Kohraniční Lieovské superbialgebry a jejich r-matice Coboundary Lie superbialgebras and their r-matrices

České vysoké učení technické v Praze Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra fyziky Obor: Matematické inženýrství Zaměření: Matematická fyzika Kohraniční Lieovské superbialgebry a jejich r-matice Coboundary Lie superbialgebras and their r-matrices BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vypracoval: Filip Petrásek Vedoucí práce: prof. RNDr. Ladislav Hlavatý, DrSc. Rok: 2012

Před svázáním místo téhle stránky vložíte zadání práce s podpisem děkana (bude to jediný oboustranný list ve Vaší práci)!!!!

Prohlášení Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci vypracoval samostatně a použil pouze literaturu uvedenou v přiloženém seznamu. Nemám závažný důvod proti užití tohoto školního díla ve smyslu 60 Zákona č. 121/200 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon). V Praze dne...... Filip Petrásek

Poděkování Děkuji prof. RNDr. Ladislavu Hlavatému, DrSc. za vedení mé bakalářské práce a za podnětné návrhy, které ji obohatily. Dále bych chtěl poděkovat své rodině a především své přítelkyni za bezmeznou podporu a trpělivost při psaní této práce. Filip Petrásek

Název práce: Kohraniční Lieovské superbialgebry a jejich r-matice Autor: Obor: Druh práce: Filip Petrásek Matematické inženýrství Bakalářská práce Vedoucí práce: prof. RNDr. Ladislav Hlavatý, DrSc. Katedra fyziky, Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská, České vysoké učení technické v Praze Konzultant: Abstrakt: Lieovy superalgebry jsou významným zobecněním klasických Lieových algeber, které jsou běžně využívány v různých oblastech fyziky. Lieovy superalgebry tvoří matematický aparát teorie supersymetrií. Lieova bialgebra je Lieova algebra vybavená lineárním zobrazením, jehož transpozice definuje Lieovu závoru na duálu Lieovy algebry. Jedná se o triviální příklad Maninovy trojice. Kohraniční Lieovy bialgebry jsou definovány pomocí tzv. r-matice, jejíž kohranice právě strukturu Lieovy bialgebry definuje. V této práci se snažíme zobecnit pojem kohranice na úrovni Lieových superalgeber, abychom mohli následně uvažovat kohraniční Lieovy superbialgebry a spočítat jejich r-matice pro nízké dimenze. Klíčová slova: Lieova bialgebra, Lieova superalgebra, Maninova supertrojice, kohranice, r-matice Title: Coboundary Lie superbialgebras and their r-matrices Author: Filip Petrásek Abstract: Lie superalgebras are a remarkable generalisation of the normally used physical term of Lie algebras. Lie superalgebras form the mathematicel structure for the theory of supersymmetries. A Lie bialgebra is defined as a Lie algebra equipped with a linear map whose transpose defines a Lie bracket on a dual of the Lie algebra. It is a trivial example of a Manin triple. Coboundary Lie bialgebras are defined by so called r-matrix whose coboundary defines the Lie-bialgebra structure. In this work we try to generalize the term of coboundary on the level of Lie superalgebras to consider coboundary Lie superbialgebras and calculate their r-matrixes in low dimensions. Key words: Lie bialgebra, Lie superalgebra, Manin supertriple, coboundary, r-matrix

Obsah Úvod 8 1 Lieovy bialgebry 9 1.1 Kohomologie Lieovy algebry....................... 9 1.2 Definice Lieovy bialgebry......................... 10 1.3 Koadjungovaná reprezentace....................... 11 1.4 Duál Lieovy bialgebry.......................... 12 1.5 Double Lieovy bialgebry......................... 13 1.6 Kohraniční Lieovy bialgebry....................... 15 2 Lieovy superbialgebry 17 2.1 Lieovy superalgebry............................ 17 2.2 Klasifikace Lieových superalgeber.................... 19 2.2.1 Lieovy superalgebry superdimenze (1, 1)............ 19 2.2.2 Lieovy superalgebry superdimenze (2, 1)............ 20 2.2.3 Lieovy superalgebry superdimenze (1, 2)............ 20 2.3 Lieovy superbialgebry........................... 22 2.4 Klasifikace Maninových supertrojic................... 24 2.4.1 Maninovy supertrojice superdimenze (2, 2)........... 25 2.4.2 Maninovy supertrojice superdimenze (4, 2)........... 25 2.4.3 Maninovy supertrojice superdimenze (2, 4)........... 25 3 Kohomologie Lieovy superalgebry 29 3.1 Adjungovaná reprezentace Lieovy superalgebry............. 29 3.2 Pojem kohranice na úrovni Lieovy superalgebry............ 34 6

4 Kohraniční Lieovy superbialgebry 38 4.1 Úvod.................................... 38 4.2 Maninovy supertrojice superdimenze (2, 2)............... 39 4.3 Maninovy supertrojice superdimenze (4, 2)............... 41 4.4 Maninovy supertrojice superdimenze (2, 4)............... 46 Závěr 56 Seznam použitých zdrojů 57 Přílohy 58 A Přehledy kohraničních Maninových supertrojic a jejich r-matic 59 7

Úvod Symetrie patří k ústředním pojmům teoretické fyziky 20. století, zejména díky jejich úzkému vztahu se zákony zachování. Důležitými symetriemi jsou například invariance fyzikálních zákonů vůči časové translaci nebo prostorové rotaci. Teorie symetrií je základním nástrojem pro klasifikaci elementárních částic a interakcí v tzv. standardním modelu částicové fyziky. V 70. letech 20. století byl nalezen netriviální způsob zobecnění symetrií na tzv. supersymetrie, což započalo vývoj supersymetrické teorie, často zkracované jako SuSy. V částicové fyzice se jedná o symetrie interakcí mezi bosony a fermiony. Supersymetrie lze aplikovat na kvantovou teorii pole nebo na standardní model částicové fyziky, kde se snaží řešit problémy vzniklé v těchto teoriích. Nelze opomenout jejich úzký vztah s teorií superstrun. Lieova bialgebra je Lieova algebra g s přídavnou konstrukcí v podobě struktury Lieovy algebry na duálním vektorovém prostoru g splňující kompatibilní podmínku s Lieovou závorkou na g. Teorie Lieových bialgeber má velký význam při studiu tzv. Poisson-Lieových grup, což jsou Lieovy grupy vybavené přídavnou strukturou, Poissonovou závorkou, která právě na Lieově grupě indukuje strukturu Lieovy bialgebry. Tyto pojmy hrají významnou úlohu v teorii integrabilních systémů. V první kapitole se zabýváme základními definicemi týkajících se Lieových bialgeber, přičemž využíváme výhradně práci [2]. Především studujeme kohomologii Lieovy algebry, což je důležitý pojem pro definici Lieovy bialgebry. Diskutujeme Maninovy trojice, jakožto významné trojice Lieových algeber. Dále uvažujeme kohraniční Lieovy bialgebry a podmínky vztažené na tzv. r-matice, jejichž kohranice právě strukturu Lieovy bialgebry definuje. Matematickým aparátem supersymetrií je teorie Lieových superalgeber, což je pozoruhodné zobecnění teorie klasických Lieových algeber. Základní pojmy spojené s teorií Lieových superalgeber, společně se zavedením pro nás důležitého pojmu Maninových supertrojic a jejich klasifikace jsou předmětem druhé kapitoly. K tomuto účelu používáme definice a výsledky uvedené v práci [3]. Ve třetí nejdůležitější kapitole se pokusíme zobecnit nejpodstatnější pojmy z teorie Lieových bialgeber pro Lieovy superbialgebry, resp. Maninovy supertrojice. Naší snahou je dospět k definici kohraniční Lieovy superbialgebry a diskutovat příslušné r-matice. Ve čtvrté kapitole použijeme toto zobecnění a pokusíme se klasifikovat kohraniční Lieovy superbialgebry, přičemž budeme vycházet z neisomorfních Lieových superbialgeber, resp. Maninových supertrojic klasifikovaných v práci [3]. 8

Kapitola 1 Lieovy bialgebry V této kapitole se zabýváme studiem Lieových bialgeber. Za účelem kompaktnosti práce zde shrnujeme poznatky zachycené v práci [2]. Definice a důležité závěry, které zde uvedeme, budeme následně využívat pro zobecnění některých pojmů na úrovni Lieovy superalgebry ve třetí kapitole. 1.1 Kohomologie Lieovy algebry Definice 1.1.1 Nechť g je Lieova algebra nad C nebo R. Pokud M je vektorový prostor reprezentace ρ Lieovy algebry g, říkáme, že g působí na M nebo M je tzv. g-modul. Pro x g, a M označujeme (ρ(x))(a) jednodušeji jako x.a. Poznámka 1.1.2 Každá Lieova algebra g působí sama na sebe pomocí adjungované reprezentace, ad : x g ad x End g, definované pro y g vztahem x.y = ad x (y) = [x, y]. Obecně g působí na tenzorový součin g g = p g pomocí adjungované repre- }{{} p-krát zentace ad (p) definované pro rozkladné prvky y 1 y p p g vztahem Speciálně pro p = 2 x.(y 1 y p ) = ad (p) x (y 1 y p ) = ad x y 1 y 2 y p +y 1 ad x y 2 y p + + y 1 y 2 y p 1 ad x y p. (1.1) ad (2) x (y 1 y 2 ) = ad x y 1 y 2 + y 1 ad x y 2 = [x, y 1 ] y 2 + y 1 [x, y 2 ]. Poznámka 1.1.3 Nechť g je Lieova algebra konečné dimenze s bází (e 1,, e n ). Buď b g g, pak b = b ij e i e j a tedy ad (2) x b = b ij ([x, e i ] e j + e i [x, e j ]). (1.2) Tento vztah lze zapsat pomocí strukturních koeficientů Lieovy algebry g a komponent x. 9

Definice 1.1.4 Pro každé nezáporné celé k nazveme vektorový prostor antisymetrických k-lineárních zobrazení z g s hodnotami v M jako prostor k-kořetězců na g s hodnotami v M, kde M je vektorový prostor reprezentace g. Poznámka 1.1.5 Podle definice 1.1.4 je tedy 0-kořetězec na g s hodnotami v M prvek M a 1-kořetězec na g s hodnotami v M je lineární zobrazení z g do M. Obecně tedy k-kořetězec je antisymetrické k-lineární zobrazení u : k g M. Definice 1.1.6 Kohranice k-kořetězce u na g s hodnotami v M, u : k g M, je (k+1)-kořetězec na g s hodnotami v M, δu : k+1 g M, definován vztahem δu(x 0, x 1,, x k ) = + i<j k ( 1) i x i.(u(x 0,, ˆx i,, x k )) i=0 ( 1) i+j u([x i, x j ], x 0,, ˆx i,, ˆx j,, x k ), (1.3) pro x 0, x 1,, x k g, kde ˆx i označuje prvek x i, který je vynechán. Poznámka 1.1.7 V dalším textu budeme především pracovat s kořetězci řádu 0 nebo 1. Proto si pro tyto dva případy definici kohranice explicitně uvedeme. k = 0, u M, x g, δu(x) = x.u k = 1, v : g M, x, y g, δv(x, y) = x.v(y) y.v(x) v([x, y]) Poznámka 1.1.8 Z definice kohranice 1.3 plyne pro každý k-kořetězec u, k 0, že δ(δu) = 0 (1.4) Definice 1.1.9 Řekneme, že k-kořetězec u je k-kocyklus, jestliže δu = 0. Řekneme, že k-kořetězec u, k 1, je k-kohranice, jestliže existuje (k 1)-kořetězec v takový, že u = δv. Poznámka 1.1.10 Z vlastnosti 1.4 plyne, že každá k-kohranice je k-kocyklus. Poznámka 1.1.11 0-kocyklus na g s hodnotami v M je invariantní prvek v M, tj. prvek u M takový, že x.u = 0 pro každé x g. 1.2 Definice Lieovy bialgebry Předpokládejme, že g je Lieova algebra a γ je lineární zobrazení z g do g g, jehož transpozici označíme t γ : g g g. Připomeňme, že lineární zobrazení na g g lze ztotožnit s bilineárním zobrazením na g. 10

Definice 1.2.1 Lieova bialgebra je Lieova algebra g vybavená lineárním zobrazením γ : g g g takovým, že (i) t γ : g g g definuje Lieovu závorku na g, tj. t γ je antisymetrické bilineární zobrazení na g splňující Jacobiho identitu a (ii) γ je 1-kocyklus na g s hodnotami v g g, kde g působí na g g pomocí adjungované reprezentace ad (2), tj. γ : g g g, δγ : g g g g, δγ = 0. Poznámka 1.2.2 Podmínka (ii) je ekvivalentní podmínce ad (2) x (γ(y)) ad (2) y (γ(x)) γ([x, y]) = 0, pro x, y g. Poznámka 1.2.3 Označme [ξ, η] g = t γ(ξ η), pro ξ, η g. Pak podle definice transpozice platí pro x g ξ η, γ(x) = t γ(ξ η), x = [ξ, η] g, x. Poznámka 1.2.4 Podmínka (i) představuje antisymetrii a Jacobiho identitu Poznámka 1.2.5 Označme [ξ, η] g = [η, ξ] g [ξ, [η, µ] g ] g + [η, [µ, ξ] g ] g + [µ, [ξ, η] g ] g = 0. (ad x 1)(y 1 y 2 ) = [x, y 1 ] y 2 a (1 ad x )(y 1 y 2 ) = y 1 [x, y 2 ], kde x, y 1, y 2 g a 1 představuje identické zobrazení z g do g. Odtud tedy ad (2) x (u) = (ad x 1 + 1 ad x )(u), kde u g g. Pak alternativní způsob zápisu podmínky (ii) podle poznámky 1.2.2 a vztahu ξ η, γ([x, y]) = [ξ, η] g, [x, y] je [ξ, η] g, [x, y] = ξ η, (ad x 1+1 ad x )(γ(y)) ξ η, (ad y 1+1 ad y )(γ(x)). 1.3 Koadjungovaná reprezentace Uvažujme Lieovu algebru g a její duální vektorový prostor g. Pro jednoduchost předpokládejme, že g je konečné dimenze. Pro x g definujeme ad x = t (ad x ). Tedy ad x je endomorfismus g splňující pro y g, ξ g ξ, ad x y = t (ad x )ξ, y = ad xξ, y. Pak je snadné dokázat, že zobrazení x g ad x End g je reprezentace g v g. Definice 1.3.1 Reprezentaci x ad x Lieovy algebry g v duálním vektorovém prostoru g nazýváme koadjungovaná reprezentace g. 11

1.4 Duál Lieovy bialgebry Poznámka 1.4.1 Po zavedení koadjungované reprezentace Lieovy algebry g v předchozí sekci a podle poznámky 1.2.5 můžeme podmínku (ii) zapsat ve tvaru [ξ, η] g, [x, y] + [ad xξ, η] g, y + [ξ, ad xη] g, y [ad yξ, η] g, x [ξ, ad yη] g, x = 0. Odtud lze vidět, že existuje symetrie mezi g s Lieovou závorkou [, ] a g s Lieovou závorkou [, ] g definovanou zobrazením γ. Definujme tedy analogicky pro ξ, η g a x g výrazy ad ξ η = [ξ, η] g a ad ξ η, x = η, ad ξx. Pak ξ g ad ξ End g je koadjungovaná reprezentace g v duálu vektorového prostoru g, který je isomorfní g. Tedy podmínku (ii) můžeme zapsat v ekvivalentním tvaru [ξ, η] g, [x, y] + ad xξ, ad ηy ad xη, ad ξy ad yξ, ad ηx + ad yη, ad ξx = 0. (1.5) Zde je již zřejmé, že g a g hrají symetrické role. Označme µ : g g g antisymetrické bilineární zobrazení na g definující Lieovu závorku na g. Transformováním vztahu 1.5 zjistíme, že je ekvivalentní podmínce, že t µ : g g g je 1-kocyklus na g s hodnotami v g g, kde g působí na g g pomocí adjungované akce. Levá strana vztahu 1.5 má totiž tvar t µ[ξ, η] g, x y ξ, [x, ad ηy] + η, [x, ad ξy] + ξ, [y, ad ηx] η, [y, ad ξx] a podmínka (ii) je pak ekvivalentní podmínce t µ[ξ, η] g, x y + (ad η 1+1 ad η )( t µ(ξ)), x y (ad ξ 1+1 ad ξ )( t µ(η)), x y = 0 nebo ad (2) ξ (( t µ)(η)) ad (2) η (( t µ)(ξ)) ( t µ)([ξ, η] g ). Věta 1.4.2 Pokud (g, γ) je Lieova bialgebra a µ je Lieova závorka na g, pak (g, t µ) je Lieova bialgebra, kde t γ je Lieova závorka na g. Definice 1.4.3 Lieovu bialgebru (g, t µ) z věty 1.4.2 nazýváme duál Lieovy bialgebry (g, γ). Poznámka 1.4.4 Z předchozích úvah plyne, že každá Lieova bialgebra má duální Lieovu bialgebru, jejíž duál je původní Lieova bialgebra. 12

1.5 Double Lieovy bialgebry Poznámka 1.5.1 Bilineární forma ( ) je invariantní pro strukturu Lieovy algebry a s Lieovou závorkou [, ], pokud pro každé u, v, w a platí ([u, v] w) = (u [v, w]). Věta 1.5.2 Nechť (g, γ) je Lieova bialgebra s duálem (g, t µ). Pak existuje unikátní struktura Lieovy algebry na vektorovém prostoru g g taková, že g a g jsou Lieovy subalgebry a přirozená bilineární forma na g g je invariantní. Důkaz. Přirozená bilineární forma na g g je pro x, y g a ξ, η g definována jako (x y) = 0, (ξ η) = 0, (x ξ) = (ξ x) = ξ, x. (1.6) Označme [u, v] d Lieovu závorku dvou prvků u, v d = g g a definujme ji vztahy [x, y] d = [x, y], [x, ξ] d = ad ξx + ad xξ, [ξ, η] d = [ξ, η] g. (1.7) Zřejmě g a g jsou Lieovy subalgebry. Ukážeme, že při této definici je přirozená bilineární forma ( ) na g g invariantní. Ze symetrie formy ( ) plyne, že stačí ověřit platnost rovností (y [x, ξ] d ) = ([y, x] d ξ), (η [x, ξ] d ) = ([η, x] d ξ), (1.8) (y [x, z] d ) = ([y, x] d z), (η [ξ, ζ] d ) = ([η, ξ] d ζ), (1.9) kde z g, ζ g. Rovnosti 1.9 platí triviálně, neboť obě strany jsou podle 1.6 a faktu, že g a g jsou Lieovy subalgebry, rovny nule. Platnost rovností 1.8 ukážeme aplikací 1.7 a 1.6 jako a dále jako (y [x, ξ] d ) = (y ad ξx + ad xξ) = (y ad }{{ ξx) +(y ad } xξ) = ad xξ, y 0 = ξ, ad x y = ξ, [y, x] = ([y, x] ξ) = ([y, x] d ξ) (η [x, ξ] d ) = (η ad ξx + ad xξ) = (η ad ξx) + (η ad }{{ xξ) = η, ad } ξx 0 = ad ξ η, x = [ξ, η] g, x = ad η ξ, x = ξ, ad ηx = (ad ηx ξ) = (ad ηx ξ) (ad }{{ xη ξ) = (ad } ηx ad xη ξ) = ([η, x] d ξ). 0 13

Ověřili jsme tedy, že při této definici Lieovy závorky [, ] d je přirozená bilineární forma ( ) na g g invariantní. Dále je třeba ukázat, že výrazy 1.7 definují strukturu Lieovy algebry na g g. Platnost Jacobiho identity plyne z podmínek (i) a (ii) definice Lieovy bialgebry. Definice 1.5.3 Pokud g je Lieova bialgebra, pak g g vybavené Lieovou závorkou [, ] d definovanou výrazy 1.7 nazýváme double Lieovy bialgebry g a značíme g g nebo d. Poznámka 1.5.4 Poznamenejme, že d = g g je také double g. V Lieově algebře d jsou podprostory g a g doplňkové Lieovy subalgebry a oba jsou isotropní, tj. bilineární forma je na g a g rovna nule. Definice 1.5.5 Maninova trojice je trojice (p, a, b), kde p je Lieova algebra vybavená invariantní, nedegenerovanou, symetrickou bilineární formou a a, b jsou doplňkové isotropní Lieovy subalgebry. Poznámka 1.5.6 Tedy pro každou Lieovu bialgebru g je (d, g, g ) příklad Maninovy trojice. Poznámka 1.5.7 Pro konečnou dimenzi lze ukázat, že naopak, pokud (p, a, b) je Maninova trojice, pak a má strukturu Lieovy bialgebry. Tedy a a b hrají symetrické role. Pak má b také strukturu Lieovy bialgebry a Lieova bialgebry b může být ztotožněna s duálem Lieovy bialgebry a. Nechť ( ) je daná bilineární forma na p. Pro b b zaveďme 1-formu ι(b) na a definovanou jako ι(b)(a) = (a b). Lineární zobrazení b ι(b) z b do a je injektivní. Pokud ι(b) = 0, pak (a b) = 0 pro každé a a a tedy i pro každé a p. Odtud pak b je isotropní a p = a b. Z nedegenerovanosti bilineární formy pak plyne, že b = 0. Porovnáním dimenzí zjistíme, že b je isomorfní a. Lieova závorka na b tedy definuje Lieovu závorku na a. K ověření, že je tímto definována struktura Lieovy bialgebry na a, použijeme Jacobiho identitu na p a invarianci bilineární formy. Podle poznámky 1.5.7 lze vyslovit následující věta. Věta 1.5.8 Existuje prostá korespondence mezi konečně-dimenzionálními Lieovými bialgebrami a konečně-dimenzionálními Maninovými trojicemi. 14

1.6 Kohraniční Lieovy bialgebry Uvažujme Lieovu algebru g. V této podkapitole se zabýváme definicí kohraniční Lieovy bialgebry, tj. Lieovy bialgebry (g, γ) jejíž struktura je definovaná pomocí kocyklu δr, který je kohranicí prvku r g g. Definice 1.6.1 Řekneme, že Lieova bialgebra (g, γ) je kohraniční, pokud existuje prvek r g g takový, že platí γ = δr. Takový prvek r g g pak nazýváme r-matice. Podle definice kohraniční Lieovy bialgebry musí δr splňovat podmínky kladené na zobrazení γ v definici 1.2.1. Uvažujeme tedy prvek r g g. Pak r je 0-kořetězec na g s hodnotami v g g. Jak už jsme diskutovali v poznámce 1.1.10, tak 1-kohranice δr je nutně 1-kocyklus a tedy podmínka (ii) v definici 1.2.1 je automaticky splněna. Pak lineární zobrazení δr : g g g musí splňovat zbývající podmínku (i) v podobě definování Lieovy závorky na g, tj. musí splňovat následující podmínky (i.1) t (δr) : g g g musí být antisymetrické bilineární zobrazení, což odpovídá antisymetrii Lieovy závorky na g definovanou δr, (i.2) musí být splněna Jacobiho identita pro Lieovu závorku na g definovanou δr. Jelikož prvek δr(x) g g lze považovat za bilineární formu na g, je podmínka (i.1) ekvivalentní tomu, že δr je lineární zobrazení s hodnotami v Λ 2 g. Uvažujme konečně-dimenzionální Lieovu algebru g. Označme a Λ 2 g, resp. s S 2 g antisymetrickou, resp. symetrickou část r g g, pak r = a + s. A tedy pro x g lze psát δr(x) = ad (2) x r = ad (2) x a + ad (2) x s = δa(x) + δs(x). Odtud lze vidět, že podmínka (i.1) je splněna právě tehdy, když δs = 0, tj. pro každé x g platí, že δs(x) = ad (2) x s = 0 a tedy s je ad-invariantní. Postačující podmínkou pro splnění (i.1) je samozřejmě požadavek, že s = 0, tj. r = a Λ 2 g. Pro prvek r g g definujme zobrazení r : g g pro ξ, η g předpisem r(ξ)(η) = r(ξ, η) = η, rξ, kde r g g považujeme za bilineární formu na g a r(ξ) g za lineární formu na g. Nechť t r : g g označuje transpozici zobrazení r, pak podle definice a = 1 2 (r t r), s = 1 2 (r + t r). 15

Pro prvek r Λ 2 g definujeme tzv. algebraickou Schoutenovu závorku {r, r} Λ 3 g předpisem {r, r}(ξ, η, ζ) = 2 ζ, [rξ, rη] cyclic{ξ,η,ζ}, kde jako cyclic{ξ, η, ζ} označujeme sumaci přes cyklickou záměnu ξ, η, ζ. Pro r Λ 2 g lze ukázat, že nutná a postačující podmínka, aby zobrazení δr definovalo Lieovu závorku na g, je požadavek, že {r, r} Λ 3 g je ad-invariantní. Tato podmínka se někdy označuje jako zobecněná Yang-Baxterova rovnice. Postačující podmínkou pro ad-invarianci {r, r} je samozřejmě požadavek, že {r, r} = 0. Definice 1.6.2 Nechť r g g a nechť s, resp. a je jeho symetrická, resp. antisymetrická část. Pokud s, {a, a} jsou ad-invariantní, pak r nazýváme klasickou r-maticí nebo zkráceně jen r-maticí. 16

Kapitola 2 Lieovy superbialgebry V této kapitole zavádíme pojem Lieovy superalgebry, Drinfeldova superdoublu a především Maninovy supertrojice. V omezeném rozsahu je zde popsán princip klasifikace neisomorfních Lieových algeber a Maninových supertrojic v nízkých dimenzích. Obsahem této kapitoly je také jejich podrobný přehled. Zdůrazněme, že definice, závěry a výsledky uvedené v této kapitole jsou, není-li řečeno jinak, obsahem práce [3], a které zde za účelem celistvosti práce shrnujeme. 2.1 Lieovy superalgebry Definice 2.1.1 Řekneme, že vektorový prostor V nad tělesem T je Z 2 -gradovaný, pokud V lze zapsat jako direktní součet prostorů nad tělesem T ve tvaru V = i Z 2 V i. Vektorový prostor V tedy lze zapsat jako V = V 0 V 1. Vektorový prostor s takovou strukturou budeme nazývat supervektorový prostor. Vektor x V takový, že x V 0 nebo x V 1, nazveme homogenní vektor V. Definice 2.1.2 Reálná Lieova superalgebra S je definována jako reálný Z 2 -gradovaný vektorový prostor V = V 0 V 1 vybavený Lieovou superzávorkou [, ] splňující (i) [x, y] = ( 1) x y [y, x], (ii) ( 1) x z [x, [y, z]] + ( 1) y x [y, [z, x]] + ( 1) z y [z, [x, y]] = 0, (iii) [V i, V j ] V i+j pro i, j Z 2, kde x, y, z jsou homogenní vektory V. Paritu nenulového homogenního vektoru x V definujeme jako x := 0 pokud x V 0, x := 1 pokud x V 1, kde vektory s paritou 0 nazýváme bosony a vektory s paritou 1 nazýváme fermiony. 17

Poznámka 2.1.3 Podmínka (i) se nazývá superantikomutativita a vyjadřuje symetrii Lieovy superzávorky [, ] pro dvojici fermion-fermion a antisymetrii pro ostatní případy. Podmínka (ii) se nazývá super-jacobiho identita. Pro V 1 = {θ} přechází super-jacobiho identita na klasickou Jacobiho identitu a totéž platí i pro Lieovu závorku. V tomto případě je tedy pojem Lieovy superalgebry totožný s klasickou Lieovou algebrou. Poznámka 2.1.4 Nechť N, M V jsou libovolné neprázdné podmnožiny V. Symbolem [M, N] označujeme množinu span({[x, y] x M, y N}). Definice 2.1.5 Řekneme, že Lieova superalgebra je superdimenze (m, n) právě tehdy, když dimv 0 = m a dimv 1 = n. Vždy můžeme zvolit tzv. homogenní bázi {X I } ve V tak, že {X I } m+n I=1 = {b i, f α } m,n i,α=1, b i = 0, f α = 1. (2.1) Poznámka 2.1.6 Intuitivně zde označujeme symboly {b i } bázi bosonové části V, tedy V 0, resp. {f α } bázi fermionové části V, tedy V 1. Definice 2.1.7 Bilineární forma, na Lieově superalgebře S se nazývá supersymetrická právě tehdy, když a super-ad-invariantní právě tehdy, když x, y = ( 1) x y y, x [x, y], z + ( 1) x y y, [x, z] = 0 pro libovolné nenulové homogenní vektory x, y, z. Definice 2.1.8 Nechť S je Lieova superalgebra definována na supervektorovém prostoru V, [, ] je její Lieova superzávorka a M V je libovolná neprázdná podmnožina V. Pak definujeme 1. Lieovu podsuperalgebru Lieovy superalgebry S jako podprostor M V takový, že [M, M] M, 2. ideál Lieovy superalgebry S jako podprostor M V takový, že [M, V ] M, 3. centrum Lieovy superalgebry S jako největší ideál ve smyslu inkluze takový, že [M, V ] = 0. Definice 2.1.9 Lieova superalgebra S se nazývá 1. abelovská, jestliže [V, V ] = 0 2. řešitelná, jestliže existuje k N takové, že S (k) = 0, kde S (n) = [S (n 1), S (n 1) ] a S (0) = V. 18

3. nilpotentní, jestliže existuje k N takové, že S (k) = 0, kde S (n) = [V, S (n 1) ] a S (0) = V. Definice 2.1.10 Nechť V je supervektorový prostor vybavený bilineární formou, a A V je podprostor. Řekneme, že A je isotropní vzhledem k formě, právě tehdy, když platí A, A = 0, tj. pro každé x, y A je x, y = 0. Řekneme, že A je maximálně isotropní vzhledem k formě, právě tehdy, když je maximálním prvkem inkluzí uspořádané množiny všech isotropních podprostorů. 2.2 Klasifikace Lieových superalgeber Definice 2.2.1 Nechť S, resp. S je Lieova superalgebra definována na supervektorovém prostoru V = V 0 V 1, resp. V = V 0 V 1 a [, ], resp. [, ] je její Lieova superzávorka. Lieovy superalgebry S a S nazýváme isomorfní právě tehdy, když existuje lineární isomorfismus P : S S takový, že pro každé x, y S platí P [x, y] = [P x, P y] a který navíc zachovává paritu, tj. P (V 0 ) = V 0, P (V 1 ) = V 1. Klasifikace Lieových superalgeber v nízkých dimenzích byla provedena v práci [4]. Pod pojmem klasifikace Lieových superalgeber dimenze (m, n) rozumíme přehled vzájemně neisomorfních tříd Lieových superalgeber superdimenze (m, n) vzhledem k isomorfismu zavedeném v definici 2.2.1. Předpokládáme Lieovu superalgebru S s Lieovou superzávorkou [, ]. Vzhledem k linearitě je Lieova superalgebra plně určena strukturními koeficienty FIJ K pro homogenní bázi 2.1 jako [X I, X J ] = FIJ K X K. Strukturní koeficienty FIJ K nemohou nabývat libovolných hodnot, neboť jsou omezeny podmínkami v podobě platnosti super-jacobiho identity (ii) a vlastnosti (iii) v definici 2.1.2. Obecné transformace báze 2.1 jsou navíc podmíněny zachováním parity vektoru. Všechny tyto podmínky omezují dovolené bazické transformace a dovolují tak určit vzájemně neisomorfní Lieovy superalgebry. Podrobnějším postupem klasifikace se v této práci zabývat nebudeme a odvoláme se na již klasifikované Lieovy superalgebry v práci [4]. V dalším textu budeme výhradně uvažovat dvou a třírozměrné Lieovy superalgebry s netriviální jak bosonovou, tak fermionovou částí, tedy Lieovy superalgebry superdimenze (1, 1), (2, 1) a (1, 2). 2.2.1 Lieovy superalgebry superdimenze (1, 1) Přehled neisomorfních Lieových superalgeber superdimenze (1, 1) s poznámkou o typu dané Lieovy superalgebry je uveden v tabulce 2.1. 19

2.2.2 Lieovy superalgebry superdimenze (2, 1) Přehled neisomorfních Lieových superalgeber superdimenze (2, 1) společně s jejich automorfismy je uveden v tabulce 2.2. 2.2.3 Lieovy superalgebry superdimenze (1, 2) Přehled neisomorfních Lieových superalgeber superdimenze (1, 2) společně s jejich automorfismy je uveden v tabulce 2.3. Tabulka 2.1: Neisomorfní Lieovy superalgebry superdimenze (1, 1) Označení Nenulové Lieovy superzávorky Poznámka A 11 abelovská N 11 [f 1, f 1 ] = b 1 řešitelná S 11 [b 1, f 1 ] = f 1 nilpotentní Tabulka 2.2: Neisomorfní Lieovy superalgebry superdimenze (2, 1) Označení Nenulové Lieovy superzávorky Automorfismy Poznámka A 21 N 21 [f 1, f 1 ] = b 1 S 21 [b 1, f 1 ] = f 1 C 1 p [b 1, b 2 ] = b 2, [b 1, f 1 ] = pf 1 F [b 1, b 2 ] = b 2, [b 1, f 1 ] = 1 2 f 1, [f 1, f 1 ] = b 2 a b 0 c d 0 0 0 k d 2 0 0 b a 0 0 0 d 1 b 0 0 c 0 0 0 d 1 b 0 0 c 0 0 0 d 1 b 0 0 d 2 0 0 0 d N 11 A 10 S 11 A 10 p R 20

Tabulka 2.3: Neisomorfní Lieovy superalgebry superdimenze (1, 2) Označení Nenulové Lieovy superzávorky Automorfismy A 12 N 0 12 [f 1, f 1 ] = b 1 N 12 [f 1, f 1 ] = b 1, [f 2, f 2 ] = b 1 C 2 1 [b 1, f 1 ] = f 1 [b 1, f 2 ] = f 2 C 2 p 1 < p < 1 [b 1, f 1 ] = f 1, [b 1, f 2 ] = pf 2 C 2 1 [b 1, f 1 ] = f 1, [b 1, f 2 ] = f 2 C 3 [b 1, f 2 ] = f 1 C 4 [b 1, f 1 ] = f 1, [b 1, f 2 ] = f 1 + f 2 C 5 p p > 0 [b 1, f 1 ] = pf 1 f 2, [b 1, f 2 ] = f 1 + pf 2 C 5 0 [b 1, f 1 ] = f 2, [b 1, f 2 ] = f 1 k 0 0 0 a b 0 c d a 2 0 0 0 a b 0 0 d d 2 + c 2 0 0 0 d ±c 0 c d 1 0 0 0 0 b 0 c o, 1 0 0 0 c 0 0 0 d 1 0 0 0 a b 0 c d a 0 0 0 ad 0 0 c d 1 0 0 0 a 0 0 c a 1 0 0 0 a c 0 c a 1 0 0 0 c 0 0 0 d ±1 0 0 0 ±a c 0 c a 21

2.3 Lieovy superbialgebry Za účelem vyhnout se problému definice pojmu supergrupy, je Drinfeldův superdouble definován pouze na algebraické úrovni. Definice 2.3.1 Lieovu superalgebru D vybavenou nedegenerovanou, supersymetrickou a super-ad-invariantní bilineární formou, nazýváme Drinfeldův superdouble, jestliže existuje rozklad na dvě maximálně isotropní Lieovy podsuperalgebry S, S takové, že D = S S. Trojici (D, S, S) nazýváme Maninova supertrojice. Poznámka 2.3.2 Z vlastností formy, plyne, že dims = dim S a tedy dimenze Drinfeldova superdoublu D je vždy sudá. Definice 2.3.3 Nechť D a D jsou Drinfeldovy superdoubly s bilineárními formami, a,. Drinfeldovy superdoubly D a D nazýváme isomorfní právě tehdy, když existuje isomorfismus P : D D Lieových superalgeber takový, že pro každé x, y D platí x, y = P x, P y. Maninovy supertrojice (D, S, S), (D, S, S ) nazýváme isomorfní právě tehdy, když existuje isomorfismus P jejich Drinfeldových superdoublů takový, že P (S) = S, P ( S) = S. Poznámka 2.3.4 V dalším textu budeme Maninovu supertrojici (D, S, S) zkráceně označovat jako (S S). Definice 2.3.5 Maninova supertrojice (S S) se nazývá boson-fermion ortogonální právě tehdy, když S 0, S 1 = S 1, S 0 = 0, kde S = S 0 S 1 a S = S 0 S 1. Dále uvažujeme pouze boson-fermion ortogonální Maninovy supertrojice. Poznámka 2.3.6 Z boson-fermion ortogonality Maninovy supertrojice (S S) plyne, že superdimenze S a S si navzájem odpovídají, tj. (m, n) = ( m, ñ). V takových Maninových supertrojicích lze tedy zvolit tzv. duální homogenní báze {X I, X J } m+n I,J=1 = {b i, f α, b j, f β } m,n,m,n i,α,j,β=1, (2.2) kde b i = b j = 0, f α = f β = 1, 22

b i, b j = b j, b i = δ j i, f α, f β = f β, f α = δ β α, b i, b j = b i, f α = b i, f β = f α, b j = f α, f β = f α, b j = 0, b j, b i = b j, f α = b j, f β = f β, b j = f β, b j = f β, f α = 0. Bloková matice bilineární formy, má v této bázi tvar 0 0 1 m 0 B = 1 n 1 m, 0 1 n 0 0 kde 1 k je matice identity dimenze k. Dále je zřejmé, že superdimenze takovýchto Maninových supertrojic a Drinfeldových superdoublů je (2m, 2n). Poznámka 2.3.7 Speciálním typem isomorfismu Drinfeldových superdoublů je tzv. T -dualita definována jako lineární transformace T : D D taková, že T : b i b i, f α f α, b j b j, f β f β. Matice této transformace je rovna právě matici B. Pro Maninovy supertrojice zřejmě platí, že T (S S) = ( S S) a pak Maninovu supertrojici ( S S) nazýváme duální k Maninově supertrojici (S S). Maninovy supertrojice (S S) a ( S S) nejsou obecně isomorfní. Poznámka 2.3.8 Důsledkem super-ad-invariance, jsou strukturní koeficienty Maninovy supertrojice (S S) v duální bázi jednoznačně určeny strukturními koeficienty Lieových podsuperalgeber S a S jako [X I, X J ] = F JK IX K + F J KI X K, (2.3) kde [X I, X J ] = F K IJ X K, [ X I, X J ] = F IJ K X K. (2.4) Super-Jacobiho identita (ii) pro Drinfeldův superdouble pak implikuje kompatibilní podmínky pro podsuperalgebry Maninovy supertrojice (S S). 23

2.4 Klasifikace Maninových supertrojic Klasifikace Maninových supertrojic v nízkých dimenzích byla provedena v práci [3]. V této podkapitole shrnujeme poznatky z metody této klasifikace a především uvádíme přehledy neisomorfních Maninových supertrojic v nízkých dimenzích jako výsledky práce [3], které budeme dále využívat ve čtvrté kapitole. Pod pojmem klasifikace Maninových supertrojic superdimenze (2m, 2n) rozumíme přehled vzájemně neisomorfních tříd Maninových supertrojic superdimenze (2m, 2n) vzhledem k isomorfismu zavedeném v definici 2.3.3. Předpokládáme Lieovu superalgebru S superdimenze (m, n) a hledáme strukturní koeficienty duální Lieovy superalgebry S. Metoda této klasifikace spočívá v řešení super-jacobiho identit, které lze psát ve tvaru a ( 1) X I X K [ X I, [ X J, X K ]] cyclic{i,j,k} = 0 (2.5) ( 1) X I X K [ X I, [ X J, X K ]] cyclic{i,j,k} = 0, (2.6) kde jako cyclic{i, J, K} označujme sumaci přes cyklickou záměnu indexů I, J, K. Při řešení uvažujeme duální homogenní bázi 2.2 a tedy, že Lieovy superzávorky bazických vektorů vyhovují vztahům 2.3 a 2.4. Další krok je hledání seznamu různých tříd isomorfních Maninových supertrojic a volba kanonického tvaru strukturních koeficientů F IJ K pro každou třídu. Tento tvar podle práce [4] odpovídá volbě báze Lieovy superalgebry S, při které je bilineární forma v kanonickém tvaru, tj. b i, b j = δ j i, f α, f β = δ β α. Vzájemně isomorfní Maninovy supertrojice jsou spojeny transformací duální homogenní báze, kterou lze v blokovém tvaru zapsat jako ( ) ( X A 0 X = 0 (A 1 ) T ) ( X X ), kde (X, X) T a (X, X ) T jsou duální homogenní báze Maninových supertrojic a A je blokově diagonální matice dovolených automorfismů Lieovy superalgebry S. Podrobnějším postupem klasifikace se zde zabývat nebudeme a odvoláme se na již klasifikované Maninovy supertrojice v práci [3]. V dalším textu budeme opět uvažovat pouze Lieovy superalgebry s netriviální jak bosonovou, tak fermionovou částí, přičemž vycházíme z klasifikace dvou a třírozměrných Lieových superalgeber a tedy tabulek 2.1, 2.2 a 2.3. 24

2.4.1 Maninovy supertrojice superdimenze (2, 2) Maximálně isotropní Lieovy podsuperalgebry S a S Maninovy supertrojice superdimenze (2, 2) odpovídají superdimenzi (1, 1) a musí být isomorfní Lieovým superalgebrám uvedených v tabulce 2.1. Lieovy závorky na S předpokládáme také ve tvaru podle tabulky 2.1. Pro každou Lieovu superalgebru S z tabulky 2.1 snadno určíme strukturní koeficienty duální Lieovy superalgebry S, tak aby splňovaly vztahy 2.5 a 2.6. Užitím příslušných automorfismů Lieovy superalgebry S získáme 5 tříd neisomorfních Maninových supertrojic (S S) superdimenze (2, 2) až na T-duality. Přehled neisomorfních Maninových supertrojic superdimenze (2, 2) až na T-duality, tedy bez uvažování příslušných duálních Maninových supertrojic, je uveden v tabulce 2.4. 2.4.2 Maninovy supertrojice superdimenze (4, 2) Uvažujeme Lieovu superalgebru S podle tabulky 2.2. Ověřením super-jacobiho identit 2.5, 2.6 a užitím příslušných automorfismů Lieovy superalgebry S získáme 14 tříd neisomorfních Maninových supertrojic (S S) superdimenze (4, 2) až na T-duality. Přehled neisomorfních Maninových supertrojic superdimenze (4, 2) až na T-duality, tedy bez uvažování příslušných duálních Maninových supertrojic, je uveden v tabulce 2.5. 2.4.3 Maninovy supertrojice superdimenze (2, 4) Uvažujeme Lieovu superalgebru S podle tabulky 2.3. Ověřením super-jacobiho identit 2.5 a 2.6 zjistíme, že Maninovy supertrojice superdimenze (2, 4) mohou nabývat pouze tvaru (C N α,β,γ 12 ) nebo jejich T-dualit, kde C = A 12, Cp, 2 C 3, C 4, Cp 5 a N α,β,γ 12 jsou Lieovy superalgebry jejichž Lieovy superzávorky splňují [ f 1, f 1 ] = α b 1, [ f 1, f 2 ] = β b 1, [ f 2, f 2 ] = γ b 1. Tyto Lieovy superalgebry jsou isomorfní N12 = N 1,0, 12 nebo N12 0 = N 1,0,0 12 nebo A 12 = N 0,0,0 12. Užitím automorfismů Lieových superalgeber A 12, C 2 p, C 3, C 4, C 5 p uvedených v tabulce 2.6 získáme 31 tříd neisomorfních Maninových supertrojic (S S) superdimenze (2, 4) až na T-duality. Přehled neisomorfních Maninových supertrojic superdimenze (2, 4) až na T-duality, tedy bez uvažování příslušných duálních Maninových supertrojic, je uveden v tabulce 2.6. 25

Tabulka 2.4: Neisomorfní Maninovy supertrojice superdimenze (2, 2) až na T-duality (S, S) Nenulové Lieovy superzávorky Backhouseova klasifikace 1 (A 11, A 11 ) abelovská 2 (N 11 A 11 ) [f 1, f 1 ] = b 1, [f 1, b 1 ] = f 1 (C 3 + A) 3 (S 11 A 11 ) [b 1, f 1 ] = f 1, [b 1, f 1 ] = f 1 [f 1, f 1 ] = b 1 (C 2 1 + A) 4,5 (S 11 N 11) [b 1, f 1 ] = f 1, [b 1, f 1 ] = f 1 f 1, [f 1, f 1 ] = b 1, [ f 1, f 1 ] = b 1 = (C 2 1 + A) 26

Tabulka 2.5: Neisomorfní Maninovy supertrojice superdimenze (4, 2) až na T-duality S S Nenulové Lieovy superzávorky Poznámka 1 A 21 A 21 N 21 [f 1, f 1 ] = b 1 2 A 21 S 21 [b 1, f 1 ] = f 1 3 A 21 4 N 21 [ f 1, f 1 ] = b 1 5 S 21 [ b 2, f 1 ] = f 1 C 1 p [b 1, b 2 ] = b 2, [b 1, f 1 ] = pf 1 p R 6 A 21 7 N 21 [ f 1, f 1 ] = b 1 8 C1 p [ b 1, b 2 ] = b 1, [ b 2, f 1 ] = p f 1 9 Ñ 21 [ f 1, f 1 ] = b 2 p = 1 2 10 C 1 0, κ [ b 1, b 2 ] = κ b 2 p = 0, κ 0 F [b 1, b 2 ] = b 2, [b 1, f 1 ] = 1 2 f 1, [f 1, f 1 ] = b 2 11 A 21 12 C 1, p= 1 2 [ b 1, b 2 ] = b 1, [ b 2, f 1 ] = 1 2 f 1 13 F.i, [ b 1, b 2 ] = b 1, [ b 2, f 1 ] = 1 2 f 1, [ f 1, f 1 ] = b 1 14 F.ii, κ [ b 1, b 2 ] = b 2, [ b 1, f 1 ] = 1 2 κ f 1, [ f 1, f 1 ] = κ b 2 κ 0 27

Tabulka 2.6: Neisomorfní Maninovy supertrojice superdimenze (2, 4) až na T-duality S S Poznámka, 1, 2 = ±1, δ {0, 1} 1-3 A 12 A 12, N 1,0,0 12, N 1,0, 12 4-8 C 2 p A 12, N 0,1,0 12, N 0,δ, 12, N,δ,0 12, N 1,κ, 2 12 p < 1, κ 0 9-12 C1 2 A 12, N,0, 12, N 1,0, 1 12, N 0,0, 12 13-17 C 2 1 A 12, N 0,1,0 12, N 0,δ, 12, N 1,κ,1 12, N,κ, 12 κ 0 18-22 C 3 A 12, N,0,1 12, N 1,0,0 12, N 0,,0 12, N 0,0,1 12 23-26 C 4 A 12, N,0,0 12, N 0,,0 12, N κ,0, 12 κ R 27-29 C 5 p A 12, N κ,0, 12, N 1,0, 1 12 p > 0, 1 < κ 1 30, 31 C 5 p=0 A 12, N κ,0,1 12 1 κ 1 28

Kapitola 3 Kohomologie Lieovy superalgebry Jak již víme podle věty 1.5.8, tak v případě konečné dimenze existuje prostá korespondence mezi Lieovou bialgebrou a Maninovou trojicí. Tento fakt využijeme při popisu Lieovy superbialgebry, neboť pracujeme výhradně na prostorech konečné dimenze. Budeme tedy pojem Lieovy superbialgebry nahrazovat Maninovou supertrojicí. V této kapitole bude naším cílem definovat kohomologii Lieovy superalgebry do takové míry, abychom mohli zkoumat, kdy je daná Lieova superbialgebra, resp. Maninova supertrojice kohraniční. Zdůrazněme, že tato a následující kapitola by měla být vrcholem této práce. 3.1 Adjungovaná reprezentace Lieovy superalgebry Na další úvahy má zásadní vliv adjungovaná reprezentace Lieovy superalgebry. Je zcela rozumné předpokládat, že Lieova superalgebra S bude působit sama na sebe prostřednictvím adjungované reprezentace ad a že tuto úlohu bude stejně jako v klasickém případě hrát samotná Lieova závorka, v našem případě tedy Lieova superzávorka. Připomeňme tedy její vlastnosti. Pro každé x, y, z S platí, že [x, y] = ( 1) x y [y, x] (3.1) ( 1) x z [x, [y, z]] + ( 1) y x [y, [z, x]] + ( 1) z y [z, [x, y]] = 0 (3.2) [V i, V j ] V i+j pro i, j Z 2 (3.3) Definujme tedy zobrazení ad : x S ad x End S, předpisem pro y S jako x.y = ad x (y) = [x, y], kde [, ] je Lieova superzávorka z definice 2.1.2. 29

Takto definované zobrazení by mělo být reprezentací Lieovy superalgebry S. Musí tedy pro každé x, y, z S splňovat podmínku reprezentace ad [x,y] z = [ad x, ad y ](z). V dalším textu užijeme s výhodou následující vlastnost. Lemma 3.1.1 Nechť S je Lieova superalgebra a [, ] je její Lieova superzávorka. Pak pro každé x, y S platí ( 1) [x,y] = ( 1) x + y. Důkaz. Tato vlastnost plyne přímo z vlastnosti 3.3 Lieovy superzávorky a definice parity, které aplikujeme na všechny kombinace uspořádané dvojice ( x, y ), kde x V i a y V j, i, j {0, 1}. Odtud pak plyne tvrzení lemmatu. ( x, y ) x + y [x, y] (0, 0) 0 0 (1, 0) 1 1 (0, 1) 1 1 (1, 1) 2 0 Podívejme se nejprve na výraz ad x [y, z], který upravíme pomocí super-jacobiho identity 3.2 a supersymetrie 3.1 jako ad x [y, z] = [x, [y, z]] = ( 1) x z ( 1) y x [y, [z, x]] ( 1) x z ( 1) z y [z, [x, y]] = ( 1) y x [y, [x, z]] + ( 1) x z ( 1) z y ( 1) z [x,y] [[x, y], z] }{{} a = ( 1) y x [y, [x, z]] + a[[x, y], z] Podle lemmatu 3.1.1 nahlédneme, že výraz a = ( 1) x z ( 1) z y ( 1) z [x,y] = ( 1) x z ( 1) z y ( 1) z ( x + y ) = ( 1) 2 z ( x + y ) = 1 z ( x + y ) 1 (3.4) pro každé x, y, z S. Platí tedy, že ad x [y, z] = [x, [y, z]] = ( 1) y x [y, [x, z]] + [[x, y], z] = ( 1) y x ad y ad x z + ad [x,y] z 30

neboli [[x, y], z] = [x, [y, z]] ( 1) y x [y, [x, z]] (3.5) pro každé x, y, z S. Odtud pak můžeme vyjádřit hledaný výraz pro podmínku reprezentace jako ad [x,y] z = ad x ad y z ( 1) y x ad y ad x z = (ad x ad y ( 1) y x ad y ad x )(z) = [ad x, ad y ](z), kde jsme definovali [ad x, ad y ] := ad x ad y ( 1) y x ad y ad x. Tedy při takto definované Lieově superzávorce dvou lineárních operátorů ad x, ad y na S je zobrazení ad adjungovaná reprezentace Lieovy superalgebry S v S. Definice 3.1.2 Nechť S je Lieova superalgebra a [, ] je její Lieova superzávorka. Lieovu superzávorku dvou lineárních operátorů ad x, ad y na S definujeme předpisem [ad x, ad y ] := ad x ad y ( 1) y x ad y ad x. Pak zobrazení ad : x S ad x End S definované pro x, y S předpisem ad x (y) = [x, y] (3.6) nazýváme adjungovaná reprezentace Lieovy superalgebry S v S. Poznámka 3.1.3 Důsledkem tohoto zobecnění je samozřejmě fakt, že pro V 1 = {θ} přechází tato definice na klasickou Lieovu závorku dvou lineárních operátorů [ad x, ad y ] = ad x ad y ad y ad x. Poznámka 3.1.4 Podle práce [4] lze lineární operátory na Lieově algebře S superdimenze (m, n) ztotožnit s blokovými maticemi T (m+n),(m+n) tvaru ( ) P (m,m) Q T = (m,n). R (n,m) S (n,n) Prostor takovýchto matic lze rozložit na sudou a lichou část, kde sudá, resp. lichá zobrazení představují matice blokově diagonální, resp. blokově mimo-diagonální. Na tomto supervektorovém prostoru definujeme Lieovu superzávorku jako [T 1, T 2 ] = T 1 T 2 ( 1) T 2 T 1 T 2 T 1, kde T = 0 pro sudé zobrazení a T = 1 pro liché zobrazení. 31

Podívejme se dále, jak působí Lieova superalgebra S na tenzorový součin dvou Lieových superalgeber S S. Chceme nalézt analogické vyjádření výrazu pro x S a u S S. x.u = ad (2) x u Uvažujme tedy zobrazení ad (2) : x S ad (2) x End S S. Naším cílem je nalézt předpis, jak obecně působí ad (2) x na rozkladné prvky y 1 y 2 S S, tedy vyjádřit výraz ad (2) x (y 1 y 2 ). Přičemž směrodatnou podmínkou bude opět požadavek, aby zobrazení ad (2) byla reprezentace Lieovy superalgebry S v S S. Musí tedy platit pro každé u S S, že ad (2) [x,y] u = [ad(2) x, ad (2) y ](u), kde podle předchozí části definujeme [ad (2) x, ad (2) y ] = ad (2) x ad (2) y ( 1) x y ad (2) y ad (2) x. Označme u 1, u 2 S rozkladné prvky u S S, u = u 1 u 2, pak musí být splněna rovnost ad (2) [x,y] (u 1 u 2 ) = ad (2) x ad (2) y (u 1 u 2 ) ( 1) x y ad (2) y ad (2) x (u 1 u 2 ) pro každé u 1, u 2 S. Tvrzení 3.1.5 Nechť S je Lieova superalgebra, u 1, u 2 S a definujeme působení na rozkladné prvky u 1 u 2 S S předpisem ad (2) x ad (2) x (u 1 u 2 ) = ad x u 1 u 2 + ( 1) x u 1 u 1 ad x u 2. (3.7) Pak zobrazení ad (2) : x S ad (2) x S v S S. End S S je reprezentace Lieovy superalgebry Důkaz. Podle předchozích úvah stačí dokázat, že pro každé x, y, u 1, u 2 S platí rovnost ad (2) [x,y] (u 1 u 2 ) }{{} L Podle 3.7 upravíme postupně levou stranu jako = ad (2) x ad (2) y (u 1 u 2 ) ( 1) x y ad (2) y ad (2) x (u 1 u 2 ) }{{} P L = ad [x,y] u 1 u 2 + ( 1) [x,y] u 1 u 1 ad [x,y] u 2 = [[x, y], u 1 ] u 2 + ( 1) [x,y] u 1 u 1 [[x, y], u 2 ] = [[x, y], u 1 ] u }{{} 2 + u 1 ( 1) [x,y] u1 [[x, y], u 2 ] }{{} l 1 = l 1 u 2 + u 1 l 2 l 2 32

a pravou stranu jako P = ad (2) x ([y, u 1 ] u 2 + ( 1) y u 1 u 1 [y, u 2 ]) ( 1) x y ad (2) y ([x, u 1 ] u 2 + ( 1) x u 1 u 1 [x, u 2 ]) = [x, [y, u 1 ]] u 2 + ( 1) x [y,u 1] [y, u 1 ] [x, u 2 ] +( 1) y u 1 [x, u 1 ] [y, u 2 ] + ( 1) y u 1 ( 1) x u 1 u 1 [x, [y, u 2 ]] ( 1) x y [y, [x, u 1 ]] u 2 ( 1) x y ( 1) y [x,u 1] [x, u 1 ] [y, u 2 ] ( 1) x y ( 1) x u 1 [y, u 1 ] [x, u 2 ] ( 1) x y ( 1) x u 1 ( 1) y u 1 u 1 [y, [x, u 2 ]] = ([x, [y, u 1 ]] ( 1) x y [y, [x, u 1 ]]) u }{{} 2 p 1 +u 1 (( 1) y u 1 ( 1) x u 1 ([x, [y, u 2 ]] ( 1) x y [y, [x, u 2 ]])) }{{} p 2 + (( 1) y u1 ( 1) x y ( 1) y [x,u1] )[x, u }{{} 1 ] [y, u 2 ] p 3 + (( 1) x [y,u1] ( 1) x y ( 1) x u1 )[y, u }{{} 1 ] [x, u 2 ] p 4 = p 1 u 2 + u 1 p 2 + p 3 [x, u 1 ] [y, u 2 ] + p 4 [y, u 1 ] [x, u 2 ] Výrazy p 3 a p 4 jsou podle lemmatu 3.1.1 pro každé x, y, u 1 S rovny nule, neboť p 3 = ( 1) y u 1 ( 1) x y ( 1) y [x,u 1] = ( 1) y u 1 ( 1) 2 x z ( 1) y u 1 = ( 1) y u 1 ( 1) y u 1 0, p 4 = ( 1) x [y,u 1] ( 1) x y ( 1) x u 1 = ( 1) x y ( 1) x u 1 ( 1) x y ( 1) x u 1 0. Platí tedy, že L = l 1 u 2 + u 1 l 2, P = p 1 u 2 + u 1 p 2. Porovnáním zjistíme, že rovnost L = P je splněna nezávisle na x, y, u 1, u 2 S, pokud platí, že l 1 = p 1, l 2 = p 2. První podmínka znamená, že musí platit [[x, y], u 1 ] = [x, [y, u 1 ]] ( 1) x y [y, [x, u 1 ]], což je přímo výraz 3.5, který platí pro každé x, y, u 1 S. Druhá podmínka znamená, že musí platit rovnost ( 1) [x,y] u 1 [[x, y], u 2 ] = ( 1) y u 1 ( 1) x u 1 ([x, [y, u 2 ]] ( 1) x y [y, [x, u 2 ]]), 33

která po úpravě přejde na tvar ( 1) y u1 ( 1) x u1 ( 1) [x,y] u 1 [[x, y], u }{{} 2 ] = [x, [y, u 2 ]] ( 1) x y [y, [x, u 2 ]], a kde podle 3.4 je výraz a 1 pro každé x, y, u 1 S. Pak podmínka l 2 = p 2 má tvar [[x, y], u 2 ] = [x, [y, u 2 ]] ( 1) x y [y, [x, u 2 ]], což je opět výraz 3.5, který platí pro každé x, y, u 1 S. Rovnost L = P tak platí pro každé x, y, u 1, u 2 S a tedy zobrazení ad (2) je adjungovaná reprezentace Lieovy superalgebry S v S S. Předchozí tvrzení nás tedy opravňuje k následující definici. Definice 3.1.6 Nechť S je Lieova superalgebra. Pak zobrazení ad (2) z tvrzení 3.1.5, ad (2) : x S ad (2) x End S S, definované pro x S a rozkladné prvky y 1 y 2 S S předpisem x.(y 1 y 2 ) = ad (2) x (y 1 y 2 ) = ad x y 1 y 2 + ( 1) x y 1 y 1 ad x y 2 (3.8) nazýváme adjungovaná reprezentace Lieovy superalgebry S v S S. 3.2 Pojem kohranice na úrovni Lieovy superalgebry Uvažujme Lieovu superalgebru S superdimenze (m, n) a její homogenní bázi {X I } m+n I=1. Pak můžeme S zapsat jako lineární obal své homogenní báze, tedy jako Tenzorový součin S S definujeme jako S = span{{x I } m+n I=1 }. S S = span{{x I } m+n I=1 } span{{x J} m+n J=1 } = span{{x I X J } m+n I,J=1 }. Tedy báze S S má tvar {X I X J } m+n I,J=1. Naší motivací je zjistit, jak definovat k-kořetězec na úrovni Lieovy superalgebry. Vzhledem k tomu, že dále budeme využívat pouze kořetězce řádu 0 a 1, tak se na tyto dva případy omezíme. Jak již víme, tak podle definice 1.1.4 pro klasickou Lieovu algebru g a její vektorový prostor reprezentace M je 0-kořetězec na g s hodnotami v M prvek M a 1-kořetězec na g s hodnotami v M je lineární zobrazení z g do M. V případě Lieovy superalgebry S můžeme za M považovat tenzorový součin S S, kde Lieova superalgebra S působí na S S pomocí adjungované reprezentace ad (2) z definice 3.1.6. Tedy můžeme vyslovit následující definici. 34

Definice 3.2.1 Nechť S je Lieova superalgebra. Pak definujeme 0-kořetězec na S s hodnotami v S S jako prvek S S a 1-kořetězec na S s hodnotami v S S jako lineární zobrazení z S do S S. Kohranice k-kořetězce je v klasickém případě definována jako (k+1)-kořetězec. Tento fakt budeme předpokládat analogicky pro Lieovu superalgebru. Jelikož jsme zavedli pouze kořetězce řádu 0 a 1, smíme tedy definovat pouze kohranici 0-kořetězce, což však je pro naše účely zcela postačující. Definice 3.2.2 Kohranice 0-kořetězce na S s hodnotami v S S, tj. prvku u S S, je 1-kořetězec na S s hodnotami v S S, tj. lineární zobrazení δu : S S S definované pro x S vztahem δu(x) = x.u = ad (2) x u. (3.9) Lieova bialgebra je v klasickém případě definována jako dvojice (g, γ), kde g je Lieova algebra a γ je lineární zobrazení z g do g g splňující vlastnosti podle definice 1.2.1. Především podmínka (i) znamená, že její transpozice definuje Lieovu závorku na g. Pak podmínka na kohraniční Lieovu bialgebru znamená požadavek na existenci prvku r g g takového, že jeho kohranice δr právě toto zobrazení γ definuje, tj. γ = δr. Maninovy supertrojice, které nám představují Lieovy superbialgebry, jsou klasifikovány v kapitole 2 a jejich přehledy jsou uvedeny v tabulkách 2.4, 2.5 a 2.6. Je zcela zřejmé, že Lieova superalgebra S, resp. její Lieova superzávorka je určena strukturními koeficienty F IJ K. Tyto koeficienty nám tak nahrazují lineární zobrazení γ, resp. jeho transpozici t γ : S S S. Lze tedy pro homogenní bázi { X I } m+n I=1 Lieovy superalgebry S psát t γ( X I, X J ) = [ X I, X J ] = F IJ K X K. Na základě těchto úvah zavádíme následující definici. Definice 3.2.3 Řekneme, že Maninova supertrojice (S S) superdimenze (2m, 2n) s duální homogenní bází {X I, X J } m+n I,J=1 je kohraniční, pokud existuje prvek r S S takový, že jeho kohranice definuje Lieovu superzávorku na S, tj. pokud platí, že (δr) IJ K = F IJ K, (3.10) kde F IJ K jsou strukturní koeficienty Lieovy superalgebry S a (δr) IJ K obrazu bazického vektoru X K při zobrazení δr : S S S, tj. jsou souřadnice δr(x K ) = (δr) IJ KX I X J. Takový prvek r S S pak nazýváme r-matice. 35

Podívejme se nyní blíže na vztah 3.10. Uvažujme tedy Maninovu supertrojici (S S) s duální homogenní bází {X I, X J } m+n a příslušné strukturní koeficienty F K IJ, F K definované jako IJ I,J=1 [X I, X J ] = F K IJ X K, [ X I, X J ] = F IJ K X K. (3.11) Označme bázi S S jako {X I X J } m+n I,J=1. Předpokládejme prvek r S S, pak jeho vyjádření v bázi S S má tvar r = r IJ X I X J. (3.12) Z definice 3.2.2 plyne, že δr : S S S. Pak podle vztahu 3.9 a 3.12 pro bazický vektor X K S platí, že δr(x K ) = X K.r = ad (2) X K r = ad (2) X K (r IJ X I X J ) = r IJ ad (2) X K (X I X J ). Podle vztahu 3.8, 3.6 a 3.11 upravíme dále jako r IJ ad (2) X K (X I X J ) = r IJ (ad XK X I X J + ( 1) X K X I X I ad XK X J ) = r IJ ([X K, X I ] X J + ( 1) X K X I X I [X K, X J ]) = r IJ (F L KI X L X J + ( 1) X K X I X I F L KJ X L ) = r IJ FKI L X L X J + r IJ ( 1) X K X I F L X I X L = FKI L r IJ X L X J + ( 1) X K X I FKJ L r IJ X I X L Přeznačme v prvním členu sčítací indexy I, L jako I L a ve druhém členu sčítací indexy J, L jako J L. Pak upravovaný výraz přejde na tvar Tedy platí, že KJ (F I KL r LJ + ( 1) X K X I F J KL r IL )X I X J. δr(x K ) = (FKL I r LJ + ( 1) X K X I FKL J r IL )X I X J, což je vyjádření δr(x K ) S S v bázi {X I X J } m+n I,J=1. Pak hledané koeficienty (δr) IJ K, které splňují δr(x K) = (δr) IJ K X I X J, mají tvar (δr) IJ K = FKL I r LJ + ( 1) X K X I FKL J r IL. Pro přehlednost zavedeme paritu indexu K jako paritu bazického vektoru X K S příslušejícího indexu K jako K := X K. Podle předchozích úvah můžeme vyslovit následující tvrzení. 36

Tvrzení 3.2.4 Nechť (S S) je Maninova supertrojice superdimenze (2m, 2n) a nechť {X I, X J } m+n I,J=1 je její duální homogenní báze. Pak Maninova supertrojice (S S) je kohraniční, pokud existuje řešení r IJ obecně nehomogenní soustavy lineárních algebraických rovnic FKL I r LJ + ( 1) K I FKL J r IL = F IJ K, (3.13) která je generována strukturními koeficienty Lieových superalgeber S a S splňující vztahy [X I, X J ] = FIJ K X K, [ X I, X J ] = F IJ X K K. Pro kohraniční Maninovu trojici má pak příslušná r-matice tvar r = r IJ X I X J. Důkaz. Tvrzení plyne z předchozích úvah a z definice 3.2.3. V následující kapitole se budeme zabývat řešením soustavy lineárních rovnic 3.13 pro již klasifikované dvou a třírozměrné neisomorfní třídy Maninových supertrojic jejichž přehledy jsou uvedeny v tabulkách 2.4, 2.5 a 2.6. 37

Kapitola 4 Kohraniční Lieovy superbialgebry 4.1 Úvod Hledáme řešení r IJ obecně nehomogenní soustavy lineárních algebraických rovnic FKL I r LJ + ( 1) K I FKL J r IL = F IJ K, (4.1) kde [X I, X J ] = FIJ K X K, [ X I, X J ] = F IJ X K K, {X I, X J } m+n I,J=1 je duální homogenní báze (S S) superdimenze (2m, 2n). Jedná se o soustavu (m + n) 3 rovnic o (m + n) 2 neznámých. Řešitelnost soustavy je podmíněna tvarem strukturních koeficientů Lieových superalgeber S, resp. S, kde strukturní koeficienty FIJ K generují matici soustavy, resp. strukturní koeficienty generují příslušné pravé strany. F IJ K Pokud řešení r IJ existuje, pak danou Maninovu supertrojici nazveme kohraniční a hledanou r-matici vyjádříme v bázi S S jako r = r IJ X I X J. Poznámka 4.1.1 Pro Lieovy superbialgebry typu (A S), kde A je libovolná abelovská superalgebra a S je libovolná neabelovská superalgebra, tj. FIJ K = 0 a F IJ K 0, platí, že soustava 4.1 nemá řešení, neboť rovnice pro pevné indexy Ī, J, K takové, že F Ī J K 0, má tvar 0 = F Ī J K 0. Tedy obecně platí, že Lieova superbialgebra (A S) není kohraniční. Poznámka 4.1.2 Strukturní koeficienty FIJ K, kde I, J, K m + n, splňují obecně pro indexy i, j, k ˆm, α, β, γ {m + 1,, m + n} komutační relace [X i, X j ] = F k ij X k pro i j, [X i, X i ] = 0, [X i, X α ] = F β iα X β, [X α, X β ] = F k αβ X k. Platí tedy, že F α ij = 0, Fii I = 0, F j iα = 0, F γ αβ = 0 a ze supersymetrie navíc plyne, že F k ji = F k ij, F α ji = 0, F β αi = F β iα, F j αi = 0, F k βα = F k αβ, F γ βα = 0. Stejné vlastnosti platí analogicky pro F IJ K. 38