Matematická analýza 1. Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek

Transkript

1 Doc. RNDr. Jaroslav Hančl, CSc. Mgr. Jan Šustek 009

2 Obsah Obsah Seznam použitých smbolů Funkce Teoretické základ Algebraické funkce Spojitost Limita Transcendentní funkce Derivace Základní vět matematické analýz Etrém, Inflení bod, Asmptot Průběh funkce, Talorova věta Úvod do posloupností Vět o posloupnostech Řešení Reference

3 Seznam použitých smbolů Seznam použitých smbolů a A A B A B A B, B A A \ B R R +, R Q Z Prvek a patří do množin A Sjednocení množin A a B Průnik množin A a B Množina A je podmnožinou množin B Rozdíl množin A a B Prázdná množina Množina všech reálných čísel Množina všech kladných, resp. záporných reálných čísel Množina všech racionálních čísel Množina všech celých čísel N Množina všech přirozených čísel, N = {0; ; ;... } N Množina všech kladných celých čísel, N = {; ; 3;... } Absolutní hodnota čísla f : A B Funkce f s definičním oborem Dom f = A a oborem hodnot Rng f B, str. 4 Dom f Definiční obor funkce f, str. 4 Rng f Obor hodnot funkce f, str. 5 [] Celá část reálného čísla, str. 8 D() Dirichletova funkce, str. f Funkce inverzní k funkci f, str. 3 f : A na B Funkce s definičním oborem Dom f = A a oborem hodnot Rng f = B, str. 3 f g Funkce složená z funkcí f a g, str. 4 R() Riemannova funkce, str. 5 U δ (a) δ-okolí bodu a, str. 8 U δ (a), U+ δ (a) Levé a pravé δ-okolí bodu a, str. 8 P δ (a) Redukované δ-okolí bodu a, str. 8 P δ (a), P+ δ (a) Redukované levé a pravé okolí bodu a, str. 8 f() a Limita funkce f v bodě a, str. 38 sgn Funkce signum, str. 39 a+ f(), f() Limita funkce f v bodě a zprava a zleva, str. 40 a R Rozšířená reálná osa, str. 47 +, Nevlastní reálná čísla, str. 47 n a i Součet čísel a m až a n, str. 5 i=m sin Funkce sinus, str. 54 cos Funkce kosinus, str. 54 π Ludolfovo číslo, str. 54

4 Seznam použitých smbolů tg Funkce tangens, str. 57 cotg Funkce kotangens, str. 57 arcsin Funkce arkussinus, str. 59 arccos Funkce arkuskosinus, str. 59 arctg Funkce arkustangens, str. 59 arccotg Funkce arkuskotangens, str. 59 ep, e Přirozená eponenciální funkce, str. 60 e Eulerovo číslo, str. 60 ln Přirozený logaritmus, str. 6 b Eponenciální funkce při základu b, str. 6 log b Logaritmus při základu b, str. 6 f, df d Derivace funkce f, str. 63 f () Derivace funkce f v bodě, str. 63 f +, f Derivace funkce f zleva a zprava, str. 64 df() diferenciál funkce f v bodě, str. 7 O (g()) Funkce omezená po srovnání s funkcí g(), str. 97 o (g()) Funkce nekonečně malá po srovnání s funkcí g(), str. 97 {a n } n= Posloupnost, jejíž n-tý člen je a n, str. 0 n n Limita posloupnosti {a n } n=, str. 03 sup M Supremum množin M, str. 09 sup f() Supremum množin {f(): M}, str. 09 M inf M Infimum množin M, str. 0 inf M n= f() Infimum množin {f(): M}, str. 0 J n Průnik množin J J, str. 3 J α Sjednocení množin J α přes α A, str. 4 α A n M i Sjednocení množin M M M n, str. 5 i= 3

5 Funkce Teoretické základ Funkce Teoretické základ Obsah lekce.. Pojem funkce Základní vlastnosti funkcí Základní operace s funkcemi Cvičení Klíčová slova Funkce, definiční obor, obor hodnot, graf, funkce rostoucí, klesající, nerostoucí, neklesa jící, monotonní, rze monotonní, prostá, kladná, záporná, nekladná, nezáporná, omezená, sudá, lichá, periodická, inverzní, složená, součet, rozdíl, součin, podíl funkcí.. Pojem funkce Definice. Nechť A je množina reálných čísel. Funkce f je zobrazení z množin A do množin R; píšeme f : A R. Množina A se nazývá definiční obor funkce f a značí se Dom f. Funkce f je ted určitý předpis, který každému číslu z jejího definičního oboru přiřadí jednoznačně jedno reálné číslo = f(). Tento předpis je většinou dán nějakým vzorcem, například f() = + 3. Někd se ovšem stává, že takový vzorec neeistuje. V tomto případě se funkce zadává například slovním předpisem. Příkladem takové funkce je funkce, která každému přirozenému číslu přiřazuje počet jeho dělitelů. Příklad. Mějme předpis, který každému reálnému číslu přiřadí takové, že =. Tento předpis není funkce, protože každému číslu nepřiřazuje jednoznačně jedno číslo. Například číslu = b odpovídal hodnot = a =. // Za definiční obor se obvkle bere množina všech reálných čísel, pro které má výraz f() smsl. V některých případech však může být definiční obor zadán. Mějme například funkci f() = s definičním oborem Dom f = R +. Pak například v bodě = má výraz smsl, ale f() není definováno, protože nepatří do definičního oboru Dom f. Příklad. Vraťme se k funkci f() = + 3 a určeme její definiční obor. Máme ted určit množinu všech reálných čísel, pro která je výraz + 3 definován. Odmocnina je definována pouze pro nezáporná čísla. Číslo +3 proto musí být nezáporné, neboli musí být To platí pro 3. Definiční obor je tudíž množina 3 ; + ). // Definice. Graf funkce f je množina všech bodů v rovině o souřadnicích [; f()] takových, že patří do definičního oboru Dom f. 4

6 Funkce Teoretické základ Kdž kreslíme graf funkce, bereme jedno po druhém čísla Dom f a kreslíme bod o souřadnicích [; f()]. Jestliže je definiční obor nekonečná množina, kreslíme pouze část grafu, například pro z intervalu 0; 0. Jestliže je funkce definována na intervalu, nakreslíme dostatečně mnoho bodů z tohoto intervalu a sousední bod spojíme. Na ob rázku je graf (přesněji řečeno pouze jeho část) funkce f() = + 3, na obrázku je graf funkce g() =, kde je počet dělitelů přirozeného čísla Obrázek Graf funkce f() = Obrázek Graf funkce g() Úkol Řekněte, kd může být množina bodů v rovině grafem funkce. Může být třeba kružnice grafem funkce? Graf funkce je podle definice množina G všech bodů v rovině ve tvaru [; f()]. Představme si (viz obrázek 3), že eistují (alespoň) dva různé bod [; ] a [; z] náležející množině G. Pak b ovšem muselo platit f() = a f() = z. Z toho však plne, že hodnota f() není jednoznačně definována. Taková množina bodů ted nemůže být grafem funkce. 3 [; z] [; ] 3 Obrázek 3 K úkolu Cvičení. Určete definiční obor a načrtněte graf funkcí a) = ; b) = ; c) =. Definice.3 Obor hodnot funkce f : A R je množina všech reálných čísel, ke kterým eistuje číslo A takové, že platí = f(). Značí se Rng f, někd také f(a). 5

7 Funkce Teoretické základ Jestliže známe graf funkce f, můžeme obor hodnot určit snadno. Obor hodnot je podle definice množina těch čísel takových, že bod [; ] náleží grafu funkce pro nějaké. Chceme-li získat obor hodnot, musíme sestrojit kolmé průmět všech bodů grafu funkce do os. Situaci zachcuje obrázek 4. Rng f f() Obrázek 4 Určení oboru hodnot Předchozí odstavec si přečtěte znovu a uvědomte si, proč tomu tak je. Příklad.3 Určeme definiční obor funkce f() = 3+ a zjistěme, zda číslo = patří do jejího oboru hodnot. Definičním oborem je množina všech reálných čísel, pro která má uvedený zlomek smsl, tj. pro která platí Tento trojčlen lze rozložit na součin ( )( ). Přitom platí ( )( ) 0 právě tehd, kdž a. Z toho plne, že definiční obor je množina Dom f = R \ {; }. Nní zjistěme, zda číslo patří do oboru hodnot. Je třeba zjistit, zda eistuje takové, že platí f() =. Zkusme tuto rovnici 3+ = vřešit. 3 + = 3 = 0 ( 3) = 0 Odtud je vidět, že pro = 0 a = 3 platí f() =. Ted takové eistuje a číslo = patří do oboru hodnot Rng f. // V dalších lekcích si postupně ukážeme, jak se určují obor hodnot u konkrétních funkcí. Úkol Zkuste vlastními slov říct, co to je funkce, definiční obor, obor hodnot a graf funkce. Vsvětlete, jak se určuje, zda nějaké číslo patří do definičního oboru nebo oboru hodnot dané funkce. 6

8 Funkce Teoretické základ. Základní vlastnosti funkcí Definice.4 Funkce f a g se rovnají právě tehd, kdž mají stejné definiční obor, ted Dom f = Dom g, a pro všechna Dom f platí f() = g(). Příklad.4 Mějme funkci f() = a funkci g() = +. Pro všechna čísla z definičního oboru Dom f platí f() = + = g(). Přesto se však funkce f a g nerovnají. Funkce totiž mají různé definiční obor. Definiční obor funkce f je Dom f = = R \ {}, kdežto Dom g = R. // Definice.5 Nechť je funkce f definována na intervalu J. Jestliže pro všechna, J taková, že <, platí f() < f(), nazývá se funkce f rostoucí na J; f() f(), nazývá se funkce f neklesající na J; f() > f(), nazývá se funkce f klesající na J; f() f(), nazývá se funkce f nerostoucí na J. Je-li funkce f rostoucí, neklesající, klesající, nebo nerostoucí na J, nazývá se monotonní na J. Je-li funkce f rostoucí, nebo klesající na J, nazývá se rze monotonní na J. Je-li interval J přímo definičním oborem funkce f, pak se přívlastek na J vnechává. Z této definice je ihned vidět, že každá rostoucí funkce je zároveň neklesající a každá klesající funkce je nerostoucí. Naopak to platit nemusí. V příkladu.5 bude ukázána funkce, která je neklesající, ale není rostoucí. Pozor! Z toho, že funkce není rostoucí, neplne, že je nerostoucí. Podobně, funkce, která není klesající, nemusí být neklesající. V příkladu. bude nadefinována funkce, která nemá žádnou z vlastností uvedených v definici.5. Úkol Zda má funkce některou z uvedených vlastností, lze snadno určit z jejího grafu. Graf rostoucí funkce zleva doprava stoupá; graf klesající funkce zleva doprava klesá. Graf ne klesajících a nerostoucích funkcí mohou být někde rovnoběžné s osou. Na obrázku 5 jsou uveden graf čtř funkcí. Určete u všech zobrazených funkcí, jaké vlastnosti z definice.5 mají f 3 f 4 f f Obrázek 5 K úkolu 7

9 Funkce Teoretické základ Předpokládám, že jste úkol vřešili správně: Funkce f je rostoucí a tudíž i neklesající. Funkce f je neklesající. Funkce f 3 je klesající a ted i nerostoucí. Funkce f 4 je nerostoucí. Všechn funkce jsou monotonní, ale rze monotonní jsou pouze funkce f a f 3. Příklad.5 Celá část [] reálného čísla je definována jako největší celé číslo menší nebo rovné číslu. Kupříkladu je [ 3] = 3, [,85] = nebo [ 3,4] = 4. Graf funkce celá část je na obrázku 6. Tato funkce je neklesající, ale není rostoucí. To se dokáže snadno. Zvolme si různá čísla, tak, ab <. Protože je [], je [] celé číslo menší než. Protože [] je největší celé číslo menší než, je [] []. Celá část je ted neklesající. Pro čísla = a =,5 platí <, ale neplatí [] < []. Proto celá část není rostoucí. Pokuste se najít funkci, která je nerostoucí, ale není klesající. 3 Obrázek 6 Graf funkce celá část // Definice.6 Nechť f : A R je funkce. Jestliže pro každá dvě čísla, A taková, že, platí f() f(), pak se funkce f nazývá prostá. Ekvivalentní definice.6 Funkce f je prostá, jestliže z toho, že f() = f(), plne =. Chceme-li zjistit, zda je funkce f prostá, postupujeme následovně: Napíšeme rovnost f() = f(). Jestliže se nám ekvivalentními nebo důsledkovými úpravami podaří dojít k rovnosti =, pak je funkce f prostá. Příklad.6 Funkce f() = není prostá, protože platí a f( ) = f() =. Naproti tomu funkce g() = +3 prostá je, protože z rovnosti g() = g() ekvivalentními úpravami dostaneme = : + 3 = + 3 = = // Věta. Funkce f je prostá právě tehd, kdž pro každé Rng f eistuje jediné Dom f takové, že = f(). 8

10 Funkce Teoretické základ Důkaz Zleva doprava provedu důkaz nepřímo. Předpokládejme, že eistují různá čísla, t Dom f taková, že f() = f(t) =. Potom platí t, ale f() = f(t) a podle definice.6 funkce f není prostá. Zprava doleva budu větu také dokazovat nepřímo. Z definice.6 plne, že funkce f není prostá, jestliže eistují různá čísla, t Dom f taková, že f() = f(t) =. Takže eistuje číslo a alespoň dvě různá čísla taková, že = f(). To je ale znamená, že není pravda, že pro každé eistuje jediné takové, že = f(). Jestliže ted eistuje číslo Rng f takové, že eistují (alespoň dvě) různá čísla, t Dom f, pro která platí f() = f(t) =, pak funkce f není prostá. Toto je přímý důsledek předchozí vět. Situace je zachcena na obrázku [, ] [t, ] Obrázek 7 K výkladu definice.6 Věta. Každá rze monotonní funkce je prostá. Důkaz Větu dokážu pro rostoucí funkci. Zvolme různá čísla,. Je-li <, je f() < < f() a ted f() f(). Je-li >, je f() > f() a ted f() f(). Pro tudíž platí f() f() a rostoucí funkce je prostá. Pro klesající funkci je důkaz analogický. (Proveďte.) Příklad.7 Pro < je + 3 < + 3. Proto je funkce f() = + 3 rostoucí. Podle vět. je funkce f prostá. // Definice.7 Nechť f : A R je funkce. Jestliže pro všechna A platí f() > 0, nazývá se funkce f kladná; f() 0, nazývá se funkce f nezáporná; f() < 0, nazývá se funkce f záporná; f() 0, nazývá se funkce f nekladná. Funkce f se ted nazývá kladná, jsou-li všechn její hodnot f() kladné. Obdobně pro ostatní vlastnosti. Z definice.7 ihned plne, že každá kladná funkce je zároveň nezáporná a každá záporná funkce je nekladná. 9

11 Funkce Teoretické základ Příklad.8 Funkce f() = + je kladná, protože číslo + je pro všechna kladné. Funkce g() = je nezáporná, protože číslo je pro všechna nezáporné. Přesto g není funkce kladná, jelikož pro = 0 není číslo = 0 kladné. // Cvičení. Najděte funkci, která je nekladná a zároveň nezáporná. Definice.8 Nechť f : A R je funkce. Jestliže eistuje konstanta m R tak, že pro všechna A platí m f(), nazývá se funkce f zdola omezená; M R tak, že pro všechna A platí f() M, nazývá se funkce f shora omezená. Je-li funkce f omezená zdola i shora, nazývá se omezená. Graf funkce zdola omezené konstantou m leží celý v polorovině nad přímkou = m. Graf funkce shora omezené konstantou M leží celý v polorovině pod přímkou = M. Graf funkce omezené konstantami m a M leží celý v rovinném pásu ohraničeném přímkami = m a = M. Nechť je funkce f zdola omezená konstantou m a nechť n < m. Ihned z definice.8 plne, že funkce f je zdola omezená i konstantou n. Obdobně, je-li funkce f shora omezená konstantou M a N > M, je funkce f shora omezená i konstantou N. Věta.3 Funkce f je omezená právě tehd, kdž eistuje kladná konstanta K taková, že pro všechna Dom f platí f() K. Důkaz Nerovnost f() K je ekvivalentní s nerovností K f() K. Při důkazu zprava doleva se má dokázat eistence konstant m a M takových, že m f() M. Stačí ted dosadit m = K a M = K. Při důkazu zleva doprava je třeba najít konstantu K, ab K f() K. V případě, že bude K > m, se může stát, že bude eistovat takové, že f() < K. Proto musí být K m, neboli K m. Obdobně musí být K M. Za konstantu K ted stačí zvolit větší z čísel m a M. Příklad.9 Mějme dánu funkci f() = +. Protože pro všechna je 0, je pro všechna hodnota f(). Tato funkce je ted zdola omezená konstantou m =. Není však shora omezená, protože pro velká roste hodnota f() nade všechn meze. // Cvičení.3 Určete, zdali jsou následující funkce shora nebo zdola omezené a v kladném případě určete jakými konstantami. a) f() = + ; b) f() = + ; c) f() = + 3. Definice.9 Nechť f : A R je funkce. Jestliže pro všechna A platí A a zároveň platí f( ) = f(), nazývá se funkce f sudá; f( ) = f(), nazývá se funkce f lichá. 0

12 Funkce Teoretické základ Graf sudé funkce je souměrný podle os. Graf liché funkce je souměrný podle počátku soustav souřadnic. Příklad.0 Určeme, zda je funkce f() = n, kde n N, sudá nebo lichá. Pro sudá n platí f( ) = ( ) n = n = f() a funkce f je sudá. Pro lichá n platí f( ) = ( ) n = n = f() a funkce f je lichá. // Věta.4 Nechť f je sudá funkce a a, b R jsou libovolné konstant. Pak funkce g() = = af() + b je také sudá. Důkaz Je třeba nejprve určit hodnotu g( ). Platí g( ) = af( ) + b. Podle před pokladu je f( ) = f(), a proto g( ) = af() + b = g(). Funkce g je ted sudá. Věta.5 Nechť f je lichá funkce a a R je libovolná konstanta. Pak funkce g() = af() je také lichá. Důkaz Je třeba nejprve určit hodnotu g( ). Platí g( ) = af( ). Podle předpokladu je f( ) = f(), a proto g( ) = af() = g(). Funkce g je ted lichá. Cvičení.4 Dokažte, že žádná sudá funkce nemůže být prostá. Definice.0 Nechť f : R R je funkce. Jestliže eistuje kladná konstanta t > 0 taková, že pro všechna R platí f( + t) = f(), nazývá se funkce f periodická s periodou t. Indukcí lze snadno dokázat, že pro libovolné k N je číslo kt také periodou funkce. (Proveďte.) Graf funkce s periodou t se vznačuje tím, že se v něm opakují části o šířce t. Na obrázku 8 je graf funkce f() = [], která má periodu t =. 3 3 Obrázek 8 Graf funkce f() = []

13 Funkce Teoretické základ Příklad. Nadefinujme zde tzv. Dirichletovu funkci D. Pro čísla Q je definováno D() =, pro čísla Q je D() = 0. Tato funkce je periodická. Její periodou je libovolné číslo t Q. Je třeba dokázat, že D( + t) = D(). Je-li Q, je D() = a + t Q, a ted je D( + t) = = D(). Je-li Q, je D() = 0 a + t Q, a ted je D( + t) = 0 = D(). Číslo t je proto periodou Dirichletov funkce. // Úkol Řekněte zpaměti definici prosté, sudé, liché a periodické funkce..3 Základní operace s funkcemi Definice. Nechť f : A R a g : B R jsou funkce. Součtem, rozdílem, součinem a podílem funkcí f a g nazýváme postupně funkce f + g, f g, fg a f, definované vztah g (f + g)() = f() + g(), (f g)() = f() g(), (fg)() = f()g(), f f() () = g g(). Chceme-li vpočítat hodnotu součtu funkcí v bodě, vpočteme hodnot funkcí v bodě a tto hodnot jednoduše sečteme. Toto platí obdobně pro ostatní tři operace. Definiční obor součtu f + g je množina všech bodů, ve kterých je součet f() + g() definován. V těchto bodech proto musí být definován hodnot f() a g(). Z toho plne, že takové bod musí patřit jak do Dom f, tak do Dom g, neboli musí být Dom f Dom g. Definiční obor součtu funkcí je ted roven průniku definičních oborů jednotlivých funkcí, Dom(f +g) = Dom f Dom g. Toto platí obdobně pro rozdíl a součin funkcí. U podílu je situace trošku složitější. K tomu, ab číslo patřilo do Dom f, je navíc nutné, g ab g() 0. (Proč?) Definiční obor podílu funkcí je tudíž množina bodů patřících do průniku definičních oborů jednotlivých funkcí, ve kterých není jmenovatel roven nule. Jinými slov platí Dom f g = Dom f Dom g { R: g() 0} = Dom f { Dom g : g() 0}. Pokud nejsou zadán definiční obor jednotlivých funkcí, pak se definiční obor určuje jako množina všech čísel, pro která mají všechn prováděné operace smsl. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet bl německý matematik žijící v letech Zabýval se teorií čísel a diferenciálními rovnicemi fzik. Proslavil se tím, že dokázal, že v každé aritmetické posloupnosti, kde diference a první člen jsou nesoudělné, je nekonečně mnoho prvočísel.

14 Funkce Teoretické základ Příklad. Určeme součet, rozdíl, součin a podíl funkcí f() = 3 a g() = a určeme definiční obor těchto nových funkcí: (f + g)() = f() + g() = ( 3 ) + ( ) = 3 +, (f g)() = f() g() = ( 3 ) ( ) = 3, (fg)() = f()g() = ( 3 )( ) = 4 3, f f() () = g g() = 3 = pro 0. Výraz (f + g)(), (f g)() a (fg)() mají smsl pro všechna R, a proto jsou definiční obor funkcí f + g, f g a fg rovn Dom(f + g) = Dom(f g) = Dom(fg) = R. Výraz f () má smsl (přesněji řečeno operace prováděné při jeho výpočtu lze provést) g pouze pro 0. Proto je definiční obor funkce f roven g Dom f g = R \ {0}. // Cvičení.5 Dokažte, že součet a součin dvou kladných funkcí jsou kladné funkce. Definice. Nechť A a B jsou množin reálných čísel takové, že A B, a nechť f : A R a g : B R jsou funkce. Dále nechť pro všechna čísla A platí f() = g(). Potom se funkce g nazývá rozšíření funkce f na množinu B. Funkce f se nazývá zúžení (restrikce) funkce g na množinu A. Příklad.3 Mějme dánu funkci f : R R danou předpisem f() =. Tato funkce není prostá. (Proč?) Proveďme nní zúžení funkce f na množinu 0; + ). Jinými slov vtvořme funkci g : 0; + ) R danou předpisem g() =. Funkce g je rostoucí, a ted je prostá. Zkuste sami najít jinou množinu M tak, ab zúžení funkce f na množinu M bla prostá funkce. // Definice.3 Nechť f : A na B je prostá funkce. Definujme novou funkci f : B na A tak, že každému číslu Rng f je přiřazeno právě to Dom f, pro které je f() =. Funkce f se nazývá funkce inverzní k funkci f. Výraz f : A na B v předchozí definici znamená, že A je definiční obor Dom f a B je obor hodnot Rng f. Z definice ihned plne: Jestliže f je inverzní funkce k funkci f, pak f () = právě tehd, kdž f() =. Dále platí f(f ()) = pro všechna Rng f a f (f()) = pro všechna Dom f. 3

15 Funkce Teoretické základ Výpočet inverzní funkce provádíme ve dvou krocích. Rovnici = f() vřešíme vzhledem k proměnné. Poté zaměníme všechn výskt proměnné za proměnnou a naopak. Dostaneme inverzní funkci = f (). Ukážeme si to na příkladu. Příklad.4 Mějme funkci f() = +3 a určeme k ní funkci inverzní. Abchom mohli vůbec hovořit o inverzní funkci, musíme nejdříve dokázat, že f je prostá funkce. Podle vět. stačí dokázat, že pro každé eistuje jediné takové, že = f(). To dokážeme tak, že vřešíme rovnici = f() vzhledem k proměnné a ukážeme, že má jediné řešení. = + 3 = + 3 ( ) = + 3 = + 3 Rovnice = f() má ted jediné řešení. Z toho plne, že funkce f je prostá. Můžeme ted přikročit k určení inverzní funkce. První krok jsme však již udělali. Nní stačí za měnit proměnné a. Dostaneme = +3. Inverzní funkce k funkci f je ted funkce f () = +3. // Cvičení.6 Určete inverzní funkce k funkcím a) = + 3 ; b) = 3 + ; c) = 3 3. Úkol Zkuste vsvětlit, proč je v definici inverzní funkce nutný předpoklad, že funkce f je prostá. Předpokládejme, že funkce f není prostá. Pak eistují dvě různá čísla, t taková, že f() = = f(t). Označme = f(). Pak b ovšem muselo být f () = a zároveň f () = t, a ted hodnota f () b nebla určena jednoznačně. Definice.4 Nechť A a B jsou množin reálných čísel a f : B R a g : A R jsou funkce. Definujme funkci f g předpisem (f g)() = f ( g() ) Tato funkce f g se nazývá funkce složená z funkcí f a g. Nní se pokusme odvodit, kd patří číslo do definičního oboru Dom(f g). V prvé řadě musí být definováno číslo g(). Číslo ted musí patřit do množin Dom g = A. Dále musí číslo g() patřit do Dom f = B. Množina čísel, pro které platí g() B, se označuje g (B). Z toho plne, že platí Dom(f g) = A g (B). Nejsou-li zadán definiční obor funkcí f a g, pak se definiční obor funkce f g určuje jako množina všech čísel, pro která mají operace prováděné při výpočtu f(g()) smsl. 4

16 Funkce Teoretické základ Příklad.5 Určeme funkce f g a g f složené z funkcí f() = + a g() =. Dále určeme jejich definiční obor. (f g)() = f ( g() ) = f ( ) = + Dom(f g) = R \ { ; } (g f)() = g ( f() ) ( ) ( ) + + = g = Dom(g f) = R \ { } // Z předchozího příkladu je vidět, že skládání funkcí není komutativní, tj. obecně neplatí, že f g = g f. Věta.6 Skládání funkcí je asociativní, neboli platí f (g h) = (f g) h. Z této vět plne, že při skládání více funkcí můžeme psát jednoduše f g h. Důkaz Označme si L = f (g h) a P = (f g) h. Dokážeme, že pro každé platí L() = P (). L() = ( f (g h) ) () = f ( (g h)() ) = f ( g ( h() )) P () = ( (f g) h ) () = (f g) ( h() ) = f ( g ( h() )) Z předchozích dvou řádků plne, že L = P. Cvičení.7 Určete funkce f f, f g, g f a g g složené z funkcí a) f() = +3, g() = + 3 ; b) f() = +, g() =. Cvičení.8 Zkuste na základě předešlého příkladu najít funkci e tak, ab pro všechn funkce platilo e f = f e. Příklad.6 Jsou-li funkce f a g rostoucí, pak jsou rostoucí i funkce f g a g f. To se nahlédne snadno. Podle definice rostoucí funkce pro < platí g() < g(). Označme si t = g() a u = g(). Platí t < u, a proto podle definice je f(t) < f(u). Z toho ovšem plne, že pro < je f ( g() ) < f ( g() ) a funkce f g je rostoucí. Obdobně pro funkci g f. Zkuste si pohrát s pojm z definice.5 a dokažte třeba, že složení dvou klesajících funkcí je funkce rostoucí, složení rostoucí a klesající funkce je funkce klesající,..., složení n (rze) monotonních funkcí je funkce (rze) monotonní, složení n prostých funkcí je funkce prostá (důsledek předchozího),... Máte-li zájem, můžete se pokusit určit, zda složení n funkcí, z nichž je m klesajících (nerostoucích), je funkce rostoucí nebo klesající (neklesající nebo nerostoucí). // 5

17 Funkce Teoretické základ Důsledek Nechť a, b, c, d R jsou libovolné konstant, přičemž a, c 0 a nechť f je prostá funkce. Pak funkce g() = af(c + d) + b je také prostá. Důkaz Funkce p() = a + b a q() = c + d jsou prosté. Funkce f je podle předpokladů také prostá. Platí g = p f q. (Ověřte!) Funkce g je ted složená ze tří prostých funkcí a podle příkladu.6 je prostá. Úkol Řekněte zpaměti definici složené a inverzní funkce. Shrnutí Funkce je nějaký předpis přiřazující každému číslu z definičního oboru jedno číslo z oboru hodnot. Graf funkce je množina bodů [; ] v rovině takových, že = = f(). Funkce je rostoucí, jestliže s rostoucí hodnotou proměnné roste hodnota f(). Podobně se definuje funkce klesající, nerostoucí a neklesající. Funkce, která je rostoucí, nebo klesající, se nazývá rze monotonní. Funkce f se nazývá prostá, jestliže ke každému eistuje jediné takové, že = f(). Jestliže jsou všechn hodnot f() kladné, nazývá se funkce f kladná. Obdobně se definuje funkce záporná, nekladná a nezáporná. Je-li graf funkce souměrný podle os, nazývá se funkce sudá. Je-li graf souměrný podle počátku soustav souřadnic, nazývá se funkce lichá. Jestliže se hodnot f() pravidelně opakují, nazývá se funkce periodická. Hodnota součtu funkcí je součet hodnot funkcí. Podobně se definuje rozdíl, součin a podíl funkcí. Inverzní funkce f k prosté funkci f se definuje tak, ab platilo f (f()) =. Složení funkcí je definováno (f g)() = f(g()). Tato kapitola bla dle mého názoru dosti jednoduchá. Jestliže Vám však činila potíže, asi jste na střední škole neměl(a) matematiku. V tom případě Vám doporučuji pročíst si ještě jednou tuto kapitolu nebo knihu [7]. Budete se muset v tomto předmětu více snažit, ale věřím, že brz ostatní doženete. Cvičení Cvičení.9 Určete definiční obor a obor hodnot funkcí a) f() = [] ; b) f() = D() ; c) f() =. Cvičení.0 Určete funkce inverzní k funkcím a) f() = a + b ; b) f() = D() ; c) f() = 4 +. Cvičení. Je dána funkce f() = a) Určete funkce f f, f f f, f f f f,.... b) Najděte další funkce, jež mají stejnou vlastnost jako funkce f v části a). Cvičení. Nechť platí f = f. Dokažte, že pro všechna Dom f platí vztah f(f(f(f()))) =. 6

18 Algebraické funkce Algebraické funkce Obsah lekce.. Transformace grafu Lineární funkce Kvadratické funkce Lineární lomená funkce Další funkce Cvičení Klíčová slova Funkce lineární, kvadratická, lineární lomená, Dirichletova, Riemannova. V případě, že Vám předchozí kapitola nečinila problém, věnujte v částech..4 pozor nost pouze příkladům a cvičením.. Transformace grafu V této části se dozvíte, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkce. Ab bl výklad jasnější, budu stále obměňovat funkci ϕ, jejíž graf je na obrázku 9. Transformace budou zdůrazněn šipkami. 4 3 ϕ Obrázek 9 Graf funkce ϕ 7

19 Algebraické funkce Přičtení čísla k hodnotě funkce Nechť b je reálné číslo a f je funkce. Vtvořme funkci g, která vznikne přičtením čísla b k funkci f. Platí ted g() = f() + b. Nechť bod A = [; f()] patří grafu funkce f. Posunutím bodu A o b jednotek nahoru dostaneme bod B = [; f()+b] = [; g()]. Bod B ted patří grafu funkce g. Graf funkce g proto vznikne posunutím grafu funkce f o b jednotek nahoru. (V případě b < 0 se graf samozřejmě posouvá o b jednotek dolů.) Na obrázku 0 je graf funkce τ() = ϕ()+, na obrázku je graf funkce ω() = ϕ() τ 3 ϕ ϕ ω Obrázek 0 K tetu Obrázek K tetu Vnásobení hodnot funkce číslem Nechť a je reálné číslo a f je funkce. Vtvořme funkci g, která vznikne vnásobením funkce f číslem a. Platí ted g() = af(). Nechť bod a patří grafu funkce f. Vnásobením -ové souřadnice bodu A číslem a dostaneme bod B = [; af()] = [; g()]. Bod B ted patří grafu funkce g. Graf funkce g je tudíž množina všech bodů [; a] takových, že bod [; ] patří grafu funkce f. Na obrázku je graf funkce τ() = 3 ϕ(), na obrázku 3 je graf funkce ω() = 3 5 ϕ() τ ϕ ϕ Obrázek K tetu Obrázek 3 K tetu ω 8

20 Algebraické funkce Přičtení čísla k argumentu funkce Nechť d je reálné číslo a f je funkce. Vtvořme funkci g() = f( + d). Nechť bod A = [; f()] patří grafu funkce f. Posunutím bodu A o d jednotek doleva dostaneme bod B = [ d; f()] = [ d; g( d)]. Bod B ted patří grafu funkce g. Graf funkce g proto vznikne posunutím grafu funkce f o d jednotek doleva. (V případě d < 0 se graf samozřejmě posouvá o d jednotek doprava.) Na obrázku 4 je graf funkce τ() = ϕ( + ), na obrázku 5 je graf funkce ω() = ϕ( ) ϕ τ 3 ω ϕ 3 4 Obrázek 4 K tetu Obrázek 5 K tetu Vnásobení argumentu funkce číslem Nechť c je reálné číslo a f je funkce. Vtvořme funkci g() = f(c). Nechť bod A = [; f()] patří grafu funkce f. Podělením -ové souřadnice bodu A číslem c dostaneme bod B = [ ; f()] = [ ; g( )] c c c. Bod B ted patří grafu funkce g. Graf funkce g je tudíž množina všech bodů [ ; ] takových, že bod [; ] c patří grafu funkce f. Na obrázku 6 je graf funkce τ() = ϕ ( 3 ), na obrázku 7 je graf funkce ω() = ϕ ( 4) τ ϕ ω ϕ Obrázek 6 K tetu Obrázek 7 K tetu Úkol Je dán graf funkce f(). Popište, jak se konstruují graf funkcí f() + b, af(), f( + d), f(c). Pokuste se vsvětlit, jak b se zkonstruoval graf funkce af(c + d) + b. 9

21 Algebraické funkce Graf inverzní funkce Ab mohla eistovat inverzní funkce f k funkci f, musí být funkce f prostá. To však naše funkce ϕ z obrázku 9 není. (Proč?) Proto zde budu pracovat s jinou funkcí χ, jejíž graf je na obrázku 8. χ χ Obrázek 8 Graf funkce χ χ 3 Obrázek 9 Graf funkce χ Nechť bod A = [; f()] patří grafu funkce f. Záměnou první a druhé souřadnice bodu A, ted překlopením podle přímk =, dostaneme bod B = [f(); ] = [ f(); f (f()) ]. Bod B ted patří grafu funkce f. Graf funkce f proto vznikne překlopením grafu funkce f podle přímk =. Na obrázku 9 je graf funkce χ.. Lineární funkce Definice. Funkce f() = a + b, kde a, b R, se nazývá lineární funkce. Speciálně (při a = 0) se funkce f() = b nazývá konstantní funkce. Protože operace prováděné při výpočtu a + b lze provést pro všechna R, je definiční obor roven Dom f = R. Konstantní funkce f() = b Graf funkce f je množina všech bodů [; b]. Tato množina ovšem není nic jiného než přímka rovnoběžná s osou a procházející bodem [0; b]. Graf funkce f je na obrázku 0. Funkce f nabývá pouze jediné hodnot b, a proto je Rng f = = {b}. Funkce f není rostoucí ani klesající, ale je nerostoucí a neklesající. (To není totéž!) Protože je f() = f( ) = b, je funkce f sudá. Pro všechna čísla R a t > 0 platí f() = f( + t) = b, proto je funkce f periodická a její periodou je libovolné číslo t > 0. Konstantní funkce jsou jediné funkce s touto vlastností. Funkce f není prostá, protože je periodická. b Obrázek 0 Graf konstantní funkce 0

22 Algebraické funkce Funkce f() = Graf funkce f je množina všech bodů [; f()] = [; ], ted je to přímka procházející počátkem soustav souřadnic a svírající s osami a úhel 45. Graf funkce f je na obrázku. Obrázek Graf funkce f() = Ke každému číslu R eistuje číslo R takové, že = f(). Proto je Rng f = R. Funkce f je rostoucí, a proto prostá. Z toho také plne, že f není periodická. Protože f( ) = = f(), je funkce f lichá. Funkce f() = a + b pro a 0 Grafem funkce f je opět přímka. Tato přímka prochází na ose bodem [0; f(0)] = [0; b]. Zjistěme, kterým bodem na ose tato přímka prochází. Označme tento bod [; 0]. Pro číslo musí platit f() = 0. Vřešením této rovnice dostaneme = b. Graf funkce f je pro a > 0 na obrázku, pro a < 0 na a obrázku 3. Protože ke každému číslu R eistuje číslo R takové, že = f(), je Rng f = R. Pro a > 0 platí < a < a a + b < a + b, a proto je pro a > 0 funkce f rostoucí. Obdobně pro a < 0 je f klesající. Funkce f je ted rze monotonní, a proto prostá a neperiodická. b a b b b a Obrázek K tetu Obrázek 3 K tetu

23 Algebraické funkce Příklad. Určeme číslo b tak, ab funkce f() = a + b bla lichá. Musí platit = f( ). Úpravou tohoto vztahu postupně dostaneme a b = a + b b = b b = 0 b = 0 Z toho plne, že funkce f() = a + b je lichá právě tehd, kdž je b = 0. // Úkol Řekněte, jak se určí průsečík grafu funkce s osami a..3 Kvadratické funkce Definice. Funkce f() = a + b + c, kde a 0 a b, c R, se nazývá kvadratická funkce. Funkce f() = Grafem funkce f je množina všech bodů [; ]. Je to křivka, která se nazývá parabola. Graf funkce f je uveden na obrázku Obrázek 4 Graf funkce f() = Jestliže je 0, pak eistuje číslo R takové, že f() =. Je-li však < 0, pak žádné takové neeistuje. Proto je Rng f = 0; + ). Funkce f je klesající na intervalu ( ; 0 a rostoucí na 0; + ). Protože platí f( ) = ( ) = = f(), je funkce f sudá. Z toho plne, že f není prostá. Funkce f není periodická.

24 Algebraické funkce Funkce f() = a pro a 0 Grafem funkce f je parabola procházející bod [0; 0] a [±; a]. Pro a > 0 má funkce f stejné vlastnosti jako funkce. Pro a < 0 je f rostoucí na ( ; 0, klesající na 0; + ) a Rng f = ( ; 0. Graf funkce f pro a < 0 je uveden na obrázku 5. a b a b 4ac 4a Obrázek 5 Graf funkce f() = a Obrázek 6 K tetu Funkce f() = a + b + c Grafem funkce f je opět parabola. Abchom zjistili, jak tato parabola vpadá, musíme nejdříve funkci f upravit: ( f() = a + b + c = a + b a + c ) (( = a + b a a ( = a + b ) b 4ac a 4a ) b 4a + c ) = a Graf funkce f ted vznikne posunutím grafu funkce a o b jednotek doleva a b 4ac jed a 4a notek dolů. Situaci ilustruje obrázek 6. Vrchol parabol je ted v bodě [ b ; ] b 4ac a 4a. Pro a > 0 je parabola otevřená nahoru, a proto Rng f = c b ; + ). Pro a < 0 4a je parabola otevřená dolů, a proto Rng f = ( ; c 4a b. Funkce f není prostá ani periodická. Pro a > 0 (a < 0) je funkce f klesající (rostoucí) na intervalu ( ; a b a rostoucí (klesající) na intervalu b ; + ). a Příklad. Určeme číslo b tak, ab funkce f() = a + b + c bla sudá. Pro všechna musí platit f() = f( ). Úpravami této rovnosti postupně dostaneme a( ) + b( ) + c = a + b + c a b + c = a + b + c b = b b = 0. Protože toto musí platit pro všechna, musí být b = 0. // Cvičení. Určete průsečík grafu funkce f() = a + b + c s osami a. 3

25 Algebraické funkce.4 Lineární lomená funkce Definice.3 Funkce f() = a+b, kde c 0 a ad bc, se nazývá lineární lomená funkce. c+d Protože f() je zlomek, nesmí být jmenovatel roven nule. Nesmí ted platit = d c. Z toho plne, že Dom f = R \ { d c }. Funkce f() = Grafem této funkce je křivka na obrázku 7, která se nazývá hper bola. Tato křivka se neustále přibližuje k osám a, ale nikd je neprotne. Obrázek 7 Graf funkce f() = Určeme obor hodnot. Rng f je množina těch čísel, pro která má rovnice f() = řešení. Jednoduchou úpravou této rovnice dostaneme =. Z toho plne, že při = 0 nemá rovnice f() = řešení, neboli Rng f = R \ {0}. Pro 0 < < platí <, neboli f() < f(). Z toho plne, že funkce f je klesající na intervalu (0; + ). Obdobně je f klesající na ( ; 0). Přesto však f není klesající na celém svém definičním oboru, protože například f() = > = f( ). Protože ke každému číslu Rng f eistuje jediné číslo takové, že f() =, je funkce f prostá. Z toho také plne, že f není periodická. Protože platí f( ) = = = f(), je f lichá funkce. Funkce f() = a pro a 0 Úkol Odvoďte sami vlastnosti této funkce. Funkce f() = a+b c+d K určení vlastností této funkce je opět nutno ji nejdříve upravit. f() = a + b a ad c + d = (c + d) c c c + d + b = a ad bc c c c ( ) = + d c bc ad c + d c + a c 4

26 Algebraické funkce Graf funkce f vznikne posunutím grafu funkce (bc ad)/c o d jednotek doleva a a jednotek c c nahoru. Situace je zachcena na obrázku 8. Graf funkce f se stále přibližuje k přímkám = a a = d, ale nikd je neprotne. Z toho plne, že Rng f = R \ { } a c c c. a c d c Obrázek 8 K tetu Úkol Odvoďte sami další vlastnosti..5 Další funkce Definice.4 Dirichletova funkce D() je funkce definovaná na Dom D = R, pro kterou platí: pro Q je D() =, pro Q je D() = 0. Ihned z definice plne, že Rng D = {0; }. Funkce D není ani rostoucí ani klesající. Na straně blo dokázáno, že D je periodická a její periodou je libovolné a Q +. Z toho plne, že D není prostá. Cvičení. Dokažte, že D je sudá funkce. Definice.5 Riemannova funkce R() je funkce definovaná na Dom R = R následovně: R(0) = ; pro Q je R() = 0; pro číslo = p, kde p a q jsou nesoudělná čísla, q je R() =. q Ihned z definice plne, že Rng R = {0} { q : q N}. Funkce R není rostoucí ani klesající. R je periodická a její periodou je libovolné kladné celé číslo. Z toho plne, že R není prostá. Graf Riemannov funkce je na obrázku 9. Georg Friedrich Bernhard Riemann [ríman] bl německý matematik žijící v letech Zabýval se kompleními funkcemi, teorií čísel a diferenciální geometrií. Jeho výsledk v geometrii na neeuklidovských prostorech bl plně pochopen až Einsteinem, který na nich vbudoval obecnou teorii relativit. 5

27 Algebraické funkce Obrázek 9 Graf Riemannov funkce Cvičení.3 Dokažte, že R je sudá funkce. Shrnutí Graf funkce f() + b vznikne posunutím grafu funkce f() o b jednotek na horu. Graf funkce af() vznikne natáhnutím grafu funkce f() do výšk na a-násobek. Graf funkce f(c) vznikne stáhnutím grafu funkce f() do šířk na jednu c-tinu. Graf funkce f () vznikne překlopením grafu funkce f() kolem přímk =. Tato kapitola bla snadná. Sloužila především ke shrnutí učiva ze střední škol pro stu dent, jimž matematika činila potíže. Uvedené vlastnosti není třeba umět zpaměti, protože si je lze snadno odvodit. Důležité je umět z grafu funkce včíst základní vlastnosti, ob dobně jako ve cvičení.5. Cvičení Cvičení.4 Dolní křivka na obrázku 30 je graf funkce f, která je sudá a má periodu t = = 4. Horní křivka vznikla posunutím dolní křivk o dvě jednotk nahoru a jednu jednotku doprava. Určete všechn funkce, jejichž grafem je horní křivka. a) f() b) f( + ) c) f( ) + d) f( ) + e) + f(5 ) f) 5 f() g) f( + 7) + h) 3f( ) + i) f( + 6) j) f( ) f Obrázek 30 Cvičení.4 g h 4 Obrázek 3 Cvičení.5 6

28 Algebraické funkce Cvičení.5 Na obrázku 3 jsou graf funkcí f, g, a h. Která z následujících tvrzení jsou pravdivá? a) Žádná z těchto funkcí není rovna funkci + 4. b) V intervalu ; eistuje bod 0 takový, že g( 0 )h( 0 ) = 0. c) Rovnice f() h() = 0 nemá v intervalu ; žádné řešení. d) Pro každé ; platí f() = f( ). e) Eistuje interval a; b ; takový, že pro každé a; b platí h() g() f(). f) Rovnice g() + h() = 0 má na intervalu ; alespoň jedno řešení. Cvičení.6 Určete základní vlastnosti (definiční obor, obor hodnot, monotonnost, prů sečík s osami, zda je funkce sudá nebo lichá) následujících funkcí a načrtněte jejich graf. a) f() = b) f() = 6 c) f() = d) f() = ( ) ( ) e) f() = + 3 f) f() = g) f() = R()( D()) 7

29 3 Spojitost 3 Spojitost Obsah lekce 3.. Okolí bodu Spojitost v bodě Spojitost na intervalu Vět o spojitosti Cvičení Klíčová slova Okolí bodu, spojitost v bodě, spojitost na intervalu, Darbouova vlastnost, Weierstrassova věta. 3. Okolí bodu Definice 3. Nechť a je reálné číslo a δ > 0. Potom interval (a δ; a + δ) se nazývá δ-okolí bodu a a označuje se U δ (a); (a δ; a se nazývá levé δ-okolí bodu a a označuje se U δ (a); a; a + δ) se nazývá pravé δ-okolí bodu a a označuje se U + δ (a). Vjmutím bodu a z (levého, pravého) δ-okolí bodu a dostaneme tzv. redukované (levé, pravé) δ-okolí bodu a, které se označuje P δ (a) (P δ (a), P+ δ (a)). Redukované okolí se také někd nazývá prstencové okolí. Jednostranná redukovaná okolí lze rovněž zapsat ve tvaru P δ (a) = (a δ; a), P+ δ (a) = (a; a + δ). Příklad 3. Zapišme pomocí nerovností, že číslo patří do redukovaného -okolí bodu. Platí P () = (; ) (; 3). Vztah P () lze zapsat ve tvaru 0 < <. // Úkol Zapište pomocí nerovností, že číslo patří do (redukovaného) (levého/pravého) δ-okolí bodu a. Správné řešení je U δ (a) a δ < < a + δ a < δ, U δ (a) a δ < a, U + δ (a) a < a + δ, P δ (a) 0 < a < δ, P δ (a) a δ < < a, P + δ (a) a < < a + δ. 8

30 3 Spojitost Cvičení 3. Vjádřete následující interval jako okolí bodu. a) (3; 5), b) 6; 7), c) 0;. 3. Spojitost v bodě Definice 3. Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že pro všechna U δ (a) platí f() U ε (f(a)), neboli stručněji ε > 0 δ > 0 U δ (a): f() U ε (f(a)). Funkce f je spojitá v bodě a, jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že se každý bod z δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f(a). Situace je zachcena na obrázku 3. f(a) + ε f(a) f() f(a) ε f a δa a + δ Obrázek 3 Spojitost funkce v bodě Geometrick lze (nepřesně) říci, že funkce je spojitá v bodě a, jestliže její graf můžeme na okolí bodu a nakreslit jedním tahem. Při zjišťování, zda je funkce f spojitá v bodě a, hledáme ke kladnému číslu ε kladné číslo δ tak, ab pro všechna U δ (a) platilo f() U ε (f(a)). Přitom stačí dokázat, že f() U Kε (f(a)), kde K je nějaká kladná konstanta. Ukážeme si to na příkladu. Příklad 3. Funkce = je spojitá v každém bodě a R. Nechť ε > 0 je libovolné pevně zvolené číslo. Máme najít číslo δ > 0 tak, ab pro všechna U δ (a) platilo U ε (a ). Jinými slov musí platit a < ε. Pro všechna U δ (a) platí a < δ. Dále platí Z toho plne, že + a = ( a) + a a + a < δ + a. a = a + a < δ(δ + a ). Je třeba nalézt číslo δ > 0 tak, ab δ(δ + a ) ε, protože potom bude a < ε pro všechna U δ (a). Nerovnost δ(δ+ a ) ε je ekvivalentní s nerovností δ + a δ ε 0. Tato nerovnost platí pro δ a a + ε; a + a + ε. 9

31 3 Spojitost Protože je ε > 0, je a + ε > a, a proto a + a + ε > 0. Protože musí být δ > 0, lze vzít δ = a + a + ε, ted takové číslo δ > 0 eistuje a funkce je spojitá v každém bodě a R. // Z tohoto příkladu je vidět, že i v případě tak jednoduché funkce, jako je, je zjišťování spojitosti podle definice dosti složité. Proto se při zjišťování spojitosti většinou vužívají vět uvedené v části 3.4. V definici spojitosti se vsktuje číslo f(a). Ab funkce f mohla být v bodě a spojitá, musí číslo f(a) eistovat. Jinými slov musí být a Dom f. Taktéž musí eistovat f() pro z nějakého δ-okolí bodu a. Ted musí být U δ (a) Dom f. Kontrapozicí této vět ihned dostáváme Věta 3. Jestliže číslo a s nějakým svým okolím nepatří do definičního oboru Dom f, není funkce f v bodě a spojitá. Příklad 3.3 Funkce f() = není definována v bodě = 0, a proto tato funkce není spojitá v bodě 0. // Příklad 3.4 Dirichletova funkce není spojitá v žádném bodě a R. Nechť a Q. Potom je D(a) =. Zvolme ε (0; ). V každém U δ (a) eistuje alespoň jedno číslo Q. Pro toto platí U δ (a), ale D() = 0 U ε (D(a)). Pro a Q je důkaz obdobný. // Funkce f() = je spojitá v každém bodě a > 0. V bodě 0 spojitá není, protože při jakémkoliv δ > 0 nepatří levé δ-okolí bodu 0 do definičního oboru. Cítíme však, že na pravo od bodu 0 je odmocnina v jistém smslu spojitá. Proto se definují jednostranné spojitosti. Definice 3.3 Funkce f je spojitá v bodě a zprava (zleva), jestliže pro každé ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že pro všechna U + δ (a) ( U δ (a)) platí f() U ε(f(a)), neboli stručněji ε > 0 δ > 0 U + δ (a): f() U ε(f(a)) pro spojitost zprava a ε > 0 δ > 0 U δ (a): f() U ε(f(a)) pro spojitost zleva. f f(a) + ε f() f(a) f(a) ε aa + δ Obrázek 33 Spojitost v bodě zprava 30

32 3 Spojitost Funkce f je spojitá v bodě a zprava (zleva), jestliže ke každému ε > 0 eistuje δ > 0 takové, že se každý bod z pravého (levého) δ-okolí bodu a zobrazí do ε-okolí bodu f(a). Situace je pro spojitost zprava zachcena na obrázku 33. Pro spojitost zleva je situace podobná. (Nakreslete!) Příklad 3.5 Funkce f() = je zprava spojitá v bodě a = 0. To se dokáže snadno. Je třeba k číslu ε > 0 najít číslo δ > 0 takové, ab pro každé číslo takové, že 0 < δ, platilo ε < < ε. Umocněním poslední nerovnosti na druhou dostaneme 0 < ε. Stačí ted vzít δ = ε. // Věta 3. Funkce f je spojitá v bodě a právě tehd, kdž je v bodě a spojitá zleva i zprava. Důkaz Je snadný, ale budu ho provádět podrobně. Nejdříve provedu důkaz zleva doprava. Zvolme si libovolně číslo ε > 0. Funkce f je spojitá v bodě a, a proto eistuje δ > 0 tak, že pro všechna U δ (a) platí f() U ε (f(a)). Protože je U δ (a) U δ(a), také pro všechna U δ (a) platí f() U ε(f(a)). To ale znamená, že funkce f je zleva spojitá v bodě a. Obdobně platí U + δ (a) U δ(a), a proto funkce f je spojitá zprava v bodě a. Nní provedu důkaz zprava doleva. Zvolme si libovolně číslo ε > 0. Funkce f je spojitá zleva v bodě a, a proto eistuje číslo δ takové, že pro všechna U δ (a) platí f() U ε (f(a)). Funkce f je zároveň v bodě a spojitá zprava, a proto eistuje číslo δ takové, že i pro všechna U + δ (a) platí f() U ε (f(a)). Jinými slov platí f() U ε (f(a)) pro všechna U δ (a) U + δ (a). Položme δ = min{δ ; δ }. Platí U δ (a) U δ (a) a U + δ (a) U + δ (a), neboli U δ (a) U+ δ (a) U δ (a) U + δ (a). Dále platí U δ (a) = U δ (a) U+ δ (a). Z toho ovšem plne, že f() U ε (f(a)) pro všechna U δ (a). 3.3 Spojitost na intervalu Definice 3.4 Funkce f je spojitá na intervalu (a; b), jestliže je spojitá v každém bodě c (a; b). Funkce f je spojitá na intervalu a; b, jestliže je spojitá na intervalu (a; b) a navíc je spojitá zprava v bodě a a spojitá zleva v bodě b. Jestliže je definiční obor Dom f intervalem a funkce f je spojitá na celém Dom f, pak se stručně říká, že funkce f je spojitá. Z definice 3.4 ihned plne toto: Je-li funkce f spojitá na intervalu I a J je jeho podinterval, pak je funkce f spojitá i na intervalu J. Příklad 3.6 Funkce f() = je spojitá na R. Zvolme si libovolně a R. Dokážeme, že f je spojitá v bodě a. Nechť ε > 0. Je třeba najít číslo δ, ab pro včechna U δ (a) platilo f() U ε (f(a)). Protože je f() = a f(a) = a, je třeba, ab pro všechna U δ (a) platilo U ε (a). Stačí ted vzít δ = ε. // 3

33 3 Spojitost Příklad 3.7 Konstantní funkce f() = c, kde c R je libovolná konstanta, je spojitá na R. Zvolme si libovolně a R. Dokážeme, že f je spojitá v bodě a. Nechť ε > 0. Je třeba najít číslo δ, ab pro všechna U δ (a) platilo f() U ε (f(a)). Protože je f() = f(a) = c a c U ε (c), platí f() U ε (f(a)) dokonce pro všechna R. Číslo δ > 0 ted může být libovolné. // Cvičení 3. Dokažte, že funkce f() = je spojitá na R. 3.4 Vět o spojitosti Věta 3.3 Nechť funkce f a g jsou spojité v bodě a. Pak jsou i funkce f + g, f g a fg spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) 0, je i funkce f spojitá v bodě a. g Důkaz bude uveden na straně 43. Důsledek Jsou-li funkce f,..., f n spojité, jsou spojité i funkce f + + f n a f f n. Důkaz Provede se matematickou indukcí. Důsledek Je-li funkce f spojitá v bodě a a c R je libovolná konstanta, pak je funkce g() = cf() spojitá v bodě a. Důkaz Konstantní funkce c je spojitá na R, a ted je spojitá i v bodě a. Součin dvou funkcí spojitých v bodě a je podle vět 3.3 funkce spojitá v bodě a. Důsledek Libovolná racionální lomená funkce je spojitá ve všech bodech, ve kterých není jmenovatel roven nule. Speciálně je každý mnohočlen a 0 + a + + a n n spojitý na R. Důkaz Funkce je spojitá. Předpokládejme, že je spojitá funkce k pro nějaké k N. Pak podle vět 3.3 je spojitá i funkce k+ = k. Funkce n je proto spojitá pro každé n N. Je-li a n R libovolná konstanta, je podle předchozího důsledku funkce a n n spojitá. Podle prvního důsledku je spojitá i funkce (mnohočlen) a 0 + a + + a n n. Podle vět 3.3 je podíl dvou mnohočlenů, ted racionální lomená funkce, spojitý ve všech bodech, ve kterých není jmenovatel roven nule. Příklad 3.8 I kdž jsou funkce f a g nespojité v bodě a, může přesto funkce f + g být spojitá v bodě a. Příkladem jsou funkce f() = D() a g() = D(). Ani jedna z nich není spojitá v žádném bodě. Ale funkce (f + g)() = je funkce konstantní, a ted spojitá. // 3

34 3 Spojitost Cvičení 3.3 Nechť je funkce f spojitá v bodě a a funkce g nespojitá v bodě a. Co lze říct o funkcích f + g a f g? Věta 3.4 Je-li funkce f spojitá v bodě a a funkce g spojitá v bodě b = f(a), je funkce g f spojitá v bodě a. Důsledek Nechť funkce f je spojitá. Protože absolutní hodnota je spojitá funkce, je i funkce f () = f() spojitá. Cvičení 3.4 Eistuje funkce f, která není spojitá v žádném bodě a Dom f, pro kterou je funkce f spojitá v každém bodě a Dom f? Věta 3.5 Jestliže je funkce f spojitá v bodě a a platí f(a) > 0 (f(a) < 0), pak eistuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna U δ (a) platí f() > 0 (f() < 0). Tato věta říká, že kdž je spojitá funkce v nějakém bodě různá od nul, pak na jeho nějakém okolí nemění znaménko. Situace je pro f(a) > 0 zachcena na obrázku 34. f f(a) + ε f(a) 0 = f(a) ε a δ a a + δ Obrázek 34 K větě 3.5 Důkaz Větu dokážu pro f(a) > 0. Pro f(a) < 0 je situace podobná (proveďte). Z definice spojitosti plne, že pro každé ε > 0 eistuje δ > 0 tak, že pro všechna U δ (a) je f() f(a) < ε. Zvolme ε = f(a). Potom eistuje δ > 0 tak, že pro všechna U δ (a) platí f() f(a) < f(a). Z této nerovnosti ale pro f(a) > 0 plne f() > 0. Kontrapozicí vět 3.5 dostáváme Důsledek Jestliže funkce f mění na okolí bodu a znaménko, pak platí f(a) = 0 nebo f není spojitá v bodě a. Z toho plne, že funkce může (ale nemusí) měnit znaménko pouze v bodech, v nichž je rovna nule nebo v nichž není spojitá. 33

35 3 Spojitost Příklad 3.9 Určeme interval, na nichž je funkce f() = 8+ kladná, nebo záporná. 3 4 Na číselnou osu nanesme všechn bod, v nichž je funkce rovna nule nebo není spojitá. Funkce může měnit znaménko pouze v těchto bodech. Z toho plne, že pouze tto bod mohou být krajními bod intervalů, na nichž je funkce kladná, nebo záporná. K určení znaménka funkce na některém intervalu stačí určit znaménko hodnot funkce v některém vnitřním bodě tohoto intervalu. Je vhodné zvolit bod, ve kterém se hodnota f() spočítá snadno. Funkce f() je rovna nule v těch bodech, ve kterých je čitatel roven nule. Řešením rovnice 8 + = 0 jsou čísla = a = 6. Funkce f() není spojitá v těch bodech, v nichž je jmenovatel roven nule. Řešením rovnice 3 4 = 0 jsou čísla = 0 a = 4. Nanesme proto na osu bod 0,, 4 a 6 (viz obrázek 35) Obrázek 35 K příkladu Obrázek 36 K příkladu Nní určeme hodnot funkce f ve vnitřních bodech vznačených intervalů. f( ) = 5 = 5 f() = 5 3 = 5 3 f(3) = 3 = 9 = f(5) = 3 f(7) = 5 47 < 0, a ted f je záporná na intervalu ( ; 0); < 0, a ted f je záporná na intervalu (0; ); > 0, a ted f je kladná na intervalu (; 4); < 0, a ted f je záporná na intervalu (4; 6); > 0, a ted f je kladná na intervalu (6; + ). Smbolick je toto zakresleno na obrázku 36. // Věta 3.6 Jestliže je funkce f spojitá v bodě a, pak eistuje číslo δ > 0 takové, že funkce f je omezená na U δ (a). Důkaz Zvolme libovolně číslo ε > 0. Protože je funkce f spojitá v bodě a, eistuje číslo δ > 0 takové, že pro všechna U δ (a) platí f() U ε (f(a)). Jinými slov pro všechna U δ (a) platí f(a) ε < f() < f(a) + ε. Na U δ (a) je ted funkce f zdola omezená konstantou f(a) ε a shora omezená konstantou f(a) + ε. Přečtěte si znovu vět v části 3.4 a uveďte a pokuste se dokázat podobné vět pro jedno strannou spojitost. Definice 3.5 Funkce f má Darbouovu 3 vlastnost na intervalu I, jestliže pro všechna čísla a, b I taková, že a < b a f(a) f(b), a všechna čísla d ležící mezi f(a) a f(b) eistuje číslo c (a; b) takové, že f(c) = d. Je-li interval I přímo definičním oborem funkce f, pak se přívlastek na I vnechává. 3 Jean Gaston Darbou [darbu] bl francouzský matematik žijící v letech Zabýval se diferenciální geometrií a analýzou. Je po něm pojmenován Darbouův integrál. 34