KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x, x,..., x } itervlu, číslujeme tk, že pltí x < x <... < x. Pro fukci f omezeou, ozčíme Je-li f m i,d if fx), M i,d sup fx). x x i, x i x x i, x i fukce omezeá, D {x, x,..., x } děleí itervlu,, pk čísl Sf, D) m i,d x i x i ) S f, D) M i,d x i x i ), zýváme dolím horím Riemovým itegrálím) součtem fukce f,. Vět 8.: Pro kždé děleí D itervlu, pltí Důkz: Zřejmě pltí Sf, D) ) if fx) Sf, D) Sf, D) ) sup if fx). fx) xi xi ) if fx) x i x i ) if Podoě dostáváme i posledí erovost. Nerovost Sf, D) Sf, D) vyplývá přímo z defiice. Děleí D itervlu, zýváme zjeměím děleí D itervlu,, je-li D D. fx) ). Pozámk: Je-li D {x, x,..., x } děleí itervlu, D D { x}, kde x D, pk zřejmě pltí Sf, D ) Sf, D) S f, D ) S f, D). Uvědomíme-li si yí, že jkékoliv zjeměí D dosteme, že i pro toto oecé zjeměí pltí děleí D lze získt z děleí D postupým přidáváím jedoho odu, Sf, D ) Sf, D) S f, D ) S f, D). Vět 8.: Jsou-li D, D děleí itervlu,, pk Sf, D ) Sf, D ). Důkz: Děleí D D D je zjeměím oou děleí D D. Tedy Sf, D ) Sf, D ) Sf, D ) Sf, D ).
Je-li sup{ Sf, D) D děleí, } if{s f, D) D děleí, } I, pk číslo I zýváme Riemovým určitým) itegrálem fukce f I přípdě R) používé ázvy:... dolí mez;... horí mez; f... itegrd ) itervlu, píšeme eo stručě je f ). [M-8:P8.] Pozámk: Riemův itegrál je defiová je pro fukce omezeé - pro jié fukce totiž eí defiová horí dolí Riemův součet. Pozámk: Jk uvidíme ve Větě 8.6, emá existeci hodotu Riemov itegrálu vliv, změíme-li hodotu itegrové fukce v koečě moh odech. Díky tomu lze připustit, y itegrová fukce eyl v koečě moh odech itervlu defiová. Mohou totiž stt je dvě možosti: ) t dodefiujeme fukci v odech, kde eyl defiová, jkýmkoliv způsoem, itegrál existovt ude ude pokždé stejý. ) t dodefiujeme fukci v odech, kde eyl defiová, jkýmkoliv způsoem, itegrál existovt eude. Pozámk: Pro kždé děleí D itervlu, zřejmě pltí Sf, D) S f, D). Smozřejmě z předpokldu, že f existuje.) Pozámk: Riemův itegrál lze zvést tké pomocí Riemových itegrálích součtů už e horích dolích). K tomu kromě děleí D {x,..., x } uvžujeme ještě možiu τ {t,..., t }, tkovou, že t i x i, x i, položíme Sf, D, τ) ft i ) x i x i ). Itegrál pk defiujeme jko limitu těchto součtů, pokud půjde orm děleí, tj. mximálí délk itervlu vziklého děleím, k ule. Oě defiice Riemov itegrálu jsou ekvivletí, tedy existuje-li itegrál podle jedé z defiic, existuje i podle druhé jeho hodoty jsou v oou přípdech stejé. Všiměte si, že pro f spojitou odpovídá dolí součet tomu, že z ody t i vyereme ody miim fukce f itervlech x i, x i, pro horí součet logicky volíme ody mxim. Vět 8.3: Itegrál tková, že existuje je rove právě tehdy, když existuje posloupost D ) děleí itervlu, lim Sf, D ) lim Sf, D ). Pozámk: Pro D ) z Věty 8.3 zřejmě pltí Sf, D ) Sf, D ) ). ) lim I když k tomu, y měly dvě poslouposti stejou limitu, oecě estčí, když jejich rozdíl má limitu ulovou uvžujme příkld poslouposti ), které limitu emjí, jejich rozdíl je le ulová posloupost s limitou ul), z vlstostí dolích horích Riemových součtů se dá ukázt, že pokud jdeme posloupost děleí D ) splňující ), pk limity jim odpovídjících dolích horích Riemových součtů existují jsou si rovy. V tkovém přípdě tedy z Věty 8.3 víme, že Riemův itegrál existuje. Je čemu se itegrál rová, ám limit ) eříká. Příkld 8.: Pro k R pevé je k dx k ).
Řešeí: Příkld 8.: Řešeí: Pro liovolé děleí D {x, x,..., x } zřejmě pltí Sk, D) kx i x i ) Ukžte, že x dx. k }{{} x i x i ) k ) Sf, D). Necht N. Pk pro posloupost děleí D {,,...,, } tj. x i i ) máme i Sf, D ) i + ) + ), Sf, D ) i Podle Věty 8.3 tedy uvedeá rovost pltí. Příkld 8.3: Itegrál i ) ). dx) dx, kde dx) je Dirichletov fukce viz koec odstvce.), eexistuje. Řešeí: Je-li D liovolé děleí, pk zřejmě pltí Sf, D) Sf, D ) ). Tedy Příkld 8.4: Ukžte, že sup D sg x dx. Sd, D) if D Sd, D). Řešeí: Necht N. Pk pro posloupost děleí D {,, } máme Sf, D ) +, Sf, D ) +. Podle Věty 8.3 tedy uvedeá rovost pltí. Vět 8.4: Je-li fukce f itervlu, spojitá eo mootoí, pk existuje. Důkz pro f mootoí, př. eklesjící: Použijeme Větu 8.3 s děleími D {, + pro která máme Sf, D ) Sf, D ) fx i) i fx) +... + fx ) fx )... fx ) ) Děleím, která jsme použili, se říká ekvidisttí eo též rovoměrá.) 8. Vlstosti fx i) Vět 8.5 ditivit itegrálu vzhledem k itegrčímu ooru) Necht < < c. Pk Necht < existuje Dále defiujeme existuje, právě když existují. Pk defiujeme +.., + f) f) ) pro. [M-8:P8.3],..., + ), },, v tomto přípdě pltí
Pozámk: Předpokld < < c ve Větě 8.5 lze hrdit předpokldem existece itegrálu α mi{,, c} mx{,, c}. Vět 8.6: Necht existuje gx) dx pltí [M-8:P8.4] α, kde. Jestliže se g liší od f, v ejvýše koečě moh odech, pk existuje gx) dx. Důkz: Necht c < c <... < c k jsou právě ty ody z itervlu, ), ve kterých f g. Pk opkovým použitím Věty.5 dosteme f f + f... f + f +... + f. c c c k Položme c, c k+ h f g. Pro i {,..., k + }, N uvžujme posloupost děleí D i, {c i, c i + ci ci, c i ci ci, c i} 3 3 itervlu x i, x i. Předpokládejme příkld, že hc i ) >, hc i) < jik ychom postupovli podoě). Pk protože hx) c i, c i), máme ci ci 3 )ci ci ) ci ci ci ci Sh, D i,) + + hc i) hc i), 3 3 3 3 ci ci 3 )ci ci ) ci ci ci ci Sh, D i,) hc i ) + + hc i ). 3 3 3 3 Protože posloupost dolích součtů posloupost horích součtů mjí stejou limitu t je rov ule, je podle Věty 8.3 i hx) dx. Tedy podle Věty 8.5 o ditivitě itegrálu vzhledem k itegrčímu ooru máme c i hx) dx k+ i c i hx) dx. Nyí už stčí je využít toho, že itegrál z rozdílu je rozdíl itegrálů viz části ), ) ásledující Věty 8.7), dosteme Pozámk: gx) dx fx) hx)) dx N zákldě vět 8.4, 8.5 8.6 stčí k existeci hx) dx., když je fukce f spojitá tj. má tm je koečě moho odů espojitosti v ich má koečé jedostré limity). Vět 8.7:, po částech Necht existují, gx) dx c R. Potom ) f + g)x) dx + gx) dx, ) c f)x) dx c. Je-li víc <, pk c) je-li f,, pk, Důkz: Zřejmé sčítáme ezáporá čísl. d) je-li f g,, pk gx) dx tzv. mootoie itegrálu), Důkz: g f,, tedy podle ), ), c) je ) ) ) g f). e) existuje fx) dx pltí fx) dx, Důkz odhdu: fx) fx) fx) pro kždé x,, tedy ) f d) f ) d) B f) je-li f M,,, B,, pk M B. Důkz: ) pro B zřejmé; ) pro < B : f M MB ) M B ; B e) B d) B 3) pro B < : B ) M B M B. B B
Vět 8.8 itegrál jko fukce horí meze): Necht existuje ft) dt c,. Pk pro fukci pltí: ) F c je spojitá,, F c c). F c x) ) Je-li f spojitá v x,, pk F cx ) fx ). c ft) dt, x, [M-8:P8.5] Existuje-li je jedostrá limit fukce f v x, pk je rov odpovídjící jedostré derivci fukce F v x. ) Pozámk: Z Věty 8.8 vyplývá, že fukce spojitá itervlu I má I primitiví fukci viz Větu 7.). Je-li totiž c I, pk F c x) I pltí Příkld 8.5: Pro fukci fx) kokávity. c ft) dt je primitiví fukcí k f I. Nvíc pro liovolou primitiví fukci F F x) F c x) + F c) Vět 8.9 Newto-Leiizov formule): Jestliže existuje Píšeme: c ft) dt + F c). e t e 4) dt vyšetřete ody lokálích extrémů, itervly mootoie, kovexity F je primitiví fukce k f, ), pk pltí F ) F +) lim F x) lim x x + F ) F +) [ F x) ]. ) F x). Pozámk: N volě primitiví fukce ve Větě 8.9 ezáleží. Jsou-li totiž F, F primitiví fukce k f, ), pk existuje c R tk, že F F + c, ), tedy [ F x) ] F ) F +) F ) + c) F +) + c) F ) F +) [ F x) ]. k f Příkld 8.6: ) k dx [ k x ] k k k ), ) x dx [ x ]. Příkld 8.7: Pro fukci fx) cos x + 3 vypočtěte. Řešeí: Fukce f je spojitá,, tedy itegrál existuje. Podle Příkldu 7.3 je Gx) rctg tg x primitiví fukce k f, ovšem pouze itervlech k ), k + ) ), k Z, e tedy celém itervlu, ). Musíme proto rozdělit áš itegrál dv: Je tké možé použít fukci + F x) ) + která je, opět podle Příkldu 7.3, primitiví fukcí k f F ) F +) [ rctg tg x ] [ + rctg tg x ] )). rctg tg x, ) pro x rctg tg x +, ) lim x celém itervlu, ). Pk dosteme ) rctg tg x ). rctg tg x + lim x + Pozámk: Už před výpočtem jsme si mohli všimout, že fukce f je zdol omezeá kldou kosttou, tedy
hledý itegrál musí ýt kldý. Kokrétěji máme cos x + 3, tedy podle Věty 8.7 d) je 4 4 dx 4 >!!. [M-8:P8.6] Přitom G ) G+), tkže kdyychom zpoměli zkotrolovt, zd je G primitiví fukcí k f celém itervlu, ), mohli ychom tkto odhlit chyu, které jsme se dopustili. Bohužel ám tkováto kotrol epomůže vždy. Přesto je doré si ji udělt. Pozámk - Newtoův itegrál: Je-li F primitiví fukce k fukci f itervlu, ) existují-li limity lim x + F x), lim x F x), pk defiujeme Newtoův itegrál fukce f, ) předpisem N) lim x F x) lim F x) F ) F +) ) x + smozřejmě, je pokud je rozdíl F ) F +) defiová). Existují-li Riemův i Newtoův itegrál, pk si jsou rovy. 8.3 Itegrce per prtes metod sustituce komice Newto-Leiizovy formule metod pro eurčitý itegrál!! při použití metody sustitice je zde uté přepočítt meze itegrálu!! Příkld 8.8: Pro fukci fx) x e x vypočtěte 4. Řešeí: Fukce f je itervlu, 4 spojitá tj. i omezeá), tedy itegrál existuje. Máme: t 4 x e x dx dx dt t) e t ) dt 4 t e t dt 4 t e t dt 4 u t v e t PP [t 4 e t ] ) u v e t e t dt 4 e ) e ) e e ) ) e. Příkld 8.9: Předpokládejme, že existuje dopočítejme prví itegrál: Dosteme tk, že pltí ) f x t dx dt ft) dt ft) dt + ft) dt je sudá eo lichá. Rozepišme f t) dt pro f lichou, pro f sudou. pro f lichou, ft) dt pro f sudou. f t) dt Tohoto využijete v druhém semestru při výpočtu koeficietů Fourierových řd sudých lichých fukcí.)
[M-8:P8.7] Příkld 8.: Předpokládejme, že f je periodická s periodou T po částech spojitá R. Pk pro k Z, < T α kt + pltí ) +T ft) dt +T ft) dt + ft) dt T }{{} ft T ) ft) dt + fu) du protože ezáleží ozčeí itegrčí proměé v určitém itegrálu), u t T du dt T + T ft) dt ) α+t α }{{} fx kt ) t x kt dt dx α α kt α + T + T +T ft) dt ) ft) dt. Tedy při itegrci periodické fukce ezáleží tom, přes který itervl délky periody itegrujeme. Itegrál je vždy stejý. B) Je-li víc d R, pk +d fx) }{{} fx+kt ) dx t x + kt dt dx + kt α + d α + d α+d α ft) dt. Tedy posu itervlu o ásoek periody itegrál ezměí. Příkld 8.: Vypočtěte, kde fx) + si x. Řešeí: Fukce f je spojitá itervlu,, tedy itegrál existuje. Vhodá sustituce zde je t tg x. Fukce tges všk eí defiová celém itervlu,. Proto áš itegrál roztrheme ěkolik itegrálů: Fukce f f 3 f + f + 3 je -periodická, tedy podle Příkldů 8.9 8. máme f + 3 f + 3 f. f Př. 8.B 3 f + 3 f + 3 f Př. 8.B f + 3 f + f 4 f. Hodotu itegrálu f vypočteme v Příkldu 9.3. 8.4 Vět o středí hodotě Vět 8. o středí hodotě): Necht f je spojitá,. Pk existuje c, ) tk, že fc) ). fc)... středí hodot fukce f itervlu,