3. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Transkript

1 3. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 3.1. Derivace Definice. Derivacífunkce fvbodě c,značíme f (c), nazveme limitu f f(c+h) f(c) (c)=lim. h 0 h Je-li limita vlastní(výsledkem je reálné číslo), mluvime o vlastní derivaci, je-li limita nevlastní(výsledkem je nebo ), mluvíme o nevlastní derivaci. Derivace zprava/zleva funkce f v bodě c je limita f +/ f(c+h) f(c) (c)= lim h 0 +/ h. Derivacespojitéfunkcejelimitaneurčitéhotypu 0 0. Derivace je limita v jistém reálném bodě c. Existuje tedy, právě když existují obě jednostranné derivace, a rovnají se. (Pak f (c)=f +(c)=f (c).) 44

2 Geometrický význam derivace Geometrický význam vlastní derivace pro spojitou funkci Vlastní derivace spojité funkce v bodě je rovna směrnici její tečny v tomto bodě. odvození!!! Geometrický význam vlastní i nevlastní derivace pro spojitou funkci Nemá-li funkce v nějakém bodě derivaci, znamená to, žegrafmávtomtobodě hrot. Má-lifunkcevbodě cvlastníderivaci,pakjerovna směrnici tečny. Konkrétně je-li derivace v bodě nulová, směrnice tečnyjetakénulová,cožznamená,žetečnaje rovnoběžná s osou x. Má-li funkce v bodě nevlastní derivaci, tečna v tomto bodějerovnoběžnásosou y.

3 Derivování podle vzorců Vzorce(derivace základních funkcí): Vzorce platí ve všech bodech, pro které mají výrazy smysl, tedy všude, kde existuje vlastní derivace dané funkce. Pokud pro nějaký bod nemá vzorec pro derivaci smysl, znamená to, že v něm neexistuje vlastní derivace. Pak musíme pro výpočet použít definici derivace a mohou nastat dva případy. Buď derivace existuje, ale je nevlastní, nebo derivace neexistuje. (x α ) = αx α 1 pro α R (k) =0proreálnéčíslo k (x) =1 (a x ) = a x lnapro a >0,(e x ) =e x (log a x) = 1 xlna pro0 < a 1,(lnx) = 1 x (sinx) =cos x (cos x) = sinx (tg x) = 1 cos 2 x (arcsin x) = 1 1 x 2 (cotg x) = 1 sin 2 x (arctg x) = 1 1+x 2

4 47 Derivace aritmetických operací Derivování reálného násobku, součtu, rozdílu, součinuapodíludvoufunkcíseřídívzorci(f, g jsou funkce, k reálná konstanta): (k f) = k f, (f ± g) = f ± g, (f g) = f g+ f g, ( ) f = f g f g g g 2. Derivace složené funkce Složenou fci derivujeme podle vzorce: (f(g(x))) = f (y) g (x), kde y= g(x) lim x c 3.4. Výpočet limit, l Hospitalovo pravidlo L Hospitalovo pravidlo Je-li limita lim f(x) g(x) =lim x c x c f(x) g(x) typu 0 0 nebo ± ±,pak f (x) g (x),pokudlimitavpravoexistuje. Pravidlo platí i pro jednostranné limity.

5 48 Na výpočet limit l Hospitalovým pravidlem lze převést většinu neurčitých limitních typů (všechnykromě c 0pronenulové c). Typ Jdeolimiturozdílu A B,kdelimA= alim B=. Ve většině těchto příkladů budeme začínat vytknutím jednoho ze výrazů A, B: A B= A ( 1 B ). A L Hospitalovýmpravidlemvypočtemelim B A = L,která jevždytypu.pakdosadíme: lim(a B)=limA ( 1 B ) A = (1 L). Výjimečně,bude-li L=1,vyjde (1 1) = 0, což je neurčitý výraz. Tyto(ojedinělé) příklady bude třeba počítat jiným způsobem.

6 49 Typ 0 (± ) Součin AB,kdelimA=0alimB= ± lzepřevést napodíl,atobuď AB= A B,cožjevýraz,jehožlimita 1 jetypu 0 B 0, nebo AB = A typu ± 1 ±. Vobou případech jde o výraz vhodný pro použití l Hospitalova pravidla.(a aspoň jeden z nich půjde vypočítat.) Typy 1 ±, 0 0, 0 Jde o limity exponenciálních funkcí, v jejichž funkčním předpisu je nekonstatní funkce jak v základu, tak v exponentu. Tyto výrazy převedeme na výrazy s konstantním základem e podle vzorce: A B ln AB =e =e Bln A. Limituvypočtemejakolimitu složené funkce. Vnitřní funkcí je exponent B ln A, jehož limitabudetypu 0 (± ) (atudížjipopřevedenína zlomek spočteme l Hospitalovým pravidlem). Výsledek dosadíme do vnější funkce, kterou je exponenciela o základu e.

7 50 Limita posloupnosti a limita funkce Pokudmáfunkce flimituvnekonečnurovnučíslu L, neboli lim f(x)=l,pakmátaképosloupnost(f(n)) x limitu(vnekonečnu)rovnu L,nebolilimf(n)=L Extrémy na množině, globální extrémy Budeme uvažovat funkci f definovanou namnožině Mabod cztétomnožiny. Funkčníhodnotafunkce fvbodě c(neboličíslo f(c)) je maximum neboli největší hodnota funkce f vzhledem k množině M, jestliže pro všechna x Mje f(x) f(c). Říkáme,žefunkce fnabýváv bodě c svého maxima vzhledem k množině M. Číslo f(c) je minimum neboli nejmenší hodnota funkce f vzhledem k množině M, jestliže pro všechna x Mje f(x) f(c). Říkáme,žefunkce fnabýváv bodě c svého minima vzhledem k množině M. Extrém je maximum nebo minimum. Pokud není specifikována množina M, uvažujeme celý definiční obor funkce a hovoříme o globálních extrémech funkce.

8 51 Nutná podmínka extrému uvnitř množiny Je-li ve vnitřním bodě c množiny extrém (vzhledemktétomnožině)funkce,kterámávbodě c derivaci, (je tečna nutně v tomto bodě rovnoběžná s osou x,atudíž)jenutněderivacevtomtoboděnulová. Poznámka: Nulováhodnotaderivacejenutnou,ne však postačující podmínkou pro extrém. Extrémy na uzavřeném intervalu Weierstrassova věta: Funkce, která je na uzavřeném intervalu spojitá, má na tomto intervalu maximum i minimum(vzhledem k tomuto intervalu). Podezřelé body Body, ve kterých mohou nastat extrémy, nazýváme body podezřelé z extrému. Pro uzavřený interval jsou to tedy body: I) krajní body daného intervalu, II) body intervalu, v nichž neexistuje vlastní derivace, III) body intervalu, ve kterých je derivace nulová.

9 52 Postup stanovení extrémů spojité funkce na uzavřeném intervalu 1. krok: Stanovení bodů podezřelých z extrému: I., II., III. skupina. 2. krok: Stanovení funkčních hodnot ve všech podezřelých bodech. 3. krok: Největší z vypočtených funkčních hodnot je maximum, nejmenší je minimum dané funkce na daném uzavřeném intervalu. Extrémy na libovolném intervalu 1. krok: Stanovení podezřelých bodů: I.(jen body náležející intervalu), II., III. skupina. 2. krok: Stanovení funkčních hodnot ve všech podezřelých bodech. 3. krok: Výpočet limit funkce v krajních bodech, ktere nepatří do intervalu. 4. krok: Výběrnejvětšíanejmenšíhodnotyzvypočtených funkčních hodnot a limit. Pokud je vybraná největší(nejmenší) hodnota funkční hodnotou v nějakém bodě intervalu, jedná se o maximum(minimum). Je-li vybrána pouze z vypočtených limit, maximum(minimum) funkce vzhledem k intervalu neexistuje.

10 3.6. Vliv 1. derivace na průběh funkce, monotonie funkce, lokální extrémy Pomocí znaménka derivace lze určit monotonii funkce v intervalu. Vliv 1. derivace na průběh funkce Platí: Pokud je derivace funkce kladná v daném intervalu(tzn. v každém bodě tohoto intervalu), je funkce v tomto intervalu rostoucí. Pokud je derivace funkce záporná v daném intervalu, je funkce v tomto intervalu klesající. Poznámka:Je-lifunkce,kterájerostoucívintervalu (a, b),navícspojitávintervalu a, b),resp.v(a, b,resp. v a, b,jerostoucívcelémintervalu a, b),resp.v(a, b, resp. v a, b. Analogické pravidlo platí pro funkce klesající v daném intervalu. Poznámka: Připomeňme,ževšechnyfunkcevtéto kapitole jsou elementární, tudíž spojité v každém intervalu svého definičního oboru. Krajní body lze pak přidat do intervalů monotonie, jakmile je v nich funkce definovaná. 53

11 54 Lokální extrémy Funkcemávbodě c lokální maximum(minimum), má-li tam maximum (minimum) vzhledem k nějakému okolí bodu c. Funkce musí být na příslušném okolí bodu c definovaná. Je tedy bod c určitě vnitřním bodem definičního oboru funkce. Nutná podmínka lokálního extrému Má-lifunkcevbodě c,vekterémmáderivaci,lokální extrém, pak je derivace funkce v bodě c nulová. Poznámka: Nulováhodnotaderivacejenutnou,ne však postačující podmínkou pro lokální extrém. Platí: Je-li spojitá funkce v nějakém intervalu vlevo od bodu c rostoucí a v nějakém intervalu vpravo klesající, musíbýtvbodě clokálnímaximum,pokudjefunkce vlevo klesající a vpravo rostoucí, je tam lokální minimum.

12 Vliv 2. derivace na průběh funkce, konvexita a konkavita funkce, inflexe Zderivujeme-liderivacifunkce fnebolifunkci f, získáme2.derivacifunkce f,značímeji f. Uvažujme funkci definovanou v intervalu I. Na jejím grafuzvolmedvabodyaveďmejimisečnu. Pokudpro každédvabodynagrafujeúsečkameziniminadgrafem funkce, nazýváme funkci konvexní v intervalu I, pokud je každá taková úsečka pod grafem, nazýváme funkci konkávní v intervalu I. Není-li specifikován interval I, máme na mysli celý definiční obor funkce. Platí: Pokud je 2. derivace funkce kladná(záporná) v daném intervalu, je funkce v tomto intervalu konvexní (konkávní). Poznámka: Je-lifunkce,kterájekonvexnívintervalu(a, b),navícspojitávintervalu a, b),resp.v(a, b, resp.v a, b,jekonvexnívcelémintervalu a, b),resp. v(a, b,resp. v a, b. Analogicképravidloplatípro funkce konkávní v daném intervalu. Poznámka: Všechnyfunkcevtétokapitolejsouelementární, tudíž spojité v celém svém definičním oboru. Krajní body lze pak přidat do intervalů konvexity či konkavity, jakmile je v nich funkce definovaná.

13 56 Inflexe Pokudvnějakémbodě c,vekterémjefunkcespojitá amávněmderivaci,dojdekezměněkonvexnífunkce vkonkávní,nebonaopak,říkáme,ževbodě cnastává inflexe funkce. Bod c nebo[c; f(c)] nazýváme inflexním bodem funkce Průběh funkce Vyšetřit průběh funkce znamená 1) určit definiční obor funkce, 2) vypočítat limity v krajních bodech def. oboru, 3) určit nulové body a znaménka funkce(tím určíme, vekterýchintervalechjegrafnadapodosou x), 4) vypočítat vzorec pro 1. derivaci funkce a její znaménka(tím určíme intervaly monotonie funkce a z nich lokální extrémy), 5) vypočítat vzorec pro 2. derivaci funkce a její znaménka(tím určíme intervaly konvexity a konkavity funkceaznichinflexníbody), 6) načrtnout graf funkce.