Čsové řdy - rozld hrmoicé složy Záldí iformc V ávzosti hrmoicý rozld fucí spojitých v čs uvd tto pitol mtmticé prostřdy pro rozld disrétích posloupostí dílčí hrmoicé složy. Dál zd számím čtář s rozdíly, tré vyplývjí z odlišého chrtru orových dt (přdvším z pohldu frvčí vlstostí) v srováí s vlstostmi vliči v spojitém čs. by bylo možé ob typy dt jjich sptrálí vlstosti, bud zbyté, by byl čtář szám s způsoby frvčí lýzy vliči v spojitém čs (odz VJ - Modly vliči spojitých v čs rozld hrmoicé složy). Bz toho to ztím půjd. oci s számím s vlic frvtovým pojmm rychlá Fourirov trsformc (Fst Fourir Trsform, v zrtc FFT), vysvětlím si proč j rychlá i záldí pricip, j toho dosáhout. Výstupy z výuy számit s s dfiicmi disrétí Fourirov řd, Fourirov trsformc s disrétím čsm disrétí Fourirov trsformc; pochopit rozdíly v podsttě uvdých typů Fourirovy trsformc umět použít správého lgoritmu pro dt určitého typu; umět spočítt Fourirovu trsformci dé čsové řdy; számit s s záldím pricipm rychlé Fourirovy trsformc.
Disrétí Fourirov řd Rozld spojitých vliči hrmoicé složy jsm zčli rozldm priodicých fucí pomocí Fourirovy řdy. Připomňm dv záldí thy pro Fourirovu řdu v xpociálím tvru pro spojité priodicé fuc. Podl trých spojitou vličiu x(t) lz rozložit očý součt dílčích hrmoicých slož, jjichž frvc jsou cločíslými ásoby záldí úhlové frvc Ω podl x (t) c& jωt, d c& jsou omplxí Fourirovy oficity dfiové thm c& T T / T / x(t). jωt dt Ω π/t j opět úhlový mitočt záldí hrmoicé složy určý záldí priodou T rozládé fuc x(t). Modul omplxího Fourirov oficitu c& určuj mplitudu odpovídjící hrmoicé složy, jho fáz hodotu počátčí fáz odpovídjící hrmoicé fuc. Fourirov řd pro spojité fuc j dfiová očým součtm hrmoicých slož. To vyplývá z sutčosti, ž omplxí xpociál s spojitým čsm jωt jo jádrová fuc hrmoicého rozldu bývá růzých hodot pro růzé hodoty úhlového mitočtu ω. Situc j l zcl odlišá u disrétí jádrové poslouposti jω T, jjíž hodoty s d opují s priodou mitočtu π, protož j Ω d π/t priod čsové řdy j dá počtm jjích orů, tj. T.T. V tom přípdě j jω T d πt j T jπ (.) poud idx, udávjící pořdí frvčí složy, j větší ž počt orů v priodě čsové řdy, p s hodoty omplxí jádrové xpociály opují. Chcm-li jít disrétí vivlt Fourirovy řdy pro spojité fuc, p musím ít v potz tuto sutčost počt frvčích slož v sptru disrétí poslouposti již bud očý, ýbrž omzý orovcí frvcí orů. Protož j disrétí Fourirov řd rprztová očým součtm dílčích slož, jsou problémy, rozdíl od přípdu s spojitým čsm, s jjí ovrgcí. Dfiic.: chť tdy x(t ) j priodicá posloupost s priodou T. Tu lz rozložit pomocí omplxí xpociálí Fourirovy řdy pomocí thu d jπ x(t ) c&.,, ±, ±,..., (.) c & x(t).,,,...,. (.3) jπ
Důz: Změňm idx sumc v thu pro výpočt oficitu c& P j s(t ) Potom pro m j c. c& x(mt).. (.) m jπ / m x(mt m ). jπ(m) / x(mt jπm ). jπ(m) / jπm /,. pro m pomocí thu pro součt gomtricé poslouposti j jπ / (.5) (.6) jπ(m) / jπ(m) / (.7) jπ(m) / tdy (protož součt j ulový pouz pro m) jπ(m) / x(t ) x(mt ). x(t ). x(t m Tdy s(t ) x(t ), což bylo to, co jsm chtěli doázt. Příld.: Určt sptrum poslouposti x(t ).(π/). Řší: ). (.8) jdřív spočítjm úlohu spíš záldě logicých úvh. Zdá posloupost x(t ) j priodicá s priodou můžm si ji vyjádřit pomocí Eulrov thu v tvru yí protož jπ jπ π.. +. jπ() jπ. jπ jπ j. π. jπ + jπ() Z toho ply, ž 3
c c, c & & & pro všch jiá. Sptrum tohoto sigálu p můžm grficy vyjádřit s priodou,- díy priodičosti jádrové fuc řdy i v priodě -/, /, j j tomu obr... Pousm s yí spočítt oficity disrétí Fourirovy řdy pro dou posloupost podl dfiičího thu. jdřív stjosměrou složu, tj. pro. Podl (.3) j.. c j π & Protož součt orů osiové poslouposti přs jdu clou priodu j ulový, j hodot c& rověž ulová (pro stjosměrou složu určitě dl očáváí). yí určm hodotu Fourirov oficitu pro. ( ) ( ) ( ) ( ). si j si j si si j si j jsi. c j π + + + & Součt v prvím člu j, druhý součt, stjě jo třtí i čtvrtý jsou ulové (druhý čtvrtý, protož s týá součtu orů osiusovy, rsp. siusovy přs dvě clé priody sic přs orů, l obě hrmoicé fuc mjí dvojásobou frvci ž j zdá, třtí součt j sd hb vysvětlovt). Tž výsldá hodot j ) b) Obr.. mplitudové fázové sptrum poslouposti x(t ).(π/) ) s priodou,- ; b) s priodou -/,/
c& t j v úvodí fázi řší. Výpočt pro -, pro všchy osttí j už vivltí. Fourirov trsformc s disrétím čsm (DTFT) Pousm s zd upltit podobou strtgii jo v přípdě přchodu od Fourirovy řdy Fourirově trsformci v přípdě fucí spojitých v čs Obr.. Podmíy přchodu od disrétí Fourirovy řdy Fourirově trsformci Dfiic.: chť x(t ) j čsově omzá posloupost s disrétím čsm s x(t ) pro všch clá < - >, d j cločíslá ostt. Dál, chť pro jéoliv ldé clé sudé číslo > ozčím x~ (T ) posloupost s priodou T, trá j x(t ) pro -/, -(/)+,, -,,,, (/)- (obr..) Z dfiic x~ (T ) mám x(t ) lim ~ x (T ). (.) Protož x~ (T ) j priodicá fuc s priodou T, má Fourirovu řdu x~ (T ) c. jπ, (.) d c ( / ) x~ / (T ). jπ,,,...,. (.3) Z vlstostí x~ (T ) vyplývá, ž lz posldí uvdou rovici přpst do tvru 5
c x(t ). jπt T,,,..., (.) potom X( ω) x(t ). jωt, ω π / T, (.5) d ω j pro spojitá (disrétí) vliči. Úvhy z výš uvdé dfiic j potvrzují, co už zám z rozldu spojitých fucí, totiž ž spojitost či spojitost sptr souvisí s spojitostí či spojitostí rozládé fuc, ýbrž s jjí priodičostí. 3 Disrétí Fourirov trsformc (DFT) by bylo možé s frvčím sptrm prticy počítt, j užitčé sptrálí fuci disrtizovt. Dfiic 3.: Přdpoládjm, ž posloupost x(t ) pro <, p DFT j dfiová thm DFT { x( T x( T ). )} X( Ω) π j T T x( T x( T ). ). jωt jπ /. (3.) Dfiic 3.: Zpětou ivrzí disrétí Fourirovu trsformci p dfiuj th DFT { jt Ω jπ / X( Ω)} x( T ) X( Ω). X( Ω).. (3.) Dfiic 3.3: Poud uvžujm pouz posloupost hodot bz jjí čsové rsp. mitočtové itrprtc, lz dfiičí th disrétí Fourirovy trsformc vyjádřit též v tvru jπ X () x(). /. (3.3) rsp. ivrzí trsformc jπ x () X(). /. (3.) Disrétí Fourirov trsformc, stjě jo všchy osttí formy Fourirovy trsformc, j ivrzibilí, tj. pltí: 6
což lz doázt ásldově: x(mt ) X(Ω). x(t { DFT (x)} x - DFT. (3.5) jmtω ).. j(m)ωt x(t ). jωt, d Ω π/ T.. jmtω (3.6) Obr.3. Pricip důsldy disrétí Fourirovy trsformc pro mitočt sigálu ω ω / π/(t ) 7
Protož podobě jo v důzu disrétí Fourirovy řdy j pro m j. j(m)ωt j(m)ωt j(m) ΩT., můžm porčovt j(m)ωt pro m x(t ).. j(m)ωt x(mt ). x(mt ). (3.7) Vliv DFT chrtr sptr hrmoicé poslouposti j ptrý z obr.3. 3. obr.3. j zobrz přípd, dy j priod orové fuc T π/ω rov cločíslému ásobu orovcí priody T π/ω, v orétím přípdě T T, tj. ω ω / π/(t ). obou obrázcích jsou zobrzy v lvé části čsové průběhy vprvo jim odpovídjící sptr. Kočý ús sigálu j vytvoř z původího čsově omzého průběhu vyásobím obdélíovým om, jhož dél j rov cločíslému ásobu orovcí priody, orétě 8. Sptrum vyásobého, tj. čsově omzého úsu spojité hrmoicé fucj dá ovolucí sptr původího hrmoicého sigálu sptr obdélíového o v tvru fuc S(ω). Vzorováí tohoto úsu fuc o očé době trváí vyjádřím dl dfiic (odz VJ5Čsové řdy. Záldí pojmy mtmticé oprc, th (.)) ásobím sldm jdotových impulsů s priodou opováí rovou orovcí priodě T. Tomu odpovídá rověž priodicé impulsí sptrum s priodou rovou orovcí frvci ω Ω výsldé sptrum orové poslouposti j ovolucí všch tří dílčích slož, jjichž ásobím il disrétí hrmoicý sigál omzého trváí. Disrétí vrzi sptr zísám ásobím sptr pulsm Dircových s frvcí Ω. Tomuto pulsu odpovídá v čsové oblsti priodicý sld jdotových impulsů s priodou T. Protož očé sptrum j výsldm ásobí spojitého sptr orové poslouposti očého trváí, j čsová rprztc orového sptr ovoluc orové poslouposti s čsovou rprztcí orovcího pulsu sptr. Touto ovolucí s poslouposti přímo vucuj priodicit, tž výsldé disrétí sptrum j sptrm priodicé poslouposti. Tím, ž j orováí sigálu vhodě vázáo s délou očého obdélíového o tím i s orováím sptr, odpovídá fitiví výsldá priodicá posloupost původí fuci, jjíž sptrum jsm pomocí DFT počítli. druhé strě, poud dél omzujícího obdélíového o odpovídá cločíslému ásobu priod vstupího sigálu, p i výsldé disrétí sptrum odpovídá fuci, jjíž průběh j modifiová, př. t, j j zobrzo obr.3.. Druhý, zřjmě jště důlžitější důsld formálí disrtizc sptrálí fuc z toho vyplývjící vucé priodizc trsformové poslouposti j t, ž disrétí Fourirov trsformc j téměř totožá s disrétí Fourirovou řdou. Jdiý rozdíl j v dělí počtm orů v priodě při výpočtu omplxích oficitů, jjichž moduly udávjí mplitudy hrmoicých slož odpovídjící frvc jjich rgumty počátčí fázi. Protož dfiičí th DFT toto dělí obshuj, odpovídjí výsldé hodoty mplitudám hrmoicých slož, l hodotám -rát větším. 8
Obr.3. Pricip důsldy disrétí Fourirovy trsformc pro mitočt sigálu ω 5 ω /6 5π/(8T ) Příld 3.: Mějm zdáu posloupost čtyř ulových orů x(), x(), x(), x(3) všchy osttí hodoty x() pro,,, 3. Určt hodoty orů frvčího sptr pro. Řší: Dfiičí th (3.3) pro disrétí Fourirovu trsformci 9
X () Lz přformulovt i do trigoomtricého tvru X() x(). jπ / x().[(π / ) jsi(π / )]. Z tohoto tvru lz sdo vyjádřit rálé imgiárí části omplxích hodot orů sptr R(X()) x().( π. ) + x().( π +.( π. ) + x().( π. ) + x(3).( 3π ) +.( π ) + ( ), pro,,, 3 π.3 ) Im(X()) -x().si( π -.si( π. ) - x().si( π. ) - x().si( π. ) - x(3).si( 3π ) -.si( π ) - si( ), pro,,, 3 π.3 ) Po doszí z dostávám 6, pro ;, pro ; R( X()), pro ;, pro 3 Im( X()),,,, pro ; pro ; pro ; pro 3. Z toho jsou hodoty orů frvčího sptr v rtézsém tvru X () 6, j,, + j, pro ; pro ; pro ; pro 3. v polárím tvru, trý j v tomto přípdě běžější j X(). 5π j 6..,., 3π j, 3π j, pro ; pro ; pro ; pro 3.
Z dosžých výsldů j zřjmé, ž posloupost modulů sptrálích hodot (čr) j symtricá s osou symtri pro tisymtricá s toutéž osou poud jd o rgumty (fáz) sptrálích hodot. Posloupost by byl priodicá, pro hodoty > by s hodoty sptrálích orů opovly. Poud bychom chtěli, by moduly odpovídly mplitudám odpovídjících hrmoicých slož, musím vypočíté hodoty X() podělit počtm orů, tdy čtyřmi. Správost tového počíáí sdo ověřím pro X(), tré po podělí vychází,5, což právě odpovídá střdí hodotě z čtyř ulových orů zdé poslouposti. Příld 3.: Určt hodoty sptrálích orů poslouposti {,,, }. Řší: jdřív jdoduchá úvh. Všchy zdé ory bývjí stjé hodoty. Zdáí tdy odpovídá priodicy s opující hodotě s priodou. Protož dt obshují žádou jiou priodicitu, sptrum by mělo obshovt pouz jd ulový or to pro ulovou frvci, tj. stjosměrou složu. Použijm-li téhož postupu jo v přdchozím příldu 3., dostávám hodoty sptrálích čr: X(), X(), X() X(3). Sptrálí hodot X() pro ulovou frvci j tdy oprvdu rov čtyřásobu mplitudy hrmoicé složy s ulovou frvcí. Příld 3.3: Určt hodoty sptrálích orů poslouposti {,,, }. Řší: jdřív opět jdoduchá úvh. Zdé ory odpovídjí jdotovému impulzu protož prostřdictvím DFT vucujm poslouposti priodicitu s priodou odpovídjící počtu zdých orů, rprztují zdé hodoty priodicý sld jdotových impulzů s priodou čtyři ory. Protož sptrum jdotového impulzu j osttí (hrmoicé složy jsou zstoupy rovoměrě, tj s toutéž mplitudou. Moduly sptrálích orů by tdy měly po výpočtu pomocí DFT být X(), X(), X(), X(3) po podělí počtm orů X () {,5,5,5,5}. Ověřt si výpočtm opět podl postupu v Příldu 3.. Příld 3.: Určt hodoty sptrálích orů poslouposti {,,, -} vysvětlt chrtr vypočítého sptr. Řší: X() {, -j,, j} pro,,, 3, což lz též vyjádřit X() {,. -jπ/,,. jπ/ } ormlizová posloupost jd or X () {,5. -jπ/,5. jπ/ }. Výsldou posloupost lz itrprtovt t, ž dt obshují hrmoicou složu o priodě rové počtu
orů v poslouposti (tzv. prví hrmoicá slož) o mplitudě,5 +,5 počátčí fázi π/ logicy, protož dt zčíjí od, ory tdy odpovídjí siusovc, trý j vůči rfrčí fuci osius posuutá právě o úhl π/. Příld 3.5: Co by s stlo, dyby s posloupost z Příldu 3. posuul o jd or, tj. byl by {,, -, }. Řší: Po plici postupu z Příldu 3. dostávám X() {,,, } pro,,, 3. To zmá, ž počátčí fáz prví hrmoicé j ulová. J ji, dyž dtová posloupost zčíá jdičou odpovídá t rfrčímu osiu. Příld 3.6: Určt hodoty sptrálích orů poslouposti {, -,, -} vysvětlt chrtr vypočítého sptr. Řší: X() {,,, } pro,,, 3 X () {,,, } pro,,, 3. Zdá dtová posloupost obshuj dvě priody, tj. dvojásob záldí priody dé počtm orů dtové poslouposti. Tto frvc (druhá hrmoicá slož) j rov poloviě orovcí frvc ( ory v poslouposti). Pro tuto frvci má sptrálí posloupost dv ory, ýbrž pouz jd lžící záporé rálé os v omplxí roviě, proto j jho hodot dvojásobá, ž j jsm sdi zvyli v přdcházjících příldch. Příld 3.7: Poud by s dtová posloupost posuul o jd or v srováí s přdšlým příldm, tj. byl by { -,, -, }, zmlo by to, ž s druhá hrmoicá slož posuul o poloviu priody. J by s to projvili v sptrálí poslouposti?. Sryté řší: X() {,, -, } pro,,, 3. Příld 3.8: Bylo by možé v dtové i sptrálí poslouposti zobrzit hrmoicou fuci s priodou rovou třtiě dély dtové poslouposti? Sryté řší: Hrmoicá slož má frvci, trá j již větší, ž orovcí frvc. V dtové poslouposti by s zobrzil jo prví hrmoicá.
Rychlá Fourirov trsformc (FFT) Dfiičí th pro výpočt disrétí Fourirovy trsformc v xpociálím tvru můžm pomocí Eulrov thu vyjádřit i fucmi si jo X( Ω) x( (T ). jω Výpočt ždé z slož sptr poslouposti p přdstvuj -ásobý součt součiu hodoty sigálu s rálou i omplxí složou jádr trsformc, přdstvové odpovídjí- otázou, zd jj lz optimlizovt. cími hodotmi fucí si. Tto dfiový výpočt j poměrě prcý j Zrychlí výpočtího lgoritmu s můž dosáhout využitím dřív vypočítých mzivý- sldů, rsp. vycháím zbytčých výpočtů př. ásobí ulou. Rltivě zdlouhvé opové výpočty hodot obou goiomtricých fucí lz usdit používáím přdm spočítých tbulových hodot pro jdu čtvrtiu priody jdé z obou fucí. Dlšího z- tzv. ftivěí výpočtu lz dosáhout vhodým uspořádáím výpočtího lgoritmu, př. rychlou Fourirovou trsformcí. bychom doázli posoudit prt jdotlivých vrit výpočtu disrétího sptr disrétího sigálu j potřb určit záldí lmty výpočtu. Z dfiičího thu (3.8) vy- Jd- plývá, ž tové lmty jsou dv - ásobí omplxího čísl sčítáí dvou čísl. otu prti P tdy dfiujm pomocí jdoho omplxíhoo ásobí sčtí dvou čísl. Výpočt jdé hodoty sptr sigálu o orcích pomocí dfiičího thu přdstvuj lmtů prti výpočtu, tdy P. Prt výpočtu clého sptr zhrujícího hodot poté přdstvuj hodotu P P. Tuto hodotu můžm povžovt z rf- rčí pro srováí s prtmi jiých vrit výpočtu. rozld v čsové oblsti; rozld v frvčí oblsti, x( lgoritmus rychlé Fourirovy trsformc má dvě z hldis prti v podsttě viv- ltí vrity: z ichž s podroběji zbývjm pricipm prví vrity, trý j p sdo pliovtlý i pro postup druhý. Přdpoládjm, ž vstupí sigálová posloupost má sudý počt orů. Rozdělím ji dvě dílčí poslouposti (obr..): {g i } {x i } - sudé prvy původí poslouposti; T T ).( ( ΩT ) jsi( ΩT {h i } {x i+ +} - liché prvy původí poslouposti, i,,, /-. ) ). (3.8) Obr.. Rozdělí sigálové poslouposti 3
Dál přdpoládám, ž všchy posloupostí (původí i obě dílčí), mjí svou DFT, tré jsou dfiováy thy pro, /-. G () H () / i / i g i i h jπi / jπi / / i / i g i h i jπi jπi (3.9) (3.5) -tou hodotu sptr počítou podl původího trsformčího lgoritmu yí vyjádřm pomocí dílčích výpočtů G() H(). V tom přípdě pltí X() g h / i i x x g h gi x i jπi x x jπi 3 x g h + h i x x π j 5 jπi g... h + x 7 7 x x jπ 5 π j + x / i gi G(') + π j jπ jπi +... + x H(') + h i jπ(i+ ) π j () ' mod( / (3.5) Když hodoty pomocých dílčích posloupostí budm počítt podl záldího dfiičího thu, bud clová prt součtm prtí výpočtu sptr obou posloupostí jjich spojí (/) P+ P ( P)/ + P (3.5) tz. dosáhm uspoří prti téměř poloviu, poud bud druhý čl vyjdřující prt zombiováí obou posloupostí mlý v srováí s člm prvím (to bud pltit přdvším pro vlé hodoty ). J-li / opět sudé, můž s v dělí dál porčovt clově j výhodé, j-li mociou dvou, tj. pltí m - v tom přípdě lz porčovt v dělí ž vstupí poslouposti (obr..). Kždý uzl v výpočtím schémtu přdstvuj součt příspěvů rprztových vstupími oritovými hrmi, přičmž jd z obou vstupů j ásob vhou w r. Prt výpočtu v ždém uzlu schémtu bud právě P počt uzlů v ždé výpočtí vrstvě j, prt výpočtu v clé vrstvě j P. Počt vrstv v výpočtím schémtu bud v přípdě m rov m log proto clová prt j P m P log. Po vlá tto výrz rost již téměř liárě jho hodoty jsou proto výrzě mší ž původí prt s vdrticou závislostí. Vzhldm postupému dělí uspořádáváí dílčích vstupích posloupostí í po doočí rozldu vstupí sigálová posloupost uspořádá stupě podl jjích idxů, ýbrž ji. Vyjádřím-li hodoty idxů jdotlivých orů biárě tto biárí čísl
čtm zprv dolv (obr..), tvoří hodoty idxů přirozě rostoucí posloupost - proto zývám uspořádáí orů vstupí poslouposti bitově ivrzí. Dlší sutčostí usdňující výpočt j xistc stdrdích opujících s motýlovitých výpočtích strutur o čtyřch uzlch čtyřch hrách, což zmá, ž výpočt v rámci ždé tové dílčí strutury s řídí stál stjým lgoritmm. víc pro výpočt výstupích hodot v ždé vrstvě jsou potřb pouz vstupí ory ždé vrstvy, výpočt tdy můž probíht vždy j v jdé vrstvě lz t štřit výpočtí pměť. Obr.. Výpočtí schém lgoritmu FFT rozldm v čsové oblsti Příld.: Určt j s použitím lgoritmu FFT zrychlí oproti záldímu dfiičímu lgoritmu DFT výpočt při 56 8 orcích, při orcích při 8 576 orcích. 5
Řší: J bylo výš uvdo prt výpočtu DFT podl dfiičího thu j P., podl lgoritmu FFT P..log, d P j jdot prti počt orů. Protož ám jd o rltiví zrychlí výpočtu, dostm poždovou iformci z podílu obou prtí, tj. Pro 56 dostávám pro j očě pro 8 576 K P. K. P..log log K K 56 3, log 8 56 log, 8576 58,8. log Pro 56 orů zrychlí lgoritmus FFT výpočt frvčího sptr 3 rát, pro orů přibližě rát pro 8 576 orů víc ž 5. rát. 6
5. Rostruc spojité fuc z orové poslouposti Pro ty, trým dá spát, j s z torticy očé orové poslouposti můžm dostt zpět spojité fuci, uvádím jdo mlé torticé odvozí. Přdpoládjm, ž původí spojitá fuc x (t) měl frvčě omzé sptrum X (f), tj. pltí pro i X(f ) f f / X (f ) (5.) f > f / d X(f) j frvčí sptrum dé poslouposti. Protož vím, ž orová posloupost j priodicá s priodou dou orovcí frvcí, zjímá ás pouz jjí jd (prví) priod, pro trou v rozshu frvcí f f / pltí Potom pro původí fuci x (t) j jπft X (f ) X(f ) T x(t ).. (5.) x (t) f f T / X / f F (f ). x(t jπft df ). x(t f / f f T / jπf (tt ) ). x(t jπ(tt / / df x(t ).F / j jπ(t T ).Si π(t T x dx π(tt ). ). ) T jπft x ).F /. + C jπft df (5.3) Co tto th říá? Původí fuc x (t) j dá očým součtm orovcích fucí, tré procházjí ždou hodotou z očého počtu orů orové poslouposti. Přsě t, j uzuj obr.5.. Obr.5. Rostruc orové poslouposti 7
8