Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál existuje (konverguje) a značíme ji. V opačném případě říkáme, že zobecněný Riemannův integrál neexistuje (diverguje). V případě, že existuje určitý Riemannův integrál, nazýváme zobecněný Riemannův integrál vlastní. V opačném případě nazýváme zobecněný Riemannův integrál nevlastní a bodu říkáme kritický bod a, je li, nazýváme integrál nevlastním vlivem meze, v opačném případě nazýváme integrál nevlastním vlivem funkce. Stejnou definici činíme analogicky v případě,, a limity zprava v bodě. Pokud existuje vlastní integrál, má podle věty o spojitosti určitého Riemannova integrálu jakožto funkce meze stejnou hodnotu jako zobecněný Riemannův integrál, proto lze použít k označení stejný symbol. Příklad. Podle definice je Definice (Vhodné rozdělení). Nechť,. Pokud existuje konečná množina tak, že a pro všechna existuje zobecněný Riemannův integrál ve smyslu definice výše, nazýváme tuto množinu vhodným rozdělením intervalu a klademe a říkáme, že zobecněný Riemannův integrál konverguje. V opačném případě říkáme, že zobecněný Riemannův integrál diverguje. Vhodných rozdělení může být mnoho, avšak hodnota (pokud existuje) na volbě rozdělení nezávisí; to plyne snadno z aditivity určitého Riemannova integrálu v mezích a ze spojitosti určitého Riemannova integrálu jakožto funkce meze. Stejně jako v případě určitého Riemannova integrálu klademe, pokud zobecněný integrál vpravo konverguje. Dále pro všechna klademe. 1. Vlastnosti Věta (Linearita zobecněného Riemannova integrálu). Nechť zobecněné Riemannovy integrály a konvergují, nechť. Pak konverguje i zobecněný Riemannův integrál a platí vzorec Důkaz. Dokažme tvrzení pro případ, že,, a pro všechna integrály a existují jako vlastní. Z linearity Riemannova určitého integrálu plyne, že pro všechna je odkud limitním přechodem dostaneme dokazovaný vztah ( ). Obecnější případy plynou ihned opět z linearity určitého integrálu a z definice Riemannova zobecněného integrálu pomocí vhodného rozdělení. Věta (Aditivita zobecněného integrálu v mezích). Mějme čísla. Nechť konverguje. Pak konvergují i a a platí
Důkaz. Dokažme tvrzení pro případ, že,, pro všechna integrály a existují jako vlastní. Pak z věty o aritmetice limit funkcí a z aditivity určitého Riemannova integrálu máme Jiné případy opět snadno plynou z definice Riemannova zobecněného integrálu pomocí vhodného rozdělení. Věta (O nerovnostech u zobecněného Riemannova integrálu). Nechť,,. Nechť existují vlastní a pro všechna. Nechť konvergují integrály a. Nechť pro všechna platí. Pak Důkaz. Z věty o nerovnostech pro určitý Riemannův integrál plyne vztah platný pro každé. Limitním přechodem v tomto vztahu dostaneme požadované tvrzení ( ) (přitom limity na obou stranách existují z předpokladu konvergence integrálů a ). 2. Výpočet Věta (Newtonova formule pro zobecněný Riemannův integrál). Nechť,,. Nechť existuje vlastní pro všechna. Nechť je primitivní funkce k na a existuje konečná limita. Pak integrál konverguje právě tehdy, když existuje konečná limita. V takovém případě platí Důkaz. Dodefinujme. Pak pro všechna je spojitá na a z Newtonovy formule pro určitý Riemannův integrál dostaneme Limitním přechodem obdržíme dokazované tvrzení. Ekvivalence v předchozí větě je velmi užitečná i pro vyšetřování konvergence, neboť převádí problém vyšetření konvergence integrálu na výpočet resp. rozhodnutí o konečnosti limity funkce. Vyšetřeme konvergenci integrálu, kde. Řešení. Pro je integrál vlastní (a tedy konvergentní). Pro je jediným kritickým bodem. Primitivní funkcí k je pro a pro. Tedy. Integrál proto konverguje právě tehdy, když. Vyšetřeme konvergenci integrálu, kde. Řešení. Jediným kritickým bodem je. Primitivní funkcí k je pro a pro. Tedy. Integrál proto konverguje právě tehdy, když. Spojením předchozích příkladů je zřejmé, že integrál nekonverguje pro žádné. Věta (Per partes pro zobecněný Riemannův integrál). Nechť,,. Nechť existují vlastní integrály a pro všechna. Nechť alespoň dva ze tří výrazů v následující rovnosti konvergují. Pak konverguje i třetí výraz a platí
Důkaz. Z věty o integraci per partes pro určitý Riemannův integrál dostaneme pro všechna, dokazovaný vztah plyne limitním přechodem. Příklad. Vypočítejme integrál, kde. Řešení. Označme. Podle věty o integraci per partes máme Odtud postupně Protože je Věta (Substituce pro zobecněný Riemannův integrál). Nechť,. Nechť je spojitá v, je ostře rostoucí a má spojitou derivaci v. Nechť, a. Nechť alespoň jeden z integrálů a konverguje. Pak konverguje i druhý a jsou si rovny. Důkaz. Z věty o integraci metodou substituce pro určitý Riemannův integrál dostaneme pro všechna. Konverguje li integrál, pak podle věty o limitě složené funkce konverguje i integrál vlevo a navíc jsou si rovny, neboť Konverguje li naopak integrál, pak Vyšetřeme konvergenci integrálu. Řešení. V integrálu provedeme substituci a tím převedeme problém na vyšetření konvergence integrálu. Ten ovšem diverguje, proto i původní integrál diverguje. 3. Vyšetřování konvergence Věta (Bolzano Cauchyovo kritérium pro konvergenci zobecněného Riemannova integrálu). Nechť,,. Nechť existuje vlastní pro všechna. Pak platí: Důkaz. Označme pro všechna. Pak konverguje právě tehdy, když má v bodě konečnou limitu zleva, což je podle Bolzanovy Cauchyovy podmínky pro existenci konečné limity funkce ekvivalentní podmínce což je právě podmínka ( ).
Věta (O konvergenci zobecněného Riemanova integrálu z absolutní hodnoty funkce). Nechť,,. Nechť existuje vlastní Riemannův integrál pro všechna. Pak platí: konverguje konverguje. Důkaz. Tvrzení plyne z Bolzanova Cauchyova kritéria pro konvergenci zobecněného Riemannova integrálu a z trojúhelníkové nerovnosti Definice (Absolutní konvergence zobecněného Riemannova integrálu). Nechť konverguje. Pokud konverguje i zobecněný Riemannův integrál, říkáme, že integrál konverguje absolutně. V opačném případě říkáme, že konverguje neabsolutně. Věta (Nelimitní tvar srovnávacího kritéria pro konvergenci zobecněného Riemannova integrálu). Nechť,,. Nechť existují vlastní integrály a pro všechna. Nechť pro všechna. Pak platí: 1. konverguje konverguje. Důkaz. 1. Pro všechna platí 2. diverguje diverguje. odkud limitním přechodem dostaneme dokazované tvrzení. Limita na levé straně přitom existuje, protože funkce je monotónní na. 2. Výrok je pouhou ekvivalentní reformulací již dokázaného výroku v bodě 1 (neboť pro libovolné výroky platí ). Věta (Limitní tvar srovnávacího kritéria pro konvergenci zobecněného Riemannova integrálu). Nechť,,. Nechť existují vlastní integrál a pro všechna, nechť jsou nezáporné na. Nechť existuje limita. Pak: 1. Je li, platí implikace konverguje konverguje. Důkaz. 1. Z definice limity plyne, že 2. Je li, platí implikace diverguje diverguje. Zvolme a nalezněme k němu příslušné. Pak pro všechna bude proto konvergence integrálu plyne z BCP. 2. Protože, je, takže tvrzení plyne z bodu 1 (se zaměněnými funkcemi a ). Věta (Dirichletovo kritérium pro konvergenci zobecněného Riemannova integrálu). Nechť,,. Nechť existuje vlastní integrál pro všechna, nechť funkce je omezená na intervalu, nechť funkce je monotónní na a. Pak zobecněný Riemannův integrál konverguje. Důkaz. Podle předpokladu existuje tak, že pro všechna je. Konvergenci integrálu ukážeme pomocí BCP. Zvolme. Z definice limity a z předpokladu najdeme tak, že pro všechna je. Podle 2. věty o střední hodnotě je pro všechna tím je tvrzení dokázáno. Věta (Abelovo kritérium pro konvergenci zobecněného Riemannova integrálu). Nechť,,. Nechť existuje vlastní integrál pro všechna, nechť zobecněný Riemannův integrál konverguje, nechť funkce je monotónní omezená na. Pak integrál konverguje. Důkaz. Podobně jako v důkazu Dirichletova kritéria použijeme BCP. Podle předpokladu existuje tak, že pro všechna je. Zvolme. Pak podle předpokladu existuje tak, že pro všechna je. Podle 2. věty o střední hodnotě je pro
všechna