Exponenciála a logaritmus

Transkript

1 Exponenciála a logaritmus 1 Exponenciála a logaritmus Michael Krbek 1. Mocniny, odmocniny a jejich zobecnění. Mocninu reálného čísla a s mocnitelem(exponentem) n, který je přirozeným číslem, definujeme a n = a.a...a }{{}. (1) n krát Číslo a tedy pouze n-krát vynásobíme samo sebou, např. ( ) 4 = = = Zde je vhodné místo upozornit na pravidla, týkající se uzávorkování výrazů obsahujících mocniny. Mocnina se vždy týká pouze výrazu, který se vyskytuje bezprostředně před ní, např. 4 = (...)= 16 ( ) 4 =( ).( ).( ).( )=16. Pro a Ram,n Nplatí a m+n = a m.a n, () důkaz si proveďte rozepsáním pravé i levé podle definice. Dále platí Důkaz: levá strana je (a m ) n = a m.n =(a n ) m. (3) a.a...a }{{}.a.a...a }{{}...a.a...a }{{}. m krát } m krát {{ m krát } n krát Celkemsetedyjednáom.nnásobení,druhárovnostjetímpádemzřejmá (pouzeprohodíme man). Pro záporné celočíselné mocnitele lze pro a 0 dodefinovat a n = 1 a n

2 Exponenciála a logaritmus tak,žestáleplatíjak()taki(3). Pro a >0budemevdalšímdefinovatmocninysracionálnímmocnitelem,tj. a m n, přičemž budeme požadovat, aby stále platilo() i(3). S využitím vlastnosti (3)sestačíomezitnavýrazytypu a 1 n, n Nrovněžoznačovanýmjako n a,nazývaným n-táodmocnina.funkce x n xjeinverznífunkcíkfunkci mocninné x x n,tétoskutečnostiseobvyklevyužívápřijejímvýpočtu. Příklady: (1) Umocněte čísla a upravte (a)4 3, (b) ( 3 ) 3, (c), ( ) () Najděte příklad posloupnosti racionálních čísel, která se blíží k nějakému reálnému číslu, které není racionální. (3) Krystal roste tak, že každým rokem má přesně 1.-krát větší objem. Dne bylobjemkrystalu154.8mm 3.Jakýobjemmákrystal dnes? (4) Jak se změní výsledky v předchozím příkladu, pokud změníme počátečníobjemkrystaluo±0.1mm 3?Acokdyžzměnímeročnínárůst krystalu o ±0.01?. Exponenciální funkce. Každé reálné číslo x R lze přesněji a přesněji vyjadřovat pomocí čísel racionálních.

3 Exponenciála a logaritmus Pokudnyníchcemepro a >0reálnédefinovatreálnou mocninu, můžeme tak učinit pomocí stále se zpřesňující posloupnosti racionálních mocnitelů. Využíváme zde přímo definiční vlastnosti reálných čísel, která jsou definována jako limity posloupností čísel racionálních. Pro reálné a > 0 tedymůžemedefinovatfunkci x a x sdefiničnímoboremraoboremhodnot(0, ),které říkáme exponenciální funkce se základem a. Po levéstranějenačrtnuttypickýgraftakovéfunkce(jezvoleno a=).naproti tomupro0 < a <1jdeoklesajícífunkci,pro a=1jdezřejměokonstantní funkci 1. Základní vlastnosti exponenciální funkce jsou: (a)grafexponenciálnífunkce x a x vždyprocházíbodem(0,1). (b)provšechna a >0jeia x >0. (c)platí-li a x = a y,pak x=y. Věnujmesenynípřírůstkuexponenciálnífunkce x a x asměrnicisečny kjejímugrafu.označme(x,a x )a(x+h,a x+h )bodynagrafutétofunkce; potom směrnice sečny procházející těmito body je Dáseukázat,žepro h 0sezlomek k(x,h)= ax+h a x x+h x = 1 axah. (4) h a h 1 h blížíkonstantěnezávisléna h,jakjevidětztabulkynížeprozáklad a=. h ( h 1)/h

4 Exponenciála a logaritmus 4 Výslednáhodnota k(x,h 0)(tzv.limita)jesměrnicí tečnyvbodě x. Hodnota a,prokteroujevýraz ah 1 =1senazýváEulerovočísloe,jeho h hodnota je e= Podívejme se opět na tabulku Základ a (a h 1)/hpro h Funkce x e x mátedynásledujícívlastnost:směrnicetečnyzkonstruované vkaždémjejímbodějerovnafunkčníhodnotěvtomtéžbodě.tétoexponenciální funkci říkáme přirozená exponenciální funkce. Příklady: (5)Načrtnětegraffunkcí x a x a x ( 1 a) x, a >0. (6) Řešte rovnice 3 x 1 =81 x, 4 x 3 =56 x Logaritmy. Logaritmy jsou inverzními funkcemi k funkcím exponenciálním. Značíme log a x=y právěkdyž a y = x, a >0. Logaritmus xsezáklademeznačímeobvyklelnxanazývámejejpřirozený logaritmus. Základní vlastnosti logaritmů vyplývají z vlastností exponenciálních funkcí: (a)log a a=1jedůsledkem a 1 = a, (b)log a 1=0jedůsledkem a 0 =1, (c) a log a x = x (d)alog a a x = xjsoudůsledkemskutečnosti,že x a x a x log a xjsou inverzní funkce,

5 Exponenciála a logaritmus 5 (e)log a (xy)=log a x+log a yjedůsledkem a x+y = a x a y, (f)log a x y =log ax log a yjedůsledkem a x y = a x /a y, (g)log a x y = ylog a xplynez(a y ) x = a xy (h)aplatílog a x=log a yprávěkdyž x=y;důsledekexistenceinverze. Graflogaritmickéfunkce x log a xozákladu a=,5,10jeuvedenna obrázku níže Příklady: (7)Načrtnětegraffunkcí x log a xax log1 x, a >0. a (8) Řešte exponenciální rovnice pro neznámou x 5 x =7, 4 x 1 +=1, e x 4e x +3=0. (9) Řešte logaritmické rovnice pro neznámou x log x =8, 3ln3x=7, ln(x 3)+ln(x+)=ln(x ), log (x )+log (x+)=, e x +e x = y

6 Exponenciála a logaritmus 6 (10) Řešte exponenciální nerovnice 9 x 3 x+1 + >0, 4x 1 5 3, 4 x.4 x <0. (11) Řešte logaritmické nerovnice lnx ln(x+1) 0, 3 log <, lnx+ln(x+1) >ln(x). (1) Určete definiční obor výrazů ln x x+1, e x, e x+1 x 1. x+1 4. Přirozený logaritmus. Nechť směrnice tečny ke grafu funkce f v bodě (x,f(x))jek.potomsměrnicetečnykegrafuinverznífunkce f 1 vodpovídajícím bodě(f(x), x) je 1/k. Pro přirozenou exponenciální funkci je směrnice kegrafurovnafunkčníhodnotěvdanémbodě.vbodě(e x,x)jetedysměrnice rovnae x,označíme-litedye x = t,dostáváme,žesměrnicevbodě(t,lnt) je rovna 1/t. Inverzní operací k výpočtu směrnic ke grafům funkcí se ukazuje být určení plochy uzavřené mezi grafem funkce a souřadnicovou osou reprezentující definiční obor. Tyto úvahy jsou předmětem studia v diferenciálním(směrnice) a integrálním(plochy) počtu. S uvážením dříve řečeného lzepřirozenýlogaritmuslntdefinovatijinak,atojakoplochuobrazceomezenéhovsouřadnicovéroviněpřímkami x=1, x=t, y=0agrafemfunkce x 1/x.Hodnotuberemekladnou,je-li t >1,zápornoupro0 < t <1.Na nížeuvedenémobrázkujesituaceznázorněnapro t=0.1(pozor,naosách jsou různá měřítka)