KOMBINATORIKA VE VZTAHU K VYUČOVÁNÍ MATEMATICE NA 1. STUPNI ZÁKLADNÍ ŠKOLY

Transkript

1 Idutíve a dedutíve prístupy v matematie, Smoleice KOMBINATORIKA VE VZTAHU K VYUČOVÁNÍ MATEMATICE NA. STUPNI ZÁKLADNÍ ŠKOLY JAROSLAV BERÁNEK Katedra matematiy, Pedagogicá faulta, Masaryova Uiverzita, Poříčí 3, Bro, Česá republia berae@ped.mui.cz Abstract: BERÁNEK, J.: Combiatorics i the Relatio of Teachig Mathematics at the Elemetary Stage of the Basic School. Idutíve a dedutíve prístupy v matematie, 005, pp I the article there is show a possibility of the exploitatio of iductive process i teachig elemetary Mathematics. The topic was chose from combiatorics, the teachig of which has a close relatio to the elemetary school. At first there is itroduced a combiatorics theory of the decompositio of atural umbers to summads. I the ext part a iductive process is used i solvig the problem of the decompositio of powers with atural expoets of umber to summads which are also powers of umber. This problem is coected with expressig a umber i a biary umber system. Key Words: Iductive process, combiatorics, the decompositio of atural umbers, biary umber system. Úvod Kombiatoria patří výzamým partiím moderí matematiy. Kombiatoricé metody a úvahy jsou využíváy v řadě dalších odvětví matematiy (apř. teorii pravděpodobosti). Přestože záladí ombiatoricá pravidla (součtu a součiu), pojmy i vztahy mezi imi (variace, ombiace, permutace,...) jsou relativě velmi jedoduchá, dochází ombiatoria při jejich zobecňováí hluboým a etriviálím výsledům. O záladech aalyticých metod v ombiatorice je široce pojedáo v publiaci [3]. Přitom lze v jistém zjedodušeí říci, že se v ombiatorice zabýváme zejméa oečými soubory objetů, jejichž počet prvů lze vyjádřit přirozeými čísly; tato čísla tvoří záladí číselý obor ve šolsé matematice. a to především. stupi ZŠ. Proto je výua ombiatoriy (a celé disrétí matematiy, do íž je začleěa) součástí výuy budoucích učitelů matematiy a záladí a středí šole. Otázou je, zda je výua ombiatoriy utá, resp. vhodá, při vzděláváí budoucích učitelů a. stupi ZŠ. Odpověď a teto problém vyžaduje jisté zamyšleí. Je zřejmé, že záladí ombiatoricé pojmy do učiva matematiy budoucích učitelů. stupě ZŠ patří; úlohy využívající ombiatoricých úvah jsou des ve všech učebicích matematiy a. stupi záladí šoly (apř. sestavováí čísel z daých cifer, a pod.). Tyto úlohy žáci samozřejmě eřeší pomocí vzorců obsahujících fatoriály, ale využívají experimetu, popř. vhodého graficého zázorěí pomocí diagramu (v teorii grafů se používaá graficá zázorěí azývají stromy). Těmito aspety didaticé trasformace ombiatoricých pravidel do učiva. stupě ZŠ se v tomto příspěvu ebudeme zabývat; jedá se o rozsáhlou problematiu, jejímž řešeím se zabývalo již moho reomovaých matematiů i odboríů v oblasti teorie vyučováí matematice (apř. [], [4]). Cílem příspěvu je uázat, že mohé jedoduché matematicé čiosti žáů a. stupi ZŠ (apř. rozlad čísla a sčítace, rozlady oečých souborů objetů a supiy) mají etriviálí, začě složitou matematicou podstatu, a že sezámeí s teoreticými ombiatoricými zalostmi může sloužit budoucím učitelům matematiy rozvoji jejich myšleí a mj. taé procvičováí formálě složitějších matematicých zápisů. 3

2 Idutíve a dedutíve prístupy v matematie, Smoleice Rozlady oečých moži V prví části se budeme zabývat rozlady oečých moži. S rozlady oečých souborů jistých objetů se žá a. stupi ZŠ setává zcela běžě, apř. při zaváděí operace děleí, dy provádí tzv. děleí a stejé části a děleí po částech. S rozdělováím objetů do supi se žá setává i při řešeí slovích úloh (o tom, že se jedá o rozlady v matematicém slova smyslu, se samozřejmě emusí dozvědět). V této souvislosti lze připomeout tzv. Dirichletův pricip - pravidlo, teré se týá rozdělováí předmětů do přihráde. Podíváme-li se a teorii rozladů oečých moži obecě, je pro studety velmi převapivé, apř. a speciálím matematicém semiáři, ja je tato teorie složitá. Uveďme yí stručou teoreticou podstatu tohoto problému. Pozameejme, že všechy důazy a další podrobosti lze alézt v učebím textu [3]. Ozačíme-li B počet všech rozladů a prvové možiě ( N), existuje reuretí formule pro určeí tohoto počtu: B + = = 0 B, B 0 =. Čísla B se azývají Bellova čísla. Protože studeti mohdy obtížě chápou podstatu reuretích defiic, je vhodé ihed spočítat ěoli prvích hodot Bellových čísel: B 0 =, B =, B =, B 3 = 5, B 4 = 5, B 5 = 5, B 6 = 03,... Vhodým úolem rozvíjejícím systematičost a trpělivost při práci je uložit studetům všech 5 rozladů čtyřprvové možiy praticy vypsat. Po určeí všech rozladů se můžeme zabývat jejich specifiací. Určíme počet rozladů -prvové možiy, teré obsahují předem daý počet tříd o zadaém počtu prvů. Nechť je přirozeé číslo s vlastostí. Nechť dále pro i =,,..., jsou dáa taová celá ezáporá čísla λ i, pro terá platí rovost λ i + λ λ =. Pro počet p všech rozladů - prvové možiy, teré obsahují pro aždé i =,,..., vždy λ i tříd rozladu o i prvcích a eobsahují třídu o více ež prvcích λ (teto rozlad budeme ozačovat λ... λ λ ), lze v ombiatorice odvodit vztah p( λ... λ )=! (! ).(! )...(! ).!.!... λ. Na možiě o 4 prvcích je tedy situace ásledující: Nejjemější λ λ λ λ λ! rozlad (aždý prve je ve trídě rozladu sám) je pouze jede, stejě ta je pouze jediý ejhrubší rozlad, de všechy čtyři prvy tvoří jediou třídu rozladu. Dále existují pouze rozlady typu, 0, 0 3. Podle předchozího vzorce pa platí: p( ) = 6, p( 0 ) = 3, p( 0 3 ) = 4. Celový počet rozladů je sutečě 5. Jao posledí specificý případ rozladů prvové možiy je určeí počtu rozladů a předem zadaý počet tříd. Nechť tedy m jsou přirozeá čísla. Ozačme S(, m) počet rozladů prvové možiy a m tříd. Čísla S(, m) se azývají Stirligova čísla (přesě řečeo Stirligova čísla. druhu, což pro studety učitelství. stupě ZŠ lze vyechat). Položíme-li defiitoricy S(0, 0) =, S(0, m) = 0 pro všecha přirozeá čísla m, lze odvodit pro výpočet Stirligových čísel reuretí formule S(+, ) = S(, ) +. S(, ) pro < <, S(, ) = S(, ) =. Pro studety eí v této souvislosti ai ta zajímavý důaz, ale ácvi praticého výpočtu podle uvedeých reuretích vztahů. Tato lze apř. ověřit praticy zísaý pozate, že S(4, ) = 7. Až později byl odvoze vztah pro přímý výpočet i Stirligových čísel: S(, ) = ( ) ( i )! i. I pouhé dosazeí do tohoto vztahu může být pro i= 0 ěteré studety tvrdým oříšem. Pro = 4 a = dostaeme po výpočtu S(4, ) = = (6 ) = 7. Uázu teorie rozladů oečých moži yí 0 můžeme uočit. Z uvedeého stručého přehledu je zřejmé, že a matematicy přesé sezámeí studetů učitelství. stupě ZŠ s touto teorií eí dostate času a eí to ai potřeba. Vhodé vša je alespoň populárí formou tato tvrzeí studetům uázat, aby viděli souvislosti učiva matematiy a. stupi ZŠ s formálě přesou obecou matematicou teorií. Současě lze ja toto téma, ta i téma ásledující (rozlady přirozeých čísel a sčítace) využít u matematicy adaých studetů jao téma jejich studetsé odboré čiosti, téma pro baalářsé a magistersé práce apod. 4

3 Idutíve a dedutíve prístupy v matematie, Smoleice Rozlady přirozeých čísel a sčítace Podobým problémem jao rozlady oečých moži se jeví rozlady přirozeých čísel a sčítace. I s touto otázou se setá ituitivě i žá a. stupi záladí šoly, apř. při sčítáí čísel přes zálad (rozlad jedoho ze sčítaců ta, aby bylo možo dosáhout mezisoučet rový záladu 0, 00,...). Taé toto téma má hluboce etriviálí teoreticý zálad vycházející z ombiatoriy (úplá teorie je podrobě uvedea ve [3]). Proto ai toto téma eí vhodé v celé šíři probírat se studety učitelství; je vša vhodé podobě jao u rozladů oečých moži sezámit s touto teorií studety alespoň populárí formou (zájemci o hlubší studium se mohou dále vzdělávat v rámci svých baalářsých a magistersých prací). Budeme tedy řešit tuto otázu: Nechť, jsou přirozeá čísla s vlastostí. Kolia způsoby lze číslo rozložit a přirozeých sčítaců? Triviálí jsou případy pro = a =. V obou těchto případech je počet rozladů rove jedé. Proto budeme dále předpoládat. Ja je v ombiatorice obvylé, musíme ejprve rozhodout, zda záleží ebo ezáleží a pořadí sčítaců. Pro počet všech rozladů čísla a sčítaců, rozlišujeme-li jejich pořadí, existuje vzorec K(, ) =. Obdobý vztah existuje i pro počet rozladů čísla a ejvýše sčítaců (rozlišujeme-li jejich pořadí): K \(, ) = +. Jao přílad lze uvést apř.rozlad čísla a 4 sčítace: K(, 4) = = 65. I dyž v 3 tomto počtu jsou zahruty i rozlady a stejé sčítace, pouze v jiém pořadí, přesto je velmi převapivá veliost tohoto počtu. Z tohoto hledisa je zajímavější situace, dy pořadí sčítaců erozlišujeme. Počet taových rozladů čísla a sčítaců ozačíme p(, ). Pro tuto hodotu lze opět alézt reuretí formuli: p(, ) = p (,i ), de p(, ) = p(, ) =. Určíme hodotu p(, 4). Taé teto úol i= vyžaduje jistou trpělivost. Podle reuretího vzorce platí p(, 4) = p(8, ) + p(8, ) + p(8, 3) + p(8, 4). Dále (již bez ometáře) platí: p(8, ) =, p(8, ) = p(6, ) + p(6, ), p(8, 3) = p(5, ) + p(5, ) + p(5, 3), p(8, 4) = p(4, ) + p(4, ) + p(4, 3) + p(4, 4), p(6, ) = p(4, ) + p(4, ), p(5, ) = p(3, ) + p(3, ), p(5, 3) = p(, ) + p(, ), p(4, ) = p(, ) + p(, ), p(4, 3) = p(, ) =, p(3, ) = p(, ). Po postupém dosazeí vychází: p(, 4) = p(8, ) + p(6, ) + p(4, ) + 3p(, ) +3 p(, ) + p(5, ) + p(3, ) + p(, ) + p(4, 4) = = 5. Těchto 5 rozladů čísla a čtyři sčítace yí vypíšeme: = +++9 = +++8 = = = = = = = = = +++6 = = = = Povšiměme si rověž začého rozdílu mezi počtem 65 rozladů s rozlišovaým pořadím sčítaců a 5 rozlady s pořadím erozlišovaým. Teoreticy velmi složitým problémem je určeí počtu p() všech rozladů čísla (při erozlišeém pořadí sčítaců). Zřejmý je sice vztah p() = p (,), teto vztah je vša pro = praticé počítáí velmi ompliovaý a zdlouhavý. Protože dosud eí zám jedoduchý explicití vzorec pro přímý výpočet čísel p(), byly odvozey alespoň vztahy přibližé. Např. v roce 99 doázali π Hardy a Ramauja, že p() =& e 3. Např. pro = dává teto vztah přibližou hodotu p() 4 3 = 86,9, tj. počet všech rozladů čísla je asi 87. V této chvíli jsme se dostali již do teoreticé oblasti, terá se vymyá přípravě budoucích učitelů. stupě záladí šoly. U problematiy rozladů přirozeých čísel a sčítace ale i adále zůstaeme. 5

4 Idutíve a dedutíve prístupy v matematie, Smoleice Dvojové rozlady moci čísla dvě V této části se budeme zabývat problémem, terý lze řešit pomocí idutivího postupu a terý evyžaduje žádé hluboé teoreticé zalosti. Částečý výslede, terý se studety lze dosáhout, přitom ale triviálí eí (včetě formálího zápisu). Na tomto problému rověž uážeme, že v matematice eí eobvylá situace, dy se původě položeý problém během řešeí projeví jao eúměrě složitý, proto dochází jeho zúžeí a speciálí případy. K řešeí původího problému se pa řešitel vrátí později. Rověž prováděí taových úvah se studety je velmi poučé. Problém, terý chceme řešit, je teto: Určete počet všech rozladů přirozeého čísla P a sčítace tvaru, de je ezáporé celé číslo (pořadí sčítaců přitom erozlišujeme). Každý sčítaec v rozladu čísla P je tedy ěteré z čísel,, 4, 8, 6, 3, 64, 8, 56,.... Pro tyto rozlady zavedeme pracoví ozačeí dvojový rozlad. Ja je ze zadáí problému zřejmé, svou formulací se dotýá problematiy učiva. stupe ZŠ, má ombiatoricou motivaci, avša jeho řešeí eí obsažeo v žádé běžě dostupé literatuře (resp. autorovi eí žádá taová publiace zámá). Proto mohou být studeti i motivovái fatem, že řeší problém do jisté míry původí. Při úvodím vhledu do problému je zřejmé, že výhodé bude vyjádřit ejprve daé číslo ve dvojové číselé soustavě, tz. P = t, de t {0, }. Od = 0 jistého idexu 0 je samozřejmě aždé číslo t pro > 0 rovo ule. Prvím dílčím problémem je určit počet dvojových rozladů S čísel pro aždé přirozeé číslo. Poud se ám podaří určit ějaý vztah pro výpočet S pro aždé přirozeé číslo, vziá další problém. Ja určit způsob, pomocí terého se ze zísaých hodot S určí počet všech rozladů čísla P. Prvotí úvahy plyoucí ze šolsých zalostí ombiatoriy u studetů vedou užití ombiatoricého pricipu součiu, pomocí terého stačí vyásobit hodoty S pro ty hodoty, pro teré jsou čísla t ve dvojovém vyjádřeí čísla P rova jedé (je jich zřejmě oečě moho). Tato úvaha má ale úsalí. Problém astae jeda v případě, že ěteré rozlady S pro růzé hodoty jsou utvořey ze stejých sčítaců (apř. pomocí samých číslic ), dále mohou být ěteré sčítace dvojového rozladu P vyjádřey jao součet sčítaců růzých rozladů S. Je tedy zřejmé, že pricip součiu přímo použít elze. Ja již bylo předesláo v úvodu do tohoto problému, dostáváme se v této chvíli do situace, dy je řešeý problém ad síly studetů (jedá se o složitý problém, eadevátí studiu učitelství pro. stupeň ZŠ). Proto řešeý problém omezíme a ásledující otázu: Jaý je počet dvojových rozladů S čísla pro přirozeé číslo (pořadí sčítaců erozlišujeme) - tj. rozladů a sčítace tvaru pro celé ezáporé číslo. Teto problém již pomocí idutivího způsobu jsme schopi vyřešit i s budoucími studety učitelství. K řešeí původě položeého problému se lze vrátit později. Při hledáí vztahu pro S je zřejmě ejvýhodější idutiví postup. Sado zjistíme, že S =, S =, S 4 = 4, S 8 = 0, S 6 = 36. Je zřejmé, že přímé hledáí všech dvojových rozladů čísel S pro > 4 již eí praticy možé (už určeí S 6 je poměrě áročé). Proto teto postup, dy ze zalostí prvích ěolia hodot určíme výsledý vztah, zde využít elze. Nyí musí ásledovat dlouhá etapa hledáí růzých postupů a možostí. Tato fáze, i dyž vzhledem rozsahu příspěvu ji elze popsat, je pro rozvoj myšleových postupů u studetů velmi vhodá a vede rověž procvičováí jejich volích vlastostí (zejméa trpělivosti). Jao ejvýhodější se aoec jeví ásledující úvaha. Chceme určit počet S všech dvojových rozladů čísla pro > 3 (pro ižší hodoty je řešeí problému zřejmé). Číslo lze vyjádřit jao jede sčítaec o hodotě, dva stejé sčítace o hodotě, čtyři stejé sčítace o hodotě,..., stejých sčítaců o hodotě,..., stejých sčítaců rových jedé. Každé taové vyjádřeí čísla pomocí avzájem rových sčítaců o veliosti ozačíme pracově jao úroveň Ω. 6

5 Idutíve a dedutíve prístupy v matematie, Smoleice Symbolem H ozačíme počet všech taových dvojových rozladů čísla, teré obsahují alespoň jede sčítaec o veliosti. Hodotu H určíme pomocí vyjádřeí čísla a úrovi Ω, dy postupě sesupujeme stejé sčítace úrově Ω do stále větších celů ta, aby v aždém rozladu zůstal alespoň jede záladí sčítaec úrově Ω o veliosti. Původě hledaou hodotu S pa určíme tato: S = = 0 H, tz. S je rovo součtu počtů všech rozladů H pro všechy úrově Ω pro všechy hodoty od uly do. Z výše uvedeého popisu je zřejmé, že i popis jedoduché reálé situace, týající se jistých rozladů přirozeých čísel a sčítace, může být po formálí stráce začě složitý. Studeti si musí uvědomit, že v matematice tato situace eí ojediělá, a proto je uté, aby u ich byla procvičováa i schopost uvedeé matematicé zápisy vytvářet (ebo alespoň přečíst). Vraťme se ale řešeému problému. Protože a aždé úrovi Ω je celem stejých sčítaců a počet H rozladů a této úrovi ezáleží a jejich veliosti, lze pro zjedodušeí provádět úvahy vždy pro případ, že a úrovi je sčítaců rových jedé. Úvahy budeme provádět pro 4; pro meší hodoty sado alezeme H =, H =, H 4 =, H 8 = 6. Popíšeme úvahy při určováí H 6. Máme rozložit číslo 6 a dvojové rozlady, z ichž aždý obsahuje alespoň jede sčítaec jeda. Bude-li jede sčítaec 8, pa existují dvě možosti rozladů s další jedou čtyřou (8+4+++, ) a čtyři možosti pro dvojové rozlady bez sčítace rového čtyřem (8+++++, , , ); ebude-li žádý sčítaec rove osmi, pa při třech čtyřách máme dvě možosti, při dvou čtyřách čtyři možosti, při jedé čtyřce šest možostí a bez sčítace rového čtyřem osm možostí. Celem tedy (+4) + (+4+6+8) možostí. Toto číslo ebudeme upravovat; v dalším uvidíme výhodost daého zápisu. Nyí ve shodě s idutivím postupem určíme H 3. Poud bude jede sčítaec 6, je počet rove H 6, tj. (+4) + (+4+6+8) možostí. Neí-li žádý ze sčítaců 6, pa při třech sčítacích 8 mohou být jede sčítaec rove čtyřem ( možosti) ebo eí čtyřa žádá (4 možosti). Při dvou osmičách mohou být čtyřy tři ( možosti), dvě (4 možosti), jeda (6 možostí) ebo žádá (8 možostí). Je-li pouze jede sčítaec rove osmi, dostaeme tato celem ( ) možostí dvojových rozladů a bez sčítace osm je těchto možostí ( ). Sečteme-li všechy popsaé případy, dostáváme zápis H 3 ve tvaru: (+4) + (+4+6+8) + ( ) + ( ). Nalezeme-li dále hodoty H 64 a H 8, popř. i H 56 (větší hodoty již eí v reálém čase možé určit pro jejich rozsah a s tím spojeé rizio chyby) - tyto úvahy již popisovat s ohledem a rozsah příspěvu ebudeme - jeví se jao vhodé zapsat zísaé hodoty v tomto geometricém tvaru (uvedeme hodoty H 6, H 3, H 64 ): H 6 : +4 H 3: +4 H 64 : Ω 7

6 Idutíve a dedutíve prístupy v matematie, Smoleice Při výpočtu hodot H 8 a H 56 se uazuje, že uvedeé graficé zázorěí může být dobrým vodítem pro řešeí problému určeí hodot H obecě. Nejprve je ale uté pro zjedodušeí zápisu zavést další ozačeí. Ve výše uvedeém graficém zázorěí vyjádříme součty ěolia řádů (tvořících jaýsi trojúhelí ), v ichž je vždy prví řáde rove +4 a posledí řáde je rove p, p N. Součet čísel a daých řádcích ozačíme logicy P 8p. Platí tedy H 6 = P 8, H 3 = P 8 + P 6, H 64 = (P 8 + P 6 ) + (P 8 + P 6 + P 4 + P 3 ). Při dalších rocích idutivího postupu tato určíme H 8 = (P 8 + P 6 ) + (P 8 + P 6 + P 4 + P 3 ) + (P 8 + P 6 + P 4 + P 3 + P 40 + P 48 ) + (P 8 + P 6 + P 4 + P 3 + P 40 + P 48 + P 56 + P 64 ). Povšiměme si, že idex u posledího čleu P v posledí ze závore je rove poloviě idexu u počítaé hodoty H. Abychom mohli spolehlivě vyslovit hypotézu, určíme ještě H 56. Platí H 56 = 6(P 8 + P 6 ) + 6(P 8 + P 6 + P 4 + P 3 ) + 4(P 8 + P 6 + P 4 + P 3 + P 40 + P 48 ) + 4(P 8 + P 6 + P 4 + P 3 + P 40 + P 48 + P 56 + P 64 ) + (P P 80 ) + (P P 96 ) + (P P ) + (P P 8 ). Obecě lze vyslovit pro > 6 tuto hypotézu: H = (P P ) + (P P ) + (P P ) + (P P ) + 4(P P ) + 4(P P ) + 6(P P ) + 6(P P ) +. Výpočet očí, jamile je posledí sčítaec v posledí závorce rove P Při využití sumačího zápisu lze vztah pro pro H zjedodušit. Pozameejme, že pro studety učitelství a.stupi ZŠ je ásledující využití sumačích symbolů disutabilí. Úspěchem často je, poud studeti (a to i a studijím oboru učitelství matematiy pro. stupeň ZŠ) daý vztah jsou vůbec schopi přečíst a porozumět mu (připomíáme ještě, že vztahy platí pro > 6): H = (P P ) + (P P ) 6 + t[ ( P P ) + ( P P )] t= t 6 ( t+ ) 6 6, což lze ještě pomocí další sumace zjedodušit a tvar H = 4t 4t P u P8v t P8i P8 j. Z posledího výrazu je jasé, že emá u= v= t= i= j= již z výuou budoucích učitelů moho společého; již dosazeí do ěho pro orétí hodoty může čiit problémy. Na elemetárí úrovi se lze omezit a ombiatoricé úvahy při odvozováí tohoto vzorce. Stejě ta se elze a tomto místě zabývat důazem, terý je samozřejmě při vysloveí aždé hypotézy utý. Otázou je, zda eí při jiém postupu úvah při idutivím postupu možé odvodit vztah jedodušší. Tato otáza se zdá být otevřeá. Pro úplost (a taé abychom zcela ezavrhli u výuy budoucích učitelů sumačí symboliu) je ještě možé (a pro výpočet orétích hodot H i vhodé) určit jedoduchý vztah pro výpočet hodot čísel P. Z výše uvedeého graficého schématu těchto součtů P lze odvodit ásledující: P 8 =.6 +.4, P 6 = , P 4 = , P 3 = , atd. Obecě tedy platí pro m všecha přirozeá čísla m vztah P 8m = ( m i) (6 + 8i). K vysloveí oečé hypotézy, řešící i= 0 modifiovaý problém určeí počtu S všech dvojových rozladů čísla, je yí potřeba sečíst všechy hodoty H vypočteé a všech úrovích Ω pro = 0,,,. Uvědomíme-li si, ja složité jsou zísaé vztahy pro, je zřejmé, že tomuto problému se zde věovat emůžeme. H 8

7 Idutíve a dedutíve prístupy v matematie, Smoleice Závěr Cílem příspěvu bylo pouázat a možosti sezámeí studetů s ombiatoricou teoreticou podstatou ěterých partií učiva matematiy a. stupi ZŠ. Uazuje se, že příslušá teorie je mohdy atoli složitá, že je možé s í studety sezámit pouze populárí formou (což je taé v příspěvu azačeo). Současě je uázáo, ja se v ombiatorice využívají idutiví postupy při zísáváí hypotéz. Na řešeém problému je vidět, že to, co je při zoumáí souvislostí a hledáí záoitostí pouhou maipulací s přirozeými čísly, lze zapsat formálě velmi omliovaými vztahy. Celá problematia se tím posouvá z oblasti zájmu studetů učitelství pro. stupeň ZŠ. Proto závěrem uveďme ěoli myšlee obecých. Kombiatoria jao cele epatří zpravidla mezi oblíbeé partie šolsé matematiy a u studetů se často reduuje pouze a určeí správého vzorce. To je samozřejmě esprávé, zejméa u studetů učitelství pro. stupeň ZŠ, eboť žáci a. stupi ZŠ úlohy s ombiatoricou motivací pomocí vzorců eřeší. Teto příspěve uazuje, že ombiatoria zasahuje mohem širší oblast matematiy ež tu, terou zají studeti ze středí šoly. Opět je a tomto místě uto připomeout publiaci [3]. O motivačí fuci popsaých aspetů i vhodosti daého tématu pro samostatou odborou čiost adaých studetů jsme se již zmíili. Další oblastí disrétí matematiy, terá s ombiatoriou souvisí, je teorie grafů (i ta je stručě uvedea ve [3]). To je vša ámět a jiý příspěve. Literatúra [] BĚLÍK, M.: Pozičí číselé soustavy.. vyd. Ústí ad Labem: UJEP, Pedagogicá faulta, 999, 60 s. ISBN [] DIVÍŠEK, J, a ol.: Didatia matematiy pro učitelství. stupě ZŠ.. vyd. Praha: SPN, s. ISBN [3] FUCHS, E.: Disrétí matematia pro učitele.. vyd. Bro: Masaryova uiverzita, s. ISBN [4] HEJNÝ, M.: Teória vyučovaia matematiy.. vyd. Bratislava: SPN, s., ISBN [5] JELÍNEK, M.: Numeračí soustavy.. vyd. Praha: SPN s. 9