NUMERICKÉ METODY PRO ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "NUMERICKÉ METODY PRO ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC"

Transkript

1 NUMERICKÉ METODY PRO ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH PARCIÁLNÍCH DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC Marek Brader Jiří Egermaier Haa Kopicová Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/ ), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava a Západočeská uiverzita v Plzi

2 Marek Brader, Jiří Egermaier, Haa Kopicová Numerické metody pro řešeí evolučích parciálích difereciálích rovic c Marek Brader, Jiří Egermaier, Haa Kopicová, 2012 ISBN

3 V Plzi Marek Brader, Jiří Egermaier, Haa Kopicová iii

4 Obsah 1 Základí teoretické pozatky Příklady matematických modelů Základí defiice Rakieův-Hugoiotův vztah Skalárí lieárí rovice Riemaův problém pro skalárí lieárí rovici Soustava lieárích rovic Oblast závislosti Riemaův problém pro soustavu lieárích rovic Hugoiotovy možiy Skalárí elieárí rovice Riemaův problém pro skalárí elieárí rovici Soustavy elieárích rovic Riemaův problém pro soustavy elieárích rovic Zobecěý Riemaův problém, věta o řešeí zobecěého Riemaova problému Parabolické rovice Diferečí metody Skalárí úlohy Laxova-Friedrichsova metoda Laxova-Wedroffova metoda MacCormackova metoda Metoda typu upwid Metody pro soustavy rovic Vlastosti metod Lokálí Laxova-Friedrichsova metoda Úlohy s pravou straou Příklady k procvičeí Klíč k příkladům k procvičeí iv

5 3 Metody pro úlohy s ehladkým řešeím Nehladká data Modifikace diferečích metod Metoda umělé vazkosti Harteovo TVNI schéma Metoda koečých objemů Metody s vysokým rozlišeím Hybridí metody Metody koečých objemů založeé a rekostrukcích vyššího řádu Přibližé Riemaovy řešiče Kovergece k zobecému řešeí. Laxova-Wedroffova věta Numerické metody pro řešeí soustav parciálích difereciálích rovic hyperbolického typu Metody pro lieárí soustavy s kostatími koeficiety Metoda umělé vazkosti Harteova hybridí metoda Metody Goduovova typu Přibližé Riemaovy řešiče Numerické metody pro parabolické rovice Parabolické rovice Explicití metody Eulerova metoda Stabilita explicití metody Implicití metody Crakova-Nicolsoova metoda Theta metoda Semidiskrétí metody Metoda přímek Metoda časové diskretizace Numerické Metody štěpeí Proč štěpeí Vícedimezioálí úlohy LOD - Lokálě jedodimezioálí metody LOD-implicití Eulerova metoda LOD Crakova-Nicolsoova metoda ADI - Metody střídavých směrů Douglasova metoda Závěrečé pozámky Literatura 121 v

6 Rejstřík 123 vi

7 1 Kapitola 1 Základí teoretické pozatky Průvodce studiem Z S V V této kapitole se budeme zabývat základími teoretickými pozatky týkajícími se evolučích parciálích difereciálích rovic. Prví část kapitoly bude zaměřea a hyperbolické parciálí difereciálí rovice a jejich soustavy. Uvedeme příklady matematických modelů, které vedou a hyberbolické rovice a soustavy a hlavě zde rozebereme speciálí úlohu s espojitými počátečími podmíkami azývaou klasický Riemaův problém. Tato úloha a její řešeí bude podrobě popsáa pro růzé typy možých rovic i soustav, tj. lieárí i elieárí. Na koci této části přiblížíme tzv. zobecěý Riemaův problém, osvětlíme souvislost s klasickým Riemaovým problémem a zavedeme pojem Hugoiotových moži. Druhá část kapitoly se bude stručě věovat parabolickým evolučím rovicím, kde bude uvedea základí formulace problému, jeho řešeí a základí teoretické pozatky, potřebé pro studium umerických metod v dalších kapitolách. J Cíle Po prostudováí této kapitoly budete schopi: formulovat Riemaův problém a představit si jeho řešeí pro všechy typy rovic a soustav, porozumět pojmům potřebým k řešeí hyperbolických a parabolických rovic, jako jsou charakteristiky, pricip maxima, apod. porozumět základím teoretickým pricipům z oblasti evolučích rovic, a jejichž základě je možé porozumět i ásledým umerickým metodám a postupům. 1.1 Příklady matematických modelů Matematické modelováí růzých fyzikálích situací vychází z využití zákoů zachováí (ejčastěji hmotosti, mometu, eergie) ebo bilačích vztahů (eulové

8 2 Základí teoretické pozatky zdrojové čley). Jedím z ejobecějších modelů z oblasti modelováí prouděí je založe a Navierových-Stokesových rovicích, popisujících prouděí vazkých stlačitelých i estlačitelých tekuti. Často však eí uté používat takto obecý model, proto za jistých vhodých omezujících předpokladů lze získat modely mohem jedodušší. Je důležité v úvodu zmíit, že zákoy zachováí či bilačí vztahy jsou itegrálí rovosti, eboť uvažujeme hmotost, momet ebo eergii v určité oblasti a v určitém časovém itervalu. Častěji je však alezeme zapsaé v jedodušším difereciálím tvaru, který se často používá pouze jako reprezetace původích obecých itegrálích tvarů zákoů zachováí ebo bilací. Příkladem, jak zjedodušit Navierovy-Stokesovy rovice pro modelováí říčího prouděí korytem eměého obdélíkového průřezu v jedé dimezi jsou tzv. Sait- -Veatovy rovice (reprezetují záko zachováí hmotosti a mometovou bilaci), které v difereciálím tvaru lze zapsat ásledově h t + (hv) x = 0, (1.1) (hv) t + ( hv ) gh2 = ghb x. Fukce h(x, t) reprezetuje hledaou hloubku, v(x, t) horizotálí rychlost, q(x, t) = = hv průtok, b = b(x) je daá fukce popisující tvar da a g je tíhová kostata. Jak jsme již popsali ve skriptech [1], lze zvolit i jiý tvar koryta. Dalším modelem, velmi často využívaým v modelováí prouděí stlačitelé evazké tekutiy v jedé dimezi, jsou tzv. Eulerovy rovice (za předpokladu chemické a termodyamické rovováhy a vitří eergie je zámá fukce tlaku a hustoty), reprezetující záko zachováí hmotosti, hybosti a eergie, které opět v difereciálím tvaru zapisujeme ásledově x ρ t + (ρu) x = 0, (1.2) (ρu) t + (ρu 2 + p) x = 0, E t + (Eu + up) x = 0, kde ρ(x, t) reprezetuje hledaou hustotu plyu, u(x, t) je hledaá rychlost prouděí, E(x, t) reprezetuje hledaou hustotu celkové eergie a p(x, t) je tlak. Dále uveďme model dopravího proudu, též ozačovaý jako LWR (Lighthill, Whitham, Richards) model (více lze alézt v [9]) ( u t + [ v max 1 u ) ] u = 0, (1.3) u max kde u = u(x, t) reprezetuje hustotu aut (jde o relativí veličiu, a tudíž bezrozměrou). Kostata v max je rychlost při ulové hustotě, tj. když je prázdá silice. u max je maximálí hustota aut, tj. úplě plá silice (obvykle klademe u max = 1). Posledím modelem, který zde uvedeme je jedoduchá elieárí skalárí rovice popisujícím dopraví proud, tzv. Burgersova rovice. Zde uvedeme jedak ho- x

9 1.2 Základí defiice 3 mogeí tzv. evazkou Burgersovu rovici ( ) 1 u t + 2 u2 = 0, (1.4) kde u(x, t) reprezetuje rychlost dopravího proudu. Vazká Burgersova rovice je ehomogeí elieárí skalárí parabolicko-hyperbolická (advekčě-difúzí) rovice ásledujícího tvaru ( ) 1 u t + 2 u2 = εu xx, (1.5) kde ε popisuje viskozitu. Burgersova rovice se využívá spíše ež k modelováí fyzikálích situací, jako příklad jedoduché elieárí rovice k ilustrováí ěkterých klíčových vlastostí modelováí prouděí tekuti. 1.2 Základí defiice Na úvod pouze ve stručosti shreme základí formulaci problému a defiice klasického, slabého a etropického řešeí a dalších pojmů, které budeme potřebovat. Všechy jsou k alezeí apř. v [4] ebo v [9], ebo jsou podrobě vysvětley ve skriptech [1]. Problémy (1.1) s ulovou pravou straou (tj. rovým dem), (1.2), (1.3), (1.4) a (1.5) s ulovou pravou straou (tj. ulovou viskozitou), lze formulovat jako počátečí úlohu u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.6) u(x, 0) = u 0 (x), x R, kde u = u(x, t) : R (0, T ) R m je hledaá fukce (vektor zachovávaých veliči), u 0 = u 0 (x) : R R m a f = f(u) : R m R m jsou daé fukce. Předpokládáme, že fukce f = f(u) je dostatečě hladká. Defiice 1.1. Klasickým řešeím úlohy (1.6) azveme u(x, t) takové, že u [C(R 0, T ))] m, má všechy derivace obsažeé v rovici (1.6) spojité a R (0, T ) a splňuje všechy rovice (1.6) a R (0, T ) a počátečí podmíku a R. Defiice 1.2. Slabým řešeím úlohy (1.6) azveme u(x, t) takové, že u(x, t) [L loc (R (0, ))]m, u 0 (x) [L loc (R)]m, f(u) [C 1 (R)] m a pro libovolé φ [C0 (R 0, ))] m platí ásledující itegrálí rovost [φ t u + φ x f(u)] dxdt = φ(x, 0)u 0 (x) dx. (1.7) 0

10 4 Základí teoretické pozatky Defiice 1.3. Slabé řešeí u(x, t) úlohy (1.6) azveme etropické (často též přípusté), pokud pro libovolé φ [C 1 0(R (, T ))] m, φ 0 a pro každou kovexí a spojitou etropii E s etropickým tokem F, splňuje [φ t E(u) + φ x F (u)] dx dt + φ(x, 0)E(u 0 (x)) dx 0. (1.8) 0 Pozámka 1.4. Prostor fukcí C(X) začí možiu všech spojitých fukcí a odpovídající možiě X. Symbol [C(X)] m začí, že všech m složek vektoru leží v C(X). Prostor fukcí C0 ozačuje možiu všech fukcí, které jsou ekoěčěkrát spojitě diferecovatelé a mají kompaktí osič (tj. pro dostatečě velké x a t je φ(x, t) = 0). Prostor fukcí C0 1 je možia jedou spojitě diferecovatelých fukcí s kompaktím osičem. Prostor fukcí L loc začí možiu všech fukcí defiovaých skoro všude a Ω (tj. R (0, ) ebo R), které jsou eseciálě omezeé a všech kompaktích podmožiách Ω. Více o vlastostech a defiicích prostorů lze alézt apříklad v [8]. Defiice 1.5. Soustava elieárích parciálích difereciálích rovic (1.6) se azývá slabě hyperbolická, pokud Jacobiho matice f (u 0 ) má reálá vlastí čísla pro jakýkoliv fyzikálě relevatí stav u 0 R m. Soustava elieárích parciálích difereciálích rovic (1.6) se azývá (silě) hyperbolická, pokud Jacobiho matice f (u 0 ) je diagoalizovatelá a má reálá vlastí čísla pro jakýkoliv fyzikálě relevatí stav u 0 R m. Soustava elieárích parciálích difereciálích rovic (1.6) se azývá ryze (striktě) hyperbolická, pokud Jacobiho matice f (u 0 ) je diagoalizovatelá a má avzájem růzá reálá vlastí čísla pro jakýkoliv fyzikálě relevatí stav u 0 R m. Vlastí čísla Jacobiho matice f (u) se azývají charakteristické rychlosti, začí se λ i (u) a defiují tzv. charakteristická pole λ i. Pozámka 1.6. Gradiet vlastích čísel (tj. charakteristických rychlostí) je dá [ λi λ i (u) =,..., λ ] T i. u 1 u m Vektor r i (u) začí vlastí vektory (přesěji pravé vlastí vektory) příslušející vlastímu číslu λ i (u). Defiice 1.7. Charakteristické pole λ i se azývá lieárě degeerovaé pokud platí λ i (u)r i (u) = 0, u R m. (1.9)

11 1.2 Základí defiice 5 Defiice 1.8. Charakteristické pole λ i se azývá ryze elieárí pokud platí λ i (u)r i (u) 0, u R m. (1.10) Rakieův-Hugoiotův vztah Protože slabé řešeí může obsahovat espojitosti, apříklad tzv. rázovou vlu, budeme se v této sekci zabývat odvozeím rovosti, která se azývá Rakieův-Hugoiotův vztah. Teto vztah odvodíme pro ásledující skalárí záko zachováí, ale jeho platost lze rozšířit i a soustavy, u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.11) u(x, 0) = u 0 (x), Předpokládejme oblast Ω, která je rozdělea a dvě části Ω 1 a Ω 2 hladkou křivkou x = ξ(t), viz Obr Dále předpokládejme platost zákoa zachováí v difereciálím tvaru (1.11) a dostatečě hladkou fukci u, která tuto rovost splňuje pro x < ξ(t) a x > ξ(t) se skokem podél hladké křivky x = ξ(t), avíc tato fukce splňuje počátečí podmíku (jde o klasické řešeí ve smyslu defiice 1.1), více viz [11]. Tato Obr. 1.1 Ilustrace k odvozeí Rakieovy-Hugoiotovy podmíky. fukce má pro libovolé t limity zprava a zleva, které budeme začit ásledujícím způsobem lim x ξ(t) + u(x, t) = u+ (ξ(t), t) := u r, lim x ξ(t) u(x, t) = u (ξ(t), t) := u l,

12 6 Základí teoretické pozatky aalogicky lim f(u(x, t)) := f(u r), x ξ(t) + lim f(u(x, t)) := f(u l). x ξ(t) Námi předpokládaá fukce u(x, t) musí v Ω 1 a v Ω 2 splňovat defiici slabého řešeí (viz defiice 1.2), kde ebude zahruta počátečí podmíka, protože oblast Ω je volea mimo počátek, tj. musí platit Ω i [φ t u + φ x f(u)] dxdt = 0 pro i = 1, 2 pro všechy fukce φ, které yí uvažujeme ulové a hraici Ω = Ω v 1 Ω v 2, tj. z podprostoru fukcí [C0 (R 0, ))]. Ozačíme hraici oblasti Ω 1 jako Ω 1 = Ω v 1 S a hraici oblasti Ω 2 jako Ω 2 = Ω v 2 S. Dále ozačíme složky vějších ormál k Ω 1 a Ω 2 ásledově: 1 = ( x 1, t 1) a 2 = ( x 2, t 2). Použitím Greeovy věty, (1.11) v oblastech Ω 1, Ω 2 a faktu, že φ jsme speciálě zvolili ulové a hraici Ω, dostaeme 0 = [φ t u + φ x f(u)] dxdt + [φ t u + φ x f(u)] dxdt = Ω 1 Ω 2 = φ u t 1 ds + φf(u) x 1 ds φ u t dxdt φ f(u) x dxdt + Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 1 + φ u t 2 ds + φf(u) x 2 ds φ u t dxdt φ f(u) x dxdt = Ω 2 Ω 2 Ω 2 Ω 2 = = (f(u) x 1 + u t 1)φ ds + (f(u) x 2 + u t 2)φ ds (u t + f(u) x ) φ dxdt Ω 1 Ω 2 Ω 1 (u t + f(u) x ) φ dxdt = (f(u), u) φ 1 dxdt + (f(u), u) φ 2 dxdt = Ω 2 Ω 1 Ω 2 (f(u), u) φ 1 dxdt + lim x ξ(t) (f(u), u) φ 1 dxdt + (f(u), u) φ 2 dxdt + Ω v 1 S Ω v 2 + S lim x ξ(t) +(f(u), u) φ 2 dxdt = S (f(u r ), u r ) φ 1 ds + Pro S platí, že = 1 = 2, a tedy (f(u r ) f(u l ), u r u l ) φ ds = 0. S (f(u l ), u l ) φ 2 ds. S

13 1.3 Skalárí lieárí rovice 7 Fukce φ je libovolá, a tedy platí (f(u r ) f(u l ), u r u l ) = 0. Pro křivku S parametrizovaou x = ξ(t) je jedotkový vektor ormály = 1 ξ(t) 1 + ξ(t), ξ(t), 2 a tedy a křivce S platí f(u r ) f(u l ) = ξ(t)(u r u l ), (1.12) kde ξ(t) = s je rychlost šířeí espojitosti. Výše uvedeá rovost se azývá Rakieův-Hugoiotův vztah (v této souvislosti velmi často azývaý Rakieova-Hugoiotova podmíka ebo podmíka skoku). Fukce u(x, t) je slabé řešeí, pokud je řešeím v klasickém smyslu v obou regioech Ω 1 a Ω 2 a splňuje Rakieův-Hugoiotův vztah podél hladké křivky x = ξ(t). 1.3 Skalárí lieárí rovice V této kapitole uvažujme ejjedodušší z modelů využívající se k popisu prouděí a to počátečí úlohu pro lieárí skalárí rovici u t + au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, a R, (1.13) u(x, 0) = u 0 (x), x R. (1.14) Tato rovice se azývá též advekčí. Modeluje advekci (trasport) apříklad ečistoty spolu s proudem. Kocetrace ečistoty se předpokládá dostatečě malá, tak aby její malé změy eovlivily dyamiku prouděí. Hledaá veličia u = u(x, t) zde tedy může reprezetovat apříklad hustotu (kocetraci) ečistot ve vodě a a = = kost. je rychlost proudu. Řešeí výše uvedeé počátečí úlohy ebudeme studovat a celém časoprostorovém válci R (0, T ), ale bude ás zajímat chováí řešeí a určitých křivkách. Tyto křivky azýváme charakteristikami, eboli charakteristickým systémem difereciálí rovice: Defiice 1.9. Rovici (1.13) přiřadíme soustavu obyčejých difereciálích rovic (charakteristický systém) pro ezámé x = x(s) a t = t(s) dx(s) ds dt(s) ds = a, (koeficiet u u x ), (1.15) = 1, (koeficiet u u t ). (1.16) Každé klasické řešeí Z(s) = (x(s), t(s)) azveme charakteristikou.

14 8 Základí teoretické pozatky Pro výše uvedeou advekčí rovici přidáme počátečí podmíky x(0) = x 0 a t(0) = 0 odpovídající počátečím podmíkám pro advekčí rovici (1.14) a lze již vypočítat hledaé charakteristiky: x(s) = as + C 1, C 1 = kost. (1.17) t(s) = s + C 2, C 2 = kost. (1.18) Dosazeím počátečích podmíek určíme kostaty C 1 a C 2 : x(0) = C 1 = x 0, (1.19) t(0) = C 2 = 0. (1.20) Získáváme charakteristiku Z(s) = (as + x 0, s), eboli vyloučeím parametru s získáme polopřímky x = x 0 + at. Dále lze sado ukázat, že řešeí u(x, t) je podél polopřímek Z(s) kostatí (využitím (1.15), (1.16) a (1.13)): d u dt u(x(s), t(s)) = ds t ds + u x Výše uvedeá advekčí rovice má tedy jedoduché řešeí dx ds = u t + au x = 0. (1.21) u(x, t) = u 0 (x at). (1.22) Tedy podél polopřímek x 0 + at, viz Obr. 1.2, kde x 0 je libovolý bod a ose x, bude řešeí u(x, t) rovo hodotě u 0 (x at). Jiými slovy, hodota u 0 se pouze trasportuje podél polopřímek. Jedoduchým zobecěím skalárí advekce je předpoklad, že t x = x 0 + at x 0 x Obr. 1.2 Charakteristiky advekčí rovice pro a > 0. a = a(x), tedy získáváme advekčí rovici s ekostatími koeficiety (jde o tzv. ekozervativí tvar): u t + a(x)u x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.23) u(x, 0) = u 0 (x). (1.24) Teto model popisuje apříklad prouděí ečistot (opět předpokládáme ízkou kocetraci) v řece, kdy v každém bodě může být rychlost prouděí růzá. Opět určíme charakteristiky této ové advekčí rovice řešeím ásledující soustavy obyčejých

15 1.3 Skalárí lieárí rovice 9 difereciálích rovic se stejými počátečími podmíkami jako v předchozím případě dx(s) ds dt(s) ds = a(x), (1.25) = 1. (1.26) Získáme tak soustavu charakteristik Z(s) = (x(s), s), které pro a kost. již ebudou přímkami. Podél těchto křivek však stále platí, že je řešeí kostatí Riemaův problém pro skalárí lieárí rovici V této podkapitole defiujeme speciálí počátečí úlohu pro advekčí rovici azývaou Riemaův problém, viz Obr. 1.3: u t + au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, a R, (1.27) { ul pro x < 0, u(x, 0) = u 0 (x) = (1.28) u r pro x > 0, kde u l = kost. a u r = kost. Pokud předpokládáme espojité počátečí podmíky, které jsou kostatí, mluvíme také o klasickém Riemaově problému. V případě, že předpokládáme po částech polyomiálí počátečí podmíky, mluvíme o zobecěém Riemaově problému, viz podkapitola u 0 u l u r x 0 = 0 x Obr. 1.3 Počátečí podmíky Riemaova problému. Pro espojitou počátečí podmíku získáme ásledující etropické řešeí Riemaova problému (odvozeé řešeí (1.22) lze použít i pro espojité počátečí podmíky), viz Obr. 1.4, u(x, t) = u 0 (x at) = { ul pro x at < 0, u r pro x at > 0. (1.29) Jiými slovy, espojitost (skok u r u l ) se šíří rychlostí a doprava ebo doleva (v závislosti a zaméku u rychlosti a) s eměým profilem.

16 10 Základí teoretické pozatky t x at < 0 x at = 0 x at > 0 u l u r 0 x Obr. 1.4 Ilustrace řešeí Riemaova problému pro advekčí rovici. 1.4 Soustava lieárích rovic V této kapitole se budeme zabývat počátečí úlohou pro soustavu lieárích rovic u t + Au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.30) u(x, 0) = u 0 (x), x R. (1.31) kde u = u(x, t) je vektor ezámých fukcí (zachovávaé veličiy), soustava se předpokládá ryze hyperbolická, tj. matice A R m m je diagoalizovatelá s reálými růzými vlastími čísly, více viz apříklad [9], ebo [1]. Jedoduchým příkladem takovéto lieárí soustavy může být model lieárí akustiky: [ p u ] t [ 0 + K0 1 ρ 0 0 ] [ p u ] x = [ 0 0 ], (1.32) kde p = p(x, t) a u = u(x, t) jsou perturbace tlaku a rychlosti (v akustice). Parametr K 0 reprezetuje objemový modul pružosti a ρ 0 je hustota. Teto model popisuje apříklad šířeí zvukových vl v jedodimezioálí trubici aplěé plyem. Jde o liearizovaý (zjedodušeý) model, protože obecě jsou problémy akustiky elieárími úlohami, které obsahují takzvaé rázové vly (apříklad tzv. soický třesk). Abychom mohli řešit lieárí soustavu (1.30), je potřeba provést ásledující kroky: využijeme diagoalizovatelosti matice A, tedy existece regulárí matice R (jejími sloupci jsou pravé vlastí vektory matice A), takové, že platí A = RΛR 1, (1.33) kde Λ = diag(λ 1,..., λ m ), kde λ p, p = 1,..., m, jsou vlastí čísla matice A. Tedy získáme u t + RΛR 1 u x = 0. (1.34) Dalším krokem je vyásobeí soustavy maticí R 1 zleva: R 1 u t + R 1 RΛR 1 u x = 0. (1.35)

17 1.4 Soustava lieárích rovic 11 Posledím krokem je zavedeí ové ezámé a trasformace počátečí podmíky tedy získáme ásledující počátečí úlohu v(x, t) = R 1 u(x, t), (1.36) v(x, 0) = R 1 u(x, 0), (1.37) v t + Λv x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.38) v(x, 0) = v 0 (x), x R. (1.39) Protože matice Λ je diagoálí, lze počátečí úlohu (1.38), (1.39) rozdělit a m ezávislých lieárích advekčích počátečích úloh, tedy v p t + λ p v p x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, p = 1,..., m, (1.40) v p (x, 0) = v p 0(x), x R. (1.41) Protože jsme předpokládali, že matice A je ryze hyperbolická, tedy vlastí čísla jsou reálá, mají tyto rovice stejý fyzikálí smysl, jako v kapitole 1.3. Jak bylo ukázáo, iformace (počátečí podmíka) se bude šířit po charakteristických křivkách (polopřímkách) x(s) = x 0 + λ p t rychlostí (charakteristickou rychlostí) λ p, eboli řešeí advekčích rovic je ásledující (viz (1.22)) v p (x, t) = v p 0(x λ p t), p = 1,..., m. (1.42) Návratem k původí proměé u, viz (1.36), získáme ásledující u(x, t) = Rv(x, t) = m v p (x, t)r p = p=1 m v0(x p λ p t)r p, (1.43) p=1 kde r p, p = 1,..., m, jsou pravé vlastí vektory matice A (sloupce matice R). Řešeí je tedy lieárí kombiace pravých vlastích vektorů matice A, eboli je superpozicí vl (šířeá iformace se často azývá vla), které se šíří rozdílými rychlostmi λ p a svůj tvar, tj. v p 0(x λ p t)r p, eměí. Pokud zavedeme levé vlastí vektory l p, tedy sloupce matice R 1, získáme řešeí závislé přímo a počátečí podmíce u 0, tedy u(x, t) = m l p u 0 (x λ p t)r p. (1.44) p=1 K určeí řešeí soustavy lieárích rovic je tedy potřeba zát vlastí strukturu matice A, tj. vlastí čísla a příslušé levé a pravé vlastí vektory Oblast závislosti V této podkapitole rozebereme pojem oblast (též obor) závislosti. Ve stručosti byl popsá v [1]. Předpokládejme soustavu rovic s vlastími čísly λ p, p = 1,..., m.

18 12 Základí teoretické pozatky Hledáme oblast závislosti v ějakém bodě (x d, t d ), v tomto bodě je řešeí u(x d, t d ) ovlivěo počátečí podmíkou pouze v bodech x d λ p t d, viz (1.44). Defiujeme tedy oblast závislosti ásledově: Defiice 1.10 (Oblast závislosti). Oblastí (oborem) závislosti bodu (x d, t d ) hyperbolické soustavy rovic (1.30) azveme ásledující možiu D(x d, t d ) = {x d λ p t d, p = 1,..., m}, (1.45) kde λ p, p = 1,..., m, jsou vlastí čísla matice A. t (x d, t d )... x d λ m t d x d λ (m 1) t d... x x d λ 1 d λ 2 t d t d x Obr. 1.5 Oblast závislosti. Situaci ilustruje Obr. 1.5, řešeí v bodě (x d, t d ) ovlivňuje počátečí podmíka v m vyzačeých bodech. Pro hyperbolické rovice je oblast závislosti vždy omezeá možia (viz pozámka 1.12), protože se iformace šíří vždy koečou rychlostí (a rozdíl od parabolických rovic), viz model advekčí rovice, kapitola 1.3. Oblast závislosti úzce souvisí s umerickou oblastí závislosti, tzv. CFL (Courat, Friedrichs, Levy) podmíkou. Více viz apříklad [9] Riemaův problém pro soustavu lieárích rovic V této podkapitole opět defiujeme speciálí počátečí úlohu pro lieárí soustavy s po částech kostatí počátečí podmíkou (klasický Riemaův problém) u t + Au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, A R m m, (1.46) { ul pro x < 0, u(x, 0) = u 0 (x) = (1.47) u r pro x > 0, kde u l R m a u r R m (vektory kostat). Jak již bylo řečeo v podkapitole 1.3.1, je řešeí klasického Riemaova problému pro jedotlivé advekčí rovice ásledující { v p (x, t) = v0(x p v p λ p l pro x λ t) = p t < 0, vr p pro x λ p (1.48) t > 0

19 1.5 Hugoiotovy možiy 13 a pro počátečí podmíky platí u l = Rv l = u r = Rv r = m v p l rp, (1.49) p=1 m vrr p p. (1.50) p=1 Tedy hledaé řešeí u(x, t) má ásledující tvar u(x, t) = = p:λ p <x/t p:λ p <x/t v p rr p + l p u r r p + p:λ p >x/t p:λ p >x/t v p l rp = (1.51) l p u l r p. (1.52) Rakieova-Hugoiotova podmíka, viz podkapitola 1.2.1, pro soustavu lieárích rovic je ásledující A(u r u l ) = λ(u r u l ), (1.53) tedy skok ve vektoru u r u l je vlastím vektorem matice A a λ, tj. λ p, p = 1,..., m, jsou rychlosti šířeí espojitostí. Jak bylo vysvětleo v podkapitole 1.3.1, jedotlivé espojitosti (skoky) u p r u p l se šíří po odpovídající p-té charakteristice rychlostí λ p doleva ebo doprava (v závislosti a zaméku p-tého vlastího čísla). Lze tedy hledaé řešeí apsat v ásledujícím tvaru, viz (1.44), u(x, t) = u l + p:λ p <x/t = u r p:λ p >x/t 1.5 Hugoiotovy možiy l p (u r u l )r p = (1.54) l p (u r u l )r p. (1.55) V této kapitole rozebereme pojem Hugoiotových moži, podroběji lze toto téma alézt apříklad v [9], ebo v [22]. Předpokládejme soustavu lieárích rovic pro dvě ezámé, viz apříklad model (1.32). Zopakujme Riemaův problém pro soustavu lieárích rovic, podroběji viz podkapitola 1.4.2, u t + Au x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, A R m m, (1.56) { ul pro x < 0, u(x, 0) = u 0 (x) = (1.57) u r pro x > 0,

20 14 Základí teoretické pozatky kde u l R m a u r R m. Připomeňme, že soustavu předpokládáme ryze hyperbolickou s vlastími čísly λ 1, λ 2 a odpovídajícími vlastími vektory r 1, r 2. Možé řešeí výše uvedeého Riemaova problému pro soustavu lieárích rovic je a Obr Fázovou roviou azveme roviu závislosti u 1 a u 2, často začeo (u 1, u 2 ) rovia. Každý vektor u(x, t) = [u 1, u 2 ] T je v této roviě reprezetová bodem. Stavy u r a u l jsou tedy v (u 1, u 2 ) roviě reprezetováy body. Jak bylo již řečeo v skok u r u l se šíří jako espojitost pouze pokud je vlastím vektorem matice A. Tedy úsečka u r u l musí být rovoběžá s jedím z vlastích vektorů r 1 ebo r 2. u 2 p 2 x(t) = λ 1 t t x(t) = λ 2 t p 1 u l u r 2 u l u r r 1 x 0 = 0 x Obr. 1.6 Ilustrace k Hugoiotovým možiám. u 1 Obr. 1.7 Ilustrace řešeí Riemaova problému. Situaci ilustruje Obr. 1.6, skok mezi u r u l se může šířit je pokud stav u r bude ležet a jedé z vyzačeých přímek p 1 ebo p 2, kdy platí již zmíěá rovoběžost s vlastími vektory, tj. r 1 p 1 a r 2 p 2. Tyto přímky jsou možiami všech bodů, které mohou spojovat stav u l 1. ebo 2. vlou (espojitostí, iformací). Tuto možiu bodů azýváme Hugoiotovou možiou. Uvažujme dvě možosti počátečích podmíek Riemaova problému pro lieárí soustavy a jeho řešeí u *, který je spoje se stavem u l prví vlou (espojitostí) a zároveň se stavem u r druhou vlou, viz obrázky 1.8 a 1.9. u 2 u l p 2 p 2 u p 1 p 1 u 2 u r p 2 p 2 p 1 p 1 u r u l u r 2 r 2 r 1 r 1 u 1 u 1 Obr. 1.8 Řešeí Riemaova problému ve fázové roviě 1. Obr. 1.9 Řešeí Riemaova problému ve fázové roviě 2. Podroběji vysvětlíme situaci a Obr Tedy stav (ve fázové roviě bod) u l je spoje vlou se stavem (bodem) u *, protože leží a úsečce p 1 rovoběžou s r 1,

21 1.6 Skalárí elieárí rovice 15 procházející stavem (bodem) u l. Stejě tak je stav (bod) q r spoje vlou se stavem (bodem) q *, protože leží a úsečce p 2 rovoběžou s r 2 procházející stavem (bodem) u r. Aalogické vysvětleí lze provést u Obr Skalárí elieárí rovice Věujme se yí ásledující počátečí úloze pro skalárí elieárí rovici u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.58) u(x, 0) = u 0 (x), x R. (1.59) Budeme předpokládat, že fukce f(u) je kovexí, tedy f (u) je vždy kladé. Upozorěme, že pokud f(u) = au, kde a = kost. získáváme lieárí skalárí rovici, viz kapitola 1.3. Nelieárí rovice lze přepsat do tzv. kvazilieárího tvaru, tj. u t + f (u)u x = 0, (1.60) kde f (u) = df(u). Lze tedy tuto rovici chápat jako advekčí rovici (1.13) s proměou rychlostí prouděí f (u). Charakteristiky budou, dle defiice 1.9, řešeí á- du sledující soustavy obyčejých difereciálích rovic dx(s) ds dt(s) ds = f (u), (1.61) = 1, (1.62) s počátečími podmíkami x(0) = x 0 a t(0) = 0. Řešeím jsou tedy křivky o rovici x = x 0 +f (u)t. Na těchto křivkách je řešeí kostatí, eboť, stejě jako v kapitole 1.6, platí: d ds u dt u(x(s), t(s)) = t ds + u x dx ds = u t + f (u)u x = 0. (1.63) Protože řešeí je a křivce kostatí, tj. u = kost., musí platit, že i f (u) = = kost. a křivky jsou tedy opět přímkami. Na rozdíl od lieárí skalárí rovice, kdy se charakteristiky ikdy eprotly, může být struktura charakteristik u elieárí skalárí rovice velmi růzá. Tato struktura umožňuje vzikout rázovým vlám, které jsou speciálím případem řešeí Riemaova problému, viz podkapitola O existeci, jedozačosti a vlastostech řešeí elieárí skalárí rovice pojedává ásledující fudametálí věta a pozámka (i s důkazy k alezeí apř. v [4]): Věta 1.11 (Kružkov). Skalárí počátečí úloha (1.58), (1.59), kde f C 1 (R) a u 0 L (R) má jedozačé etropické řešeí u(x, t) L (R R + ).

22 16 Základí teoretické pozatky Pozámka 1.12 (Vlastosti řešeí). Lze ukázat, že etropické řešeí z předchozí věty splňuje ásledující vlastosti (viz [4]): 1. stabilita: pro skoro všecha t R + platí u(x, t) L (R R + ) u 0 L (R), 2. mootóost řešeí: pokud pro dvě počátečí podmíky platí: u 0 (x) r 0 (x) pro skoro všecha x R, potom pro odpovídající řešeí platí: u(x, t) r(x, t) pro skoro všecha x R a skoro všecha t R +, 3. klesající totálí variace (TVD vlastost): pokud u 0 BV(R), potom u(, t) BV(R) a TV(u(, t)) TV(u 0 ( )), 4. kozervativita: pokud u 0 L 1 (R), potom u(x, t) dx = u 0 (x) dx R R pro skoro všecha t R +, 5. koečá oblast závislosti: pokud u(x, t) a r(x, t) jsou dvě etropická řešeí odpovídající počátečím podmíkám u 0 (x), r 0 (x) L a M = max { f (s) : s max ( u 0 (x) L (R), r 0 (x) L (R)) }, potom platí b a r(x, t) u(x, t) dx b Mt a Mt r 0 (x) u 0 (x) dx, jedoduše řečeo: pokud u 0 (x) a r 0 (x) bude ležet v {x : x x 0 < d}, potom u(x, t) a r(x, t) bude ležet v trojúhelíku {(x, t) : x x 0 + Mt < d}, viz podkapitola Pozámka Prostor BV(R) začí prostor fukcí, které mají omezeou totálí variaci a R, symbol TV( ) ozačuje totálí variaci ějaké fukce, která je defiováa ásledově: pro libovolou fukci u(x) je TV(u) = sup N u(ξ j ) u(ξ j 1 ), kde supremum je přes všecha děleí = ξ 0 < ξ 1 < < ξ N =. Defiice a vlastosti prostorů L 1, L a C 1 lze alézt v pozámce 1.4, ebo v [8]. Výše uvedeá věta ám kromě jedozačosti řešeí také uvádí moho vlastostí tohoto řešeí. Je saha, aby umerické řešeí ějakým vhodým způsobem kopírovalo tyto vlastosti. j=1

23 1.6 Skalárí elieárí rovice Riemaův problém pro skalárí elieárí rovici Defiujme klasický Riemaův problém pro skalárí elieárí rovici u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.64) s espojitými počátečími podmíkami u(x, 0) = u 0 (x) = { ul pro x < 0, u r pro x > 0, (1.65) kde u l a u r jsou kostaty. Jako motivačí příklad zde použijeme evazkou Burgersovu rovici, viz (1.4), tj. řešíme ásledující úlohu ( ) 1 u t + 2 u2 = 0, x R, t (0, T ), T > 0 (1.66) x s počátečími podmíkami u(x, 0) = u 0 (x) = { 1 pro x < 0, 1 pro x 0. (1.67) Lze ukázat, že fukce u 1 (x, t) = u 0 (x) je slabým řešeím této rovice, viz Obr Také lze ukázat, že i fukce 1 pro x < t, x u 2 (x, t) = pro t x t, (1.68) t 1 pro x > t je slabým řešeím, viz Obr Ovšem pouze řešeí u 2 (x, t) je etropické, tedy fyzikálě správé. u u 1 1 x x 1 1 Obr Řešeí Burgersovy rovice u 1. Obr Řešeí Burgersovy rovice u 2. Pokud u(x, t) je řešeím Riemaova problému, potom i u(αx, αt), pro libovolé α > 0, bude řešeím, protože rovice (1.64) i počátečí podmíky (1.65) jsou ivariatí vzhledem ke změě souřadic x αx a t αt. Velmi stručě ačrtěme myšleku důkazu: pokud u 0 (x) je počátečí podmíka a u(x, t) je odpovídající etropické řešeí, potom pro počátečí podmíku u 0 (αx) (což je stejá počátečí

24 18 Základí teoretické pozatky podmíka jako u 0 (x)) existuje etropické řešeí u(αx, αt). Podle věty 1.11 je toto řešeí jedozačé, a tedy musí platit u(αx, αt) u(x, t). Pokud zvolíme α = 1/t, získáváme u(x, t) = u(x/t, 1) = w(x/t). V případě Riemaova problému se tedy často mluví o tzv. podobostím řešeí ( self-similar solutio ) a počátečí úloha (1.64) a (1.65) se redukuje a hledáí fukce w(η) L, kde jsme ozačili η = x/t, pro kterou platí ásledující rovice ve smyslu distribucí s počátečími podmíkami ηw η(η) + [f(w(η))] η = 0, η R (1.69) w( ) = u l, (1.70) w( ) = u r. Více lze alézt v [4]. Budeme předpokládat, že řešeí Riemaova problému (pokud existuje) lze zkostruovat kombiací z ásledujících tří elemetárích vl (řešeí): 1. Kostatí stav, tj. u(x, t) = kost. Jde o klasické řešeí. 2. Rázová vla. 3. Vla zředěí. Viz apříklad [6], [5], [4] a další. Rázová vla Rázová vla je řešeí Riemaova problému (1.64), (1.65) ve tvaru { ul pro x < st, u(x, t) = u r pro x > st, kdy musí platit Rakieova-Hugoiotova podmíka (1.71) f(u r ) f(u l ) = s(u r u l ), (1.72) kde s je rychlost šířeí espojitosti, a avíc podmíka etropie f (u l ) > s > f (u r ), viz Obr Odpovídající struktura charakteristik je a Obr Vla zředěí Vla zředěí, viz Obr. 1.14, je spojité řešeí Riemaova problému (1.64) a (1.65), resp. (1.69) a (1.70). Platí (budeme používat začeí u(x, t) = u(η) = w(η), protože, jak bylo azačeo v podkapitole 1.6, jde o jedo a totéž řešeí, a proto eí uté zavádět jié symboly) [ η + f (u(η))]u η(η) = 0. (1.73) Pro u η(η) = 0 je řešeí kostatí, a tedy klasické. Pro u η(η) 0 bude mít rovice η = f (u(η)) jedozačé řešeí podle věty o řešitelosti rovic. Struktura charakteristik v případě vly zředěí je a Obr. 1.15, kdy platí f (u l ) < f (u r ).

25 1.7 Soustavy elieárích rovic 19 t x st < 0 u l x(t) = st x st > 0 u r x(t) = f (u l )t t x(t) = st x(t) = f (u r )t x 0 = 0 x x 0 = 0 x Obr Řešeí Riemaova problému rázová vla. Obr Struktura charakteristik rázová vla. u t x(t) = tf (ul) u l f ( u ( )) x t = x t f ( u ( )) x t = x t x(t) = tf (ur) u r x 0 = 0 x x0 = 0 x Obr Řešeí Riemaova problému vla zředěí. 1.7 Soustavy elieárích rovic Uvažujme yí soustavu elieárích hyperbolických rovic Obr Struktura charakteristik vla zředěí. u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0, (1.74) u(x, 0) = u 0 (x), x R. (1.75) Soustavu (1.74) přepíšeme do kvazilieárího tvaru u t + f (u)u x = 0, (1.76) kde f (u) je Jacobiho matice fukce f = f(u). Soustava (1.74) se, stejě jako v případě lieárích soustav, předpokládá ryze hyperbolická. Vlastí čísla Jacobiho matice λ p (u), p = 1,..., m, se opět azývají charakteristické rychlosti šířeí vl (espojitostí, iformací) Riemaův problém pro soustavy elieárích rovic Stejě jako v předchozích případech defiujme klasický Riemaův problém pro soustavu elieárích rovic s espojitými počátečími podmíkami u t + [f(u)] x = 0, x R, t (0, T ), T > 0 (1.77) u(x, 0) = u 0 (x) = { ul pro x < 0, u r pro x > 0, (1.78)

26 20 Základí teoretické pozatky kde u l R m a u r R m jsou vektory kostat. Stejě jako ve skalárím případě platí, že pokud u je slabým řešeím (1.77) a (1.78), potom i u(αx, αt), pro libovolé α > 0, bude řešeím. Riemaův problém lze přepsat pomocí ové proměé η = x a soustavu obyčejých difereciálích t rovic ηu η(η) + f (u(η))u η = 0, η R, (1.79) u( ) = u l, (1.80) u( ) = u r. (1.81) Existeci řešeí výše uvedeého klasického Riemaova problému pro elieárí soustavy řeší ásledující věta, která je i s důkazem k alezeí apříklad v [4], ebo v [21]: Věta 1.14 (Lax). Za předpokladu, že u r u l je dostatečě malé, bude řešeí Riemaova problému ve tvaru u = u(η), η = x. Toto řešeí se bude skládat z m vl oddělujících m + 1 stavů u l = u 0, u 1,..., u m = u r. Pro libovolé t k = 1,..., m je k-tá vla buď rázová vla, vla zředěí, popř. kotaktí espojitost, pokud odpovídající charakteristické pole je ryze elieárí, popř. lieárě degeerovaé. Pokud amplituda všech m vl je dostatečě malá, potom řešeí je jedozačé. Výše uvedeé pozatky lze shrout do ásledujících tří případů: 1. Dva kostatí stavy u r a u l jsou spojey rázovou vlou, viz Obr. 1.16, v ryze elieárím charakteristickém poli λ i a platí Rakieův-Hugoiotův vztah f(u r ) f(u l ) = s i (u r u l ) (1.82) a podmíka etropie λ i (u l ) > s i > λ i (u r ). (1.83) 2. Dva kostatí stavy u r a u l jsou spojey kotaktí espojitostí, viz Obr. 1.17, v lieárě degeerovaém charakteristickém poli λ i a platí Rakieův-Hugoiotův vztah f(u r ) f(u l ) = s i (u r u l ) (1.84) a podmíka λ i (u l ) = s i = λ i (u r ). (1.85)

27 1.7 Soustavy elieárích rovic 21 t s i u l u r 0 x Obr Řešeí Riemaova problému rázová vla. t s i u l u r 0 x Obr Řešeí Riemaova problému kotaktí espojitost. 3. Dva kostatí stavy u r a u l jsou spojey vlou zředěí, viz Obr. 1.18, v ryze elieárím charakteristickém poli λ i a platí λ i (u l ) < λ i (u r ). (1.86) Příklad Určete řešeí Riemaova problému pro Sait-Veatovy rovice s eměým obdélíkovým průřezem a rovým dem, tj. (1.1) s ulovou pravou straou, tedy pro připomeutí jde o ásledující model: s espojitými počátečími podmíkami [ ] hl q l u(x, 0) = [ ] hr kde h l, h r, q l, q r R a q = hv. h t + q x = 0, (1.87) ( q 2 q t + h + 1 ) 2 gh2 = 0 q r x pro x < 0, (1.88) pro x > 0,

28 22 Základí teoretické pozatky λ(ul) t λ(ur) u l u r 0 x Obr Řešeí Riemaova problému vla zředěí. Řešeí. Velmi podrobě lze řešeí uvedeé úlohy alézt v [9]. Pro řešeí Riemaova problému pro (1.87) budeme potřebovat vlastí čísla a vlastí vektory Jacobiho matice soustavy. Uvedeme zde pouze výsledky, protože podrobý výpočet lze alézt v [1] ebo v [9]. Tedy Jacobiho matice soustavy je [ ] f 0 1 (u) = q2 + gh 2 q (1.89) h 2 h s vlastími čísly a odpovídajícími vlastími vektory [ r 1 1 = q gh h λ 1,2 = q h gh (1.90) ] [, r 2 = 1 q + gh h ]. (1.91) Dále připomeňme, že charakteristická pole defiovaá vlastími čísly λ 1,2 jsou obě ryze elieárí, odvozeí opět v [1] ebo v [9]. Jako prví rozebereme rázovou vlu, tedy espojité řešeí Riemaova problému. V úvodu stručě ačrtěme způsob řešeí: víme že rázová vla je takové řešeí Riemaova problému, které musí splňovat Rakieovu-Hugoiotovu podmíku a také podmíku etropie. Navíc budeme hledat řešeí v takovém tvaru, abychom ho mohli jedoduše zobrazit ve fázové roviě. Tedy podroběji: hledáme všechy stavy u, které mohou být spojey s pevě zvoleým stavem u c, reprezetující u l ebo u r. Jak bylo již řečeo, podél rázové vly musí být splěa Rakieova-Hugoiotova podmíka, tedy s(u c u) = f(u c ) f(u), (1.92) kde s je rychlost šířeí rázové vly. Pro uvedeý model prouděí obdélíkovým korytem je Rakieova-Hugoiotova podmíka ásledující s(h c h) = q c q, (1.93) s(q c q) = q2 c q2 h c h + g ( h 2 2 c h 2).

29 1.7 Soustavy elieárích rovic 23 Získáváme dvě rovice pro tři ezámé h, q a s. Nejjedodušší způsob je získat řešeí závislé a jedom parametru, vyberme jako parametr h a elimiujme rychlost s. Důvodem je, že když získáme závislost q(h), lze ji pak ihed zobrazit ve fázové roviě, a my tak získáme rychlým způsobem Hugoiotovy možiy. Z prví rovice soustavy (1.93) určíme rychlost šířeí rázové vly s = q c q h c h a dosazeím do druhé rovice soustavy (1.93) získáme (q c q) 2 h c h (1.94) = q2 c q2 h c h + g ( h 2 2 c h 2). (1.95) Po úpravách získáme ásledující kvadratickou rovici pro q ( ) ( q 2 h 2q c q + q 2 h c g ) h (h c + h)(h c h) 2 = 0, (1.96) h c h c 2 h c jejíž řešeím je q 1,2 = q c h h c ± q 2 c ( h 2 h ) + g h (h c + h)(h c h) h c 2 h 2. (1.97) c h 2 c V případě, že zvolíme h = h c, potom dosazeím získáme q = q c, eboť požadujeme, aby křivka procházela bodem (h c, q c ), eboli body (h l, q l ) ebo (h r, q r ). Na obrázku 1.19 je zobrazea Hugoiotova možia bodů u, které mohou být spojey se stavem u l 1. rázovou vlou. Uvozovky jsou použity z toho důvodu, že jde o vlu, která splňuje Rakieovu-Hugoiotovu podmíku. Aby šlo o rázovou vlu (tedy etropické řešeí) musí být avíc splěa podmíka etropie, viz dále. Tedy Hugoiotovou možiou jsou pouze ěkteré body vyzačeé (čárkovaé) křivky. Na Obr je Hugoiotova možia bodů, které mohou být spojey 2. rázovou vlou. Je potřeba zde uvést, že 1. ebo 2. rázová vla eí určea zaméky + ebo v rovici (1.97). Volbou zaméka získáme pouze část možiy, druhá část patří ke druhé možiě. Abychom získali etropické řešeí, je potřeba split tzv. podmíku etropie (kokrétě používáme Laxovu podmíku etropie), tedy musí platit pro 1. rázovou vlu spojující stav u l a u * (ze všech výše určeých u vybereme ty, co splňují Laxovu podmíku etropie a ozačíme je u * ) a pro 2. rázovou vlu spojující stav u * a u r λ 1 (u l ) > s 1 > λ 1 (u * ) (1.98) λ 2 (u * ) > s 2 > λ 2 (u r ). (1.99) V případě ašeho modelu prouděí eměým obdélíkovým korytem lze odvodit jedoduché kritérium, abychom určili, které body a křivce a Obr jsou Hugoiotovou možiou (tj. splňující podmíku etropie), a které e. V případě 1. rázové

30 24 Základí teoretické pozatky q q u l u r Obr Hugoiotova možia bodů spojující stav q l 1. rázovou vlou. h 0 Obr Hugoiotova možia bodů spojující stav q r 2. rázovou vlou. h vly, tj. vly spojující stav u l a u *, musí charakteristická rychlost λ 1 = v gh klesat (jak plye z podmíky (1.98)). Rakieova-Hugoiotova podmíka ám tedy říká, že h musí růst, a tedy musí platit h * > h l. Stejou úvahu lze provést pro 2. rázovou vlu, kdy získáme podmíku h * > h r. Hugoiotovy možiy jsou pro jedotlivé rázové vly vyzačey a Obr a 1.20 plou čarou. Nyí uvedeme dvě možé kombiace vl, viz Obr a Rozeberme ejprve prví situaci. Na Obr jsou dvě možiy Hugoiotových bodů pro stavy u l a u r zobrazey plou čarou. Jak bylo řečeo v kapitole 1.5, řešeí Riemaova problému u * je a průsečíku uvedeých dvou křivek. Protože pro obě vly, splňující Rakieovu-Hugoiotovu podmíku (leží a křivce vyzačeé čárkovaě) splňují i etropickou podmíku (leží zároveň a plě vyzačeé části křivek), tedy platí výše uvedeé erovosti h * > h l a h * > h r, jsou obě vly rázové, tj. stav u l je spoje se stavem u * 1. rázovou vlou a stav u r je spoje se stavem u * 2. rázovou vlou. Jiá q q u u l 0 u r u 0 u r u l 0 Obr Hugoiotova možia bodů pro dvě rázové vly. h 0 Obr Hugoiotova možia bodů pro 2. rázovou vlu. je situace a Obr Jak je vidět, opět je řešeí průsečíkem obou čárkovaých křivek, tj. opět splňuje Rakieovu-Hugoiotovu podmíku, ovšem pouze 2. vla je vlou rázovou, tj. splňující zároveň etropickou podmíku (leží a plé čáře), tj. h

31 1.7 Soustavy elieárích rovic 25 platí h * > h r. Prví vla, spojující stav u l se stavem u * eí rázovou vlou, eboť esplňuje podmíku etropie, tj. eleží a plé čáře, tj. eplatí erovost h * > h l. Protože charakteristické pole defiovaé vlastím číslem λ 1 je ryze elieárí, může tyto stavy spojovat vla zředěí. Nyí se tedy zabývejme vlou zředěí, což je spojité řešeí Riemaova problému. Opět v úvodu hledáí řešeí stručě astííme jedotlivé kroky. Místo hledáí Hugoiotových moži budeme hledat itegrálí křivky a opět pouze tu část, která splňuje podmíku etropie. Na takovýchto křivkách určíme chováí vly zředěí. Jak již bylo řečeo v odstavci a v 1.7.1, lze řešeí u(x, t) hledat ve tvaru u(η), kde η = x/t, která splňuje ásledující rovici f (u(η))u (η) = ηu (η). (1.100) V případě skalárí elieárí rovice lze elimiovat u (η), jak bylo ukázáo v odstavci 1.6.1, ovšem v případě elieárích soustav je u (η) vektor. Podle (1.100) je uté, aby vektor u (η) byl vlastím vektorem Jacobiho matice f (u(η)) pro každou hodotu η = x/t. Neboli hledáme itegrálí křivku vektorového pole r 1,2. Itegrálí křivka u(η) parametrizovaá skalárím parametrem η je defiováa jako křivka, v jejímž každém bodě je vektor r 1,2 ve směru tečy, tj. ve směru vektoru u (η). Pokud máme možiu vlastích vektorů, potom skalárí ásobek je také vlastím vektorem, tedy platí u (η) = α(η)r 1,2 (u(η)), (1.101) kde α(η) závisí a zvoleé parametrizaci η a zvoleé ormalizaci vektorů r 1,2. Pro áš model zvolíme pro jedoduchost α(η) = 1 a tedy musí platit: [ ] u (η) = r 1,2 1 (u(η)) = q. (1.102) gh h Tím získáme soustavu dvou obyčejých difereciálích rovic h (η) = 1 (1.103) q (η) = q h gh. (1.104) Budeme hledat řešeí ve tvaru q(h), tj. parametrizovaé podle h, abychom mohli řešeí jedoduše zobrazit ve fázové roviě. Prví difereciálí rovice má jedoduché řešeí: dh(η) = 1 h(η) = η. (1.105) dη Dosadíme do druhé rovice a získáme ásledující difereciálí rovici s pravou straou, ke které připojíme počátečí podmíku q(h c ) = q c, protože požadujeme, aby itegrálí křivka procházela ve fázové roviě bodem (h c, q c ), kde q c = h c v c, dq(η) dη = q η gη. (1.106)

32 26 Základí teoretické pozatky Protože jde o rovici s pravou straou, musíme ejprve alézt homogeí řešeí (ulová pravá straa), poté partikulárí řešeí, apříklad metodou variace kostat. Součtem homogeího a partikulárího řešeí a zohleděím počátečích podmíek získáme obecé řešeí difereciálí rovice (1.106). Tedy ejprve řešme homogeí rovici: dq H (η) dη = q H η q H (η) = Cη. (1.107) Dále hledáme partikulárí řešeí metodou variace kostat, tedy předpokládáme partikulárí řešeí v ásledujícím tvaru určíme derivaci dq p (η) dη q p (η) = C(η)η, (1.108) = C (η)η + C(η) (1.109) a dosazeím do difereciálí rovice (1.106) získáme g C (η) = η, (1.110) tedy přímou itegrací získáme Partikulárí řešeí má ásledující tvar Obecé řešeí po ávratu proměé h je zohleděím počátečích podmíek získáme C(η) = 2 gη. (1.111) q P (η) = 2η gη. (1.112) q(h) = Kh 2h gh, (1.113) q(h) = hv c ± 2h( gh c gh). (1.114) Vypočteé itegrálí křivky jsou zobrazey a Obr a Upozorňujeme, že ejde o stejé křivky jako v případě Hugoiotových moži, ačkoliv jsou velmi podobé. Pro zájemce: Pouze pro zajímavost zde uvedeme pojem Riemaových ivariatů. Vyjděme ze vztahu 1.114, máme tedy ásledující dva vztahy hv = hv c + 2h( gh c gh), resp. hv = hv c 2h( gh c + gh). (1.115)

33 1.7 Soustavy elieárích rovic 27 q q Obr Itegrálí křivky pro vektorové pole r 1. h 0 Obr Itegrálí křivky pro vektorové pole r 2. h po zkráceí h a drobé úpravě, získáváme v + 2 gh = v c + 2 gh c, resp. v 2 gh = v c 2 gh c. (1.116) Uvědomme si, že body (h c, v c ) a (h, v) jsou dva body a daé itegrálí křivce pro vektorové pole r 1 resp. r 2, a tedy fukce w 1 (u) = v + 2 gh, resp. w 2 (u) = v 2 gh (1.117) mají stále stejou hodotu podél odpovídající itegrálí křivky. Tyto fukce se azývají 1. resp. 2. Riemaův ivariat. Vraťme se k vlě zředěí (kokrétě středová vla zředěí), jde o řešeí v ásledujícím tvaru u l pro x/t η 1, u(x, t) = u(η) pro η 1 x/t η 2, (1.118) u r pro η 2 x/t, kde u l a u r jsou dva body a stejé itegrálí křivce, pro které platí λ p (u l ) < λ p (u r ) (abychom získali fyzikálě správé, tj. etropické řešeí), viz podkapitola Tedy hledáme řešeí u(x, t) = u(η), které splňuje rovici (1.100) a leží a itegrálí křivce příslušející jedomu z vlastích vektorů r 1,2. Také bylo řečeo, že u (η) je vlastím vektorem Jacobiho matice f (u(η)), tedy platí ásledující eboli [f(u(η)) η] u (η) = 0 [λ p (u(η)) η] u (η) = 0, (1.119) λ p (u(η)) = η. (1.120) Výše uvedeé lze psát přímo z rovice (1.100), eboť podle defiice vlastích čísel a vlastích vektorů musí platit, že pokud u (η) je vlastím vektorem, pak η = x je t vlastím číslem. Zderivujeme (1.120) podle η: 1 = λ p (u(η))u (η), (1.121)

34 28 Základí teoretické pozatky kde λ p (u(η)) je gradiet p-tého vlastího čísla. Využitím (1.101) a drobou úpravou můžeme formulovat soustavu obyčejých difereciálích rovic u (η) = r p (u(η)) λ p (u(η))r p (u(η)). (1.122) Řešeím v itervalu η 1 η η 2 s počátečími podmíkami: u(η 1 ) = u l, u(η 2 ) = u r (1.123) získáme vlu zředěí uvitř tzv. vějíře zředěí, viz Obr Popsaý postup je obecý, yí určíme soustavu obyčejých difereciálích rovic pro áš model (1.87). Vlastí čísla a vlastí vektory lze alézt v (1.90) a (1.91), proto zde uveďme pouze ásledující výpočty: λ 1 (u(η)) = [ q h g h 1 h ] [, λ 2 q + (u(η)) = 1 g h 2 2 h 1 h ]. (1.124) λ 1 (u(η))r 1 (u(η)) = 3 g 2 h, λ2 (u(η))r 2 (u(η)) = 3 g 2 h. (1.125) Dosazeím do (1.122), získáme ásledující obyčejé difereciálí rovice u (η) = 2 [ ] h 1 q 3 g, u (η) = 2 [ ] h 1 q gh h 3 g + (1.126) gh h s počátečími podmíkami (1.123). Podrobě vyřešíme pouze prví ze dvou soustav, máme tedy ásledující soustavu h (η) = 2 h(η) 3 g, (1.127) Separací proměých a poté itegrací (1.127) získáme q (η) = 2 q + 2 h. (1.128) 3 gh 3 dh(η) = 2 1 dη h(η) = 1 h 3 g 9g (K η)2. (1.129) Dále musíme idetifikovat kostatu K zohleděím počátečích podmíek (1.123) a též rovice (1.120), eboli h(η 1 ) = h l, η 1 = λ 1 (u(η 1 )) = q l h l gh l = v l gh l, (1.130) h(η 2 ) = h r, η 2 = λ 1 (u(η 2 )) = q r h r gh r = v r gh r. (1.131) Po užití obou podmíek získáme hodotu kostaty K: K = v l + 2 gh l = v r + 2 gh r. (1.132)

35 1.7 Soustavy elieárích rovic 29 Pro zájemce: Opět zde pro zájemce astííme souvislost kostaty K a Riemaova ivariatu. Protože K je 1. Riemaovým ivariatem, viz (1.117), tj. fukce, která je podél odpovídající itegrálí křivky kostatí, eí tedy uté dosazovat druhou podmíku a rovítko v (1.132) je možo psát ihed. Řešme yí druhou difereciálí rovici, tj. (1.128): dq(η) dη = 2 q + 2 h. (1.133) 3 gh 3 Protože řešeí h(η) již záme, dosadíme (1.129) do (1.133) a získáme ásledující difereciálí rovici s pravou straou dq(η) dη = 2q K η g (K η)2, (1.134) kde kostata K je defiováa v (1.132). Opět budeme hledat homogeí a partikulárí řešeí jejichž součtem získáme obecé řešeí ehomogeí rovice. Tedy ejprve hledejme homogeí řešeí, tj. řešíme rovici (1.134) s ulovou pravou straou: dq H (η) dη separací proměých a ásledou přímou itegrací získáme = 2q H K η, (1.135) q H (η) = C 1 (K η) 2, (1.136) kde C 1 je libovolá kostata. Tuto kostatu upravíme ještě před dalším výpočtem ásledově (z důvodu jedoduššího vyjádřeí řešeí): C 1 = C, kde C je stále 27g libovolá kostata. Získáme ásledující homogeí řešeí q H (η) = C 27g (K η)2. (1.137) Partikulárí řešeí alezeme metodou variace kostat, tedy hledáme jej ve tvaru Zderivujeme partikulárí řešeí podle η: dq P (η) dη q P (η) = C(η) 27g (K η)2. (1.138) = C (η) 27g (K η)2 2 C(η) (K η). (1.139) 27g Dosazeím (1.138) a (1.139) do difereciálí rovice (1.133) ěkolika drobými úpravami a poté přímou itegrací získáme C (η) = 2 C(η) = 2η. (1.140)

36 30 Základí teoretické pozatky Partikulárí řešeí má tedy tvar q p (η) = 2 27g η(k η)2. (1.141) Obecé řešeí získáme součtem homogeího a partikulárího řešeí q(η) = C 27g (K η) g η(k η)2. (1.142) Posledím krokem je určeí kostaty C zohleděím počátečích podmíek a též dosazeí kostaty K, tj. Opět získáme q(η 1 ) = q l, η 1 = λ 1 (u(η 1 )) = v l gh l, K = v l + 2 gh l (1.143) q(η 2 ) = q r, η 2 = λ 1 (u(η 2 )) = v r gh r, K = v r + 2 gh r. (1.144) C = v l + 2 gh l = v r + 2 gh r = K. (1.145) Je vidět, že kostata je stejá jako předchozí kostata K (z tohoto důvodu jsme mírě upravovali tvar kostaty C 1 ). Pokud bychom chtěli vyjádřit závislost q(h), využijeme řešeí (1.129), a získáme eboli Nyí tedy záme chováí u přes vlu zředěí. Pro zájemce: q(h) = Kh 2h gh, (1.146) v(h) = K 2 gh, (1.147) Stejě jako v předchozím případě je kostata C 1. Riemaovým ivariatem (tj. fukce, která je kostatí a odpovídající itegrálí křivce), tedy rovítko mezi v l +2 gh l a v r gh r je oprávěé. Dále zde pro zájemce ačrteme jiý, elegatější, způsob řešeí druhé rovice. Protože záme chováí h(η) a záme i chováí itegrálí křivky (stavy popisující vlu zředěí musí ležet a odpovídající itegrálí křivce). Lze tedy pomocí řešeí (1.129) s kostatou defiovaou v (1.132) a odpovídající charakteristikou (po vyděleí h), viz (1.114), a využitím vlastosti 1. Riemaového ivariatu, získáme v(h) = v l + 2 gh l 2 gh = (1.148) = v r + 2 gh r 2 gh = (1.149) = K 2 gh. (1.150) Získali jsme tedy stejé řešeí druhé rovice, viz (1.147), a řešili jsme pouze jedodušší difereciálí rovici.

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

3. DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 3 DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Difereciálí rovice (dále je DR) jsou veli důležitou částí ateatické aalýz, protože uožňují řešit celou řadu úloh z fzik a techické prae Občejé difereciálí rovice: rovice, v íž se

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 17. ledna 2019 Jméo: Příklad 2 3 Celkem bodů Bodů 0 8 2 30 Získáo 0 Uvažujte posloupost distribucí {f } + = D (R defiovaou jako f (x = ( δ x m, kde δ ( x m začí Diracovu distribuci v bodě m Najděte limitu f = lim + f

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n

základním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

23. Mechanické vlnění

23. Mechanické vlnění 3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze

Více

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce skupina A 16. listopad dx NMAF06, ZS 07 08 Zápočtová písemá práce skupia A 6. listopad 07 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

5 Křivkové a plošné integrály

5 Křivkové a plošné integrály - 7 - Křivkové a plošé itegrály 5 Křivkové a plošé itegrály 51 Křivky Pozámka V této kapitole se budeme zabývat obecými křivkami v Vždy však můžeme položit = 2 či = a přejít tak k speciálím případům roviy

Více

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné

Spojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v

Více

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n

NMAF063 Matematika pro fyziky III Zkoušková písemná práce 25. ledna x 1 n Jméo: Příklad 3 Celkem bodů Bodů 8 0 30 Získáo [8 Uvažujte posloupost distribucí f } D R defiovaou jako f [δ kde δ a začí Diracovu distribuci v bodě a Najděte itu δ 0 + δ + této poslouposti aeb spočtěte

Více

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti

n-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti -rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

GEOMETRIE I. Pavel Burda

GEOMETRIE I. Pavel Burda GEOMETRIE I Pavel Burda Obsah Úvod... 4 1. Vektorové prostory... 5. Vektorové prostory se skalárím ásobeím... 9. Afií prostory... 19 4. Afií přímka ( A 1 )... 5 5. Afií rovia (A )... 6 6. Afií prostor

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12

definované pro jednotlivé řády takto: ) řádu n nazýváme číslo A = det( A) a a a11 a12 Předáška 3: Determiaty Pojem determiatu se prosadil původě v souvislosti s potřebou řešit soustavy lieárích rovic v 8 století (C Maclauri, G Cramer) Teprve později se pojem osamostatil, zjedodušilo se

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce

DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1

I. TAYLORŮV POLYNOM ( 1 I. TAYLORŮV POLYNOM Připomeňme si defiice elemetárích fukcí: a si( = 2+ = ( (2+! b cos( = 2 = ( (2! c e = =!. Dokažte, že Taylorův polyom k-tého řádu v bodě pro fukce f je rove polyomu P : (tyto výsledky

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5.

Cvičení z termomechaniky Cvičení 5. Příklad V kompresoru je kotiuálě stlačová objemový tok vzduchu [m 3.s- ] o teplotě 20 [ C] a tlaku 0, [MPa] a tlak 0,7 [MPa]. Vypočtěte objemový tok vzduchu vystupujícího z kompresoru, jeho teplotu a příko

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL

FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6

STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II

Více

Středoškolská technika 2015 ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA

Středoškolská technika 2015 ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA Středoškolská techika 05 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA Duša Köig Středí průmyslová škola strojická

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové: Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =

I. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) = Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

Lineární programování

Lineární programování Lieárí programováí Adjugovaý problém lieárího programováí V případě řešeí problému lieárího programováí LP ma{ c T : A b 0} získáváme výchozí přípustou jedotkovou bázi u doplňkových proměých a za předpokladu

Více

Mocninné řady - sbírka příkladů

Mocninné řady - sbírka příkladů UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Mocié řady - sbírka příkladů Vedoucí bakalářské práce: Mgr. Iveta Bebčáková, Ph.D.

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

O Jensenově nerovnosti

O Jensenově nerovnosti O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)

Více

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha

1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha 74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo 1 2 3 4 5 BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI

6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI 6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

a my chceme data proložit nějakou hladkou funkcí, která by vystihovala hlavní vlastnosti dat, ale ignorovala malé fluktuace a nepřesnosti.

a my chceme data proložit nějakou hladkou funkcí, která by vystihovala hlavní vlastnosti dat, ale ignorovala malé fluktuace a nepřesnosti. Vyováváí dat Naše pozoováí jsou dáa tabulkou čísel, kde y y y i často bývají časové údaje, a my chceme data položit ějakou hladkou fukcí, kteá by vystihovala hlaví vlastosti dat, ale igoovala malé fluktuace

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více