Funkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D

Transkript

1 Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí obor ukce ukci proimujte prvími dvěm eulovými čley Tylorovy řdy v počátku určete chybu proimce jedím čleem řdy pro = 5.4 = 5m.. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí obor ukce určete ukci s() D oblouku řetězovky ukci s proimujte prvími dvěm eulovými čley Tylorovy řdy v počátku porovejte chybu proimce jedím čleem řdy s hodotou ukce s pro = 5.4 =.. Kovové pásmo píé obou kocích se prověsí do řetězovky ( ) = cosh >. Určete ukci s() D oblouku řetězovky její proimci prvími dvěm eulovými čley Tylorovy řdy v počátku tuto proimci porovejte s délkou prboly která proimuje řetězovku (prví dv čley Tylorovy řdy řetězovky). 4. Itegrál cosd S = b λ pro obsh čtyřúhelíku zploštělém rotčím ( e si ) elipsoidu substitucí převeďte itegrál rcioálí ukce kterou hrďte biomickou řdou itegrujte zpětě substituujte. Určete tk by pro e = 67 rovoběžkový pás pk obsh S. o o b = 656 8km byl rozdíl S + S <. Vypočítejte l d 5. Dob kyvu mtemtického kyvdl je dá itegrálem T = g k si kde l je délk kyvdl g je tíhové zrychleí k = siα / α je úhel svislé krjí polohy kyvdl. Ircioálí ukci hrďte ukčí řdou. Při itegrci použijte vzorec π / si 5 L d =! ormálí tíhové zrychleí ( ) π g = 9.8ms byl rozdíl π /. Určete tk by pro l = m T 4 + T <. Určete T. o α = 9

2 6. Určete ukci s ( ) oblouku meridiáu ( ψ ) [ cosψ bsiψ ] X = rotčího elipsoidu kde ψ π / π / je reduková šířk. V itegrálu použijte substituci b tψ = t mezi redukovou geodetickou šířkou. Z ukce vyloučeím kosiu doszeím e = ( b )/ dostete. geodetickou ukci kterou hrďte ukčí řdou. Pro výpočet délky jedoho kvdrtu eliptického meridiáu použijte vzorec π / si 5 L d =! WGS 84 byl rozdíl s + s <. ( ) π. Určete tk by pro elipsoid 7. Itezit grvitčího pole kulové vrstvy kterou se hrzuje odlehlost H geoidu od GM Země v bodě jejím povrchu je E = ( R + H ) kde H H M = 4R πσ H + + R R je hmotost vrstvy s kosttí hustotou σ R je poloměr Země. Itezitu E vyjádřete jko součet dvou mociých řd proměé H / R < (řdy sečtěte!). Ve výpočtech se pk berou prví tři čley řdy. 8. Pro vytyčováí podrobých bodů kružicového oblouku pomocí ortogoálích souřdic od tečy volte krtézskou soustvu souřdic tk že os je teč os y ormál kružice poloměru R. Pro rovoměré vytyčeí bodů volte středové úhly L od osy y. Fukce sius kosius ve vyjádřeí souřdic vytyčových bodů proimujte kvdrtickými polyomy úhlů. Pro jké úhly při měřeí v metrech bude chyb cetimetr? 9. Pro vzdáleosti do 6 km se oblouk geodetiky mezi body P P reerečím elipsoidu hrzuje kružicovým obloukem poloměru R. Vyjádřete kružicový oblouk s jko ukci tětivy t = P P. Potom ukci s vyjádřete Tylorovou řdou určete postčující počet jejích čleů by chyb byl meší ež cm.. Klotoid je křivk jejíž křivost od ileího bodu roste úměrě s délkou s oblouku.využívá se v siličím stvitelství jko přechodice z pohybu rovoměrého přímočrého pohyb rovoměrý kruhový. Její prmetrické s s t t vyjádřeí je ( s) = cos dt y( s) = si dt kde kostt je prmetr určující její poměrou velikost. Itegrály v prmetrickém vyjádřeí klotoidy se zývjí Freselovy itegrály. Pro jejich výpočet použijeme rozvoje do mociých řd. Pro poloměr oblouku R = m délku oblouku s = m je = m. Pro = určete chybu souřdic.

3 . Klotoid je křivk jejíž křivost od ileího bodu roste úměrě s délkou s oblouku.využívá se v siličím stvitelství jko přechodice z pohybu rovoměrého přímočrého pohyb rovoměrý kruhový. Její prmetrické cos si vyjádřeí je ( ) = d y ( ) = d kde prmetr je odchylk tečy klotoidy od osy kostt je prmetr určující její poměrou velikost. Rovice převeďte substitucí = s / prmetrické vyjádřeí klotoidy pomocí oblouku s. Pro poloměr oblouku R = m délku oblouku s = m je = m. Pro = určete chybu souřdic.. Pro vytyčováí prbolického oblouku = y (vrstevice klembových přehrd) je třeb určit poloměr křivosti v libovolém bodě délku oblouku. Poloměr křivosti vyjádřete pomocí poloměru křivosti R = ve vrcholu prboly. Oblouk hrďte Tylorovou řdou pro y / R určete chybu proimce dvěm čley.. Logritmická spirál (výpusť z přehrdy) v polárích souřdicích ρ má rovici ρ = e tj. její prmetrizce je ( ) e ( cossi) =. Určete úhel rdiusvektoru tečého vektoru bodu spirály poloměr křivosti R( ) ( ) = ' ( t) s dt oblouku spirály její Tylorovu řdu. ' ( ) ( ) ' '( ) = ukci ' 4. Pro Beroulliovu lemiskátu ( + y ) = ( y ) > toky) určete rovici ( ) (přechodice pro vodí ρ = ρ v polárích souřdicích její deiičí obor prmetrizci polárími souřdicemi poloměr křivosti ( ) ukci ( ) = ' ( t) ( ρ' + ρ ) R = ρ' ρρ' ' + ρ s dt < π / 4 oblouku lemiskáty její proimci dvěm prvími eulovými čley Tylorovy řdy v počátku. 5. Pro Beroulliovu lemiskátu ( ) = > + y y určete: rovici ρ = ρ( ) v polárích souřdicích její deiičí obor prmetrizci polárími souřdicemi ( ρ' + ρ ) poloměr křivosti R ( ) = ukci s ( ) = ' ( t) dt > ρ' ρρ' ' + ρ π / 4 oblouku lemiskáty její proimci dvěm prvími eulovými čley Tylorovy řdy v bodě π / 4.

4 4 5 = kde R je poloměr křivosti L je délk přechodice. V bodě = L určete Tylorovu řdu ukce. V bodě L určete křivost přechodice její vyjádřeí Tylorovou řdou. Určete chybu proimce křivosti prvím čleem řdy. Určete proimci ukce s ( L) oblouku přechodice dvěm čley řdy. 6. Blossov přechodice je dá rovicí ( ) R 4L L L L π = si kde R 6LR 4Rπ π L je poloměr křivosti L je délk přechodice. V bodě = L určete Tylorovu řdu ukce. V bodě L určete křivost přechodice její vyjádřeí Tylorovou řdou. Určete chybu proimce křivosti prvím čleem řdy. Určete proimci ukce s L oblouku přechodice dvěm čley řdy. 7. Kleiov přechodice je dá rovicí ( ) ( ) L π = + cos kde R je 8. Kosiusová přechodice je dá rovicí ( ) R π L poloměr křivosti L je délk přechodice. V bodě = L určete Tylorovu řdu ukce. V bodě L určete křivost přechodice její vyjádřeí Tylorovou řdou. Určete chybu proimce křivosti prvím čleem řdy. Určete proimci ukce s L oblouku přechodice dvěm čley řdy. ( ) 4 = 6L R 4 L L ( ) = + + kde R je poloměr křivosti L je délk 6L R LR R 6R 48R přechodice. V bodě = L / určete Tylorovu řdu ukce. V bodě L určete křivost přechodice její vyjádřeí Tylorovou řdou. Určete chybu proimce křivosti prvím čleem řdy. Určete proimci ukce s ( L / ) oblouku přechodice dvěm čley řdy. 9. Schrmmov přechodice je slože ze dvou křivek dých rovicemi ( ). Eliptický tvr vodorových prsteců klebové přehrdy využívá klesáí křivosti elipsy od jejího hlvího vrcholu k vedlejším vrcholům (ptkám kleby). Pro jeho vytyčeí určete poloměr křivosti ukci oblouku v libovolém bodě. Z implicití rovice y elipsy + = vypočítejte v závislosti y. Pro vyjádřeí oblouku ejdříve b b uprvte itegrd ozčte e =. Pro výpočet vezměte prví čley. b

5 + b. Implicití rovici rotčího elipsoidu + = kde e = ( e ) trsormujme do sérických souřdic ρ λ potom vypočítejte poloměr. Poloměr vyjádřete řdou pro z této řdy z řdy pro e cos. Pro proimci poloměru použijte prví dv čley e.. Z bodu A reerečí kouli o poloměru R=678 km která proimuje zemské těleso je teodolitem změře bod P AP ' =. Určeme převýšeí v bodu P d povrchem. Pro =km určete chybu proimce v jedím dvěm čley řdy.. V bodě X o s tíhovým zrychleím g změříme dobu kyvu T kyvdl délky l. V bodě X změříme dobu kyvu T = T + T kde T je přírůstek doby kyvu. Tíhové π π zrychleí g v bodě X se určí z rovic: g l g T T = = řdou určete chybu proimce g prvími dvěm čley. l. Vyjádřete ho 4. Tíhové zrychleí povrchu Země (poloměru R) je g. Určete tíhové zrychleí g ve hmotém bodě vzdáleém < R od povrchu Země.Vyjádřete ho řdou určete chybu proimce dvěm prvími čley. (Tíhové zrychleí v bodě je epřímo úměré čtverci vzdáleosti bodu od středu Země.)