... 4. 5. 6. 0 0 0 a q koverguje pro q < geometrická řada diverguje harmoická řada koverguje srovejte s teleskopickou řadou + + utá podmíka kovergece + 4 + + 7 ití srovávací kritérium, srováí s ití podílové kritérium + Příklady pro samostatou práci 7. 8. 9. 0.. 4 + 4 + 4 + + + 4 7 +! + 4 +
.. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 0 5 + 4 + 8 + + si π si a, a R + si π + cotg π Řešeí:. a Pro q dokážeme matematickou idukcí, že s i0 aqi a q+ q pro q. I. 0, pak s 0 i0 aq a a q q. II. Nechť s a q+ +q, pak s + s +aq + a q+ q +aq + a q+ + qq + q a q+ q. Tedy s a q+ q R q <. b Pro q je s i0 aqi i0 a a+, tedy s pro a > 0 a < 0 Řada diverguje k. Řada koverguje pro q <.
. + + + 4 + 5 +..., tedy s + +... + + + + + 4 5 +.. + +... + 8 + > > + + + +... + + + Tedy s.. Ukažme, že koverguje řada s i ii + i +. i i + Tedy s, a proto řada koverguje. i i + i i i + i i + +. i i i +. Jelikož ii+ > i+, tak z kovergece řady + plye i kovergece řady i i řada je omezeá a jelikož je posloupost částečých součtů rostoucí, tak koverguje. 4. a 0, tedy eí splěa utá podmíka kovergece. Řada tedy diverguje. 5. Srováme s harmoickou řadou. +4 ++7 + 4 0,, + + 7 tedy z divergece harmoické řady plye i divergece řady 6. Limití podílové kritérium: řada tedy koverguje. 7. Srováme s řadou. a + a + 4 + +4 + + +4 ++7. + + 4 <, + 0,. + Řada diverguje, jelikož řada. + 4 > a harmoická řada diverguje. Proto diverguje i
8. Nutá podmíka kovergece: a + 4 ++ 4 0, tedy řada diverguje. + 9. Jelikož 4 7 4, pak existuje + 0 N takové, že > 0 platí: 4 7 < 4 5 5 + 5 < 6 8, tedy 0 4. Jelikož řada 4 5 koverguje, tak koverguje i řada +. 4 7 0. Limití podílové kritérium: řada tedy koverguje. a + a. Limití podílové kritérium: +4 + +! +! + 4 + + 0 <, řada tedy koverguje.. Nutá podmíka kovergece: řada diverguje.. Srováme s harmoickou řadou. řada tedy koverguje. a + a +7 + + +4 + <, a + 4 + 8 + 0, 4. Srováme s harmoickou řadou. řada tedy diverguje. + si π 0,, π 0,, 5. Jde o geometrickou řadu s kvocietem q si a, tedy řada diverguje k + je-li si a a π 4 + kπ, řada osciluje, je-li si a a π 4 + kπ, v ostatích případech a π 4 + k π řada koverguje. 6. Řada se chová přibližě jako kovergetí řada 7 6. řada tedy koverguje. + 7 6 0,, +
7. Srováme s kovergetí řadou. Řada je kovergetí. 8. Limití podílové kritérium: řada koverguje. 9. Srováme s harmoickou řadou: si π π si π π 0,. π a + + 4 <, a + cotg π cos π si π cos π π π si π π 0,, řada diverguje.
. l. l. + + 4. + 5.! + 5+ 6. 7. si 8. 9. 0. +. cos π +.!.!! Řešeí:. Itegrálí kritérium: řada tedy diverguje. x l x dx l y dy [l y] l,
. Itegrálí kritérium: řada koverguje.. Limití podílové kritérium: řada koverguje. x l x dx l [ y dy ] y l l <, a + + + + a + <, 4. Nutá podmíka kovergece: a + e 0, + + řada tedy diverguje. 5. Nutá podmíka kovergece: a! + 5+ 0, řada tedy diverguje. 6. Jelikož a řada koverguje, tak koverguje i řada. 7. Srováí s kovergetí řadou. tedy řada koverguje. si si 0,, 8. Limití odmociové kritérium: a 0 <, řada tedy koverguje. 9. Srováme s harmoickou řadou. řada diverguje. e l l 0,,
0. Nejdříve si trochu upravíme výraz + : + + Srováme s kovergetí řadou ++ tedy řada koverguje.. + + + + + + + +. 0,, + +. Bez použití pojmu absolutí kovergece lze postupovat ásledujícím způsobem: cos π + + + 4 + 6 + + 8 +..., tedy s 4 4 i i cos π + + 4 + + + 4 + + 6 + 8 + 6 + 8 + +...+ 4 + 4 + +... +. 4 + 4 < + < + + 6 + +... +. 4 + < + 6 +... + 4 < < + + 4 + 5 + 6 + 4 7 +... + 4. Jelikož je řada kovergetí a posloupost { s 4 } je rostoucí, je i posloupost { s 4 } kovergetí. Ke kovergeci řady už stačí je ověřit utou podmíku kovergece, tj. a cos π + 0.. Limití podílové kritérium: a + + e <, a + + + tedy řada koverguje.. Limití podílové kritérium: tedy řada koverguje. a + + a + + 4 <,
Rozhoděte, zda ásledující řady kovergují absolutě, relativě a ebo divergují.. +. l. 4. + 5. + 6. 7. + 8. + 9. +! 0. +. l +. si. l 4. si + Řešeí:
. Leibizovo kritérium: I. Zaméka se střídají. II. a a+ : III. a + a+ + + + + + + + + > +, N a + 0. Řada tedy koverguje. Absolutí kovergece: řadu a + srováme s harmoickou řadou, řada a tedy diverguje, proto řada koverguje relativě.. Leibizovo kritérium: I. Zaméka se střídají. II. a a+ : III. Řada tedy koverguje. Absolutí kovergece: jelikož l koverguje relativě.. Leibizovo kritérium: I. Zaméka se střídají. + l x x x x l x x < 0, x > e. a l 0. < l, > e, tak řada l diverguje a tedy řada II. a a+ : x je rostoucí fukce, tedy x je klesající fukce a proto a > a +. III. a 0. Řada tedy koverguje. Absolutí kovergece: řada je divergetí, tedy řada koverguje relativě. α koverguje pro α >.
4. Řada + je kovergetí viz. pozámka pod čarou a předchozí straě, proto řada + koverguje absolutě. eexistuje, řada tedy diver- 5. Nutá podmíka kovergece: a guje osciluje. 6. Absolutí kovergece - ití podílové kritérium: + a + a + <, 7. řada koverguje absolutě. s + i i i + i + + 4 + 5 +... + + + 5 +... + 4 + + 4 5 +... + +. Tedy s + < i ii+, a tedy posloupost { s +} koverguje je mootóí a omezeá. Jelikož a 0, tak koverguje i posloupost {s }, a tedy je řada kovergetí. Absolutí kovergece: řada a + a tedy diverguje. Proto řada + 8. Absolutí kovergece - ití podílové kritérium: tedy řada koverguje absolutě. a + a 9. Absolutí kovergece - ití podílové kritérium: a + a tedy řada koverguje absolutě. 0. Leibizovo kritérium: I. Zaméka se střídají. + +! +! se chová podobě jako harmoická řada, koverguje relativě. + + 4 <, + 0 <, II. a a+ : x je rostoucí fukce, tedy potřebujeme ukázat, že + > + + +, což jsme ukázali již v příkladu. III. a + 0.
Řada tedy koverguje. Absolutí kovergece: srováme s divergetí řadou. tedy řada koverguje relativě.. Leibizovo kritérium: I. Zaméka se střídají. + 0,, + II. a a+ : l x je rostoucí fukce, tedy stačí ukázat, že + > + +, což plye z erovosti > +. III. a l + 0. Řada tedy koverguje. Absotulí kovergece: srováme s harmoickou řadou. tedy řada koverguje relativě. l + 0,,. Nutá podmíka kovergece: si eexistuje, tedy řada diverguje. Neexistece předchozí ity lze ukázat třeba takto: Pro každé 0 N platí, že existuje m > 0 takové, že m i m + leží v itervalu π 6, 5π 6 + kπ pro ějaké k N iterval π 6, 5π 6 + kπ má délku π >. Pak ale sim > a sim + >, tedy a m a m+ m sim + m+ sim + > esplňuje B.C. podmíku, a tedy eí posloupost {a } kovergetí.. l l + + l4 + l5 + + l6 +... l 4 l l 6 l 5 l 4 + +... l l 4 l 5 l 6 l l 4 + l 6 5 l 5 l 6 + l + + l + l +. Tuto řadu srováme s kovergetí řadou l+ + l+ l+ + l + l + + + + l + viz. str 6, cv... l + 0,, l +
tedy řada koverguje. Absolutí kovergece: l > l + > +, proto řada l diverguje. Původí řada tedy koverguje relativě. 4. Absolutí kovergece: Upravme ejdříve výraz si + si + si + + + + + si Jelikož tj. ++ + + koverguje k poloviě, tak původí řadu srováme s harmoickou řadou, si + si + + si 0,,. tedy řada si + Leibizovo kritérium: diverguje. I. Zaméka se střídají. a+ : Ozačme fx si x +x x x, pak II. a f si x x + x x cos x + x x x cos x + x x x cos x + x x III. x+ x +x x x+ x +x x si x + x x x +x x+ 4x +x x +xx++ x +x x cos x +x x + x x++ x +x si x + x x x. x si x + x x x si x + x x Jelikož si x + x x si a + x x++ x +x 0, tak existuje 0 N takové, že x > 0 je si x + x x > a + < a > 0. Řada tedy koverguje relativě. cos x +x x + x x++ x +x a tedy f x < 0. Proto si + 0.
. Ukažte, že periodická čísla jsou racioálí. Návod: využijte geometrickou řadu. +.! + +... + 4. si 5. + 6. π arccos 7.! Řešeí:. Uvažujme číslo m 0 k 0.bbbbbbb..., kde b,..., 9, pak m b 0 k +b 0 k +b 0 k +... b 0 k 0 +0 +... b 0 k 0. b 0 k 9 0 Obdobě postup pro delší periodu b b b b...b l, kde b i 0,..., 9 zde je kvociet geometrické řady 0 l.. Absolutí kovergece - odmociové kritérium: + a tedy řada koverguje absolutě. + e <,. Absolutí kovergece - Raabeovo kritérium: a! + +... + + a + +! + +... + + + + + + >, + + řada koverguje absolutě. b 9 0 k.
4. Nejdříve si ukážeme kovergeci řady si - Dirichletovo kritérium: Posloupost { } je klesající a 0, posloupost částečých součtů řady si je omezeá. Tedy řada si koverguje. Nyí použijeme Abelovo kritérium: Řada si koverguje, posloupost { } je omezeá a > + + pro dostatečě velké, jelikož x x e x l x e x l x l x x < 0 pro x > e. Tedy koverguje i řada si. 5. Odmociové kritérium: a řada koverguje. 6. Odmociové kritérium: a π arccos řada koverguje. l e 7. Limití podílové kritérium: π arccos l H + + <, π arccos l e π arccos e π arccos π e π <, řada koverguje. a + a + +! + +! + e <,
. +. l a arccotg c b. si l 4. si + 5. + 6.! e 7. l 8. l + l + si 9. sihx + coshx e x Řešeí:. + + + + + + + + + + + + + + + + + + +. + Srováme s divergetí řadou řada diverguje.. + + + + + 0,,
. Jelikož arccotgx l H x x x x 0,, tak se řada l a arccotg c chová přibližě jako řada l a můžeme tyto dvě řady b b+c srovat srovávacím kritériem. Řada l a koverguje pro b + c > a diverguje pro b+c b + c <. Pro b + c řada koverguje pro a > a diverguje pro a viz. str.6 řady. a.. Řadu srováme s kovergetí řadou l řada tedy koverguje. si l l str.6, př.. 0,, 4. Dirichletovo kritérium: Nejdříve ukážeme, že má řada si omezeé částečé součty. s i i si i i si i + sii. Jelikož mají řady si i si omezeé částečé součty, tak má i řada si omezeé částečé součty. Posloupost { + } je klesající viz. str 9, př a 0, tedy řada koverguje dle Abelova kritéria. i + Absolutí kovergece: Jelikož si x > a itervalu π 6, 5π 6 +kπ a délka itervalu 5π 6, 7π 6 je π <, tak pro libovolé N a alespoň jedo i 0,, platí si + i > ve všech třech po sobě jdoucích hodotách, +, + emůže být hodota fukce si pod poloviou. Tedy dostaeme ásledující omezeí i si + si + + si + + si + + si 4 4 4 +... + si 9 + > > si + si + si + + si 4 4 4 +... + si 9 + > > + + si 4 4 4 +... + si 9 + > i +. Řadu i + můžeme srovat s harmoickou řadou, tedy tato řada diverguje a proto diverguje i řada si Řada si + +. tedy koverguje relativě. 5. Srováme s kovergetí řadou l řada tedy koverguje. + : + l + e l + 0,, l +
6. I. Raabeovo kritérium: a a + řada diverguje. e e! + +! e + + e T aylor e + l + π : Srováme řadu s diver- II. Použijeme Stirligův vzorec! getí řadou. tedy řada diverguje. l H e + + e + + + + + + o l e + + + + + + + + <,! e 0,, π 7. Relativí kovergece - Dirichletovo kritérium: Zaměřme se ejdříve a mootoii poslouposti {a } { l }. Pro sudé dostaeme: a < a+ l < + l + + l < l + + + e l < e l+ < + + + + tedy a < a +.
Pro liché dostaeme: l + a + + a+ l + + +, tedy a a +. Posloupost { l } je tedy eklesající. Jelikož má si omezeé částečé součty, tak řada l si koverguje. Absolutí kovergece: Jelikož l divergetí řadou si 8. Nutá podmíka kovergece: 9. řada diverguje. sihx+coshx a, tedy řada l l + l H l + e x e x, tak můžeme tuto řadu srovat s si koverguje relativě. + ex +e x e x + + 0, e ex x e e x. Jde tedy x o geometrickou řadu s kvocietem q e x, tedy koverguje absolutě pro x > 0 a diverguje pro x 0.