A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení.. x=3 y=0 z= 5 w=.. x= 5 y= 5 z=. 3.Pro a 5řešeníneexistuje.Pro a=5existujenekonečněmnohořešení: x=5+k y= k z= k k R. 4.Homogennísoustavamávždyalespoňtriviálnířešeníx=y= z=0.pro p 6másoustavaprávějedno řešení: x=y= z=0.pro p=6existujenekonečněmnohořešení: x=5k y= k z= k k R. 5.Jakoparametrvolímeprávějednuzproměnných uavaprávějednuzproměnných yaz.soustavamá nekonečněmnohořešení: x=+k l y= k z= k u= l v= l; kl R. 6.a x= y=3bnemářešeníc x=k y=5 k k R..týdenod6.9. Polynomy- dělení polynomů kořeny polynomů snižování stupně po nalezení kořene Hornerovo schéma.. a x 5 +4x 4 3x 3 x +x+3. b x 5 +x 4 +3x 3 x x+3. c 6x 5 5x 4 4x 3 +0x +6x 40.. a x +3x 4zbytek x +8x+3. b 3x x+5zbytek9x 8x+8. 3.a P3=4b P =4c P=3 4. a b c Kořeny: ± ±i Součinkořenovýchčinitelů: x x+x ix+i Součinireducibilníchreálnýchpolynomů: x x+x + Kořeny:±3±3i Součinkořenovýchčinitelů: x 3x+3x 3ix+3i Součinireducibilníchreálnýchpolynomů: x 3x+3x +9 Kořeny: ±3 ±3 i Součin koř. č.: x 3 3 i x 3 +3 i x+3 +3 i x+3 3 i Součinir.r.p.: x 3 x+9x +3 x+9.týdenod6.9.. cvičení Polynomy- komplexně sdružené kořeny reálných polynomů rozklad polynomu na součin ireducibilních polynomůreálných či komplexních.
. a 3 b +i i. a x+ x x ix +i b x x 3 x+ ix++i 3. a α=+ijekořennásobnosti Px=x+ x i x +i b α= +ijekořennásobnosti Px=x x +ix ix +ix i c α=neníkořenem Px=x x++ix+ ix+ 4. a x x+ x +x+ b x x+ x +x+ 5. a α=+ijekořennásobnosti Px=x x+3x x+ b α=neníkořenem Px= x x+ x x+ c α= ijekořennásobnosti Px=x+ x x+x x+5 3.týdenod3.0. Matice- násobení matic a jeho vlastnosti matice komutující s danou maticí. Maticové rovniceúprava na základní tvar a řešení pomocí GEM.. 6 5 9 7 6 4 4 3 4. 3. 0 0 0 0 0 A B= 6 4 5 4 4 0 = B A= 5 5 0 0 = 3 5 5 3 0 0 0 0 0 0 = = 4 5 4 0 5 7 0 0 0 0 0 0 a MaticeAaBspolunekomutují. b MaticeAaBspolukomutují.
4. a b c d A = A T = A A T = A T A= 5 3 4 6 0 5 4 3 6 0 6 3 3 3 6 0 3 0.. 5 4 4 6 3.. 5. A = 4 3 3 0 a X= 4 4 4 3 3 3 b Y= 0 3 0 0 0 0 3 6. 7. 8. A = A B = A E = 0 3 4 3 0 0 0 a X= a X= a X= 0 0 0 6 4 3 3 b Y= 3 5 3 b Y= b Y= 4 5 0 0 0 9. a 0 0 0 0 zleva b 4.týdenod0.0. 0 0 0 0 zprava. Matice a determinanty- inverzní maticejako řešení maticové rovnice AX = E. Determinant matice Sarrusovo pravidlo... A = A = 0 3 0 0 3
3. 4. a A B= c B A= 3 6 3 5 0 5 5 3 3 4 3 deta= b A B = d B A = π S n sgnπ a πi a nπn a0 b4 0 0 0 0 0 0 0 0 5.a6b 6. a Například b Například 0 0 0 3 0 0 0 3 0 3 0 0 0 0 0 0 7 resp. resp. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 6 7 7 4.týdenod0.0.. cvičení Determinanty- výpočet determinanntu pomocí GEM a rozvoj determinantu dle řádku či sloupce. Výpočet inverzní matice pomocí determinantu a algebraických doplňkůpoužití v maticových rovnicích..deta=.a 55b0 3.det A B A T = 6 4. a deta= p+6p Ajeregulárnípro p R/{ 6} b deta=p+7p Ajeregulárnípro p R/{ 7} 5.detA=p+4p Ajeregulárnípro p R/{ 7} a 3a+ a + a+3 6.A = a+5 a a 3 a a+6. a+ a+ 3 7. a deta= a a+7 a R/{ 7} b deta=a+3a a R/{ 3} c deta=aa a+ a R/{0±} 8. a 4 b 4 9. a b 5.týdenod7.0. Lineární prostory- lineární obal lineární závislost a nezávislost skupiny vektorů.. a Soubor polynomů je lineárně nezávislý... 4
b Souborpolynomůjelineárnězávislýnapř. u u + u 3 u 4 = o u = u u 3 + u 4 u = u + u 3 u 4 u 3 = u + u + u 4 u 4 = u u + u 3. c Souborpolynomůjelineárnězávislýnapř. u u u 3 = o u = u + u 3 u = u u 3 u 3 = u u.. a u= v v + v 3 b u / v v v 3 3. a Vektory jsou lineárně nezávislé. b Vektoryjsoulineárnězávislénapř. u+ v w u v+ w+ u 3 v+ w= o. 4. a Vektory jsou lineárně závislé. b Vektory jsou lineárně závislé. 5. a Qx=P x P x+p 3 x. b Např. Qx= P x+p x+p 3 x.. a L jepodprostorem L b L nenípodprostorem L 6.týdenod4.0. Lineární prostory- lineární podprostor báze a dimenze podprostoru. c L nenípodprostorem L d L nenípodprostorem L. a dimv =3dimW=dimV W=4dimV W= bázev = {0000 000} bázew= {0 350 3} bázev W= {0000 000000} bázev W= { }. b dimv =3dimW=dimV W=4dimV W= bázev = {00000000 } bázew= {0 00} bázev W= {00000000 000} bázev W= { }. 3.HodnostmaticeA R m n jedimenzepodprostoruvr n generovanéhořádkymaticea. 4.ahodA=3bhodA=. 6.týdenod4.0.. cvičení Lineární prostory- hodnost maticevyužití hodnosti k ověřování lineární nezávislosti aritmetických vektorů průnik a spojení podprostorů..dimv =dimw=3dimv W=4dimV W= bázev = { x 3 +x x x +3x+3 } bázew= { x 3 5x +x+3 } bázev W= { x 3 +x x x +3x+3 x 7 } bázev W= { 3x 3 +x 3x }. 5
. a dimenzeje4bázitvořínapř.množina { 0 5 3 4 b dimenzeje4bázitvořínapř.množina { 0 3 0. a {Px} B = 350 b {Px} B = 3 0 0 0 0 0 0 7.týdenod3.0. 0 0 0 0 0 0 } } Lineární prostory- souřadnice vektoru vzhledem k uspořádané bázi.. Px=x 3x {Px} F = 55 3. Px=3x +x {Px} E =40 5 4.B={3x+3 x } 5.B={x+x } 6.dimenzejebázeje {x x }společnésouřadnicegeneroványvektorem 7.dimenzejebázeje {x +x+3}společnésouřadnicegeneroványvektorem 8. a b c d 0 0 0 0 0 = = 0 0 0 0 0 0 0 0 = 8.týdenod7.. 0 0 3 0 Lineární zobrazení- ověřování linearity zobrazení lineární zobrazení je určeno obrazy báze matice lineárního zobrazení.. a Anenílineární. b Ajelineární. c A není lineární.. A= 0 0 0 0 0 0 6
3. A= 0 0 3 a A= c P A= P= 0 0 3 0 4 3 0 3 0 0 P = b P AP = d AP = 8.týdenod7... cvičení 0 0 4 0 3 0 0 3 Lineární zobrazení- matice inverzního a složeného zobrazení izomorfismus má regulární matici jádro a obraz lineárního zobrazení.. a zobrazení Ajeprostématicezobrazení AvzhledemkestandardníbáziSje A= 0 maticezobrazení A vzhledemkestandardníbázisje A = 0 3 b zobrazení AneníprostéKerA= x 3x+ defa=.maticezobrazení AvzhledemkestandardnímbazímS =x xas =xje A= maticezobrazení BvzhledemkestandardnímbazímS as je B= a maticezobrazení CvzhledemkestandardníbáziS je C= 4 zobrazení Cjeprostématicezobrazení C vzhledemkestandardníbázis je C = 4. 6 b maticezobrazení CvzhledemkestandardníbáziS je C= 3 0 3 0 3 3 zobrazení CneníprostéKerC= x +x defc= { } { 0 0 0 3.a B= b B= 0 0 0 0 } 7
9.týdenod4.. Soustavy lineárních rovnic- Cramerovo pravidlo řešení soustav s parametrem báze prostoru řešení homogenní soustavy..a + 3 b cnemářešení.3 000+ 0000 00 3. a a R/ { 0 } : a 3a b a=0: 03+ 0 c a= :nemářešení 4. a a R/{ 6}: a+6 a 99 b a=: + 0 c a= 6:nemářešení 0.týdenod.. Vlastní čísla a vlastní vektory- jejich výpočet pro matice či lineárního zobrazení podobné matice zobecněné vlastní vektory.. a λ=jetrojnásobnévlastníčíslo0a 0jsoupříslušnévlastnívektorypřesněji:libovolná lineární kombinace těchto dvou vektorů je vlastní vektor matice A příslušný vlastnímu číslu λ= b λ=vl.vektor; λ=3vl.vektor 34; λ= vl.vektor c λ=3jedvojnásobnévlastníčíslopříslušnévlastnívektoryjsou0 0přesněji:jejich libovolnálineárníkombinace; λ=vl.vektor 4. a Matice A je podobná diagonální matici 0 0 0 0. 0 0 b Matice A je podobná diagonální matici 3 0 0 0 3 0. 0 0 3. a B=6 30B= 0 0 0 0. 0 0 b Řešení neexistuje. 4. a λ=jetrojnásobnýmvlastnímčíslem0jepříslušnývlastnívektor00 je příslušný řetězec zobecněných vlastních vektorů P= 0 J=P A P= 0 0 0 0 0 b λ=jetrojnásobnýmvlastnímčíslem000jsoupříslušnévlastnívektoryřetězcezobecněnýchvektorůtvořínapříkladřetezce00a00 P= 0 0 J=P A P= 0 0 0 0 0 0 0.týdenod8.. Lineární prostory se skalárním součinem- skalární součin v analytické geometrii- délka úhel kolmost ortogonálnídoplněk.nestandardnískalárnísoučinyna R n. 8
. a Není skalární součinchybí symetrie. b Je skalární součin. c Je skalární součin. d Není skalární součinnení pozitivně definitní. e Je skalární součin. f Není skalární součinnení pozitivně definitní.. a Např. { 0 0 0 0 0 6 0 6 } b nebo { 0 0 0 { 0 } dimw =. 0 0 6 0 6 }. 3. a W = 4 53 { b Např. B= 00 00 } 0 { } 4. a Např. 0 0 0 0. { } b Např. dimw 0 0 =. 5. a Např. { x x x } b α=arccos 3 3 c a= { 3 d Např. 3 x + e ± x x řešení f { x +3x } x +x } 6. BC =3 AB = AC =3 α= π β= γ= π 4. 7.Průsečík P=[ ]úhel ϕ= π 3. 8.Přímka p:x=[4 ]+t 3průsečíksrovinou P=[0 ]vzdálenost d= 4.. a nemářešení.týdenod5.. Diferenciální rovnice. řádu se separovanými proměnnými. b xt= t Rstacionárnířešení c xt=e /t t >0. a yx=0 x Rstacionárnířešení b nemá řešení c yx=tg x x ππ 3. a xt= et 3 e t t ln3 ln3 b xt= t Rstacionárnířešení c xt=0 t Rstacionárnířešení 9
4. a xt=0 t Rstacionárnířešení b xt=e cost t R.týdenod5... cvičení Lineární diferenciální rovnice. řádu- řešení homogenní části a metoda variace konstanty pro partikulární řešení.. a xt=t +cost t π π b nemá smysl. yx= x +x 3 x R 3. yx=x 3 +cx x R c R 3.týdenod.. Lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty- reálný fundamentální systém metoda odhadu pro partikulární řešení.. a {e t coste t sint} b {e t te t } c {e t e t }. xt=lne t + e t +e t +c e t +c e t t kπk+π k Z c c R 3. xt= tcost+ln sint sint+c cost+c sint t R c c R 4. xt= sint+3cost+c e t +c e t t R c c R 5. xt= 3t 3 8 e t +sint 3cost+c e t +c e t t R c c R 6. xt= tt+e t +6sint cost+c e t +c e t t R c c R 7. xt=e t + te t +sint 3costt R obecnéřešení: xt=c e t +c e t te t +sint 3costc = c = 4.týdenod9.. Soustavy lineárních diferenciálních rovnic- eliminační metoda a hledání fundamentálního systému přes vlastní čísla azobecněné vlastní vektory.. xt=c e t +c 3 e t t R c c R. xt=c 3 e t +c e 4t t R c c R 3. xt = t+ t+ +c e t +c e 3t t R c c R 4. 3 xt = e t +c 4 e t +c e t t R c c R 5. xt = e t +c e t +c e t t R c c R 0