Lineární algebra : Změna báze

Lineární algebra : Změna báze (13. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 8. dubna 2014, 10:47 1

2 13.1 Matice přechodu Definice 1. Nechť X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,..., y n ) jsou báze V n. Matici X P Y T n,n, kde ( i, j ˆn)(( X P Y ) ij = x # i (y j)), nazýváme maticí přechodu od báze X k bázi Y. Poznámka 2. Matice X P Y bázi X. má tedy j-tém sloupci souřadnice vektoru y j v Poznámka 3. Nyní nám tedy záleží na pořadí v jakém jsou bázové vektory zapsány v souborech X a Y. Budeme to mít na paměti, ale termín uspořádaná báze nebudeme používat. Označme písmenem E identické zobrazení na V, tzn. ( x V )(Ex = x). pře- Matice chodu Vlastnosti matice přechodu Věta 4. Nechť X, Y a Z jsou báze V n. Potom 1. X P Y = Y E X, 2. matice X P Y je regulární a platí ( X P Y ) 1 = Y P X, 3. pro x V n platí X P Y x Y = x X, (Je to tedy naopak, než by odpovídalo názvu matice přechodu od X k Y!) 4. X P Y YP Z = X P Z. Důkaz. 1. Nechť i, j ˆn. Potom platí ( X P Y ) ij = x # i (y j) = x # i (Ey j) = Y E X ij.

3 2. Víme, že h( X A Y ) = h(a) pro lib. lineární zobrazení A. S využitím bodu 1. a faktu h(e) = n máme a tedy matice X P Y je regulární. Dále už víme, že h( X P Y ) = h( Y E X ) = h(e) = n, ( X A Y ) 1 = Y (A 1 ) X pro bijektivní lineární zobrazení A. Odkud speciálně dostáváme ( ) ( X P Y ) 1 = Y E X 1 = X (E 1 ) Y = X E Y = Y P X. 3. Pro i ˆn platí n n ( X P Y x Y ) i = ( X P Y ) ij ( x Y ) j = x # i (y j)y # j (x) j=1 j=1 n = x # i y # j (x)y j = x # i (x) = ( x X ) i, j=1 kde jsme využili linearity souřadnicového funkcionálu x # i bázi Y: n x = y # j (x)y j. j=1 a rozvoj x v 4. S využitím vzorečku pro matici složeného zobrazení z kapitoly Matice lineárního zobrazení máme X P Y YP Z = Y E X ZE Y = Z E X = X P Z. Příklad Soubory E 3 = (1, x, x 2 ) a X = (x 2 + x, x 1, x + 2) jsou dvě báze v P 3. Matice E3 P X obsahuje ve sloupcích souřadnice vektorů souboru X ve standardní bázi E 3, tedy 0 1 2 E 3 P X = 1 1 1. 1 0 0

4 Naopak matici X P E3 spočítame invertováním E3 P X, X P E3 = ( E3 P X ) 1 = 1 0 0 3 1 2 2. 3 1 1 1 Potom souřadnice obecného polynomu p(x) = α + βx + γx 2 z P 3 v bázi X dostaneme jako x # 1 (p) 0 0 1 x # 2 (p) α γ = 1/3 2/3 2/3 β = 1/3α + 2/3β 2/3γ. x # 3 (p) 1/3 1/3 1/3 γ 1/3α + 1/3β 1/3γ Předpokládejme, že pracujeme v LP T n nebo P n, kde máme k dispozici standardní bázi E n. Nechť jsou dány dvě báze X a Y. Chceme sestavit matici X P Y. Sestavit matice En P X a En P Y je snadné: do sloupců zapíšeme souřadnice příslušných vektorů ve standardní bázi. Algoritmus pro sestavení matice přechodu Platí: X P Y = X P En En P Y = ( En P X ) 1 En P Y. Protože (A B) (E A 1 B), stačí následující dvoublokovou matici eliminovat pomocí GEM: ( En P X En P Y ) (E ( En P X ) 1 En P Y ) = (E X P Y ). V pravém bloku po eliminaci dostaneme hledanou matici X P Y. Poznámka 5. V uvedeném postupu lze E n nahradit libovolnou bází, vzhledem ke které se souřadnice dobře hledají. Příklad Ilustrujeme předchozí algoritmus na příkladě, kde LP je P 3, X = (x 2 + 1, x 2 + 2, x + 3) a Y = (x 2 + x, x 1, x + 2) jsou dvě báze P 3 a standardní báze P 3 je E 3 = (1, x, x 2 ).

5 Podle algoritmu sestavíme ( E3 P X E3 P Y ) a eliminujeme na (E X P Y ). Dostaneme 1 2 3 0 1 2 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 5 4 1 0 1 0 4 4 1 0 0 1 1 1 1. Proto 5 4 1 X P Y = 4 4 1. 1 1 1 13.2 Změma báze a matice lineárního zobrazení Věta 6. Nechť A L(P, Q), X, X báze P a Y, Ỹ báze Q. Potom platí Změma báze a matice lineárního zobrazení X AỸ = Y P 1 Ỹ X A Y X P X. Důkaz. Vyjdeme z pravé strany vzorce a dvakrát použijeme větu o matici složeného zobrazení, YP 1 Ỹ X A Y X P X = Y EỸ X A Y X E X = Y EỸ X A Y = X AỸ. Důsledek 7. Nechť A L(P ), X, X báze P. Potom platí X A = X P 1 X X A X P X. Důkaz. Stačí v předchozí větě položit Q := P, Y := X a Ỹ := X. Příklad Buď A L(R 3 ) lineární operátor zadán následovně: ( x 1, x 2, x 3 R) (A(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1 + x 2, x 2 + x 3, x 1 + x 3 ) ).

6 Odtud vidíme, že 1 1 0 E 3 A = 0 1 1. 1 0 1 Najdeme matici X A, kde X = ((2, 2, 2), (3, 3, 0), (4, 0, 0)). Stačí použít vzorec z předchozího důsledku: podle kterého je X A = E3 P 1 X E3 A E3 P X, X 2 3 4 1 1 1 0 2 3 4 2 3/2 2 A = 2 3 0 0 1 1 2 3 0 = 0 0 4/3. 2 0 0 1 0 1 2 0 0 0 3/4 1 Mějme A L(P, Q), X bázi P a Y bázi Q. Najdeme matici X A Y. Algoritmus sestavení matice lineárního zobrazení X A Y Buď E báze Q, vzhledem ke které se souřadnice dobře hledají (tedy je-li Q např T n, nebo P n, lze za E volit standardní bázi). Sestavíme matice E P Y a X A E. To je snadné, neboť E P Y obsahuje ve sloupcích souřadnice vektorů z Y v bázi E a X A E obsahuje ve sloupcích souřadnice obrazů vektorů z X při zobrazení A opět v bázi E. Platí: ( E P Y ) 1 X A E = ( E P Y ) 1 X A E E = ( E P Y ) 1 X A E X P X = X A Y. Sestavíme matici ( E P Y X A E ) a pomocí GEM eliminujeme na tvar (E X). Matice X je potom hledaná X A Y. Příklad

7 Buď A L(P 4, P 3 ) zobrazení, které derivuje polynomy z P 4. Najdeme matici X A Y, kde X = (x 3 + x + 2, x 2 + 2x + 3, x 2 + 2, x 1) a Y = (x 2 x + 1, x 2 x 1, x + 4). V P 3 máme standardní bázi E 3 = (1, x, x 2 ). Platí A(x 3 + x + 2) = 3x 2 + 1, A(x 2 + 2x + 3) = 2x + 2, A(x 2 + 2) = 2x, A(x 1) = 1. Sestavíme ( E3 P Y X A E 3 ) a eliminujeme: 1 1 4 1 2 0 1 1 1 1 0 2 2 0 E 1 1 0 3 0 0 0 2/3 1 4/3 3/18 7/9 1/3 4/9 1/18 1/9 2/3 2/9 2/9 V pravém bloku po eliminaci přečteme hledanou matici X A Y.. Buď A L(R 2 ) operátor zrcadlení podle přímky p procházející počátkem a svírající s osou x úhel ϕ. Příklad operátor zrcadlení podle přímky v R 2, 1/2 Najdeme matici zobrazení A ve standardní bázi E 2. Uvažujme druhou bázi X = (x 1, x 2 ), kde vektor x 1 leží v přímce p a vektor x 2 je na x 1 kolmý. Vektory x 1 a x 2 mají stejnou délku jako e 1, viz obrázek. e 2 p x 2 ϕ ϕ x 1 e 1

8 Protože Ax 1 = x 1 a Ax 2 = x 2, matici A v bázi X snadno sestavíme: ( ) X 1 0 A =. 0 1 Příklad operátor zrcadlení podle přímky v R 2, 2/2 Dál máme ( ) cos ϕ sin ϕ E 2 P X = sin ϕ cos ϕ ( ) a ( E2 P X ) 1 cos ϕ sin ϕ =. sin ϕ cos ϕ Proto podle vzorce dostáváme E 2 A = ( X P E2 ) 1 X A X P E2 = E2 P X X A ( E2 P X ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) cos ϕ sin ϕ 1 0 cos ϕ sin ϕ cos 2ϕ sin 2ϕ = =. sin ϕ cos ϕ 0 1 sin ϕ cos ϕ sin 2ϕ cos 2ϕ Cvičení Cvičení: Budťe X = (x 1,..., x n ) a Y = (y 1,..., y n ) báze V n. Dále A L(V n ) lineární operátor určený vztahem ( i ˆn)(Ax i = y i ). Ukažte, že nejen ale také X A = X P Y, Y A = X P Y.