Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} ε-ové prstencové okolí bodu a P + ε (a) = (a, a+ε) pravé okolí, P ε (a) = (a ε, a) levé okolí x a x se "blíží" k a tj. x nabývá hodnot libovolně blízkých k a Podobně: x a+, x a, x +, x

Spojitost funkce v bodě 3/20 Definice: Necht je funkce f definovaná v jistém okolí O(a) bodu a. Říkáme, že f je spojitá v bodě a D(f ), jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že f ( O δ (a) ) O ε (f (a)) Stručně: V bodech "blízko" a má f hodnoty "blízko" f (a). Definice: Říkáme, že funkce f je spojitá zprava/spojitá zleva v bodě a D(f ), jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že f ( O + δ (a)) O ε (f (a)) ε > 0 δ > 0 takové, že f ( O δ (a)) O ε (f (a))

4/20 Spojitost funkce na intervalu Definice: Říkáme, že f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Definice: Říkáme, že f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b, je-li spojitá v každém bodě intervalu (a, b), spojitá zprava v bodě a, spojitá zleva v bodě b.

Věty o spojitých funkcích 5/20 Větička: Všechny funkce z Tabulky I, kromě fce sgn(x) v bodě 0, jsou spojité na svých definičních oborech. Věta: Jsou-li funkce f a g spojité, pak jsou i funkce f, f ± g, f g, f a f g spojité na svých definičních oborech. g Příklady: Funkce f (x) = sin( 2x π ) arccotg x + 5 xe x je spojitá na R. Funkce f (x) = sgn(x 2 + 2) 1 je také spojitá na R. Funkce f (x) = sgn(sin x) má nekonečně mnoho bodů nespojitosti (x = kπ, k Z)

Věty o spojitých funkcích 6/20 Věta: (Darbouxova vlastnost spojité funkce) Necht f je spojitá na intervalu a, b a f (a) f (b). Pak f nabývá v intervalu (a, b) všech hodnot mezi f (a) a f (b). Speciálně: Je-li f (a) f (b) < 0, pak existuje bod c (a, b), ve kterém je f (c) = 0.... Využívá Newtonova metoda. Weierstrassova věta: Spojitá funkce na uzavřeném intervalu a, b nabývá v tomto intervalu své maximální i minimální hodnoty.

Limita funkce Definice: Necht je funkce f definována v nějakém P(a) D(f ). Jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že f ( P δ (a) ) O ε (L), říkáme, že funkce f má v bodě a limitu L R. Píšeme f (x) = L. lim Stručně: V bodech "blízko" a má f hodnoty "blízko" L. x a f (x) L Důležité: Limita lim f (x) neříká nic o chování funkce f přímo v bodě a, ale pouze v okolí bodu a. Věta: Funkce f má v bodě a nejvýše jednu limitu. Věta (vztah spojitosti a limity): Funkce f je spojitá v bodě a lim f (x) = f (a). 7/20

Jednostranné limity 8/20 Definice: Necht je f definována v nějakém P + (a) D(f ). Jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že f ( P + δ (a)) O ε (A), říkáme, že limita funkce f v bodě a zprava je rovna A R. Píšeme lim f (x) = A. + Analogicky: Necht je f definována v nějakém P (a) D(f ). Jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že f ( P δ (a)) O ε (A), říkáme, že limita funkce f v bodě a zleva je rovna A R. Píšeme lim f (x) = A. Věta: lim f (x) = L lim f (x) = lim f (x) = L +

lim f (x) = L I. Je-li a, L R, říkáme vlastní limita ve vlastním bodě např. lim x π cos(x) = 1 II. Je-li a R, L = ±... nevlastní limita ve vlastním bodě např. lim ln(x) = x 0+ III. Je-li a = ±, L R... vlastní limita v nevlastním bodě např. lim x arctg(x) = π 2 IV. Je-li a, L = ±... nevlastní limita v nevlastním bodě např. lim x e x = Případ I. jsme již objasnili. Nyní probereme případy II., III. a IV. 9/20

Nevlastní limity - případ II 10/20 Definice: Necht f (x) je definována v P(a) potom (i) lim f (x) =, jestliže K > 0 δ > 0 takové, že x P δ (a) je f (x) > K (ii) lim f (x) =, jestliže L < 0 δ > 0 takové, že x P δ (a) je f (x) < L Poznámka: Použijeme-li P + δ (a) nebo P δ (a), dostáváme jednostranné nevlastní limity ve vlastním bodě.

11/20 Vlastní limity v nevlastním bodě - případ III Definice: jestliže lim x f (x) = L 1 ε x 1 > 0 takové, že x > x 1 platí f (x) O ε (L 1 ) Analogicky: jestliže lim x f (x) = L 2 ε x 2 < 0 takové, že x < x 2 platí f (x) O ε (L 2 )

12/20 Nevlastní limity v nevlastním bodě - případ IV Definice: (i) (ii) (iii) (iv) lim f (x) = x K > 0 x 1 > 0 takové, že x > x 1 platí f (x) > K. lim f (x) = x L < 0 x 1 > 0 takové, že x > x 1 platí f (x) < L. lim f (x) = x K > 0 x 2 < 0 takové, že x < x 2 platí f (x) > K. lim f (x) = x L < 0 x 2 < 0 takové, že x < x 2 platí f (x) < L.

Výpočet limit 13/20 Limity základních funkcí odečteme z grafu. Věta: Necht lim f (x) = A a lim g(x) = B, Potom: (a, A, B R ± ). lim ( f (x) ± g(x) ) = A ± B, lim ( f (x) g(x) ) = A B lim f (x) g(x) = A B (Má-li výraz vpravo smysl - viz "počítání s nekonečny" a "dělení nulou") Věta (o limitě složené funkce): Bud f spojitá funkce. Necht lim g(x) = A a lim f (y) = B, y A (a, A, B R ± ). Potom lim f ( g(x) ) = B.

Výpočet limit (2) - "počítání s nekonečny" Analogické věty pro případy II, III a IV si nebudeme explicitně uvádět. Naučíme se pouze "počítat s nekonečny"a "dělit nulou". "Počítání s nekonečny": C R, C > 0. + C = C = C = ( C) = + = C = = ( C) = + C = = C = ( ) = ( ) ( ) = =??? 0 =?????? C ± = C ± = 0 ± = 0 = 14/20

Výpočet limit (3) - "dělení nulou" 15/20 "Dělení nulou": C R, C > 0. C 0+ = 0+ = C 0+ = 0 = C 0 = 0+ = C 0 = 0 = 0 0 =??? Neurčité výrazy: 0 0,, 0,... budeme počítat úpravou nebo l Hospitalovým pravidlem

Výpočet limit (4) 16/20 Věta: Necht okolí P(a) takové, že x P(a) platí f (x) = g(x), potom lim f (x) = lim g(x) Věta (o 2 policajtech, sandwich theorem): Necht platí: x P(a) : g(x) f (x) h(x) lim g(x) = lim h(x) = L Potom lim f (x) = L. Věta (o omezené funkci): Necht funkce f je omezená na nějakém P(a), pak platí f (x) (i) Je-li lim g(x) = ±, pak lim g(x) = 0. (ii) Je-li lim g(x) = 0, pak lim f (x)g(x) = 0. Analogické věty platí i pro jednostranné limity, resp. limity v ±.

Limita funkce na funkci 17/20 Pro limity funkcí tvaru [f (x)] g(x) využijeme: lim [f (x)]g(x) = lim e g(x) ln f (x) = e lim g(x) ln f (x) Důsledek: Neurčité výrazy jako 0, 0 0, 0, 1,... nezavádíme. Příklad 1: lim [sin x] cos x x π 2 Příklad 2: lim x 0+ [x] x (bude l Hospitalovým pravidlem)

Definice posloupnosti Definice: Jestliže n N je a n R, potom a 1, a 2, a 3,..., a n,... nazýváme posloupnost (reálných čísel). Zkráceně zapisujeme... {a n } n=1. Vzorec pro n tý člen: a n = f (n), f : N R... předpis, jak z indexu n vypočteme a n Aritmetická posloupnost: a n+1 = a n + d, ( a n = a 1 + (n 1)d ) kde d R je diference. Geometrická posloupnost: a n+1 = a n q, ( a n = a 1 q n 1 ) kde q R je kvocient. 18/20

19/20 Limita posloupnosti Definice: lim a n = L R (vlastní limita), jestliže n ε n 0 N takové, že n > n 0 platí a n O ε (L). lim a n = / (nevlastní limita), jestliže n K > 0 n 0 N takové, že n n 0 platí a n > K, K < 0 n 0 N takové, že n n 0 platí a n < K. L R... konvergentní posloupnost L = ± nebo limita neexistuje... divergentní posloupnost

20/20 Eulerovo číslo Dá se dokázat, že existuje vlastní limita ( lim 1 + 1 ) n. n n Definice: Označme e = ( lim 1 + 1 ) n. n n Číslo e. = 2, 71828 nazýváme Eulerovo číslo. Poznámka: Číslo e je základ přirozeného logaritmu (tj. ln x = log e x).