4. kapitola: Dvojbrany - rozdělení, rovnice (modely)

Transkript

1 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 4. kpitol: Dvojbrny - rozdělení, rovnice (modely) Čs ke studiu: 4 hodiny íl: Po prostudování této kpitoly budete umět používt šipkovou konvenci dvojbrnů umět je klsifikovt. určit prmetry lineárních dvojbrnů ze stvů nprázdno nkrátko. přiřdit ekvivlentní obvodové modely k rovnicím dvojbrnu. zdůvodnit zvedení rozptylových prmetrů určit vzth mezi jednotlivými typy prmetrů dvojbrnu Výkld. Úvod (zákldní úvhy terminologie) V prxi se velmi čsto vyskytují obvody (části obvodů, prvky obvodů), které jsou k jiným částem obvodů připojeny dvěm dvojicemi svorek - dvěm brnmi. Přitom ni není důležité, jk jsou tyto obvody "uvnitř" složité - vnitřní poměry nás vlstně vůbec nezjímjí, pokud umíme jednoznčně definovt funkční závislosti mezi obvodovými veličinmi brn. Hovoříme o dvojbrnu tento dvojbrnový přístup může velmi zefektivnit teoretickou nlýzu elektrických obvodů, význmně klesá počet rovnic nutný k modelování obvodu. Bývá zvykem oznčovt jednu bránu jko bránu vstupní druhou bránu jko bránu výstupní. Vhodnější je všk si hovořit o bráně bráně, protože obecně nemusí být vždy zcel jisté, která bude vlstně vstupem která výstupem. ákldní konvence "brnových" veličin je uveden n obr.. Jedná se o konvenci spotřebičovou. - Kldný součet činných výkonů brány brány tk předstvuje spotřebu energie dvojbrnem - jedná se o dvojbrn psívní. - áporný součet činných výkonů brány brány tk předstvuje dodávání energie z dvojbrnu do okolního obvod - jedná se o dvojbrn ktivní. - Nulový součet činných výkonů brány brány předstvuje hrniční stv, energetická bilnce je vyvážená - jedná se o dvojbrn bezeztrátový. Î Î Î Î DVOJBRN Û Î Û Obr.. Šipková konvence brnových veličin (spotřebičová)

2 Punčochář, J: EO; 4. kpitol Tk je vymezeno i jedno důležité hledisko pro klsifikci dvojbrnů - podle energetické bilnce dvojbrnu. Budeme zkoumt situci pro lineární obvody v ustáleném hrmonickém stvu, tedy budeme prcovt s pojmem dmitnce, impednce (přechod k Lplceovým obrzům pro nulové počáteční podmínky je zřejmý). Velmi důležité je zřzení dvojbrnu mezi dvojbrny lineární (klsifikce "podle linerity"). Při řešení lineárních dvojbrnů lze využívt principu superpozice tím i jednoduché mticové modely dvojbrnů. nmená to, že žádný prmetr popisující dvojbrn nesmí být funkcí brnových veličin. Jen tk lze používt pro určování prmetrů "jednoduchých" stvů nprázdno nkrátko - jk bude uvedeno dále. Podmínk lineárnosti je v prxi většinou splněn jen v jistém okolí tzv. prcovního bodu. Obshuje-li dvojbrn nezávislý zdroj energie, může tedy dodávt trvle činný výkon (energii), nzývá se utonomní. Proti tomu máme dvojbrny (či spíše jejich modely) neutonomní - obshují psívní prvky řízené zdroje, neobshují všk nezávislý zdroj energie. Tuto skupinu dvojbrnů je vhodné lépe specifikovt. Řízenými zdroji se modelují elektronky, trnzistory, operční zesilovče, jiné zesilující struktury - dvojbrn povžujeme v tomto smyslu z ktivní. Ve skutečnosti všk použité modely pltí pouze ve vhodných prcovních bodech zesilujících struktur - ty mohou nstvit (zjistit) pouze nezávislé zdroje. Řízené zdroje tk jen popisují (modelují) distribuci energie ze zdroje nezávislého, který se již v modelech (schémtech) většinou nekreslí. Kždý utonomní dvojbrn lze v tomto smyslu popst pomocí neutonomního dvojbrnu nezávislého zdroje. obr. je zřejmé, že k popisu dvojbrnu máme čtyři veličiny, dvě brnová npětí dv brnové proudy. Budeme vytvářet (hledt) funkční závislosti dvou veličin (závislých) n dvou veličinách nezávislých. Dvě nezávislé veličiny ze čtyř možností lze vybrt právě 4 6 způsoby (kombince). Existuje proto právě 6 možností jk dvojbrn popst. Je zřejmé, že mezi těmito popisy musí být jednoznčné vzthy, protože nlýz obvodů musí být vždy jednoznčná. Vlstnosti dného dvojbrnu jsou jednoznčně definovány kterýmkoliv popisem. Pro dlší úvhy je důležitá elementární skutečnost plynoucí z poměrů n obr.. Jistě pltí, že (Ohmův zákon - zobecněný tvr) () ztěžovcí impednce popsná veličinmi brány je tedy "se znménkem záporným". Dále se budeme zbývt popisem (modely) neutonomních lineárních dvojbrnů v ustáleném hrmonickém režimu.. Rovnice (mtemtické modely) obvodové modely dvojbrnů Postupnou volbou dvojic nezávisle proměnných získáme šest modelů dvojbrnu. de je důležité poznment, že i smotné seřzení (pořdí) proměnných veličin předstvuje již

3 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 3 konvenci. Při studiu z různých zdrojů je nutné velmi pečlivě tuto konvenci porovnávt, protože formálně stejné prmetry ("písmen") mohou v kždém zdroji znment něco úplně jiného. Doporučuji dodržovt konvenci používnou v [Mikulec, M.; Hvlíček,V.:ákldy teorie elektrických obvodů. Skriptum ČVT Prh998] v tomto textu. Konvence používná v [Myer, D.: Úvod do teorie elektrických obvodů. SNTL/LF, Prh 98] se dnes již nepoužívá - je třeb studovt velmi optrně... mpednční modely (chrkteristiky) nezávisle proměnné veličiny volíme brnové proudy. ávisle proměnné veličiny jsou potom brnová npětí, která (díky lineritě) můžeme popst jko lineární kombinci proudů: ; () což můžeme zpst ve tvru mticovém: (3) Je zřejmé, že rozměrem prmetrů impednční mtice [ ] (4) je [Ω]. Touto mticí je dvojbrn jednoznčně chrkterizován. Všechny prmetry impednční mtice můžeme sndno určit ze stvů nprázdno - viz znázornění poměrů n obr. (budíme zdroji proudu do ptřičné brány, ideální voltmetr předstvuje nekonečně velkou impednci - tedy rozpojený obvod, odpovídjící proud je nulový). VOLTMETR VOLTMETR Î Û Û Û Û Î VOLTMETR VOLTMETR Î Û Û Û Û Î Obr.. Princip určován impednčních chrkteristik dvojbrnu (prvků impednční mtice) ze stvů nprázdno.

4 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 4 rovnic () sndno určíme: vstupní impednci (nprázdno) přenosovou impednci (nprázdno) přenosovou impednci (nprázdno) výstupní impednci (nprázdno) (5) (6) (7) (8) Rovnicím () - mtemtický model - ovšem můžeme sndno přiřdit i obvodový model n obr.3 (který je zcel nezávislý n skutečném fyzickém uspořádání dvojbrnu). Vyjdeme z. Kirchhoffov zákon. Pokud si uvědomíme, že ideální zdroje npětí (řízené brnovými proudy) nejsou ovlivněny protékjícími proudy, je pltnost rovnic () očividná. Î Î Û Û Obr.3.Obvodový impednční model dvojbrnu. Je zřejmé, že obecný dvojbrn je definován (chrkterizován) čtyřmi různými nezávislými prmetry. Je-li dvojbrn složen pouze z psívních prvků, musí být jeho impednční popis symetrický okolo hlvní digonály, protože psivní obvod je vždy reciproký - musí zřejmě pltit, že. Reciproký dvojbrn je tedy definován pouze třemi nezávislými prmetry. Existuje i skupin reciprokých dvojbrnů, u nichž se obvodové poměry nezmění záměnou vstupu výstupu - jedná se o dvojbrny souměrné. To může pltit pouze tehdy, jsou-li

5 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 5 shodné prmetry. Souměrné (reciproké) dvojbrny jsou chrkterizovány pouze dvěm nezávislými prmetry... dmitnční modely (chrkteristiky) nezávisle proměnné veličiny volíme brnová npětí. ávisle proměnné veličiny jsou potom brnové proudy, které (díky lineritě) můžeme popst jko lineární kombinci npětí: Y Y ; Y Y Odpovídjící zápis pomocí dmitnční mtice má tvr (9) Y Y Y Y () prmetry (chrkteristiky dvojbrnu) mjí rozměr [S]. Všechny prmetry impednční mtice můžeme sndno určit ze stvů nkrátko - viz znázornění poměrů n obr.4 (dvojbrn budíme zdroji npětí n ptřičné bráně, ideální mpérmetr předstvuje nulovou impednci - tedy npětí n něm je nulové). Î MPÉRMETR MPÉRMETR Û Î Û Y MPÉRMETR Y Î MPÉRMETR Û Î Û Y Y Obr.4. Princip určován dmitnčních chrkteristik dvojbrnu (prvků dmitnční mtice) ze stvů nkrátko.

6 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 6 rovnic (9) sndno určíme: vstupní dmitnci (nkrátko) přenosovou dmitnci (nkrátko) přenosovou dmitnci (nkrátko) výstupní dmitnci (nkrátko) Y () Y () Y (3) Y (4) Rovnicím (9) můžeme i zde sndno přiřdit obvodový model - obr.5 (který je opět nezávislý n skutečném fyzickém uspořádání dvojbrnu). Vyjdeme z. Kirchhoffov zákon. Pokud si uvědomíme, že ideální zdroje proudu Y Y (řízené brnovými npětími) nejsou ovlivněny přiloženými npětími, je pltnost rovnic (9) zřejmá. Î Y Y Î Y Y Û Obr.5. Obvodový dmitnční model dvojbrnu. Obecný dvojbrn je opět definován (chrkterizován) čtyřmi různými nezávislými prmetry. Je-li dvojbrn reciproký, musí být jeho dmitnční popis symetrický okolo hlvní digonály - musí zřejmě pltit, že Y Y. Reciproký dvojbrn je tedy definován pouze třemi nezávislými prmetry. Je-li reciproký souměrný musí pltit Y Y. Souměrné (reciproké) dvojbrny jsou chrkterizovány pouze dvěm nezávislými prmetry (viz impednční model).

7 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 7.3. Smíšené modely (chrkteristiky) Dlší dvě volby nezávislých prmetrů vedou k výběru jedné veličiny vstupní jedné veličiny výstupní - proto smíšené. Smíšený sériově prlelní model Sériově prlelní model ) proto, že je vhodný při řešení obvodů, kde jsou vstupy (brány ) dvojbrnů řzeny sériově, výstupy (brány ) dvojbrnů prlelně. Potom je vhodná tková volb proměnných, by řzení prvků v obvodu brány bylo sériové, jko je tomu n obr.3 by řzení prvků v obvodu brány bylo prlelní, jko je tomu n obr Pozn.) tohoto hledisk by bylo systémově správné oznčovt impednční popis jko sériově sériový model dmitnční popis oznčovt jko prlelně prlelní model Toho dosáhneme tím, že z nezávisle proměnné veličiny volíme proud brány npětí brány. Mticový zápis má potom tvr H H H H (5) Význm jednotlivých prvků mtice ( jejich rozměr) nyní určujeme ze stvů nprázdno nkrátko, nlogicky dříve uvedeným postupům. Pltí H ; H ; H ; H (6) Tké "smíšený" obvodový model n obr.6 sestvíme pomocí již uvedených postupů, plikcí. Kirchhoffov zákon n první řádek vzthu (5). Kirchhoffov zákon n druhý řádek vthu (5). Î Ĥ Î Û Ĥ Û Ĥ Ĥ Î Û Obr.6. Obvodový sériově prlelní model. Smíšený prlelně sériový model Je vhodný pro řešení obvodů, kde jsou brány řzeny prlelně brány sériově. Proti předchozí situci se pouze změní poždvky n řzení prvků v obvodech jednotlivých brn. Potřebné struktury dosáhneme tk, že z nezávisle proměnné volíme npětí brány proud brány. Tomu odpovídá mtemtický model

8 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 8 K K K K (7) e stvů nprázdno nkrátko určíme, že K ; K ; K ; K (8) Rozměry jednotlivých prvků mtice jsou zřejmé. Odpovídjící model obvodový je n obr.7. Î K K Î K Û K Obr.7. Obvodový prlelně sériový model. Obecný dvojbrn je vždy definován čtyřmi nezávislými prmetry. Podmínku reciprocity souměrnosti budeme zkoumt v souvislosti se zkoumáním vzthů mezi jednotlivými popisy..4. Kskádní zpětně kskádní modely (chrkteristiky) Kskádní model nezávisle proměnné veličiny volíme npětí proud brány. Je to výhodné tehdy, řdíme-li dvojbrny kskádně - to znmená, že propojujeme vždy bránu s brnou následujícího dvojbrnu nebo v přípdě, kdy je brán ztížen psívním dvojpólem. koumáme přenos signálu od brány k bráně. Při dodržení jednotné šipkové konvence "npříč" dvojbrny to potom vede k volbě mtemtického popisu (konvence), který je: (9) Právě konvence vyznčená "čárkovným" proudem Î je používán v celé klsické litertuře. Volbou znménk mínus u proudu "nečárkovného" se tk vůbec nic nezměnilo n definici kskádních chrkteristik dvojbrnu. Jednotlivé prvky mtice ( jejich rozměr) opět vyplývjí ze stvů nprázdno nkrátko: ; ; ; ()

9 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 9 Příkld. rčete kskádní modely jednoduchých dvojbrnů n obr.8 Řešení: dvojbrn Pro Î pltí v tomto jednoduchém přípdě, že (n impednci nevznikne úbytek npětí) dále, proto ; Pro pltí. Proto / ; Pro dvojbrn tk dostáváme mtemtický model (kskádní). dvojbrn b Pro Î pltí, že. Pro pltí, že. Proto ; lim ; ; lim Pro dvojbrn b tk získáváme kskádní mtici b. Î Î Î Î Û Û () (b) (c) Obr.8. Jednoduché dvojbrny k příkldu.

10 Punčochář, J: EO; 4. kpitol dvojbrn c Pro Î pltí / Y. Pro pltí, že. Proto Y ; lim ; Y ; lim Tomu odpovídá kskádní model b Y KONE PŘÍKLD pětně kskádní model Tento model (poslední možnost ze šesti modelů) je výhodný při zkoumání přenosu signálu od brány k bráně. Nezávisle proměnné jsou veličiny brány. To vede k mtemtickému modelu (viz obr.) B B B B B B B B () Pro proud vstupní brány ("s čárkou" "bez čárky") pltí úvh nlogická úvze pro kskádní model. Sndno určíme význm jednotlivých prvků modelu: B ; B ; B ; B () 3. Vzájemné vzthy mezi chrkteristikmi dvojbrnů Kždý dvojbrn je jednoznčně chrkterizován libovolným ze šesti uvedených modelů. Kždý model je všk výhodný pro řešení jiné obvodové situce, jk se ukáže při nlýze různých zpojení dvojbrnů. Proto je výhodné znát vzájemné vzthy (přepočty, trnsformce) mezi jednotlivými chrkteristikmi, bychom si mohli kterýkoliv model "dopočítt" z modelu, který známe. K těmto vzthům se sndno doprcujeme formálními úprvmi příslušných mtemtických modelů - jejich lineárními trnsformcemi. Problém objsníme n několik příkldech. Převodní tbulk je k dispozici npř. v [Mikulec, M.; Hvlíček,V.:ákldy teorie elektrických obvodů. Skriptum ČVT Prh998].

11 Punčochář, J: EO; 4. kpitol mitnční modely pišme si vzth (3) ve formální podobě Pltí tedy i Násobíme-li obě strny rovnice inverzní impednční mticí zlev, dostáváme Součin inverzní mtice "původní" mtice se ovšem rovná jednotkové mtici, tkže pltí (3) Srovnáním vzthu (3) se vzthem () sndno zjistíme, že pltí Obdobně určíme, že Y (4) Y (5) Pro dvojbrny prostě pltí, že Y Y tedy impednční dmitnční mtice jsou nvzájem inverzní. Lze tk určit, že pltí Y Y Y Y Y Y Y Y (6) kde Y je determinnt dmitnční mtice.

12 Punčochář, J: EO; 4. kpitol Pro "opčný" převod jen stčí změnit (duálně) symboly Y, jk je zřejmé z "formlismu" řešení. mitnční modely určené z modelu kskádního K dispozici máme popis vyjádřený vzthem (9), cílem je získt popis definovný vzthem (3) - tedy i vzthy (). druhého řádku vzthu (9) určíme, že / / (7) Srovnáním s druhým řádkem vzthu (3) určíme přímo, že musí pltit / ; / (8) Nyní již můžeme uprvovt první rovnici (řádek) vzthu (9), z dosdíme ze vzthu (7): / / (8) / / Srovnáním s první rovnicí vzthu (3) určíme, že musí pltit: / ; / / (9) Vzthy (8) (9) definují impednční mtici dvojbrnu pomocí prmetrů mtice kskádní. prvíme-li první řádek vzthu (9) do podoby / / tento výsledek dosdíme do druhé rovnice vzthu (9) uprvíme do podoby / / můžeme srovnání se vzthy (9) nebo () určit prmetry dmitnční mtice vyjádřené pomocí prmetrů kskádní mtice: Y / ; Y / ; Y / ; Y / (3) Stejným "uprvovcím" postupem bychom mohli postupovt u impednčních modelů, výsledek musí být, pochopitelně, shodný se vzthem (6). náme-li trnsformční vzthy pro kskádní model imitnční modely, můžeme vyšetřit podmínku reciprocity - její "projev" v kskádním popisu. Musí pltit, že, tedy

13 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 3 / / Pro reciproký obvod proto musí pltit, že determinnt mtice je roven jedné: (3) Stejně ovšem musí pltit, že Y Y, tedy / /. Opět dostneme podmínku vyjádřenou vzthem (3). To je tké nprosto v pořádku, protože je-li obvod reciproký, musí být shodná podmínk dodržen "přes" všechny modely. Je-li dvojbrn i podélně souměrný, musí pltit, že, Y Y. Pro kskádní popis potom musí pltit: / / nebo Y / Y /, což vede ke stejnému závěru (3) Je zřejmé, že shor uvedené prmetry vycházejí ze stvů nkrátko nprázdno. Stv nkrátko lze ovšem v oblsti vysokých frekvencí(nd 3 MHz) splnit jen s obtížemi (vedení!!!). Proto byl zveden nová soustv prmetrů rozptylové prmetry, s prmetry (Scttering Prmeters) Rozptylové prmetry Obr. 5.6 pojení pro stnovení rozptylových prmetrů trnzistoru b s s b s s ; - dopdjící npěťové vlny normovné (vztžené) vůči vlnové impednci vedení b ;b - održené npěťové vlny normovné (vztžené) vůči vlnové impednci vedení

14 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 4 s b vstupní npěťový činitel odrzu při (přizpůsobené vedení n výstupu) s b vložné npěťové zesílení ve zpětném směru při (přizpůsobené vedení u generátoru) G s b vložné npěťové zesílení v přímém směru při s b výstupní npěťový činitel odrzu při G Rozptylové prmetry trnzistoru jsou bezrozměrná komplexní čísl závislá n prcovním bodě trnzistoru, kmitočtu, teplotě n chrkteristické impednci vedení. Obvykle Prmetry s s jsou činitelé odrzu. Jejich modul nbývá hodnot v rozmezí ž. Modul prmetru s bývá menší než,. Modul prmetru s bývá větší než (do cc 3). teorie vedení (odrzy n vedení, telegrfní rovnice) lze určit, že ( )/ ; ( )/ DOP c OD c ( )/ ; ( )/ DOP c Normováním obdržíme: b b DOP OD c ( c )/( ) ( c )/( ) ( c )/( ) ( )/( ) OD DOP DOP těchto vzthů lze sndno odvodit, že c 5Ω G

15 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 5 ( ) ( ) b b ; ( ) ( ) b b / ; / Je zřejmé, že musíme vždy uvádět (obvykle ovšem 5 Ω) Žlud, str. 33 ž Odvození: N obr. 5.6: - vstupní npětí n vstupní bráně trnzistoru Î - vstupní proud do vstupní brány trnzistoru ( ) ( ) / ρ DOP DOP OD DOP OD DOP ρ je činitel odrzu n vstupní bráně. Víme, že pltí DOP OD / ρ kde je vstupní impednce dvojbrnu je vlnová impednce přívodního vedení. Jistě musí pltit, že ( ) ρ DOP Nyní ( ) ( ) ( ) DOP ρ Nyní ( ) ( ) DOP OD nlogicky získáme vzthy uvedené pro druhou bránu.

16 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 6 Text k prostudování [] Žlud, V.: Moderní rdioelektronik, BEN - technická litertur Prh, SBN Mikulec, M.; Hvlíček,V.:ákldy teorie elektrických obvodů. Skriptum ČVT Prh998; podkpitol Dlší studijní texty Otázky Pro ověření, že jste dobře úplně látku kpitoly zvládli, máte k dispozici několik teoretických otázek.. o je to dvojbrn?. Kolik je možných klsických popisů dvojbrnu (různých typů prmetrů jko funkce brnových npětí brnových proudů)? 3. o se rozumí stvem nprázdno nkrátko (lze tuto metodiku popisu použít i u nelineárních obvodů? 4. Proč se pro frekvence nd cc 3 MHz zvádějí rozptylové prmetry? 5. Existuje jednoznčná souvislost mezi s prmetry osttními prmetry? Odpovědi nleznete v části "Výkld" v uvedené litertuře Úlohy k řešení. (3xbod) Při běžné šipkové konvenci je 5 V,, : ) V,, ; b) V, -,5 ; c) V, -,3 ; posuďte situce z hledisk psivity ktivity dvojbrnu.. (3xbody) rčete kskádní prmetry dvojbrnů (), (b), (c). Î Î Î Î Û Û () (b) (c) Obrázek k úkolu

17 Punčochář, J: EO; 4. kpitol 7 3. (celkem 6 bodů) Nkreslete ekvivlentní model dvojbrnu n zákldě sérioprelelních rovnic (3 body); definujte prmetry Ĥ (3 body). 4. ( 5 bodů) rčete impednční mtici odpovídjící kskádní mtici z úkolu č.4 (lineární trnsformcí). Klíč k řešení. Při spotřebičové orientci je výkon dodávný do obvodu určen vzthem P. Pro P > se jedná o obvod psivní, pro P bezeztrátový pro P < o obvod ktivní. Vždy pltí 5.,,5 W. Dále ) P,5.,,9 W - psivní dvojbrn; b) P,5.(-,5) W - bezeztrátový dvojbrn; c) P,5.(-,3) -, W - ktivní dvojbrn.. Situce je shrnut v tbulce. Konvence je vyznčen u dvojbrnu (). DVOJBRN () (b) (c) ( ) ( ) Û Û ( ) Ŷ Â Î Î (Û ) 3. Sérioprlelní rovnice mjí tvr Û ĤÎ ĤÛ ; Î Ĥ Î Ĥ Û. Tomu odpovídá ekvivlentní model n obrázku. Î Û Ĥ Ĥ Û Dále můžeme z rovnic určit, že Ĥ Û / Î( Û ) - vstupní impednce; Û / Û ( Î ) zpětný npěťový přenos; Ĥ Î / Î ( Û ) - proudový přenos; Ĥ Î / Û ( Î ) - výstupní dmitnce. Î Ĥ Ĥ Î Ĥ - 4. Pro kskádní řzení (zpojení je regulární) násobíme kskádní mtice, zde v pořdí ()x(b)x(c) - jednotkovou mtici lze při násobení vynecht: [ ] Y Y Y Û Ekvivlentní model sérioprlelních rovnic TOKONTROL