. igná ly se souvislým časem ELEKTRICKÉ IGNÁ LY Komuniace mezi lidmi - ať už přímá nebo zprostředovaná stroji - je založena na přenosu informace. Informace je produována zdrojem obvyle v neeletricé podobě, teré se říá zpráva nebo sdě lení (řeč, hudba, obraz, text...). Zpráva se pro úč ely přenosu na dálu, uchování, zabezpeč ení atd. převádína, což je fyziálnívyjádřenízprávy. Č asto se em zúženě chápe č asový průběh fyziálnívelič iny, nesoucíinformaci. Je-li fyziálnívelič inou napětínebo proud, hovoříme o eletricý ch ech. Každý pous o popis suteč ně existujícího u v matematicé nebo graficé formě vede na tvorbu jeho modelu. Analýzou modelu pa zjišť ujeme vlastnosti suteč ného u více č i méně přesně podle toho, s ja přesným modelem pracujeme. Dě lení ů a jejich modelů : ) y se souvislým č asem (continuous-time) analogové (analog) y souvislé v hodnotách y s disrétním č asem - - disrétníy (discrete-time) číslicové (digital) y disrétnív hodnotách - - vantované (quantized) ) y s neoneč nou dobou trvá ní periodicé harmonicé jiné signá ly s oneč nou dobou trvá ní (jednorázové) neperiodicé impulsy vaziperiodicé nezaniající impulsy jiné aperiodicé 3) y deterministicé (urč ené) y stochasticé (náhodné) Reálné y jsou většinou náhodné aperiodicé, protože parametry technicy generovaných ů jsou náhodně ovlivň ovány prostředím. velou přesnostíje vša mnohdy můžeme nahradit deterministicými modely, např. modely periodicých ů. PDF byl vytvořen zušebníverzífineprint pdffactory http://www.fineprint.cz
ystémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů. IGNÁ LY E OUVILÝ M Č AEM.. PERIODICKÉ IGNÁ LY Vyazujíperiodicitu podle vzorce s = s( t + T ). (.) Nejmenšíčíslo T [s] splň ujícívzorec (.) je opaovací perioda u. Reciproá hodnota je opaovacímitoč et. je ruhový opaovacímitoč et. F = [Hz] (.) T Ω = π F [rad/s] (.3) Globální charateristiy periodicých ů - energie, výon, střední hodnota, efetivní hodnota Vyčíslujíse integrálem u přes jednu opaovacíperiodu, přič emž je lhostejné, de zvolíme počáteč níbod integrace. Oamžitý vý on u (normovaný) p = s. (.4) Je to výon, přeměňovaný v teplo na normované zátěži Ω, působí-li na tuto zátěž s(t) ve formě napětínebo proudu. Energie v jedné periodě u (normovaná) ( ) ( ) W = p t dt = s t dt [J]. (.5) T T třední vý on za jednu periodu u (normovaný) W P = p t dt = = T T ( ) s ( ) T T t dt [W]. (.6) třední hodnota za jednu periodu (stejnosměrná složa) 0 = s dt [jednota u]. (.7) T Efetivní hodnota (druhá odmocnina ze středního výonu) ef = P = s T ( ) t dt [jednota u]. (.8) Vzájemnáenergie dvou periodicých ů s a s se soudělnými periodami (T je větší z obou period) ( ) ( ) W = W = s t s t dt [J]. (.9) T PDF byl vytvořen zušebníverzífineprint pdffactory http://www.fineprint.cz
. igná ly se souvislým časem Vzájemný střední vý on dvou periodicých ů s a s se soudělnými periodami P = P = ( ) ( ) s t s t dt [W]. (.0) Jsou-li vzájemné energie (výony) nulové, pa jsou y s a s vůč i sobě ortogonální. T Harmonicý s C 0 t, α C T t s 0 π t [ s] ϕ 0 α = Ω t[ rad / s] Obr... Harmonicý a jeho záladníparametry. Jeho 3 záladníparametry: amplituda C (C 0) opaovacífrevence F [Hz] poèá teènífáze ϕ [ nebo rad] Dalšísouvisejícíparametry: veliosti osinové a sinové složy A a B (viz obr. a dalšítext) ruhová opaovacífrevence Ω opaovacíperioda T č asový posuv t Globální charateristiy harmonicého u: třední hodnota za jednu periodu třední hodnota ladné půlvlny Efetivní hodnota Matematicé modely harmonicého u: 0 = 0. (.) + = C = & 0, 6366C. (.) π ef = C = & 0, 707C. (.3) ( ) = ( ϕ) s t C cos Ω t + = AcosΩ t + B sinω t 4 34 4 34, (.4) sc ss 0! PDF byl vytvořen zušebníverzífineprint pdffactory http://www.fineprint.cz 3
ystémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů de sc s s - osinová složa, - sinová složa. Přepočítávacívztahy: ϕ π = Ωt s ; Ω = π F = T C = A + B B arctg, K A 0 A = C cosϕ A ϕ = B = C sinϕ B arctg + π, K A < 0 A (.5) jα Komplexnívyjá dřeníharmonicého signá lu (založ eno na cosα = e + e rotujícífázory jα ) - proti sobě C s e ϕ C e e ϕ = + e = ce & + c& e 3 3 c& c& C C c e jϕ & = c & =, arg c& = ϕ j jω t j jω t jω t jω t (.6) tejnosmě rný jao zvláš tní případ harmonicého u pro W = 0: tejnosměrný C > 0 (C < 0) je zvláštním případem harmonicého u o amplitudě C, počáteč nífázi ϕ = 0 (ϕ = 80 ) a mitoč tu Ω = 0rad/s. Fourierova řada periodicého u Je matematicý zápis tvrzení, že periodicý s p (t) s opaovacím mitoč tem F lze složit z onstantního u a harmonicých ů o mitoč tech.f, =,,3,... : ( ) 0 cos( Ω ϕ) cos (. Ω ϕ ) K cos (. Ω ϕ ) s t = + t + + t + + + t + + K = p ( Ω ϕ ) = + cos t +, 0 = (.7) de 0 - středníhodnota (stejnosměrná složa), - amplituda -té harmonicé složy ( 0), Ω - opaovacímitoč et -té harmonicé složy, ϕ - počáteč nífáze -té harmonicé složy. PDF byl vytvořen zušebníverzífineprint pdffactory http://www.fineprint.cz 4
. igná ly se souvislým časem Výpočet pomocí Fourierových oeficientů typu C, A, B, &c (rů zné tvary Fourierovy ř ady): C0 ( ) { { jωt sp t = + C cos ( Ω t + ϕ ) = c& 0 + c t + ( c ) = c e = { & cos( Ω arg & ) { & 3 = = = 0 ϕ 0 A0 = + A cos( Ωt ) + B sin ( Ωt ). { = = 0 osinový slož ový omplexní tvar Fourierovy řady (.8) Výpočet Fourierových oeficientů z časového prů bě hu u během jedné opaovací periody A = sp ( t) dt = sp = sp ( t) cos Ω... 0 pro liché y:, B T = sp ( t) dt = sp = sp ( t) sin Ω... 0 pro sudé y:, (.9) T j Ω t A jb c& = sp e dt =.... T Obecné vlastnosti Fourierovy řady periodicého u a) Linearita (s (t) a s (t) musímít stejnou opaovacíperiodu): s c&, s c&, ( ) ( ) oeficienty &c a s t + a s t a c& + a c& (.0),, b) Posun periodicého u v č ase: s( t ) s( t τ ) oeficienty &c &c &c e jω τ (.) c) Posun spetrálních č ar: s( t ) ( ) oeficienty &c &c s t e jmω t, m celé &c m (.) PDF byl vytvořen zušebníverzífineprint pdffactory http://www.fineprint.cz 5
ystémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů d) Přesměrovánítou č asu: s( t ) oeficienty &c &c s c& = c& (.3) e) Derivace periodicého u: s( t ) oeficienty &c &c d ( ) dt s t jω c& (.4) f) ouč in dvou ů se stejnou opaovacíperiodou: s c&, s c&, ( ) s t s oeficienty &c + c&, n c&, n (.5) n= g) Konvoluč nísouč in dvou periodicých ů v rámci periody: s c&, s ( ) ( ) c&, oeficienty &c s ξ s t ξ dξ c&, c&, (.6) T petrum periodicého u je tvořeno množinou jeho harmonicých slože. Graficy se spetrum znázorň uje spetrálními č arami jao amplitudové a fá zové spetrum. Parsevalů v teorém pro periodicé y Kvadrát efetivníhodnoty (= normovaný výon) periodicého u se rovná souč tu vadrátů efetivních hodnot jeho harmonicých slože: PDF byl vytvořen zušebníverzífineprint pdffactory http://www.fineprint.cz 6
. igná ly se souvislým časem Zápis pomocífourierových oeficientů: 0 ef = ef = 0 +. (.7) = ( A B ) C C A0 = + c 4 = & = + + 4. (.8) = Vztah Fourierovy řady periodicého u a DFT Pomocíalgoritmu DFT (disrétnífourierovy transformace) lze s danou přesnostívypočítat spetrálnísložy periodicého u z vzorů tohoto u. DFT - př edpis pro výpočet N spetrá lních čar signá lu z N vzorů signá lu. Děje se nepřímo ve dvou rocích: ) Výpoč et omplexních oeficientů DFT: = & jnπ N X = s e, n = 0,,,.., N ; n N = 0 ( ) s = s T N... - tý vzore u v periodě (.9) ) Výpoč et harmonicých slože z oeficientů DFT: stejnosmě rná slož a: = X& N = X N 0 0 0 n-tá harmonicá: amplituda = X & N (.30) fáze ϕ n = arg ( X & n ) Koeficienty DFT vyazujísymetrii a periodicitu podle vzorce n n X& = X& *, (.3) taže hodláme-li vypočíst m spetrálních č ar, musíme zvolit poč et bodů N m. n Poznáma: Výpoč et spetrálních č ar periodicého u pomocídft nenípřesný, poud nesplň uje vzorovacípodmínu (viz apitola 5). Pa chyba výpoč tu obecně lesá při růstu poč tu bodů N. Korelační funce periodicých ů Na vzájemnou podobnost ů lze usuzovat pomocíjejich vzájemných energií, resp. výonů. Mnohdy vša stačíjeden ze ů posunout oproti druhému a míra podobnosti se naprosto změní. Funč nízávislost vzájemných středních výonů dvou ů za jednu periodu na vzájemném posunutíů τ je orelační funce. Jedná-li se o dva stejné y, hovoříme o autoorelační funci. Vzájemná orelač nífunce periodicých ů s (t) a s (t): R ( τ) = ( ) ( + τ) N n s t s t dt... posouváme s (t) vůč i s (t), (.3) T PDF byl vytvořen zušebníverzífineprint pdffactory http://www.fineprint.cz 7
ystémy, procesy a signá ly I - sbíra příladů Platí R s t s t dt... posouváme s (t) vůč i s (t). (.33) ( τ ) = ( ) ( + τ ) T R ( τ ) R ( τ ) =. (.34) Korelač nífunce periodicých ů je periodicá se stejnou opaovacíperiodou T. Proto ji lze rozložit do Fourierovy řady: de c& a c&,, j τ ( τ ) ( τ ) Ω j τ R = c& c& e, R = c& c& e Ω, (.35),,,, = = jsou omplexnífourierovy oeficienty ů s (t) a s (t). Autoorelač nífunce u s(t): Je sudou funcíposunutíτ: Nabývá maxima pro τ = 0: dt. (.36) R( τ ) = s s( t + τ ) R T ( ) = R( ) R R( 0) ( ) τ τ. (.37) max = = s t dt = T T ef. (.38) Je periodicá s opaovacíperiodou T existuje jejífourierova řada (zobecněníparsevalova teorému): jω τ R( τ ) = c& e = c& 0 + c& cos( Ωτ ) = 0 + cos( Ω τ ) (.39) = = =, ef Všechny harmonicé složy autoorelač nífunce jsou osinusové (důslede sudosti) s nulovými počáteč ními fázemi. Amplituda -té harmonicé je vadrátem efetivníhodnoty -té harmonicé u s(t). Ne aždá periodicá funce tedy může být autoorelač nífuncíu. Periodicé y se stejným amplitudovým a různými fázovými spetry mají stejnou autoorelač nífunci. PDF byl vytvořen zušebníverzífineprint pdffactory http://www.fineprint.cz 8