Rozdělení spojitých veličin

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Rozdělení spojitých veličin"

Transkript

1 Rozdělení spojitých veličin Frekvenční distriuční funkce spojité náhodné veličiny (NV) Rovnoměrné spojité rozdělení Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Normální normovné rozdělení Logritmicko - normální rozdělení Eponenciální rozdělení χ - rozdělení (Personovo) Studentovo t - rozdělení Fischerovo - Snedecorovo F - rozdělení

2 FREKVENČNÍ FUNKCE spojité NV Pokud u spojité náhodné veličiny X vynášíme n osu y prvděpodonost, dostneme FREKVENČNÍ FUNKCI neoli HUSTOTU PRAVDĚPODOBNOSTI.

3 DISTRIBUČNÍ FUNKCE spojité NV Pokud u spojité náhodné veličiny vynášíme n osu y KUMULATIVNÍ prvděpodonost, dostneme DISTRIBUČNÍ FUNKCI.

4 DISTRIBUČNÍ FUNKCE spojité NV Distriuční funkce spojité NV má tvr esovité křivky je nezáporná neklesjící nejvýše 0 F( ) F ( ) f ( t) dt Pro zvolenou hodnotu p nlezneme n vodorovné ose hodnotu kvntilu (p).

5 Rovnoměrné spojité rozdělení U různých progrmových produktů (tulkové procesory, progrmovcí jzyky, sttistické simulční progrmy) je dostupný tzv. generátor náhodných čísel. Je to funkce, jejímž voláním lze získt hodnoty náhodné veličiny, které mjí rovnoměrné rozdělení prvděpodonosti. Běžně se setkáváme s tím, že tto funkce generuje hodnoty spojité veličiny U z intervlu [0,). Některé progrmové produkty dovolují i generování hodnot diskrétní náhodné veličiny s rovnoměrným rozdělením, jink tyto hodnoty můžeme získt vhodnou trnsformcí (zokrouhlením) spojité veličiny X. Je nutno mít n pměti, že tzv. generátory náhodných čísel jsou deterministické lgoritmy, tzn., že jednou vygenerovnou řdu hodnot jsme schopni při stejném počátečním zdání přesně zopkovt. Vygenerovné hodnoty tedy nejsou, přísně vzto, náhodné. Proto se někdy tkto vygenerovným hodnotám říká pseudonáhodná čísl.

6 Rovnoměrné spojité rozdělení - Frekvenční funkce Spojitá náhodná veličin X má rovnoměrné rozdělení, jestliže hustot prvděpodonosti je n intervlu hodnot (,) konstntní mimo tento intervl nulová. Ploch pod frekvenční křivkou (úsečkou) f ( ) f() 0 pro < < jink

7 Rovnoměrné spojité rozdělení - Distriuční funkce Distriuční funkce rovnoměrně rozdělené náhodné veličiny X je F() 0 pro pro < < F() pro ) ( ) ( ) ( ) ( dt t f X P F <

8 Rovnoměrné spojité rozdělení - střední hodnot rozptyl Mtemticky je střední hodnot NV s distriuční funkcí F() definovná pomocí integrálu je to vlstně součet všech možných hodnot vynásoený jejich prvděpodoností Rozptyl vypočteme doszením do vzorce: vr(x)e(x ) - [E(X)] ) ( d X E + ) vr( + d X ) df( µ d d d f X E ) ( ) (

9 Rovnoměrné spojité rozdělení odvození vzorce pro rozptyl Anlogicky: Zpsáno v jiném tvru: vr(x) E(X ) - [E(X)] ) vr( + d X + n i i i n i i n n X ) ( ) ( ) vr( + n i i n i i n n

10 Rovnoměrné spojité rozdělení odvození vzorce pro rozptyl ( ) ) vr( 3 d X ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) vr( X

11 Normální rozdělení spojitých veličin Budeme zkoumt rozdělení četností (prvděpodonosti výskytu) různých hodnot u iologických i jiných veličin, npř.: tělesná výšk dospělých mužů váh novorozených dětí hodnoty cholesterolu pcientů z cévní pordny IQ školních dětí počet slov n potištěných stránkách životnost žárovek Tyto veličiny udeme povžovt z spojité rozdělení prvděpodonosti výskytu jejich hodnot nzývt NORMÁLNÍ krjní hodnoty (nízké vysoké) se vyskytují jen zřídk prostřední hodnoty jsou směrem ke střední hodnotě četnější mlá četnost mlá prvděpodonost výskytu velká četnost vysoká prvděpodonost výskytu

12 Prvděpodonostní funkce spojité náhodné veličiny Spojitou NV měříme s omezenou přesností: přesnost omezená měřicími přístroji neo nšimi schopnostmi zorzujeme ji Histogrmem četností (sloupcovým grfem) Frekvenční funkcí neoli Hustotou prvděpodonosti inch

13 Prvděpodonostní funkce Normálního rozdělení inch Histogrm četností je měření ovodu hrudi 5738 skotských vojáků (utorem je Belgičn Adolph Quételet). Křivk je Frekvenční funkce neoli Hustot prvděpodonosti O první uveřejnění spisku o této křivce se zsloužil v roce 733 frncouzský mtemtik Arhm de Moivre.

14 Prvděpodonostní funkce Normálního rozdělení ROZDĚLENÍ (ROZLOŽENÍ) NÁHODNÉ VELIČINY tedy znázorníme PRAVDĚPODOBNOSTNÍ neoli FREKVENČNÍ FUNKCÍ. Hldkou křivku můžeme tké nzvt HUSTOTA PRAVDĚPODOBNOSTI Př. Hmotnost nrozených dětí

15 Normální rozdělení Normální rozdělení je myšlenkovým modelem. Normální křivk je jednoznčně určen dvěm prmetry: střední hodnotou rozptylem resp. směrodtnou odchylkou Střední hodnot je v tomto přípdě ritmetický průměr, medián i modus - určuje střed křivky n ose Rozptyl určuje plochost neo nopk špičtost křivky (čím je rozptyl větší, tím je křivk plošší )

16 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Oecné normální rozdělení má ve sttistice dominntní postvení. Mnohé náhodné veličiny v přírodních vědách i ekonomice mjí toto rozdělení neo lze jejich rozdělení Normálním rozdělením doře proimovt. Proč? V BIOSTATISTICE je rozdělení hodnot dáno především BIOLOGICKOU VARIABILITOU SLEDOVANÉ VELIČINY měřenou proměnnou ovlivňuje součsně velký počet neptrných vzájemně nezávislých náhodných vlivů. Projevuje se to kolísáním kolem střední hodnoty tk, že n oě strny jsou výsledky stále méně čsté etrémní hodnoty se ojevují jen ojediněle.

17 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Normální rozdělení N(μ; σ ) je popsáno mtemtickou funkcí: f ( ) e σ π ( µ ) µ σ e σ π σ Frekvenční funkce je symetrická zvonovitá funkce jejíž špičtost závisí nepřímo n velikosti rozptylu σ Normální rozdělení je stejně jko osttní rozdělení myšlenkovým modelem, nikoli ektním přírodním zákonem. I zde pltí, že se může vyskytnout nejméně prvděpodoná hodnot.

18 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Normální rozdělení pltí pro (téměř) všechny výěry Npř. zkoumáme váhu stovky (tisíce, sttisíce) hvrnů. Všichni jsou černí, le jejich váhy se udou lišit nejen u jednotlivců, le u různých výěrů. Pokud jejich váhy jsou rozděleny normálně, součet vh výěrů je tké rozdělen normálně. Oecně pltí, že normálně ude rozdělen i veličin, která vznikne součtem výěrů, i kdyy původní veličin normální rozdělení neměl. Normální křivku mtemticky popsl poprvé v roce 733 Arhm de Moivre, frncouzský mtemtik, který utekl do Londýn. N zákldě inomického rozdělení uskutečnil myšlenkový skok od sloupečků k hldké křivce. Jenže křivk i rovnice updly v zpomnění.

19 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Znovuojeven yl jko GAUSSOVA LAPLACEOVA KŘIVKA CHYB. Proč chy? N přelomu století získávli stronomové při svých měřením ve vesmíru kvůli nedokonlosti přístrojů stále odlišné hodnoty. Astronomové mezi nimi Guss Lplce - hledli cestu, jk ze spousty různých výsledků njít prvděpodoně správnou hodnotu. Nejprve chtěli vypočítt ritmetický průměr, le pk o došli k závěru, že velmi odlišné hodnoty vyloučí udou se zývt jen těmi podonějšími. Nejčetnější hodnoty yly prostřední odpovídl jim i ritmetický průměr. Pro práci s odchylkmi (npř. + -, +5-5) zvolil kždý jinou cestu: Lplce solutní hodnoty, Guss chyy umocnil n druhou tento postup se pk upltnil při výpočtu rozptylu směrodtné odchylky. Pro iometrii vědu o měření člověk ojevil normální rozdělení elgický vědec Adolphe-Lmert Quételet, jeden ze zkldtelů Královské sttistické společnosti v Londýně.

20 Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) Quételet zvedl pojem homme moyen tvrdil, že přírod se snží vytvořit ideální typ člověk, le že různě chyuje. Měl odpůrce i stoupence, npř. Frncis Glton zvedl do iologie kvntittivní metody měrné stupnice pro všechny možné tělesné znky. Dlším odivovtelem normální křivky yl Krl Person, otec moderní mtemtické sttistiky. Stnovil, že i v přírodě jsou nenormálně rozdělené veličiny. Pokusil se vyprcovt specifická schémt rozdělení pro tyto přípdy po pečlivém rozoru skutečností zjistil, že se ovykle jedná o spletence dvou neo více normálních rozdělení. Výsledkem dohdů o normálním rozdělení je centrální limitní vět, která nám říká si toto: Jestliže je znk určen půsoením většího počtu nvzájem nezávislých vlivů, výsledkem je lespoň přiližně normální rozdělení, ť už je kždý z těchto fktorů rozdělen jkkoliv.

21 Pltí: Normální rozdělení (Gussovo, Guss-Lplceovo) - součet či rozdíl normálních veličin je normální - tedy i průměr normálně rozdělených veličin je normální - čím více nezávislých náhodných veličin sčítáme, tím je jejich součet líž normálnímu rozdělení to ez ohledu, jké měly původní veličiny rozdělení Povžujeme ho z rozdělení, které vystihuje rozložení SPOJITÝCH KVANTITATIVNÍCH VELIČIN. Můžeme ho popst pomocí dvou prmetrů μ σ. Tyto prmetry jsou mírou polohy měřítk jejich přirozeným odhdem je výěrový průměr výěrový rozptyl. Mtemticky lze dokázt, že pro dosttečně velké n je inomické rozdělení Bi(n; π) podoné normálnímu rozdělení N(nπ; nπ(-π))

22 Grfy hustoty prvděpodonosti Normálního rozložení

23 Grfy odpovídjících distriučních funkcí Normálního rozložení

24 Frekvenční funkce PRAVIDLO TŘÍ SIGMA -3δ -δ -δ 0 δ δ 3δ - odchylky n oě strny jsou stejně prvděpodoné (symetrie, šikmost 0) - v úseku δ +δ leží 68,6% přípdů, tj. o něco víc než /3 celkové plochy - v úseku δ +δ leží 95% přípdů - v úseku 3δ +3δ leží 99,7% přípdů Normální křivk se teoreticky rozkládá od - do +

25 Normovné normální rozdělení znčíme někdy místo N(0; ) symolem U neo Z Má střední hodnotu μ 0 směrodtnou odchylku σ Je popsáno mtemtickou funkcí: která vznikl zjednodušením rovnice doszením z μ 0 σ Normovné normální rozdělení N (0; ) ) ( e f π ) ( σ µ π σ e f

26 Normovné normální rozdělení N (0;) Normování je účelná konvence: vzorec pro přepočet hodnot normovného rozdělení je: Důvody: pro střední hodnotu 0 je rozložení symetrické (šikmost 0) pro směrodtnou odchylku je špičtost 0 z µ pro testování hypotéz potřeujeme mít k dispozici kritické hodnoty převod n Normovné rozdělení nám umožní použít sttistické tulky, v nichž jsou telovány hodnoty pouze pro μ 0 σ σ Poznámk: sttistické progrmy už umí prcovt i s oecným normálním rozdělením

27 Sttistická tulk rozdělení prvděpodoností N(0; )

28 Příkld O rozdělení IQ oyvtel je známo, že má normální rozdělení se střední hodnotou 00 směrodtnou odchylkou 0, tj. N(00; 00) Jká je prvděpodonost, že vše kmrádk má. IQ > 85. IQ > 5 3. IQ mezi IQ 00 Vypočteme z - skóry pro N(0; ). 85:. 5: z 0,5 500 z, : z ,0 4. 0: z ,0

29 Příkld - řešení. IQ > 85 -,5. IQ > 5,5 3. IQ mezi IQ 00 Prvděpodonost:. 0, ,994: 0, ,84-0,59: 0,

30 LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Příkldy: Koncentrce látek Hmotnost dospělého muže U normálního rozdělení se chyy sčítjí, zjímá nás o kolik se změní sledovná veličin (ditivní). U logritmicko-normálního se ptáme kolikrát se změní sledovná veličin (multipliktivní) vytváří násoek skutečné veličiny, tře lízký jedné. Tento násoek můžeme ještě názorněji vyjádřit procentuelně. zvýšení hmotnosti člověk s 50 kg o 5 kg je 0%, tj. násoek, zvýšení hmotnosti člověk se 00 kg o 5 kg je 5% tj. násoek,05 Proto je vhodnější počítt tyto veličiny v logritmicko normálním rozložení.

31 LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Pokud si nkreslíme histogrm s rozdělením váhy v normálních hodnotách, histogrm není symetrický, le zešikmený kldně - v prvé části se ude ojevovt více odlehlých hodnot Pokud y průměrná hmotnost dospělého muže yl 80 kg, pk njdeme dleko víc mužů, kteří váží přes 00 kg než mužů, kteří váží méně než 60. Zároveň odchylk 50 kg se ve vyšších hodnotách ude zcel jistě vyskytovt (váh 30 kg), le v nižších hodnotách (30 kg) se skoro jistě nevyskytne vůec. Pokud stejné rozdělení zorzíme jko logritmy hodnot, rozdělení se ude jevit symetrické. Mjí-li tyto logritmy normální rozložení, mluvíme o logritmickonormálním rozdělení. Chrkteristikou polohy je geometrický průměr, který vypočteme odlogritmováním průměru logritmů. Testy výpočty intervlů počítáme tké z logritmů nměřených hodnot. Meze intervlů jsou nesymetrické.

32 LOGARITMICKO - NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ Vyznčuje se kldným zešikmením Příkldy: - koncentrce - hmotnost postvy

33 EXPONENCIÁLNÍ ROZDĚLENÍ Používá se nejčstěji pro nlýzu doy přežití v iologii neo ve fyzice pro modelování rychlosti rozpdu izotopů. Nejjednodušší model prvděpodonosti přežití je zložen n myšlence, že prvděpodonost úmrtí je v kždém okmžiku stejná, tj. prvděpodonost, že sledovná oso zemře v dném okmžiku z předpokldu, že se tohoto okmžiku dožil, je konstntní nezávisí n čse. Hustot eponenciálního rozdělení je popsán vzorcem: f ( ) e e Zákldní chrkteristiky jsou: E(X) vr(x)

34 Výěrová rozdělení veličin Mějme náhodnou veličinu o které předpokládáme, že má Normální rozdělení s prmetry μ σ. V pri čsto neznáme skutečné hodnoty těchto prmetrů musíme je nhrdit jejich odhdy. Tto trnsformce změní rozložení zkoumné veličiny. Proto yl odvozen jiná (výěrová) rozdělení, která slouží jko vzor pro porovnávání s výěrovým rozdělením. V kpitole o Sttistických testech udeme hledt způso, jk určit shodu mezi nší náhodnou veličinou teoretickým rozdělením, o kterém předpokládáme, že je modelem pro nše dt.

35 Výěrová rozdělení veličin Jinými slovy: Při testování veličiny vypočteme testovcí sttistiku, o které víme, že z pltnosti testovné hypotézy, má nějké výěrové rozdělení, npř.: χ rozdělení (používá se pro popis výěrového rozptylu) Studentovo t - rozdělení (nejčstěji se používá k porovnání průměrů) Fisherovo F rozdělení (použití pro porovnání rozptylů ve dvou souorech neo při porovnání rozptylů závislých veličin v lineární regresi)

36 χ rozdělení (Personovo) Mějme n nezávislých náhodných veličin s normovným normálním rozdělením N(0; ): U, U,, U n Potom náhodná veličin X má rozdělení s n-stupni volnosti. Je to rozdělení součtu n druhých mocnin normálně rozdělených veličin. Hodnot n je jediný prmetr tohoto rozdělení. Zákldní chrkteristiky: E(X) n, D(X) n Hustot rozdělení je pro hodnoty 0 nulová (viz orázek dále). χ n i U i

37 χ rozdělení (Personovo) S rostoucím n se rozdělení χ n i U i líží normálnímu rozdělení χ N(n, n) s prmetry μ n σ n

38 χ rozdělení (Personovo) Distriuční funkci, stejně jko hustotu rozdělení, nelze vyjádřit jednoduchým výrzem, proto je telován, podoně jko kvntily rozdělení chí kvdrát. Telovné hodnoty njdeme ve sttistických tulkách, kde jsou ovykle v levém sloupci stupně volnosti v horním řádku njdeme hldinu význmnosti α (vysvětlení njdete v kpitole o sttistických testech). χ V Ecelu pro určení kvntilů rozdělení můžeme použít funkci CHISQ.INV, jejíž prmetry jsou p, tj. levostrnná prvděpodonost počet stupňů volnosti, tkže npř. zdáním CHISQ.INV(0,95;0) dostneme hodnotu 0,95-kvntilu rozdělení χ pro 0 stupňů volnosti 8,307

39 χ rozdělení (Personovo) nlogická funkce CHISQ.INV.RT, počítá kvntily zprv, tj. CHISQ.INV.RT(0,05;0) vypočte stejnou hodnotu kvntilu jko CHISQ.INV(0,95;0). Tto funkce je inverzní k funkci distriuční, tj. pro CHISQ.DIST s prmetry (; n; ), kde je kvntil, n je počet stupňů volnosti určuje, že se jedná o distriuční funkci. Oecně má funkce CHISQ.DIST prmetry (; n; kumultivní), kde je kvntil, n je počet stupňů volnosti kumultivní je prvd () - distriuční funkce, neo neprvd (0) - frekvenční funkce (hustot prvděpodonosti). nlogicky funkce CHISQ.DIST.RT vrátí hodnotu distriuční funkce zprv. Třetí prmetr nemá.

40 χ rozdělení (Personovo) Používá se nejčstěji pro popis výěrového rozptylu. Tvr rozložení je závislý n počtu sčítnců n, le toto číslo musíme v přípdě, že pro výpočet použijeme odhd jednoho neo více prmetrů, zmenšit o příslušný počet odhdovných prmetrů. Příkld: pro výpočet odhdu ROZPTYLU, kdy použijeme odhd průměru, je počet stupňů volnosti (n ) místo n (odhdovli jsme prmetr). Ve složitějších přípdech ývá počet odhdovných prmetrů větší počet stupňů volnosti se tím zmenší.

41 Studentovo t - rozdělení Tké Studentovo t-rozdělení ptří mezi rozdělení odvozená od Normálního rozdělení můžeme ho popst funkcí: kde veličin U má stndrdizovné normální rozložení veličin t χ U χ n chí-kvdrát rozdělení o n - stupních volnosti Sttistické chrkteristiky: E(T) 0, D(T) n n

42 Studentovo t - rozdělení S rostoucím n se t-rozdělení líží normovnému normálnímu rozdělení pro n > 40 ho můžeme nhrdit normovným rozdělením N (0; ) Název získlo rozdělení podle pseudonymu chemik pivovru Guiness v Dulinu Willim Sely Gosset, jednoho ze zkldtelů plikcí induktivní sttistiky v olsti nesporně význmné - v zezpečení kvlity piv. Nejčstěji se používá k porovnání průměrů. Kvntily t-rozdělení jsou telovány neo je můžeme určit pomocí softwre.

43 Studentovo t - rozdělení V Ecelu eistují funkce T.INV T.INV.T s dvěm prmetry: prvděpodonost počet stupňů volnosti. Kždá z nich se chová jink: T.INV vrcí hodnotu p-kvntilu zlev, npř. T.INV(0,04; 40) -,796 T.INV.T počítá s ooustrnnou prvděpodoností, npř. T.INV.T(0,04; 40),3 - vrcí hodnotu kvntilu pro prvděpodonost 0,98 zprv, tzn., že n oou strnách křivky ukrojíme hodnoty s prvděpodoností < než 0,0. Je to proto, že n rozdíl od funkce chí-kvdrát Normálního rozdělení je pro Studentovo rozdělení definován hldin význmnosti α ooustrnně: P{ T t(α)} α

44 Studentovo t - rozdělení Co znmená hldin význmnosti α ude vysvětleno v kpitole u sttistických testů. Ztím n příkldu: řekli jsme, že Studentovo rozdělení pro n > 40 můžeme nhrdit Normálním normovným rozdělením. T.INV (0,4; 40) -0,55 T.INV.T (0,8; 40) 0,55... ooustrnná prvděpodonost NORM.S.INV (0,4) -0,53... prvděpodonost zprv NORM.S.INV (0,6) 0,53... zlev prvděpodonost 0,04

45 Studentovo t - rozdělení Anlogicky njdeme v Ecelu Distriuční funkci T.DIST s prmetry, volnost, kumultivní, kde je kvntil, volnost je počet stupňů volnosti kumultivní je prvd () - distriuční funkce, neo neprvd (0) - frekvenční funkce (hustot prvděpodonosti). Funkce T.DIST.RT poskytne hodnotu prvostrnného Studentov rozdělení funkce T.DIST.T poskytne hodnotu ooustrnného Studentov rozdělení

46 Studentovo t - rozdělení

47 Studentovo t - rozdělení Telování hodnot studentov rozdělení: P{ T t(α)} α Telování hodnot Normálního normovného rozdělení: P{X u(α)} α Asolutní hodnot u Studentov rozdělení zdvojnásoí hldinu význmnosti pro stejnou hodnotu nezávisle proměnné (testovcí sttistiky): Z(α) ~ t(α), npř. Z,576 pro α 0,005 t,576 pro α 0,0 (pro nekonečně velký počet stupňů volnosti) V Ecelu použijeme funkce: NORM.S.INV (-α) pro Normální normovné rozdělení T.INV.T (α; počet stupňů volnosti) pro Studentovo rozdělení

48 Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení Mějme dvě nezávislé náhodné veličiny s rozdělením Veličin χ n χ F m χ má Fischerovo - Snedecorovo rozdělení s n m stupni volnosti. N pořdí prmetrů záleží. n n Sttistické chrkteristiky: E(F) D(F) n ( m + n ) m( n ) ( n 4) Používá se především pro testování rozdílnosti rozptylů při porovnání rozptylů závislých veličin v lineární regresi

49 Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení

50 Fischerovo - Snedecorovo F-rozdělení V Ecelu kvntily počítá funkce F.INV s prmetry -p, n, m, npř. F.INV(0,05; 0; 0) vrátí hodnotu,3478, což je 0,95-kvntil Vzhledem k tomu, že náhodná veličin F je podílem veličin X Y, pro kvntily F-rozdělení pltí Fn, m( p) F ( p) F.INV(0,5;00;0),3 F.INV(0,75;0;00) 0,76 /0,76,3 m, n

51

52

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná Vybraná spojitá rozdělení PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Vybrná spojitá rozdělení Zákldní soubor u spojité náhodné proměnné je nespočetná množin. Z je tedy podmnožin množiny reálných čísel (R). Distribuční funkce

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306 7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu

Při výpočtu obsahu takto omezených rovinných oblastí mohou nastat následující základní případy : , osou x a přímkami. spojitá na intervalu Geometrické plikce určitého integrálu Osh rovinné olsti Je-li ploch ohrničen křivkou f () osou Při výpočtu oshu tkto omezených rovinných olstí mohou nstt následující zákldní přípd : Nechť funkce f () je

Více

Lineární nerovnice a jejich soustavy

Lineární nerovnice a jejich soustavy teorie řešené úlohy cvičení tipy k mturitě výsledky Lineární nerovnice jejich soustvy Víš, že pojem nerovnice není opkem pojmu rovnice? lineární rovnice má většinou jediné řešení, kdežto lineární nerovnice

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. .. Ojem rotčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí určitého integrálu výpočtem ojemu rotčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si prostudovli zvedení pojmu určitý integrál (kpitol.).

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady: 4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové

Více

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem

2.8.5 Lineární nerovnice s parametrem 2.8.5 Lineární nerovnice s prmetrem Předpokldy: 2208, 2802 Pedgogická poznámk: Pokud v tom necháte studenty vykoupt (což je, zdá se, jediné rozumné řešení) zere tto látk tk jednu půl vyučovcí hodiny (první

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Větu o spojitosti a jejich užití

Větu o spojitosti a jejich užití 0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

( a) Okolí bodu

( a) Okolí bodu 0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

Logaritmické rovnice I

Logaritmické rovnice I .9.9 Logritmické rovnice I Předpokldy: 95 Pedgogická poznámk: Stejně jko u eponenciálních rovnic rozkldů n součin bereme ritmické rovnice jko nácvik výběru metody. Sestvujeme si rzenál metod n konci máme

Více

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í

I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ SPOJITÝCH NÁHODNÝCH VELIČIN Rovnoměrné rozdělení R(a,b) rozdělení s konstantní hustotou pravděpodobnosti v intervalu (a,b) f( x) distribuční funkce 0 x a F( x) a x b b a 1 x b b 1 a x a a x b

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učení mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo název šlony klíčové ktivity III/ Inovce zkvlitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce

Více

p(x) = P (X = x), x R,

p(x) = P (X = x), x R, 6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících. 4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení. 4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic

2.2.9 Grafické řešení rovnic a nerovnic ..9 Grfické řešení rovnic nerovnic Předpokldy: 0, 06 Př. : Řeš početně i grficky rovnici x + = x. Početně: Už umíme. x + = x x = x = K = { } Grficky: Kždá ze strn rovnice je výrzem pro lineární funkci

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU

3. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V mtemtice, le zejmén v přírodních technických vědách, eistuje nepřeerné množství prolémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsoem použít

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Přednáška 9: Limita a spojitost

Přednáška 9: Limita a spojitost 4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507

{ } ( ) ( ) 2.5.8 Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice. Předpoklady: 2301, 2508, 2507 58 Vzth mezi kořen koefiient kvdrtiké rovnie Předpokld:, 58, 57 Pedgogiká poznámk: Náplň zřejmě přeshuje možnost jedné vučoví hodin, příkld 8 9 zůstvjí n vičení neo polovinu hodin při píseme + + - zákldní

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Konstrukce na základě výpočtu I

Konstrukce na základě výpočtu I ..11 Konstrukce n zákldě výpočtu I Předpokldy: Pedgogická poznámk: Původně yl látk rozepsnou do dvou hodin, v první ylo kromě dělení úseček zřzen i čtvrtá geometrická úměrná. Právě její prorání se nestíhlo,

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25 56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou

Více

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Výpočet obsahu rovinného obrazce Výpočet oshu rovinného orzce Pro výpočet oshu čtverce, odélník, trojúhelník, kružnice, dlších útvrů, se kterými se můžeme setkt v elementární geometrii, máme k dispozici vzorce Kdchom chtěli vpočítt osh

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie

Psychologická metodologie. NMgr. obor Psychologie Pržská vysoká škol psychosociálních studií, s.r.o. Temtické okruhy ke státní mgisterské zkoušce Psychologická metodologie NMgr. oor Psychologie 1 Vědecká teorie vědecká metod Vědecké vysvětlení, vědecký

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady:

4.4.3 Kosinová věta. Předpoklady: 443 Kosinová vět Předpokldy 44 Př Rozhodni zd dokážeme spočítt zývjíí strny úhly u všeh trojúhelníků zdnýh pomoí trojie prvků (délek strn velikostí úhlů) V sinové větě vystupují dvě dvojie strn-protější

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

Funkce jedné proměnné

Funkce jedné proměnné Funkce jedné proměnné Lineární funkce f: y = kx + q, D f = R, H f = R, grf je přímk množin odů [x, y], x D f, y = f(x) q úsek n ose y, tj. od [0, q], k směrnice, k = tn φ = 2 2 1 1, A[ 1, 2 ], B[ 1, 2

Více

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI)

Úvod do Teoretické Informatiky (456-511 UTI) Úvod do Teoretické Informtiky (456-511 UTI) Doc. RNDr. Petr Hliněný, Ph.D. petr.hlineny@vs.cz 25. ledn 2006 Verze 1.02. Copyright c 2004 2006 Petr Hliněný. (S využitím části mteriálů c Petr Jnčr.) Osh

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

Křivkový integrál funkce

Křivkový integrál funkce Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd

Více

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C

Úlohy školní klauzurní části I. kola kategorie C 52. ročník mtemtické olympiády Úlohy školní kluzurní části I. kol ktegorie 1. Odtrhneme-li od libovolného lespoň dvojmístného přirozeného čísl číslici n místě jednotek, dostneme číslo o jednu číslici krtší.

Více

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ

2. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ . INTEGRÁLNÍ POČET FUNKE JEDNÉ PROMĚNNÉ Při řešení technických prolémů, ve fyzice pod. je velmi čsto tře řešit orácenou úlohu k derivování. K zdné funkci f udeme hledt funkci F tkovou, y pltilo F f. Budeme

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY

5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5 ZÁKLADNÍ TYPY ROZDĚLENÍ PRAVDĚPODOBNOSTI SPOJITÉ NÁHODNÉ VELIČINY 5. Rovnoměrné rozdělení R(a,) - má náhodná veličina X, která má stejnou možnost naýt kterékoliv hodnoty z intervalu < a, >; a, R Definice

Více

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11

a i,n+1 Maticový počet základní pojmy Matice je obdélníkové schéma tvaru a 11 Mticový počet zákldní pojmy Mtice je obdélníkové schém tvru 2...... n 2 22. 2n A =, kde ij R ( i =,,m, j =,,n ) m m2. mn ij R se nzývjí prvky mtice o mtici o m řádcích n sloupcích říkáme, že je typu m/n

Více

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n,

ZÁKLADNÍ POZNATKY. p, kde ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množina všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, ZÁKLADNÍ POZNATKY ČÍSELNÉ MNOŽINY (OBORY) N... množin všech přirozených čísel: 1, 2, 3,, n, N0... množin všech celých nezáporných čísel (přirozených čísel s nulou: 0,1, 2, 3,, n, Z... množin všech celých

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá

Více

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909

2.9.11 Logaritmus. Předpoklady: 2909 .9. Logritmus Předpokld: 909 Pedgogická poznámk: Následující příkld vždují tk jeden půl vučovcí hodin. V přípdě potřeb všk stčí dojít k příkldu 6 zbtek jen ukázt, což se dá z jednu hodinu stihnout (nedoporučuji).

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31

Minimalizace automatů. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 28. března / 31 Minimlizce utomtů M. Kot, Z. Sw (VŠB-TU Ostrv) Úvod do teoretické informtiky 28. řezn 2007 1/ 31 Ekvivlence utomtů 1 2 3 1 2 3 1 2 Všechny 3 utomty přijímjí jzyk všech slov se sudým počtem -ček Nejvýhodnějšíjepronásposledníznich-mánejméněstvů

Více

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa.

Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu pláště rotačního tělesa. .4. Obsh pláště otčního těles.4. Obsh pláště otčního těles Cíle Seznámíte se s dlší plikcí učitého integálu výpočtem obshu pláště otčního těles. Předpokládné znlosti Předpokládáme, že jste si postudovli

Více

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t

( ) ( ) ( ) Exponenciální rovnice. 17.3. Řeš v R rovnici: 3 + 9 + 27 = ŘEŠENÍ: Postup z předešlého výpočtu doplníme využitím dalšího vztahu: ( ) t s t 7. EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 7.. Řeš v R rovnice: ) 5 b) + c) 7 0 d) ( ) 0,5 ) 5 7 5 7 K { } c) 7 0 K d) ( ) b) + 0 + 0 K ( ) 5 0 5, 7 K { 5;7} Strtegie: potřebujeme zíkt tkový tvr rovnice, kd je n obou trnách

Více

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu

4.2.1 Goniometrické funkce ostrého úhlu .. Goniometriké funke ostrého úhlu Předpokldy: 7 Dnešní látku opkujeme už potřetí (poprvé n zčátku mtemtiky, podruhé ve fyzie) je to oprvdu důležité. C C C C C C Všehny prvoúhlé trojúhelníky s úhlem α

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

Logaritmická funkce teorie

Logaritmická funkce teorie Výukový mteriál pro předmět: MATEMATIKA reg. č. projektu CZ..07/..0/0.0007 Logritmická funkce teorie Eponenciální funkce je funkce prostá, proto k ní eistuje inverzní funkce. Tto inverzní funkce se nzývá

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

Normální rozložení a odvozená rozložení

Normální rozložení a odvozená rozložení I Normální rozložení a odvozená rozložení I.I Normální rozložení Data, se kterými pracujeme, pocházejí z různých rozložení. Mohou být vychýlena (doleva popř. doprava, nebo v nich není na první pohled vidět

Více