Metod řešení přenos tepl, hmot, hbnosti Vlstnosti pevných látek tektin Beroměrná kritéri Přenos jeho řešení..... Definice přenos Konvektivní přenos Difúní přenos Celkový přenos Bilnční rovnice přenos Okrjové podmínk Nmerické metod řešení Diferenční metod řešení Metod konečných objemů Vtvoření geometrie, prvk sítě Výběr interpolčního schémt Konvergence residál Urchlení konvergence Relce Přenos tepl kondkcí Rovnice přenos tepl kondkcí Okrjové podmínk Jednoroměrné vedení tepl stcionární Anltické řešení Nmerické řešení Řešení distribce tepl při nestcionárním přenos Zákldní rovnice přenos hmot, hbnosti energie Rovnice kontinit Nvierov-Stokesov (momentová, pohbová) rovnice Rovnice energie Podmínk vstp výstp Řešení kondkce konvekce při lminárním prodění Okrjové podmínk n tenké stěně Okrjové podmínk n tenké dvostrnné stěně Přestp tepl při obtékání desk Trblence Renoldsovo čsové středování k- dvorovnicový model trblence Okrjové podmínk pro k- trblentní model Hmotnostní průtok Trblentní veličin Tlk n vstp Tlk n výstp Otflow Stěnové fnkce, možnosti přesnění výpočt Vliv kvlit sítě n volb stěnové fnkce pro růné model trblence

6 Výběr trblentního model pro přesnění výpočt Řešení kondkce konvekce při trblentním prodění Přestp tepl při trblentním obtékání desk Obtékání trbk v příčném směr Obtékání trbk teorie, měření Obtékání trbk nmerické řešení Obtékání dvo trbek Obtékání trbk s přestpem tepl (be prodění vnitř) Obtékání trbk s přestpem tepl (s proděním vnitř) Prodění npříč svkem trbek s přestpem tepl Uspořádání svk trbek sebo - nmerická simlce Uspořádání svk trbek křížem - nmerická simlce Anlý výměníků tepl Zákldní tp výměníků jejich popis Výměník tp tektin-tektin - trbkový Voštinové výměník Deskové výměník Tepelný výkon tlková trát výměník Tepelný výkon Tlková trát Metod tepelného výpočt výměník Metod -NTU Metod P-NTU Metod MTD Řešení soprodého protiprodého výměník Fikální vlstnosti plnů (kinetická teorie) Soprodý výměník vod-vod Protiprodý výměník vod-vod Soprodý výměník vod-vdch Soprodý výměník vdch-vod-vdch Výpočet tepelného výměník vod-vdch Výpočet reálného stv Výpočet modifikovného výměník Výpočet spirálového soprodého protiprodého výměník tepl Trnsportní rovnice pro přenos příměsí Fikální vlstnosti směsi plnů, vod pevných mteriálů Spirálový soprodý výměník tepl ohřev vod vdchem Spirálový soprodý výměník tepl ohřev vod vdchem Protiprodý soprodý spirálový výměník tepl k ochlování vod vdchem Příloh Vektor sklár Sořdné sstém Pole rchlosti rchlení... 7 Litertr

7 Senm požitých ončení Senm požitých ončení Ponámk: ončení, něhož není veden roměr, repreentje obecno proměnno.,as teplotní vodivost obecný vektor ploch m s - m A, A i konstnt C D konstnt C empirická konstnt C konstnt C, C, C konstnt c v měrná tepelná kpcit při konstntním objem Jkg - K - c p měrná tepelná kpcit při konstntním tlk Jkg - K - d h f f F E E Gr g h h I k k P k hdrlický průměr frekvence konstnt síl měrná energie empirická konstnt Grshofovo číslo tíhové rchlení sttická entlpie výšk intenit trblence trblentní kinetická energie trblentní kinetická energie v logritmické vrstvě sočinitel prostp tepl m s - N Jkg - ms - Jkg - m % m s - m s Wm - K - L, l délk m m hmotnost kg M Mchovo číslo M moleklová hmotnost kgkmol - 7

8 Senm požitých ončení n N p p op p s P, P Pr Pr, q vektor vnější normál k ploše Nsseltovo číslo tlk operční (prcovní) tlk sttický tlk tepelná účinnost moleklové Prndtlovo číslo t h trblentní Prndtlovo číslo Q Q V Q r m R R R R Re Sc Sh t t T i i tepelný tok teplo objemový průtok hmotnostní průtok měrná plnová konstnt niverální plnová konstnt teplotní odpor reidál normliovný reidál Renoldsovo číslo Schmidtovo číslo Strohlovo číslo čs teplot bsoltní teplot vektor rchlosti střední rchlost i-tá složk rchlosti P P P Jm - s - kcl, J m 3 s - kgs - Jkg - K - Jkmol - K - s o C K ms - ms - ms - i-tá složk střední rchlosti ms - i i-tá složk flktční rchlosti ms -, * rchlost definovná stěnovo fnkcí ms - třecí rchlost ms - U vnitřní energie Jkg - 8

9 Senm požitých ončení v v V i střední rchlost vektor rchlosti objem sořdnice v krtéském sstém,, 3 nebo,, m kolmá vdálenost od stěn m, * beroměrná veličin při odvoování stěnových fnkcí * v v beroměrná tlošťk podvrstv tlošťk vké podvrstv P vdálenost bod P od stěn ve směr normál m relční fktor ms - ms - sočinitel přestp tepl Wm - odhd sočinitele přestp tepl Wm - sočinitel teplotní rotžnosti K - Kroneckerovo delt-tenor účinnost rchlost disipce m s -3 P rchlost disipce v logritmické vrstvě m s -3 přenos sočinitel von Kármánov konstnt, poměr měrných tepelných kpcit sočinitel tepelné vodivosti Wm - K - dnmická viskoit Ps dnmická viskoit Ps t trblentní viskoit Ps kinemtická viskoit m s - t trblentní viskoit m s - celkový tenor npětí P hstot kgm -3 k empirická konstnt empirická konstnt m 3 m 9

10 Senm požitých ončení h trblentní Prndtlovo číslo čsová period s tenor vkých npětí P npětí P w vké npětí n stěně P t trblentní npětí P obecná proměnná flktce obecné proměnné střední hodnot obecné proměnné Inde: i inde složk rchlosti i sčítcí inde C smční Einsteinův inde w,, e p inde stěn konečného objem W, E,, P N,, S, F, B NB ref wll s c h o i,n I O P P s S stt tot L T inde referenčních (vtžných) hodnot inde stěn setrvčný (cool) stdený, ohřívný (het) teplý, ochlovný hmotnostní inde iterce (inpt) vstp (otpt) výstp inde bňk plošný setrvčný stěn sttický totální, celkový inde řd inde slopce 0

11 Předmlv

12 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek. Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek Zákldem termomechnik je komání přenos tepl mei dným sstémem s okolím. Tto interkce se nývá práce teplo. Avšk termomechnik se msí bývt procesem, během kterého se přenos tepl sktečňje v ávislosti n měnících se podmínkách čse. Ted bdeme se bývt nejen přenosem tepl jeho výsledným efektem, le i rchlostí přenos. Co je to přenos tepl? Přenos tepl je měn tepelné energie důvod eistence teplotní diference. Avšk teplotní diference eistje v rámci jednoho prostředí (médi) nebo mei médii. Můžeme disktovt o třech tpech přenos tepl [] : kondkce, která se objevje v pevné látce nebo nepohbjící se tektině s teplotním spádem (grdientem) konvekce, definovná mei povrchem pevné látk prodící tektin, pokd mjí odlišné teplot rdice, vnikjící mei plochmi emitjícími energii ve formě elektromgnetických vln T T T T, T q T T T s q q T T kondkce konvekce rdice obr.. Kondkce, konvekce rdice [] V komplení sovislosti je ntné se bývt nejen přenosem tepl, le tké přenosem hmot momentů, tj bývt se proděním plnů kplin (tektin)... Hpoté o kontin (spojitém prostředí) Kždá látk se skládá molekl, které eistjí v dném prostředí, moho se i pohbovt. Toto prostředí se le nevžje jko diskrétní prostředí n úrovni molekl. Ted má moleklovo strktr, le není vžd optimální hrnot tto moleklovo strktr do model. Úmslné vpštění moleklové strktr je námé jko hpoté o spojitém prostředí, kd moleklová strktr tektin je nhren množino vlstností jko hstot, tlk, teplot rchlost [4], které jso definován v bodech tektin (velmi mlých objemech)

13 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek spojitě se mění při přechod od jednoho k drhém objem. Tto vlstnosti jso ted popsán spojitými fnkcemi poloh čs. Blo dokááno, že tento přístp může nhrdit v rčitém smsl řešení problém n moleklové úrovni. Obdobně, jko je v obecné mechnice veden pojem hmotného bod, vstpje v úlohách přenos pojem elementární objem tektin pevné látk. Je to objem velmi mlý proti roměrům prod kplin, le dosttečně velký vhledem ke střední délce volné dráh molekl. Le ted předpokládt, že pro počet molekl obsžených v tomto objem pltí sttistické střední hodnot kinetické teorie. obr.. Elementární objem kplin [] Pro tento elementární objem bdo definován odvoen podmínk rovnováh sil energie definován ákldní ákon, tj. ákon chování hmot, resp. energie... Metod řešení přenos tepl, hmot, hbnosti Zákldní ákon chování hmot, hbnosti energie jso popsán prciálními diferenciálními rovnicemi, k nimž přistpjí okrjové počáteční podmínk. Jejich nltické řešení je velmi obtížné je možné poe pro několik výrně jednodšených plikcí. Proto se v sočsné době požívjí ve větším měřítk nmerické metod. Nmerické modelování obecně mnoh fikálních jevů je úce spojeno s modelováním rčité form pohb mtemtickými prostředk. Pohb tektin je spojen s řešením nejrůnějších problémů, nichž le jmenovt: rovinné dvoroměrné prodění, osově smetrické prodění, obecné trojroměrné prodění stcionární, nestcionární přechodové prodění lminární trblentní prodění v jednodchých i složitých geometriích stlčitelné nestlčitelné prodění přenos tepl, přiroená smíšená konvekce, rdice 3

14 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek přenos chemické příměsi včetně chemických rekcí, hoření vícefáové prodění, prodění s volno hldino, prodění s pevnými částicemi bblinmi prodění poréním prostředím, td. Vhledem k tom, že se jedná o děje obecně trojroměrné čsově ávislé, jso popsán sostvo prciálních diferenciálních rovnic, ktero je ntné řešit nmerickými metodmi. K tomto účel jso dnes k dispoici výkonné CFD (Compttionl Flid Dnmics) progrmové sstém, npř. Anss-Flent, Anss-CFX, Fidp, Flow 3D, Rmpnt, Flidn-Pnche, td. Jejich vžívání je podmíněno rošířením nlostí oblsti prodění, nmerických metod, výpočetní technik. S rovojem výpočetní technik se mění poždvk n její živtele, ejmén v oblsti projektování. V poslední době nbl pontk vedocí k správné volbě výpočetního model, výpočetní metod interpretce výsledků, výrno převh nd mtemticko progrmátorsko stránko řešené problemtik. T ůstává vhren špičkovým specilistům v oblsti mtemtik progrmátorství problémově orientovným specilistům firem prodkjících softwre. Povinností živtele tkových progrmových sstémů je především ntnost sestvit správný výpočtový model, což obshje některé mtemtické, fikální technické princip. Pro tkový model je ntné njít všechn vstpní údje v pltných normách, sestvit vstpní dt pro progrm, kterým le výpočtový model řešit, provést řešení terminál, správně interpretovt výsledk pro dlší požití ve všech fáích provádět účinné kontrol všech vstpů výstpů. Uživtel msí bepečně ročlenit všechn informce n údje geometrické (dvoroměrné nebo tříroměrné útvr, topologie), údje o působení vnějších sil fikální údje (informce o prodícím médi, jeho fikálních vlstnostech). Ted nestpitelno úloho živtele je nlost hdromechnik, termomechnik dlších věd podle složitosti problém. Pokd jde o výpočetní metod, je ložen n metodě konečných objemů. Uživtel b měl nát jejich podstt v rosh potřebném pro spolehlivé požití ve stndrdních přípdech. U progrm Flent je třeb vědět, s jkými tvr konečných objemů se bde prcovt, toho vplývá volb hstot sítě, jká proimční schémt bde vhodné požít, dnmik mít předstv o chrkter čsové ávislosti jednotlivých veličin toho vplývjící velikosti čsového krok, pod. Dále je nebtné poromět obecné dikci mnálů, protože be této pomůck není možné serióně prcovt dání úloh. Neméně výnmno částí je vhodnocení výsledků, které je obvlášť obtížné trojroměrných úloh. Je optimální mít k dispoici lespoň orientční hodnot počítných veličin, ideální je srovnání výsledků s eperimentem. Tento čební tet b měl dát návod, jk postpovt při řešení výše vedených problémů. 4

15 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek.3. Vlstnosti pevných látek tektin Stv látk ncháející se v rovnováe může být rčen hstoto, teploto, tlkem rchlostí. Hstot (měrná hmotnost) je rovn poměr hmotnosti elementární částice látk dm k jejím elementárním objem dv d m d V [kgm -3 ] (.3.) T Teplot je proměnná, která posktje informce o vnitřní energii látek. Vjdřje se ve stpních T K Celsi C nebo Kelvin. t o 73. (.3.) 5 Teplotní měn v látkách jso čsto spojován s konvekcí nebo kondkcí tepl. Hstot pevných látek kplin se mění s tlkem teploto jen neptrně ve většině konst. výpočtů bde povžován konstntní Přesto mjí kplin schopnost menšovt svůj objem při všování tlk ted může být definován jejich objemová stlčitelnost. Teplotní rotžnost [] je schopnost látk většovt při hřátí svůj objem. Vjdřje se sočinitelem teplotní rotžnosti V V t [ o C - ] (.3.3) p konst Nechť n počátk je v nádobě kplin o hstotě, teplotě t objem V, vi obr... Po hřátí kplin je její teplot všší o t kplin jímá objem V V V 0. Objem, teplot hstot kplin po hřátí jso V,. Po dosení rodíl objemů teplot po hřátí 0 t0, 0 před hřátím do rovnice (.3.4) se dostne vth (.3.4), který vjdřje měn objem kplin V V0 V připdjící n jednotk původního objem V obr.. Teplotní rotžnost kplin při měně teplot t t 0 t. V V V 0 V t t V t [ o C - ] (.3.4) 0 Z předcháejících V V rovnic V vplývá V V vth t pro objem kplin po hřátí V t 0 [m 3 ] (.3.5) Hstot po hřátí je dán následjící rovnicí 5

16 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek m m 0 V V [kgm -3 ] (.3.6) 0 Δ t Δ t Tlk kplin je dán velikostí tlkové síl, působící kolmo n jednotk ploch. Je-li tlková síl rovnoměrně roložen, je tlk dán poměrem velikosti síl ploch F df p p (.3.7) S resp. d S [P] obr..3 Působení tlkových sil n stěn nádob Tlková síl v hdrosttice působí vžd kolmo n ploch. Toto tvrení si nní dokážeme negcí, vi d S df obr..3. Kdb působil n plošk síl nikoliv ve směr normál, dl b se roložit n složk normálovo tečno. Tečná složk síl b si vntil pohb částeček kplin, které nekldo vájemném posntí odpor. Protože tektin je v klid, je tečná složk rovn nle tlková síl msí působit ve směr normál k ploše. Hstot plnů pr je fnkcí stvových veličin tj. tlk p teplot T [K]. Pro její výpočet se bde požívt jednodchá stvová rovnice ideálního pln pv mr T p r T (.3.8) kde r je měrná plnová konstnt [Jkg - K - ], jejíž velikost ávisí n drh pln. Viskoit tektin se projevje pohb sktečných kplin. Pohbjí-li se sosední vrstv kplin růnými rchlostmi, vniká n jejich rohrní smkové npětí, které brání pohb. Pomlejší vrstv je rchlován nopk se rchlejší bržďován. Tečné (smkové) npětí je vvoláno vnitřním třením neboli viskoito tektin. Je úměrné měně rchlosti ve směr kolmém n směr pohb podle Newtonov vth v d [P] (.3.9) v kde je dnmická viskoit (vkost) d je grdient rchlosti ve směr kolmém n d směr pohb, vi obr..4. Tto formlci vedl v roce 687 nglický fik Isc Newton pro d lminární prodění. Smkové npětí působje úhlovo deformci elementárního objem tektin (obr..4). 6

17 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek obr..4 Smkové npětí při lminárním prodění [] Jednotk dnmické viskoit se definje e vth pro smkové npětí [ ] [ ] N s kg [ ] P s [ ] v m m s Kinemtická viskoit dán podílem dnmické viskoit hstot podle vth kg m3 [ ] m s m s kg (.3.0) Roměr kinemtické viskoit neobshje jednotk hmotnosti ni síl. V pri je dosd stále důležitá jednotk kinemtické viskoit v sostvě technické Stokes, pro niž pltí S = cm s - = 0-4 m s -. Teplo Q [J] (nesprávně žívný termín tepelná energie) [], [] je část vnitřní energie, ktero sstém vmění (tj. přijme nebo odevdá) při stk s jiným sstémem, niž b přitom docháelo ke konání práce. Výměn tepl mei sstém jednotk čs definje tepelný výkon P [Js - =W]. Teplo procháející plocho rčje tv. tepelný tok. Hstot tepelného tok (měrný tepelný tok) je množství tepl, které projde plocho jednotk čs. T s obr..5 Princip vedení tepl T s Zákldním ákonem šíření tepl je Forierův ákon, který dává vth mei tepelným tokem q teplotním grdientem grd T : d Q d P q T d Sd t d S [Js - m - =Wm - ] (.3. ) kde [Wm - K - ] je tepelná vodivost, která ávisí n drh mteriál mění se s teploto. Záporné nménko n prvé strně rovnice vjdřje sktečnost, že hstot tepelného tok teplotní grdient mjí jko vektor opčný smsl (teplo se šíří 7

18 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek ve směr klesjící teplot). Specifické teplo (měrná tepelná kpcit) pk je definováno jko množství tepelné C 0 energie poždovné ke výšení teplot o množství kg látk. d Q c md T [Jkg - K - ] (.3. ) Při přenos tepl vedením je teplotní vodivost definovná dle vth c [m - s - ] (.3.3 ) p Sočinitel přestp tepl stěno je veličin definovná rovnicí q T T [Wm - K - ] (.3.4 ) wll ref q T T kde je kovektivní tok tepl, wll je teplot stěn ref je referenční teplot, která b měl být repreenttivní pro dný problém. Prostp tepl rovinno obtékno stěno α, T T s s T s obr..6 Prostp tepl stěno α, T Nejjednodšším přípdem prostp tepl je stcionární prostp tepl homogenní neomeeno iotropní rovinno stěno [3]. Podmínko všk je, b se tektin obklopjící stěn obo strn výrněji nepohbovl nedocháelo tk ke sdílení tepl proděním. Pro výpočet hstot tepelného tok v tomto přípdě pltí ákldní vth: q T T k T T s (.3.5) T T kde předstvjí sočinitele přestp tepl n rohrní stěn tektin, s předstvjí teplot obo stěn obklopjící tektin je tlošťk stěn. Tento působ není možné požít stěn složených. Sočinitel prostp tepl k [Wm - K - ] chrkterije přenos tepl jedné prcovní látk do drhé přes pevno překážk. V koeficient prostp tepl je hrnt tepelná vodivost λ pevných stěn, které odděljí obě tektin dále koeficient přestp tepl α pro rohrní mei pevno stěno oběm tektinmi. Stnovení tepelné vodivosti je reltivně sndné, protože je poe mteriálová vlstnost. Koeficient přestp tepl, jk již blo řečeno, specifikje intenit přestp tepl tektin do pevné stěn, nopk. Tento koeficient je všk ávislý jk n mteriálových vlstnostech prodící tektin, tk i n chrkter prodění v okolí pevné stěn. 8

19 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek.4. Beroměrná kritéri Renoldsovo číslo (Re) definje poměr setrvčných viskóních sil je rčován okrjových fikálních podmínek jko beroměrné kritérim účelem specifikce lminárního nebo trblentního prodění. Jeho hodnot chrkterije prodění v přechodové oblsti mei lminárním trblentním proděním [3]. d Re h (.4.) d kde tv. hdrlický průměr h repreentje při prodění v potrbí průměr trbk, při v obtékání trbk tké její průměr, je střední rchlost prodícího médi. Při prodění v trbce pltí, že pokd je hodnot Re < 30 jedná se o lminární prodění (částice se pohbjí ve vrstvách). Při všším Re > 30 se jedná o trblentní prodění (částice se víří) [4]. Prndtlovo číslo je poměr viskóní tepelné dife, je poe ávislé n mteriálových vlstnostech tektin. Vthje se k tlošťkám meních vrstev, referenční rchlosti teplot. c Pr p (.4.) Pro vdch je možno předpokládt jeho hodnot konstntní 0.7. Grshofovo číslo je poměr vtlkových viskóních sil. Jeho hodnot tk dává, d je při prodění tektin výnmná grvitce, ted vtlkové člen Gr g T T s ref d 3 h Forierovo číslo je poměr vedení tepl k jeho kmlci v pevném tělese h (.4.3) Fo c d (.4.4) p je čsová konstnt. Nsseltovým číslem se vjdřje vliv prodění n tepelný tok stěno, ávisí n geometrickém referenčním prmetr (který je dobře definovtelný). d N h (.4.5) Hodnot Nsseltov čísl tk specifikje poměr konvekce k kondkci (přestp k vedení). V koeficient prostp tepl je hrnt tepelná vodivost pevných stěn, které odděljí obě tektin dále koeficient přestp tepl, pro rohrní mei pevno stěno oběm tektinmi. Stnovení tepelné vodivosti je reltivně sndné, protože je poe mteriálová 9

20 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek vlstnost. Koeficient přestp tepl, jk již blo řečeno, specifikje intenit přestp tepl tektin do pevné stěn, nopk. Tento koeficient je všk ávislý jk n mteriálových vlstnostech prodící tektin, tk i n chrkter prodění v okolí pevné stěn. Drhá definice Nsseltov čísl obshje lépe měřitelné veličin, jko je tepelný P d S výkon, chrkteristický roměr h, ploch, n které je rčován přestp tepl, teplotní T T - T spád mei teploto stěn referenční teploto okolí s ref. Teplotní spád může být specifikován tké jko střední logritmická diference. P d N h S T (.4.6) Koeficient přestp tepl je možné stnovit n ákldě celé řd empirických vthů, v pri se nejčstěji vžívá teorie podobnosti. Pokd ted náme hodnot Nsseltov čísl můžeme rčit koeficient přestp tepl. Nsseltovo číslo je obecně fnkcí dlších podobnostních kritérií N f Re, Pr, Gr, Fo (.4.7) Přestp tepl dělíme n ákldě vliv grvitce do dvo režimů: Přiroená (volná) konvekce - je dominntně říen vtlkovými silmi (grvitcí). Prodění tektin je pk vvoláno poe měno hstot (teplá tektin stopá, stdená klesá) Ncená konvekce - je dominntně říen proděním kplin, které je vvoláno vnějším silovým působením n tektin (čerpdlo, ventilátor pod.), která je tk ncen prodit přes výměník obtékt teplosměnné ploch. Grvitce je v tomto přípdě nedbtelná. Re V přípdě ncené konvekce se hodnot Nsseltov čísl rčje v ávislosti n hodnotě čísl. Pro lminární prodění v trbce se jeho hodnot dá rčit e vth d N 3 49, Re Pr l (.4.8) Pro trblentní prodění pltí: N 0,Re0, 8 Pr 0, 43 (.4.9) Přesněji je možné hodnot N rčit e vth 0

21 Hpoté o kontin fikální vlstnosti látek N f Re,7 000 f Pr Pr / 3, f A BRe-/ m (.4.0) Tb.. Koeficient A, B pro výpočet N pro trblentní prodění Re A B m Re Re U přiroené konvekce je možné Nsseltovo číslo rčit e vth N C Gr Pr (.4.) n V přípdě přiroené konvekce ve volném prostor jso hodnot veden v následjící tblce Tb.. Koeficient C n pro přiroeno konvekci ve volném prostor Gr Pr C n V odborné litertře je možné nlét celo řd vthů, pomocí nichž je možné stnovit hodnot Nsseltov čísl. Tto rovnice jso rčen převážně empirick mjí omeeno pltnost pro rčité specifické přípd. V předchoím tet bl veden poe velice strčný výběr nejpožívnějších vthů.

22 Přenos tepl kondkcí. Přenos jeho řešení Pochopení přenos veličin je ákldem pro mnoho inženýrských oblstí hrnjících mechnická říení, jko jso motor, čerpdl trnsportní sstém (doprv oleje, chemikálií, potrvin td.), energetické sstém říení []. Ab blo možno počítt přenos hmot, hbnosti, energie dlších vlstností látek plocho, je třeb rolišovt pohb tektin n úrovni růných délkových měřítek mkroskopická měřítk (částice) mikroskopická měřítk (molekl). Při mkroskopickém Elerovském přístp je ntno rčit pole rchlosti. Přenos částic tektin přes ploch se nývá konvektivní přenos. Přenos, který je definován n úrovni molekl se nývá difúní přenos. Konvektivní přenos je nlový, pokd se tektin nepohbje, difúní trnsport může být nenlový i v klid, npř. eistence teplotního grdient je dán difúním trnsportem tepl. Při prodění tektin jso přítomn ob přenos, le jeden nich může výnmně převšovt drhý. Npř. při trblentním prodění konvektivní přenos hmot, hbnosti energie může být překvpivě velký. Ploch, přes ktero probíhá přenos, může být sktečná stěn ohrničjící objem tektin, nebo fiktivní, místěná vnitř tektin. Vnitřní ploch je průtočná. Pro objsnění rodíl mei oběm přenos je n obr.. obr.. obren konvekce tepl e stěn difúe (kondkce) tepl mei dvěm stěnmi o růných teplotách. T s >T v T >T qd q K Ts T obr.. Přenos tepl konvekcí obr.. Přenos tepl difúí.. Definice přenos... Konvektivní přenos Přenos Γ k v rčitém bodě průtočné ploch je definován rchlostí, ktero je dná veličin přenášen přes ploch S, v diferenciálním tvr je definován d Γ K n d S (..) kde obecná veličin (sklár)

23 Přenos tepl kondkcí d S velikost element ploch d S n normálový vektor k element ploch n vtvoří normálovo složk vektor rchlosti k ploše se nývá hstot tok veličin. d S Konvektivní přenos sklární S veličin plocho je sklár rčený plošným integrálem S ds n V Γ K n d S (..) S Plošný integrál se čsto nývá konvektivní integrál tok nebo tok. Výsledkem integrál, tj. konvektivního trnsport je veličin o jednotce s obr..3 Sořdný sstém definice ploch ds (npř. objemový hmotnostní průtok) požívá se čstěji, než hstot tok definovná jednotko s m. Tok le viliovt, vi obr..4. Je úměrný hstotě vektorového pole, mění se s nstvením směr průtočné ploch její velikosti. Šipk vcháející ploch jso droje (kldná divergence) nopk končící n ploše jso propd (áporná divergence). V přípdě trojroměrné oblsti je ploch orientovná tk, že tok vcháející oblsti je vžován jko kldný (ve směr vnější normál) tok vstpjící do oblsti je povžován áporný. obr..4 Velikost tok v ávislosti n hstotě vektorového pole, nstvení směr průtočné ploch její velikosti. Pokd se ončí entlpie h U, pk tepelný tok bde obecně definován jko 3

24 Přenos tepl kondkcí Γ K S h n d S (..3) Výnmno úloho při přenos tektin je rčení tok hbnosti, tj. tok vektor rchlosti plocho, který je definován jko Γ K S n d S (..4) V kždém bodě ploch má přenos jino hodnot.... Difúní přenos Difúní přenos vniká mikroskopického pohb molekl, ávisí n orientci tvr ploch n roložení vlstnosti v dném bodě. Je žitečné definovt difúní tok přenos v dném bodě, který má roměr trnsportovné veličin jednotko ploch jednotk čs. Pro tektin jko je vdch vod, je vth mei tokem grdientem trnsportovné veličin modelován lineární ávislostí, která je dosttečně přesná pro inženýrské plikce. Při rčování vedení tepl dle Forierov ákon je npř. hstot tepelného tok vektor q T D (..5) Podobně je tom pro koncentrce. Difúní přenos je nlogick k celkovém konvektivním přenos dán plošným integrálem Γ D S q D n d S (..6)..3. Celkový přenos Celkový přenos je pk vjádřen sočtem konvektivního difúního přenos Γ Γ Γ K D (..7)..4. Bilnční rovnice přenos Fikální ákon popisjící přenos jso ákon chování hmotnosti, hbnosti, tepl přípdně dlších sklárních veličin. Jso vjádřen rovnicí energie, Nvierovými Stokesovými rovnicemi spol s rovnicí kontinit v obecné konervtivní formě popisjí lminární i trblentní režim prodění. 4

25 Přenos tepl kondkcí d V n d S t d S S d V V S S V (..8) kmlce + konvekce = difúe + droj kde je proměnná člen v rovnici jso postpně konvektivní, difúní drojový člen, proto se rovnice nývá tké konvekčně - difúní rovnice. Tto rovnici le vjádřit v diferenciálním tvr (obvklejším v čebnicích hdromechnik termomechnik) následjícím postpem. Vžije se divergenční teorém, kterým se plošný integrál (dv=ddd, da=dd) převede n objemový integrál d d d d d d d d d S V Rovnice (..8) má tvr V d V d V d V t V kmlce + konvekce = difúe + droj V V V S d V d V (..9) Protože rovnice pltí pro libovolný integrál plikovný n libovolný objem, pltí i pro výr pod integrálem t kmlce + konvekce = difúe + droj S (..0) Pokd předstvje teplot, příměs nebo jino sklární veličin, pk se jedná o lineární rovnici drhého řád, pokd předstvje složk rchlosti, jedná se o nelineární rovnici. Úloh njít řešení rovnice (..0) splňjící okrjové i počáteční podmínk se nývá smíšeno úloho. Jso-li okrjové podmínk rovn nle, nývjí se homogenní okrjové podmínk, podobně jso-li počáteční podmínk rovn nle, nývjí se homogenní počáteční podmínk. Místo okrjových podmínek moho být dán podmínk jiného tp, které se též nývjí okrjové. Úvh o okrjových počátečních podmínkách pro teplot je pltná pro obecno proměnno. 5

26 Přenos tepl kondkcí..5. Okrjové podmínk Okrjové podmínk nemsí být jen konstntní veličin, le moho nbývt hodnot definovných fnkcí, tblko td.: konstnt konst. polnomická fnkce A A ) 0 ( A..., kde koeficient se dávjí poe n pět pltných cifer derivce podle normál (OUTLET, teplotní tok) konst. [m] konst -polnom -po částech lin. fnkce [m.s - ] obr..5 Profil rchlostí po částech lineární fnkce (piecewice liner),,,,,...,, 3 3 N N kombince polnom. po částech lin. fnkce.. Nmerické metod řešení Cílem nmerických metod pro řešení prciálních diferenciálních rovnic je hledt diskrétní řešení definovné v dosttečně mlých podoblstech ákldní oblsti pomocí sstém tv. diferenčních (lgebrických) rovnic v ákldních bodech dělení oblsti n diskrétní geometrické element vtvoření sítě bilncování nenámých veličin v konečných objemech nebo lech diskretice nmerické řešení diskretiovných rovnic v obecném tvr přitom diskretiční chb se definje jko rodíl mei řešením diferenciálních diferenčních rovnic. Zákldní vlstnosti nmerických metod jso: mír přesnosti diskretiční chb residál mír stbilit Eistje rčitý vývoj v nmerickém řešení rovnic definjících prodění tektin přenos tepl.... Diferenční metod řešení Nejstrší klsicko metodo je diferenční metod. Princip diferenční metod pro řešení diferenciálních rovnic le popst následovně oblst, ve které se hledá řešení, se pokrje sítí složeno konečného počt nepřekrývjících se elementů. Nejjednodšší sítě jso 6

27 Přenos tepl kondkcí úsečk v jednoroměrném přípdě obdélník ve dvoroměrném přípdě šestistěn ve trojroměrném přípdě v těchto bodech se nhrdí derivce diferencemi o růných přesnostech (npř. T T T T i i ), vth pro potřebné derivce se odvodí Tlorov rovoje i i se specifickým ončením sovisejícím s vedením tepl, proděním, td. diferenciální rovnice přejde n sostv lgebrických rovnic o nenámých, které rčjí přibližné hodnot nenámé fnkce ve všech lech sítě, sostv lgebrických rovnic se řeší nmerick. Řešený příkld T T Řešte rovnici vedení tepl v tči, dno prbolicko diferenciální rovnicí t. D t, Řešení se hledá v obdélník, vi obr..6 msí splňovt podmínk: T,0 T 0 O C 0 L počáteční podmínk 0. T 0, t T t 80O, C T, L t T t 00 C okrjové podmínk (BC) 7

28 Přenos tepl kondkcí t i- i T i,n+ t T=T t=0 T=T 0 () i D i+ i n+ n T=T n- L obr..6 Geometrie oblsti, okrjové podmínk, síť Diferenční rovnice vedení tepl má tvr T T, i n, i n t T i, n T i, n T, i n po úprvě pltí T T T T T t i, n i, n, i n, i n T Ted le eplicitně vjádřit, i n, i n pomocí hodnot v předchoím čsovém krok n. V tomto přípdě le njít řešení v Ecel. V následjící Tb.. je v Ecel vedeno dání úloh řešení. Šedě vnčené hodnot le měnit, ted měnit velikost oblsti, počet elementů sítě, sočinitel přestp tepl okrjové podmínk. Tb.. Tblk dání prmetrů pro iterční výpočet = 0. T(=0)= 80 koef= 0.5 L= T(=L)= 0 = 0. n= 0 T(t=0)= 0 t= 0.05 time BC BC Konvergence úloh ávisí n volbě čsového prostorového krok. Dlším problémem je efektivní řešení této sostv lgebrických rovnic. N obr..7 je vidět tměn roložení 8

29 Přenos tepl kondkcí teplot po délce tče v ávislosti n čse. Po konvergování úloh b teplot bl roložen lineárně od levé okrjové podmínk k prvé. Bohžel b bl grf nečitelný T length time obr..7 Grfické obrení řešení v Ecel... Metod konečných objemů Metod konečných objemů [], [3] spočívá strčně řečeno ve třech ákldních bodech dělení oblsti n diskrétní objem žitím obecné křivočré sítě bilncování nenámých veličin v individálních konečných objemech diskretice nmerické řešení diskretiovných rovnic Flent definje diskretní konečné objem žitím non-stggered schemt, kd všechn proměnné jso chováván ve středech konečných objemů. Rovnice řešené ve Flent jso rošířením předchoích n třídimenionální křivočrý sořdný sstém. Po diskretici obecné rovnice přenos je nenámá vjádřen ve tvr: A S A S P i P i i C (..) i i 9

30 Přenos tepl kondkcí kde sočet se provede přes sosední bňk (v jednoroměrném přípdě je i=e, W; v trojroměrném přípdě i=n, S, E, W, F, B,). A i jso koeficient, které obshjí příspěvk od konvektivních, difúních drojových členů S C S P jso složk lineriovných drojových členů S = S C + S P.. Požité ončení je ptrné obr..8. P obr..8 Sořdnicové schém se speciálním nčením bněk pro D 3D model místo indeů, kde N sever (North), S jih (Soth), E východ (Est), W ápd (West), F vpřed (Front), B vd (Bck) Kždá iterce sestává kroků, které jso obren digrmem n obr..9. jso popsán následovně pohbové rovnice pro nenámé složk rchlosti jso řešen s žitím hodnot tlků tk, b se ktliovlo rchlostní pole rchlosti rčené v předchoím bodě nemoho splňovt rovnici kontinit, proto se rčjí tv. tlkové korekce následně korekce i rchlostního pole pomocí nových hodnot rchlostí se řeší rovnice pro trblentní energii k disipci řeší se dlší rovnice pro rčení teplot dlších sklárních veličin ktlijí se fikální vlstnosti kplin (npř. viskoit) kontrol konvergence 30

31 Přenos tepl kondkcí END START řešení rovnice pro chování hbnosti kontrol konvergence řešení rovnice kontinit (tlková oprv) ktlice rchlosti tlk ktlice vlstností tektin řešení rovnic pro sklární veličin ktlice trblentních veličin ktlice sklárů obr..9 Digrm lgoritm řešení Flentem []..3. Vtvoření geometrie, prvk sítě Nmerická metod konečných objemů je ložen n vtvoření sstém nepřekrývjících se elementů, konečných objemů. Původně bl metod konečných objemů postven n konečných objemech tvr obdélníků křivočrých čtřúhelníků ve dvoroměrném přípdě kvádrů nebo obecných šestistěnů v trojroměrných úlohách (vi obr..0). kvádr primtický čtřstěn prmidový prvek prvek obr..0 Tvr konečného objem Tkto vtvořená síť se nývá strktrovná síť. Zásdním prvidlem je, že hrnice prvků msí sosedit s jedino hrnicí sosedního element, nele ted libovolně hšťovt síť (je nlogií pro metod konečných diferencí včetně možnosti požití indeování). Tké výsledná 3

32 Přenos tepl kondkcí výpočtová oblst je pk kvádr nebo obdélník. V sočsné době se číná prosovt nový přístp, kd se bdje tv. nestrktrovná síť. Konečným objemem je ve 3D kvádr, čtřstěn, primtický prmidový prvek, jehož výhod bl ověřen v úlohách pržnosti, řešených metodo konečných prvků. Výše vjmenovné prvk se moho kombinovt, čímž se íská optimální síť, kde v okolí stěn jso požit čtřúhelník kvádr (pro výpočet hledisk přesnosti jso optimální) v dlších oblstech, kde nedocháí důvod eistence mení vrstv k velkým grdientů řešených veličin, se požijí bývjící prvk. T jistí sndno měn hstot sítě, vi obr... obr.. Požití růných tpů prvků [] Pro vtvoření geometrie sítě se požívjí růné CAD kresliče následně softwre pro vtvoření sítě. Je třeb ponment, že je vhodné požít progrm doporčené v mnálech Anss-Flent, protože sítě, kde se řeší poe problém deformční nebo tepelné kondkce, jso cel odlišné od sítí generovných pro problém prodění...4. Výběr interpolčního schémt FLUENT kládá složk rchlosti sklární veličin v geometrických středech konečných objemů definovných sítí. Z důvod výpočtového proces jso potřebné hodnot těchto veličin n hrnicích konečných objemů. Tto hodnot jso ískán interpolcí, přitom si le vbrt mei následjícími třemi vrintmi lišícími se řádem přesnosti (vestpně) mocninová interpolce kvdrtická pwind interpolce interpolce drhého řád/centrální diference QUICK interpolce třetího řád (MUSCL) 3

33 Přenos tepl kondkcí Při velkých měnách tlků průtoků je vhodné ropočítt úloh s nejnižším řádem přesnosti (což je předdefinováno) po několik itercích vžít všší řád přesnosti (pro prodění se vířením, s přenosem tepl, disipcí pod.)..5. Konvergence residál Při simlci prodění pomocí progrm Flent je velmi důležité ískt konvergentní řešení. Míro konvergence jso reidál, které předstvjí mimm rodíl dvo odpovídjících si veličin ve stejném bodě sítě ve dvo po sobě následjících itercích. Residál jso vhodnocován pro všechn počítné veličin v kždém krok iterce obrován pro vbrné veličin. i+-tá iterce P i+ i-tá iterce P i obr.. Iterce při nmerickém stcionárním výpočt Kriterim konvergence je dné hodnoto reidálů, které ávisejí n dné proměnné. Proto se prktick požívjí normovné reidál (reltivní chb), které dávjí přesnost ávislo n pltné cifře. Ted pro všechn proměnné jso limit reidálů nstven n hodnot 0.00 pro teplot n hodnot Tto hodnot je možno menšit, především v přípdech komplikovných geometrií velkých teplotních grdientů...6. Urchlení konvergence Konvergence je ovlivněn mnoh fktor, jko je počáteční odhd, velký počet bněk, relční fktor td. Pro rchlení konvergence se nvrhje vžít počátečního odhd proměnných výnmných pro prodění, což je nejlepší působ, jk čít řešit úspěšně úloh. V opčném přípdě jso všechn veličin definován inicilicí, čsto jso pokládán rovn nle n počátk výpočt. Nejvýnmnější příkld nstvení počátečních podmínek jso: teplot pro problém řešící přenos tepl při žití stvové rovnice 33

34 Přenos tepl kondkcí rchlost při velkém počt bněk teplot i rchlost při řešení přiroené konvekce prodění s rekcí, kd je dobré nstvit teplot i hmotnostní podíl. Důležito techniko k rchlení konvergence je technik step b step (postpně od jednodché úloh ke složitější). Při řešení problém s přenosem tepl je dobré čít výpočet iotermního prodění, při řešení regjícího prodění prodění be rekce se hrntím příměsí. Problém se ndefinje nejprve celý teprve potom se vbero proměnné, pro které se vřeší počáteční stv...7. Relce Z důvod nelinerit diferenciálních rovnic není obecně možné ískt hodnot všech proměnných řešením původně odvoených proimčních diferenčních schémt. Konvergence le všk dosáhnot žitím relce, která redkje měn kždé proměnné v kždé iterci. Jednodše řečeno, nová hodnot P, i v konečném objem obshjícím bod P ávisí n stré hodnotě předešlé iterce P, i, vp P, i, nové hodnotě ktální iterce (resp. vpočtené měně P P, i, vp P, i relčním prmetr 0,. P, i, vp P, i P,i P 0 0, obr..3 Specifikce relčního prmetr P, i P, i vp P, i,. (..) Tto relční prmetr se nstvjí pro všechn počítné proměnné. Zvláště pro rchlosti se nstvjí velmi mlé, řádově desetin ž setin. Přitom je vhodné během výpočt tto 34

35 Přenos tepl kondkcí hodnot měnit tím rchlovt konvergenci, tn. jestliže měn reidálů jso velké při přechod od jedné iterce k drhé, nství se mlý relční fktor tím se tlmí vliv počáteční proimce řešení nelinerit, pokd se měn reidálů stávjí konstntní, je vhodné relční fktor většit. 35

36 Přenos tepl kondkcí 3. Přenos tepl kondkcí 3.. Rovnice přenos tepl kondkcí Pro rčení roložení teplot je žit Forierův ákon vjdřjící ákon chování energie: h T S t h ( 3..) kde hstot mteriál stěn h entlpie vodivého mteriál, c p (T T ref ) tepelná vodivost T teplot S h droj tepl Ve výše vedených rovnicích pro entlpie je výpočet definován pro referenční teplot (npř. T K ), ktero le měnit podle sitce. ref Pokd jso řešen úloh, kde ještě docháí k pohb či rotci dného objekt, pk tto efekt jso hrnt v řešení rovnice energie: t h v h T S h ( 3..) v Konvekce tepl je důvod pohb stěn rchlostí hrnt v rovnici energie pro oblsti ohrničjící prodění. N pohbjící se vodivé stěně je ntné dt následjící prmetr: v i rchlost pohbjícího se objekt c p specifické teplo (nestálené prodění, pohbjící se objekt) Zdání tepelné vodivosti možňje řešit úloh, kde pevná vodivá oblst je tvořen oddělenými stěnmi růných mteriálů růných vlstností. Hstot specifické teplo stěn jso důležité při řešení čsově ávislých úloh při řešení stáleného stv poe tehd, kdž se stěn pohbje. Tpickými příkld jso řešení doprvníkových pásů, pohbjících se ocelových válcovných pásů v pecích, úloh s rotčními strojními sočástmi td. Všechn fikální vlstnosti moho být podle chrkter úloh konstntní nebo ávislé n teplotě přípdně n tlk. Nejvýnmnější veličino v tomto smsl je hstot. Výše psná rovnice je obecně předpokládán v trojroměrném prostor. Všechn vrint, jko je přenos tepl převládjící v jednom nebo dvo směrech přenos tepl v osově smetrickém (rotčním, válcovém) sořdném sstém (potrbí) 36

37 Přenos tepl kondkcí jso vláštním jednodšeným přípdem. 3.. Okrjové podmínk Podmínk n stěně - stěn může být nepohblivá nebo pohblivá (npř. rotjící nebo klojící). Teplotní podmínk le definovt čtřmi vrintmi, vi obr. 3.. konstntní teplot povrch T, t S T S dibtická nebo iolovná stěn T, t S n 0 konstntní tepelný tok T, t S q n S teplot povrch ovlivněná konvekcí T, S t T T, t n S ref obr. 3. Tp okrjových podmínek Poslední okrjová podmínk je složitá, neboť hrnje vliv prodění tektin kolem stěn. Určení eterního sočinitele přestp tepl je dáno empirick mění se vlivem růných tektin rchlosti prodění. Teplot n vnější stěně je ted výsledkem výpočt. Podmínk osové smetrie definjí os při osově smetrických dvoroměrných úlohách, vi obr

38 Přenos tepl kondkcí Podmínk smetrie - nlové normálové grdient teplot, vi obr obr. 3. Válec s oso smetrie rovino, pro ktero je řešeno prodění. obr. 3.3 Válec s rovino smetrie oblst, pro ktero je řešeno prodění. Všechn tp podmínek moho být čsově ávislé, pokd to vždje jejich chrkter Jednoroměrné vedení tepl stcionární Anltické řešení Při dné jednodšení se vžje čsově neávislá (stcionární) úloh šíření tepl v nekonečně roměrné desce o tlošťce l, vi obr T(t,0) q 0 l smetrie smetrie T(t,l) q l obr. 3.4 Schém nekonečně roměrné desk o dné tlošťce v sořdném sstém řešené oblsti Rovnice odpovídjící tomto problém je T. 0 ( 3.3.) Tto homogenní rovnice má nenlové řešení pro nenlové počáteční podmínk, jk je ptrné obr Ted při konstntní tepelné vodivosti le odvodit řešení T 0 T C C T C q C ( 3.3.) Jestliže jso dán okrjové podmínk, npř. T T T l T 0, pk T C C C T 0 T T T Cl C Cl T C l Řešení má pk tvr T T T T l ( 3.3.3) 38

39 Přenos tepl kondkcí Tento výsledek bde tké potvren nmerickým řešením ve Flent. q Pokd se předpokládá droj tepl vnitř oblsti dný číselně tepelným tokem, pk diferenciální rovnice má tvr: T q 0 ( 3.3.4) Obecné řešení má tvr: q T C C ( 3.3.5) Konstnt se rčí stejně okrjových podmínek. Řešení je prbol, v přípdě shodných podmínek n obo hrnicích oblsti je to smetrická prbol Nmerické řešení Tto kpitol ilstrje, jk dávt řešit roložení teplot v desce o dné tlošťce ve Flent následně bde toto řešení porovnáno s nltickým řešením. Úkolem je: definovt fikální model, fikální vlstnosti mteriál definovt mtemtický model, okrjové podmínk vtvořit geometrii sítě dt okrjové počáteční podmínk ve Flent, výpočet vhodnotit vpočtené veličin porovnt řešení s nltickým řešením plikovt stejný postp pro růné vrint okrjových podmínek droje tepl. Příkld 3. T(t,0) q 0 l smetrie h T(t,l) q l smetrie obr. 3.5 Schém nekonečné desk Řešte roložení teplot v nekonečně velké desce oceli o dné tlošťce.fikální model je dán tvrem oblsti, jejíž schém ve D je obreno n obr. 3.5 roměr s fikálními vlstnostmi v tblce (D oblst nele řešit, neodpovídá relitě). Zákldní roměr oblsti fikální vlstnosti růných mteriálů pro výpočet vrint jso dán Tb. 3. Tb. 3.. Tb. 3. Geometrie oblsti l tlošťk oblsti h [m] 0.0 výšk oblsti [m] 0. 39

40 Přenos tepl kondkcí Tb. 3. Fikální vlstnosti mteriál (ocel, hliník, měď, dřevo) při 300 K mteriál dřevo ocel hliník měď hstot [kg m -3 ] c měrná tepelná kpcit p [J kg - K - ] tepelná vodivost [W m - K - ] Okrjové podmínk jso definován n stěně vlevo teploto 0 T n stěně vprvo teploto T, l tepelným tokem q T l nebo teploto okolí eterním sočinitelem přenos tepl. Pro úloh je připrveno pět vrint okrjových podmínek (A ž E v Tb. 3.3), které bdo testován, protože jejich dání výpočet je při shodné geometrii velmi sndné. Vhledem k velké roměrnosti desk jso nhoře dole definován podmínk smetrie. Tb. 3.3 Okrjové podmínk vrint sten lev T T 0 sten prv T l T sten prv T l q l sten prv T l T T l T l A 50-0 B C D 50 0 E Mtemtický model V této úloe nedocháí k prodění, je ted fiktivně řešeno prodění s nlovo rchlostí, ted jko lminární. Roložení teplot je říeno výše vedeno diferenciální rovnicí. Vtvoření geometrie sítě V prostředí GAMBIT nebo DesignModeller se vtvoří přesná geometrie metodo podobno prostředí CAD progrmů. Nvíc se vžije možností tohoto progrm tvořit sítě, vi obr

41 Přenos tepl kondkcí obr. 3.6 Výpočetní síť s černě vnčeno linií pro podrobné vhodnocení průběh teplot detil Výsledk výpočt vrint A Pro přehlednost se vádějí možnosti vhodnocení, tj. vplněné iočár teplot, osttní veličin nemjí smsl, i kdž jso nbíen, jko je tlk, rchlost td. obr. 3.7 Roložení teplot v celé oblsti [ o C] Roložení teplot v příčném ře prostřed oblsti je n obr. 3.8, kde je vidět lineární pokles teplot od 50 o C do -0 o C. Toto je ve shodě s nltickým řešením (přímk spojjící okrjové hodnot teplot) v předešlé kpitole. Tento obráek le prvit v Ecel přenosem dt v tetovém formát. 4

42 Přenos tepl kondkcí obr. 3.8 Roložení teplot v příčném ře oblstí Velmi jímvé je vhodnocení tepl procháejícího celo levo resp. prvo stěno: Tb. 3.4 teplo procháející stěno Q [W] ocel sten lev sten prv Prostp tepl procháející element stěn v jednotkách [W m - ] le tké vhodnotit podrobně v kždém místě stěn. V tomto jednodchém přípdě je konstntní, protože roložení teplot je ve směr lineární, ted eistje jediná směrnice (derivce teplot je tok), le v obecné geometrii tom tk nebde. 4