24 - Diskrétní řízení Michael Šebek Automatické řízení 213 13-5-14
Metody návrhu diskrétního řízení Automatické řízení - Kybernetika a robotika Návrh pro čistě diskrétní systémy Mnohé metody jsou analogické (nebo totožné) metodám spojitým Proto je zde neuvádíme, jenom je ukážeme na příkladech Tyto metody jsou stručně popsány v doplňkových slajdech Zde se soustředíme na to, co je při diskrétním návrhu odlišné Návrh diskrétního řízení pro vzorkované spojité soustavy Vyjdeme ze diskrétního modelu soustavy a použijeme metody diskrétního návrhu CL stabilitu mám zaručenu (stabilizujícím diskrétním návrhem), na rozdíl od metod emulace. Řízení funguje dobře v okamžicích vzorkování (při rozumné periodě) Naopak nemáme pod kontrolou chování mezi okamžiky vzorkování. Chování mezi okamžiky vzorkování bývá rozumné, pokud není akční zásah moc divoký Michael Šebek ARI-24-211 2
Typicky diskrétní strategie řízení, spojitě (přesně) nejde Deadbeat Cíl = všechny póly do nuly tedy ( ) n pnew z = z n takže pro výslednou platí (Cayley-Hamilton) F = Protože rovnice = F new k+ 1 new k má řešení = F k k new, tak je k =, k n, Tedy nezávisle na počátečním stavu je systém počínaje n-tým krokem úplně v klidu (všechny stavy i výstup jsou nulové)! V případě poruchy konečné délky, se také dostane do klidu (nejpozději n-tý krok po odeznění eterního signálu) Pro výsledný systém platí ( ) ( ) adj zi Fnew G zadj zi Fnew ( z) = ( zi F ) Guz ( ) + z( zi F ) = uz ( ) + n n z z Hadj( zi Fnew ) G zhadj ( zi Fnew ) bz ( ) c ( z) yz ( ) = uz ( ) + = uz ( ) + n n n n z z z z deg bz ( ), c( z) n new new ( ) 3
Systém typu deadbeat je nejstabilnější ze všech diskrétních Deadbeat Pro spojitou soustavu platí totéž: nejpozději za n kroků je z každého počátečního stavu v klidu - tedy všechny stavy i výstup jsou nulové i mezi okamžiky vzorkování! Spojitým řízením tohle nejde! Systém typu deadbeat reaguje velmi rychle: někdy je to výhodné, ale jindy naopak nevýhodné (jsou-li v systému šumy) Zkracujeme-li periodu vzorkování, roste velikost vstupních signálů a to v limitě h roste do nekonečna. Proto periodu nezkracujeme. Deadbeat navrhujeme stejně jako každé jiné přiřazení pólů n Protože je tady p ( z) = z, je Ackermannův vzorec speciálně K = new [ 1] C Pokud je matice F invertovatelná, platí také [ 1] 4 F n n n+ 1 = K F G F G G
Deadbeat pozorovatel I při odhadu stavů diskrétním pozorovatelem můžeme použít strategii deadbeat. Jako charakteristický polynom matice dynamiky pozorování zvolíme ( ) n n ppoz z = z, takže F = poz Pro odchylku pozorování = ˆ, kde = F k+ 1 poz k teď platí k =, k n, Tedy nejpozději za n kroků je odchylka vždy nulová a od toho okamžiku se stav pozorovatele přesně rovná stavu soustavy. Je-li soustava spojitá, platí totéž, ale jen v okamžicích vzorkování. Takový pozorovatel navrhneme např. modifikací Ackermannova vzorce [ ] n L= F O 1 T 5
Přiřazení pólů polynomiálně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Polynomiální řešení v z - stejné jako spojité Pro danou soustavu bz ( ) az ( ) a danou poloho pólů, vyjádřenou CL charakteristickým pol. c(z) Vyřešíme rovnici azpz ( ) ( ) + bzqz ( ) ( ) = cz ( ) Polynomiální řešení v d Podobné regulátor Deadbeat polynomiálně - zvláštní případ přiřazení pólů m V z volíme cz ( ) = z, kde m (2 řád soustavy) 1, řešíme q p u soustava bd ( ) ad ( ), cd ( ) ad ( ) pd ( ) + bdqd ( ) ( ) = cd ( ) qd ( ) pd ( ) azpz ( ) ( ) + bzqz ( ) ( ) = z m b a y a vybereme řešení minimálního stupně ve q Při řešení v z je to ještě jednodušší: Řešíme rovnici az pz bz qz ( ) ( ) + ( ) ( ) = 1 6
Stabilizace diskrétním regulátorem Pracujeme-li v z, pak je parametrizace všech stabilizujících regulátorů stejná jako ve spojité verzi Pracujeme-li v z -1, je to ještě jednodušší: Všechny stabilizující regulátory jsou parametrizovány takto q y + at = p bt kde t je libovolný zlomek polynomů se stabilním jmenovatelem a polynomy y, splňují rovnici a + by = 1 kde a= ( aba, ), b= ( abb, ) Řešitelnost: soustava nemá nestabilní skryté módy a gcd( ab, ) je stabilní bz ( ) az ( ) qz ( ) pz ( ) 7
Odvození slabé a silné verze deadbeat Návrh deadbeat regulátoru v z -1 je velmi podobný tomu v z Pro zajímavost tedy alespoň zvolíme opačný postup odvození: Dosud jsme deadbeat pokládali za zvláštní případ umístění pólů (když všechny umístíme do počátku, chování bude deadbeat) Teď naopak hledejme regulátor tak, aby chování bylo typu deadbeat: Navíc budeme pracovat s polynomy v z -1 (zde je to výhodnější) Formulace problému: Deadbeat regulátor silná verze Najděte regulátor tak, aby vstupní a výstupní posloupnosti měly konečnou délku, a to pro každé pp. soustavy i regulátoru. Navíc tak, aby měly nejkratší délku (nejmenší počet kroků) r ˆ ( z ) pz ( ) 1 uz ( ) bz az ( ) ( ) qz pz ( ) ( ) c ( z ) ( ) az 1 yz ( ) 8
Při odvození vyjdeme z rovnic systému Odvození: Deadbeat silná verze b p y = rˆ + c ap + bq ap + bq a q u = rˆ c ap + bq ap + bq Cílem návrhu je najít polynomy pz ( ), qz ( ) tak, aby pro všechny možné polynomy rˆ ( z ), c byly výsledné posloupnosti také ( z ) polynomy (= měly konečnou délku) Protože rˆ, c nejsou dány (reprezentují různé možné pp.), musí být každý ze 4 zlomků výše polynomem sám o sobě Zlomek polynomů je obecně nekonečná posloupnost (formální řada) Konečný bude jen tehdy, když jmenovatel dělí čitatel beze zbytku Lze ale ukázat, že jmenovatel ap + bq nemůžeme současně vykrátit se všemi čtyřmi čitateli Každý ze zlomků je polynom ab,, pq, az ( ) pz ( ) + bz ( ) qz ( ) = 1 9
Odvození: Deadbeat silná verze Je-li splněno ap + bq = 1, pak výše jsou uvedené vztahy yz ( ) = bz ( ) rˆ ( z ) + pz ( ) c ( z ) uz ( ) = az ( ) rˆ ( z ) qz ( ) c ( z ) Protože vše napravo jsou polynomy, jsou yz ( ), uz ( ) také polynomy a to pro každé pp., což bylo třeba zajistit. Délka posloupností je dána stupněm polynomů +1 Jediná možnost, jak ji pro některé pp. zkrátit, je vybrat řešení rovnice minimálního stupně pz ( ), qz ( ) Shrnutý postup řešení K nalezení silné verze deadbeat regulátoru je třeba a stačí řešit polynomiální rovnici az ( ) pz ( ) + bz ( ) qz ( ) = 1 a z možných řešení vybrat to minimálního stupně pz ( ), qz ( ) Řešitelnost: a, b nesoudělné (řiditelná a pozorovatelná soustava), dále nesmějí být skryté módy 1
Formulace problému: Deadbeat regulátor slabá verze Deadbeat slabá verze Najděte regulátor tak, aby výstupní posloupnost y měla konečnou délku, a to pro každé pp. Soustavy i regulátoru. Navíc tak, aby měla délku co nejkratší A současně musí být CL systém stabilní. Rozdíl proti silné verzi: vstup u může být nekonečně dlouhý, ale stabilní Řešení Zajímá nás jen teď jeden vztah a v něm už krátit můžeme proti b Rozdělíme b na stabilní a nestabilní faktory a položíme ap + bq = b + b p y = rˆ + c ap + bq ap + bq 1 + ( ) ( ) ( ) bz = b z b z 11
Deadbeat slabá verze Rovnici ap + bq = b + můžeme vydělit b + (neboť p musí být dělitelné) a dostaneme a + b q = 1, kde p = b + Potom vztah pro výstup přechází na y = b r + c Tedy výstup je polynomem pro všechny pp. Nejkratší pochod dostaneme výběrem řešení s min. stupně Ještě překontrolujeme vstup u: (není konečný, ale je stabilní) a q a q u = r c = r c ap + bq ap + bq b b ˆ + ˆ + Také celý CL systém je stabilní, neboť ap + bq = b + Řešení shrnuto 1 + Rozdělíme bz ( ) = b( z ) b( z ) Řešíme rovnici az ( ) z ( ) + b( z ) qz ( ) = 1 pro min. stupně Řešitelnost: ab, nesoudělné neboli gcd( ab, ) stabilní 12 ˆ
Regulátor 2DOF Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pokud má řídicí systém referenční vstup Je přirozené použít regulátor se dvěma stupni volnosti (2DOF) qz ( ) rz ( ) uz ( ) = yz ( ) yr ( z) pz ( ) + pz ( ) pzuz ( ) ( ) = qzyz ( ) ( ) + rzy ( ) ( ) r z [ ] pro kauzalitu musí být deg p deg qz ( ), rz ( ) klasické řízení odchylkou (1DOF) je zvláštní případ, kdy při návrhu vypočteme ZV část ze známé rovnice qz ( ) = rz ( ) azpz ( ) ( ) + bzyz ( ) ( ) = cz ( ) kde vhodně volíme CL charakteristický polynom ze srovnání se stavovým přístupem plyne, že cz ( ) = cc( zc ) o( z) kde faktory jsou c ( z) = det zi F + GK, c ( z) = det zi F + LH c y r ( ) ( ) o rs () v c ˆ u 1 ps () bs () 1 as () qs () y 13
Přímá větev Automatické řízení - Kybernetika a robotika výsledný přenos celého systému je bzrz ( ) ( ) yz ( ) = yr ( z) appz ( ) ( ) + bzqz ( ) ( ) bzrz ( ) ( ) bzrz ( ) ( ) = yr( z) = yr( z) cz ( ) c( zc ) ( z) c o Přímou větev volíme např. tak, aby vykrátila póly pozorovatele tj. c ( o z ) rz ( ) tedy například jako r( z) = tc( z) o pak jsou řídicí signály zavedeny tak, že negenerují odchylku pozorování t konstantu volíme tak, abychom zajistili požadované statické zesílení obvykle má být statické zesílení = 1, takže nastavíme tbz ( ) yz ( ) = yr ( z) c ( z) t = cc (1) b(1) c 14
Diskrétní sledování asymptotické a deadbeat Asymptotické sledování je u diskrétních systémů stejné jako u spojitých rovnice jsou stejné ap + bq = m, f t + br = m, m stabilní Podmínky jsou stejné 1) gcd( ab, ) stabilní; 2) gcd( f, b) = 1 ; 3) f a Řešení je stejné v z i v z -1, až na to, že při řešení v z ještě musíme vybrat m patřičně vysokého stupně Na rozdíl od spojitého případu tu ale eistuje varianta deadbeat, tedy sledování za konečný počet kroků: Pokud postupujme v z, volíme n 1 mz ( ) = z pokud v z -1, volíme 1 mz ( ) = 1 a vybereme řešení minimálních stupňů (nastává koincidence) řešení eistuje, právě když gcd( ab, ) = 1 ostatní podmínky jsou stejné. 15