Přednáška 3: Limita a spojitost

3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice kolím bodu nazýváme množinu (, ), kde (31) Redukovaným okolím bodu nazýváme množinu (, ) \ (, ) (, ), (3) tedy okolí bez bodu samotného Levým okolím bodu nazýváme množinu bodu nazýváme množinu (, ), podobně pravým okolím (, ) 3 Definice Mějme dánu množinu M (Nejčastěji se bude jednat o definiční obor nějaké funkce) Bod nazveme (i) vnitřním bodem množiny M, eistuje-li okolí, které leží celé v M, tedy M (ii) hromadným bodem množiny M, jestliže má každé jeho redukované okolí neprázdný průnik s množinou M, tedy M pro všechna Množinu všech hromadných bodů množiny M značíme M (resp D jedná-li se o definiční obor) Poznamenejme, že každý vnitřní bod množiny M je hromadným bodem množiny M (iii) izolovaným bodem množiny M jestliže leží v M a není jejím hromadným bodem, tedy M a zároveň M 1

3 / 1 / 17, 1:38 33 Příklad (i) Buď M ( a, b) otevřený interval Pak M a, b (ii) Mějme zadánu funkci f : y 1 1 Nalezněme její definiční obor D a množinu D D,,1 D (,1] Zkusme nejprve pojem limity popsat neformálně Limitou funkce f pro jdoucí k rozumíme takové číslo a, ke kterému se blíží funkční hodnoty funkce f, když se argument blíží k bodu Situace pro funkci f z předchozího příkladu a bod je znázorněna v následující animaci: y,5 1,77168,4 1,7745967,3 1,83666, 1,89447,1 1,9486833,1 1,9949874,1 1,9994999,1 1,99995,1 1,999995,1 1,9999995,1,5,1,5,1,5,1,4999,1,49876,1,48888,,954451,3,141754,4,18316,5,47449 Animace 31: Proces přibližování Tabulka 31: Funkční hodnoty funkce y f ( ) v blízkosti bodu Z tabulky funkčních hodnot je vidět, že s postupným přibližováním k bodu (z kterékoliv strany) dostáváme funkční hodnoty stále blíže k bodu y Na první pohled přesvědčivěji zní tento argument, když jej přeformulujeme pomocí vzdálenosti: kdykoliv dostaneme předepsánu libovolně malou vzdálenost, např,1, musíme být schopni najít číslo takové, aby funkční hodnoty všech bodů, které jsou od vzdáleny o méně než, byly k y blíže než jsme dostali předepsáno V našem případě je takovou hodnotou třeba, 1, jelikož funkční hodnoty leží v intervalu (1, 9949874;,49876) Pro

3 / 1 / 17, 1:38,1 bychom zvolili, 1 atd, vždy bychom však nějaké našli Proto je dvojka limitou funkce f pro jdoucí k nule Zapisujeme to lim 1 1 34 Topologická definice limity Říkáme, že funkce f má v hromadném bodě a eistuje redukované okolí takové, že je-li Zapisujeme to lim f ( ) D limitu a jestliže pro každé okolí ( D), pak je f ( ) a a (33) Všimněme si, že hodnota limity nemá vůbec nic společného s chováním funkce f přímo v bodě Tam může mít libovolnou funkční hodnotu nebo dokonce vůbec nemusí být definována! Chceme-li tvrdit, že číslo a je limitou funkce f v bodě, musíme být schopni k sebemenšímu okolí ( a, a ) na ose y najít takové redukované okolí a (, ) \ na ose, že f ( ) a pro všechna Ekvivalentně lze pojem limity definovat s využitím vzdálenosti, která se jak známo popisuje absolutní hodnotou Pomocí absolutní hodnoty lze popsat redukované okolí bodu jako množinu, kde 35 Analytická definice limity Říkáme, že funkce f má v hromadném bodě eistuje takové, že je-li, pak je f ( ) a D limitu a jestliže pro každé Pomocí této definice můžeme aspoň trochu počítat, používá také jen známé pojmy, ovšem na druhou stranu je mnohem těžší se o limitách bavit prostřednictví absolutních hodnot, zejména pokud chceme být při vyjadřování přesní a struční Chceme-li tvrdit, že číslo a je limitou funkce f v bodě, musíme být schopni ke každému bodu f( ) libovolně blízkému k a (vzdálenost bodu f( ) od a je ) najít takové, že obrazy všech bodů (kromě ) vzdálených od bodu o méně než jsou od bodu a vzdáleny o méně než 3

3 / 1 / 17, 1:38 36 Příklady (i) Spočítejme 1 lim 1 1 (ii) Dokažme, že 1 lim sin neeistuje Jelikož D, a tedy D, je bod hromadným bodem a úloha tedy má smysl \ brázek 3: Graf funkce 1 y sin v okolí nuly (iii) Dokažme, že ani pro funkci signum limsign( ) neeistuje Pojem funkční hodnoty se nám tedy podařilo vylepšit, leč ani limita neeistuje vždy Poslední příklad nám ale naznačuje jak pojem dále upravit Kdybychom uvažovali jen levou část okolí, tedy interval I (,) f( I ) 1 a limita by eistovala Podobně, dostali bychom, dostáváme ( ) 1 pro pravou část okolí, tedy interval I (, ) eistuje Tyto pojmy vyprecizujeme v následující definici f I a limita také 37 Jednostranné limity Funkce f má v bodě D limitu zprava, píšeme lim f ( ) a, právě tehdy když má funkce f limitu a na množině M D, Funkce f má v bodě D limitu zleva, píšeme 4

3 / 1 / 17, 1:38 lim f ( ) a, právě tehdy když má funkce f limitu a na množině M D, 38 Věta Funkce f má v bodě D limitu a právě tehdy eistují-li v obě jednostranné limity a ty se rovnají 39 Příklad Funkce signum z příkladu 36(iii) má v bodě jednostranné limity lim sign( ) 1, lim sign( ) 1, ovšem jelikož se tyto limity nerovnají, limita pro neeistuje Pravidla pro počítání s limitami 31 Věta Funkce f má v bodě D nejvýše jednu limitu 311 Věta Nechť je ( Df Dg), lim f ( ) a, lim g ( ) b Potom platí, že Speciálně pro k platí Je-li dále b, pak platí také lim lim f ( ) a, lim f ( ) g( ) a b, lim f ( ) g( ) a b k f ( ) k lim f ( ) k a (34) f ( ) a lim, (35) g( ) b 31 Věta o limitě složené funkce Nechť je funkce h( ) ( f g)( ) f ( g( )) definována na množině M, nechť je M, lim g ( ) b, lim f ( y ) a Jestliže eistuje y b, pak platí lim f ( g( )) a takové, že g( ) b pro všechna 5

3 / 1 / 17, 1:38 313 Příklady ln lim lim( ln ) 1 1 (i) lim 1 1 lim( 1) y5 (ii) lim 9 1 Jelikož D D 3,3, je D Platí, že lim y 5 Jelikož 9 5 např na (,) 1, jest (iii) Ukažme, že požadavek, aby g( ) g ( ) 1, Dg, a b na nějakém lim(9 ) 5 lim 9 5 a je podstatný Mějme funkce pro y 1, f( y) 3 jinak Pak pro libovolné c platí, že lim g ( ) 1 a lim f( y) 3 všem f ( g( )), a tedy i c y1 lim f ( g ( )) 3 Je-li tedy g( ) b, pak nelze o hodnotě f ( g( )) nic říci c Nevlastní limity a limity v nevlastních bodech Nejdříve si množinu reálných čísel rozšíříme o tzv nevlastní body tak, že definujeme *, Pro každé a platí, že a a rozšířenou reálnou osu redukovaná okolí nevlastních bodů mají tvar ( a, ), (, a) 314 Nevlastní limita Říkáme, že funkce f definovaná na má v bodě nevlastní limitu lim f( ) jestliže pro každé h eistuje redukované okolí pak je f ( ) k, tedy f ( ) Funkční hodnoty funkce f tedy na *, píšeme takové, že je-li rostou nade všechny meze Nevlastní limita, * se definuje analogicky, přesnou formulaci přenecháváme laskavému čtenáři jako velmi dobré cvičení 315 Příklad 1 Spočítejme lim 316 Limita v nevlastním bodě Říkáme, že funkce f má v nevlastním bodě D limitu a *, jestliže pro každé okolí a eistuje redukované okolí takové, že je-li ( D), pak je f ( ) a Zapisujeme to lim f ( ) a 6

3 / 1 / 17, 1:38 317 Příklady Spočítejme (i) lim arctan( ) 7 (ii) lim (iii) lim log( ) 7

3 / 1 / 17, 1:38 318 Věty o počítání s nevlastními body Buď a h h ( ) f( ) g ( ) D Nechť je lim f ( ) a, kde a, lim ( ) a eistuje takové ( D ) je g ( ) Pak platí, že g g f( ) lim g ( ), že pro limitě z předchozí věty hovoříme jako o limitě typu a / Podle znaménka limity a a funkce g ( ) rozlišujeme čtyři případy: Limity typu a / g ( ) g ( ) a a lim h ( ) lim h ( ) lim h ( ) lim h ( ) Tabulka 3: Limity typu a / Symbolicky to zapisujeme zjednodušeně jako a (36) Podobně rozumíme výrazům a, (37) ( ) ( ) ( ) a a Dodejme, že při použití pravidel pro počítání s nevlastními body je často potřeba využít znalosti o elementárních funkcích, zejména jejich grafy a vlastnosti (38) 319 Příklad Spočítejme 1 (i) lim e (ii) lim 1 ln 1 8

3 / 1 / 17, 1:38 3 Neurčité výrazy Neurčitým výrazem rozumíme symbolický zápis limity ve tvaru,,,, (39),, 1, Výpočet těchto limit činí největší obtíže Pro jisté typy úloh používáme postup, který spočívá v použití vhodné substituce, díky které se výraz převede na vzorce: sin lim 1 (31) a a lim 1 e Vhodný nástroj pro řešení limit z neurčitých výrazů nám poskytne až pojem derivace, na němž je postaven nejúčinnější způsob výpočtu limit, tzv l Hôpitalovo pravidlo, viz dále přednáška 5, věta 51 Dodejme, že l Hôpitalovo pravidlo lze přímo použít jen na limity typu / nebo / statní neurčité výrazy,,,,, 1 a, je potřeba před použitím pravidla na tvar / nebo / upravit 31 Postup výpočtu limit 1 Ve většině případů stačí dosadit požadovaný bod do předpisu funkce a využít pravidla pro počítání s limitami Pokud výraz nelze vypočítat, pokusíme se použít věty o počítání s nevlastními body Výraz je často třeba upravit na jednodušší tvar, či vhodně rozšířit 3 Pro speciální typy limit používáme vzorců (31) 4 Pokud vychází neurčitý výraz, kterého se nelze zbavit vhodnou úpravou (např rozšířením), použijeme l Hôpitalovo pravidlo 3 Příklad Spočítejme 3 (i) lim 7 tan 4 (ii) lim (iii) 6 lim 9

3 / 1 / 17, 1:38 Spojitost 33 Definice Buď Df Df Říkáme, že funkce f je spojitá v bodě pokud platí, že lim f ( ) f ( ) (311) Funkci f nazýváme spojitou, je-li spojitá v každém bodě Df Využíváme zde topologické definice limity a funkci považujeme za spojitou v bodě je-li v tomto bodě limita rovna funkční hodnotě Vzhledem k pravidlům pro počítání s limitami je také součet, rozdíl, součin (a za dodatečného předpokladu g ( ) také podíl) funkcí f a g spojitých v bodě spojitý v bodě Všimněte si, že funkce spojité podle naivní definice spojitosti (graf je souvislá čára) jsou spojité i podle naší definice všem ukážeme, že některé funkce považované naivně za nespojité, jsou podle naší definice spojité 34 Příklady nespojitých funkcí (i) Elementární funkce jsou zpravidla spojité (ii) Z minulé přednášky známe funkci sign( ), které je nespojitá v bodě D (iii) Nespojité funkce se vyskytují např v teorii čísel, kde je většina funkcí naopak nespojitých Jako příklad uvádím namátkou funkci ( ) popisující počet prvočísel menších než je 35 Druhá věta o limitě složené funkce Nechť je funkce ( f g)( ) f ( g( )) definována na množině M, nechť je M Je-li lim g ( ) b, a je-li funkce f je spojitá v bodě b, pak platí, že lim f ( g( )) f ( b) Předchozí věta nám garantuje nejen to, že spojitost vnější funkce přenáší limitu, ale také, to, že kompozice spojitých funkcí je opět funkcí spojitou 1

3 / 1 / 17, 1:38 Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu 36 Věta Je-li f spojitá funkce na intervalu (i) (ii) I a b D, pak platí, f f je na I ohraničená, f nabývá na I svého maima a minima, (iii) je-li f ( a) f ( b) f a f b,, pak nabývá f všech hodnot z intervalu ( ), ( ) (iv) je-li f ( a) f ( b), tedy mají-li čísla f ( a), f ( b ) různá znaménka, pak eistuje c a, b takové, že f( c) Část (ii) se v literatuře označuje jako Weierstrassova nebo Bolzano Weierstrassova věta Je základním eistenčním nástrojem pro řešení etremálních a optimalizačních úloh Část (iv) se zase podstatně využívá k numerickému hledání kořenů rovnic f( ) 11