POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 4.0-

Math40-.nb POČÍTAČOVÉ ALGEBRAICKÉ SYSTÉMY: -MATHEMATICA 4.0- Vojtěch Bartík Část : Seznámení se systémem Čísla, relace a logické operace Mathematica rozeznává několik druhů čísel a různě s nimi zachází. Čísla, která neobsahují desetinnou tečku, jsou tzv. exaktní čísla, ostatní čísla jsou přibližná. àčísla 87, 7., 7.0000000000000000000, 7.`0< 87, 7., 7.0000000000000000000, 7.0000000000000000000< 87 0, 7. 0, 7.`0 0 < 8847549,.8475 0 8,.8475490000000000 0 8 < 8 + 000000,. + 000000,.`7 + 000000< 800000,. 0 6,.000000000000000000000 0 6 < 87, 7., 7 `0< 8,.,.000000000000000000< 97ê, 7. = 9 7,.= 9 i k j 7 y z { 0, i k j 7. y z { 0, i k j 7.`0 y z { 0 = 9 847549, 478.74, 478.744550958= 59049

Math40-.nb 8H L, H L., H L.`7 < 9 5 + 4, 0. + 0.6, 0.000000000000000 + 0.6000000000000000 = 5 Počet nenulových cifer, které vidíme na obrazovce, je určen jistým parametrem grafického rozhraní. Jeho nastavení zjistíme příkazem Options@$FrontEnd, PrintPrecisionD 8PrintPrecision 6< a změníme je příkazem SetOptions@$FrontEnd, PrintPrecision 6D Změna ovšem ovlivní všechny výstupní buňky. àčíselné konstanty S číselnými konstantami Mathematica zachází jako s exaktními čísly. 8π, π êê N, N@π, 50D< H Ludolfovo číslo L 8π,.459,.4596558979846648795088497699975< 8E,, êê N@#, 50D &< H základ přirozených logaritmů L 8,,.78888459045560874756649775747097000< 8 0, 0., 0.`5 < 8 0, 06.5, 06.46579480676569579< 8Degree, Degree êê N, 80 Degree, 80 Degree êê N< 8, 0.0745, 80,.459< 9I,, è!!!!!!! = H imaginární jednotka L 8,, < 9 è!!!!!!!!!., I è!!!!!!! M, I è!!!!!!!!!.m, I è!!!!!!!!!!!!!!!!!!.`0m = 8.,,.,.0000000000000000000<

Math40-.nb à Množiny čísel: Algebraics, Complexes, Integers, Primes, Rationals, Reals Základní konstrukce: x ε domain, x ε domain//simplify, x ε domain//fullsimplify. Výsledkem je True nebo False, pokud je Mathematica schopna rozhodnout. Konstrukci lze použít v předpokladech některých operací, např. v Simplify, FullSimplify, Integrate. Algebraics... reprezentuje množinu všech algebraických čísel, tj. čísel, která jsou kořeny polynomů s racionálními koeficienty. Complexes... reprezentuje množinu všech komplexních čísel. Integers... reprezentuje množinu všech celých čísel. Primes... reprezentuje množinu všech prvočísel. Rationals... reprezentuje množinu všech racionálních čísel. Reals... reprezentuje množinu všech reálných čísel. H# AlgebraicsL & ê@ 9, è!!!! 7, è!!!! 7 5 + è!!!! 7, CosA π π E, π,, SinA 6 6 E= 9True, True, True, True, False, False, SinhA π 6 E Algebraics= H# ComplexesL & ê@ 8 + π, Cosh@πD, x< 8True, True, x Complexes< H# IntegersL & ê@ 9,, è!!!! 5, Sin@ π è!!!! D, I è!!!! 5 è!!!! M I è!!!! 5 + è!!!! M= 8True, False, False, True, I è!!! + è!!! 5M I è!!! + è!!! 5M Integers< H# PrimesL & ê@ 9,, è!!!! 6 è!!!!!! 0 è!!!!!! 5, 548586, 5646585809= 8True, False, False, True, False< H# RationalsL & ê@ 9,, è!!!! 6 è!!!!!! 0 è!!!!!! 5, SinA π π π E, JCosA E + SinA 6 EN, JCosA π π E + SinA EN = 9True, True, True, True, False, i k j è!!! y + z { Rationals= H# RealsL & ê@ 9 è!!!! 7, SinA π π π E, π, JCosA E + SinA EN, JCosA π π E + SinA EN = 9True, True, True, False, i k j è!!! y + z { Reals=

4 Math40-.nb 9 SinA π E Algebraics, I è!!!! + è!!!! 5M I è!!!! + è!!!! 5M Integers, 6 i j k + è!!!! y z { Rationals, JCosA π π E + SinA EN Reals= êê Simplify 9 SinhA π E Algebraics, True, True, True= 6 SinA π E Algebraics êê FullSimplify 6 False à Relace Relace FullForm Význam x == y Equal@x, yd x se rovná y x y Unequal@x, yd x se nerovná y x === y SameQ@x, yd x a y jsou identické x =!= y UnsameQ@x, yd x a y nejsou identické x == y == z Equal@x, y, zd x, y a z se rovnají x y z Unequal@x, y, zd x, y a z jsou vzájemně různé x === y === y SameQ@x, y, zd x, y, z jsou identické x =!= y =!= z UnsameQ@x, y, zd x, y, z jsou navzájem různé x > y Greater@x, yd x je větší než y x y GreaterEqual@x, yd x je větší nebo rovno y x y LessEqual@x, yd x je menší nebo rovno y x < y Less@x, yd x je menší než y x > y > z Greater@x, y, zd x je větší než y a y je větší než z x y z GreaterEqual@x, y, zd x je rovno nebo větší než y a y je rovno nebo větší než z x y z LessEqual@x, y, zd x je rovno nebo menší než y a y je rovno nebo menší než z x < y < z Less@x, y, zd x je menší než y a y je menší než z Příklady: x = ; y = ; z = ; 8x == y, x === y, x =!= y =!= z, x =!= y =!= y, x < y, x < y < z, x < y < x, x < y z, x < y x< 8False, False, True, False, True, True, False, True, True<

Math40-.nb 5 Clear@x, y, zd; 8x == y, x === y, x =!= y =!= z, x =!= y =!= y, x < y, x < y < z, x < y < x, x < y z, x < y x< 8x == y, False, True, False, x < y, x < y < z, x < y < x, x < y z, x < y && y x< à Logické operace Negace! p, p, Not@pD Implikace p q, Implies@p, qd Konjunkce p && q, pflq, And@p, qd, p && q && r &&, pflqflrfl, And@p, q, r, D Disjunkce p»» q, pfiq, Or@p, qd, p»» q»» r»», pfiqfirfi, Or@p, q, r, D Vylučovací disjunkce Xor@p, qd, Xor@p, q, r, D Zjednodušení logické formule: LogicalExpand@exprD Příklady: Clear@p, q, rd; 8 p, p q, pflq, pfiqfir, Xor@p, qd, Xor@p, q, rd< 8! p, Implies@p, qd, p && q, p»» q»» r, Xor@p, qd, Xor@p, q, rd< p = True; q = True; r = False; 8 p, p q, pflq, pfiqfir, Xor@p, qd, Xor@p, q, rd< 8False, True, True, True, False, False< p = False; q = True; r = False; 8 p, p q, pflq, pfiqfir, Xor@p, qd, Xor@p, q, rd< 8True, True, False, True, True, True<

6 Math40-.nb LogicalExpand@Xor@Hp ql HpflqLD H HHpfiq fi rl Xor@p, qdlld True Clear@p, q, rd; LogicalExpand@Xor@Hp ql HpflqLD H HHpfiq fi rl Xor@p, qdlld q»»! p Operaci LogicalExpand lze použít i na porovnání koeficientů polynomů jedné proměnné. Je-li proměnnou x, přidáme ke každému polynomu výraz O@xD n, kde n je větší než stupeň porovnávaných polynomů. p = a x y + b x + c x y + d x + O@xD 5 ; q = x y + 4 x y + x + O@xD 5 ; eqns = LogicalExpand@p qd + d == 0 && b 4 y + c y == 0 && y + a y == 0 eqns = eqns ê. And List 8 + d == 0, b 4 y + c y == 0, y + a y == 0< Reduce@eqnsD a == && b == H 4 + cl y && d ==»» b == 0 && d == && y == 0 Funkce à Základní elementární funkce Názvy všech vestavěných funkcí a operací začínají velkým písmenem. Argumenty se uvádějí v hranatých závorkách. Kulaté závorky vymezují skupiny, složené závorky vymezují seznamy. Pokud je argument přibližné číslo, funkční hodnota je také přibližné číslo. V opačném případě výsledek závisí na tom, zda může být vyjádřen exaktním číslem či nikoliv. Mocniny, odmocniny, exponenciální funkce, logaritmus 9Sqrt@4D, è!!!! 4, Sqrt@D, è!!!!, Sqrt@.D, è!!!!!!!!!!!!!!!.`0 = 8,, è!!!, è!!!,.705,.70508076< 8Exp@D, Power@E, D, Exp@.D, Power@E,.D,. < 8,,.788,.788,.788< 9Power@, D,, Power@8, êd, è!!!! 8, Power@x, yd, x y =

Math40-.nb 7 88, 8,,, x y, x y < 9Log@ 0 D, LogAe è!!!! E= H Log@xD = ln x pro kladný argument L 90, LogAe è!!!! E= 8Log@0, 0 5 D, Log@, 0 D< H Log@b,xD= log b x pro kladný argument L 85, 0< Goniometrické a cyklometrické funkce 8Sin@πêD, Sin@πê4D, Sin@πê4.`0D, Cos@D, Cos@.D< +è!!! 9 è!!!, SinA π E, 0.05690055955, Cos@D, 0.4647= 4 8Tan@ π ê D, Tan@.`0D< H Tan@xD = tg x L 8 è!!!, 0.45465407477805< 8Cot@π ê D, Cot@π ê.d< H Cot@xD = cotg x L 9ArcSinA è!!!! ë E, ArcCos@êD= 9 è!!!, 0.5775= 9 π, π = 9ArcTanA è!!!! E, ArcCotA ë è!!!! E= H ArcTan@xD = arctg x L 9 π, π = 8ArcTan@, D, ArcTan@, D< H ArcTan@x,yD = arg Hx+ yl L 9 π 4, π 4 = Hyperbolické a hyperbolometrické funkce 8Sinh@D, Sinh@ D, Sinh@.D, Cosh@ D, Cosh@D, Cosh@.D< 8Sinh@D, Sinh@D,.75, Cosh@D, Cosh@D,.5408<

8 Math40-.nb 8Tanh@D, Tan@ D, Tan@.D< H Tanh@xD = tgh x L 8Tanh@D, Tan@D,.5574< 8Coth@D, Coth@ D, Coth@.D< H Coth@xD = cotgh x L 8Coth@D, Coth@D,.04< 8ArcTanh@ ê D, ArcTanh@ ê.d< H ArcTanh@xD = argtgh x L 9ArcTanhA E, 0.54906= 8ArcCoth@D, ArcCoth@.D< H ArcCoth@xD = argcotgh x L 8ArcCoth@D, 0.54906< Některé funkce jsou jednoznačnými větvemi víceznačných komplexních funkcí a proto funkční hodnota může někdy být imaginární i pro reálný argument. 9 è!!!!!!! 4, H 8.L ê, ArcSin@.D, ArcCos@.D, ArcTanh@.D, ArcCoth@ê.D= 8,. +.705,.5708.696, 0. +.696, 0.54906.5708, 0.54906.5708 < à Některé další funkce: Abs, Sign, Round, Floor, Ceiling, Max, Min, Re, Im, Arg, Conjugate, Mod, Quotient, GCD, LCM, BaseForm, IntegerDigits, Divisors, Prime, PrimePi, PrimeQ, Factorial, Binomial, Random, SeedRandom 8Abs@ 5D, Abs@ + 5 D, Conjugate@ + 5 D< 85, è!!!!!! 4, 5 < 8Sign@ D, Sign@0D, Sign@D< 8, 0, < 8Round@.45678D, Round@.45678 000D ê 000.< 8,.46< 8Floor@.45678D, Ceiling@.45678D< 8, < 8Max@,, 4D, Max@8,, 4<D<

Math40-.nb 9 84, 4< 8Min@,, 4D, Min@8,, 4<D< 8, < 8Re@ + 5 D, Im@ + 5 D, Arg@ + 5 D êê N, Arg@ 5 D êê N< 8, 5,.,.< 8Quotient@5, 4D, Mod@5, 4D< H Částečný podíl a zbytek. Zbytek má stejné znaménko jako dělitel. L 8, < 8Quotient@ 5, 4D, Mod@ 5, 4D< 8 4, < 8Quotient@5, 4D, Mod@5, 4D< 8 4, < 8Quotient@ 5, 4D, Mod@ 5, 4D< 8, < 8Quotient@5.4, 4D, Mod@5.4, 4D< 8,.4< 8Quotient@5.4, 4.D, Mod@5.4, 4.D< 8,.4< GCD@, 8, 4D H Největší společný dělitel L 6 LCM@, 8, 4D H Nejmenší společný násobek L 7 8BaseForm@, D, IntegerDigits@, D< H Číslo v binární soustavě L 80, 8,, 0, <<

0 Math40-.nb Divisors@4D H kladní dělitelé čísla 4 L 8,,, 4, 6, 8,, 4< Map@Prime, 8,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0<D H Prvních 0 prvočísel L 8,, 5, 7,,, 7, 9,, 9< PrimePi@000D H Počet prvočísel nepřevyšujících 000 L 68 8PrimeQ@7D, PrimeQ@0D< 8True, False< Map@Factorial, 8,,, 4, 5, 6, 7<D 8,, 6, 4, 0, 70, 5040< Table@Binomial@n, kd, 8n, 0, 0<, 8k, 0, n<d êê ColumnForm@#, CenterD & 8< 8, < 8,, < 8,,, < 8, 4, 6, 4, < 8, 5, 0, 0, 5, < 8, 6, 5, 0, 5, 6, < 8, 7,, 5, 5,, 7, < 8, 8, 8, 56, 70, 56, 8, 8, < 8, 9, 6, 84, 6, 6, 84, 6, 9, < 8, 0, 45, 0, 0, 5, 0, 0, 45, 0, < Table@Random@Integer, 5D, 80<D 85, 0,,,, 4,,, 5, < Table@Random@Integer, 8 5, 5<D, 80<D 84, 5,,, 4,, 5, 4, 4, 0< Table@Random@D, 80<D 80.809644, 0.8447, 0.586448, 0.9, 0.908, 0.795, 0.97088, 0.79, 0.49478, 0.05084<

Math40-.nb Table@Random@Real, 5D, 80<D 8.8094,.585,.98068,.69, 4.46, 0.80885,.56974, 0.5509,.74906, 4.408< Table@Random@Real, 8 5, 5<D, 80<D 8.4670,.5067, 0.8586, 0.45856,.7057,.97, 4.58, 0.504,.7749, 4.478< Random@Real, 8 5, 5<, 0D 0.856978974587 Table@Random@Complex, + D, 8<D 80.98 + 0.478, 0.0 + 0.070, 0.65 + 0.98 < Table@Random@Complex, 8, + <D, 8<D 8.09 + 0.507, 0.8959 + 0.504467,.966 + 0.947 < 8SeedRandom@44547689D; Random@D, SeedRandom@44547689D; Random@D< 80.940, 0.940< à Definování funkcí Clear@fD; f@x_d := Random@Integer, 80, 5<D x k k=0 8f@D, f@ D, f@xd, f@sin@xdd< 84, 5 +, x + x + x, 4 + 5 Sin@xD + Sin@xD + Sin@xD < Clear@fD; f@x_d := If@x > 0, x, x, IndeterminateD 8f@D, f@ D, f@ad< 8,, Indeterminate< Clear@fD; f@x_d := x H π xl Sin@xD ê; 0 x < π; f@x_d := f@mod@x, πdd ê; x > π; f@x_d := f@mod@x, πdd ê; x < 0;

Math40-.nb Plot@f@xD, 8x, π, π<, AspectRatio 0.4D; 7.5 5.5-7.5-5 -.5 -.5.5 5 7.5-5 -7.5 TableAf@xD, 9x, π 4 π, π + 4 π, π=e 9 π 4, π 4, π 4, π 4, π 4 = Clear@fD; f@x_d := x ê; x ; f@x_d := x f@x D ê; x > ; Table@f@xD, 8x,, 5<D 8,, 6, 4, 0< Clear@fD; f@x_d := Hf@xD = xl ê; x ; f@x_d := Hf@xD = x f@x DL ê; x > ; Table@f@xD, 8x,, 5<D 8,, 6, 4, 0< Algebraické úpravy a substituce à Expand, ExpandNumerator, ExpandDenominator, ExpandAll Expand@H + xl H x + x LD + x ExpandA H + xl H + x L H + x L H xl E H xl H + x L + x H xl H + x L + x H xl H + x L + x H xl H + x L

Math40-.nb ExpandNumeratorA H + xl H + x L H + x L H xl E + x + x + x H xl H + x L ExpandDenominatorA H + xl H + x L H + x L H xl E H + xl H + x L x + x x ExpandAllA H + xl H + x L H + x L H xl E x + x x + x x + x x + x x + x x + x x + x x à Together TogetherA H xl H + x L + x H xl H + x L + x H xl H + x L + x H xl H + x L E x x x H + xl H + x L TogetherA x + x x + x x + x x + x x + x x + x x + x x E x x x + x x + x TogetherA a + b + a E a + b + a + b + a b a H + a bl à Factor, FactorTerms, Cancel Factor@6 + 0 x + 6 x + 54 x 4 + 6 x 5 + 08 x 8 D 6 H + x + x 4 L H + x + 6 x 4 L FactorTerms@6 + 0 x + 6 x + 54 x 4 + 6 x 5 + 08 x 8 D 6 H + 5 x + 6 x + 9 x 4 + x 5 + 8 x 8 L

4 Math40-.nb FactorA + a + b + a b E a + a b H + al H + bl a H + a bl x + x x FactorA 8 + 6 x + 4 x 4 x + 6 x 4 + x 5 5 x 6 x 7 + x E 8 + x H + xl H + x L x + x x CancelA 8 + 6 x + 4 x 4 x + 6 x 4 + x 5 5 x 6 x 7 + x E 8 x H + xl H + x L à Apart ApartA x + x x 9 E H + 4 x + x L 59 9 x + x x H54 + 075 xl H + 4 x + x L + 595 468 x H + 4 x + x L 8 H 40 + 87 xl + 4 x + x ApartA x + x x 9 E H4 + 5 x + x L 00 8 x + 5 x x 4 + 7 H + xl 6 7 H + xl + 55 8 H + xl 665 7 H4 + xl + 7668 7 H4 + xl 5406 8 H4 + xl x + x x ApartA 8 + 6 x + 4 x 4 x + 6 x 4 + x 5 5 x 6 x 7 + x E 8 + x H + xl H + xl + H + x L H + x L H + xl + x à Collect Collect@ + x + x x + y x y x y y + y x y y, xd + x + x H yl + y y + y + x H y y L Collect@ + x + x x + y x y x y y + y x y y, x, FactorD

Math40-.nb 5 x + x H yl + x H y y L +H + yl H y + y L Collect@ + x + x x + y x y x y y + y x y y, x, &D + x + x + x H + xl Hx z + yl Hx + y zl êê Expand x y + x y + x z + x 4 z + x y z + x y z + x y z + x y z + y z + x y z + x y z + x y z Collect@%, 8y, x<d x z + x 4 z + y Hz + x z L + y Hx H + z L + x H + z LL + y Hx H z + z L + x H z + z LL Collect@%%, 8y, x<, &D x + x 4 +Hx + x L y +Hx + x L y +H + xl y Collect@%%%, 8y, x<, Root@#, D &D i j k x è!!! x y è!!! z y { à Simplify, FullSimplify Ix + è!!!! M Hx + πl 4 êê Expand 7 4 è!!! 8 π + 6 è!!! π + 4 π 4 è!!! π 8 π + 6 è!!! π + 7 π 4 4 è!!! π 4 + 4 x 4 è!!! x 68 π x + 40 è!!! π x + 60 π x 6 è!!! π x π x + 8 è!!! π x 4 π 4 x + è!!! π 4 x + 7 x 6 è!!! x 40 π x + 4 è!!! π x + π x 8 è!!! π x + π 4 x + 8 x 4 è!!! x + 8 π x 8 è!!! π x π x + è!!! π x 4 π x x 4 + 4 è!!! x 4 + 4 π x 4 8 è!!! π x 4 + 6 π x 4 + è!!! x 5 4 π x 5 + x 6 % êê Simplify H π + xl 4 I7 4 è!!! + I + è!!! M x + x M 9SimplifyA Log@8D Log@8D E, FullSimplifyA Log@D Log@D E= 9 Log@8D Log@D, =

6 Math40-.nb 9SimplifyALogAz + è!!!!!!!!!!! z + è!!!!!!!!!!! z EE, FullSimplifyALogAz + è!!!!!!!!!!! z + è!!!!!!!!!!! z EE= 8LogAz + è!!!!!!!!!!!!!! + z è!!!!!!!!!!! + ze, ArcCosh@zD< 9SimplifyA $%%%%%%%%%%%%%% x + x ì è!!!!!!!!!!! xe, FullSimplifyA $%%%%%%%%%%%%%% x + x ì è!!!!!!!!!!! xe= "######### x +x 9 è!!!!!!!!!!! x, $%%%%%%%%%%%%%% + x = Simplify@Sqrt@x D, x < 0D x Simplify@#, x RealsD & ê@ 8Sqrt@x D, x + 0< 8Abs@xD, False< 9Simplify@Sin@n πd, n IntegersD, SimplifyASinAH n + L π E, n IntegersE= 80, H L n < FullSimplifyA a b + b c + c a, a > 0 && b > 0 && c > 0E True à TrigExpand, TrigReduce, TrigToExp, ExpToTrig Cos@0 xd êê TrigExpand Cos@xD 0 45 Cos@xD 8 Sin@xD + 0 Cos@xD 6 Sin@xD 4 0 Cos@xD 4 Sin@xD 6 + 45 Cos@xD Sin@xD 8 Sin@xD 0 % êê TrigFactor HCos@xD Sin@xDL HCos@xD + Sin@xDL H + Cos@4 xd Sin@ xdl H + Cos@4 xd + Sin@ xdl % êê TrigReduce Cos@0 xd HCos@xD + Sin@xD L HCos@xD Sin@xD L êê TrigReduce

Math40-.nb 7 H7 Sin@xD 0 Sin@ xd + 8 Sin@5 xd 9 Sin@7 xd Sin@9 xdl 64 % êê TrigToExp 9 6 x 9 6 x 5 64 x + 5 64 x + 9 64 5 x 9 64 5 x 9 8 7 x + 9 8 7 x 8 9 x + 8 9 x % êê ExpToTrig 9 Sin@xD 8 5 Sin@ xd + 9 Sin@5 xd 9 64 Sin@7 xd Sin@9 xd 64 % êê Simplify H0 + 5 Cos@ xd + Cos@4 xd + Cos@6 xdl Sin@xD 8 Cosh@xD Sin@xD êê TrigReduce H Cosh@xD Cos@ xd Cosh@xD + Cosh@ xd Cos@ xd Cosh@ xdl 8 à PowerExpand, ComplexExpand 9 è!!!!!! a, Ha bl x, LogAe è!!!! E= êê PowerExpand H ne vždy korektní úprava L 8a, a x b x, è!!! Log@eD< x+y Sin@x + I yd êê ComplexExpand y Cos@xD Cosh@yD Sin@xD y Cos@xD Sin@xD Sinh@yD + H y Cosh@yD Sin@xD + y Cos@xD Sinh@yDL à Substituce f@x y, x D ê. x f@9 y, 9D f@x y, x D ê. 8x y, y x< f@x y, y D 8f@x y, x D ê. 8y x, x <, f@x y, x D ê. 8x, y x<<

8 Math40-.nb 8f@9 x, 9D, f@9 x, 9D< 8f@x y, x D ê. y x ê. x, f@x y, x D ê. x ê. y x< 8f@7, 9D, f@9 x, 9D< 8f@x y, x D ê. 8x, x <, f@x y, x D ê. 8x, x << 8f@ y, D, f@ y, D< 8f@x y, x D ê. x ê. x, f@x y, x D ê. x ê. x < 8f@9 y, 9D, f@ y, D< 8x 0 ê. Hx n_ ê; n L > x n, x 0 êê. Hx n_ ê; n L > x n < 8x 8, < 8800, 50, 0< ê. Hn_ ê; n > 0L > n, 800, 50, 0< êê. Hn_ ê; n > 0L > n < 8899, 49, 9<, 80, 0, 0<< Seznamy, pole, vektory, matice à Vytváření seznamů: Range, Table, Array 8,,, 4, List@a, b, cd< 8,,, 4, 8a, b, c<< Range@, 0D 8,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0< Range@, 0, D 8,, 5, 7, 9< Table@i, 8i,, 8<D 8, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64< Table@i, 8i,, 8, <D

Math40-.nb 9 84,, 6, 49< Table@i, 8i,, 4, 0.<D 8,.69,.56,.6, 4.84, 6.5, 7.84, 9.6,.56,.69, 6.< Table@i + j, 8i,, 5<, 8j,, 6<D 88,, 4, 5, 6, 7<, 8, 4, 5, 6, 7, 8<, 84, 5, 6, 7, 8, 9<, 85, 6, 7, 8, 9, 0<, 86, 7, 8, 9, 0, << Clear@aD; α = Array@a, D 8a@D, a@d, a@d< Clear@bD; β = Array@b, 8, <D 88b@, D, b@, D, b@, D<, 8b@, D, b@, D, b@, D<< a@d = 5; α 85, a@d, a@d< b@, D = 5; β 885, b@, D, b@, D<, 8b@, D, b@, D, b@, D<< à Tabulková a maticová reprezentace: ColumnForm, TableForm, MatrixForm 8,, < êê ColumnForm 8,, < êê TableForm 8,, < êê MatrixForm i y j z k {

0 Math40-.nb Table@i + j, 8i,, <, 8j,, 6<D êê ColumnForm 8,, 4, 5, 6, 7< 8, 4, 5, 6, 7, 8< 84, 5, 6, 7, 8, 9< Table@i + j, 8i,, <, 8j,, 6<D êê TableForm 4 5 6 7 4 5 6 7 8 4 5 6 7 8 9 Table@i + j, 8i,, <, 8j,, 6<D êê MatrixForm i 4 5 6 7y 4 5 6 7 8 j z k 4 5 6 7 8 9{ Clear@aD; Array@a, 8, <D êê ColumnForm 8a@, D, a@, D, a@, D< 8a@, D, a@, D, a@, D< Array@a, 8, <D êê TableForm a@, D a@, D a@, D a@, D a@, D a@, D Array@a, 8, <D êê MatrixForm J a@, D a@, D a@, D a@, D a@, D a@, D N Options@TableFormD 8TableAlignments Automatic, TableDepth, TableDirections Column, TableHeadings None, TableSpacing Automatic< Options@MatrixFormD 8TableAlignments Automatic, TableDepth, TableDirections Column, TableHeadings None, TableSpacing Automatic< à Prvky a části seznamů: First, Last, Part, Extract, Take, Drop s = 8a, b, c, d, e<

Math40-.nb 8a, b, c, d, e< 8Part@s, D, s@@dd, s@@ 5DD, First@sD< 8a, a, a, a< 8Part@s, 5D, s@@5dd, s@@ DD, Last@sD< 8e, e, e, e< Part@s, 8, <D 8a, c< ss = 88a, b, c, d, e<, 8,,, 4, 5<, 86, 7, 8, 9, 0<< 88a, b, c, d, e<, 8,,, 4, 5<, 86, 7, 8, 9, 0<< 8Part@ss,, D, ss@@, 4DD< 8a, 4< Extract@ss, 88, <, 8, <<D 8a, < 8Take@s, 8<D, Take@s, D, Take@s, D, Take@s, 8, 4<D< 88b<, 8a, b<, 8d, e<, 8b, c, d<< Take@s, 8, 5, <D 8a, c, e< Take@ss, 8,, <, 8, 5, <D 88a, c, e<, 86, 8, 0<< 8Drop@s, D, Drop@s, D, Drop@s, 8, 4<D< 88c, d, e<, 8a, b, c<, 8a, e<< Drop@s, 8, 5, <D 8b, d<

Math40-.nb Drop@ss, 8<, 8, 5, <D 88b, d<, 87, 9<< à Přidávání a odstraňování prvků seznamu: Prepend, Append, Insert, Delete, DeleteCases 8Prepend@8,, <, xd, Append@8,, <, xd< 88x,,, <, 8,,, x<< 8Insert@8,, <, x, D, Insert@8,, <, x, D, Insert@8,, <, x, D< 88x,,, <, 8, x,, <, 8,,, x<< Delete@8,, <, D 8, < Delete@88,, <, 84, 5, 6<<, 8, <D 88,, <, 85, 6<< Delete@88,, <, 84, 5, 6<<, 88, <, 8, <<D 88, <, 85, 6<< DeleteCases@8, 8,, <, 84, 5, 6<, 88, <<<, D 88,, <, 84, 5, 6<, 88, <<< DeleteCases@8, 8,, <, 84, 5, 6<, 88, <<<,, D 88, <, 84, 5, 6<, 88, <<< DeleteCases@8, 8,, <, 84, 5, 6<, 88, <<<,, 8<D 8, 8,, <, 84, 5, 6<, 88<<< DeleteCases@8x, x, x y, z, 8x, z <<, x_ D 8x, x y, 8x, z << DeleteCases@8x, x, x y, z, 8x, z <<, x_, 8<D 8x, x, x, z, 8<<

Math40-.nb DeleteCases@8x, x, x y, z, 8x, z <<, x_, D 8x, x, 8<< à Kombinování seznamů: Join, Union, Intersection, Complement Join@8,,,, <D 8,,,, < Join@8,, <, 8,, <, 8,, <D 8,,,,,,,, < Union@8,,,, <D 8,, < Union@8,, <, 8,, <, 8,, <D 8,, < Intersection@8,,,,, <D 8,, < Intersection@8,,,,, <, 8,,, <, 8,, <D 8, < Complement@8,,,,, <D 8,, < Complement@8,,,,, <, 8, <D 8< Complement@8,,,,, <, 8, <, 8<D 8<

4 Math40-.nb à Některé další operace se seznamy: Flatten, Sort, Reverse, Partition, Split Flatten Flatten@88, 8, <<, 888<<, 8<<<D 8,,,, < Flatten@88, 8, <<, 888<<, 8<<<, D 8, 8, <, 88<<, 8<< Flatten@88, 8, <<, 888<<, 8<<<, D 8,,, 8<, < Sort Sort@8,,,, 6,,, <D 8,,,,,,, 6< Sort@8,,,, 6,,, <, H# > #L &D 86,,,,,,, < Reverse Reverse@8,,, 4, 5, 6, 7, 8<D 88, 7, 6, 5, 4,,, < Partition Partition@8,,, 4, 5, 6, 7, 8<, D 88, <, 8, 4<, 85, 6<, 87, 8<< Partition@8,,, 4, 5, 6, 7, 8<, D 88,, <, 84, 5, 6<< Partition@8,,, 4, 5, 6, 7, 8<,, D 88,, <, 8,, 4<, 8, 4, 5<, 84, 5, 6<, 85, 6, 7<, 86, 7, 8<<

Math40-.nb 5 Partition@8,,, 4, 5, 6, 7, 8<,, D 88,, <, 8, 4, 5<, 85, 6, 7<< Split Split@8,,,,,,, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8<D 88<, 8,, <, 8,, <, 84<, 85<, 86, 6, 6<, 87<, 88<< Split@8,,,,,,, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8<, # # &D 88, <, 8<, 8, <, 8<, 8, 4, 5, 6<, 86<, 86, 7, 8<< à Matice, vektory a operace s nimi 8,,, 4<.8, x, x, x < H Skalární součin vektorů L + x + x + 4 x 8Cross@8,, <, 8,, 4<D, 8,, < 8,, 4<< H Vektorový součin L 88,, <, 8,, << 88,, <, 8,, 4<<.8x, y, z< H Součin matice a vektoru L 8x + y + z, x + y + 4 z< 8x, y<.88,, <, 8,, 4<< H Součin matice a vektoru L 8x + y, x + y, x + 4 y< 88,, <, 8,, 4<<.88x, x, x<, 8y, y, y<, 8z, z, z<< H Součin matic L 88x + y + z, x + y + z, x + y + z<, 8 x + y + 4 z, x + y + 4 z, x + y + 4 z<< IdentityMatrix@D H Jednotková matice řádu n L 88, 0, 0<, 80,, 0<, 80, 0, << DiagonalMatrix@8,, <D H Diagonální matice L 88, 0, 0<, 80,, 0<, 80, 0, << Transpose@88,, <, 8,, 4<<D H Transponovaná matice L

6 Math40-.nb 88, <, 8, <, 8, 4<< Det@88,, <, 8, 4, 5<, 84, 5, 5<<D H Determinant matice L Inverse@88,, <, 8, 4, 5<, 84, 5, 5<<D H Inverzní matice L 99 5, 5, =, 9 5, 7, =, 9,, == MatrixPower@88, <, 8, 4<<, D H Mocnina matice L 887, 54<, 88, 8<< Eigenvalues@88, <, 8, 4<<D H Vlastní čísla matice L 9 I5 è!!!!!! M, I5 +è!!!!!! M= Eigenvalues@88, <, 8, 4<< êê ND H Vlastní čísla matice numericky L 85.78, 0.78< Eigenvectors@88, <, 8, 4<<D H Vlastní vektory matice L 99 I è!!!!!! 6 M, =, 9 6 I +è!!!!!! M, == Eigenvectors@88, <, 8, 4<< êê ND H Vlastní vektory matice numericky L 88 0.45974, 0.90977<, 8 0.84565, 0.565767<< Derivace a integrály à Derivace výrazů expr = x 4 y@xd z Sin@ yd x 4 z Sin@ yd y@xd 8D@expr, xd, x expr< 84 x z Sin@ yd y@xd + x 4 z Sin@ yd y @xd, 4 x z Sin@ yd y@xd + x 4 z Sin@ yd y @xd<

Math40-.nb 7 8D@expr, x, xd, D@expr, 8x, <D, x,x expr, 8x,< expr< êê ColumnForm x z Sin@ yd y@xd + 8 x z Sin@ yd y @xd + x 4 z Sin@ yd y @xd x z Sin@ yd y@xd + 8 x z Sin@ yd y @xd + x 4 z Sin@ yd y @xd x z Sin@ yd y@xd + 8 x z Sin@ yd y @xd + x 4 z Sin@ yd y @xd x z Sin@ yd y@xd + 8 x z Sin@ yd y @xd + x 4 z Sin@ yd y @xd 8D@expr, x, yd, x,y expr< êê ColumnForm x z Cos@ yd y@xd + x 4 z Cos@ yd y @xd x z Cos@ yd y@xd + x 4 z Cos@ yd y @xd D@expr, x, NonConstants 8z<D 4 x z Sin@ yd y@xd + x 4 D@z, x, NonConstants 8z<D Sin@ yd y@xd + x 4 z Sin@ yd y @xd à Derivace výrazů v bodě expr = x + y x + y 8D@expr, xd, D@expr, xd ê. 8x a, y b<< 9 x + y, a + b = à Derivace funkcí Clear@fD; f@x_d := x Cos@xD 8D@f@xD, xd, f'@xd< 8 x Cos@xD x Sin@xD, x Cos@xD x Sin@xD< 8D@f@xD, 8x, <D, f'''@xd< êê ColumnForm 6 Cos@xD 9 x Cos@xD 8 x Sin@xD + x Sin@xD 6 Cos@xD 9 x Cos@xD 8 x Sin@xD + x Sin@xD 8D@f@xD, 8x, <D ê. x π, f'''@πd< 8 6 + 9 π, 6 + 9 π <

8 Math40-.nb Clear@gD; g@x_d := x + ê; x < ; g@x_d := x ê; x < ; g@x_d := x ê; x; Plot@g@xD, 8x,.5,.5<, AspectRatio 0.4D; 0.8 0.6 0.4 0. - - -0. -0.4 8D@g@xD, xd, g'@xd, D@g@xD, xd ê. x, g'@d< 8g @xd, g @xd, g @D, g @D< g'@x_d := ê; x < ; g'@x_d := x ê; < x < ; g'@x_d := ê; < x; 8D@g@xD, xd, g'@xd, D@g@xD, xd ê. x, g'@d, g'@d< 8g @xd, g @xd,,, g @D< à Neurčité integrály 9Integrate@Sin@xD 4, xd, Sin@xD 4 x= 9 x 8 4 Sin@ xd + Sin@4 xd, x 8 4 Sin@ xd + Sin@4 xd= H + x L x x 4 H + x L + x 8 H + x L + ArcTan@xD 8 + x 4 x ArcTanA è!!!! + x è!!!! E è!!! + è!!!! + x ArcTanA è!!!! E è!!! LogA +è!!! x x E 4 è!!! + LogA +è!!! x + x E 4 è!!!

Math40-.nb 9 x êê Simplify + x4 4 è!!! I ArcTanA è!!! xe + ArcTanA + è!!! xe LogA + è!!! x x E + LogA + è!!! x + x EM x + x + x 7 9 x + x 7 x 5 x 4 + 9 x 5 5 x 6 + x 7 x 7 44 + x + 5 x +x ArcTanA è!!!! 6 H + x x + x E L 54 è!!! + Log@ + xd 4 Log@ + xd 08 Log@ x + x D è!!!!!!!!!!!!!!!! R x x x è!!!!!!!!!!!!!!! R x R ArcTanA x è!!!!!!!!!!!!!!! R x R + x E è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! R a x x x è!!!!!!!!!!!!!!!!!!! R a x + R LogA è!!! a x + è!!!!!!!!!!!!!!!!!!! R a x E è!!! a à Určité integrály 9 x, 0 H + x L x= H + x L 9 H8 + πl, π 8 = 0 Sin@a xd x x IfAIm@aD == 0, π Sign@aD, Sin@a xd 0 x xe Sin@a xd IntegrateA, 8x, 0, <, Assumptions 8a Reals<E x π Sign@aD 9 x x, IntegrateA, 8x,, <, Assumptions 8a > <E= a xa

0 Math40-.nb 9IfARe@aD >, + a, x a xe, + a = Options@IntegrateD 8Assumptions 8<, GenerateConditions Automatic, PrincipalValue False< SetOptions@Integrate, GenerateConditions FalseD 8Assumptions 8<, GenerateConditions False, PrincipalValue False< Sin@a xd 9 0 x x, x= xa 9 π Sign@aD, + a = π Sin@xD Sin@xD y y x 0 0 4 5 Integrate@Integrate@Sin@xD y, 8y, 0, Sin@xD<D, 8x, 0, π<d 4 5 à Numerická integrace 9 x ê x x êê N, x.5 x x, NIntegrate@x ê x, 8x, 0, <D= 0 0 80.8867, 0.8867, 0.8867< Options@NIntegrateD 8AccuracyGoal, Compiled True, GaussPoints Automatic, MaxPoints Automatic, MaxRecursion 6, Method Automatic, MinRecursion 0, PrecisionGoal Automatic, SingularityDepth 4, WorkingPrecision 6< 9 x x êê N, x. x, NIntegrateA x, 8x,, <E= Series::serlim : Series order specification.` is not a machine size integer. 8.7745,.7745 +.0858 0 6,.7745<

Math40-.nb NIntegrateA x, 8x,, <, PrecisionGoal 40, WorkingPrecision 80E General::unfl : Underflow occurred in computation. General::unfl : Underflow occurred in computation..77458509055607986748445879755 Precision@%D 4 9 000 000 x x êê N, 000 000 x. x, NIntegrateA x, 8x, 000, 000<E= NIntegrate::ploss : Numerical integration stopping due to loss of precision. Achieved neither the requested PrecisionGoal nor AccuracyGoal; suspect one of the following: highly oscillatory integrand or the true value of the integral is 0. If your integrand is oscillatory try using the option Method >Oscillatory in NIntegrate. 8.7745,.7745 +.0858 0 6,.4946 0 6 < NIntegrateA x, 8x, 000, 000<, PrecisionGoal 40, WorkingPrecision 80E NIntegrate::ncvb : NIntegrate failed to converge to prescribed accuracy after 7 recursive bisections in x near x = 7.85..774585 Precision@%D 9 Rovnice à Transcendentní rovnice: FindRoot Plot@x Sin@xD, 8x,, <, AspectRatio 0.4D; 4 - - -

Math40-.nb 8FindRoot@x Sin@xD 0, 8x, 0.6<D, FindRoot@ x Sin@xD 0, 8x,.4<, AccuracyGoal 0, WorkingPrecision 0D< 88x 0.667<, 8x.409640040059649<< Options@FindRootD 8AccuracyGoal Automatic, Compiled True, DampingFactor, Jacobian Automatic, MaxIterations 5, WorkingPrecision 6< à Algebraické rovnice: Solve, NSolve, Roots, Reduce Solve Solve@x x + 0, xd 88x <, 8x << Solve@a x + b x + c 0, xd 99x b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 4 a c =, 9x a b +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 4 a c == a Solve@x + x + x + 0, xd 88x <, 8x H L ê <, 8x H L ê << % êê MapAll@ExpToTrig, #D & 98x <, 9x è!!! =, 9x è!!! + == Solve@x 5 + x + 0, xd 88x Root@ + # + # 5 &, D<, 8x Root@ + # + # 5 &, D<, 8x Root@ + # + # 5 &, D<, 8x Root@ + # + # 5 &, 4D<, 8x Root@ + # + # 5 &, 5D<< % êê N 88x.986<, 8x 0.5459 0.88074 <, 8x 0.5459 + 0.88074 <, 8x 0.7559 0.78466 <, 8x 0.7559 + 0.78466 << Solve@8x + y + z, x + y + z <, 8x, y<d 88x z, y <<

Math40-.nb Solve@8x + y + z, x + y + z <, 8x, z<d 8< Solve@8x + 5 y 5, x + 7 y <, 8x, y<d 99x è!!!!!!!!! I5 7 40M, y 69 69 9x è!!!!!!!!! I5 + 7 40M, y 69 69 I7 + 4 è!!!!!!!!! 40 M=, I7 4 è!!!!!!!!! 40 M== Solve@Sin@xD Sin@xD 0, Sin@xDD 99Sin@xD I è!!! 5M=, 9Sin@xD I +è!!! 5M== Solve@Exp@xD Exp@xD 0, Exp@xDD General::ivar : x is not a valid variable. Solve@ x + x == 0, x D Options@SolveD 8InverseFunctions Automatic, MakeRules False, Method, Mode Generic, Sort True, VerifySolutions Automatic, WorkingPrecision < NSolve 8NSolve@x + x + x + 0, xd, Solve@x + x + x + 0, xd êê N< êê ColumnForm 88x.<, 8x 0.5 0.86605 <, 8x 0.5 + 0.86605 << 88x.<, 8x 0.5 0.86605 <, 8x 0.5 + 0.86605 << NSolve@8x + 5 y 5, x + 7 y <, 8x, y<d 88x 4.0647, y.056<, 8x 4.5, y.0066<< Options@NSolveD 8WorkingPrecision Automatic, Sort True, MonomialOrder Automatic< Roots Roots@x 5 x + 4 0, xd

4 Math40-.nb x ==»» x == 4 Roots@x 5 x + 4 0, xd x == I è!!!!!! 7M»» x == I +è!!!!!! 7M»» x == % ê. Or List ê. Equal Rule 9x I è!!!!!! 7M, x I +è!!!!!! 7M, x = Options@RootsD 8Cubics True, Eliminate False, EquatedTo Null, Modulus 0, Multiplicity, Quartics True, Using True< Reduce Reduce@a x + b x + c 0, xd x == b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 4 a c b +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b && a 0»» x == 4 a c && a 0»» a a a == 0 && b == 0 && c == 0»» a == 0 && x == c b && b 0 Reduce@8a x + b y, c x + y <, 8x, y<d x == b c è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a a b + b c b c a + b c && y == a + b c + c è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a a b + b c a + b c && a + b c 0»» x == b c +è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a a b + b c b c a + b c && y == a + b c c è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! a a b + b c a + b c && a + b c 0»» a == 0 && b == && c == 0 && y ==»» c == a H + bl c && x == && y == + b && a 0 && b 0 b a b Reduce@Sin@xD Sin@xD 0, Sin@xDD Sin@xD == I è!!! 5M»» Sin@xD == I +è!!! 5M Reduce@Exp@xD Exp@xD 0, Exp@xDD General::ivar : x is not a valid variable. Reduce@ x + x == 0, x D Options@ReduceD

Math40-.nb 5 8InverseFunctions Automatic, MakeRules False, Method, Mode Rational, Sort True, VerifySolutions Automatic, WorkingPrecision < à Lineární rovnice: LinearSolve, NullSpace, RowReduce LinearSolve LinearSolve@88, <, 8, <<, 86, <D 84, < LinearSolve@88, <, 8, <<, 86, 6<D 8, 0< Clear@a, b, c, dd; LinearSolve@88a, b<, 8c, d<<, 8, <D Hb dl 9 b c + a d, Ha cl b c + a d = Options@LinearSolveD 8Method Automatic, Modulus 0, ZeroTest H# == 0 &L< NullSpace Clear@a, bd; NullSpace@88,,, <, 8,, 4, 5<<D 884,, 0, 5<, 8,,, 0<< NullSpace@88a,,, <, 8,, b, 5<<D 4 99 4 + a, 4 + 5 a b, 0, =, 9 4 + a 4 + a, + a b,, 0== 4 + a Options@NullSpaceD 8Method Automatic, Modulus 0, Tolerance Automatic, ZeroTest Automatic< RowReduce RowReduce@88,,, 5<, 8, 4, 5, <, 8,,, 0<<D

6 Math40-.nb 99, 0, 0, =, 90,, 0, =, 80, 0,, <= 4 % êê MatrixForm i 0 0 y 0 j 0 4 z k 0 0 { Clear@a, bd; RowReduce@88a,,, 5<, 8, b, 5, <<D 99, 0, 0 + b 4 + a b, + 5 b 4 + a b =, 90,, + 5 a 4 + a b, 0 + a 4 + a b == Options@ReduceD 8InverseFunctions Automatic, MakeRules False, Method, Mode Rational, Sort True, VerifySolutions Automatic, WorkingPrecision < à Obyčejné diferenciální rovnice: DSolve, NDSolve Rovnice bez počátečních podmínek DSolve@y'@xD y@xd, y@xd, xd 88y@xD x C@D<< DSolve@y'@xD y@xd, y, xd 88y H # C@D &L<< y'@xd y@xd ê. % êê Simplify 8True< %% ê. u_function u@xd 88y x C@D<< DSolve@y''@xD y'@xd y@xd x, y@xd, xd L x+h + è!!!! L x è!!!! L x H+ è!!!! L x 99y@xD H è!!!! è!!! I + è!!! M H+ è!!! I + è!!! M + è!!!! H L x C@D + H+è!!!! L x C@D==

Math40-.nb 7 % êê FullSimplify êê MapAll@Expand, #D & 99y@xD x + x è!!!! x C@D + x+è!!!! x C@D== DSolveAy'@xD + x y@xd x x è!!!!!!!!!!!! y@xd 0, y@xd, xe 99y@xD 6 I4 8 x + 4 x 4 H + x L ê4 C@D + x H + x L ê4 C@D + 9 è!!!!!!!!!!!!!!!! + x C@D M== Rovnice s počátečními podmínkami DSolve@8y''@xD y'@xd y@xd x, y@0d 0, y'@0d <, y@xd, xd 99y@xD i j H+è!!!! L x i j H+è!!!! L x è!!! H+è!!!! L x + 4 i j k k k 4 è!!! y z H è!!!! { H è!!!! L x+h + è!!!! L x+h+ è!!!! L x + è!!! H è!!!! L x+h + è!!!! L x+h+ è!!!! L x + 4 i j k 4 + è!!! y z H+è!!!! L x+h+ è!!!! L xy z y z ì I I + è!!! M I + è!!! MM== { {{ L x+h+ è!!!! L x + % êê FullSimplify êê MapAll@Expand, #D & 99y@xD x 4 x è!!!! x x è!!!! x è!!! 4 x+è!!!! x + x+è!!!! x è!!! == DSolveA9y'@xD + x y@xd x x è!!!!!!!!!!!! y@xd 0, y@0d ê4=, y@xd, xe 99y@xD 6 I4 8 x + 4 x 4 + 0 H L ê4 H + x L ê4 0 H L ê4 x H + x L ê4 5 è!!!!!!!!!!!!!!!! + x M== % êê FullSimplify 99y@xD è!!!!!!!!!!!!!!!! I 5 + x 6 0 H L ê4 H + x L 5ê4 + 4 H + x L M== PlotA 6 I 5 è!!!!!!!!!!!!!!!! + x 0 H L ê4 H + x L 5ê4 + 4 H + x L M, 8x,, <, PlotRange All, AxesOrigin 80, 0<, AspectRatio 0.4E;

8 Math40-.nb 0.5 0. 0.5 0. 0.05 - -0.5 0.5 NDSolveA9y'@xD + x y@xd x è!!!!!!!!!!!! y@xd 0, y@0d ê4=, y@xd, 8x, 0, 0.9<E x 88y@xD InterpolatingFunction@880., 0.9<<, <>D@xD<< Plot@y@xD ê. % êê Evaluate, 8x, 0, 0.9<, AspectRatio 0.4D; 0.8 0.7 0.6 0.5 0. 0.4 0.6 0.8 Table@8x, y@xd ê. %% êê First<, 8x, 0, 0.9, 0.<D 880, 0.5<, 80., 0.5489<, 80.4, 0.68099<, 80.6, 0.809<, 80.8, 0.765<< % êê Transpose êê TableForm 0 0. 0.4 0.6 0.8 0.5 0.5489 0.68099 0.809 0.765 à Soustavy obyčejných diferenciálních rovnic: DSolve, NDSolve Clear@y, zd; DSolve@8y'@tD y@td z@td, z'@td y@td + z@td<, 8y@tD, z@td<, td 88y@tD t HC@D Cos@tD C@D Sin@tDL, z@td t HC@D Cos@tD + C@D Sin@tDL<< DSolve@8y'@tD y@td z@td, z'@td y@td + z@td<, 8y, z<, td 88y H # HC@D Cos@#D C@D Sin@#DL &L, z H # HC@D Cos@#D + C@D Sin@#DL &L<< 8y'@tD y@td z@td, z'@td y@td + z@td< ê. % êê Simplify

Math40-.nb 9 88True, True<< DSolve@8y'@tD y@td z@td + Cos@tD, z'@td y@td + z@td Cos@tD, y@0d 0, z@0d 0<, 8y@tD, z@td<, td 99y@tD 5 H Cos@tD + t Cos@tD Sin@tD + 4 t Sin@tDL, z@td 5 H4 Cos@tD 4 t Cos@tD Sin@tD + t Sin@tDL== ParametricPlot@8y@tD, z@td< ê. % êê Evaluate, 8t, 0, π<, PlotRange All, Compiled False, AspectRatio 0.4D; -00-50 50 00 50 00-00 -00-00 -400 NDSolve@8y'@tD y@td z@td + Cos@tD, z'@td y@td + z@td Cos@tD, y@0d 0, z@0d 0<, 8y@tD, z@td<, 8t, 0, π<d 88y@tD InterpolatingFunction@880., 9.4478<<, <>D@tD, z@td InterpolatingFunction@880., 9.4478<<, <>D@tD<< ParametricPlot@8y@tD, z@td< ê. % êê First êê Evaluate, 8t, 0, π<, PlotRange All, Compiled False, AspectRatio 0.4D; -00-50 50 00 50 00-00 -00-00 -400 Table@8t, y@td, z@td< ê. %% êê First, 8t, 0, π,.5<d 880, 0., 0.<, 8.5,.4759, 0.99657<, 8., 5.844, 6.648<, 84.5, 77.7059, 9.5996<, 86., 64.455, 54.04<< % êê Transpose êê TableForm 0.5. 4.5 6. 0..4759 5.844 77.7059 64.455 0. 0.99657 6.648 9.5996 54.04

40 Math40-.nb Grafika: Plot, ParametricPlot, ListPlot, PlotD, ContourPlot Plot Plot@Sin@ xd Cos@xD, 8x, π, π<d;

Math40-.nb 4 0.75 0.5 0.5 - - - -0.5-0.5-0.75 Plot@8x Sin@x D, Sin@ xd Cos@xD<, 8x, π, π<, Frame True, GridLines AutomaticD; 0 - - - - - 0 ParametricPlot ParametricPlot@8Log@ + x D Cos@xD, Log@ + x D Sin@xD<, 8x, 0, 6 π<d; 7.5 5.5-7.5-5 -.5.5 5 7.5 -.5-5 -7.5

4 Math40-.nb ListPlot ListPlot@8,,, 5,, 7<, PlotStyle PointSize@0.0DD; 7 6 5 4 4 5 6 ListPlot@8,,, 5,, 7<, PlotStyle PointSize@0.0D, PlotJoined TrueD; 7 6 5 4 4 5 6 ListPlot@88.5, <, 8, <, 8., <, 8, 5<, 8.5, 4<, 8.7, 4<<, PlotStyle PointSize@0.05D, Frame > TrueD; 5 4.5.5.5

Math40-.nb 4 PlotD PlotDAH + x + y L Sin@x yd, 8x, π, π<, 8y, π, π<, PlotPoints 50E; 0. 0-0. - 0 0 - ContourPlot ContourPlotA Sin@x yd, + x + y 8x, π, π<, 8y, π, π<, Contours 0, PlotPoints 00E; 0 - - - - - - 0

44 Math40-.nb Programování à Podmínky: If, Which, Switch If Clear@a, condd; cond := If@a, x = True, x = False, x = IndeterminateD; 8a = ; cond, a = ; cond, a = True; cond< 8True, False, Indeterminate< Which Clear@a, condd; cond := Which@a <,, a, 0, a >,, True, IndeterminateD; 8a = 0; cond, a = ; cond, a = ; cond, a = Indeterminate; cond< 8, 0,, Which@Indeterminate <,, a ==, 0, a >,, True, IndeterminateD< Clear@a, condd; cond := Which@a < === True,, a === True, 0, a > === True,, True, IndeterminateD; 8a = 0; cond, a = ; cond, a = ; cond, a = Indeterminate; cond< 8, 0,, Indeterminate< Clear@a, condd; cond := Which@TrueQ@a < D,, TrueQ@a D, 0, TrueQ@a > D,, True, IndeterminateD; 8a = 0; cond, a = ; cond, a = ; cond, a = Indeterminate; cond< 8, 0,, Indeterminate< Clear@a, condd; cond := Which@ NumericQ@aD, Indeterminate, a <,, a, 0, a >,, True, IndeterminateD; 8a = 0; cond, a = ; cond, a = ; cond, a = Indeterminate; cond< 8, 0,, Indeterminate<

Math40-.nb 45 Switch Clear@a, condd; cond := Switch@a,, x,, x,, x, _, IndeterminateD; 8a = ; cond, a = ; cond, a = ; cond, a = Indeterminate; cond< 8x, x, x, Indeterminate< à Cykly: Do, While, For Do Do@Random@D, 8i,, 0<D H Do nedává žádný výstup L lst = 8<; Do@AppendTo@lst, Random@DD, 8i,, 0<D; lst Iterace konvergující k è!!!! : Clear@xD; 80.855, 0.59867, 0.066666, 0.98054, 0.70874, 0.0587, 0.84646, 0.87000, 0.879095, 0.9809< DoAIfAi ==, x@id =, x@id = NA Array@x, 0D i jx@i D + k y z, 0EE, 8i, 0<E; x@i D { 8,.7500000000000000000,.74857485749,.70508004775405,.705080756887795,.705080756887795,.705080756887795,.705080756887795,.705080756887795,.705080756887795< DoAIfAi ==, x@id =, x@id = NA i y jx@i D + z, 0EE; k x@i D { If@x@i D == x@id, Break@8i, x@id<d D, 8i, 0<E 86,.705080756887795< While Opět iterace konvergující k è!!!! : x0 = ; WhileAx = NA i jx0 + y z, 0E; x x0, x0 = xe; k x0 { x

46 Math40-.nb.705080756887795 Náhodné matice s prvky patřícími do daného seznamu a determinantem rovným : Clear@fD; f@n_, l_d := Hmatrix = 0 IdentityMatrix@nD; While@Det@matrixD =!=, matrix = Table@Part@l, Random@Integer, 8, Length@lD<DD, 8n<, 8n<DD; matrixl; f@4, 8,,, 4<D êê MatrixForm i y 4 j k 4 4 4 z { For Faktoriál: Clear@fD; f@n_d := Module@8n0 = <, For@i = n, i > 0, i =, n0 = n0 id; n0d Map@f, Range@0DD 8,, 6, 4, 0, 70, 5040, 400, 6880, 68800<