Odvození modelů pro ohyb mezikruhové desky v cylidrických souřadnicích I.Svobodová Obsah Úvod - obecné formulace 3D úloh elasticity v křivkových souřadnicích.0. Kovariantní a kontravariantní tenzor........................0. Kovariantní a kontravariatní bázové vektory vzhledem ke křivočarým souřadnicím.........................................0.3 Derivace kovariantních a kontravariantních bázových vektorů..........0.4 Vektorové pole................................... 3.0.5 Elementy povrchových a objemových integrálů................. 3.0.6 Deformace...................................... 4.0.7 Napětí a rovnice rovnováhy............................ 5. Rovnice rovnováhy v obecných OG křivkových souřadnicích - malé deformace.... 5. Formulace úloh 3D elasticity............................... 7.. Diferenciální operátory v cylindrických souřadnicích.............. 7.. Rovnice rovnováhy................................. 7 Formulace úloh D izotropní lineární elasticity 8. Diferenciální operátory v cylindrických souřadnicích.................. 8. Rovnice rovnováhy..................................... 8.3 Klasická formulace okrajové úlohy.............................4 Zobecněná formulace okrajové úlohy........................... 3 Formulace úloh D izotropní nelineární elasticity 3 3. Klasická formulace okrajové úlohy............................ 6 3. Zobecněná formulace okrajové úlohy........................... 7 4 Formulace úloh D izotropní lineární elasticity 9 4. Diferenciální operátory v cylindrických souřadnicích.................. 9 4. Rovnice rovnováhy..................................... 9 4.3 Klasická formulace okrajové úlohy............................ 0 4.4 Zobecněná formulace okrajové úlohy........................... 5 Formulace úloh D izotropní nelineární elasticity 5. Klasická formulace okrajové úlohy............................ 4 5. Zobecněná formulace okrajové úlohy........................... 5 6 Formulace úloh D ortotropní lineární elasticity 6 6. Klasická formulace okrajové úlohy............................ 9 6. Zobecněná formulace.................................... 9 7 Formulace úloh D ortotropní lineární elasticity 30 7. Klasická formulace okrajové úlohy............................ 3 7. Zobecněná formulace okrajové úlohy........................... 3 A Jak je to se symetrií bilineární formy ze slabé formulace? 33 V celé práci je využito Einsteinova sumačního pravidla pro opakující se indexy.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 Úvod - obecné formulace 3D úloh elasticity v křivkových souřadnicích Některé úlohy elasticity je vzhledem ke specifické geometrii vhodnější formulovat v cylidrických souřadnicích. Z tohoto důvodu je přirozeně nutné všechny objekty vystupující v rovnicích rovnováhy (tenzory prvního a druhého řádu, operátory, div,, rot) přeformulovat na základě odpovídající regulární transformace r = (x x ), ϕ = arctg x x, () z = x 3 kartézského souřadného systému, ve kterém jsou body x určeny souřadnicemi (x i ) 3 i=..0. Kovariantní a kontravariantní tenzor Nejdříve zaveďme výchozí označení. Nechť Q je těleso, tedy omezená podmnožina R 3, p je prvkem Q a nechť N N. Označme symbolem B p množinu všech lokálních bází { e, e, e 3 } v bodě p a symbolem M N množinu všech N-dimenzionálních matic typu 3 N. Nechť dále (ξ λ ) λ a (x κ ) κ jsou souřadnice dvou obecně křivočarých souřadných systémů. Poznamenejme, že všechny indexy v tomto oddíle použité probíhají množinou {,, 3} a, pokud není uvedeno jinak, je běžně používáno Einsteinovo sumační pravidlo. Přechod mezi souřadnými systémy (x κ ) κ a (ξ λ ) λ popišme vzájemně jednoznačným zobrazením ξ λ = ξ λ (x, x, x 3 ), () které je regulární, tedy spojitě diferencivatelné a s netriviálním Jakobiánem. Definice.. Zobrazení T : B p M N se nazývá kovariantním tenzorem řádu N v bodě p, jestliže se jeho (kovariantní) složky Tκ...κ N zmení po transformaci () na nové složky T λ...λ N podle následujícího pravidla přepočtu T λ...λ N = x κ ξ λ (p) x κ N ξ λn (p) T κ...κ N. Definice.. Zobrazení T : B p M N nazýváme kontravariantním tenzorem řádu N v bodě p, jestliže se jeho (kontravariantní) složky T κ...κ N zmení po transformaci () na nové složky T λ...λ N podle pravidla přepočtu T λ...λ N = ξ λ (p) ξ λ N (p) x κ x T κ...κ N. κn Viz Rektorys, Přehled užité matematiky I. (str.38, definice 8.-.), nebo viz Nečas & Hlaváček, Mathematical Theory of Elastic and Elastico-Plastic Bodies: An introduction (str.6, definice..- -..; str.0, defince 7.6..-6..)..0. Kovariantní a kontravariatní bázové vektory vzhledem ke křivočarým souřadnicím V křivočarém souřadném systému můžeme v jednotlivých bodech sestrojit až čtyři sady bázových vektorů. Nazývají se kovariantní, kontravariantní, fyzikální kovariantní a fyzikální kontravariantní báze. Nyní postuně každou z nich zavedeme. Tělesa mohou být samozřejmě i neomezená. Pro naše účely ale zcela postačí předpokládat, že tělesa jsou množiny omezené. Důvod označení složek tenzoru T symbolem s vlnkou T κ...κ N bude jasný po přečtení odstavce.0.4 na straně 3.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 Nejprve zvolenému bodu p tělesa Q, jehož souřadnice jsou vyjádřeny vzhledem ke křivočarému systému (ξ λ ) λ, přiřadíme polohový vektor označený r (0). (Index (0) značí, že pracujeme s tělesem před započetím působení jakýchkoli vnějších sil.) Pomocí rovnosti e λ := r (0) ξ λ jsou definovány složky kovariantního bázového vektoru e λ. Složky kovariantního metrického tenzoru g = (g λµ ) λµ definujeme pomocí skalárního součinu v R 3 g λµ := e λ e µ = g µλ. Označíme-li δ λ µ jako Kroneckerovo delta, pak ke kontravariantnímu metrickému tenzoru g = (g λκ ) λκ charakterizovanému vztahem g λκ g κµ = δ λ µ zavádíme i kontravariantní bázové vektory e λ := g λκ e κ. Z definic bázových vektorů e λ, e λ a příslušných metrických tenzorů g, g plynou například následující rovnosti e λ = g λµ e µ, e λ e µ = δ λ µ, g λµ = e λ e µ = g µλ, které charakterizují vlastnosti a vztahy mezi e λ, e λ, g a g. Navíc se využívají při odvozování dalších vztahů. Poznámka.. Už podle názvu popisují metrické tenzory míru zakřivení zvoleného souřadného systému. Například tak zvaný ortogonální souřadný systém má metrický tenzor diagonální. Tedy zakřivení systému souřadnic se odehrává pouze na jednotlivých souřadných osách. Příkladem jsou cylindrické souřadnice () s kovariantním a kontravariantním metrickým tenzorem, které jsou charaktirizovámy 0 0 0 0 g = 0 r 0 a g = 0 0. r 0 0 0 0 Kovariantní báze je [ e ] T = (cos ϕ, sin ϕ, 0), [ e ] T = ( r sin ϕ, r cos ϕ, 0), [ e 3 ] T = (0, 0, ), kotravariantní bázi tvoří vektory [ e ] T = (cos ϕ, sin ϕ, 0), [ e ] T = ( r sin ϕ, r cos ϕ, 0), [ e 3 ] T = (0, 0, ). Pro kartézské souřadnice platí, že [ e ] T = (, 0, 0), [ e ] T = (0,, 0), [ e 3 ] T = (0, 0, ). Metrické tenzory jsou v tomto případě jednotkové, a proto e λ = e λ. Jde o tak zvaný ortonormální souřadný systém. Na začátku tohoto oddílu jsme se ještě zmínili o tak zvané fyzikální kovariantní bázi a fyzikální kontravariantní bázi. Důvodem jejich zavedení je fakt, že v křivočarých souřadnicích nepracujeme nutně s jednotkovou bází. Složky tenzorů zde tedy nejsou složkami v pravém slova smyslu. Z tohoto důvodu se zavádí fyzikální varianty bází, které se skládají z normovaných kovariantních případně kontravariantních bázových vektorů..0.3 Derivace kovariantních a kontravariantních bázových vektorů Derivace bázových vektorů je opět vektorem. Proto bude opět lineární kombinací bázových vektorů. Z tohoto důvodu se zavádí tak zvané Christoffelovy 3-indexové symboly druhého druhu Γ λ µν tak, že platí, že e µ,ν := Γ λ µν e λ. Derivací g λν a následnou vhodnou záměnou indexů lze dokázat rovnosti Γ λ µν = gλκ (g κµ,ν g κν,µ g µν,κ ) a dále Γ λ µν = Γ λ νµ, tedy v jistém smyslu symetričnost Christoffelových symbolů Γ λ µν.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 3 Na základě definice bázových vetorů e λ a na základě derivace e µ,ν lze odvodit, že derivace kontravariantního vektoru e µ je e,ν µ = Γ µ λν e λ. Poznámka.. Christoffelových symbolů je celkem 7. Vzhledem k symetričnosti jde o 8 různých hodnot. V případě ortogonálního souřadného systému obecně pracujeme s patnácti různými netriviálními hodnotami. Nicméně v případě cylindrických souřadnic () jsou jen dvě různé nenulové veličiny r = Γ a r = Γ = Γ. Kartézský souřadný systém má všechny Christoffelovy symboly nulové..0.4 Vektorové pole Vektorové pole U : Q R 3, U = U(ξ, ξ, ξ 3 ), má kontravariantní složky Ũ λ definovány jako koeficienty v rovnosti U = Ũ λ e λ. Podle pravidla derivování součtu a součinu je derivace U vzhledem ke ξ ν ve tvaru U,ν = (Ũ,ν λ Γ λ κνũ κ ) e λ. Označme ν Ũ λ := (Ũ λ,ν Γ λ κνũ κ ). Potom ν Ũ λ budeme nazývat kovariantní derivace kontravariantní složky Ũ λ vektorového pole U. Analogicky lze zavést kovariantní složky Ũλ, které splňují rovnost U = Ũλ e λ, tedy Ũλ = g λκ Ũ κ. Nakonec uveďme, že derivaci U podle ξ ν je možné vyjádřit jako U,ν = (Ũλ,ν Γ κ λνũκ) e λ. Kovariantní derivací kovariantní složky vektorového pole U je tedy ν Ũ λ := (Ũλ,ν Γ κ λνũκ). Poznámka.3. Pomocí výsledků z poznámky. lze odvodit, že v případě cylindrických souřadnic () je kovariantní derivace vektorového pole U ve tvaru U,ν = ( Ũ,ν δ ν r Ũ ) e ( Ũ,ν r (δ νũ δ νũ ) ) e Ũ 3,ν e 3 pro kontravariantní složky Ũ λ a U,ν = ( Ũ,ν δν ) r Ũ e ( Ũ,ν δν r Ũ δν Ũ) r e Ũ3,ν e 3 pro kovariantní složky Ũλ. Symbolem δ λ ν značíme Kroneckerovo delta. Poznámka.4. V části.0. jsme navíc zavedli fyzikální verze obou bází. Složky normovaných vektorů jsou jednoduše dopočítatelné. Označme je ι λ := (g λλ ) e λ. Navíc pro ortogonální souřadný systém platí, že kovariantní fyzikální složky jsou rovny kontravariantním fyzikálním složkám (VIZ BRDICKA: MECHANIKA KONTINUA, 34-35). Budeme je značit bez vlnky, tedy U T = (U i ) 3 i=. Kovariantní derivace vektorového pole U ve fyzikálních složkách je tedy ve tvaru U,ν = (U,ν δ νu ) ι ( U,ν δ ν r U δ ν(u r U ) ) ι U 3,ν ι 3..0.5 Elementy povrchových a objemových integrálů Nechť p, p Q jsou sousední body, p = (ξ, ξ, ξ 3 ) a p = (ξ dξ, ξ dξ, ξ 3 dξ 3 ). Vzdálenost mezi p a p je dána rovností (dγ (0) ) = ( r (0) d r (0) r (0) ) = ( e λ dξ λ ) ( e µ dξ µ ) = g λµ dξ λ dξ µ.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 4 Uvažujeme nyní nekonečně malý rovnoběžnostěn a konstantu c R. Povrch rovnoběžnostěnu tvoří šest ploch daných rovnicemi ξ λ = c a ξ λ dξ λ = c. Označme g := e ( e e 3 ). Například výpočtem lze ověřit, že takto definované g je rovno determinantu matice (g λµ ) 3 λ,µ=. Objem nekonečně malého rovnoběžnostěnu je roven dv = g dξ dξ dξ 3. Poznámka.5. Pro cylindrické souřadnice () je objemový element ve tvaru dv a kvadrát povrchového elementu ( ds (0)) (vzhledem k objemu před započetím působení vnějších sil) ve tvaru dv = r drdϕdz a ( ds (0) ) = dr r dϕ dz..0.6 Deformace Nejdříve připomeňme, že deformací rozumíme bijektivní hladké zobrazení s kladným Jakobiánem, které zobrazuje referenční (nedeformované) těleso na deformované těleso, tedy opět na uzavřenou oblast z R 3. V části.0. jsme psali čtyřech druzích bázových vektorů kovariantních, kontravariantních a jejich fyzikálních variantách. Ty jsou definovány vzhledem k polohovému vektoru r (0), který popisuje polohu bodu v referenčním tělese Q. Podobně se zavádí bázové vektory a příslušné metrické tenzory pro polohový vektor r, který popisuje polohu bodu v tělese po deformaci. Označme tedy φ λ := r ξ λ, G λ,µ := φ λ φ µ, G λ,κ G κ,µ = δ λ µ a φ λ := G λ,κ φκ. Dále platí, že (ds) = G λµ dξ λ dξ µ. Veličiny, které popisují míru přetvoření tělesa Q po skončení deformace, jsou na základě tvaru (ds (0) ) a (ds) definovány vztahem d λµ := (G λµ g λµ ). Ze symetrie metrických tenzorů {G λµ } λµ a {g λµ } λµ plyne stejná vlastnost i pro tenzor { d λµ } λµ. Jestliže po skončení deformace popíšeme výsledné posunutí bodů z tělesa Q vektorovým polem U : Q R 3, potom r = r (0) U, kovariantní bázový vektor je a navíc složky tenzoru deformace jsou tvaru φ λ = r,λ = (δ κ λ λũ κ ) e κ d λµ = ( µũ α g αλ λ Ũ κ g κµ λ Ũ κ µ Ũ α g κα ). Přeformulujeme-li vyjádření dλµ užitím vztahu mezi kovariantními a kontravariantními složkami vektorového pole Ũλ = g λκ Ũ κ s pomocí rovností ν g λµ = 0 a ν g λµ = 0, které lze ověřit výpočtem, a využijeme-li pravidla derivace součinu, kteté platí i pro kovariantní derivace tenzorů, potom vyjádření složek d λµ tenzoru deformací neboli kovariantního tenzoru velkých deformací v obecném souřadném systému získáme ve tvaru d λµ = ( µũλ λ Ũ µ λ Ũ α µ Ũ α ). (3) Nyní zmíníme nutné a postačující podmínky, které zajišťují, aby složky d λµ bylo možné jednoznačně odvodit z polohového vektoru r. Jinými slovy se budeme krátce věnovat podmínkám kompatibility deformací v křivkových souřadnicích. Definujeme-li ) Γ α µν := Gακ( G κµ,ν G κν,µ G µν,κ a ) R λµνω := (G λω,µν G µν,λω G µω,λν G λν,µω G αβ ( Γ α Γ ) β µν λω Γ α µω Γ α λν,
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 5 potom rovnice kompatibility jsou ve tvatu R λµνω = 0 pro λ, µ, ν, ω {,, 3}. Poslední zmínku v této části věnujeme třídě malých deformací. Její prvky lze charakterizovat vektorovým polem posunutí U, které je malé v následujícím smyslu: pro nějaké malé číslo θ R je U = θ. Tomuto malému posunutí odpovídá kovariantní tenzor malých deformací ε, pro jehož kovariantní složky platí, že ε λµ := ( µũλ λ Ũ µ ). (4) Mezi veličinami d λµ a ε λµ platí vztah d λµ = ε λµ o(θ). Tenzor deformace je kovariantním tenzorem. Důkaz kovariantnosti i další podrobnosti lze například nalézt v WASHIZU, BRDICKA, NECAS-HLAVACEK..0.7 Napětí a rovnice rovnováhy ZMĚNIT INDEXY MALÉ ŘECKÉ PRO FYZIKÁLNÍ SLOŽKY A I,J,K PRO OSTATNÍ 9TAK JAK JE TO V TÉTO KAPITOLCE Označme F vektorové pole popisující vnější objemové síly, které působí na těleso, a T i jako projekce do souřadných os vektoru T n povrchových sil, který působí ve směru vnější normály n. Označme, že T i = ( τ ij ) j. Jestliže do rovnice rovnováhy Q F dq Q T n dγ = 0 dosadíme kontravariantní složky vektorů povrchového napětí a objemových sil, získáme rovnice rovnováhy 3 τ ij,j F i = 0 i. (5) Po přepisu rovnic (5) podle pravidel kovariatní derivace kontravariantního tenzoru druhého řádu (JE POTŘEBA DEFINICE?) získáme rovnice τ ij,j Γi kj τ kj Γ j kj τ ik F i = 0 i. (6) V (6) ale figurují složky, které nejsou fyzikální. Proto jejich vyjádření převedeme. K tomuto účelu použijeme následující transformační vztahy F i = g ii Fi, tedy F = F, F = r F a F 3 = F 3. Podobně z kontravariantních složek dostaneme i jednotlivé fyzikální složky tenzoru napětí τ ij = g ii g ij τ ij = gii g jj τ ij, tedy τ = τ, τ = r τ, τ 3 = τ 3, τ = r τ, τ 3 = r τ 3, τ 33 = τ 33. Tedy dojdeme ke vztahu pro stav rovnováhy po deformaci DODĚLAT... atd. viz WASHIZU, BRDIČKA, NEČAS. Rovnice rovnováhy v obecných OG křivkových souřadnicích - malé deformace Pro ortogonální křivkové souřadnice platí, že metrické tenzory g λµ a g λµ jsou diagonální. (Například kartézský souřadný systém je ortonormální, protože metrické tenzory jsou jednotkové.) 3 Odvození tvaru rovnic rovnováhy v kartézských souřadnicích je možné nalézt například v NEČAS-HLAVÁČEK, BRDIČKA, GURTIN.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 6 Při odvození rovnic rovnováhy pro těleso Q vyjdeme z principu virtuálních prací τ λµ δ d λµ g g g 33 dq = f λ δr g g g 33 dq g λ δr g g g 33 dγ, Q Q Q kde τ λµ jsou složky tenzorového pole napětí a d λµ složky tenzorového pole malých deformací uvedené ve (4), f λ složky vektorového pole objemových sil a g λ složky vektorového pole sil povrchových vyjádřené vzhledem ke křivkovým souřadnicím (ξ λ ) λ. Jakobián transformace je funkce g g g 33. Označíme-li τ ij, resp. ε ij složky tenzorových polí napětí, resp. malé deformace vyjádřených vzhledem ke kartézským souřadnicím (x i ) i, potom platí následující transformační rovnosti τ ij = gii g jj τ ij, ε ij = g ii g dij jj. Analogické charakteristické vztahy platí pro vektorová pole u, f a g, tedy u i = g ii ũ i, f i = g ii f i a g i = g ii g i. Diagonální a mimodiagonální složky tenzoru malých deformací (4) pro ortogonální křivkové souřadnice, které vyjádříme vzhledem ke kartézské souřadné soustavě (v Nečas & Hlaváček tzv. fyzikální složky), jsou tvaru ε ii = [ (g ii ) u i ],i k (g ii gii ) g ii,k u k, ε ij = ( g ii (g jj ) [ u i g ii ],j g jj (g ii ) [ u j g jj ],i ). Protože tenzor deformace je kovariantní a tenzor napětí kontravariantní, je Hookeův zákon invariantní vzhledem ke změně souřadného systému. Uvnitř tělesa Q platí následující rovnice rovnováhy [τ g g 33 ], τ g 33 [ g ], τ 33 g [ g 33 ], (g ) ( [τ g g33 ], [τ 3 g g ],3 ) = ˆf g g g 33, (7) [τ g g 33 ], τ g 33 [ g ], τ 33 g [ g 33 ], (g ) ( [τ g g33 ], [τ 3 g g ],3 ) = ˆf g g g 33, (8) [τ 33 g g ],3 τ g [ g ],3 τ g [ g ],3 (g 33 ) ( [τ 3 g 33 g ], [τ 3 g 33 g ], ) = ˆf 3 g g g 33 a na hranici Q platí rovnosti τ (g ) n τ (g ) n n τ 3 (g 33 ) n n 3 = ĝ g g g 33, τ (g ) n n τ (g ) n τ 3 (g 33 ) n n 3 = ĝ g g g 33, (9) τ 3 (g ) n 3 n τ 3 (g ) n 3 n τ 33 (g 33 ) n 3 = ĝ 3 g g g 33 pro vnější jednotkovou normálu n = (n i ) i.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 7. Formulace úloh 3D elasticity.. Diferenciální operátory v cylindrických souřadnicích Pro vektorové pole posunutí U = (U r, U ϕ, U z ), U α = U α, je.. Rovnice rovnováhy c U α div c U = r [r U r],r r U ϕ,ϕ U z,z, c U α = U α,rr }{{} U i,xx = (U α,r }{{} U i,x, r U α,ϕ, U α,z ), }{{}}{{} U U i,z i,y r U α,ϕϕ r U α,r } {{ } U i,yy U α,zz, }{{} U i,zz rot c U = ( r U z,ϕ U ϕ,z, U r,z U z,r, r [r U ϕ],r r U r,ϕ). Transformace uvedená vztahy () je příkladem OG transformace souřadného systému. Metrické tenzory jsou, jak jsme již dříve zmínili, diagonální a výpočtem lze ověřit, že Zde mají rovnice rovnováhy následující tvar g =, g = r, g 33 =. r [rτ rr ],r r τ ϕϕ r [τ rϕ ],ϕ r [rτ zr ],z = ˆf r, r [τ ϕϕ ],ϕ [r τ rϕ ] r,r [r τ ϕz ] r,z = ˆf ϕ, r [rτ zz ],z r [rτ rz ],r r [τ ϕz ],ϕ = ˆf z. (Okrajové podmínky se nezmění.) Tenzor malých deformací ε je pro U = (U r, U ϕ, U z ) ve tvaru ε rr = U r,r ε rϕ = ( r U r,ϕ U ϕ,r r U ϕ ), ε ϕϕ = r U ϕ,ϕ r U r ε rz = ( U r,z U z,r ), ε zz = U z,z ε ϕz = ( U ϕ,z r U z,ϕ ). (0) Zobecněný Hookeův zákon pro Youngův modul pružnosti E a Poissonovo číslo σ charakterizuje diagonální a mimodiagonální složky tenzoru napětí pro α, β {r, ϕz} následujícími vztahy ( τ αα E = (σ)( σ) ( σ)ε αα σ ) γ α ε γγ, () τ αβ = E σ ε αβ α β. Rovnice rovnováhy pro 3D úlohu s tenzorem napětí počítaným z (0) podle () mají ve vektorovém zápisu (pro izotropní homogenní materiál) tvar { } E ( σ) ( σ) σ ( cdiv c U ) (rotc rot c U ) = ˆf.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 8 Formulace úloh D izotropní lineární elasticity Předpoklady vedoucí ke zjednodušení na D model - model ohybu tenké (mezikruhové) desky z homogenního izotropického materiálu. Uvažujme těleso definované množinou bodů Q = { (r, ϕ, z) R 3 ; a r b, π < ϕ π, h z h }. I. Vyjdeme z Kirchhoffovy hypotézy o tenkých deskách, tj. normály ke střednicové ploše (která je v našem případě tvořena body (r, ϕ, 0) Q) si po deformaci zachovávají svou velikost i kolmost ke zdeformované střednicové ploše = složky U vektorového pole posunutí vyjádříme pomocí funkce průhybu desky w = w(r, ϕ) jako U r = zw,r (r, ϕ), U ϕ = z r w,ϕ(r, ϕ), () U z = w(r, ϕ). Zobecněný Hookeův zákon, uvedený v (), se pro tenké desky zjednoduší na základě předpokladu, že τ zz = 0 (přesněji jde o veličinu typu o(h ), kde h je tloušťka desky). Potom lze odvodit následující vztahy mezi složkami napětí a deformace uvnitř desky z izotropního materiálu pro α, β, γ {r, ϕ} τ αα E } = [ε σ αα σε γγ γ α ], τ αβ = E σ ε αβ pro α β.. Diferenciální operátory v cylindrických souřadnicích Pro vektor U uvedený v () se operátory následujícím způsobem zjednoduší div c U = r [r U r],r r [U ϕ],ϕ = z( r [r w,r],r r w,ϕϕ), c w = ( zw,r, z r w,ϕ, 0), c w = z(w,rr r w,ϕϕ r w,r) = z( r [r w,r],r r [ r w,ϕ],ϕ ). (3). Rovnice rovnováhy Po transformaci do válcových souřadnic, viz (7), a dosazení za vektor U z vyjádření uvedeném v () platí následující vztahy pro tenzor malých deformací ε ε rr = zw,rr, ε ϕϕ = z( r w,ϕϕ r w,r), ε rϕ = z[ r w,ϕ],r, ε αβ = 0 pro α, β jinak. (4)
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 9 Pro složky tenzoru napětí τ odvozené ze zobecněného Hookeova zákona pro homogenní izotropická tělesa tvaru desky (3) platí τ rr = z E σ [w,rr σ( r w,ϕϕ r w,r) ], τ ϕϕ = z E σ [σ w,rr r w,ϕϕ r w,r ], τ rϕ = z E σ ( σ) [ r w,ϕ],r, τ αβ = 0 pro α, β jinak. Zaveďme označení pro modul ohybové tuhosti D = h 3 E ( σ ), veličiny T r = h z τ rr dz = D(ε h rr σε ϕϕ ) z, T ϕ = h z τ ϕϕ dz = D(σ ε h rr ε ϕϕ ) z, T rϕ = h z τ rϕ dz = Dh 3 ( σ)ε h rϕ z a pro oblast Ω = (a, b) ( π, π), tedy Q = Ω h, h. Nyní vyjádříme tvar jednotlivých složek jenotkové vnější normály n a směrnice s. Vyjdeme z r (0) tvaru bázových vektorů, jak jsou definovány v odstavci.0., tj. ξ λ e := (cos ϕ, sin ϕ) a e := ( r sin ϕ, r cos ϕ). Nechť n = (ñ, ñ ) je jednotková vější normála, jejíž složky ñ i jsou dány vzhledem ke křivočaré souřadné soustavě. Směrové kosiny normály n vzhledem ke karézské soustavě jsou dány vztahy n r := cos( <) ( e, n) ) = n cos ϕ n sin ϕ a n ϕ := cos( <) ( e, n) ) = n r sin ϕ n r cos ϕ Je tedy zřejmé, že pokud v bodech hranice tělesa hledáme vější normálu, která je jednotková, pak její složky mají tvar (n r, r n ϕ) = n. Viz též odstavec. na straně 5, kde bychom použili transformaci n i = g ii ñ i, i =, pro n n r a n n ϕ. Jestliže na funkcionálu energie vnitřního přetvoření D, který je definován vztahem D(w) := h provedeme variariaci, tj. [ d dɛ D(w ɛŵ) ] ɛ=0, pak získáme formu h Ω (5) τ (w)ε(w) r dωdz, (6) a D 0 (w, ŵ) = Ω T rŵ,rr rdω Ω T ϕ( r ŵ,ϕϕ r ŵ,r) rdω Ω T rϕ[ r ŵ,ϕ],r rdω Ω T rϕ r [ŵ,r r ŵ],ϕ rdω. Provedeme-li v každém integrálu dvakrát per-partes, pak pro jednotlivé sčítance v a D 0 platí, že T r ŵ,rr r dω = = Ω T r ŵ,r n r r dγ Ω r [rt r],r ŵ n r r dγ Ω Ω r [rt r],rr ŵ r dω,
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 0 = Ω Ω T ϕ r ŵ,ϕ r n ϕ r dγ T ϕ ( r ŵ,ϕϕ r ŵ,r) r dω = Ω Ω ( r T ϕ,ϕ ( r T ϕ,ϕϕ r T ϕ,r) ŵ r dω, r n ϕ r T ϕn r ) ŵ r dγ = Ω Ω T rϕ r ŵ,ϕ n r r dγ Ω T rϕ [ r ŵ,ϕ],r r dω = Ω r [r T rϕ],r ŵ r n ϕ r dγ r [r T rϕ],rϕ ŵ r dω, = Ω T rϕ Ω r [ŵ,r r ŵ],ϕ rdω = T rϕ ŵ,r r n ϕ r dγ ( Ω r T rϕ r n ϕ r T rϕ,ϕ n r ) ŵ r dγ ( r T rϕ,ϕ r T rϕ,rϕ ) ŵ r dω. Ω Po sečtení posledních integrálů přes oblast Ω a po dosazení za veličiny T r, T ϕ a T rϕ získáme jednoduchý integrál D cw ŵ r dω. Ze součtu druhých integrálů dostaneme ( r [rt r],r r T ϕ r T rϕ,ϕ) n r ŵ r dγ Ω Ω ( Ω r [rt rϕ],r r T rϕ r T ϕ,ϕ) r n ϕ ŵ r dγ, tedy po dosazení za veličiny T získáme tvar tahových sil ve směrech r a ϕ, následně potom tvar normálové síly T n T n (w) = D n ( cw ). Součtem prvních integrálů dostaneme Ω (T r n r T rϕ r n ϕ) ŵ,r r dγ Ω ( T rϕ n r T ϕ r n ϕ) r ŵ,ϕ r dγ. (7) V dalším vyhodnocování budeme potřebovat vyjádření parciálních derivací ŵ,r a ŵ,ϕ. Pro jednotkovou vnější normálu n = (n r, r n ϕ) platí následující geometrické vztahy ŵ,n = ŵ,r n r r ŵ,ϕ r n ϕ a ŵ,s = ŵ,r r n ϕ r ŵ,ϕ n r.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 Odtud vyjádříme jednotlivé parciální derivace jako ŵ,r = ŵ,n n r ŵ,s r n ϕ a r ŵ,ϕ = ŵ,n r n ϕ ŵ,s n r. (8) Po dosazení (8) do hraničních integrálů (7) platí, že { T r n r T rϕ Ω r n ϕ n r T ϕ r n ϕ } ŵ,n r dγ { (T ϕ T r ) n r Ω r n ϕ T rϕ (n r r n ϕ) } ŵ,s r dγ. Ve složené závorce prvního integrálu je vyjádřen ohybový moment vzhledem k normále, označme jej M n (w), ve složené závorce druhého integrálu je kroutící moment, který označíme M ns (w). Můžeme tedy nakonec shrnout, že a D 0 (w, ŵ) = ( D cw ; ŵ ) (T Ω;r n (w) ) r [rm ns(w)],s ; ŵ (M n (w) ; ŵ,n ) Ω;r, kde (x; z) A;r = A x z r da. Pro potenciální energii vnějších (objemových a povrchových) sil definujeme funkcionál ( ) ( ) F D (ŵ) = ˆf z ; ŵ (Ĝn ; ŵ Ω;r ) Ω;r ˆMn ; ŵ,n Ω;r pro známé ˆf z = ˆf z (r, ϕ) objemové zatížení ve směru osy z, Ĝn = Ĝn(r, ϕ) celkovou posouvající sílu na hranici a ˆM n = ˆM n (r, ϕ) ohybový moment na hranici..3 Klasická formulace okrajové úlohy Označme X prostor funkcí, který odpovídá požadavku na hladkost funkce w na základě konkrétní volby okrajových podmínek. Funkci průhybu w = w(r, ϕ) nazveme klasickým řešením úlohy ohybu tenké (mezikruhové) desky, jestliže w C 4 (Ω) X splňuje okrajovou úlohu danou pro (r, ϕ) Ω parciální diferenciální rovnicí 4.řádu Ω;r D( cw) = ˆf z ; (9) pro (r, ϕ) Γ Ω stabilními, příp. nestabilními okrajovými podmínkami w(r, ϕ) = ŵ (0) (r, ϕ), w,n (r, ϕ) = ŵ () (r, ϕ), případně M n (w) = ˆM n, T n (w) r [rm ns(w)],s = Ĝn (0) () pro dané ˆf z intenzitu objemových sil působících ve směru z-osy ˆf z C(Ω), ˆf z (r, ϕ) = h ˆf z (r, ϕ, z) dz, h ŵ (0) funkce poklesu podpor v bodech hranice, ŵ () funkce natočení v bodech hranice, Ĝ n celkovou posouvající sílu pro směr z v bodech hranice, Ĝ n (r, ϕ) = h Ĝ h n (r, ϕ, z) dz, Ĝ n (r, ϕ, z) = g z z(ĝ ϕ n r ĝ r r n ϕ) ˆM n ohybový moment v bodech hranice, ˆMn (r, ϕ) = h ˆM h n (r, ϕ, z) dz, ˆM n (r, ϕ, z) = z(g r n r g ϕ r n ϕ) h tloušťku (mezikruhové) desky, D modul ohybové tuhosti D = h3 E ( σ ), E, σ Youngův modul pružnosti a Poissonovo číslo.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 Připomeňme, že w,n (r, ϕ) = w,r n r r w,ϕ r n ϕ, M n (w) = D (w,rr σ( r w,ϕϕ r w,r) ) n r D ( σ) [ r w,ϕ],r r n ϕ n r D (σw,rr r w,ϕϕ r w,r) r n ϕ, T n (w) = D n ( cw ), M ns (w) = D ( σ) ( n r r n ϕ( w r,ϕϕ r w,r w,rr ) (n r n r ϕ)[ r w ),r],r. ( ) Tr T Označíme-li T = rϕ, pak můžeme předchozí vztahy přeformulovat vektorově T rϕ T ϕ () w,n = ( c w) T n, M n (w) = n T T n, T n (w) = ( c ( c w) ) T n, M ns (w) = n T T s..4 Zobecněná formulace okrajové úlohy Prostorem funkcí s konečnou energií je prostor H definovaný předpisem H(Ω) := {w = w(r, ϕ) L r(ω) w,rr L r(ω) w,r, w,rϕ L (Ω) w,ϕ, w,ϕϕ L (Ω)}. (3) r r 3 Skalární součin pro w, ŵ H je definován jako (w, ŵ) H := = (w, ŵ) Ω;r (w,r, ŵ,r ) Ω; ( r r w,ϕ, r ŵ,ϕ) Ω; (w,rr, ŵ,rr ) Ω;r r ([ r w,ϕ],r, [ r ŵ,ϕ],r ) Ω;r ( w r,ϕϕ r w,r, ŵ r,ϕϕ r ŵ,r) Ω;r a indukuje normu H. Nechť V je prostor virtuálních posunutí, H 0 V H, který zachycuje předepsané stabilní okrajové podmínky v homogenním tvaru. Slabým řešením úlohy (s homogenními stabilními okrajovými podmínkami) ohybu tenké desky nazveme w V řešící rovnici a D 0 (w, ŵ) = F D (ŵ) ŵ V (4) pro { a D 0 (w, ŵ) = D (w,rr, ŵ,rr ) Ω;r ( r w,ϕϕ r w,r, r ŵ,ϕϕ r ŵ,r) Ω;r ( σ)([ r w,ϕ],r, [ } r ŵ,ϕ],r ) Ω;r, F D (ŵ) = ( ˆf z, ŵ) Ω;r Ĝn; ŵ Ω;r ˆM n ; ŵ,n Ω;r, kde ; Ω;r značí dualitu mezi duálním prostorem a příslušným prostorem stop s váhou r. Pro další analýzu můžeme shrnout, že a D 0 je bilineární symetrická forma, která je nulová pro všechny konstanty, tj. a D 0 (p 0, p 0 ) = 0 p 0 R.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 3 3 Formulace úloh D izotropní nelineární elasticity I. Vyjdeme opět z Kirchhoffovy hypotézy o tenkých deskách: složky normál ke střednicové ploše desky jsou vzhledem k deformaci invariantní = složky vektoru posunutí vyjádříme stejně jako v předchozí části ve tvaru lineární části Taylorova rozvoje podle poslední proměnné z. V předešlém odstavci ve vztazích () jsou ale vynechány první členy, tj. U r (r, ϕ, 0) = u r (r, ϕ) a U ϕ (r, ϕ, 0) = u ϕ (r, ϕ), které odpovídají deformacím v rovině desky. Důvodem byl fakt, že se v případě malých deformací výsledný systém rovnic klasické formulace rozpadne na dva samostatné okrajovou úlohu s jednou rovnicí 4. řádu pro hledanou funkci w = w(r, ϕ) a okrajovou úlohu danou dvěma rovnicemi. řádu pro dvojici funkcí [u r, u ϕ ]. Druhý systém se neřeší, protože příspěvek hledaných funkcí u r a u ϕ k celkové deformaci desky je zanedbatelný (kvůli geometrii deformované oblasti). Nyní ale přecházíme ke konečným deformacím, proto budeme používat celou aproximaci, tj. pro trojici funkcí u r = u r (r, ϕ) u ϕ = u ϕ (r, ϕ) w = w(r, ϕ) uvažujeme vektorové pole posunutí U ve tvaru U r = u r zw,r, U ϕ = u ϕ z r w,ϕ, (5) U z = w. II. Předpokládáme, že rovinné gradienty složek U r a U ϕ jsou malé vzhledem k jednotce, tj. c u r, c u ϕ, c w. Složky tenzoru konečných deformací (3) (strana 4) pro ortogonální křivkové souřadnice, které vyjádříme vzhledem ke kartézské souřadné soustavě, jsou tvaru d ij = d lin ij d nln ij. (6) Lineární část d lin ij je obecně rovna d lin ij = ( ) gii gjj [ U i g ii ],j [ U j g jj ],i δ j i g jj g δϕ i ii r U r. Tedy platí, že Nelineární člen d nln ij d lin rr = U r,r = u r,r z w,rr d lin ϕϕ = r (U ϕ,ϕ U r ) = r (u ϕ,ϕ u r ) z ( w r,ϕϕ r w,r) d lin rϕ = ( r U r,ϕ r [ r U ϕ],r ) = ( r u r,ϕ r [ r u ϕ],r ) z [ r w,ϕ],r d lin αβ = 0 pro α, β jinak. složek tenzoru deformace d ij je obecně roven d nln ij = (g iig jj ) { (U r,i δ ϕ i U ϕ) (U r,j δ ϕ j U ϕ) ([ r U ϕ],i δ r i r U ϕ δ ϕ i r U r) ([ r U ϕ],j δ r j r U ϕ δ ϕ j r U r) U z,i U z,j }.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 4 Na základě předpokladu II. platí, že nelineární části jednotlivých složek tenzoru deformace jsou jednoduššího tvaru d nln rr = U z,r = w,r d nln ϕϕ = U r z,ϕ = ( r w,ϕ) d nln zz = (U r,z Uϕ,z Uz,z) = (w,r ( r w,ϕ) ) d nln rϕ = U z,r r U z,ϕ = w,r r w,ϕ d nln αβ = 0 pro α, β jinak. Shrneme-li předchozí vyhodnocení d lin pak složky tenzoru d jsou ve tvaru αβ a dnln αβ d rr = u r,r w,r z w,rr do celkového tvaru tenzoru deformace, viz (6), d ϕϕ = r (u ϕ,ϕ u r ) ( r w,ϕ) z ( w r,ϕϕ r w,r) d zz = cw d rϕ = ( r u r,ϕ r [ r u ϕ],r w,r r w,ϕ) z [ r w,ϕ],r d αβ = 0 pro α, β jinak. Dosadíme-li d do zobecněného Hookeova zákona uvedeného v (3) na straně 8, potom platí, že τ rr E = [u σ r,r w,r σ( r (u ϕ,ϕ u r ) ( r w,ϕ) ) z (w,rr σ( r w,ϕϕ r w,r) )], τ ϕϕ = E σ [σ(u r,r w,r) r (u ϕ,ϕ u r ) ( r w,ϕ) z (σw,rr r w,ϕϕ r w,r)], τ rϕ = E (σ) [ r u r,ϕ r[ r u ϕ],r w,r r w,ϕ z [ r w,ϕ],r ], τ αβ = 0 pro α, β jinak. Pro trojici funkcí (u r, u ϕ, w) = u je deformační energie D( u) = rovna kde D = D( u) = { = D Eh σ σ c w Ω;r ( σ) ( w,rr Ω;r [ r w,ϕ],r Ω;r { σ u r,r w,r r (u ϕ,ϕ u r ) ( r w,ϕ) ( σ) ( r u r,ϕ r[ r u ϕ],r w,r r w,ϕ r (u ϕ,ϕ u r ) ( r w ϕ) h 3 E ( σ ) a kde x Ω;r = (x; x) Ω;r = Ω x r dω Ω;r (7) (8) h h Ω τ ( u) d( u) r dω dz r w,ϕϕ r w,r Ω;r Ω;r u r,r w,r Ω;r Ω;r )}, )}
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 5 Pro princip virtuálních prací použijeme následující rovnosti, kde virtuální posunutí δ u mají složky (û r, ˆv ϕ, ŵ), δd rr = û r,r ŵ,r w,r z ŵ,rr δd ϕϕ = r (û ϕ,ϕ û r ) r ŵ,ϕ r w,ϕ z ( ŵ r,ϕϕ r ŵ,r) δd rϕ = r ûr,ϕ r [ r ûϕ],r ŵ,r r w,ϕ w,r r ŵ,ϕ z [ r ŵ,ϕ],r. V souladu s literaturou zavedeme označení d ij = ε ij ε ij0, kde ε = {ε ij } ij je tenzor malých deformací (viz (4), strana 8) a tedy ε 0 má složky ε rr0 = u r,r w,r, ε ϕϕ0 = r (u ϕ,ϕ u r ) ( r w,ϕ), ε rϕ0 = r u r,ϕ r[ r u ϕ],r w,r r w,ϕ, ε zz0 = cw E, ε αβ0 = 0 pro α, β jinak. (9) Následně tedy označíme Potom pro u = (u r, u ϕ, w) platí, že kde T r := h ( z) τ rr dz = D(ε h rr σε ϕϕ ) z, T ϕ := h ( z) τ ϕϕ dz = D(σε h rr ε ϕϕ ) z, T rϕ := h ( z) τ rϕ dz = D( σ)ε h rϕ z a N r := h τ rr dz = Eh (ε h σ rr0 σε ϕϕ0 ), N ϕ := h τ ϕϕ dz = Eh (σε h σ rr0 ε ϕϕ0 ), N rϕ := h τ rϕ dz = Eh h σ ε rϕ0. a D 0 (w; ŵ) := (T r ; ŵ,rr ) Ω;r (T ϕ ; D( u) = ad 0 (w; w) nd 0 ( u; u), r ŵ,ϕϕ r ŵ,r) Ω;r (T rϕ ; [ r ŵ,ϕ],r ) Ω;r, (30) n D 0 ( u; δ u) := (N r ; û r,r w,r ŵ,r ) Ω;r (N ϕ ; r ûϕ,ϕ r ûr r w,ϕ r ŵ,ϕ) Ω;r (3) (N rϕ ; r ûr,ϕ r[ r ûϕ],r r w,ϕ ŵ,r w,r r ŵ,ϕ) Ω;r. Aplikací Greenovy formule na formu a D 0 ( ; ) získáme a D 0 (w; ŵ) = ( D( cw) ; ŵ ) Ω;r (T n (w) r [rm ns(w)],s ; ŵ ) Ω;r (M n (w) ; ŵ,n ) Ω;r, (3)
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 6 kde w,n, M n (w), T n (w) a M ns (w) jsou definovány na straně vztahy (). Aplikací Greenovy formule na formu n D 0 ( ; ) vypočteme, že n D 0 ( u; δ u) = ( r [rn r],r r N ϕ r N ) rϕ,ϕ ; û r Ω;r ( r N ϕ,ϕ [r N r rϕ ],r ; û ϕ )Ω;r ( r [rn rw,r rn rϕ r w,ϕ],r r [N rϕw,r N ϕ r w,ϕ],ϕ ; ŵ ) Ω;r ( N r n r N rϕ r n ) ϕ ; û r Ω;r ( N rϕ n r N ϕ r n ϕ ; û ϕ ) Ω;r ( (N r w,r N rϕ r w,ϕ)n r (N rϕ w,r N ϕ r w,ϕ) r n ϕ ; ŵ ) Ω;r. Funkcionál potenciální energie vnějších (objemových a povrchových) je ) ( ) F D (δ u) = (ˆf ; δ u Ω;r (ĝr ; δu r ) Ω;r (ĝ ϕ ; δu ϕ ) Ω;r (Ĝn ; δw) Ω;r ˆMn ; ŵ,n pro známé vektory objemového zatížení ˆf = ( ˆf β ) β a posouvajících sil na hranici ĝ = (ĝ β ) β pro β {r, ϕ, z}, ˆf β (r, ϕ) = h f β (r, ϕ, z) dz, ĝ β (r, ϕ) = h h g β (r, ϕ, z) dz, pro celkovou pospouvající h sílu Ĝn = Ĝn(r, ϕ) na hranici a pro ohybový moment ˆM n = ˆM n (r, ϕ) na hranici, (r, ϕ) Ω. 3. Klasická formulace okrajové úlohy Prostor funkcí X odpovídá požadavku na hladkost trojice funkcí (u r, u ϕ, w) = u podle konkrétní volby okrajových podmínek. Trojici funkcí (u r (r, ϕ), u ϕ (r, ϕ), w(r, ϕ)) nazveme klasickým řešením úlohy ohybu tenké (mezikruhové) desky, jestliže splňuje okrajovou úlohu danou (u r, u ϕ, w) [C (Ω) C (Ω) C 4 (Ω)] X pro (r, ϕ) Ω soustavou parciálních diferenciálních rovnic. a 4.řádu Ω;r (33) r [rn r],r r N ϕ r N rϕ,ϕ = ˆf r r N ϕ,ϕ r [r N rϕ ],r = ˆf ϕ D cw = ˆf z r [rn rw,r rn rϕ r w,ϕ],r r [N rϕw,r N ϕ r w,ϕ],ϕ ; (34) pro (r, ϕ) Γ Ω stabilními, příp. nestabilními okrajovými podmínkami u r (r, ϕ) = û (0) r (r, ϕ), u ϕ (r, ϕ) = û (0) ϕ (r, ϕ), w(r, ϕ) = ŵ (0) (r, ϕ), w,n (r, ϕ) = ŵ () (r, ϕ), případně N r n r N rϕ r n ϕ = g r, N rϕ n r N ϕ r n ϕ = g ϕ, M n (w) = ˆM n, T n (w) r [rm ns(w)],s = Ĝn (N r w,r N rϕ r w,ϕ)n r (N rϕ w,r N ϕ r w,ϕ) r n ϕ (35) (36)
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 7 pro dané ˆf intenzitu objemových sil působících ve směru r, ϕ a z, ˆf [C(Ω)] 3, û (0) r funkci posunutí v bodech hranice ve směru r, û (0) ϕ funkci posunutí v bodech hranice ve směru ϕ, ŵ (0) funkci poklesu podpor v bodech hranice ve směru z, ŵ () funkci natočení v bodech hranice, posouvající sílu pro směr r v bodech hranice, ĝ ϕ v bodech hranice posouvající (točící) sílu ve směru ϕ okolo osy z, Ĝ n celkovou posouvající sílu pro směr z v bodech hranice, Ĝ n (r, ϕ) = ĝ r h Ĝ h n (r, ϕ, z) dz, Ĝ n (r, ϕ, z) = g z z(ĝ ϕ n r ĝ r r n ϕ) ˆM n ohybový moment v bodech hranice, ˆMn (r, ϕ) = h h ˆM n (r, ϕ, z) = g r n r g ϕ r n ϕ h tloušťku (mezikruhové) desky, D modul ohybové tuhosti D = h3 E ( σ ), E, σ Youngův modul pružnosti a Poissonovo číslo. ( ) Nr N Poznámka 3.. (Varianty zápisu klasické formulace) Pro N = rϕ r [rn r],r r N rϕ,ϕ r N ϕ = ˆf r }{{} div cn {}}{ r [rn r],rϕ r N ϕ,ϕ r N rϕ = ˆf ϕ N rϕ D cw = ˆf z div c (N c w) ; ˆM n (r, ϕ, z) dz, N ϕ (37) (u r, u ϕ ) T = (û (0) r, û (0) ϕ ) T, w = ŵ (0), ( c w) T n = ŵ (), případně Nn = (g r, g ϕ ) T, n T T (w)n = ˆM n, ( c ( c w)) T n r [rnt T (w)s],s = Ĝn n T N c w (38) (39) 3. Zobecněná formulace okrajové úlohy Označme váhový Lebesguevův prostor L ϱ(r) (Ω) L ϱ(r). Prostorem funkcí s konečnou energií je prostor H definovaný předpisem H := {(u r, u ϕ, w) L L L r u ϕ,ϕ, u r,ϕ, w r, w,rϕ L r r r u r,r, u ϕ,r, w,rr, w,r L r Skalární součin pro w, ŵ H je definován jako (4) w,ϕ, w,ϕ, w,ϕϕ L r 3 }. (40) ( u, δ u) H := = (u r ; û r ) Ω; (u ϕ ; û ϕ ) r Ω; (w; ŵ) Ω;r (w,r ; ŵ,r ) r Ω; ( r r w,ϕ; r ŵ,ϕ) Ω; r (u r,r w,r; û r,r ŵ,r) Ω;r ( r u ϕ,ϕ r u r ( r w,ϕ) ; r ûϕ,ϕ r ûr ( r ŵ,ϕ) ) Ω;r (w,rr ; ŵ,rr ) Ω;r ( r w,ϕϕ r w,r; r ŵ,ϕϕ r ŵ,r) Ω;r ([ r w,ϕ],r ; [ r ŵ,ϕ],r ) Ω;r (4)
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 8 a indukuje normu H. Nechť V H je prostor virtuálních posunutí, který zachycuje předepsané stabilní okrajové podmínky v homogenním tvaru. Slabým řešením úlohy (s homogenními stabilními okrajovými podmínkami) ohybu tenké desky nazveme u V řešící rovnici pro a D 0 (w; ŵ) n D 0 ( u; δ u) = F D (δ u) δ u V { a D 0 (w; ŵ) = D (w,rr ; ŵ,rr ) Ω;r ( r w,ϕϕ r w,r; r ŵ,ϕϕ r ŵ,r) Ω;r ( σ)([ r w,ϕ],r ; [ } r ŵ,ϕ],r ) Ω;r, n D 0 ( u; δ u) = (N r ; û r,r w r ŵ r ) Ω;r (N ϕ ; r ûϕ,ϕ r ûr r w,ϕ r ŵ,ϕ) Ω;r F D (δ u) = (N rϕ ; r ûr,ϕ r[ r ûϕ],r r w,ϕ ŵ,r w,r (ˆf ; δ u ) r ŵ,ϕ) Ω;r Ω;r ĝr ; δu r Ω;r ĝ ϕ ; δu ϕ Ω;r Ĝn ; δw Ω;r ˆM n ; ŵ,n Ω;r kde ; Ω;r značí dualitu mezi duálním prostorem a příslušným prostorem stop s váhou r. Forma a D 0 je bilineární symetrická forma, která je nulová pro všechny konstanty, tj. a D 0 (p 0, p 0 ) = 0 p 0 R.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 9 4 Formulace úloh D izotropní lineární elasticity Předpoklady vedoucí ke zjednodušení na D model - model ohybu tenké (mezikruhové) rotačně symetrické desky z homogenního izotropického materiálu. Navíc k předpokladu I. ze strany 8 navíc předpokládejme II. rotačně symetrický případ modelu mezikruhové desky, tj. deformace bude mít stejný výsledek v libovolném řezu deskou, který vedeme rovinou určenou směrem poloměru a směrem osy rotace = složky vektoru posunutí U vyjádříme pomocí jediné funkce průhybu desky w(r, ϕ) = w(r) jako U r = zw (r), U ϕ = 0, (4) U z = w(r). Vzhledem ke zjednodušením, budeme v tomto odstavci pracovat s funkcemi jedné proměnné, proto původně parciální derivace značíme jako obyčejné ( = r ); 4. Diferenciální operátory v cylindrických souřadnicích Pro vektor u uvedený v () se operátory následovně zjednoduší div c U = r [r w ], c w = (w, 0, 0), c w = w r w = r [r w ]. 4. Rovnice rovnováhy Po dosazení za vektor U z vyjádření uvedeném v (4) platí následující vztahy pro tenzor malých deformací ε ε rr = zw, ε ϕϕ = z r w, (43) ε αβ = 0 pro α, β jinak. Pro složky tenzoru napětí τ použijeme zobecněný Hookeův zákon (3) pro homogenní izotropická tělesa tvaru desky, potom τ rr = z E σ [w σ r w ) ], τ ϕϕ = z E σ [σ w r w ], τ αβ = 0 pro α, β jinak. (44) Potom tedy T r = π π T ϕ = π π h z τ rr dzdϕ = πd[w σ h r w ], h z τ ϕϕ dzdϕ = πd[σ w h r w ].
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 0 Jestliže na funkcionálu energie vnitřního přetvoření D, který je definován vztahem (6), provedeme variariaci, pak získáme formu a D 0 (w, ŵ) = (T r; ŵ ) Ω;r (T ϕ ; r ŵ ) Ω;r. Provedeme-li v každém integrálu dvakrát per-partes, pak pro jednotlivé sčítance v a D 0 platí, že (T r ; ŵ ) (a,b);r = T r ; ŵ {a,b};r r [rt r] ; ŵ {a,b};r ( r [rt r] ; ŵ) (a,b);r, (T ϕ r ; ŵ ) (a,b);r = r T ϕ; ŵ {a,b};r ( r T ϕ, ŵ) (a,b);r Sečtením posledních integrálů přes oblast (a, b) a po dosazení za veličiny T získáme jednoduchý integrál (πd cw ; ŵ) (a,b);r. Po dosazení do r [rt r] r T ϕ získáme tvar tahové síly ve směru r T (w) = πd(w r w r w ). Výraz T r = πd(w σ r w ) je ohybovým momentem M(w). Můžeme tedy nakonec shrnout, že a D 0 (w, ŵ) = πd( cw ; ŵ) (a,b);r T (w); ŵ {a,b};r M(w); ŵ {a,b};r. Pro potenciální energii vnějších (objemových a povrchových) sil definujeme funkcionál F D (ŵ) = ( ˆf z ; ŵ) (a,b);r Ĝr; ŵ {a,b};r ˆM r ; ŵ {a,b};r pro známé ˆf z průměrné objemové zatížení ve směru osy z, Ĝ r a moment v bodech r = a, b. ˆM r posouvající sílu a ohybový 4.3 Klasická formulace okrajové úlohy Označme X prostor funkcí, který odpovídá požadavku na hladkost funkce w na základě konkrétní volby okrajových podmínek. Funkci průhybu w = w(r) nazveme klasickým řešením úlohy ohybu tenké (mezikruhové) rotačně symetrické desky, jestliže w C 4 (a, b) X splňuje okrajovou úlohu danou pro r (a, b) obyčejnou diferenciální rovnicí 4.řádu D( cw) = ˆf z ; (45) pro r {a, b} stabilními, příp. nestabilními okrajovými podmínkami w(r) = ŵ r (0), w (r) = ŵ r (), případně M r (w) = ˆM r, T r (w) = Ĝr (46) (47)
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 pro danou ˆf z intenzitu objemových sil působících ve směru z-osy ˆf z C(a, b), ˆf z = π π f z (r, ϕ, z) dϕ dz, ŵ r (0) ŵ r () Ĝ r h h velikost poklesu podpor v bodech hranice, velikost natočení desky v bodech hranice, posouvající sílu v bodech hranice, ˆM r ohybový moment v bodech hranice, h tloušťku (mezikruhové) rotačně symetrické desky, D modul ohybové tuhosti D = h3 E ( σ ), E, σ Youngův modul pružnosti a Poissonovo číslo. 4.4 Zobecněná formulace okrajové úlohy Prostorem funkcí s konečnou energií je H ((a, b); r, r, r) definovaný předpisem H ((a, b); r, r, r) := {w = w(r) w, w L r(a, b) w L (a, b)}. (48) r Skalární součin pro w, ŵ H ((a, b); r,, r) je definován jako r (w, ŵ),;r, r,r := (w, ŵ) (a,b);r (w, ŵ ) (a,b); r (w, ŵ ) (a,b);r a indukuje normu,;r,,r. (49) r Nechť V H ((a, b); r, r, r) je prostor virtuálních posunutí, který zachycuje předepsané stabilní okrajové podmínky v homogenním tvaru. Slabým řešením úlohy (s homogenními stabilními okrajovými podmínkami) ohybu tenké rotačně symetrické desky nazveme w V řešící rovnici a D 0 (w, ŵ) = F D (ŵ) ŵ V pro ( ) a D 0 (w, ŵ) = πd (w ; ŵ ) (a,b); (w ; ŵ ) (a,b);r σ(w ; ŵ ) (a,b); σ(w ; ŵ ) (a,b);, r F D (ŵ) = ( ˆf z ; ŵ) (a,b);r Ĝr, ŵ {a,b};r ˆM r ; ŵ {a,b};r. Pro další analýzu můžeme shrnout, že a D 0 je bilineární symetrická forma, která je nulová pro všechny konstanty, tj. a D 0 (p 0, p 0 ) = 0 p 0 R.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 5 Formulace úloh D izotropní nelineární elasticity Použijeme výsledků z předchozích odstavců 3 a 4. Shrňeme předpoklady vedoucí k odvození modelu: I. uvažujme rotačně symetrický případ, tedy vektorové pole posunutí U = U(r, z); II. vyjdeme opět z Kirchhoffovy hypotézy o tenkých deskách a použijeme aproximaci (s chybou o(h )) vektorové pole posunutí U po deformaci ve tvaru U r = u r (r) zw (r), U ϕ = 0, U z = w(r). (50) Opět jako v odstavci 4 značíme parciální derivace jako obyčejné ( = r ); III. předpokládejme, že u r zw (a,b);r, w (a,b);r. Složky tenzoru d, viz (7) na straně 4, jsou tvaru d rr = u r (w ) z w d ϕϕ = r u r z r w d zz = cw d αβ = 0 pro α β (5) a tedy pro d ij = ε ij ε ij0, kde ε ij jsou složky tenzoru malých deformací (viz (43)), platí, že ε rr0 = u r (w ) ε ϕϕ0 = r u r ε zz0 = cw ε αβ0 = 0 pro α β. Dosadíme-li d do zobecněného Hookeova zákona uvedeného v (3) na straně 8, potom platí, že nenulové složky mají tvar τ rr } E = (d σ rr σd ϕϕ ), (5) τ ϕϕ E = (σd σ rr d ϕϕ ). Označíme T r := h ( z) τ rr dz = D(ε h rr σε ϕϕ ) z = D(w σ r w ), T ϕ := h ( z) τ ϕϕ dz = D(σε h rr ε ϕϕ ) z = D(σw r w ) N r := h τ rr dz = h N ϕ := h τ ϕϕ dz = h a Eh σ (ε rr0 σε ϕϕ0 ) = Eh σ (σε rr0 ε ϕϕ0 ) = Eh σ (u r (w ) σ r u r), Eh σ (σu r σ (w ) r u r).
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 3 Pro dvojici funkcí (u r, w) = u je deformační energie D rovna D( u) = ( {σ D r [r w ] ( σ) w (a,b);r Eh σ (a,b);r { σ u r (w ) r u r ( σ) ( r[ r u ϕ] (a,b);r (a,b);r r u r r w (a,b);r (a,b);r )} u r (w ) kde D = h 3 E ( σ ). Pro princip virtuálních prací použijeme následující rovnosti, kde virtuální posunutí δ u mají složky (û r, ˆv ϕ, ŵ), δd rr = û r ŵ w z ŵ, kde Pro u = (u r, w) platí, že δd ϕϕ = r ûr z r ŵ. D( u) = ad 0 (w; w) nd 0 ( u; u), (a,b);r a D 0 (w; ŵ) := (T r ; ŵ ) (a,b);r (T ϕ ; r ŵ ) (a,b);r, (53) n D 0 ( u; δ u) := (N r ; û r w ŵ ) (a,b);r (N ϕ ; r ûr) (a,b);r (54) Aplikací Greenovy formule na formu a D 0 ( ; ) získáme a D 0 (w; ŵ) = T r ; ŵ {a,b};r r [rt r] r T ϕ; ŵ a následně po dosazení a D 0 (w; ŵ) = D(w σ r w ); ŵ {a,b};r {a,b};r )} ( r [rt r] ) r [T ϕ] ; ŵ. (a,b);r D [ ( r [rw ] ] ; ŵ D ) {a,b};r r [r[ r [rw ] ] ] ; ŵ. (a,b);r Aplikací Greenovy formule na formu n D 0 ( ; ) vypočteme, že n D 0 ( u; δ u) = N r; û r {a,b};r N r w ; ŵ {a,b};r ( r [rn r] r N ) ϕ; û r (a,b);r ( r [rn rw ] ; ŵ ) (a,b);r. Po dosazení n D 0 ( u; δ u) = Eh σ (u r (w ) σ r u r); û r {a,b};r Eh σ (u rw (w ) 3 σ r u rw ); ŵ {a,b};r ( { Eh σ [ r [ru r] ] w (w σ } ) r w ) ; û r ( { Eh σ (w u r (a,b);r 3 (w ) σ } { r u r w u r r (w ) σ r u r } ) ); ŵ. (a,b);r,
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 4 Greenova formule pro celou formu a D 0 n D 0 je ve tvaru a D 0 (w, ŵ) n D 0 ( u, δ u) = pro = N r ( u); û r {a, b}; r T (w) w N r ( u); ŵ {a, b}; r M(w); ŵ {a, b}; r ( [ r [ru r] ] w (w σ ) r w ); û r (a,b);r ( A D (w) w (u r 3 (w ) σ r u r) w (u r r (w ) σ ) u r r); ŵ (a,b);r N r ( u) = Eh σ (u r (w ) σ r u r) T (w) = D[ r [rw ] ] M(w) = D(w σ r w ) A D (w) = D r [r[ r [rw ] ] ]. Funkcionál potenciální energie vnějších (objemových a povrchových) je ) F D (δ u) = (ˆf ; δ u (a,b);r ĝr ; δu r {a,b};r Ĝn ; δw {a,b};r ˆMn ; ŵ,n {a,b};r pro známé vektory objemového zatížení ˆf a posouvajících sil na hranici ĝ, pro celkovou pospouvající sílu Ĝn na hranici a pro ohybový moment ˆM n. 5. Klasická formulace okrajové úlohy Prostor funkcí X odpovídá požadavku na hladkost dvojice funkcí (u r, w) = u podle konkrétní volby okrajových podmínek. Trojici funkcí (u r (r, ϕ), w(r, ϕ)) nazveme klasickým řešením úlohy ohybu tenké (mezikruhové) rotačně symetrické desky, jestliže splňuje okrajovou úlohu danou (u r, w) [C (a, b) C 4 (a, b)] X pro (r, ϕ) (a, b) soustavou parciálních diferenciálních rovnic. a 4.řádu r [rn r] r N ϕ = ˆf r D r [r[ r [rw ] ] ] = ˆf z w N r r w [rn r ] ; (55) pro r {a, b} stabilními, příp. nestabilními okrajovými podmínkami u r (r) = û (0) r (r), w(r) = ŵ (0) (r), w (r) = ŵ () (r), případně (56) N r ( u) = g r, M n (w) = ˆM n, (57) T n (w) = Ĝn N r w
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 5 pro dané ˆf intenzitu objemových sil působících ve směru r a z, ˆf [C(Ω)], û (0) r velikost posunutí v bodech hranice ve směru r, ŵ (0) pokles podpor v bodech hranice ve směru z, ŵ () velikost natočení v bodech hranice, ĝ r posouvající sílu pro směr r v bodech hranice, Ĝ n celkovou posouvající sílu pro směr z v bodech hranice, ˆM n ohybový moment v bodech hranice, h tloušťku (mezikruhové rotačně symetrické) desky, D modul ohybové tuhosti D = h3 E ( σ ), E, σ Youngův modul pružnosti a Poissonovo číslo. 5. Zobecněná formulace okrajové úlohy Prostorem funkcí s konečnou energií je H = H ((a, b); r, r) (H ((a, b); r, r, r) L4 ), kde H ((a, b); r, r) := {u r = u r (r) u r L (a, b) u r L r(a, b)}, r H ((a, b); r, r, r) := {w = w(r) w, w L r(a, b) w L (a, b)}, r L 4 := {w = w(r) w L 4 r(a, b)}. (58) Skalární součin pro u, δ u H je definován jako (w, ŵ),;(a,b);r, r,r (u r, û r ),;(a,b); r,r (w, w ) 0,4;(a,b);r a indukuje normu H. (59) Nechť V H je prostor virtuálních posunutí, který zachycuje předepsané stabilní okrajové podmínky v homogenním tvaru. Slabým řešením úlohy (s homogenními stabilními okrajovými podmínkami) ohybu tenké rotačně symetrické desky nazveme (u r, w) V řešící rovnici a D 0 (w, ŵ) n D 0 ( u, δ u) = F D (δ u) δ u V.
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 6 6 Formulace úloh D ortotropní lineární elasticity Nadále opusíme předpoklad, že se ohybová tuhost D nemění při otáčení (ve směru povrchové normály) řezu vedeného rovinou rovnoběžnou s osou z. Uvažujme zobecňující předpoklad, že modul ohybové tuhosti desky již není konstantou (v nehomogenním případě konstantní funkcí) nezávislou na směru vedeného řezu = materiálová čísla E, σ se mění se směrem namáhání (tj. n nebo s), tzv. ortotropie. Zobecněný Hookeův zákon pro tenké desky, uvedený v (3), tedy ještě zobecníme. Nedříve, vzhledem k vlastnosti ortotropie, zavedeme následující poddrobnější označení σ r, σ ϕ pro Poissonův součinitel příčného zkrácení ve směru ϕ způsobeného tahem ve směru r, resp. zkrácení ve směru r způsobeného tahem ve směru ϕ, E r, E ϕ Youngův mobul pružnosti v tahu a tlaku ve směru r, resp. ϕ, G modul pružnosti ve smyku, popisující změnu pravého úhlu sevřeného směry r a ϕ vlivem napětí τ rϕ. Protože platí podmínky symetrie, tj. σ r E r = σ ϕ E ϕ, (60) bodou tedy celkem v Hookeově zákoně figurovat 4 nezávislé konstanty. Viz Kolář & Beneš & Sobotka, Nosné stěny a desky (str.34 až 37). Hookeův zákon pro napětí τ rr, τ ϕϕ a τ rϕ vznikající v ortotropních tenkých deskách popíšeme vztahy τ rr E = r σ rσ ϕ [ε rr σ ϕ ε ϕϕ ], τ ϕϕ = τ rϕ = Gε rϕ. E ϕ σ rσ ϕ [ε ϕϕ σ r ε rr ], Po dosazení do (6) za složky ε αβ tenzoru deformace uvedené vztahy (4) získáme charakterizaci jednotlivých složek napětí τ αβ vzhledem k funkci w = w(r, ϕ) průhybu desky, tedy τ rr E = z r σ rσ ϕ (w,rr σ ϕ ( w r,ϕϕ r w,r) ), τ ϕϕ E = z ϕ σ rσ ϕ (σ r w,rr w r,ϕϕ r w,r ), (6) τ rϕ = zg ( r w,rϕ w r,ϕ ), τ αβ = 0 pro α, β jinak. Zaveďme označení pro moduly hlavních tuhostí při ohybu ve směru osy r, resp. osy ϕ jako h D β = 3 E β ( σ pro β = r, ϕ a modul hlavní tuhosti při kroucení D rσ ϕ) rϕ = G h3. Potom označme veličiny T r = h ( z τ h rr dz = D r w,rr σ ϕ ( w r,ϕϕ r w,r) ), T ϕ = h ( z τ h ϕϕ dz = D ϕ σr w,rr w r,ϕϕ r w ),r, T rϕ = h ( z τ h rϕ dz = D rϕ r w,rϕ ) w r,ϕ. Připomeňme, že vzhledem k podmínkám symetrie, viz (60), platí, že D r σ ϕ = D ϕ σ r. (6)
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 7 Provedeme-li opět variaci na funkcionálu energie vnitřního přetvoření D, který je uveden vztahem (6) na straně 9, pak získáme formu a D 0;[ort] (w, ŵ) = (T r; ŵ,rr ) Ω;r (T ϕ ; r ŵ,ϕϕ r ŵ,r) Ω;r (T rϕ ; [ r ŵ,ϕ],r ) Ω;r (T rϕ ; r [ŵ,r r ŵ],ϕ) Ω;r. Po provedení per-partes, pak pro jednotlivé sčítance v a D,ort 0 platí, že (T r ; ŵ,rr ) Ω;r = = T r ; ŵ,r n r Ω;r r [rt r],r ; ŵ n r Ω;r ( r [rt r],rr ; ŵ) Ω;r, = T ϕ ; r ŵ,ϕ (T ϕ ; ( r ŵ,ϕϕ r ŵ,r)) Ω;r = r n ϕ Ω;r r T ϕ,ϕ r n ϕ r T ϕn r ; ŵ Ω;r ( r T ϕ,ϕϕ r T ϕ,r ; ŵ) Ω;r, (T rϕ ; [ r ŵ,ϕ],r ) Ω;r = = T rϕ ; r ŵ,ϕ n r Ω;r r [r T rϕ],r ; ŵ r n ϕ Ω;r ( r [r T rϕ],rϕ ; ŵ) Ω;r, (T rϕ ; r [ŵ,r r ŵ],ϕ) Ω;r = = T rϕ ; ŵ,r r n ϕ Ω;r r T rϕ r n ϕ r T rϕ,ϕ n r ; ŵ Ω;r ( r T rϕ,ϕ r T rϕ,rϕ; ŵ) Ω;r. Po sečtení posledních integrálů přes oblast Ω a po dosazení za veličiny T αβ získáme integrál ( { D r r [r w,rr],rr D ϕ r [ r w,ϕϕ r w,r],ϕϕ r [ r w,ϕϕ } r w,r],r Definujme tedy operátor 4.řádu (D r σ ϕ D rϕ ) ) r [ r[ r w,ϕ],r ],ϕr ; ŵ Ω; r. A D [ort] (w) := D r r [r w,rr],rr D ϕ { r [ r w,ϕϕ r w,r],ϕϕ r [ r w,ϕϕ r w,r],r } (D r σ ϕ D rϕ ) r [ r[ r w,ϕ],r ],ϕr. (63)
Modely mezikruhové desky v cylindrických souřadnicích, tisk 0. června 008 8 Ze součtu druhých integrálů dostaneme D r r [rt r],r D ϕ r T ϕ D rϕ r T rϕ,ϕ ; n r ŵ Ω; r D rϕ r [r T rϕ],r D rϕ r T rϕ D ϕ r T ϕ,ϕ ; r n ϕ ŵ Ω; r, tedy po dosazení za T αβ získáme tvar tahových sil ve směrech r a ϕ, tj. Tvar normálové síly T n je T r (w) = r [D rr w,rr (D rϕ D r σ ϕ ) r w,ϕϕ],r r D ϕ( r w,ϕϕ r w,r), T ϕ (w) = r [ D ϕ( r w,ϕϕ r w,r) (D r σ ϕ D rϕ ) w,rr ],ϕ. Tn;[ort] (T D (w) = r (w)n r T ϕ (w) ) r n ϕ. Součtem prvních integrálů dostaneme D r T r n r D rϕ T rϕ r n ϕ n r D ϕ T ϕ r n ϕ ; ŵ,n Ω;r (D ϕ T ϕ D r T r ) n r r n ϕ D rϕ T rϕ (n r r n ϕ ) ; ŵ,s Po dosazení ze vztahů (8) za parciální derivace ŵ,r a ŵ,ϕ získáme vyjádření ohybového a kroutícího momentu ve tvaru M D n;[ort] (w) = D rw,rr n r D ϕ ( r w,ϕϕ r w,r) r n ϕ Ω;r D r σ ϕ (n r( r w,ϕϕ r w,r) r n ϕ w,rr ) D rϕ [ r w,ϕ],r r n ϕ n r, M D ns;[ort] (w) = ( D ϕ( r w,ϕϕ r w,r) D r w,rr D r σ ϕ (w,rr r w,ϕϕ r w,r) ) r n ϕ n r D rϕ [ r w ϕ],r (n r r n ϕ). Můžeme tedy nakonec shrnout, že = a D 0;[ort] (w, ŵ) = ( A D [ort] )Ω;r (w) ; ŵ Tn;[ort] D (w) D [rmns;[ort] r (w)],s) ; ŵ Ω;r. Mn;[ort] D (w) ; ŵ,n. Ω;r Pro potenciální energii F vnějších (objemových a povrchových) sil použijeme stejný funkcionál jako v izotropním případě, tedy ( ) F D (ŵ) = ˆf z ; ŵ Ĝn ; ŵ Ω;r Ω;r ˆMn ; ŵ,n Ω;r pro známé ˆf z = ˆf z (r, ϕ) objemové zatížení ve směru osy z, Ĝn = Ĝn(r, ϕ) celkovou posouvající sílu na hranici a ˆM n = ˆM n (r, ϕ) ohybový moment na hranici.