M - Příprava na 4. čtvrtletku - třídy 1P, 1VK. Učebnice určená pro přípravu na 4. čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo března až června. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy mezi goniometrickými funkcemi využíváme ke zjednodušování výrazů obsahujících goniometrické funkce a dále i k řešení goniometrických rovnic, jimiž se budeme zabývat později. Přehled důležitých vzorců, které budeme často využívat: sin x tgx cos x cos x cotg x sin x sin (-x) - sin x cos (-x) cos x tg (-x) - tg x cotg (-x) - cotg x sin x + cos x 1 tg x. cotg x 1 sin (x + y) sin x. cos y + cos x. sin y sin (x - y) sin x. cos y - cos x. sin y cos (x + y) cos x. cos y - sin x. sin y cos (x - y) cos x. cos y + sin x. sin y tgx+ tgy tg( x + y) 1- tgxtgy. tgx-tgy tg( x - y) 1+ tgxtgy. sin x sin x. cos x cos x cos x - sin x tgx tgx 1- tg x x 1- cos x sin x 1+ cos x cos x 1- cos tg 1+ cos x x sin sin x + sin x - sin x + y x - y y sin cos x + y x - y y cos sin 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 40
x + y x - y cos x + cos y cos cos x + y x - y cos x - cos y -sin sin Příklad 1: Příklad : Příklad 3: Příklad 4: Příklad 5: 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) z 40
Příklad 6: Příklad 7: Příklad 8: Příklad 9: 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 40
Příklad 10: 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 4 z 40
± Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady 1. 1777. 1779 3. 1769 0 4. 1771 1 5. 1773 6. 1758 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 5 z 40
7. 1774 8. 1767 9. 1778 10. 1761 11. 177 1. 1755 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 6 z 40
13. 1766 14. 1763 15. 176 16. 1764 17. 1775 18. 1780 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 7 z 40
19. 1756 0. 1759 1. 1760. 1765 3. 1757 4. 1770 5. 1768 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 8 z 40
6. 1776 ± Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou takové rovnice, které obsahují neznámou v argumentu goniometrické funkce. Při řešení goniometrických rovnic využijeme vztahů mezi goniometrickými funkcemi, znalosti grafů jednotlivých goniometrických funkcí a dále tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí. Vždy musíme vzít v úvahu periodu jednotlivých goniometrických funkcí. Příklad 1: Řešte rovnici sin x 0,5 Z tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí víme, že sin x 0,5 je splněno pro x 30. Platí tedy, že x 1 30 + k.360 Funkce sinus nabývá ale hodnoty 0,5 ještě pro úhel (180-30 ) 150 (k závěru dospějeme nejsnáze, pokud si představíme průběh grafu funkce sinus). Dostáváme tak druhé řešení: x 150 + k.360 Obě řešení lze vyjádřit i v obloukové míře: Příklad : Řešte rovnici: sin x - 3 Pokud je hodnota záporná, vytvoříme si nejprve hodnotu pomocnou, a to s kladným znménkem. Řešíme tedy nejprve pomocnou rovnici sin x 3 Vyjde nám tak pomocný úhel x 0 60. Protože ale hodnota má být ve skutečnosti záporná, určíme z grafu hodnotu neznámých: x 1 (180 + 60 ) + k.360 40 + k.360 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 9 z 40
x (360-60 ) + k.360 300 + k.360 I v tomto případě lze oba výsledky vyjádřit v obloukové míře: Příklad 3: Řešte rovnici sin x 0,5 V tomto případě je vhodné použít substituci: y x Řešíme pak rovnici sin y 0,5 Z příkladu č. 1 už víme, že tato rovnice má dvě řešení: y 1 30 + k.360 y 150 + k.360 Vrátíme se k substituci a dostaneme: x 1 30 + k.360 a odtud: x 1 15 + k.180 x 150 + k.360 a odtud: x 75 + k.180 I tyto výsledky lze vyjádřit oba v obloukové míře: Příklad 4: Řešte rovnici: cos 3x. sin x 0 Využijeme věty, že součin se rovná nule tehdy, je-li roven nule alespoň jeden z činitelů. Proto řešení rovnice rozdělíme na dvě části: 1. část: Řešíme cos 3x 0 Substituce: y 3x Rovnice cos y 0 má řešení: y 1 90 + k. 360 y 70 + k. 360 Vzhledem k tomu, že ale 70 3. 90, vidíme, že vlastně lze oba výsledky sloučit do jednoho, protože se vlastně jedná o všechny liché násobky čísla 90. Získáme tak řešení: y 1 (k + 1). 90 Pozn.: Liché násobky vyjadřujeme (k + 1), kde k je libovolné celé číslo, a sudé násobky vyjadřujeme k, kde k je libovolné celé číslo. Vrátíme se k substituci a získáme: 3x 1 (k + 1). 90 neboli x 1 (k + 1). 30. část: Řešíme sin x 0 Substituce: y x Rovnice sin y 0 má dvě řešení: y 1 0 + k. 360 y 180 + k. 360 Vzhledem k tomu, že ale 180. 90 a 0 0. 90, vidíme, že se vlastně vždy jedná o sudé násobky čísla 90 a při představení si grafu zjistíme, že se jedná o všechny sudé násobky čísla 90. Získáme tak opět jediné 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 10 z 40
řešení: y k. 90 Vrátíme se k substituci a získáme: x k. 90 neboli x k. 90 Oba konečné výsledky lze opět vyjádřit v obloukové míře: Příklad 5: Řešte rovnici: 4cos x + 4cosx - 3 0 Substituce y cos x Získáme tak kvadratickou rovnici 4y + 4y - 3 0 Zjistíme, že tato kvadratická rovnice má kořeny: y 1-1,5 a y 0,5 Vrátíme se k substituci: cos x 1-1,5 Tato rovnice ale nemá řešení, protože obor hodnot funkce y cos x je <-1; 1> cos x 0,5 x 60 + k. 360 x 3 (360-60 ) + k. 360 300 + k. 360 Řešením tedy je x 1 60 + k. 360, x 300 + k. 360, neboli v obloukové míře: ± Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 1. Řešte rovnici: 1810. Řešte rovnici: cos x cos x 1803 3. Řešte rovnici: 1830 4. Řešte rovnici: sin x + 1,5cos x,5sin x. cos x 1801 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 11 z 40
5. Řešte rovnici: 181 6. Řešte rovnici: 3cos x - sin x - sin x 0 1790 7. Řešte rovnici: 6sin x + 3sin x. cos x - 5cos x 1800 8. Řešte rovnici: cotg 6x -1 1784 9. Řešte rovnici: 1804 10. Řešte rovnici: cos x 1 1781 11. Řešte rovnici: 189 1. Řešte rovnici: 1816 13. Řešte rovnici: 1788 14. Řešte rovnici: 1791 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 40
15. Řešte rovnici: cos x cos x 1796 16. Řešte rovnici: sin x. cos x 0,5 1789 17. Řešte rovnici: 1819 18. Řešte rovnici: sin x - sin x. cos x - cos x 0 1799 19. Řešte rovnici: sin x. cotg x 0 1786 0. Řešte rovnici: 1814 1. Řešte rovnici: 1813. Řešte rovnici: 1807 3. Řešte rovnici: 185 4. Řešte rovnici: 183 5. Řešte rovnici: tg x - 3cotg x 1 179 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 13 z 40
6. Řešte rovnici: 1818 7. Řešte rovnici: 183 8. Řešte rovnici: 1815 9. Řešte rovnici: 1808 30. Řešte rovnici: 1809 31. Řešte rovnici: 7sin x + 4cos x 8 180 3. Řešte rovnici: 1833 33. Řešte rovnici: 1831 34. Řešte rovnici: 1798 35. Řešte rovnici: 181 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 14 z 40
36. Řešte rovnici: 187 Rovnice nemá řešení. 37. Řešte rovnici: tg x 1 178 38. Řešte rovnici: sin x 3cos x 1795 39. Řešte rovnici: sin x + sin x - 1 0 1793 40. Řešte rovnici: 18 41. Řešte rovnici: 1785 4. Řešte rovnici: 180 43. Řešte rovnici: sin x 3sin x 1797 44. Řešte rovnici: 1805 45. Řešte rovnici: 188 46. Řešte rovnici: 184 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 15 z 40
47. Řešte rovnici: 1811 48. Řešte rovnici: 1806 49. Řešte rovnici: 1783 50. Řešte rovnici: 186 51. Řešte rovnici: 1817 5. Řešte rovnici: sin x - cos x + sin x 0 1794 53. Řešte rovnici: sin x. (1 + cos x) 0 1787 ± Sinová věta Sinová věta Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c sina : sinb : sing Lze zapsat i jinak: a sin a b sin b b sin sin b ; c g c a sin sin g ; a nebo a sin a b sin b c sin g Důkaz: 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 16 z 40
Volme jednotkovou kružnici. Platí: BC a a r Použijeme pro trojúhelník ZBC Pythagorovu větu: BC r a - cosa..sin a 4sin a 4sin a r sin a + ( 1- cos a ) ( 1- cos a ). ( sin a + cos a - cos a + sin a ) a sin a + 1- cos a + cos a a, r, sina jsou kladné hodnoty, proto můžeme odmocnit a dostaneme: a sin a r Obdobně bychom dokázali: b c r r sin b ; sin g Odtud tedy platí: a b c sin a sin b sin g Slovní vyjádření věty: Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů. Užití sinové věty: Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich. 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 17 z 40
Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý. Příklad 1: Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno: a 13,07 m b 65 30 1 g 7 0 36 ----------------------------------- Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme: a 180 - (b + g ) 180 - (65 30 1 + 7 0 36 ) 180-137 3 48 4 7 1 a b sin a sin b a.sin b b sin a 13,07.sin 65 30 1 b sin 4 7 1 b 165,9 m a c sin a sin g a.sin g c sin a 13,07.sin 7 0 36 c sin 4 7 1 c 173,45 m V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 4 7 1, strana b je dlouhá 165,9 metru a strana c má délku 173,45 m. ± Sinová věta - procvičovací příklady 1. 1847. 1843 103 m 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 18 z 40
3. 1845 46 m 4. 1846 5. 1834 107,8 m 6. Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno: 1838 319,1 m 7. Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno: 1837 51,6 m 8. Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno: 1839 9. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno: 1841 1 34 48 10. 1844 43,3 m 11. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno: 1840 13 18 36 1. Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno: 1835 11,35 m 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 19 z 40
13. 1848 14. 1849 094 m 15. 184 8 53,3 m 8 19 m 16. Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno: 1836 3,75 m ± Kosinová věta Kosinová věta Věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly a, b, g, a stranami a, b, c platí: a b + c - bc.cosa b a + c - ac.cosb c a + b - ab.cosg Důkaz: 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 0 z 40
a BC BC b c a c æ b ö ç - cosa è c ø b + 1- cosa c + sin a b c b - cosa + cos c a + sin a a b + c - bc.cosa Je-li a > 90, pak cosa - cos(180 - a) a platí tedy: a b + c +bc.cos(180 - a) Kosinová věta platí též, podobně jako sinová věta, pro obecný trojúhelník. Příklad 1: Řešte trojúhelník, je-li dáno: a 7 cm, c 4 cm, b 78 a 7 cm c 4 cm b 78 b? [cm] a? [ ] g? [ ] -------------------------------------- b a + c - ac.cosb b a + c - ac.cos b b Ö(7 + 4 -. 7. 4. cos 78 ) b Ö(49 + 16-56. cos 78 ) b Ö53,3576 b 7,3 cm (po zaokrouhlení) a b sin a sin b a.sin b sin a b 7.sin 78 sin a 0,9379 7,3 a 69 4 a c sin a sin g c.sin a sin g a 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 40
4.sin 69 4 sin g 0,5359 7 g 3 4 Závěr: Zbývající prvky trojúhelníka jsou b 7,3 cm, a 69 4, g 3 4. Poznámka: Úhly a a g můžeme též vypočítat podle Kosinové věty: a b + c - bc. cos a b + c - a cosa bc 7,3 + 4-7 cosa.7,3.4 0,3474 a 69 40 c a + b - ab. cos g cosg cosg a 7 + b - c ab + 7,3-4.7.7,3 0,8443 g 3 4 Výsledky jsou tedy přibližně stejné. Nepatrná odchylka vznikla zaokrouhlením úhlů na minuty. Kdybychom počítali ve vteřinách, byly by výpočty přesnější. ± Kosinová věta - procvičovací příklady 1. 1876 70 3 38 56. 188 59 70 3 50 8 3. 1881 117 17 4. 185 5 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) z 40
5. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 m, b 11 m, c 7 m 115 3 6. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 4 : 5 : 6 41 5 7. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c : 3 : 4 8 57 8. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c : 3 : 4 104 9 1859 1870 1867 1869 9. 1851 5,6 10. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 m, b 11 m, c 7 m 35 05 11. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 m, b 11 m, c 7 m 9 3 1. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 1 : : 3 Trojúhelník neexistuje. 13. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 1 : : 3 Trojúhelník neexistuje 14. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 4 : 5 : 6 8 49 15. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 40 m, b 3 m, c 3 m 9 35 30 1860 1858 1875 1873 187 1864 16. 1880 75 11 17. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 16,9 m, b 6 m, c 7,3 m 36 5 1877 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 40
18. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 4 : 5 : 6 55 46 19. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 40 m, b 3 m, c 3 m 9 35 30 1871 1865 0. 1883 1635 m 1. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 38 16, b 683,1 m, c 534,7 m 49 7. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 40 m, b 3 m, c 3 m 10 49 1861 1866 3. 1884 8 885 m 4. 1857 1 85 N 5. 1856 7 6. 1855,5 7. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 1 : : 3 Trojúhelník neexistuje. 1874 8. 1850 365,3 m 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 4 z 40
9. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a: b : c : 3 : 4 46 34 1868 30. 1854 3,6 31. Určete velikost strany a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 38 16, b 683,1 m, c 534,7 m 315,5 m 3. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 16,9 m, b 6 m, c 7,3 m 75 45 1863 1879 33. 1853 5,3 34. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 16,9 m, b 6 m, c 7,3 m 67 3 35. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 38 16, b 683,1 m, c 534,7 m 103 55 1878 186 ± Analytická geometrie Analytická geometrie Analytická geometrie je odvětví matematiky - vznikla už v 17. století. Za její zakladatele jsou považováni francouzští matematici René Descartes a Pierre Fermat. Podstatou analytické geometrie je převedení geometrické úlohy pomocí souřadnic na úlohu algebraickou, zpravidla na řešení soustavy rovnic. Výsledné řešení se pak interpretuje zpět geometricky. Základní pojmy Narýsujeme-li dvě na sebe kolmé přímky v rovině, dostáváme souřadný systém. Přímky nazýváme souřadné osy a tu, která je vodorovně, nazveme osou x a tu, která je svisle, nazveme osou y. Průsečík obou os označujeme zpravidla O a nazýváme ho počátek souřadného systému. Kladné poloosy označujeme šipkou a na obou osách vyznačíme měřítko - pravidelné dílky - zpravidla po 1 cm. Chceme-li zobrazit bod v souřadném systému, zobrazujeme jeho první souřadnici vždy na ose x a druhou souřadnici vždy na ose y. Bod vždy zapisujeme např. A[; 3]. Vzdálenost dvou bodů v rovině Nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[x A ; y A ] a B[x B ; y B]. Chceme-li určit jejich vzdálenost, 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 5 z 40
postupujeme následovně: Pro vzniklý trojúhelník pak použijeme Pythagorovu větu a dostaneme vzorec: Příklad 1: Vypočtěte vzdálenost bodů K[5; 7] a L[; 11]. KL ( - 5) + ( 11-7) 5 Příklad : Jsou dány body A[1; 3], B[-1; x]. Určete číslo x tak, aby AB Ö5. Má platit: (- ) + ( x - 3) 5 4 + (x - 3) 5 Dostaneme dvě řešení x 1 4, x Střed úsečky v rovině Opět nechť jsou dány dva body v rovině, kde platí A[x A ; y A ] a B[x B ; y B]. Chceme-li určit střed úsečky, kterou tyto body určují, postupujeme následovně: Souřadnice středu S[x S; y S] pak zapíšeme: 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 6 z 40
Příklad 3: Jsou dány body A[; -3], B[-5; 4]. Určete střed úsečky AB. x S y S (- 5) + - (- 3) + 4 Závěr: S[-3/; 1/] 3 1 ± Vektory Vektory Orientovanou úsečkou nazýváme nenulovou úsečku, u níž je označen jeden z jejích krajních bodů za počáteční a druhý za koncový. Leží-li orientované úsečky AB, CD na téže přímce, pak je nazýváme souhlasně orientované, je-li jedna z polopřímek AB, CD částí druhé, případně jestliže obě polopřímky splývají. Rovnoběžně orientované úsečky se jmenují nesouhlasně orientované, jestliže nejsou orientovány souhlasně. Množina všech souhlasně orientovaných úseček AB, CD,... téže velikosti se nazývá vektorem (nenulovým) a označuje se buď tučně tištěným písmem (při psaní je někdy podtrhujeme) nebo znakem Každá z daných orientovaných úseček se nazývá umístěním vektoru u. Vektor u je určen kterýmkoliv svým umístěním AB, proto ho také nazýváme vektorem AB a píšeme u AB. Jsou-li orientované úsečky AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou si rovny a píšeme AB CD. Množina všech nulových úseček se nazývá nulovým vektorem a označuje se o. Při jeho každém umístění splývá bod počáteční s bodem koncovým; je-li A B, pak AB o. Jsou-li orientované úsečky AB, CD rovnoběžné, pak říkáme, že vektory AB, CD jsou rovnoběžné; také říkáme, že vektor AB je rovnoběžný s přímkou AB nebo s přímkou CD. Nulový vektor pokládáme za rovnoběžný s každou přímkou. Jsou-li orientované úsečky AB, CD souhlasně (nesouhlasně) orientovány, pak říkáme, že také vektory AB, CD jsou souhlasně (nesouhlasně) orientovány nebo že jsou souhlasně (nesouhlasně) rovnoběžné. Je-li vektor AB roven vektoru CD, pak úsečky AD, BC mají týž střed. (1) Mají-li úsečky AD, BC týž střed, pak je vektor AB roven vektoru CD. () Mějme nyní dvě umístění AB, CD téhož vektoru u; to znamená, že je AB CD. Podle věty (1) mají pak úsečky AD, BC týž střed. Zvolme nyní soustavu souřadnic, ve které je A[a 1; a ], B[b 1; b ], C[c 1; c ], D[d 1; d ]. Potom platí pro souřadnice společného středu úseček AD, BC jednak vzorec 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 7 z 40
S A + D a jednak vzorec B + C S Je tedy A + D B + C (3) A + D B + C, čili D - C B - A (4) Tato symbolická rovnice zastupuje tyto dvě rovnice: d 1 - c 1 b 1 - a 1 d - c b - a (5) Obráceně - platí-li při stejném označení souřadnic všech bodů obě rovnice (5), tj. platí-li rovnice (4), pak platí též rovnice (3). To však znamená, že střed úsečky AD je týž jako střed úsečky BC. Podle věty () je tedy vektor AB roven vektoru CD, čili úsečky AB, CD jsou umístěním téhož vektoru. Závěr: Jsou-li AB, CD dvě umístění téhož vektoru, pak pro souřadnice bodů A, B, C, D platí rovnice vyjádřené jedinou symbolickou rovnicí D - C B - A. Mějme dvě umístění téhož vektoru u. Souřadnice příslušných bodů nechť jsou A[a 1; a ], B[b 1; b ], C[c 1; c ], D[d 1; d ]. Pak platí u 1 b 1 - a 1 d 1 - c 1 u b - a d - c (vyplývá z předešlého závěru). Čísla u 1, u nejsou závislá na umístění vektorů u. Tato čísla budeme nazývat souřadnice vektoru u. Jsou to souřadnice koncového bodu takového umístění vektoru, jehož počáteční bod leží v počátku souřadného systému. Je-li jedno z umístění daného vektoru u, pak budeme opět používat symbolického zápisu u B - A. Závěr: Je-li orientovaná nebo nulová úsečka AB umístěním vektoru u, pak pro souřadnice bodů A[a 1; a ], B[b 1; b ] a vektoru u (u 1; u ) platí rovnice u 1 b 1 - a 1 u b - a které symbolicky vyjadřujeme jedinou rovnicí u B - A. Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru u AB, je-li A[-3; 4], B[-4; ]. u 1-4 - (-3) -4 + 3-1 u - 4 - u (-1; -) Příklad : Umístěte vektor u (; -7) do bodu A[-4; 1]. Hledáme bod B[x ; y ] takový, aby bylo u AB. x -4 + - y 1 + (-7) -6 Bod B má souřadnice [-; -6]. Velikost vektoru 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 8 z 40
Definice: Velikostí vektoru u (u 1; u ) rozumíme velikost kteréhokoliv jeho umístění. Věta: Velikost vektoru u (u 1; u ) vypočteme podle vzorce u u 1 + u Vektor, jehož velikost je rovna jedné, budeme nazývat jednotkovým vektorem. Příklad 1: Určete velikost vektoru u (3; ). u Ö(3 + ) Ö13 Vektor u má velikost Ö13. Příklad : Určete velikost vektoru u, je-li dáno jeho umístění AB, kde A[-; 3], B[-; -1]. u 1 - + 0 u -1-3 -4 u Ö(0 + (-4) ) Ö16 4 Vektor u má velikost 4. Příklad 3: Vektor a (a 1; a ) je jednotkový. Zjistěte a, je-li a 1 0,5. 0,5 + a 1 a 3/4 (a ) 1 Ö3/ (a ) -Ö3/ Dostali jsme tedy dva jednotkové vektory a 1 (0,5; Ö3/) a a (0,5; -Ö3/). Součin čísla a vektoru Součinem reálného čísla a vektoru bude opět vektor. Má shodný směr a orientaci s původním vektorem za předpokladu, že k je kladné číslo. Je-li číslo k záporné, pak je příslušný vektor opačně orientovaný. Velikost výsledného vektoru je rovna k násobku velikosti vektoru původního. Věta 1: Mějme k libovolné reálné číslo a u libovolný vektor, který má souřadnice (u 1; u ). Vektor k.u má souřadnice (k.u 1; k.u ). Věta : Jsou-li dány nenulové rovnoběžné vektory u, v, pak existuje jediné reálné číslo k ¹ 0 takové, že v k. u. Příklad 1: 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 9 z 40
Je dán vektor a (-; 3). Vypočtěte souřadnice vektoru b k.a pro k 3/. b 1 (3/). (-) -3 b (3/). 3 9/ Vektor b má souřadnice (-3; 9/). Příklad : Vypočtěte souřadnice středu S úsečky OA, kde je O počátek soustavy souřadnic a A[3; -4]. Vektor OS (1/). OA, proto s 1 (1/). 3 3/ s (1/). (-4) - Střed úsečky OA má souřadnice [3/; -]. Sčítání vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u ) a vektor v souřadnice (v 1; v ), pak vektor u + v má souřadnice (u 1 + v 1; u + v ). Věta : Pro sčítání vektorů platí zákon komutativní. Věta 3: Pro sčítání vektorů platí zákon asociativní i zákon distributivní. Věta 4: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u ) a vektor v souřadnice (v 1;v ), pak vektor u - v má souřadnice (u 1 - v 1; u - v ). Příklad 1: Zjistěte souřadnice vektoru c a + b, jestliže a (-; 1), b (-; -). c 1 - + (-) - - -4 c 1 + (-) 1 - -1 Vektor c má souřadnice (-4; -1). Příklad : Zjistěte souřadnice vektoru d a + b + c, je-li a (1; ), b (0; 1), c (; 1). d 1 1 + 0 + 3 d + 1 + 1 4 Vektor d má souřadnice (3; 4). Příklad 3: Je dán vektor a (-4; 3). Napište souřadnice vektoru -a. 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 30 z 40
Vektor -a má souřadnice (4; -3). Příklad 4: Vypočtěte souřadnice vektoru z u - v, jestliže u (-3; 5), v (-; -4). z 1-3 - (-) -1 z 5 - (-4) 9 Vektor z má souřadnice (-1; 9). Pozn.: Pokud uvažujeme vektory v prostoru, jsou všechny výpočty naprosto analogické, vektory mají ale 3 souřadnice. Lineární kombinace vektorů Věta 1: Má-li vektor u souřadnice (u 1; u ) a vektor v souřadnice (v 1; v ), a jsou-li k, l reálná čísla, pak výraz k.u + l.v nazýváme lineární kombinací vektorů u, v. Umístíme-li vektory u, v do roviny např. r, pak výsledný vektor w k.u + l.v leží také v rovině r. Lineární závislost a nezávislost vektorů Věta 1: Dva vektory u, v nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich napsat jako násobek druhého vektoru, např. u k.v, kde k je libovolné reálné číslo. Tento případ nastane, právě když je lze umístit na jednu přímku. Věta : Jsou-li dva vektory rovnoběžné, jsou též lineárně závislé. Věta 3: Jsou-li dva vektory lineárně závislé, pak jsou buď rovnoběžné, nebo aspoň jeden z nich je nulový. Věta 4: Dva vektory nazýváme lineárně nezávislé, nelze-li žádný z nich vyjádřit jako násobek druhého vektoru, tj. nelze-li je umístit na jednu přímku. Věta 5: Tři vektory u, v, w nazýváme lineárně závislé, lze-li jeden z nich vyjádřit jako lineární kombinaci ostatních dvou; např. ve tvaru w k.u + l.v, kde k, l jsou reálná čísla. Pozn.: Tento případ nastane právě tehdy, když lze vektory u, v, w umístit do jedné roviny. Věta 6: Nejsou-li vektory u, v, w lineárně závislé, nazýváme je lineárně nezávislé. Takové vektory nelze umístit do jedné roviny. Příklad 1: Zjistěte, zda jsou vektory u (; -1), v (-1; 6) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 31 z 40
Kdyby byly vektory u, v lineárně závislé, pak by existovalo reálné číslo k takové, že by platilo u k.v. -1k -1 6k k 1 - k - Vzhledem k tomu, že k 1 k, pak platí, že u k.v. Proto vektory u, v jsou lineárně závislé (jsou rovnoběžné). Příklad : Zjistěte, zda jsou vektory u (1; 1; 14), v (1; 3; 0), w (; 1; ) lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Kdyby byly vektory u, v, w lineárně závislé, pak by bylo možno jeden z nich napsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů - např. u k.v + l.w, kde k, l jsou reálná čísla. 1 k + l 1 3k + l 14 l ------------------- Ze třetí rovnice je l 7; po dosazení do první i druhé rovnice vyjde k -. Platí u -v + 7w. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně závislé. Příklad 3: Určete a tak, aby vektory a (; a ; 5), b (1; ; 1), c (5; ; ) byly lineárně závislé. Pokusme se najít reálná čísla k, l taková, aby platilo a k.b + l.c k + 5l a k + l 5 k + l ------------------ Odečteme-li první rovnici od třetí, dostaneme l -1. Dosadíme-li l -1 do první rovnice, dostaneme k 7. Dosadíme-li l -1, k 7 do druhé rovnice, dostaneme a 1. Aby vektory a, b, c byly lineárně závislé, musí být a 1; potom je a 7b - c. Příklad 4: Zjistěte, zda vektory u (1; 3; 5), v (1; 3; -), w (-3; -9; 6) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u k.v + l.w. 1 k - 3l 3 3k - 9l 5 -k + 6l ----------------- Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. O lineární závislosti či nezávislosti vektorů u, v, w však zatím nemůžeme udělat žádný závěr. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v m.u + n.w. 1 m - 3n 3 3m - 9n - 5m + 6n ----------------- Řešením této soustavy zjistíme, že taková čísla m, n existují; m 0, n -1/3. Platí tedy v 0.u - (1/3).w, tj. v (-1/3).w. Vektory u, v, w jsou lineárně závislé. 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 40
Příklad 5: Zjistěte, zda vektory u (0; 0; 1), v (; 1; 1), w (1; 1; 1) jsou lineárně závislé, či lineárně nezávislé. Pokusme se zjistit, zda existují reálná čísla k, l taková, že platí u k.v + l.w. 0 k + l 0 k + l 1 k + l ----------------- Řešením zjistíme, že taková čísla k, l neexistují. Pokusme se zjistit, zda lze najít taková reálná čísla m, n, aby platilo v m.u + n.w. n 1 n 1 m + n ----------------- Řešením této soustavy zjistíme, že taková m, n neexistují. Ani nyní ještě nemůžeme udělat závěr o lineární závislosti či nezávislostivektorů. Zbývá zjistit, zda existují taková reálná čísla p, q, aby platilo w p.v + q.u. 1 q 1 q 1 p + q ------------------ Řešením dané soustavy zjistíme, že taková čísla p, q neexistují. Protože ani jeden z vektorů u, v, w nelze zapsat jako lineární kombinaci ostatních dvou vektorů, nejsou vektory u, v, w lineárně závislé. Vektory u, v, w jsou tedy lineárně nezávislé. Úhel dvou vektorů Každé dva vektory můžeme vždy umístit tak, aby měly společný počáteční bod. Při umístění vektorů u, v do bodu A označme jejich koncové body B a C. Může pak nastat několik různých situací: 1. Vektory jsou rovnoběžné souhlasně rovnoběžné nesouhlasně rovnoběžné. Vektory svírají nějaký dutý úhel (polopřímky AB, AC svírají tento úhel) Úhel vektorů je v případě souhlasně rovnoběžných vektorů roven nule, v případě nesouhlasně rovnoběžných vektorů roven 180. Odvození vzorce pro určení úhlu dvou vektorů: Nechť vektory u (u 1; u ), v (v 1; v ) spolu svírají dutý úhel. Nechť dále platí, že u AB, v CD. K výpočtu úhlu vektorů potřebujeme znát ještě velikost vektoru BC. K jeho určení provedeme následující konstrukci. Do bodu B umístíme vektor -v; jeho koncový bod označíme D. AD je umístění vektoru u - v. Protože obrazec ADBC je rovnoběžník, je zřejmé, že i CB je umístění vektoru u - v. 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 33 z 40
Trojúhelník ABC má tedy tyto délky stran: AB u, AC v, BC u - v Podle kosinové věty pak platí: u - v u + v -. u. v. cos j Po dosazení dostaneme: (u 1 - v 1) + (u - v ) u 1 + u + v 1 + v -. u. v. cos j Po odstranění závorek a sloučení dostaneme -u 1v 1 - u v -. u. v. cos j Protože oba vektory u, v jsou nenulové, můžeme psát: u 1v1 + uv cos f u. v Pomocí tohoto vzorce můžeme tedy vypočítat úhel dvou vektorů. Pozn.: Pokud by byly vektory zadány třemi souřadnicemi, pak by v čitateli zlomku bylo u 1v 1 + u v + u 3v 3 Příklad 1: Vypočtěte úhel vektorů u (-1; ) a v (1; 3) u 1+ 4 5 v 1+ 9 10 (- ) 1.1+.3 cos f 5. 10 f 45 Oba vektory spolu svírají úhel 45. Příklad : Vypočtěte úhel vektorů a (-; 1; ), b (-; -; 1) a b (- ) + 1 + 3 (- ) + (- ) + 1 3 (- )(. - ) + 1. (- ) +.1 4 cos f 0,4444 3.3 9 f 63 40 Úhel obou vektorů je 63 40. Skalární součin dvou vektorů Skalární součin dvou vektorů je reálné číslo, nikoliv tedy vektor! Platí: u. v. cos f u 1v 1 + u v Neboli u. v u. v. cos f 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 34 z 40
Závěr: u. v u 1v 1 + u v Pozn.: V prostoru by platilo: u. v u 1v 1 + u v + u 3v 3 Příklad 1: Vypočtěte skalární součin a. b, je-li a, b 1 a svírají-li vektory a, b úhel o velikosti 10. a. b. 1. cos 10. (-0,5). -1 Skalární součin obou vektorů je tedy roven -1. Příklad : Vypočtěte skalární součin vektorů a (; -3), b (3; ) a úhel vektorů a, b. a. b. 3 + (-3). 6-6 0 Skalární součin obou vektorů je tedy roven nule. Podle vzorce cos f a. b a. b Protože ale a. b je rovno nule, pak musí být rovno nule i cos f. Odtud pak dostaneme, že f 90. Oba vektory jsou tedy na sebe kolmé. Příklad 3: Je dán vektor a. Vypočtěte skalární součin a. a. a. a a. a. cos 0 a. a a Kolmost vektorů Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b a. b a. b. cos f je roven nule, jestliže vektory svírají pravý úhel, tj. je-li f 90. Věta platí i obráceně - tedy je-li skalární součin dvou nenulových vektorů roven nule, jsou vektory k sobě kolmé. Příklad 1: Ověřte, že vektory a (3; ; 1), b (; -3; 0) jsou navzájem kolmé. Platí, že vektory jsou na sebe kolmé, jestliže platí: 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 35 z 40
u 1v 1 + u v + u 3v 3 0 Pokud do rovnice dosadíme, dostaneme 3. +. (-3) + 1. 0 0 Skalární součin dvou nenulových vektorů a, b je roven nule, vektory a, b jsou tedy kolmé. Příklad : Určete souřadnici n vektoru n tak, aby vektory n (3; n ; ) a v (1; -; 4) byly navzájem kolmé. Podle podmínky pro kolmost vektorů v závislosti na jejich skalárním součinu musí platit: 3. 1 + n. (-) +. 4 0 Odtud dostaneme: n 5,5 Vektory n, v jsou k sobě kolmé pro n 5,5. ± Vektory - procvičovací příklady 1. 304 -. 88 1. řešení:. řešení: 3. 85 4. 89 5. 87 1. řešení:. řešení:,, 6. 300,, 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 36 z 40
7. 96 8. 301 9. 94 10. 97 11. 30 1. 99 13. 9 14. 303,5 15. 98 16. 95 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 37 z 40
17. 93 18. 91 19. 86 0. Ano 90 ± Parametrické vyjádření přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou rovnoběžné. Pro vektory u a X - A tedy platí: X - A t. u neboli X A + t. u Pokud zavedeme souřadnice: bod X[x; y], bod A[x 1; y 1] a vektor u (u 1; u ), lze tuto rovnici rozepsat: x x 1 + t. u 1 y y 1 + t. u (1) Poslední dvě uvedené rovnice nazýváme parametrickým vyjádřením přímky v rovině. Příklad 1: Napište parametrické vyjádření přímky p dané bodem A[1; 1] a vektorem v (-; 3), který je s ní rovnoběžný. Podle vztahů (1) lze rovnou psát: x 1 - t y 1 + 3t Příklad : Napište parametrické vyjádření přímky procházející body A[5; ] a B[9; 4]. 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 38 z 40
Vypočteme souřadnice směrového vektoru: u 1 9-5 4 u 4 - Nyní opět použijeme vztahy (1) a získáme výsledek: x 5 + 4t y + t Příklad 3: Přímka p je dána parametrickým vyjádřením x 7 + 3t, y - 4t. Určete body této přímky pro t 0, 1,, -, (1/) Dosazením do vztahů (1) dostaneme: pro t 0: x 7, y... bod má tedy souřadnice [7; ] pro t 1: x 10, y -... bod má tedy souřadnice [10; -] pro t -: x 1, y 10... bod má tedy souřadnice [1; 10] pro t 1/: x 8,5, y 0... bod má tedy souřadnice [8,5; 0] Příklad 4: Napište parametrické vyjádření přímky p, která prochází bodem A[; 5] a je rovnoběžná s přímkou BC, kde B[3;7], C[-4;9]. Vektor u BC rovnoběžný s přímkou p má souřadnice: u 1-4 - 3-7 u 9-7 Přímka p je určena bodem A a vektorem u; podle vztahu (1) můžeme psát parametrické vyjádření přímky p takto: x - 7t y 5 + t Příklad 5: Rozhodněte, zda body M[5; 3], N[-31/; 0] leží na přímce p dané bodem A[-5; 7] a vektorem u (3; ). Parametrické rovnice přímky p jsou: x -5 + 3t y 7 + t () Bod M[5; 3] bude ležet na přímce p právě tehdy, bude-li existovat reálné číslo t takové, že bude platit: 5-5 + 3t 3 7 + t Z první rovnice je t 10/3, z druhé t -. Tedy neexistuje takové číslo t, které by splňovalo obě rovnice. Bod M na přímce p neleží. Dosadíme-li do rovnic () souřadnice bodu N, dostaneme: -31/ -5 + 3t 0 7 + t Z obou rovnic dostáváme t -3,5. Existuje tedy číslo t -3,5, které vyhovuje oběma rovnicím. Bod N na přímce p leží. 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 39 z 40
± Parametrická rovnice přímky - procvičovací příklady 1. 307. 310 3. 308 4. 309 5. 306 6. 305 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 40 z 40
Obsah Vztahy mezi goniometrickými funkcemi 1 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi - procvičovací příklady 5 Goniometrické rovnice 9 Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 11 Sinová věta 16 Sinová věta - procvičovací příklady 18 Kosinová věta 0 Kosinová věta - procvičovací příklady Analytická geometrie 5 Vektory 7 Vektory - procvičovací příklady 36 Parametrické vyjádření přímky v rovině 38 Parametrická rovnice přímky - procvičovací příklady 40 7.6.008 17:08:3 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)