Kapitola 1. Reálné funkce více reálných proměnných. 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Algebraické vlastnosti prostoru R n

Obsah 1 Reálné funkce více reálných proměnných 5 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n...................... 5 1.1.1 Algebraické vlastnosti prostoru R n.................. 5 1.1.2 Metrické vlastnosti prostoru R n.................... 7 1.2 Funkce a zobrazení v R n............................ 10 1.2.1 Funkce a jejich grafy.......................... 10 1.2.2 Úlohy.................................. 16 1.3 Posloupnosti v prostoru R n.......................... 19 1.3.1 Základní terminologie a symbolika................... 19 1.3.2 Limita posloupnosti........................... 20 1.3.3 Vlastnosti limity posloupnosti..................... 21 1.3.4 Příklady................................. 22 1.3.5 Úlohy.................................. 22 1.4 Spojitost funkce................................. 23 1.4.1 Motivace pojmu spojitost funkce více proměnných.......... 23 1.4.2 Spojitost funkce............................. 25 1.4.3 Úlohy.................................. 29 1.5 Limita funkce.................................. 30 1.5.1 Motivace na příkladech......................... 30 1.5.2 Limita funkce vzhledem k množině.................. 31 1.5.3 Operace s limitami........................... 35 1.5.4 Vlastnosti limit............................. 36 1.5.5 Příklady................................. 37 1.5.6 Úlohy.................................. 39 2 Diferenciální počet funkcí více proměnných 41 2.1 Parciální derivace a diferenciály 1. řádu.................... 41 2.1.1 Parciální derivace............................ 41 2.1.2 Úlohy.................................. 43 2.1.3 Diferenciál................................ 44 2.1.4 Úlohy.................................. 48 2.1.5 Parciální derivace složené funkce................... 50 2.1.6 Úlohy.................................. 53 2.1.7 Lagrangeova věta o přírůstku funkce................. 54 2.2 Regulární zobrazení............................... 55 2.2.1 Regulární zobrazení........................... 55 2.2.2 Transformace souřadnic........................ 60 3

4 OBSAH 2.3 Parciální derivace a diferenciály vyššího řádu................. 66 2.3.1 Parciální derivace vyššího řádu.................... 66 2.3.2 Úlohy.................................. 70 2.3.3 Diferenciál k-tého řádu......................... 71 2.3.4 Úlohy.................................. 75 2.3.5 Transformace diferenciálních operátorů................ 76 2.3.6 Úlohy.................................. 81 3 Použití diferenciálního počtu 85 3.1 Zobrazení definované implicitně........................ 85 3.1.1 Lokální popis křivky pomocí grafu funkce............... 85 3.1.2 Funkce jedné proměnné......................... 87 3.1.3 Příklady................................. 89 3.1.4 Funkce dvou proměnných....................... 91 3.1.5 Příklady................................. 93 3.1.6 Vektorová funkce jedné proměnné................... 96 3.1.7 Příklady................................. 97 3.1.8 Vektorová funkce dvou proměnných.................. 98 3.1.9 Příklady................................. 99 3.1.10 Úlohy.................................. 102 3.2 Extrémy funkcí................................. 104 3.2.1 Lokální extrémy............................. 104 3.2.2 Kritéria pro lokální extrémy...................... 107 3.2.3 Příklady................................. 107 3.2.4 Vázané extrémy............................. 113 3.2.5 Příklady................................. 116 3.2.6 Extrémy na kompaktních množinách................. 120 3.2.7 Úlohy.................................. 121

Kapitola 1 Reálné funkce více reálných proměnných 1.1 Euklidovský n-rozměrný prostor R n Klíčová slova: n rozměrný euklidovský prostor, soustava souřadnic, souřadnicová osa, vzdálenost bodů, trojúhelníková nerovnost, sférické okolí bodu, prstencové okolí bodu, vnitřní bod množiny, vnější bod množiny, hraniční bod množiny, hromadný bod množiny, izolovaný bod množiny, otevřená množina, uzavřená množina, omezená množina, kompaktní množina, vnitřek množiny, hranice množiny 1.1.1 Algebraické vlastnosti prostoru R n V přednášce z lineární algebry jsme se zabývali n-rozměrným vektorovým prostorem R n všech uspořádaných n-tic reálných čísel. Pro každé dva prvky a, b R n, a = (a 1, a 2,..., a n ), b = (b 1, b 2,..., b n ) jsme definovali rovnost a součet a = b právě tehdy, když a i = b i pro všechna i = 1, 2,..., n (1.1) a + b = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ). (1.2) Dále pro každý prvek a R n, a = (a 1, a 2,..., a n ), jsme definovali násobek skalárem α a opačný prvek Definovali jsme rovněž nulový prvek αa = (αa 1, αa 2,..., αa n ) (1.3) a = ( a 1, a 2,..., a n ). (1.4) o = (0, 0,..., 0). (1.5) V prostoru R n jsme také definovali skalární součin dvou vektorů u = (u 1, u 2,..., u n ) a v = (v 1, v 2,..., v n ) jako číslo u v = u 1 v 1 + u 2 v 2 +... + u n v n. (1.6) 5

6 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH Víme, že skalární součin (1.6) má tyto vlastnosti: u u 0 pro všechna u R n ; u u = 0 právě tehdy, když u = o ; u v = v u pro všechna u, v R n ; (αu) v = u (αv) = α(u v) pro všechna u, v R n, α R ; (u + v) w = u w + v w pro všechna u, v, w R n. Dalším důležitým pojmem, který musíme ještě připomenout, je pojem báze vektorového prostoru R n. Rozumíme tím každou uspořádanou n-tici lineárně nezávislých vektorů z R n. Pomocí báze zavedeme v prostoru R n soustavu souřadnic. Nechť p je libovolně, ale pevně zvolený prvek prostoru R n a nechť b 1, b 2,..., b n (1.7) je libovolná pevně zvolená báze prostoru R n. Pak každý prvek x R n můžeme jednoznačně vyjádřit ve tvaru x = p + c 1 b 1 + c 2 b 2 +... + c n b n. (1.8) Zřejmě hodnoty koeficientů c 1, c 2,..., c n závisí na tom, jak jsme zvolili bod p a bázi (1.7), tj. na volbě vektorů p, b 1, b 2,..., b n. (1.9) Každý takový soubor (1.9) prvků prostoru R n nazýváme soustavou souřadnic v prostoru R n. Vektorový prostor R n se skalárním součinem, v němž jsme zvolili soustavu souřadnic, budeme nazývat n-rozměrným euklidovským prostorem R n. S takto zavedeným euklidovským prostorem jsme se seznámili již v hodinách geometrie na střední škole při vyšetřování různých objektů v rovině a v prostoru. Tam jsme prvky roviny nebo prostoru nazývali body a každé dvojici bodů A, B byl přiřazen vektor, geometricky interpretovaný jako orientovaná úsečka AB, jejímž počátečním bodem je bod A a koncovým bodem bod B. Tuto terminologii můžeme převzít i pro naše další úvahy. Prvky euklidovského prostoru R n budeme nazývat body a koeficienty c 1, c 2,..., c n, přiřazené předpisem (1.8) bodu x, budeme nazývat souřadnicemi bodu x v soustavě souřadnic (1.9). Zvolíme-li speciálně p = o = (0, 0,..., 0), b 1 = e 1 = (1, 0,..., 0), b 2 = e 2 = (0, 1,..., 0),..., b n = e n = (0, 0,..., 1), pak dostaneme kartézskou soustavu souřadnic o, e 1, e 2,..., e n. (1.10) Zřejmě souřadnicemi bodu x = (x 1, x 2,..., x n ) v kartézské soustavě souřadnic jsou přímo jeho složky, tj. platí x = o + x 1 e 1 + x 2 e 2 +... + x n e n. (1.11) Množina bodů {x R n x = p + tb i, t R}, i = 1, 2,..., n, (1.12) se nazývá i-tá souřadnicová osa euklidovského prostoru R n. Souřadnicové osy jsou tedy přímky procházející bodem p a jejich směrové vektory jsou prvky báze b i. Zřejmě i-tá souřadnicová osa v kartézské soustavě souřadnic je přímka daná vztahem x = te i, t R, i = 1, 2,..., n. (1.13)

1.1. EUKLIDOVSKÝ N-ROZMĚRNÝ PROSTOR R N 7 Vraťme se ještě jednou k naší dohodě o názvu prvků euklidovského prostoru. Prvky euklidovského prostoru R n jsou uspořádané n tice reálných čísel, a tedy aritmetické n členné vektory. Díváme-li se na příslušný euklidovský prostor jako na množinu nějakých objektů, jako např. bodů přímky, roviny nebo prostoru, pak každý aritmetický vektor při pevně zvolené kartézské soustavě souřadnic je vektorem souřadnic právě jednoho bodu. Označíme-li P bod, který jsme zvolili za počátek soustavy souřadnic, tedy bod, který v této soustavě souřadnic má vektor souřadnic o = (0, 0,..., 0) a je-li B bod s vektorem souřadnic b = (b 1, b 2,..., b n ), pak aritmetický vektor b můžeme geometricky interpretovat jako orientovanou úsečku P B, a tedy opět důvod pro to, abychom v dalších úvahách pro prvky euklidovských prostorů používali název body. Je samozřejmé, že se setkáme se situacemi, kdy budeme muset mluvit i o vektorech, jako například u derivace ve směru, u diferenciálů, u tečné roviny apod. V takových případech bude toto rozlišení mezi body a vektory ukázáno zcela zřetelně. V celé řadě dalších případů, kdy toto rozlišování nehraje podstatnou roli, nebudeme úvahy komplikovat a budeme mluvit jen o bodech prostoru R n. V textu se budeme setkávat zejména s úlohami v euklidovských prostorech dvou a třírozměrných, tedy v R 2 a R 3. Pro označení souřadnicových os v prostoru R 2, resp. R 3 je obvyklé používat symboly x 1, x 2, resp. x 1, x 2, x 3, nebo x, y, resp. x, y, z, nebo u, v, resp. u, v, w. 1.1.2 Metrické vlastnosti prostoru R n Vzdálenost bodů v euklidovském prostoru R n Jedním z nejdůležitějších pojmů používaných při vyšetřování vlastností euklidovských prostorů je pojem vzdálenosti dvou bodů. Tento pojem můžeme zavést mnoha různými způsoby. Zde k tomu využijeme pojem normy vektoru. Pomocí skalárního součinu vektorů můžeme definovat tzv. euklidovskou normu vektoru u = (u 1, u 2,..., u n ) R n jako číslo u = (u u) 1/2 = u 2 1 + u 2 2 +... + u 2 n. (1.14) Interpretujeme-li aritmetický vektor b jako orientovanou úsečku P B s počátečním bodem v počátku P soustavy souřadnic a koncovým bodem v bodě B, jehož souřadnice tvoří vektor b, pak se na číslo b můžeme dívat jako na vzdálenost bodu B od počátku soustavy souřadnic. Místo euklidovské normy můžeme použít i jiné normy, jako např. čtvercovou normu, definovanou předpisem u 1 = max{ u 1, u 2,..., u n }, (1.15) nebo kosočtvercovou normu, definovanou předpisem u 2 = u 1 + u 2 +... + u n. (1.16) Čtenář si snadno dokáže, že mezi těmito normami platí vztah u 1 u 2 n u n 2 u 1. (1.17) Pro označení kterékoliv z takto definovaných norem vektoru u budeme používat společný symbol u.

8 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH Pomocí normy aritmetického vektoru můžeme definovat vzdálenost bodů jako normu rozdílu vektorů jejich souřadnic v libovolné kartézské soustavě souřadnic. V této definici vzdálenosti vystupují sice souřadnice bodu, ale dá se ukázat, že takto definovaná vzdálenost dvou bodů nezávisí na volbě kartézské soustavy souřadnic. Podobně z nerovností (1.17) plyne, že takto definovaná vzdálenost bodů nezávisí podstatně ani na konkrétní volbě normy. Rozumíme tím skutečnost, že když se bod x blíží k bodu a ve smyslu vzdálenosti definované pomocí jedné z uvedených norem, pak se bod x blíží k bodu a také ve smyslu vzdálenosti definované pomocí kterékoli jiné z uvedených norem. Uvedené definice norem nám tak poskytují tři možnosti pro definici vzdálenosti bodů a = (a 1, a 2,..., a n ) a b = (b 1, b 2,..., b n ). x 2 a 2 x 2 a 2 a x 2 a 2 a b 2 a a b b x 1 a 1 b 1 b 2 a 1 a b b b 1 x 1 b 2 a 1 a b b b 1 x 1 a) euklidovskou b) kosočtvercovou c) čtvercovou Obrázek 1.1: Vzdálenosti bodů v rovině R 2 s normou Nejužívanější a také nejpřirozenější je euklidovská vzdálenost, definovaná předpisem a b = (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 +... + (a n b n ) 2. (1.18) Je to vlastně délka úsečky, jejíž koncové body jsou body a a b, a tedy odpovídá zcela naší běžné představě vzdálenosti. Pro případ n = 2 je ilustrována na obr. 1.1 a). Avšak v situacích, kdy při přechodu od bodu a do bodu b musíme obcházet nějakou překážku, nedává nám euklidovská vzdálenost tu pravou potřebnou informaci. Např. při procházení ulicemi města může být vhodnější použít pojem vzdálenosti, definovaný pomocí kosočtvercové normy a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 +... + a n b n. (1.19) Tato vzdálenost je pro n = 2 ilustrovaná na obr. 1.1 b). Jindy je vhodné používat vzdálenost definovanou pomocí čtvercové normy a b = max{ a 1 b 1, a 2 b 2,..., a n b n }. (1.20) Ilustrace této vzdálenosti pro n = 2 je na obr. 1.1 c). Přenecháváme čtenáři, aby si promyslel situace, kdy je vhodné použít takto definovanou vzdálenost dvou bodů. Každá z uvedených vzdáleností a b má tyto tři vlastnosti: a b = b a, a, b R n ; (1.21) a a = 0, a b > 0 pro a b, a, b R n ; (1.22) a b + b c a c, a, b, c R n. (1.23)

1.1. EUKLIDOVSKÝ N-ROZMĚRNÝ PROSTOR R N 9 x 2 x < ε ε x 1 x 2 ε x < ε ε x 1 x 2 ε x < ε ε x 1 a) euklidovskou b) kosočtvercovou c) čtvercovou Obrázek 1.2: Sférické okolí bodu v rovině R 2 s normou x 2 ε 0 < x < ε x 1 x 2 ε 0 < x < ε ε x 1 x 2 ε ε 0 < x < ε x 1 d) euklidovskou e) kosočtvercovou f) čtvercovou Obrázek 1.3: Prstencové okolí bodu v rovině R 2 s normou Vlastnost (1.23) se nazývá trojúhelníková nerovnost. (Je to zobecnění známé vlastnosti trojúhelníku, že totiž součet délek jeho dvou stran nemůže být menší než délka zbývající třetí strany.) Sférická a prstencová okolí bodu Pomocí vzdálenosti definujeme nyní dva základní pojmy našich dalších úvah. Je to pojem sférického okolí bodu a pojem prstencového okolí bodu. Sférickým okolím bodu a o poloměru ε > 0, nebo stručně ε okolím bodu a nazýváme množinu U(a, ε) = {x R n x a < ε}. (1.24) Podobně prstencovým okolím bodu a o poloměru ε > 0 nazýváme množinu P (a, ε) = {x R n 0 < x a < ε}. (1.25) Zřejmě P (a, ε) = U(a, ε) \ {a}. Sférická okolí bodu a pro n = 2 a pro vzdálenosti definované předpisy (1.18), resp. (1.19), resp. (1.20) jsou nakreslena na obr. 1.3 a), resp. b), resp. c). Podobně prstencová okolí bodu a pro n = 2 a pro vzdálenosti definované předpisy (1.18), resp. (1.19), resp. (1.20) jsou nakreslena na obr. 1.3 d), resp. e), resp. f). Klasifikace bodů prostoru R n vzhledem k dané množině Předpokládejme, že je dána množina M R n a bod a R n. Říkáme, že bod a je vnitřním bodem množiny M právě tehdy, když existuje takové okolí U(a, ε) bodu a, které celé leží v množině M; vnějším bodem množiny M právě tehdy, když existuje takové okolí U(a, ε) bodu a, které celé leží v doplňku R n \ M;

10 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH hraničním bodem množiny M právě tehdy, když každé okolí U(a, ε) bodu a má neprázdný průnik jak s množinou M, tak i s jejím doplňkem R n \ M; hromadným bodem množiny M právě tehdy, když každé prstencové okolí P (a, ε) bodu a má s množinou M neprázdný průnik; izolovaným bodem množiny M právě tehdy, když a M a existuje takové prstencové okolí P (a, ε) bodu a, které neobsahuje žádný bod množiny M. Klasifikace množin v R n Předpokládejme, že je dána množina M R n. Říkáme, že množina M je otevřená právě tehdy, když každý její bod je jejím vnitřním bodem; uzavřená právě tehdy, když obsahuje všechny své hromadné body; omezená právě tehdy, když je obsažena v nějakém sférickém okolí počátku; kompaktní právě tehdy, když je omezená a uzavřená. Vnitřkem množiny M nazýváme množinu všech jejích vnitřních bodů. Hranicí množiny M nazýváme množinu všech jejích hraničních bodů. Pro označení vnitřku množiny M se používá obvykle symbol M, pro označení hranice množiny M se používá obvykle symbol M. Je užitečné, aby si čtenář již zde učinil alespoň hrubou představu o otevřených a uzavřených množinách v rovině a v prostoru. Otevřené množiny jsou zpravidla popsány pomocí ostrých nerovností. Například polorovina x > 0 v rovině je otevřená. Skutečně, leží-li bod a = (a 1, a 2 ) v této polorovině, je nutně a 1 > 0. Pak ovšem celé sférické okolí bodu a o poloměru např. a 1 /2 leží také v této polorovině. Pomocí neostrých nerovností jsou popisovány uzavřené množiny. Příslušné rovnosti v těchto popisech pak udávají hranice takových uzavřených množin. 1.2 Funkce a zobrazení v R n Klíčová slova: reálná funkce více reálných proměnných, předpis a definiční obor funkce, obor hodnot funkce, skalární pole, ekvipotenciála skalárního pole, vektorová funkce, zobrazení, vektorové pole 1.2.1 Funkce a jejich grafy Reálné funkce více reálných proměnných V diferenciálním počtu reálných funkcí jedné reálné proměnné jsme se zabývali chováním zobrazení z R 1 do R 1, tj. zobrazení, která reálným číslům přiřazují reálná čísla. Nyní budeme tyto úvahy zobecňovat. Budeme se zabývat zobrazeními, která bodům prostoru R n přiřazují body nějakého prostoru R k. Nejvíce nás budou zajímat případy, kdy bodům prostoru R 2, resp. R 3 jsou přiřazována reálná čísla. Takovým zobrazením říkáme reálné funkce dvou, resp. tří reálných proměnných. Tyto funkce mají velice přirozenou fyzikální interpretaci. Je-li v rovině nebo v prostoru rozložena nějaká fyzikální veličina, k jejímuž popisu stačí udat v každém bodě roviny nebo prostoru jediný číselný údaj, pak říkáme, že v příslušném prostoru je zadáno skalární pole. Takové skalární pole v prostoru R n je tedy zadáno nějakou reálnou funkcí n proměnných. Příkladem skalárního pole je například pole potenciálu v okolí elektricky nabitého tělesa, teplotní pole apod. Při matematickém studiu skalárního pole se zpravidla toto pole ztotožňuje s funkcí, která jej popisuje. Množiny bodů prostoru R n, ve kterých

1.2. FUNKCE A ZOBRAZENÍ V R N 11 skalární funkce nabývá dané konstantní hodnoty c, budeme nazývat ekvipotenciálami skalárního pole f. Např. ekvipotenciálami skalárního pole f(x, y) = x 2 + y 2 v rovině R 2 jsou pro c > 0 kružnice o rovnicích x 2 + y 2 = c, pro c = 0 je to jediný bod (0, 0) a pro c < 0 je to prázdná množina. Vektorové funkce Později, zejména v integrálním počtu, budeme často potřebovat i obecnější případ, kdy bodům prostoru R 1, resp. R 2, resp. R 3 jsou přiřazovány body prostoru R k. Jde tedy o zobrazení f: R n R k. Takovým zobrazením budeme říkat vektorové funkce, a to pro n = 1, resp. n = 2, resp. n = 3 vektorové funkce jedné, resp. dvou, resp. tří reálných proměnných. Je užitečné již nyní si uvědomit, že vektorová funkce není nic jiného, než uspořádaná k tice reálných funkcí n reálných proměnných. To totiž znamená, že když se naučíme provádět nějaké operace s reálnými funkcemi n reálných proměnných, pak tyto operace vhodným způsobem, nejčastěji přímo po složkách přeneseme i na vektorové funkce. Podobně, jako jsme fyzikálně interpretovali skalární funkci, můžeme to učinit i s vektorovou funkcí. Je-li v prostoru rozložena nějaká fyzikální veličina, která je v každém bodě jednoznačně určena nějakým vektorem, pak říkáme, že v prostoru je zadáno vektorové pole. Takové vektorové pole v prostoru R n je tedy zadáno vektorovou funkcí n reálných proměnných. Příklady vektorových polí jsou různá silová pole, např. pole zemské gravitace, elektrostatické pole elektrického náboje apod. Definiční obor, obor hodnot a graf funkce Každé zobrazení z prostoru R n do prostoru R k je dáno nějakým předpisem f, který popisuje, jak se bodům prostoru R n přiřazují body prostoru R k, a množinou D f R n bodů, kterým jsou předpisem f body prostoru R k přiřazovány. Množinu D f pak nazýváme definičním oborem zobrazení f: R n R k. Bude-li v dalším textu zadán pouze předpis f, budeme definičním oborem D f rozumět množinu všech bodů prostoru R n, pro které má předpis f: R n R k smysl. Množinu všech bodů prostoru R k, přiřazených bodům množiny D f, budeme nazývat oborem hodnot zobrazení f a budeme jej značit H f. Je-li M D f, pak množinu f(m) = {y R k y = f(x) pro všechna x M} (1.26) nazýváme obrazem množiny M v zobrazení f. Zřejmě H f = f(d f ). Je-li f: D f R n R 1 reálná funkce n reálných proměnných, pak grafem funkce f nazýváme množinu graf f = {(x, y) R n R 1 y = f(x), x D f }. (1.27) Složené zobrazení Zavedeme ještě pojem složeného zobrazení. Předpokládejme, že jsou dána dvě zobrazení g: R n R k a f: R k R m taková, že obor hodnot H g zobrazení g je podmnožinou definičního oboru D f zobrazení f. Nyní definujeme složené zobrazení h: R n R m předpisem h(x) = f(g(x)) pro všechna x D g. (1.28) Podle předpokladu je g(x) D f, a tedy složené zobrazení h je takto definováno pro všechna x D g. Nyní uvedeme několik příkladů definičních oborů a grafů funkcí. Budou to zejména příklady funkcí dvou reálných proměnných, jejichž grafy jsou nějaké plochy v třírozměrném

12 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH prostoru R 3 = R 2 R 1. Souřadnicové osy v tomto prostoru budeme značit x, y, z a příslušné předpisy budeme uvádět ve tvaru z = f(x, y). Příklady 1. Máme najít definiční obory následujících funkcí, definovaných daným předpisem f(x, y). (a) f(x, y) = arcsin(1 x 2 y 2 ). Máme najít definiční obor D f funkce f(x, y) = arcsin(1 x 2 y 2 ). Víme, že definiční obor funkce arcsin je intervalu 1, 1, a tedy musí platit 1 1 x 2 y 2 1. Odtud snadnou úpravou dostáváme nerovnost x 2 + y 2 2. Definičním oborem naší funkce f je tedy uzavřený kruh se středem v počátku a poloměrem 2. (b) f(x, y) = ln xy. Máme najít definiční obor D f funkce f(x, y) = ln xy. Víme, že funkce ln má definiční obor interval (0, ), takže musí být xy > 0. To znamená, že definičním oborem D f naší funkce f je sjednocení otevřeného prvního a otevřeného třetího kvadrantu roviny xy. (c) f(x, y) = ln x + ln y. Definičním oborem funkce f(x, y) = ln x + ln y je zřejmě množina dvojic (x, y) s x > 0, y > 0, tj. první otevřený kvadrant. Tento výsledek a výsledek předchozího příkladu ukazují, že rovnost ln xy = ln x + ln y neplatí obecně, ale pouze na otevřeném 1. kvadrantu, přestože levá strana je definovaná i na otevřeném 3. kvadrantu. 2. Máme najít definiční obor funkce f(x, y, z) = ln(z 2 x 2 y 2 1). Hledáme definiční obor funkce f(x, y, z) = ln(z 2 x 2 y 2 1). Musí platit z 2 x 2 y 2 1 > 0. Odtud dostáváme dvě podmínky vyjadřující vztah mezi složkami uspořádaných trojic (x, y, z) tvořících definiční obor D f, a sice z > 1 + x 2 + y 2 nebo z < 1 + x 2 + y 2. Definičním oborem funkce f je tedy množina D f = {(x, y, z) R 3 (z > 1 + x 2 + y 2 ) (z < 1 + x 2 + y 2 )} (1.29) tvořená vnitřky dvoudílného rotačního hyperboloidu, jak je načrtnut na obr. 1.4. 3. Máme určit grafy následujících funkcí. (a) z = x 2 + y 2, (x, y) D f = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. Předpisem z = x 2 + y 2, (x, y) D f je definována funkce dvou proměnných, jejímž grafem je část kuželové plochy pro z 0. Skutečně, je to rotační plocha s osou v ose z, jelikož pro z = z 0 dostáváme kružnici x 2 + y 2 = z 2 0. Dále

1.2. FUNKCE A ZOBRAZENÍ V R N 13 z x y Obrázek 1.4: K ilustraci definičního oboru z 2. příkladu vyšetříme řezy grafu souřadnicovými rovinami x = 0 a y = 0. Z rovnosti z 2 = x 2 + y 2 pro x = 0 dostáváme z 2 = y 2, tj. z = y, nebo z = y. To znamená, že řezem souřadnicové roviny x = 0, tj. roviny yz s grafem funkce f je dvojice úseček ležících na polopřímkách z = y, z = y, z 0. Analogicky v rovině y = 0 dostáváme jako řez dvojici úseček ležících na polopřímkách z = x, z = x, z 0. Graf funkce je načrtnut na obr. 1.5 a). (b) z = x 2 + y 2, (x, y) D f = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}. Předpisem z = x 2 + y 2, (x, y) D f je definována funkce dvou proměnných, jejímž grafem je část rotačního paraboloidu. Skutečně, řezy souřadnicovými rovinami x = 0, resp. y = 0 s grafem funkce jsou části parabol z = y 2, resp. z = x 2. Řez rovinou z = z 0 je kružnice x 2 + y 2 = z 0, takže se jedná o rotační plochu s osou v ose z. Graf funkce je načrtnut na obr. 1.5 b). (c) z = 1 + x 2 + y 2, (x, y) D f = R 2. Předpisem z = 1 + x 2 + y 2, (x, y) D f = R 2, je definována funkce, jejímž grafem je část rotačního dvoudílného hyperboloidu pro z 1. Skutečně, řezem souřadnicové roviny x = 0 s grafem funkce je větev hyperboly popsané rovnicí z 2 y 2 = 1. Analogicky v rovině xz, tj. pro y = 0 dostáváme rovnici z 2 x 2 = 1. Část grafu této funkce je načrtnuta na obr. 1.6 a). (d) z = x 2 y 2, (x, y) R 2. Grafem funkce z = x 2 y 2, (x, y) R 2 je hyperbolický paraboloid (zvaný také koňské sedlo ), znázorněný na obr. 1.6 b). Zde jako řezy grafu funkce souřadnicovými rovinami a rovinami rovnoběžnými se souřadnicovými rovinami dostáváme paraboly nebo hyperboly, jak je ukázáno na obr. 1.6 b). Např. pro

14 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH z z x f(x, y) D f (x, y) a) kužel y D f x y b) paraboloid Obrázek 1.5: Grafy funkcí dvou proměnných. y = 0 dostáváme parabolu z = x 2. Pro z = 1 dostáváme dvě větve hyperboly 1 = x 2 y 2, pro x = x 0 dostáváme parabolu z = x 2 0 y 2 apod. z z x y a) větev dvoudílného hyperboloidu x y b) hyperbolický paraboloid Obrázek 1.6: Grafy funkcí dvou proměnných 4. V následujících příkladech popíšeme některé vektorové funkce. (a) Vektorová funkce g = (g 1, g 2 ): 0, 2π R 2, definovaná předpisem g 1 (t) = cos t, g 2 (t) = sin t, zobrazuje zřejmě interval 0, 2π na jednotkovou kružnici se středem v počátku, jak ukazuje obr. 1.7 a). (b) Ponecháme-li předpis z předchozího příkladu, ale změníme definiční obor na

1.2. FUNKCE A ZOBRAZENÍ V R N 15 interval 0, π, dostaneme vektorovou funkci g = (g 1, g 2 ): 0, π R 2, g(t) = (cos t, sin t), která zobrazuje interval 0, π na horní půlkružnici kružnice z obr. 1.7 a). (c) Vektorová funkce g = (g 1, g 2 ): 0, 2π R 2, g(t) = (cos t, sin 2t), zobrazuje interval 0, 2π na křivku v rovině xy, jak ukazuje obr. 1.7 b). Označíme-li x = cos t, y = sin 2t, vidíme, že je x = 0 pro t = π/2 a t = 3π/2, zatímco y = 0 pro t = 0, t = π/2, t = π, t = 3π/2 a t = 2π. (d) Ukažme ještě, jak lze popsat trojúhelník na obr. 1.7 c) jako obraz intervalu 0, 4. Příslušnou vektorovou funkci g = (g 1, g 2 ): 0, 4 R 2 můžeme definovat předpisem g(t) = (t, 2t) pro t 0, 1), (t, 4 2t) pro t 1, 2), (4 t, 0) pro t 2, 4. (1.30) y y 1 1 y 2 B 1 1 x 1 1 x 1 1 a) 1 b) A 1 2 C c) x Obrázek 1.7: Ilustrace k příkladům vektorových funkcí (e) V integrálním počtu funkcí dvou proměnných se setkáme s vektorovou funkcí g: R 2 R 2 : g(ϱ, ϕ) = (ϱ cos ϕ, ϱ sin ϕ), (ϱ, ϕ) (0, ) (0, 2π), (1.31) kterou se v rovině transformují tzv. polární souřadnice do kartézských souřadnic. Podrobněji se touto vektorovou funkcí budeme zabývat později. (f) Zobecněním předchozího příkladu jsou tzv. sférické souřadnice, což je vektorová funkce g: R 3 R 3, definovaná předpisem x = g 1 (ϱ, ϕ, ϑ) = ϱ cos ϕ cos ϑ, y = g 2 (ϱ, ϕ, ϑ) = ϱ sin ϕ cos ϑ, z = g 3 (ϱ, ϕ, ϑ) = ϱ sin ϑ, (1.32) ϱ (0, ), ϕ (0, 2π), ϑ ( π 2, π ). 2

16 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH 1.2.2 Úlohy 1. Nalezněte definiční obor D f následujících funkcí f(x, y). (a) f(x, y) = y x 2 + 1 y. [D f = {(x, y) R 2 (y x 2 ) (y 1)}.] (b) f(x, y) = 1 x 2 + y 2 1. [D f = {(x, y) R 2 ( x 1) ( y 1)}.] (c) f(x, y) = x y. [D f = {(x, y) R 2 (x 0) (0 y x 2 }.] (d) f(x, y) = (4 x 2 y 2 )(x 2 + y 2 1). [D f = {(x, y) R 2 1 x 2 + y 2 4}.] (e) f(x, y) = 1 x 2 y 2. [D f = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1}.] (f) f(x, y) = 1 (x 2 y) 2. [D f = {(x, y) R 2 x 2 1 y x 2 + 1}.] (g) f(x, y) = ln(1 x 2 y 2 ). [D f = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 < 1}.] (h) f(x, y) = ln(4 x2 y 2 ) xy. [D f = {(x, y) R 2 (x 2 + y 2 < 4) (xy > 0)}.] (i) f(x, y) = arcsin y 1 x. [D f = {(x, y) R 2 ((x > 0) (1 x y 1 + x)) ((x < 0) (1 + x y 1 x))}.] x 2 + y 2 x (j) f(x, y) = 2x x 2 y. 2 [D f = {(x, y) R 2 ((x 1/2) 2 + y 2 1/4) ((x 1) 2 + y 2 < 1)}.] (k) f(x, y) = arctg(xy) x 2 + y 2. [D f = {(x, y) R 2 (x, y) (0, 0)}.] (l) f(x, y) = arccos(1 + (x + y) 2 ). [D f = {(x, y) R 2 y = x}.] (m) f(x, y) = sin(π(x 2 + y 2 )). [D f = {(x, y) R 2 2k x 2 + y 2 2k + 1, k N}.] (n) f(x, y) = ln(y 2 4x + 8). [D f = {(x, y) R 2 x < 2 + y 2 /4}.] 2. Nalezněte definiční obor D f následujících funkcí f(x, y, z). (a) f(x, y, z) = 1 x + 1 y + 1 z. [D f = {(x, y, z) R 3 (x > 0) (y > 0) (z > 0)}.] (b) f(x, y, z) = arccos z x2 + y 2. [D f = {(x, y, z) R 3 (0 < z 2 x 2 + y 2 ) ((z = 0) (x 2 + y 2 0)}.] z (c) f(x, y, z) = arccos x2 + y. [D 2 f = {(x, y, z) R 3 ( z x 2 + y 2 ) (x 2 + y 2 0)}.] (d) f(x, y, z) = R 2 x 2 y 2 z 2 + (e) f(x, y, z) = ln(z 2 x 2 y 2 1). 1 x2 + y 2 + z 2 r 2 r < R. [D f = {(x, y, z) R 3 r < x 2 + y 2 + z 2 R}.] [D f = {(x, y, z) R 3 x 2 + y 2 z 2 < 1}.]

1.2. FUNKCE A ZOBRAZENÍ V R N 17 (f) f(x, y, z) = ln(xyz). [D f = {(x, y, z) R 3 ((x > 0) (y > 0) (z > 0)) ((x > 0) (y < 0) (z < 0)) ((x < 0) (y > 0) (z < 0)) ((x < 0) (y < 0) (z > 0))}.] 3. Určete grafy následujících funkcí z = f(x, y). (a) z = x + 2y 4. [Rovina v R 3 určená body (4, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 4).] (b) z = y. [Rovina v R 3 určená osou x a bodem (0, 1, 1).] (c) z = x 2. [Parabolický válec v R 3, vytvořený translací paraboly z = x 2 podél osy y.] (d) z = 4x 2 + 9y 2. [Eliptický paraboloid v R 3.] (e) z = 1 x 2. [Polovina rotačního válce v R 3, vytvořeného translací kružnice x 2 + z 2 = 1 podél osy y.] (f) z = 9 x 2 y 2. [Dolní polovina kulové plochy se středem v počátku a poloměrem 3.] 4. Ukažte, že obrazem dané množiny A v zobrazení g je daná množina g(a). (a) A = R 1, g(t) = (0, 1). ( 2t 1 + t, 1 ) t2, g(a) je kružnice x 2 + y 2 = 1 bez bodu 2 1 + t 2 (b) A = 0, 2π, g(t) = (R cos 2 t, R sin t cos t, R sin t), R > 0, g(a) je tzv. Vivianiho křivka určená rovnicemi x 2 + y 2 + z 2 = R 2, x 2 + y 2 = Rx. ( ) 2t (c) A = R 1, g(t) = 2 + t, 2t 2 2 + t, t2 2, g(a) je kružnice určená rovnicemi 2 2 + t 2 x 2 + y 2 + z 2 = 1, x y = 0. (d) A = 0, 1 0, 2π, g(ρ, t) = (3ρ cos t, 4ρ sin t), g(a) je elipsa x2 9 + y2 16 1. (e) A = 0, 2π π/2, π/2, g(u, v) = (cos u cos v, sin u cos v, sin v), g(a) je kulová plocha x 2 + y 2 + z 2 = 1. (f) A = 0, 0, 2π, g(ρ, ϕ) = ( ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, ρ), g(a) je rotační paraboloid z = x 2 + y 2. 5. Nalezněte ekvipotenciály následujících skalárních funkcí f. (a) f(x, y) = x2 + y 2, x 0, f(0, y) = 0. 4x [Kružnice (x 2c) 2 + y 2 = 4c 2 pro c 0 ; přímka x = 0 pro c = 0.] (b) f(x, y) = x 2 4y 2. [Hyperboly x 2 4y 2 = c pro c 0 ; dvojice přímek x = ±2y pro c = 0.] (c) f(x, y) = x 2 + 16y 2 32y. [Elipsy x 2 + 16(y 1) 2 = 16 + c pro c > 16 ; bod (0, 1) pro c = 16 ; prázdna množina pro c < 16.]

18 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH (d) f(x, y) = 2x y + 1 x 2, x 0. [Části parabol y (1 + 1 c ) = c(x 1 c )2 pro c 0 a x 0 ; polopřímky y = 2x + 1 pro c = 0 a x 0.] (e) f(x, y) = y2 x 2 + 9, x 0. x [Hyperboly y 2 (x + c 2 )2 = ( c 2 )2 9 pro c R a x 0.] (f) f(x, y) = xy + y + 4, x 0. 6x [Části hyperbol (x + 1)(y 6c) = (6c + 4) pro c R, c 2 a x 0 ; části 3 dvojice přímek x = 1, y = 4 pro c = 2 a x 0.] 3 (g) f(x, y) = 4x 5y + 3 xy, xy 0. [Části hyperbol (x + 5 c )(y 4 c ) = 1 c (3 20 c ) pro c R \ {0, 20} a xy 0 ; části dvojice přímek x = 3, y = 3 pro c = 20 3 4 5 3 a xy 0 ; části přímky 4x 5y + 3 = 0 pro c = 0 a xy 0.] 2 (h) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z, x2 + y 2 + z 0. [Rotační paraboloidy x 2 + y 2 = 2 z pro c R \ {0} ; prázdná množina pro c c = 0.] 1 (i) f(x, y, z) = x2 + y 2 + z, 2 x2 + y 2 + z 2 0. [Sféry x 2 + y 2 + z 2 = 1 c 2 pro c > 0 ; prázdná množina pro c 0.] (j) f(x, y, z) = x 2 + y 2 z 2. [Rotační hyperboloidy x 2 + y 2 z 2 = c pro c 0 ; rotační kužel x 2 + y 2 = z 2 pro c = 0.] (k) f(x, y, z) = xy 4z, z 0. [Části hyperbolických paraboloidů xy = 4cz pro c 0 ; části dvojice rovin x = 0, y = 0, z 0 pro c = 0.] 6. Nalezněte ekvipotenciály daných skalárních funkcí f obsahující daný bod a. (a) f(x, y) = 2 + x 2 + y 2, a = (3, 5). [Kružnice x 2 + y 2 = 34.] (b) f(x, y) = 4x 2 y 2, a = (2, 1). [Hyperbola 4x 2 y 2 = 15.] (c) f(x, y) = 4x 2 y 2, a = (1, 2). [Přímka y = 2x.] x 2 + y 2 (d) f(x, y) =, pro x 0 ; x a = (4, 0). [Kružnice (x 2) 2 + y 2 = 4.] 0, pro x = 0. (e) f(x, y) = x 2 + 9y 2 18y, a = (3, 1). [Elipsa x 2 + 9(y 1) 2 = 45.] 4x 5y + 6 (f) f(x, y) =, xy 0, a = (1, 1). xy [Hyperbola (x + 1)(y 4) = 2 bez bodů (0, 6) a ( 3, 0).] 5 5 5 2

1.3. POSLOUPNOSTI V PROSTORU R N 19 1.3 Posloupnosti v prostoru R n Klíčová slova: posloupnost, k-tý člen posloupnosti, vybraná posloupnost, součet posloupností, α násobek posloupnosti, omezená posloupnost, limita posloupnosti, konvergentní posloupnost, divergentní posloupnost 1.3.1 Základní terminologie a symbolika Posloupnostmi reálných čísel jako speciálním případem reálných funkcí definovaných na množině N všech přirozených čísel jsme se zabývali již při studiu funkcí jedné proměnné. Definici a některé vlastnosti posloupností lze zcela přirozeně zobecnit i na prvky prostoru R n. To také nyní učiníme. Posloupností bodů prostoru R n budeme rozumět i nyní zobrazení f, které každému přirozenému číslu k N přiřazuje jeden bod prostoru R n. Místo zápisu f(k) pro bod přiřazený zobrazením f přirozenému číslu k budeme používat zápis tvaru a k = (a (k) 1, a (k) 2,..., a n (k) ). Jelikož definičním oborem posloupnosti je vždy celá množina N všech přirozených čísel, nebudeme ji dále uvádět, ale vystačíme jenom s předpisem pro výpočet členů a k. Podobně jako u posloupností reálných čísel, i nyní budeme posloupnosti zapisovat pomocí symbolů a 1, a 2, a 3,..., a k,..., (1.33) případně stručněji (a k ) k=1,2,..., nebo prostě (a k ). Bod a k se nazývá k-tý člen posloupnosti (a k ). Nechť m 1, m 2, m 3,... je posloupnost přirozených čísel taková, že m 1 < m 2 < m 3 <.... Vyberme z posloupnosti (a k ) členy a m1, a m2, a m3,..., a mk,... a označme b k = a mk, k = 1, 2,.... Pak takto vytvořenou posloupnost b 1, b 2, b 3,..., b k,... (1.34) nazýváme posloupností vybranou z posloupnosti (1.33). Je dobré si uvědomit, že body b 1, b 2, b 3,... jsou členy posloupnosti (a k ), z níž jsme je postupně vybírali a pak jsme je přeindexovali, protože indexy u posloupnosti musí probíhat všechna přirozená čísla. Tedy např. bod b 2 = a m2 je druhým členem vybrané posloupnosti (b k ), ale (m 2 ) tým členem původní posloupnosti (a k ). Existuje-li číslo A tak, že pro všechna k přirozená platí a k A, pak říkáme, že posloupnost (a k ) je omezená. Ekvivalentně můžeme říci, že posloupnost (a k ) je omezená právě tehdy, když existuje sférické okolí počátku (nebo kteréhokoli jiného bodu prostoru R n ), které obsahuje všechny členy této posloupnosti. Jelikož členy posloupnosti bodů prostoru R n jsou uspořádané n tice reálných čísel, je přirozené definovat součet posloupností (a k ), (b k ), kde a k (b (k) 1, b (k) 2,..., b (k) ) a α násobek posloupnosti předpisy Příklady n = (a (k) 1, a (k) 2,..., a (k) n ), b k = (a k ) + (b k ) = (a (k) 1 + b (k) 1, a (k) 2 + b (k) 2,..., a n (k) + b (k) n ), (1.35) αa k = (αa (k) 1, αa (k) 2,..., αa (k) n ). (1.36)

20 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH 1. Příkladem posloupnosti (a k ) v prostoru R 4 je posloupnost a k = ( 3 k, 2k + 1 3k 5, 1 ) k, 1. (1.37) 2 Je a 1 = (3, 3/2, 1, 1), a 2 = (3/2, 5, 1/4, 1), atd. Z této posloupnosti vybereme vybranou posloupnost například tak, že vybereme jenom členy se sudými indexy. Podle definice vybrané posloupnosti to znamená, že položíme m k = 2k, k = 1, 2,.... Dostaneme tak posloupnost b k = a 2k = ( 3 2k, 4k + 1 ) 6k 5, 1 (2k), 1. 2 Pak je b 1 = a 2 = (3/2, 5, 1/4, 1), b 2 = a 4 = (3/4, 9/7, 1/16, 1), atd. 2. Máme ukázat, že posloupnost (1.37) je omezená. To znamená, že máme najít číslo A > 0 tak, že pro všechna přirozená čísla k platí nerovnost a k < A. Na posloupnost (a k ) se můžeme dívat jako na uspořádanou čtveřici číselných posloupností (3/k), ((2k + 1)/(3k 5)), (1/k 2 ) a konstantní posloupnost (1). Snadno se ověří, že každá z těchto posloupností je omezená a že za horní mez množiny absolutních hodnot jejich členů můžeme vzít číslo 5. Pak ovšem platí ( ) 3 2 a k = + k ( ) 2 ( ) 2k + 1 1 2 + + 1 3k 5 k 2 < 5 2 + 5 2 + 5 2 + 5 2 = 10. 2 3. Příkladem neomezené posloupnosti je například posloupnost (k, k 2, 1/k, 0, cos kπ). 1.3.2 Limita posloupnosti Řekneme, že posloupnost (a k ) má limitu a R n právě tehdy, když ke každému číslu ε > 0 existuje k 0 N tak, že pro všechna k N, k > k 0, platí nerovnost a k a < ε. Píšeme pak lim a k = a (1.38) k a říkáme, že posloupnost (a k ) konverguje k bodu a. Posloupnosti, které mají limitu, nazýváme konvergentními. Posloupnosti, které nemají limitu, nazýváme divergentními. Z definice konvergentní posloupnosti bezprostředně plyne, že posloupnost (a k ) konverguje k bodu a právě tehdy, když číselná posloupnost ( a k a ) konverguje k nule. Uvědomme si, že bod a je limitou posloupnosti (a k ) právě tehdy, když pro každé okolí bodu a platí, že mimo toto okolí leží nejvýše konečně mnoho členů posloupnosti (a k ). Přímo z definice limity vidíme, že číslo k 0 závisí na čísle ε, tj. k 0 = k 0 (ε). Zpravidla když zmenšíme číslo ε, musíme zvětšit číslo k 0 = k 0 (ε). Nyní uvedeme několik vlastností limity, analogických těm, s nimiž jsme se seznámili při popisu limit číselných posloupností.

1.3. POSLOUPNOSTI V PROSTORU R N 21 1.3.3 Vlastnosti limity posloupnosti (i) Jednoznačnost limity Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Důkaz Předpokládejme, že posloupnost (a k ) má dvě různé limity a b. Pak existují disjunktní okolí bodů a, b a každé z těchto okolí má podle definice limity obsahovat až na konečný počet všechny body posloupnosti (a k ), což není možné. Tedy náš předpoklad vede ke sporu. (ii) Omezenost konvergentní posloupnosti Každá konvergentní posloupnost je omezená. Důkaz V každém sférickém okolí limity leží až na konečný počet všechny členy konvergentní posloupnosti. Zvolme jedno okolí. Obsahuje-li toto okolí celou posloupnost, pak všechny členy posloupnosti mají od limity vzdálenost nejvýše rovnou poloměru tohoto okolí, a tedy posloupnost je omezená. Leží-li nějaký konečný počet členů posloupnosti mimo toto okolí, pak stačí ze členů ležících mimo okolí vybrat ten, který má od limity největší vzdálenost. Tato vzdálenost udává poloměr sférického okolí limity, v němž leží všechny členy posloupnosti. Poznámka Obrácená věta neplatí. Omezená posloupnost nemusí být konvergentní. Např. posloupnost (( 1) n, 1) v prostoru R 2 je omezená ale není konvergentní. (Proč?) (iii) Věta o konvergenci po složkách Nechť (a k ) je posloupnost bodů prostoru R n a nechť a je bod prostoru R n. Nechť a = (a 1, a 2,..., a n ) a nechť a k = (a (k) 1, a (k) 2,..., a n (k) ). Pak posloupnost (a k ) má limitu a právě tehdy, když platí lim k a(k) i = a i pro všechna i = 1, 2,..., n, (1.39) tj. právě tehdy, když posloupnosti souřadnic bodů a k konvergují k příslušným souřadnicím bodu a. Důkaz Ze zřejmé nerovnosti a (k) i a i (a (k) 1 a 1 ) 2 + (a (k) 2 a 2 ) 2 +... + (a (k) n a n ) 2, i = 1, 2,..., n, plyne, že když konverguje posloupnost bodů a k k bodu a, konverguje posloupnost i tých souřadnic bodů a k k i té souřadnici bodu a. Předpokládejme nyní, že pro každé i = 1, 2,..., n konverguje posloupnost i tých souřadnic (a (k) i ) k i té souřadnici a i bodu a. To znamená, že pro každé i = 1, 2,..., n konverguje a i ) k nule. Pak ovšem musí konvergovat k nule také posloupnost čísel posloupnost ( a (k) i ( a k a ) = ( (a (k) 1 a 1 ) 2 + (a (k) 2 a 2 ) 2 +... + (a (k) n a n ) 2 ). To však znamená, že posloupnost bodů a k konverguje k bodu a. (iv) Věta o limitním přechodu v aritmetických operacích Jsou-li (a k ), (b k ) konvergentní posloupnosti, α reálné číslo a platí-li lim a k = a, lim b k = b, pak existuje také k k limita jejich součtu, jejich rozdílu a limita α násobku a platí lim (a k ± b k ) = a ± b, (1.40) k

22 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH lim (αa k) = αa. (1.41) k Důkaz Věta je bezprostředním důsledkem příslušných vět pro limity posloupností čísel a předchozí věty. (v) Konvergence vybrané posloupnosti Každá posloupnost vybraná z konvergentní posloupnosti (a k ) s limitou a je konvergentní a má limitu a. Důkaz Plyne bezprostředně z definice (1.34) vybrané posloupnosti. (vi) Posloupnost (a k ) konverguje k nulovému vektoru právě tehdy, když posloupnost ( a k ) konverguje k nule. Důkaz Zřejmě a k leží v daném ε okolí nulového vektoru právě tehdy, když platí a k < ε. 1.3.4 Příklady Máme určit, zda daná posloupnost (a k ) je konvergentní. Je-li konvergentní, máme najít její limitu. 1. a k = ( 1 k, k + 1 ). k Použijeme větu o konvergenci po složkách. Z početní techniky posloupností v R 1 víme, že posloupnost (1/k) konverguje k nule a posloupnost ((k + 1)/k) konverguje k jedné. Odtud plyne, že vyšetřovaná posloupnost je konvergentní a její limita je (0, 1). 2. a k = sin kπ 1 + k, e ( 1 k + 1 k 2 ) (, ln 1 + 1 ) k k. Budeme postupovat podobně jako v předchozím příkladě. Víme, že posloupnost ( k π) konverguje k číslu π a že posloupnost ((1 + 1 1+k k )k ) konverguje k číslu e. Odtud posloupnost (sin kπ k+1 ) konverguje k číslu sin π = 0, posloupnost (e1 k 1+k 2 ) konverguje k číslu e 1 0 = e a posloupnost (ln(1 + 1 k )k ) konverguje k číslu ln e = 1. Je tedy vyšetřovaná posloupnost konvergentní a její limita je (0, e, 1). ( k 2 3. a k = 1 + k, k + 1 ) k, ( 1)k. Zřejmě posloupnost ( k2 ) diverguje do nekonečna, takže daná posloupnost nemůže 1+k konvergovat. Podobně můžeme argumentovat pomocí posloupnosti třetích členů ( 1) k, která nemá limitu. 1.3.5 Úlohy 1. Rozhodněte, zda daná posloupnost (a k ) je ohraničená.

1.4. SPOJITOST FUNKCE 23 (a) a k = (1 1, cos k ). [Je.] k k+1 (b) a k = ( 1, 3 ) k k+1 k. [Je.] ( ) 2 1 (c) a k = k+1. [Není.] (d) a k = ( 1 k, 3 k, 3 0,001k k+1 k 2 ). [Není.] (e) a k = ( ( 1 2 )k, ( 3) k). [Není.] 2. Rozhodněte, zda daná posloupnost (a k ) je konvergentní. Je-li konvergentní, najděte její limitu. (a) a k = ( 1 1 k, (1 + 1 k )k). (b) a k = (cos kπ, sin kπ). [Konverguje k (1, e).] [Není.] (c) a k = ( ( 1) k e k, cos 1 k ). [Konverguje k (0, 1).] 1.4 Spojitost funkce Klíčová slova: spojitost funkce f v bodě a vzhledem k množině M, funkce spojitá v bodě, funkce spojitá na množině, Weierstrassova věta 1.4.1 Motivace pojmu spojitost funkce více proměnných Při vyšetřování vlastností funkcí jedné proměnné jsme viděli, jak velikou roli zde hraje spojitost. Stejně je tomu i u funkcí více proměnných. I tady můžeme spojitost funkce f v bodě a D f popsat volně tak, že bodům x blízkým bodu a odpovídají funkční hodnoty f(x) blízké hodnotě f(a), i když v případě funkcí dvou proměnných není situace tak názorná jak tomu bylo u funkcí jedné proměnné. Při vyšetřování spojitosti funkce f jedné proměnné v bodě a jsme se zabývali chováním funkce f v nějakém okolí bodu a. Stejně budeme postupovat i u funkcí více proměnných. Nejdříve si toto chování pro konkrétní funkce dvou proměnných ukážeme na příkladech. Příklady 1. Uvažujme funkci f definovanou předpisem 1 pro xy > 0, f(x, y) = sgn (xy) = 0 pro xy = 0, 1 pro xy < 0, (x, y) R 2. (1.42) Označme M 1 = {(x, y) R 2 xy > 0}, M 2 = {(x, y) R 2 xy < 0}, M x = {(x, y) R 2 y = 0}, M y = {(x, y) R 2 x = 0}. (1.43) Množiny M 1 a M 2 jsou popsány pomocí ostrých nerovností, a jsou tedy otevřené. Proto ke každému bodu a M 1, resp. a M 2 existuje okolí U(a, ε), které leží celé

24 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH v množině M 1, resp. M 2. To však znamená, že pro každý bod (x, y) U(a, ε) je f(x, y) = 1, resp. f(x, y) = 1. Tedy každý bod množiny M 1, resp. M 2 má okolí, v jehož každém bodě je funkce konstantní a nabývá hodnotu 1, resp. 1. Zcela jinak se chová funkce v množinách M x a M y. Zvolme např. bod a = (1, 0) M x. Pak f(a) = 0 a každé okolí U(a, ε) obsahuje body množiny M 1 i množiny M 2. Jakmile se bod x blíží k bodu a uvnitř množiny M 1, je stále f(x) = 1, a tedy i pro body blízké bodu a se funkční hodnota f(x) značně liší od funkční hodnoty f(a) = 0. Jinými slovy, žádná funkční hodnota f(x) pro x z množiny M 1 neleží v žádném ε okolí funkční hodnoty f(a) = 0 pro ε < 1. Podobná situace nastává i v případě, kdy se bod x blíží k bodu a uvnitř množiny M 2. Pak je f(x) = 1, a tedy funkční hodnota f(x) se rovněž značně liší od funkční hodnoty f(a). Jedině když se bod x blíží k bodu a uvnitř množiny M x, je f(x) = 0, a tedy pouze v tomto případě leží funkční hodnoty f(x) pro x M x blízká bodu a v libovolně malém okolí funkční hodnoty f(a). 2. Uvažujme funkci f, definovanou předpisem f(x, y) = { 2 pro xy > 0, x 2 + y 2 < 1, 1 + x 2 + y 2 pro xy 0, x 2 + y 2 < 1. (1.44) Graf této funkce je načrtnut na obr. 1.8. Označme M 1 = {(x, y) R 2 xy > 0, x 2 + y 2 < 1}, M 2 = {(x, y) R 2 xy 0, x 2 + y 2 < 1}. (1.45) z z x 2 1 1 a c b M 2 b M 1 y x y 2 a) b) Obrázek 1.8: K ilustraci definice spojitosti Množina M 1 je otevřená, a tedy ke každému bodu a M 1 existuje okolí U(a, ε) M 1. To však znamená, že pro každý bod (x, y) U(a, ε) je f(x, y) = 2. Tedy každý bod množiny M 1 má okolí, v němž funkce nabývá hodnotu 2.

1.4. SPOJITOST FUNKCE 25 Zcela jiná situace je v množině M 2. Zvolíme-li v ní bod c tak, aby byl jejím vnitřním bodem, pak vždy, jakmile se bod x blíží k bodu c, blíží se funkční hodnoty f(x) funkční hodnotě f(c). Zvolíme-li však bod b na společné hranici množin M 1 a M 2, pak každé jeho okolí obsahuje také body z množiny M 1, v nichž funkce nabývá hodnotu 2. Podle definice funkce f je f(a) 2. Pro x blížící se bodu b dostáváme dvě různé situace: jestliže se blížíme k bodu b uvnitř množiny M 2, blíží se hodnoty f(x) k funkční hodnotě f(b). Blížíme-li se uvnitř množiny M 1, blíží se hodnoty f(x) k číslu 2 f(b). Vidíme, že když zvolíme na ose z dostatečně malé ε okolí čísla 2, pak pro x M 2 dostatečně blízká bodu b leží funkční hodnoty f(x) v tomto okolí, zatímco pro x M 1 libovolně blízká bodu b leží funkční hodnoty f(x) mimo toto okolí. Může nastat ještě řada dalších situací, o nichž se už nebudeme zmiňovat. Příklady nám ukázaly, že chování funkce v okolí daného bodu závisí podstatně na tom, uvnitř které podmnožiny definičního oboru toto chování vyšetřujeme. Tato skutečnost se odráží i v následující definici. 1.4.2 Spojitost funkce 1. Definice spojitosti funkce f v bodě a vzhledem k množině M. Předpokládejme, že je dána funkce f: D f R n R 1, množina M D f a bod a D f. Říkáme, že funkce f je spojitá v bodě a vzhledem k množině M právě tehdy, když ke každému okolí U(f(a), ε) funkční hodnoty f(a) existuje okolí U(a, δ) bodu a tak, že pro každý bod x U(a, δ) M leží jeho funkční hodnota f(x) v ε okolí U(f(a), ε) funkční hodnoty f(a). 2. Zápis pomocí kvantifikátorů Zapíšeme ještě definici spojitosti funkce v bodě a vzhledem k množině M ve dvou dalších formulacích. V první formulaci nahradíme okolí příslušnými nerovnostmi s absolutními hodnotami a normami. V druhé formulaci použijeme kvantifikátory. (i) Funkce f je spojitá v bodě a D f vzhledem k množině M D f právě tehdy, když ke každému ε > 0 existuje δ > 0 tak, že pro všechna x M, pro něž platí x a < δ je f(x) f(a) < ε. (ii) Pomocí kvantifikátorů můžeme definici spojitosti funkce v bodě a vzhledem k množině M zapsat takto. Funkce f je spojitá v bodě a vzhledem k množině M právě tehdy, když U(f(a), ε) U(a, δ) tak, že (x U(a, δ) M f(x) U(f(a), ε)), (1.46) nebo pomocí nerovností ε > 0 δ > 0 tak, že (x M, x a < δ f(x) f(a) < ε). (1.47) Je důležité uvědomit si pořadí kvantifikátorů a. Uvědomme si ještě, že kdybychom v (1.46) nahradili obecný kvantifikátor existenčním kvantifikátorem, dostali bychom definici spojitosti, podle které by každá funkce f omezená v nějakém okolí U(a, δ) bodu a D f byla v tomto bodě spojitá. Kdybychom totiž směli

26 KAPITOLA 1. REÁLNÉ FUNKCE VÍCE REÁLNÝCH PROMĚNNÝCH číslo ε zvolit libovolně veliké, pak bychom ho zvolili tak, aby do něj padly obrazy všech bodů z tohoto okolí U(a, δ). Definice spojitosti, jak jsme ji formulovali my, takovou možnost pochopitelně nedává. Ona totiž požaduje, aby i pro jakkoli malé ε okolí bodu f(a) platilo, že všechny body definičního oboru ležící dostatečně blízko bodu a se zobrazují do tohoto okolí. 3. Příklad Vraťme se ještě jednou k funkci definované předpisem (1.44). Tato funkce je spojitá v každém bodě (x, y) M 1 = {(x, y) R 2 (xy > 0) (x 2 + y 2 < 1)} vzhledem k množině M 1 a analogicky je spojitá v každém bodě (x, y) M 2 = {(x, y) R 2 (xy 0) (x 2 + y 2 < 1)} vzhledem k množině M 2. V bodech (x, y), kde buď x = 0 nebo y = 0, tj. v bodech souřadnicových os je tedy spojitá vzhledem k M 2, ale není spojitá vzhledem k M 1. 4. Spojitost v bodě a na množině Budeme říkat, že funkce f je spojitá v bodě a právě tehdy, když je spojitá v bodě a vzhledem k D f. Budeme říkat, že funkce f je spojitá na množině M právě tehdy, když je spojitá v každém bodě množiny M. Je-li funkce f spojitá na celém prostoru R n, pak říkáme prostě, že funkce f je spojitá. Někdy se definuje spojitá funkce jako taková funkce, která je spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Pak ovšem musíme v tomto smyslu považovat za spojité i funkce typu f(x, y) = 1/x + 1/y, nebo funkci definovanou předpisem f(x, y) = 2 pro xy > 0, f(x, y) = 1 + x 2 + y 2 pro xy < 0. Ukážeme ještě jiný přístup k definici spojitosti funkce. V článku 1.3 jsme se zabývali posloupnostmi a jejich limitami. Nyní budeme charakterizovat spojitost funkce pomocí posloupností a jejich limit. 5. Funkce f : D f R n R 1 je spojitá v bodě a D f vzhledem k množině M D f právě tehdy, když pro každou posloupnost (x k ) v M konvergující k bodu a konverguje posloupnost (f(x k )) funkčních hodnot k bodu f(a). Důkaz Nechť jsou splněny předpoklady definice 1 a ukažme, že pak platí naše tvrzení. Zvolme libovolnou posloupnost (x k ) v M konvergující k bodu a a ukažme, že pak posloupnost (f(x k )) funkčních hodnot konverguje k bodu f(a). To je však jednoduché. Zvolme libovolně okolí U(f(a), ε) funkční hodnoty f(a). Pak existuje takové okolí U(a, δ) bodu a, že pro každý bod x U(a, δ) M leží jeho funkční hodnota f(x) v okolí U(f(a), ε). Jelikož posloupnost (x k ) konverguje k bodu a, existuje přirozené číslo k 0 N takové, že pro všechna k > k 0 je x k U(a, δ). Pak ovšem podle definice 1 musí být f(x k ) U(f(a), ε), a tedy posloupnost funkčních hodnot f(x k ) konverguje k bodu f(a). Nyní předpokládejme, že jsou splněny předpoklady tvrzení 5 a ukažme, že pak funkce f(x) má vlastnost, popsanou v definici 1. Důkaz provedeme sporem. Předpokládejme, že pro každou posloupnost (x k ) v M konvergující k bodu a konverguje posloupnost funkčních hodnot f(x k ) k bodu f(a) a že funkce f(x) nemá vlastnost popsanou v definici 1. To znamená, že existuje okolí U(f(a), ε) funkční hodnoty f(a) takové, že v každém okolí U(a, δ) bodu a existuje bod x U(a, δ) M tak, že funkční hodnota f(x) neleží v okolí U(f(a), ε). Nyní stačí pro každé číslo δ = 1/k, k N, vybrat x k U(a, 1/k) M tak, aby funkční hodnota f(x k ) neležela v okolí U(f(a), ε). Dostaneme tak posloupnost (x k ) v M konvergující k bodu a, pro

1.4. SPOJITOST FUNKCE 27 kterou posloupnost funkčních hodnot f(x k ) nekonverguje k bodu f(a), což je spor s naším předpokladem. 6. Spojitost vektorových funkcí Všechny pojmy, které jsme v tomto článku 1.4.2 zavedli pro skalární funkci f: D f R n R 1 můžeme nyní po složkách přenést na vektorové funkce f = (f 1, f 2,..., f m ): D f R n R m tak, že vektorová funkce f má danou vlastnost právě tehdy, když každá její složka f i má tuto vlastnost. Např. vektorová funkce f je spojitá v bodě a vzhledem k množině M právě tehdy, když každá její složka je spojitá v bodě a vzhledem k množině M. Operace se spojitými funkcemi Jsou-li funkce f, g spojité v bodě a vzhledem k množině M, pak tutéž vlastnost mají i funkce f + g, f g, fg a v případě g(a) 0 i f/g. Tyto vlastnosti spojitosti funkce nám umožňují dokazovat spojitost funkcí, které vznikly ze spojitých funkcí s použitím algebraických operací sčítání, odečítání, násobení a dělení. Další velice účinný nástroj pro tuto oblast práce je následující tvrzení. Spojitost složeného zobrazení Předpokládejme, že jsou dána dvě zobrazení (tj. dvě vektorové funkce) g: R n R k, f: R k R m, a D g, b = g(a) D f. Je-li vektorová funkce g spojitá v bodě a, vektorová funkce f spojitá v bodě b = g(a), pak také složená vektorová funkce h = f g: R n R m je spojitá v bodě a. Volně říkáme, že kompozice spojitých zobrazení je spojité zobrazení. Důkaz Naznačíme myšlenku důkazu. Nechť (x k ) je posloupnost v D g konvergující k bodu a. Označme y k = g(x k ) a b = g(a). Ze spojitosti funkce g(x) v bodě a plyne, že posloupnost (y k ) = (f(x k )) konverguje k b = f(a). Odtud a ze spojitosti funkce f(y) v bodě b nyní plyne, že i posloupnost f(y k ) musí konvergovat k bodu f(b). Weierstrassova věta Nechť funkce f je spojitá na kompaktní množině M R n. Pak funkce f nabývá na množině M svého maxima a minima, tj. existují body x m a x M v množině M takové, že f(x m ) = min{f(x) x M}, f(x M ) = max{f(x) x M}. Příklady 1. Máme ukázat, že funkce f(x, y) = x 2 y x 4 + y 2 pro (x, y) (0, 0), 0 pro (x, y) = (0, 0) (1.48) (i) není spojitá v bodě (0, 0); (ii) je spojitá v bodě (0, 0) vzhledem ke každé přímce procházející počátkem; (iii) není spojitá v bodě (0, 0) vzhledem k žádné parabole o rovnici y = kx 2, k 0.