POUŽITÍ PRINCIPU VIRTUÁLNÍCH PRACÍ PRO VÝPOČET PŘETVOŘENÍ

POUŽITÍ PRINCIPU VIRTUÁLNÍCH PRACÍ PRO VÝPOČET PŘETVOŘENÍ PRINCIP VIRTUÁLNÍCH PRACÍ Ve sttce jsme defnovl vrtuální prác jo prác síly př vrtuálních posunech neo jo prác slové dvojce př vrtuálním pootočení, tj oecně jo prác zoecněné síly (síly neo slové dvojce) př vrtuálním přemístění Z vrtuální posun jsme povžovl ždý mlý posun, možný neo myšlený, soustvě udělený, terý je slučtelný s pohyovým možnostm soustvy, dným vzm Jn je tento posun lovolný Odoně lze defnovt vrtuální pootočení Vrtuální práce vnějších sl Předpoldy: soustv je v rovnováze vznlé deformce jsou mlé deformce jsou v souhlse s pohyovým možnostm soustvy, určeným vzm nejde o přípdy mtání

Indexování vrtuálních posunutí: δ znmená, že posunutí v odu je vyvoláno slou P δ znmená, že posunutí v odu je vyvoláno slou P δ znmená, že posunutí v odu je vyvoláno slou P ) Vnější síl P vyoná v odu n vrtuálním posunutí δ vrtuální prác P δ ) Vnější síl P vyoná v odu n vrtuálním posunutí δ vrtuální prác P δ v odu n vrtuálním posunutí δ vrtuální prác P δ Pojem vrtuální práce můžeme tedy zvést pro dv lovolné, n soě zcel nezávslé ztěžovcí stvy soustvy Oznčme: velčny jednoho ztěžovcího stvu ( síly, ohyové momenty rece ) symoly P,, R velčny druhého ztěžovcího stvu symoly P,, R

Potom pltí pro vrtuální prác vnějších sl, tj velčn ztěžovcího stvu P,, R př přemístěních ve směru těchto velčn, vyvolných ztěžovcím stvem P,, R : L e Vrtuální práce vntřních sl P R, r Přetvoření prutového prvu Účne normálové síly N Poměrné protžení N prvu ( dílu ) pltí: ds N ds N N ds EF ds EF Výsledné protžení prvu má hodnotu (ez uvžování teploty ) N ds ds ds EF de E je modul pružnost láty, F je průřezová ploch prutu

Účne ohyového momentu neo účne nestejnoměrného rozdělení teploty po průřezu Nstává vzájemné pootočení dvou lízých řezů d Od účnu ohyového momentu vzná ( př ldném z ) v průřezu npětí ( z předpoldu Krchhofovy hypotézy zchování rovnného řezu ): z E z resp poměrná deformce ds zds z d z ds tedy z ds z d z ds odtud plyne EJ J z z z EJ ds d ve vzdálenost z od střednce d ds EJ

Účne posouvjící síly T Je tedy zosení vlvem posouvjící síly Posouvjící síl T způsouje vzájemné posunutí prutových průřezů Pro velost poměrného posunutí pltí s, G de je tvrový součntel > ( npř odélní =,, pro ruh = 3/7 ) G je modul pružnost ve smyu T s je střední hodnot smyového npětí v průřezu F T ds dt ds GF s

Nechť př ztížení nosníu slovým velčnm ztěžovcího stvu P,, R půsoí n prve nosníu vntřní síly, N, T, jmž se vyvodí v prvu nosníu dély ds přetvoření od ohyového momentu, normálové síly posouvjící síly (vz výše) ds N N ds T T ds,, EJ EF GF Podoně nechť př ztížení nosníu slovým velčnm P,, R půsoí n prve nosníu vntřní síly, N, T Od těch vznjí v elementu přetvoření ds, EJ N N ds, EF T T ds GF Elementární vrtuální práce vntřních sl, N, T, příslušných ztěžovcímu stvu P,, N T R př deformcích,, plynoucích ze ztěžovcího stvu P,, R, se určí vzthem N T dl N T ( horní ndex oznčuje, že jde o vrtuální prác vntřních, tj nterních sl )

Po doszení z,, ntegrc po celé délce nosníu p dl N T ds EJ N N ds EF T T Podoně to pltí pro elementární vrtuální prác vntřních sl, N, T plynoucích ze N T ztěžovcího stvu P,, R, př deformcích,,, příslušných ztěžovcímu stvu P,, R : Bettho vět ( o vzájemnost vrtuálních prcí ) Vrtuální práce vnějších sl supny P př přemístěních vyvozených supnou sl P se rovná vrtuální prác vnějších sl supny P př přemístěních vyvozených supnou P A e A xwellov vět xwellov vět plyne z věty Bettho jo její zvláštní přípd Píšeme-l podle Bettho větyp P, pltí př P e ds GF P

xwellovu větu lze vyjádřt tto: P ) Síl půsoící v místě vyvodí přemístění v místě ve směru síly P, teré je stejně velé jo přemístění v místě, ve směru síly P, vyvozené slou P ) Úhlové pootočení vyvozené v průřezu od účnu momentu půsoícího v průřezu se rovná úhlovému pootočení vyvozenému momentovým účnem v průřezu c) Úhlové pootočení vyvozené v průřezu od účnu síly P půsoící v průřezu je číselně stejné jo průhy vyvozený účnem momentu v průřezu

Formulce prncpu vrtuálních prcí Z prncpu o zchování energe plyne, že součet prcí vnějších sl se rovná součtu prcí sl vntřních, tj ds EJ ds EF P R r N N T T ds GF Vrtuální práce rovnovážné soustvy vnějších sl př přemístěních vyvolných druhou rovnovážnou soustvou vnějších sl neo jným účny je rovn vrtuální prác vntřních sl příslušných první slové soustvě př deformcích vyvolných druhou slovou soustvou V prx má n přetvoření nosníů hlvní vlv ohyový moment, vlv normálové posouvjící síly se znedává, potom P R r ds EJ

VÝPOČET VNITŘNÍCH SIL KONSTRUKCÍ STATICKY NEURČITÝCH etody výpočtu etod slová etod deformční Vol vhodné metody závsí N stupn sttcé neurčtost N stupn přetvárné (deformční) neurčtost Zhodnocení voly Slová metod použjeme, je-l stupeň přetvárné neurčtost vyšší než stupeň sttcé neurčtost ( přípdně metod mnm potencální energe ) Deformční metod použjeme, je-l stupeň sttcé neurčtost větší než stupeň přetvárné neurčtost

Stupeň sttcé neurčtost s Stupeň přetvárné neurčtost d počet hmotných odů počet dese počet jednoduchých vze - počet dvojných vze 3 - počet trojných vze p počet uzvřených rámů t počet všech styčníových pootočení u počet vodorovných posunů w počet svslých posunů

F Příldy s 3 33 6 6x sttcy neurčtá c d d = ( styčníy ) stupně přetvárné neurčtost e s > d použjeme deformční metodu s 3 x sttcy neurčtá F c styčníy + vodorovný posun, tj d 3 s < d použjeme slovou metodu d

ETODA SILOVÁ Prncp slové metody spočívá v určení sttcy neurčtých velčn, y yl splněn podmín evvlence přetvoření mez dnou ( původní ) onstrucí záldní onstrucí (ovyle sttcy určtou ) ztíženou dným ( původním ) ztížením sttcy neurčtým velčnm Sttcy neurčté velčny Odpovídjí počtu ndytečných slože ( npř vnějších recí ) c q d c q d c q d F původní soustv (PS) F záldní soustv (ZS) F záldní soustv (ZS) Pomocí slové metody určíme sttcy neurčté velčny,, 3 3 3

Sttcy neurčté velčny: ) Složy vnějších recí ) Složy vntřních recí c) Nědy vntřní síly ) Složy vnějších recí Sttcy neurčté velčny zísáme npř jo složy recí t, že uvolníme n ndytečných vze v nchž neznámé rece nhrdíme neznámým sttcy neurčtým velčnm součsně ztížíme záldní soustvu dným ztížením q F q F 3 původní soustv (PS) 3 záldní soustv (ZS) x sttcy neurčtá Protože sttcy neurčté velčny neznáme, necháme v jejch půsoštích směrech půsot jednotové síly (přípdně momenty) dle podmíne uložení Od jednotlvých slových (neo momentových) účnů určíme velost průěhy vntřních sl

3 Z prtcých důvodů uvžujeme jednotlvé ztěžovcí stvy smosttně (v lneární teor pružnost pltí prncp superpozce) q F q F 3 původní soustv 3 ztěžovcí stv ZS vyvodí vntřní síly f, Nf, Tf ztěžovcí stv ZS 3ztěžovcí stv ZS vyvodí vntřní síly, N, T vyvodí vntřní síly, N, T Protože hledné sttcy neurčté velčny jsou oecně různé od jednoty, musíme po výpočtu hodnoty vntřních sl od jednotového ztížení vynásot příslušnou sttcy neurčtou velčnou

Podle prncpu slové metody pltí pro výsledné vntřní síly (pro tento onrétní příld) T T T T N N N N f f f Oecně pro n rát sttcy neurčtou onstruc s uvážením vnějších recí rece vnější n f n f n f n f R R R T T T N N N

Přetvárné podmíny Sttcy neurčté velčny určujeme z přetvárných podmíne podmínečné rovnce Prncp: Výsledné přetvoření záldní soustvy odpovídá přetvoření původní soustvy Pltí prncp superpozce prncp proporconlty Pro jednotlvé ztěžovcí stvy se provede nlýz příslušných přetvoření v f t q přetvoření v místě ve směru půsoení velčny od ztížení záldní soustvy přetvoření v místě ve směru půsoení velčny od ztížení záldní soustvy = f přetvoření v místě ve směru půsoení velčny od ztížení záldní soustvy dným ztížením t - -přípdné účny teplotní v výsledné přetvoření ve směru půsoení

Jsou-l sttcy neurčté velčny složm vnějších recí musí ýt: Př pevných podporách výsledné přetvoření nulové Př popuštění podpor výsledný posun v roven velost popuštění příslušné podpory (npř poddolovné území) Podle záon superpozce výsledný posun v ve směru : t f n n v z předpoldu pevných podpor v = 0 dostneme pro n sttcy neurčtých velčn soustvu podmínečných rovnc: 0 0 0 3 3 3 3 3 3 nt nf n nn n n n t f n n t f n n

Aychom vypočítl neznámé sttcy neurčté velčny musíme předem určt hodnoty součntelů,, f (přípdně t) Podle xwelovy věty o vzájemnost přetvoření pltí = Řešením podmínečných rovnc se zísjí hodnoty neznámých velčn přepočtením záldní soustvy se stnoví průěhy všech vntřních sl Výpočet součntelů K jejch určení použjeme prncp vrtuálních prcí Zvedeme jednotovou vrtuální sílu (vetor), terou necháme půsot ve směru hledného reálného posunu (resp reálného pootočení) Vrtuální práce vntřních sl je rovn vrtuální prác sl vnějších: d T dq N ds s s S přhlédnutím přetvoření u záldní soustvy od účnu = * T N ds dq ds ds ds EJ GA EA Součntel pro jeden prut ude mít tvr * TT NN ds ds ds EJ GA EA s s s s

Od účnu = ude mít součntel tvr * T N ds ds ds EJ GA EA s s s J jž ylo řečeno, v prtcých výpočtech znedáváme vlv normálové posouvjící síly Konečné výrzy pro přímé pruty s onstntní tuhostí ez uvážení vlvu posouvjících sl normálových sl teploty: n j n j n j dx dx f f dx r R EJ j j 0 l EJ l j j 0 EJ l j j 0 r de n je počet ztěžovcích stvů r - vyjdřuje posun neo pootočení ve směru od popuštění podpor R - rece od ztížení záldní soustvy velčnou = r - zdné polesy podpor

ETODA DEFORAČNÍ ROVINNÉ KONSTRUKCE Stupeň deformční neurčtost je dán celovým počtem všech neznámých prmetrů styčníové deformce: Styčníové deformce ) Styčníové pootočení ) Posuny ve směrech souřdncových os +u V ždém styčníu jsou: - tř neznámé prmetry styčníové deformce +w - plně určeny třem sttcým podmínm rovnováhy, tj rovnováhy sttcých velčn, terým půsoí všechny pruty n styční (,N,T)

Předpoldy řešení zjednodušenou deformční metodou: ) Znedáváme vlv normálové síly n přetvoření prutu ) Posuny styčníů, teré jsou spojeny pruty leží v jedné přímce, jsou ve směru této přímy stejné (npř vodorovné posuvy styčníů ptr sdruženého rámu jsou stejné) Přetvárná neurčtost onstruce je p určen: počtem t pootočení tuhých styčníů počtem možných posuvů u ve směru gloální osy x počtem posuvů w ve směru osy z, styčníů neo částí (pter, sloupů) onstruce: d t u w Přetvárná neurčtost je opět pouze závslá n tvru podepření onstruce je zcel nezávslá n typu ztížení K určení počtu d deformčních přetvoření musíme sestvt d podmíne rovnováhy Jsou to: - podmíny momentové rovnováhy ve styčnících styčníové rovnce - podmíny rovnováhy sl půsoících n posuvné část ve směru jejch posunů ptrové sloupové rovnce

Kldný smysl vntřních sl (ve styčnících n oncích nosníů) Kldný smysl normálových posouvjících sl zůstává stejný jo u výpočtu sttcy určtých nosníů, u ohyových momentů je ldným smyslem shody s chodem hodnových ručče n nosníu op n styčníu - nosní mez dvěm styčníy - normálové síly N N - posouvjící síly T T - ohyové momenty

+ + +dc d Půsoí-l n onc prutu ldný ohyový moment, jsou n levém onc tžen spodní n prvém onc horní vlán c +cd Příld: Hledáme tové ztěžovcí stvy, ychom jejch superpozcí dostl tový ztěžovcí stv jo je stv původní c q d c H ~ cd V ~ cd ~ cd q ~ dc V ~ dc H ~ dc d c ~ cd V ~ cd H ~ cd H ~ dc d ~ dc V ~ dc S S0 Sp

Záldní deformčně určtá soustv s0 předpoládá, že př dném ztížení jsou v ždém oncovém průřezu prutu všechny složy deformce nulové tomu odpovídá doonlé vetnutí ždého prutu V místech vetnutí vznjí od dného ztížení prutu složy rece U dné onstruce je ztížen pouze prut cd, proto vznjí složy recí ~ ~ ~ ~ ~ ~ cd, Hcd, Vcd dc, H dc, Vdc V prutech c d žádné složy recí nevznjí ( nejsou ztíženy ) Deformčně neurčtá soustv Ztížíme-l onstruc v ždém styčníu pouze těmto vntřním slm, le opčného směru ez dného ztížení pomocí prncpu superpozce sečteme tento stv sp se stvem s0 dojde vyrušení styčníového ztížení stvu s0 s recem stvu sp dostneme dnou soustvu s ztíženou pouze dným ztížením Pltí s s 0 s p Sttcé velčny stvu sp vyjádříme pomocí deformčních neznámých, velčny stvu s0 ovyle určujeme z tule

Výpočet momentů př doonlém vetnutí prutu Použjeme tule, de jsou vrnty pro různá ztížení pro nosní ooustrnně vetnutý pro nosníy jednostrnně vetnuté Pro přípd omnovného ztížení pltí prncp superpozce l ~ ~ omenty v oncových průřezech prutu př pružném upnutí Je tře určt vzthy mez ohyovým momenty v oncových průřezech složm styčníové deformce, neoť výsledné ohyové momenty n oncích prutu jsou vyvozeny ztížením známým ztížením neznámým deformčním velčnm n záldní soustvě

Uvolníme doonlé vetnutí v oncích prutu umožníme vzn ntočení posun w, p VS p x VS w Použtím prncpu vrtuálních prcí stnovíme velost momentů v oncích prutu vyvolných neznámým, w

Výsledné momenty ve styčnících ~ p ~ p Resp ~ EJ 3 l ~ EJ 3 l ~ ~ de jsou momenty v oncových průřezech prutu př jeho doonlém upnutí,, jsou sutečná úhlová pootočení oncových průřezů prutu, je sutečné pootočení prutu Výrz EJ je sutečná ohyová tuhost prutu ooustrnně pružně upnutého l Prtcých důvodů zvádíme c, což je poměrná ohyová tuhost prutu, de c je lovolně volená onstnt, terá je společná všem prutům onstruce

Potom onečné vyjádření rovnc vypdá tto ~ 3 ~ 3 Kde pro poměrné styčníové pootočení pro poměrné pootočení prutu pltí c c c F oment v oncovém průřezu prutu jednostrnně pružně upnutého 0 0 tomto přípdě řešíme moment ve vetnutí pomocí úprvy jž odvozených vzorců Z podmíny, že moment v louovém uložení je nulový, dostneme w ~ Kde ~ je moment v doonlém vetnutí n prutu jednostrnně louově uloženém

3 4 uloženého je ohyová tuhost rovná ¾ tuhost téhož prutu ooustrnně pružně Výpočet posouvjících sl ohyových momentů v oecných průřezech prutu N T x x N T N T x x N T T x x T l l l ztěžovcí stv ztěžovcí stv ztěžovcí stv Posouvjící síly T, T odpovídjí recím prostého nosníu té posouvjící síl T x v oecném odě x, je př ztěžovcím stvu shodná s posouvjící slou n prostém nosníu

ztěžovcí stv Z podmíne rovnováhy dostneme T T l P výsledná posouvjící síl v odě x má hodnotu Tx T x l Dále doončíme výpočet ohyového momentu v odě x : x x T x x x l Uprvíme zvedením x l x dostneme onečný vzth x x x l x Pro prut s louovou podporou n jedné strně se oncový moment rovná nule ( nd louem )

Styčníové rovnce Vyjdřují momentovou podmínu rovnováhy ve vyjmutém styčníu d f c e j g j jsou momenty, jmž půsoí pruty n styční jsou vnější momenty ( ztížení ve j styčníu vnějším momentovým ztížením, npř od onzoly ) Npř pro styční pltí momentová podmín rovnováhy n j j 0

Ptrové sloupové rovnce Jsou to dlší podmíny pro určení deformčních neznámých Vyjdřují součtovou podmínu rovnováhy všech sl ( vnějších vntřních ) půsoících n jeden neo soustvu vyjmutých prutů, teré mjí shodný ptrový ( sloupový ) posun = ptrový řez Pltí lc ψ c ψ d ld c l c d l d d c Svslému posunu rání pevné louy c d, pouze se pruty c d se pootočí Vyjmuté pruty dostneme z onstruce oddělením ptrovým řezem, terý vytíná pruty, teré mjí shodný ptrový posun

Tc Td T c T d 0 je ptrová rovnce Ptrová rovnce vyjdřuje podmínu, že součet všech vodorovných sl půsoících n ptro rámu ( s možností vodorovného posunu ) je roven nule Sloupová rovnce vyjdřuje podmínu, že součet všech svslých sl půsoících n sloup rámu ( s možností svslého posunu ) je roven nule Počet ptrových sloupových rovnc je totožný s počtem nezávslých ptrových sloupových posunů Pruty c d u uvedené onstruce se pootočí dél prutu se nemění Proto evvlence ptrového posunutí styčníů, lze vyjádřt vzthem