4. Ná hodné procesy { }

4 Ná hodné procesy 4 NÁ HODNÉ ROCESY 4 NÁ HODNÉ ROCESY SE SOJIÝM Č ASEM ři popisu dynmických jevů náhodných dějůje potřené tento děj vyjádřit většinou jko funkci reálného čsu neo tzv operčního čsu outo funkcí je míněn oecná číselná posloupnost jko npř posloupnost pořdových čísel pokusů K vyjádření tkovéhoto dynmicky se měnícího náhodného děje se používá pojmu ná hodnýproces Náhodný proces X(t) je funkce, jejíž hodnot je při dné hodnotě rgumentu t ná hodnou velič inou Náhodný proces popisujeme tedy jednk jko náhodnou veličinu X, v dném čse t ( prvděpodonostní přístup), jednk jko průěh signálu X(t) v čse ( sttistický přístup ) ři prvděpodonostním přístupu používá me stejného prátu jko pro popis náhodné veličiny Mimální informci ze sttistického hledisk nám poskytují distriuč ní funkce funkce hustoty prvdě podonosti Náhodný proces může nývt uď spojitě jkékoli hodnoty z určitého intervlu neo pouze hodnoty diskrétní, npř,, 3, n odle toho rozliš ujeme náhodné procesy n procesy se spojitými stvy n procesy s diskrétními stvy Distriuční funkce F(,t) náhodného procesu X(t) se spojitými diskrétními hodnotmi jsou definovány vzthy: kde { X t } { } F(, t) X ( t) < p(, t) d, (4) { i } i F(, t) X ( t) < ( X ( t) ) (4) j ( ) < oznčuje prvděpodonost toho, že náhodný proces X(t) nude v okmžiku t hodnoty menší než Inde i určuje i-tou diskrétní hodnotu Distriuční funkce je neklesjící funkce pltí: F(, t), F(, t) (4) pro funkci hustoty prvděpodonosti p(,t) pltí: F(, t) p(, t), (43) pokud tto prciální derivce eistuje Funkce hustoty prvděpodonosti splňuje rovnici: Číselné chrkteristiky: j p (, t ) d, (44) n ( i, t) (44) i Slouží pro jednodušší popis náhodných procesůpomocí několik číselných hodnot, jichž tyto procesy v čse t v prů mě ru nývjí uto průměrnou hodnotu nzýváme střední hodnot Střední hodnot E{X(t)} náhodného procesu X(t) je definován: { ( )} E X t ( t) p(, t) d, (45) DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 3

Systémy, procesy signá ly I - sírk příkldů { ( )} n E X t ( t) (, t) (45) rčuje střed resp pomyslné těžiš tě rozdělení hodnot X(t) Stupeň rozptýlení hodnot okolo střední hodnoty určuju disperze D(t) náhodného procesu v čse kde { ( ) } ( ) { } i i D ( t ) E [ X t ( t )] E X t ( t ) [ ( t )] p (, t ) d, (46) n [ i ] i D( t) ( t) (, t), (46) i { ( )} odoně pro náhodný proces s diskrétními hodnotmi Odmocninu z rozptylu nzýváme směrodtná odchylk σ Dvojrozmě rný popis náhodného procesu i E X t p(, t) d (47) Budeme-li nlyzovt náhodný proces v několik čsových okmžicích t i kde i,,,n, získáme systém náhodných veličin, který lze popst n-rozměrnou distriuční funkcí n-rozměrnou funkcí hustoty Zde se v rámci proírné látky omezíme pouze n dvojrozměrný popis Dvojrozměrná distriuční funkce dvojrozměrná funkce hustoty prvděpodonosti náhodného procesu jsou definovány: F(,, t, t ) X ( t ) < X ( t ) <, (48) { } F(,, t, t ) p(,, t, t ), (49) kde jsou hodnoty náhodného procesu v čsech t t oznámk: pokud jsou náhodné veličiny X(t ) X(t ) sttisticky nezávislé, pltí: p(,, t, t ) p(, t ) p(, t ) (4) Číselné chrkteristiky systému dvou náhodných proměnných X(t ) X(t ) Kromě střední hodnoty disperze, které můžeme určit pro jednotlivé čsové okmžiky t t podle (45) (46), lze určit i chrkteristiky udávjící míru souvztžnosti mezi hodnotmi náhodného procesu v čsech t t prostřednictvím korelční kovrinční funkce Korelč ní funkce: { ( ) } R( t, t ) E X t X ( t ) p(,, t, t ) dd, (4) n m R( t, t ) i j ( i, j, t, t ) (4) i j Kovrinč ní funkce: {[ ( ) ][ ( ) ]} K ( t, t ) E X t ( t ) X t ( t ) [ ( t )][ ( t )] p(,, t, t ) d d R( t, t ) ( t ) ( t ) odoně pro náhodný proces s diskrétními hodnotmi (4) DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 4

4 Ná hodné procesy V pri lze náhodný proces X(t) dosttečně určit množinou možných relizcí (viz or4) sttisticky jej vyhodnotit jko náhodnou veličinu v jednotlivých čsových okmžicích Mluvíme pk o číselných chrkteristikách n množině relizcí rocesy jejichž distriuční funkce funkce hustoty prvděpodonosti nezávisejí n volě počá tku čsové osy se nzývjí stcioná rní procesy v užším smyslu to vlstnost se projeví tk, že se v jejich vyjádření již nevyskytuje čs okud jsou n čse nezávislé i střední hodnot korelční funkce, jedná se o stcionritu v š irším smyslu ro náhodný proces se spojitými hodnotmi ude tedy pltit: { ( )} E X t p( ) d (43) { ( ) } ( ) { } D E [ X t ] E X t [ ] p ( ) d dvojrozměrných funkcí chrkteristik se nevyskytují konkrétní čsy t t, le jejich rozdíl t - t τ Korelční kovrinční funkce pk udou: {[ ( )][ ( τ )]} [ ( ) ][ ( ) ] (44) R ( τ ) E X t X t +, (45) { } K ( τ ) E X t X t + τ R ( τ ) (46) ro stcionární náhodný proces lze odvodit vzthy: { R( ) E X ( t) } (47) R( ) (48) R() R( τ ), K() K( τ ) (49) řipomeňme ješ tě fyzikální význm některých číselných chrkteristik Je-li náhodný proces npětí neo proud n zátěži Ω, předstvuje střední hodnot stejnosměrnou složku, disperze D střední výkon střídvé složky, směrodtná odchylk je rovn efektivní hodnotě střídvé složky náhodného procesu celkový střední výkon je pk E{X } Jednotlivé veličiny jsou mezi seou s korelční funkcí vázány vzthy (46), (47) (48) Ve sttistickém přístupu popisujeme náhodný proces chrkteristikmi vypočtenými z čsového průěhu signálu Střední hodnot, disperze korelční funkce jsou pro i-tou relizci náhodného procesu definovány: $ i < i ( t) > lim ( ) i t dt, (4) i i i i i D$ < [ ( t) $ ] > lim [ ( t) $ ] dt, (4) $ R ( τ ) < ( t) ( t + τ ) > lim ( ) ( ) t t + τ dt (4) i i i Jestliže se jedná o proces stcionární pltí ( ) i i $, D$ D, R$ τ R( τ ), pro i,,,n (viz i i i (43), (44) (45)) n je počet relizcí, je proces nvíc tzv ergodický oznámk: Vzhledem k tomu, že u ergodického procesu mjí všechny relizce stejné výš e uvedené číselné chrkteristiky, lze k jejich určení použít vzthy (4), (4) (4), v nichž nemusíme uvádět inde i ro orientční odhd ychom v uvedených vztzích mohli vyjít z konečného intervlu nepočítt limitu pro okud ychom chtěli určit střední hodnotu oecného procesu jko celku, použili ychom vzth: DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 5

Systémy, procesy signá ly I - sírk příkldů { } { } m < E X ( t) >< ( t) > E < X ( t) > (43) Spektrální vlstnosti stcionárního ergodického náhodného procesu se nejčstěji vyjdřují tzv spektrá lní hustotou výkonu (pokud integrujeme v mezích od - do, mluvíme o tzv dvojstrnné spektrální hustotě) je svázán s utokorelční funkcí R(τ) Wiener-Chinčinovými vzthy: jωτ G( ω) R( τ ) e dτ π (44) jωτ R( τ ) G( ω) e dω (45) Lze ji tké určit ze známé spektrální funkce X ( ω ) relizce ( t) procesu Inde znmená, že pro výpočet yl vzt ú sek konečné délky Důvodem je skutečnost, že náhodný proces je chápán jko signál s nekonečnou energií, který nesplňuje podmínku solutní integrovtelnosti tedy pro něj nelze njít přímo Fourierův orz Spektrá lní funkci X ( ω ), pk lze njít limitním přechodem X ( ω) pro X ( ω) G( ω) lim π ro spektrální hustotu energie procesu konečné délky pk pltí: L ( ω) X ( ω) π (46) (47) oznámk: okud y proces neyl ergodický, museli ychom určit spektrální funkce jednotlivých relizcí X i, ( ω ), i,,,n, X ( ω) určit jko jejich střední hodnotu - odo vzthu (45) k ychom mluvili o spektrální hustototě středního výkonu Výkon připdjící n pásmo ú hlových kmitočtůω ω ω, ω se určí pomocí integrálu G( ω) dω (48) ω DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 6

4 Ná hodné procesy Ř EŠ ENÉ ŘÍKLADY r 4 Výstupy pěti stejných š umových generátorůgenerujících ílý šum yly připojeny přes dolní propusti s lomovým kmitočtem Hz k pměťovému osciloskopu N jeho orzovce yly zznmenány průěhy n or4: (t) [V] 7 6 5 u(t) u(t) u4(t) 4 u3(t) 3 u5(t) d ) 3 4 5 6 7 Or4 Zorzení pěti relizcí náhodného procesu ro řez relizcemi v čse t 4ms Nkreslete distriuční funkci F(u,t ), určete funkci hustoty prvděpodonosti p(u,t ), 3 určete střední hodnotu (t ) 4 určete disperzi D(t ) F(u,t) t [ms] 8 6 4 Or4 Výsledná distriuční funkce F(u,t ) 4 6 8 u [mv] DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 7

Systémy, procesy signá ly I - sírk příkldů F(u,t ) ((t ) < u) (viz 4) Budeme-li volit hodnoty u z intervlu od u (-, V) ( u 4 (t )V), ude prvděpodonost ((t ) < u), neoť žá dná z relizcí nenývá v čse t nižší hodnotu než V Zvolíme-li u V, ude ((t ) < V) tké nulová, neoť podmínk (t ) < V není splněn eprve pro u ( V, 33, je ((t ) < u) /5, neoť tto podmínk je splněn pro jednu relizci u 4 (t) z pěti Stejně ychom mohli pokrčovt pro u ( 33V, 365V, td d ) Funkci hustoty prvděpodonosti určíme podle (43): F( u, t) p( u, t) u Nejprve vš k vyjádříme distriuční funkci jko součet posunutých jednotkových skoků( u ) : F( u, t) ( u V ) + ( u, 33V ) + ( u 36V ) + ( u 385V ) + ( u 53 V ) [ ( u V) + ( u, 33V ) + ( u 36 V) + ( u 385 V) + ( u 53 V) ] p( u, t) u ( ) + (, 33 ) + ( 36 ) + ( 385 ) + ( 53 ) [ δ u V δ u V δ u V δ u V δ u V ] d 3) Or43 Výsledná funkce hustoty prvděpodonosti proimovná Dircovými impulsy ( t ) up( u, t ) d [ ] u δ ( u V ) + δ ( u, 33V ) + δ ( u 36V ) + δ ( u 385V ) + δ ( u 53V ) du ( ) + 33 + 36 + 385 + 53 34V d 4) oužijeme vzthy (46) (47): { ( )} D( t ) E X t ( t) p(, t) d ( t) [ ] u δ ( u V ) + δ ( u, 33V ) + δ ( u 36V ) + δ ( u 385V ) + δ ( u 53V ) du 34 56 V ři výpočtech yl využit tzv filtrční účinek Dircov impulsu: f ( ) δ ( ξ ) d f ( ξ ) DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 8

4 Ná hodné procesy r 4 Ověř te, zd proces z předchozího přípdu je stcionární Z orázku 4 je vidět, že npř v čse t 55ms ude střední hodnot přiližně stejná jko v čse 4ms, le zcel určitě zde ude menší disperze roto nelze dný náhodný proces povžovt z stcionární r 43 Bylo zjiš těno, že náhodný proces v čse t ms ylo možno popst náhodnou veličinou s rovnoměrným rozložením hustoty prvděpodonosti: A pro, f (, t) pro >, < rčete: konstntu A, distriuční funkci F(,t ), 3 střední hodnotu (t ), 4 disperzi D(t ) d ) pro určení konstnty využijeme vzthu (44) [ ] [ ] p( ) d Ad A A( ) A p(,t ) A Or44 Funkce hustoty prvděpodonosti k příkldu 43 d ) ro distriuční funkci pltí (4): F(, t) f (, t) d, vzhledem k nespojitostem funkce hustoty prvděpodonosti rozdělíme řeš ení do tří intervlů: ) (-, ) F (, t) d, ), F t d [ ] d d (, ) + c) (, ) F3 (, t) d + [ ], d d + DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 9

Systémy, procesy signá ly I - sírk příkldů F(,t ) Or44 Výsledný tvr distriuční funkce d 3) ( t) p(, t) d d + ( ) d 4) [ { ( )}] D( t) m X t p(, t ) d + + + d + d d d + 3 + + 3 + + + + + + + 3 4 ( ) [ ] ( ) r 44 Je dán funkce hustoty prvděpodonosti stcionárního náhodného procesu podle or45 rčete : konstntu A, distriuční funkci F(), 3 střední hodnotu, 4 disperzi D p() A - Or45 Funkce hustoty rozdělení prvděpodonosti Nejprve si určíme nlytické vyjádření funkce f() v jednotlivých intervlech: ) (-, ) (, ): p(), ) -,): p() A(+), c), : p() -A(-) DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz

4 Ná hodné procesy d ) p d A d A d A ( ) ( + ) + ( ) + + A A A + A + A A A d ) (-, ) F ( ), ( + ) F + d +, -,): ( ) ( ) F F + + d + + +, (, ): F4 ( ) F3 ( ) +, : 3( ) ( ) ( ) d 3) ( ) ( ) 3 3 p( ) d + d + ( ) + d + + + 3 3 d 4) 3 3 [ { }] ( ) ( ) 4 3 D m X p d + d + + d + + + ( ) ( ) 4 3 4 3 6 4 3 r 45 Ná hodný proces X t ω t ( ) sin( + Φ) oshuje náhodnou složku Φ s normálním c rozloženímhustoty prvděpodonosti n intervlu (-π, π), ω c jsou konstnty rčete, zd se jedná o proces stcionární ergodický rčíme střední hodnotu korelční funkci n množině relizcí: Jestliže má ýt splněn rovnice (44) musí pro p(φ,t) pltit: ( π ) pro ϕ π, p( ϕ, t) pro ϕ > π ( t) E{ X ( t) } sin( ωct + ϕ) p( ϕ, t) dϕ sin( ωct + ϕ) dϕ π { } R( τ ) E X ( t) X ( t + τ ) sin( ω t + ϕ) sin( ω t + ϕ + ω τ ) p( ϕ, t) dϕ π cos( ωcτ ) dϕ cos( ωct ϕ ωcτ ) dϕ cos( ωcτ )[ ϕ] cos( ωcτ ) π π + + + + π 4 4 4π π π π c c c π π π Druhý integrál je roven nule, neoť se jedná o integrál hrmonické funkce přes celou periodu Jk je vidět, p(φ,t) i R(τ) jsou čsově nezávislé X(t) je stcionární rčíme střední hodnotu korelční funkci z čsového průěhu: DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz

Systémy, procesy signá ly I - sírk příkldů < X ( t) > lim + sin( ωc t ϕ ) dt, $ R ( τ ) lim sin( ) sin( ) ωc t + ϕ ωc t + ϕ + ωcτ dt lim cos( ωcτ ) dt + lim cos( ωct + ϕ + ωcτ) dt cos( ωcτ) [ t] + cos( ωcτ) rotože < X ( t) > R( τ ) R$ ( τ ), je X(t) ergodický r 46 d ) Stcionární ergodický náhodný proces má korelční funkci rčete: střední hodnotu procesu, efektivní hodnotu procesu, 3 spektrální hustotu středního výkonu ro výpočet střední hodnoty použijeme vzth (48): 3 R( ) lim sin( τ ) τ τ d ) Efektivní hodnot signálu je podle (47) rovn hodnotě R(): R( ) R( ) + σ, R( ) lim sin( 3τ ) 3 σ τ τ d 3) odle (44) je jωτ G( ω) R( τ) e dτ π sin R( τ ) τ Vzhledem k tvru korelční funkce y ylo řeš ení tohoto integrálu otížné Využijeme tedy znlosti, že Fourierovým orzem odélníkové funkce f() B pro f ( ) pro > je funkce F(y): jy sin( y) F( y) Be d B y Srovnáním prvé strny tohoto vzthu vzthu pro utokorelční funkci R(τ), dostneme: 3, B B /, y τ vážíme-li, že je ú hlový kmitočet pk je výš e uvedená rovnice trnsformcí pro určení korelční funkce pltí: pro ω 3rd / s, G( ω) pro ω > 3rd / s ( 3τ ) DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz

4 Ná hodné procesy Or46 Korelční funkce R(τ) odpovídjící spektrální hustot výkonu G(ω) r 47 Je dán distriuční funkce stcionárního náhodného procesu X d ) B A e pro, F( ) pro < rčete: konstnty A B, funkci hustoty prvděpodonosti p(), 3 střední hodnotu, 4 disperzi D Vyjdeme z vlstností (4) (44) B F( ) lim( A e ) A A Funkci F() můžeme vyjádřit pro celý intervl hodnot (-, ) jko součin ( ) kde ( ) je funkce jednotkového skoku df( ) B B B p( ) [ ( ) ( e )] δ ( ) ( e ) + ( ) e, d B B B B e [ δ( ) ( e ) + ( ) e ] d e d B B B ro výpočet čá sti integrá lu ( ) impulsu: F( ) ( e B ), B [ δ ( e )] d jsme použili filtrčního účinku Dircov DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 3

Systémy, procesy signá ly I - sírk příkldů d ) f ( t) δ ( t τ ) dt f ( τ ) [ ] ( ) ( ) e d e d e d 3) [ ] ( ) ( ) D e d e d e ři výpočtu yly použity vzthy: e e d ( ) e d e 3 součsně [ e ] lim ( ± ) r 48 rčete střední hodnotu ílého š umu s konstntní hodnotou C spektrální hustoty výkonu j jωt R( τ ) G( ω) e dω Ce dω ento integrál nelze přímo řeš it, neoť G(ω) nesplňuje podmínku solutní integrovtelnosti ro řeš ení můžeme vyjít ze vzthu pro určení spektrální hustoty výkonu: jωτ G( ω) R( τ ) e dτ C π okud uvážíme filtrční účinek Dircov impulsu můžeme psát: jωτ Cδ ( τ ) e dτ C k srovnáním dostneme: R( τ ) Cδ ( τ ) R( τ ) πcδ ( τ ) π ro výpočet střední hodnoty použijeme vzth (48) R( ) r 49 rčete střední hodnotu disperzi kvntovcího š umu, který y vznikl při digitlizci signálu u(t),cos(π5t) V Signál y yl vyjádřen ve dvojkovém doplňku třemi ity (jeden it znménkový) Rovněž určete poměr výkonu signálu k výkonu tohoto š umu vžte jk y se liš ily oě číselné chrkteristiky, jestliže y A/D převodník prcovl tk, že výsledné inární slovo y vzniklo jednk zokrouhlením jednk ořezáním přesného vyjádření hodnoty n poždovný počet itů Npěťový rozdíl dvou sousedních hldin je V (viz or46) DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 4

4 Ná hodné procesy ) ) r(t) [V] u(t),v(t) [V] - 5 t [ms] 5-5 r(t) [V] u(t),v(t) [V] - 5 t [ms] 5-5 - 5 t [ms] růěhy kvntovných signálův(t) rozdílových signálůr(t)v(t)- u(t) jsou n orázku 46 Signál r(t) povžujeme pro oecný průěh npětí u(t) z náhodný stcionární proces oznčujeme jej jko kvntovcí š um Výsledný kvntovný signál v(t) pk lze chápt jko součet původního signálu kvntovcího š umu ) Kvntování se zokrouhlením Budeme-li řeš it ú lohu prvděpodonostním přístupem oznčíme kvntovcí š um jko náhodný proces R(t) V oou přípdech má jeho funkce hustoty prvděpodonosti rovnoměrné rozložení v intervlu -5V ž 5V ři dodržení podmínky (44) dostneme pro r 5V, p( r) pro r > 5V, 5 r E{ R( t) } rdr, 5 { ( ) } 5 5 5 3 r D E R t r dr [ ] 833 [V ] 3 5 5 5 Výkon hrmonické ho signá lu určíme podle vzthu: s procesem R(t)!) E{ R ( t) } Výkon náhodného procesu určíme jko: E{ R ( t) } Ú prvou dostneme: R D R R + - 5 t [ms] Or46 Kvntování signálu u(t),cos(π5t) n osm hldin vzdálených o V ) zokrouhlováním, ) ořezáváním R R ef R (pozor, nezměnit hodnotu rezistoru R DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 5

Systémy, procesy signá ly I - sírk příkldů oměr výkonu signálu k výkonu š umu pk ude: ) Kvntování s ořezáním: pro r, p( r) pro r <, r >, r E{ R( t) } rdr { ( ) } 5 [V], 3 R ef D + r r r D E [ R t ] ( r + 5 ) dr + + 833 [V ], 3 4 R ef D + 7 6 ( 833+ 5 } 9 4 83 Je vidět, že při zokrouhlování lze dosáhnout 4 lepší poměr výkonu signálu k výkonu š umu r 4 Ř eš te předchozí příkld pro oecné zdání: u(t)ccos(ωt), velikost kvntovcí hldiny Výsledky: ), D ( ) ), D ( ), R, 6 C ( ) R 3 C ( ) Z výsledkůje ptrné, že pro snížení výkonu kvntovcího š umu je nutné zmenš it velikost tedy při konstntním rozshu vstupního signálu A/D převodníku zvětš it počet kvntovcích ú rovní, neo zvětš it mplitudu vstupního signálu vš k nesmí překročit vstupní rozsh převodníku IN DF yl vytvořen zkušeníverzífinerint pdffctory http://wwwfineprintcz 6