11 Rozptyl. Sférické Besselovy funkce. (někdy nazývané Helmholtzova rovnice) d dz + 1 l(l+1) )] jl (z) z 2 n l (z) = 0. (11.0.

Transkript

1 11 Roptyl Sférické Besselovy funkce Sférické Besselovy funkce jsou vě linárně neávislá řešení iferenciální rovnice. řáu (něky naývané Helmholtova rovnice [ + ( + 1 l(l+1 ] jl ( n l ( =. (11..1 j l ( se naývá sférická Besselova funkce nebo sférická Besselova funkce 1. ruhu. n l ( se naývá sférická Neumannova funkce nebo sférická Besselova funkce. ruhu. Definují se také sférické Hankelovy funkce 1. a. ruhu vtahy h (1 l ( j l (+in l (, h ( l ( j l ( in l (. l je parametr (převážně celočíselný neáporný, což bueme přepokláat v alších výraech, ale obecně může být reálný. Symetrie Vyjáření pomocí řay n l ( = 1 l+1 h (1, j l ( = ( l j l (, n l ( = ( l+1 n l (, l ( = ( l h (1, l (. j l ( = l 1 n!(l+n+1!! n= { l n= +( l n=l+1 (l n!! n! n ( ( 1 n!(n l!! Vyjáření pomocí goniometrických funkcí n + 1 ( l! } n ( l j l ( = ( l ( 1 n l ( = ( l ( 1 l sin l cos

2 Asymptotika j l ( n l ( l (l+1!! { 1 poku l = (l!! l+1 poku l > Sférické Neumannovy funkce ivergují pro. (11.. Asymptotika j l ( sin( l π n l ( cos( l π (11..3 Relace ortogonality j l (krj l (k rr r = π k δ(k k (11..4 Rokla exponenciály e ik r = 4π = l l= m= l i l j l (kry lm i l (l+1j l (krp l (cosθ, l= ( k ( r Y lm = k r ke jsme volili souřanou soustavu tak, že osa je rovnoběžná s vektorem r, takže k r = krcosθ. Eplicitní vyjáření nejnižších Besselových funkcí j ( = sin j 1 ( = sin j ( = cos ( sin 3 cos n ( = cos n 1 ( = cos n ( = sin ( cos 3 sin Stacionární stavy volné částice s ostrou honotou impulsmomentu Vlnovou funkci volné částice s velikostí vlnového vektoru k apíšeme jako ψ klm (r,θ,φ = r klm = R klm (ry lm (θ,φ.

3 Schröingerova rovnice v tomto přípaě ní ke M ψ klm(r,θ,φ = Eψ klm (r,θ,φ, = 1 r r r r + 1 r sinθ = r + r r L r, θ sinθ θ + 1 r sin θ φ přičemž E = k /M. Po osaení L ψ klm (r,θ,φ = l(l+1ψ klm (r,θ,φ [ r + ( r r + k l(l+1 ] R r kl (r = = kr [ + ( + 1 l(l+1 ] R kl ( = což je přesně Helmholtova rovnice pro sférické Besselovy funkce ( Obecné řešení pro raiální část tey ní R kl (r = a l (kj l (kr+b l (kn l (kr. (11..5 Sférická Neumannova funkce pole asymptotiky (11.. iverguje pro r =, ve výsleném řešení se tuíž nebue vyskytovat. Užitím relací ortogonality (11..4 ostáváme normovanou raiální část vlnové funkce volné částice R kl (r = π kj l(kr. Rovoj amplituy roptylu o parciálních vln Asymptotická vlnová funkce částice roptylující se na potenciálu V(r je ána superpoicí rovinné vlny s vlnovým vektorem k a roptýlené kulové vlny k r (r ψ (+ ψ (+ k = 1 (π 3 ] [e ik r +f(k,k eikr r (11..6 přičemž k = k a k = kr/r. Amplitua roptylu je f(cosθ = 1 M 4π (π3 k ˆV ψ (+ k 4π M k ˆV k = M π e i(k k r V(r 3 r, (11..7 ke poslení řáek je tv. Bornova aproximace (1. člen Bornovy řay. Diferenciální účinný průře roptylu amplituy roptylu je σ Ω = f(k,k. (11..8

4 Pro sféricky symetrický potenciál je výhoné roložit amplituu roptylu o parciálních vln f(k,k = (l+1f l (kp l (cosθ (11..9 l= ke cosθ je úhel mei směrem opaající rovinné vlny aným vektorem k a polohovým vektorem r cosθ = k r kr, P l (cosθ je Legenreův polynom a f l (k amplitua roptylu l-té parciální vlny. Dosaením tohoto rovoje o (11..6 a asymptotiky a srovnání s volnou částicí vyplývá vtah mei f l (k a fáovým posunutím δ l (k f l (k = 1 k sinδ l(ke iδ l(k δ l (k = 1 i ln[ikf l(δ+1]. (11..1 Amplituu roptylu l-té parciální vlny ostaneme přeintegrováním plné amplituy roptylu (11..9 s l-tým Legenreovým polynomem f(k,kp l (cosθcosθ = = (m+1f m (k m= P l (cosθp m (cosθcosθ (m+1f m (k m+1 δ ml = f l (k, m= ke jsme využili relací ortogonality Legenreových polynomů Dostáváme tey f l (k = 1 P m (xp l (xx = π π m+1 δ ml. f(k,kp l (cosθsinθθ. ( V první Bornově aproximaci se přepokláá, že je amplitua roptylu malá. Využijeme přibližný vorec pro logaritmus ln(1+x x, platný pro x 1, a (11..1 ostaneme jenouchý vtah δ l (k = kf l (k. (11..1 Přeintegrováním vtahu pro iferenciální účiný průře(11..8 ostaneme vtah mei účinným průřeem pro l-tou parciální vlnu a jejím fáovým posunutím Celkový účinný průře je pak σ l (k = 4π k (l+1sin δ l (k. ( σ(k = σ l (k l= Fáové posunutí je klané pro přitažlivé síly (áporný potenciál a áporné pro opuivé síly.

5 11.1 Gaussovský potenciál Interakce je určena sféricky symetrickým potenciálem ke v a µ jsou reálné konstanty, µ >. V(r = ve µr, 1. Určete v Bornově aproximaci amplituu roptylu a iferenciální účinný průře roptylu na tomto potenciálu.. Určete fáové posunutí pro s vlnu. 3. Určete fáové posunutí pro p vlnu. Řešení: Přeně onačíme q = k k a úhel mei vektory k a k jako ψ. Pak (využijeme toho, že k = k q = k k k +k = k (1 cosψ = 4k sin ψ, a tey q = ksin ψ. 1. Amplituu roptylu spočítáme pomocí vorce (11..7: f(k,k = Mv sférické souřanice, e iq r e µr 3 r = π osa paralelní s q q r = qrcosθ = Mv π π e iqrcosθ e µr r sinθrθφ = u = cosθ π u = sinθθ = Mv = Mv r e µr r r e µr [ e iqru iqr ] 1 e iqru u r = Mv iq = Mv q iq e 4µ = Mv [ q iq e 4µ (x+ae µx x ( e µr +iqr e µr iqr rr iq µ(r [e µ iq µ(r+ e µ ]rr x = r a = y = r +a a = iq µ ] (y ae µy y. a } {{ a } I

6 Integrál je I = = a = a a xe µx +a a e µx x+ xe µx x+a a e µx x a xe µx x+a e µx x+ xe µx x a e µx x a a e µx x+ xe µx x+a e µx x a e µx x a a }{{}}{{} (lichá funkce (suá funkce π e µx x = a µ, takže amplitua roptylu je f(k,k = Mv π µ a iferenciální účinný průře µ e σ Ω = π(mv e q 4 µ 3. K výpočtu amplituy roptylu s-vlny (l = aplikujeme vorec (11..11: f (k = Mv π 4µ µ = Mv π 4µ µ = Mv 4µ = Mv k e [ π µ µ π µ µ. q 4µ 4k sin ψ {}}{ q 4µ P (cosψ cosψ }{{} 1 e k µ (1 x x k e ( 1 e k µ k µ (1 x ] 1 = Mv π k µ e Fáové posunutí určíme pomocí přibližného vorce (11..1 δ (k Mv π k µ e k k µ sinh µ. k k µ sinh µ. 3. Aplituu roptylu a fáové posunutí p-vlny počítáme analogicky jako v přechoím

7 boě: f (k = Mv π 1 e k 4µ µ (1 x P 1 (x µ }{{} x { [µ = Mv π 4µ µ = Mv π k µ = Mv π k = Mv π k π δ 1 (k = Mv k k µ (1 x ] 1 k xe { µ 1+e k µ µ e µ e µ e k µ k µ k µ k {( e k µ +e k µ [cosh k [cosh k x = Per partes µ k ( 1 e k µ µ k µ µ k sinh k µ µ k sinh k µ } e k µ (1 x x ( } e k µ e k µ ], µ ]. } 3 6. k δ 1 (k -.3 δ (k -.6 Obráek 11: Fáová posunutí s a p parciální vlny pro roptyl na Gaussovském potenciálu v 1. Bornově aproximaci. Honoty parametrů jsou M = = v = µ = 1. Fáová posunutí pro s a p vlnu jsou náorněna na obráku Wronskián sférické Besselovy rovnice Naleněte, čemu se rovná Wronskián sférických Besselových funkcí, tj. eterminant ( jl ( n W l ( et l ( j l ( n l ( = j l (n l( j l(n l (. Nenulovost Wronskiánu aručuje lineární neávislost účastněných funkcí.

8 Řešení: Rovnici pro sférické Besselovy funkce (11..1 vynásobíme leva sférickou Neumannovou funkcí a naopak. Výslené rovnice o sebe oečteme: [ n l ( + ( + 1+ l(l+1 ] j l ( = [ j l ( + ( + 1+ l(l+1 ] n l ( = j l (n l ( j l (n l(+(j l(n l ( j l (n l( = W l(+w l ( = Obrželi jsme iferenciální rovnici pro W(, jejíž řešení hleáme ve tvaru W l ( = c α. Dosaením ostaneme α =. Pro určení konstanty c nám stačí spočítat honotu Wronskiánu pro jeno konkrétní. Využijme napříkla asymptotiky (11... Pro l ostáváme a pro l = W l ( = = l (l+1!! ( (l!! l+1 l (l+1(l!! (l+1!! l+ = 1 l+1 l l l+1 = 1 W ( = 1 Wronskián sférických Besselových funkcí tey je + (l!! l+1 + (l!! l+1 ( = 1. ( l l (l+1!! l (l+1!! W l ( = j l(n l ( j l (n l( = 1. ( Sférická utina obalená δ-slupkou Mějme částici roptylující se na potenciálu V(r = v a δ(r a (utina obalená slupkou δ-funkce. Naleněte raiální část vlnové funkce R kl (r. Určete fáové posunutí l-té parciální vlny δ l (k. Určete totální účinný průře l-té parciální vlny σ l (k.

9 Řešení: Až na oblast δ-slupky máme vlastně volnou částici. Raiální část její vlnové funkce bue mít obecný tvar aný lineární kombinací sférické Besselovy a Neumannovy funkce ( Uvnitř koule musí být R kl (r < a = A l (kj l (kr (oůvonění stejné jako v přípaě volné částice, vlnová funkce nesmí ivergovat v počátku. Řešení vně koule apišme jako což v asymptotice r (11..3 ává [ R kl (r B l (k R kl (r = B l (k[α l (kj l (kr+β l (kn l (kr] α l (k sin( kr l π kr Asymptotika cela volné částice, jejíž řešení je (11..5, ní R ( kl (r sin( kr l π kr β l (k cos( kr l π kr ]. ( V našem přípaě oje k fáovému posunutí oproti řešení volné částice, které le popsat pomocí veličiny δ l (k: R kl (r sin( kr l π +δ l(k = kr = cosδ l (k sin( kr l π kr Srovnáním s přechoím vyjářením ( viíme, že α l (k = cosδ l (k β l (k = sinδ l (k a vlnová funkce apsaná pomocí fáového posunutí je R kl (r = { A l (kj l (kr +sinδ l (k cos( kr l π kr pro r < a B l (k[cosδ l (kj l (kr sinδ l (kn l (kr] pro r > a Fáové posunutí určíme pomocí sešívací pomínky na slupce. Stejně jako v přípaě jenoroměrného potenciálu i e musí platit vě pomínky: 1. Vlnová funkce je spojitá A l (kj l (ka = B l (k[cosδ l (kj l (ka sinδ l (kn l (ka] (11.3.

10 . V erivaci je skok aný silou δ-funkce (vi 5. cvičení imního semestru R kl(a+ R kl(a = Mv a R kl(a, což v našem přípaě ává (poor, R kl = r R kl, tj. erivujeme jen pole r ka l (k[cosδ l (kj l(ka sinδ l (kn l(ka] kb l (kj l(ka = Q a B l(kj l (ka, ( přičemž jsme onačili Q mv/. Dosaením (11.3. o ( ostaneme (nepíšu již argumenty funkcí j l j lcosδ l j l n lsinδ l j l j lcosδ l +j ln l sinδ l = Q ka j l(j l cosδ l n l sinδ l (j l n l j ln l sinδ l = Q ka j l(j l cosδ l n l sinδ l. Na levé straně se nám objevil Wronskián (11..1, a který osaíme: 1 (ka sinδ l = Q ka j l(j l cosδ l n l sinδ l Z toho již ískáme explicitní výra pro fáové posunutí tgδ l (k = Qj l (ka Qj l (kan l (ka 1 ka ( Dále můžeme pomínky spojitosti (11.3. určit koeficient průniku P l (k A l (k B l (k = cosδ l(kj l (ka sinδ l (kn l (ka, ( j l (ka ke osaíme v tuto chvíli již námé fáové posunutí δ l (k. Nakonec určíme účiný průře pro l-tou parciální vlnu. K tomu se bue hoit vtah ( Mei goniometrickými funkcemi platí V našem přípaě a účinný průře je tey sin x = tg x 1+tg x. sin δ l (k = tg δ l (k 1+tg δ l (k = = Q j 4 l (ka Q j 4 l (ka+[ Qj l (kan l (ka 1 ka σ l (k = 4π Q j 4 k (l+1 l (ka Q jl 4(ka+[ ] Qj l (kan l (ka 1 ( ka ]

11 k k k k k k P k k P k k P k k Σ k k Σ k k Σ k k Σ k k Σ k k Σ k k (j Q = 1 (k Q = 1 (l Q = 5 Obráek 1: 1. řáek: Fáové posunutí l-té parciální vlny δ l (k pole ( pro l = (moře, l = 1 (fialově, l = (béžově.. řáek: Koeficient průniku l-té parciální vlny P l (k pole ( řáek: Účinný průře l-té parciální vlny pole ( řáek: Součet účinných průřeů σ (moře, σ +σ 1 (fialově, σ +σ 1 +σ (béžově, σ +σ 1 +σ +σ 3 (eleně. Vše je náorněno pro růné honoty Q. Hlaina 1s 1p 1 s 1f p 1g ka π = π = Tabulka : Váané stavy nekonečně hluboké sféricky symetrické jámy. Je užito spektroskopické načení s(l =, p(l = 1, (l =, f(l = 3, g(l = 4.

12 Na obráku 11.3 jsou náorněny výsleky pro nejnižší parciální vlny a pro růné síly potenciálu ané velikostí parametru Q. Čím je Q větší (potenciál silnější, tím jsou výranější a ostřejší maxima v koeficientu průniku a v účinném průřeu. To je ukáka reonancí (kvaiváaných stavů. Kybychom spočítali váané stavy nekonečné hluboké sférické utiny s potenciálem { pro r < a V(r = pro r > a obrželi bychom váané stavy uveené v tabulce Jejich poloha obře koresponuje s reonančními maximy při velkých Q. Z obráku je také viět, že pro malé hybnosti(energie k přispívá k roptylu prakticky jen s-vlna (l=.