a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte Liouvillovo číslo b) Najděte ekoečě moho Liouvillových čísel a dokažte, že jsou skutečě Liouvillova c) Dokažte, že každé reálé číslo lze zasat jako součet dvou Liouvillových čísel 3 a) Pro řirozeé číslo d a rvočíslo > d ozačme f(x) := x ( )! (x ) (x 2) (x d) Dokažte, že k-tá derivace v bodě j, tj f (k) (j) je dělitelá číslem ro každé k = 0,, 2, a j = 0,,, d až a jediou výjimku a tou je dvojice k = a j = 0 Pro tuto výjimku ukažte, že f ( ) (0) eí dělitelé číslem b) Dokažte, že x e x t f(t) d t = F (0)e x F (x), kde F (x) := f(x) + f () (x) + f (2) (x) + f (d+ ) (x) 0 c) S využitím ředchozích bodů dokažte, že číslo e je trascedetí 4 a) Pro c R {0,, 2, } a x R defiujme hyergeometrickou fukci F (c, x) := + =0 Dokažte ejdříve, že ro každé x R latí a otom ro každé z R vztah F (c, x) = F (c +, x) + z c x c(c + )(c + 2) (c + )! F (c+,z 2 ) F (c,z 2 ) = x F (c + 2, x), c(c + ) c + z z c+ b) Přiomeňte defiici sih x a cosh x a ukažte, že F (c+2,z 2 ) F (c+,z 2 ) F ( 3 2, w2 ) = 2w sih(2w) a F ( 2, w2 ) = cosh(2w)
c) S využití ředchozích rovostí odvoďte řetězový zlomek ro každé y N 5 a) Řetězový zlomek tgh y ro y N je Z toho odvoďte, že α := e + e Sblížeé zlomky čísla α ozačíme r s b) Nechť ξ je číslo s řetězovým zlomkem Ozačme q tgh y = [0, y, 3y, 5y, 7y, ] tgh y = [0, y, 3y, 5y, 7y, ] = [2, 6, 0, 4, ] a e = α + α ξ = [2,, 2,,, 4,,, 6,,, 8,,, 0, ] sblížeé zlomky čísla ξ Dokažte, že ro každé N, 2 latí 3+ = (4 + 2) 3 2 + 3 5 a q 3+ = (4 + 2)q 3 2 + q 3 5 c) Dokažte, že ro každé {0,, 2, } latí 3+ = r + s a q 3+ = r s Z této rovosti odvoďte řetězový zlomek čísla e 6 a) Dokažte, že když umíme omocí kružítka a ravítka zkostruovat úsečky s délkami a a b, ak taky umíme úsečky s délkami a+b, a b, ab, a b, a b) Pro tělesa K, L, která jsou odtělesa C a avíc K L ozačme [L : K] dimezi vektorového rostoru L ad tělesem K Dokažte, že když K M L C a avíc [L : M] a [M : K] jsou koečá, ak [L : K] = [L : M][M : K] c) Dokažte, že když umíme zkostruovat libovolý rvek tělesa K a ro těleso L latí [L : K] = 2, ak umíme zkostruovat i libovolý rvek tělesa L 7 a) Dokažte, že když lze ravidleý úhleík zkostruovat omocí kružítka a ravítka, ak hodota Eulerovy fukce ϕ() je mociou dvojky b) Pro m a esoudělá dokažte, že když umíme zkostruovat ravidelý -úhelík a ravidelý m-úhelík, ak umíme zkostruovat i ravidelý (m)-úhelík c) Defiujte Fermatova čísla F m a dokažte, že ϕ() je mociou dvojky, rávě když je tvaru = 2 i F m F m2 F mr, kde i {0,, 2, } a F m, F m2,, F mr jsou avzájem růzá Fermatova rvočísla 2
8 a) Pro oslouost (q ) N vhodých vlastostí defiujte Catorovu rerezetaci reálého čísla b) Dokažte, že každé číslo má Catorovou rerezetaci a odvoďte, jak to je s její jedozačostí c) Poište vlastost oslouosti (q ) N, která umožňuje rozhodout o iracioalitě čísla, odle koečosti Catorova rozvoje Dokažte říslušé tvrzeí a alikujte a důkaz iracioality čísla e 9 a) Defiujte možiu kvadratických reziduí R, dokažete, že #R rovost astává ro rvočíselé 2 b) Pro rvočíslo dokažte, že R = 2 ebo mod 4 +, řičemž c) Dokažte, že když číslo N lze zasat jako součet dvou čtverců a rvočíslo tvaru = 4m + 3 se achází v rozkladu, ak se achází v rozkladu v sudé mociě 0 a) Pro rvočíslo tvaru = 4m + dokažte, že lze zasat jako součet dvou čtverců b) Najděte ekoečě moho N, která elze zasat jako součet tří čtverců c) Dokažte, že když a 2 lze zasat jako součet čtyř čtverců, ak i souči 2 je součtem čtyř čtverců a) Nechť D N {m 2 m N} Zdůvoděte, že existuje takové M, že ro ekoečě moho árů esoudělých čísel x, y latí x 2 Dy 2 = M b) Ukažte, že lze ajít dva takové růzé áry x, y a x 2, y 2, že x x 2 mod M a y y 2 mod M c) Pomocí této dvojice árů x, y a x 2, y 2 zkostruujte etriviálí řešeí Pellovy rovice 2 a) Ze zalosti faktu, že Pellova rovice x 2 Dy 2 = má ro D N {m 2 m N} etriviálí řešeí, odvoďte strukturu možiy všech řešeí b) Dokažte, že když dvojice x, y, kde x, y > 0 je řešeí Pellovy rovice, ak x je sblížeý y zlomek čísla D 3 a) Dokažte, že ( )! e b) Dokažte Legedrovu větu, tj že rvočíslo se áchází v rozkladu čísla! rávě dolňte krát c) Pro s rvočíselým rozkladem = α α 2 2 αr r l! = r i= kde q i jsou vhodě defiovaá čísla (jak?) ( ) + + + 2 i q i l, i 3 alikací Legedrovy věty odvoďte
d) Dokažte, že existuje kostata K taková, že l K, P l l + K 4 a) Odvoďte vzoreček ro Abelovou sumaci kde B i = b + b 2 + + b i a i b i = a B + (a i a i+ )B i i= b) Nechť < 2 < < r jsou všecha rvočísla meší ebo rovaq, tj r = π() Na sumu r r l = l i= oužijte Abelovou sumaci s a i = l i= i= a b i = l c) Odhaděte B i omocí rví Mertesovy věty (tu jeom vyslovte) a odvoďte alesoň jedu erovost v druhé Mertesově větě 5 a) Legedrova věta říká, že rvočíslo se áchází v rozkladu čísla! rávě k krát k To využijte k tomu, abyste ukázali, že P se v rozkladu ( ) 2 achází r := ( ) 2 2 krát k k k a avíc r 2 b) Ukažte, že P s vlastostí 2 < se v rozkladu ( ) 2 achází aejvýš jedou a že P s vlastostí 2 < se v rozkladu ( ) 2 3 eachází vůbec c) To ám umoží odhadout rozklad a rvočísla ( ) 2 = α i i α i 2 i 2 2<i 2 3 < 2 Zdůvoděte odhady: ( ) 2 2 2 2 <, 2 α i i (2) 2 a 2<i 2 3 < 4 2 3 d) Vyslovte Bertradův ostulát a alesoň ro dostatečě velká jej dokažte Odhady z bodu c) vám oslouží ro důkaz sorem 4
6 a) V důkazu erovosti P, x 4 x ro všecha x R, x 2 ejdříve zdůvoděte, že stačí uvažovat x = 2m + P, ak zdůvoděte ( ) 2m + m a samotý důkaz roveďte idukcí m+< 2m+ b) Pro daé ajděte úsek o sobě jdoucích řirozeých čísel, z ichž žádé eí rvočíslo c) Ozačme π(x) očet rvočísel meších ebo rových x Dokažte, že π(x) l x Pro důkaz ejdříve odvoďte vztah k M k = P, kde možia M je tvořea těmi čísly k N, jejichž rozklad obsahuje ouze rvočísla 7 a) Dokažte římo (bez oužití Mertesových vět), že řada P diverguje b) Vyslovte a dokažte větu o řešitelosti rovice a x +a 2 x 2 + +a k x k = m ro celočíselé ezámé x,, x k, kde arametry m, a,, a k Z 8 a) Legedrova věta říká, že rvočíslo se áchází v rozkladu čísla! rávě k krát k To využijte k tomu, abyste ukázali, že P se v rozkladu ( ) 2 achází r := ( ) 2 2 krát k k k a avíc r 2 b) Použitím ředchozího bodu dokažte, π(2) π() ( ) 2, (2) π(2), kde π() ozačuje očet rvočísel meších ebo rových c) Z tohoto vztahu ukažte, že existují kostaty a, b takové, že a l π() b l 5