7. Lineární vektorové prostory

7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62

7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární operací a : G G G se nazývá grupou, jestliže: x, y, z G : (x y) z = x (y z)... asociativnost e G, x G: x e = e x = x... existence neutrálního prvku e x G, x 1 G : x x 1 = x 1 x = e.... existence inverzního prvku g 1 a To jest ke každým dvěma prvkům x, y G je přiřazen právě jeden prvek x y G. Dodatek: pokud navíc pro všechna x, y G platí x y = y x (komutativita), nazýváme G komutativní (nebo též Abelovou) grupou. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 2 / 62

7.1 Definice a příklady Definice 7.2 Množina V se nazývá reálným, resp. komplexním lineárním vektorovým prostorem (LVP), pokud V je komutativní grupou vzhledem k operaci sčítání prvků ve V ; ve V je navíc definováno násobení reálným resp. komplexním číslem, splňující: 1 x = x α (β x) = (αβ) x... asociativnost; (α + β) x = α x + β x α (x + y) = α x + α y... distributivnost pro všechna reálná (resp. komplexní) čísla α, β a libovolné x, y V. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 3 / 62

7.2 Lineární závislost a nezávislost vektorů Úmluva: prvky lineárního (vektorového) prostoru budeme nazývat vektory, prvky (reálná nebo komplexní čísla), kterými násobíme vektory, budeme nazývat skaláry. Definice 7.3 Nechť x 1,..., x n V jsou vektory a c 1,..., c n skaláry. Potom vektor n j=1 c jx j nazýváme lineární kombinací prvků x 1,..., x n s koeficienty c 1,..., c n. Pokud je c 1 = = c n = 0, nazýváme tuto kombinaci triviální lineární kombinací. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 4 / 62

7.2 Lineární závislost a nezávislost vektorů Definice 7.4 Řekneme, že vektory x 1,..., x n V jsou lineárně závislé, pokud existuje netriviální lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna nule (přesněji, nulovému prvku z V ). Pokud taková netriviální lineární kombinace neexistuje, tj. pokud platí n j=1 c jx j = 0 = c 1 = = c n = 0, říkáme, že vektory x 1,..., x n V jsou lineárně nezávislé. Definice 7.5 Buď M V libovolná podmnožina LVP. Řekneme, že M je lineárně nezávislá, pokud je každá její konečná podmnožina lineárně nezávislá. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 5 / 62

7.2 Lineární závislost a nezávislost vektorů Tvrzení 7.1 Vektory x 1,..., x n V jsou lineárně závislé právě tehdy, je-li jeden z nich lineární kombinací zbylých vektorů. Věta 7.1 (Steinitzova) Nechť pro vektory x 1,..., x n V, y 1,..., y m V platí: pro všechna k = 1, 2,..., m je vektor y k (nějakou) lineární kombinací vektorů x 1,..., x n, y 1,..., y m jsou lineárně nezávislé. Potom m n. Jinak řečeno: v množině všech lineárních kombinací daných n vektorů existuje nejvýše n lineárně nezávislých vektorů. Ještě jinak řečeno: vytvoříme-li z n vektorů lineárními kombinacemi k vektorů, a přitom k > n, tak těchto k vektorů už je lineárně závislých. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 6 / 62

7.3 Podprostory, lineární obal, báze Definice 7.6 Nechť V je lineární vektorový prostor. Množinu P V nazýváme podprostorem prostoru V, pokud pro každé x, y P je x + y P, pro každé x P a pro každý skalár α je α x P. Pozorování: Každý podprostor LVP je sám LVP. Průnik libovolných podprostorů je opět podprostor; sjednocení dvou podprostorů je podprostor jen tehdy, je-li jeden z nich podmnožinou druhého. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 7 / 62

7.3 Podprostory, lineární obal, báze Definice 7.7 (Lineární obal) Buď M V libovolná neprázdná podmnožina LVP. Lineárním obalem množiny M (značíme L(M)) nazveme množinu všech konečných lineárních kombinací prvků z M, L(M) = {x V, n N, x 1,..., x n M, n c 1,..., c n skaláry, x = c j x j }. Příklad: L({0}) = {0}, L(V ) = V. j=1 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 8 / 62

7.3 Podprostory, lineární obal, báze Věta 7.2 Buď M V libovolná neprázdná podmnožina LVP. Potom L(M) je podprostorem ve V, přičemž nejmenším, který obsahuje M. Poznámky: L(M) je nejmenší podprostor obsahující M. Definujeme L( ) = {0}. L(M) se nezmění, pokud z M vynecháme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvků z M; nebo pokud k M přidáme prvek, který je lineární kombinací ostatních prvků z M; Buď M = {x 1,..., x n }, Je-li k > n, potom každých k vektorů z L(M) je lineárně závislých (viz Steinitz). Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 9 / 62

7.3 Podprostory, lineární obal, báze Definice 7.8 Buď V neprázdný LVP. Řekneme, že M V generuje V (je generátorem prostoru V ), pokud L(M) = V. Řekneme, že V je konečně generovaný, pokud existuje konečná množina, která jej generuje. V opačném případě říkáme, že V je nekonečně generovaný. Definice 7.9 (Báze) Podmnožina M V se nazývá bází prostoru V, pokud M je lineárně nezávislá; M generuje V. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 10 / 62

7.3 Podprostory, lineární obal, báze Věta 7.3 Každý LVP má bázi. Poznámka: Báze V není určena jednoznačně, ale platí: pokud ve V existuje n-prvková báze (n N), pak každá báze V má n prvků (plyne ze Steinitzovy věty). Definice 7.10 (Dimenze) Řekneme, že prostor V má dimenzi n N, a píšeme dim V = n, pokud v něm existuje báze, složena z n prvků. Nulovému prostoru V = {0} připisujeme dimenzi 0. Řekneme, že V je konečně dimenzionální, pokud dim V N {0}. Není-li V konečně dimenzionální, říkáme, že je nekonečně dimenzionální, a píšeme dim V =. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 11 / 62

7.3 Podprostory, lineární obal, báze Poznámky: Je-li dim V = n N, pak každá lineárně nezávislá n-prvková množina je báze. Je-li dim V =, pak pro každou n-prvkovou množinu M (n N) platí L(M) V. Věta 7.4 (O záměně) Nechť dim V = n, {x 1,..., x n } je báze ve V. Nechť P V je podprostor V s bází {y 1,..., y k }. Potom existují indexy j 1,... j n k takové, že množina {y 1,..., y k, x j1,..., x jn k } tvoří bázi ve V. Důsledek: doplnění báze podprostoru na bázi celého prostoru. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 12 / 62

7.3 Podprostory, lineární obal, báze Věta 7.5 (O souřadnicích) Nechť dim V = n, {x 1,..., x n } je báze ve V. Potom pro každý x V existuje jednoznačně určená n-tice skalárů c 1,..., c n taková, že x = n c j x j. j=1 Definice 7.11 Čísla c 1,..., c n z předchozí věty se nazývají souřadnice vektoru x v bázi {x 1,..., x n }. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 13 / 62

7.4 Lineární zobrazení Definice 7.12 Nechť V a W jsou LVP. Řekneme, že zobrazení ϕ : V W je lineární, pokud ϕ(cx + dy) = cϕ(x) + dϕ(y) pro všechny vektory x, y V a všechny skaláry c, d; Tvrzení 7.2 Je-li ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, platí ϕ(0) = 0, ( n ) ϕ c j x j = j=1 n c j ϕ(x j ), j=1 pro všechny vektory x j, a všechny skaláry c j, j = 1,..., n. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 14 / 62

7.4 Lineární zobrazení Definice 7.13 Buď ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP. Množinu R ϕ := {y W, x V, ϕ(x) = y} nazýváme oborem hodnot zobrazení ϕ. Množinu N ϕ := {x V, ϕ(x) = 0} nazýváme jádrem zobrazení ϕ. Poznámky: Jiné termíny a značení: Obor hodnot Range; jádro: N ϕ = Ker ϕ. Je-li ϕ : V W lineární zobrazení, je R ϕ podprostorem ve W a N ϕ podprostorem ve V. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 15 / 62

7.4 Lineární zobrazení Věta 7.6 Buď ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP. Je-li ϕ prosté zobrazení, je ϕ 1 lineární a prosté zobrazení z R ϕ do V. Zobrazení ϕ je prosté právě tehdy, když platí N ϕ = {0}. Je-li ϕ prosté zobrazení, pak platí a {x 1,... x k } je LN ve V {ϕ(x 1 ),... ϕ(x k )} je LN ve W {x 1,... x k } je LZ ve V {ϕ(x 1 ),... ϕ(x k )} je LZ ve W. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 16 / 62

7.4 Lineární zobrazení Věta 7.7 Buď ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, přičemž dim V je konečná. Potom platí Věta 7.8 dim N ϕ + dim R ϕ = dim V. Buď ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, přičemž dim V = dim W je konečná. Potom platí ϕ je prosté na V ϕ zobrazuje V na W. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 17 / 62

7.4 Lineární zobrazení Důsledek: Věta 7.9 (Fredholmova alternativa) Buď ϕ : V W lineární zobrazení mezi dvěma LVP, přičemž dim V = dim W je konečná. Potom y W!x V ϕ(x) = y právě tehdy, když ϕ(x) = 0 = x = 0. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 18 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 7.14 Reálnou resp. komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou tabulku a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =...... = (a ij) j=1,...,n i=1,...,m, a m1 a m2... a mn kde a ij R, resp. a ij C nazýváme prvky nebo též koeficienty matice A. Poznámky: řádky (sloupce) matice A jsou vektory z R n (R m ) resp. C n (C m ); m n... matice A má m řádků a n sloupců; m = n... mluvíme o čtvercové matici A stupně n. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 19 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Označení Množinu všech reálných matic rozměru m n budeme značit M m n (R), množinu všech komplexních matic rozměru m n budeme značit M m n (C). Úmluva: Zápisem M m n budeme rozumět množinu všech reálných nebo komplexních matic příslušného rozměru, zejména v situacích, kdy formulované tvrzení nebo vlastnost platí pro matice rozměru m n, bez ohledu na to, jestli jsou reálné nebo komplexní. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 20 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 7.15 Rovnost matic: A = (a ij ) j=1,...,n i=1,...,m Mm n, B = (b ij ) j=1,...,s i=1,...,r Mr s. Potom A = B právě tehdy, když m = r, n = s, a b ij = a ij pro všechna i = 1,..., m; j = 1,..., n. Sčítání (odčítání) matic: A, B, C = (c ij ) j=1,...,n i=1,...,m Mm n, C = A ± B: c ij = a ij ± b ij pro všechna i = 1,..., m; j = 1,..., n. Násobení skalárem: A M m n, αa = (αa ij ) j=1,...,m i=1,...,n i = 1,..., m; j = 1,..., n. pro všechna Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 21 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Poznámka Sčítání matic a násobení matice skalárem je tedy definováno po složkách. M m n je lineární vektorový prostor dimenze mn. Definice 7.16 (Násobení matic) Buď A M m s, B M s n. Matice C = A B M m n je definována takto: s C = (c ij ) j=1,...,n i=1,...,m, kde c ij := a ik b kj. k=1 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 22 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Poznámka Pro A, B M n n je definováno A B i B A, obecně je ovšem A B B A, tj. násobení matic není komutativní. Uvažte například ( ) ( ) 1 0 0 1 A =, B =, 0 2 0 0 kdy A B = ( 0 1 0 0 ), B A = ( 0 2 0 0 ). Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 23 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Poznámka Násobení matic ovšem je asociativní, tj. A (B C) = (A B) C, pokud jsou všechna násobení definována (tj. pokud souhlasí rozměry matic). Dále platí (ověřte): A (B + C) = A B + A C, (B + C) A = B A + C A, λ (A + B) = λ A + λ B, λ (A B) = (λ A) B, pokud jsou všechny aritmetické operace definovány (tj. souhlasí rozměry matic). Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 24 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 7.17 (Jednotková matice stupně n) Jednotková matice stupně n je matice 1 0... 0 0 1... 0 I =...... 0 0... 1 Mn n. Poznámka: Jednotková matice je příkladem tzv. diagonální matice (matice, pro kterou a ij = 0, pokud i j). Ověřte: je-li I M n n jednotková matice, pak A I = I A = A, pro všechny matice A M n n. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 25 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 7.18 Řekneme, že A 1 je inverzní matice k A M n n, pokud platí A A 1 = A 1 A = I. Pokud A M n n má inverzní matici, říkáme, že A je regulární matice, v opačném případě říkáme, že A je singulární matice. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 26 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Tvrzení 7.3 Je-li A M n n regulární, pak je A 1 určena jednoznačně a platí (A 1 ) 1 = A. Jsou-li A, B M n n regulární, pak i matice A B a B A jsou regulární, a platí (A B) 1 = B 1 A 1, (B A) 1 = A 1 B 1. Množina všech regulárních matic stupně n tvoří grupu vůči operaci násobení matic, přičemž jednotkovým prvkem této grupy je jednotková matice. A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 27 / 62

7.5 Matice a lineární zobrazení Věta 7.10 Buď A M m n (R). Potom zobrazení ϕ A : R n R m definované předpisem ϕ A ( x) := A x pro všechna x = (x 1,..., x n ) T R n je lineární. Buď ϕ : R n R m lineární zobrazení. Potom existuje právě jedna matice A ϕ M m n (R) taková, že ϕ( x) = A ϕ x pro všechna x R n. V tomto případě říkáme, že A ϕ reprezentuje zobrazení ϕ. Analogicky pro C. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 28 / 62

7.5 Matice a lineární zobrazení Definice 7.19 Buď A M m n a ϕ A jako v předchozí větě. Hodností matice A (píšeme h(a)) definujeme jako dim(r ϕa ) a budeme psát N A := N ϕa = Ker ϕa. Věta 7.11 Nechť A M m n. Potom h(a) je rovna počtu prvků maximální lineárně nezávislé podmnožinˇy množiny sloupců matice A. Věta 7.12 Buď A M m n. Potom dim N A + h(a) = n. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 29 / 62

7.5 Matice a lineární zobrazení Věta 7.13 Pokud n = m a A ϕ M n n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : R n R n, platí Věta 7.14 ϕ je prosté ϕ je na A ϕ je regulární. Pokud A ϕ M m n (R) reprezentuje lineární zobrazení ϕ : R n R m a B φ M s m (R) reprezentuje lineární zobrazení φ : R m R s, pak B φ.a ϕ M s n (R) reprezentuje lineární zobrazení φ ϕ : R n R s. Předchozí dvě věty zůstanou v platnosti, nahradíme-li všude symbol R symbolem C. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 30 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 7.20 Transponovanou maticí k matici A M m n nazvu matici A T = (a ij )j=1,...,m i=1,...,n Mn m takovou, že pro její prvky platí: a ij = a ji pro všechna i = 1,..., m; j = 1,..., n. Řeknu, že matice A M n n je symetrická, pokud A = A T. (Uvědomte si na základě definice rovnosti dvou matic, že tento pojem má smysl jen pro matice z M n n ). Řeknu, že matice A M n n je ortogonální, pokud A A T = I. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 31 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Definice 7.21 Hermitovsky sdruženou (někdo říká též adjungovanou) maticí k matici A = (a ij ) j=1,...,n i=1,...,m Mm n (C) nazvu matici A H M n m (C) definovanou předpisem A H := A T, kde A = (ā ij ) j=1,...,n i=1,...,m. Řeknu, že matice A M n n (C) je hermitovská (případně samoadjungovaná), pokud A = A H. Řeknu, že matice A M n n (C) je unitární, pokud A A H = I. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 32 / 62

7.5 Matice - definice a základní vlastnosti Cvičení Ukažte, že platí následující identity (vždy, když je násobení matic definováno alespoň na jedné straně uvažovaných rovností): (Porovnejte tyto identity se vztahem (A B) T = B T A T, (A B) H = B H A H. (A B) 1 = B 1 A 1, který platí pro regulární matice A, B.) Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 33 / 62

7.6 Soustavy lineárních rovnic Soustava m lineárních rovnic (LR) pro n neznámých x 1,..., x n (přičemž pravá strana y 1,... y m a koeficienty a ij jsou dány): a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = y 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = y 2........................... a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = y m Ax = y A x = y ϕ A ( x) = y kde A = (a ij ) j=1,...,n i=1,...,m Mm n (R) (resp. M m n (C)), x x = (x 1,..., x n ) T R n (resp. C n ), y y = (y 1,..., y m ) T R m (resp. C m ). Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 34 / 62

7.6 Soustavy lineárních rovnic Diskuse: 1. Pokud y = 0, říkáme dané soustavě (A x = 0) homogenní soustava LR. Platí: vždy je 0 N A, tedy N A ; pokud N A = {0}, říkáme, že homogenní soustava A x = 0 má pouze triviální řešení; N A je vektorový podprostor prostoru R n (resp. C n ), tedy x N A, z N A, α, β R = α x + β z N A. 2. Pokud y 0, říkáme dané soustavě (A x = y) nehomogenní soustava LR. Platí: pokud je x P jedno (partikulární) řešení soustavy A x = y, pak všechna řešení soustavy A x = y mají tvar x P + N c J x J, (1) J=1 kde c J jsou libovolné konstanty (skaláry), N = dim N A a { x 1,, x N } je báze prostoru N A. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 35 / 62

7.6 Soustavy lineárních rovnic Věta 7.15 Buď A M m n. Potom y M m 1 nejvýše jedno x M n 1, A x = y N A = {0}. Navíc platí: pokud N A je netriviální (N A {0}), tak pro pevně zvolené y M m 1 nastane právě jedna z těchto možností: neexistuje x M n 1 takové, že A x = y (soustava nemá řešení); existuje nekonečně mnoho x M n 1 takových, že A x = y, tj.soustava má nekonečně mnoho řešení a každé řešení je pak tvaru (1). Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 36 / 62

7.6 Soustavy lineárních rovnic Definice 7.22 Buď A M m n, y M m 1, x M n 1. Rozšířenou maticí soustavy A x = y nazvu matici (A; y) M m (n+1), která vznikne rozšířením matice A o jeden sloupec přidáním (sloupcového) vektoru y. Definice 7.23 Řekneme, že matice A = (a ij ) j=1,...,n i=1,...,m Mm n je v odstupňovaném tvaru, pokud existuje posloupnost 1 j 1 < j 2 < < j k n taková, že a ij = 0 kdykoliv i k, j < j i nebo i > k. Sloupce matice A s indexy j 1,..., j k nazýváme bázové. Sloupce, které nejsou bázové, nazýváme nebázové. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 37 / 62

7.6 Gaussova eliminační metoda Chceme převést rozšířenou matici soustavy (A; y) na matici v odstupňovaném tvaru pomocí elementárních řádkových úprav (zkráceně EŘÚ): prohození dvou řádků v matici (A; y); přičtení násobku jednoho řádku k jinému řádku matice (A; y). vynásobení řádku nenulovým číslem. Věta 7.16 Každou matici lze převést pomocí EŘÚ na odstupňovaný tvar. EŘÚ nemění množinu řešení soustavy LR, tj. je-li (A ; y ) rozšířená matice soustavy LR, která vznikne EŘÚ z (A; y), pak příslušné soustavy LR majıstejné množiny řešení. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 38 / 62

7.6 Soustavy lineárních rovnic Nechť A je matice v odstupňovaném tvaru a nechť 1 l 1 < l 2 < < l n k n je příslušná posloupnost indexů nebázových sloupců. Pak dim N A = n k a existuje právě jedna báze {v 1,..., v n k } prostoru N A taková, že v i = (v i 1,..., v i n) R n, i = 1,..., n k a v j l i = { 0 : i j, 1 : i = j. Navíc má-li soustava LR s maticí (A; y) řešení, pak existuje právě jedno řešení x p = (x p 1,..., x p n ), které je tvaru: x j p = 0 kdykoliv j = l 1,..., l n k. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 39 / 62

7.6 Soustavy lineárních rovnic Příklad 7.1 Řešte tyto soustavy rovnic: (a) 2x + 3y+z= 5 (b) 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x + 4y+z= 3 x y = 1 x y = 2 (c) 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: (a) Nemá řešení. (b) Nekonečně mnoho řešení tvaru (x, y, z) = (2, 0, 1) + c(1, 1, 5), c R, (dim N A = 1). (c) Právě jedno řešení: (x, y, z) = ( 12 5, 2 5, 1). Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 40 / 62

7.7 Determinanty a jejich výpočet Definice 7.24 Determinant čtvercové matice A M n n, det A, definujeme induktivně takto: Pro A = (a 11 ) M 1 1 definujeme det A := a 11. Pro A M n n, definujeme det A := n ( 1) j+1 a 1j det M 1j, j=1 kde M 1j M n 1 n 1 je matice, která vznikne z matice A vyškrtnutím 1. řádku a j-tého sloupce. Příklad: vzorec pro výpočet determinantu A M 2 2, Sarusovo pravidlo pro A M 3 3. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 41 / 62

7.7 Determinanty a jejich výpočet Poznámka Místo označení det A používáme někdy zkrácené značení: svislé čáry kolem prvků matice A. Tedy a 11 a 12... a 1n a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n det...... a 21 a 22... a 2n....... a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 42 / 62

7.7 Determinanty a jejich výpočet Pravidla pro výpočet determinantů: Platí det A T = det A, proto všechna následující tvrzení platí i tehdy, nahradíme-li všude slova řádek, řádky... slovy sloupec, sloupce... Je-li à matice, kterou dostaneme z A prohozením (záměnou) dvou řádků, pak det à = det A. Obsahuje-li matice A nulový řádek, nebo jsou-li řádky matice A lineárně závislé, je det A = 0. Přičteme-li k nějakému řádku matice A lineární kombinaci jiných řádků, nezmění se její determinant. Vynásobíme-li nějaký řádek matice A číslem α, je determinant výsledné matice roven α det A. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 43 / 62

7.7 Determinanty a jejich výpočet Tvrzení 7.4 (Rozvoj determinantu podle řádku (sloupce)) Označme M ij matici, kterou dostaneme z A vyškrtnutím i-tého řádku a j-tého sloupce. Označme dále A ij := ( 1) i+j det M ij tzv. algebraický doplněk prvku a ij vzhledem k matici A. Potom platí: resp. det A = det A = n a ij A ij = j=1 n a ij A ij = i=1 n ( 1) i+j a ij det M ij, i = 1,..., n, j=1 n ( 1) i+j a ij det M ij j = 1,..., n. i=1 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 44 / 62

7.7 Determinanty a jejich výpočet Poznámka. Číslo det M ij nazýváme (i, j)-tým minorem matice A. Pro všechna i = 1,..., n resp. j = 1,..., n obecněji platí: n a ij A kj = δ ik det A, resp. j=1 n a ij A ik = δ jk det A, i=1 kde δ ij je tzv. Kroneckerovo delta, mající vlastnost δ ii = 1, δ ij = 0 pro všechna i j. Tvrzení 7.5 Buďte A, B M n n. Potom det(a B) = det A det B. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 45 / 62

7.7 Determinanty a jejich výpočet Tvrzení 7.6 a 11 a 12... a 1n.... b k1 + c k1 b k2 + c k2... b kn + c kn...... a n1 a n2... a nn = = a 11 a 12... a 1n.... b k1 b k2... b kn...... a n1 a n2... a nn + a 11 a 12... a 1n.... c k1 c k2... c kn...... a n1 a n2... a nn. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 46 / 62

7.8 Použití determinantů k výpočtům Regularita a hodnost matice Věta 7.17 (aneb 2. rozšíření Tvrzení 7.3) Buď A M n n čtvercová matice. Potom A je regulární sloupce A jsou LN řádky A jsou LN h(a) = n dim N A = 0 det A 0. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 47 / 62

7.8 Použití determinantů k výpočtům Definice 7.25 Subdeterminantem dané matice A M n n nazveme determinant jakékoli matice Ã, která vznikne z matice A vyškrtnutím stejného počtu řádků a sloupců. Stupněm subdeterminantu det à nazveme stupeň (tj. rozměr) příslušné (čtvercové) matice Ã. Věta 7.18 Hodnost matice A M n n je rovna maximálnímu stupni všech nenulových subdeterminantů matice A. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 48 / 62

7.8 Použití determinantů k výpočtům Výpočet inverzní matice Věta 7.19 Je-li A M n n regulární matice, pak prvky α ij její inverzní matice A 1 jsou dány vzorci: α ij = A ji, i, j = 1,..., n, det A kde A ji je algebraický doplněk k prvku a ji matice A. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 49 / 62

7.8 Použití determinantů k výpočtům Cramerovo pravidlo pro řešení soustavy A x = y Věta 7.20 Buď A M n n regulární matice. Potom složky x 1,..., x n řešení rovnice A x = y jsou dány vzorci: x i = det A(i) y det A, i = 1,..., n, kde matice A (i) y vektorem y. vznikne tak, že v matici A nahradíme její i-tý sloupec Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 50 / 62

7.8 Použití determinantů k výpočtům Příklad 2 Řešte pomocí Cramerova pravidla: 2x + 3y+z= 5 x + 4y+z= 3 x y+z= 1 Řešení: Je 2 3 1 1 4 1 1 1 1 2 5 1 1 3 1 1 1 1 = 5 0, = 2, 5 3 1 3 4 1 1 1 1 2 3 5 1 4 3 1 1 1 = 12, = 5, Proto x = 12 5, y = 2 5, z = 5 5 = 1. Porovnejte výsledek s výsledkem Příkladu 7.1 c). Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 51 / 62

7.8 Použití determinantů k výpočtům Nalezení kolmého vektoru ke dvěma vektorům v R 3, jejich vektorový součin Definice 7.26 (Kolmé vektory) Buďte x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) dva vektory z R n. Řekneme, že tyto dva vektory jsou kolmé (ortogonální), pokud x y := n x j y j = 0. j=1 Číslo x y nazýváme skalárním součinem vektorů x y. Poznámka. Platí x y = y x. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 52 / 62

7.8 Použití determinantů k výpočtům Definice 7.27 (Vektorový součin dvou vektorů z R 3 ) Buďte x = (x 1, x 2, x 3 ), y = (y 1, y 2, y 3 ) R 3. Definujme vektorový součin těchto dvou vektorů předpisem ( ) x x y := 2 x 3 y 2 y 3, x 1 x 3 y 1 y 3, x 1 x 2 y 1 y 2 R 3. (2) Věta 7.21 Pro x, y R 3 platí: y x = ( x y). x a y jsou lineárně nezávislé x y 0. Jsou-li x a y jsou lineárně nezávislé, pak je vektor x y kolmý jak k vektoru x, tak k vektoru y. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 53 / 62

7.8 Použití determinantů k výpočtům Poznámka Buďte x, y, z R 3. Potom z ( x y) = z 1 z 2 z 3 x 1 x 2 x 3 y 1 y 2 y 3 Odtud ihned plyne předchozí věta (rozmyslete si).. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 54 / 62

7.8 Použití determinantů k výpočtům Objem rovnoběžnostěnu v R n Tvrzení 7.7 Nechť a 1 = (a1 1,..., a1 n),..., a n = (a1 n,..., an n) je n vektorů v R n. Potom absolutní hodnota determinantu a1 1 a2 1... a 1 n a1 2 a2 2... a 2 n...... a1 n a2 n... an n je číselně rovna objemu rovnoběžnostěnu, jehož hrany tvoří tyto vektory. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 55 / 62

7. 9 Lineární, bilineární a kvadratické formy Definice 7.28 Lineární formou (lineárním funkcionálem) nad (reálným resp. komplexním) vektorovým prostorem V nazvu lineární zobrazení f prostoru V do R, resp. C. Věta 7.22 Nechť { e (1),..., e (n) } je báze v n-dimenzionálním vektorovém prostoru V n. Potom každý lineární funkcionál f nad V n je tvaru f ( x) = n α j γ j, kde γ j = f ( e (j) ), j = 1,..., n, a α jsou souřadnice vektoru x v bázi { e (1),..., e (n) }, tj. x = n j=1 α j e (j). j=1 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 56 / 62

7. 9 Lineární, bilineární a kvadratické formy Definice 7.29 Bilineární formou na (reálném resp. komplexním) vektorovém prostoru V nazvu zobrazení A = A( x, y) z prostoru V V do R, resp. C, které splňuje následující požadavky pro všechna x, y, z V a pro všechna α R, resp. C: A( x + y, z) = A( x, z) + A( y, z), (3) A( x, y + z) = A( x, y) + A( x, z), (4) A(α x, y) = αa( x, y), (5) A( x, α y) = αa( x, y). (6) Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 57 / 62

7. 9 Lineární, bilineární a kvadratické formy Poznámka Vlastnosti (3) (5) jsou vlastnosti linearity, vlastnost (6) je tzv. antilinearita vzhledem ke druhé složce. Pokud jsou skaláry z R, je bilinearita totéž co linearita v každé z obou složek. Definice 7.30 Bilineární forma A( x, y) na V se nazývá hermitovská (resp. symetrická), pokud pro všechna x, y V platí A( x, y) = A( y, x) (resp. A( x, y) = A( y, x) ). Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 58 / 62

7. 9 Lineární, bilineární a kvadratické formy Poznámka Příkladem hermitovské bilineární formy je skalární součin na vektorovém prostoru. Je-li A M n n (K), A = (a ij ) n i,j=1, je zobrazení A( x, y) := n a ij x i y j (A x, y), x, y K n, i,j=1 bilineární formou na K n, která je hermitovská právě tehdy, když A je hermitovská matice. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 59 / 62

7. 9 Lineární, bilineární a kvadratické formy Věta 7.23 Buď A( x, y) bilineární forma na V n, dim V n = n. Buď { e (1),..., e (n) } báze ve V n. Potom A( x, y) = (A α, β) = n a ij α i β j, i,j=1 kde pro prvky matice A platí a ij = A( e (i), e (j) ) a α, resp. β jsou souřadnice vektoru x resp. y v bázi { e (1),..., e (n) }. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 60 / 62

7. 9 Lineární, bilineární a kvadratické formy Definice 7.31 (Kvadratická forma) Je-li A( x, y) bilineární forma na vektorovém prostoru V, zobrazení Q( x) := A( x, x) : V R (C) nezvu kvadratickou formou generovanou (vytvořenou) bilineární formou A. Kvadratická forma se nazývá hermitovskou, pokud je vytvořena hermitovskou bilineární formou. Tvrzení 7.8 Bilineární forma A( x, y) v komplexním prostoru je hermitovská právě tehdy, když A( x, x) R pro každé x. Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 61 / 62

7. 9 Lineární, bilineární a kvadratické formy Věta 7.24 (Zákon setrvačnosti kvadratické formy) Ke každé hermitovské kvadratické formě Q( x) v komplexním vektorovém prostoru (resp. ke každé reálné kvadratické formě v reálném vektorovém prostoru) V n se skalárním součinem (dim V n = n) existuje (nikoli nutně ortonormální) báze { e (1),..., e (n) } ve V n taková, že n Q( x) = ρ j α j 2, pro x = j=1 n α j e (j), (7) j=1 kde ρ j {0, ±1}, přičemž počet nul, jedniček a minus jedniček nezávisí na báze, v níž má Q( x) tvar (7). Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 62 / 62