rivc unkc 9 Vpočtět drivci unkc nou unkci lz přpst v tvru součt tří unkcí Zřjmě ji můžm chápt jko kd Ihnd vidím ž V kždém bodě z diničního oboru má kždá z těchto unkcí vlstní drivci Podl tbulk drivcí mám: 9 Td i unkc má v kždém bodě diničního oboru drivci 9 pltí: Vpočtět drivci unkc nou unkci lz chápt jko součin kd Zřjmě V kždém bodě diničního oboru mjí obě unkc vlstní drivc pltí td s použitím tbulk drivcí: Td i unkc má v kždém bodě diničního oboru drivci pltí: rivci uvžovné unkc lz vpočítt i jink to tk ž unkci njprv uprvím roznásobním: odtud přímo dostnm
Vpočtět drivci unkc nou unkci lz přdvším chápt jko podíl kd Zřjmě tudíž Mám Protož n má unkc n vlstní drivci pltí: [ ] Vpočtět drivci unkc sin nou unkci lz přdvším chápt jko podíl kd Zřjmě sin všk tudíž ostávám cos sin Funkc má v kždém bodě diničního oboru vlstní drivci pltí: [ ] sin cos sin cos 5sin 5 cos 5 5 sin Vpočtět drivci unkc ln Zd musím dnou unkci chápt přdvším jko unkci složnou situc j zd násldující:
Vnější unkc ln Vnitřní unkc Vnitřní unkci bchom sic mohli brát s diničním oborm l nmělo b to smsl nboť unkc zobrzuj intrvl do intrvlu n ktrém unkc nní dinován Zřjmě pltí: o ostávám: n n Podl vět o drivci složné unkc má unkc o v kždém bodě diničního oboru vlstní drivci pltí: o Povšimnět si ž výrz j dinován i v těch bodch v ktrých unkc vůbc nní dinován tudíž tm nmůž mít ni drivci S tímto jvm s lz stkt čstěji nní třb s s ním niktrk znpokojovt Vpočtět drivci unkc ln Zd j si njlpší dnou unkci přpst v tvru l n o o kd z z ln Z tohoto tvru j vidět ž Zřjmě Proto unkc vzmm s diničními obor Kždá z unkcí má v kždém bodě svého diničního oboru vlstní drivci Sndno vidímž: z z Funkc o o má v kždém bodě z diničního oboru drivci pltí: o o o o o o 6ln o o ln 6ln Vzhldm k tomu ž skládání unkcí j socitivní mohli jsm postupovt i tímto způsobm: o o o o o o což j stjný výsldk jko výš prktický výpočt b l vpdl tkto: 6ln ln ln
5 Vpočtět drivci unkc j konstnt V tomto příkldě chcm upozornit jk drivovt unkci tvru g Zákldní mšlnk j stjná jko při výpočtu it Funkci přdvším vjádřím v tvru: h ln g Zřjmě pltí: o kd h ln g Pltí ž tkž mám: h ln g h h ln g g h ln g h ln g pro výpočt drivc ln g opět stčí použít větu o drivci složné unkc Npíšm ln g g o g kd g ln g g tkž mám: g ln g g g g h g Clkm td dostávám: g h ln g h g V nšm konkrétním přípdě tk dostávám: ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 6 Vpočtět drivci unkc rctg Zřjmě intrvl h ln ln ln ln ln ln ln ln ln l chcm-li použít ormulí pro výpočt drivcí musím s omzit n nboť tto ormul pltí pouz pro vlstní drivc v nšm přípdě j Tuto skutčnost zjistím sndno pomocí vět o itě drivc Funkc j totiž spojitá v bodě zprv n intrvlu pltí: N intrvlu Td i ovšm pomocí ormulí pro drivc sndno njdm: zřjmě rctg Vzhldm k tomu ž jdiná otázk týkjící s drivc ktrá zbývá j otázk pro V tkovýchto přípdch l vlmi čsto pomáhá vět o itě drivc Funkc
j spojitá v bodě zprv tkž istuj pltí: Clkově td můžm npst ž pltí: rctg n 7 Vpočtět drivci unkc Zd j opět l z stjných důvodů jko v přdšlém příkldě můžm počítt drivc pouz n intrvlu ostávám tk: Zjímá-li nás jště použijm opětně větu o itě drivc Funkc j spojitá v bodě zprv pltí tkž istuj pltí: 8 Vpočtět drivci unkc rcsin Zd můž být trochu njsná otázk diničního oboru Npíšm-li všk nrovnosti: vidím hnd ž posldní nrovnosti pltí pro všchn rálná ž td Vnitřní unkc má zřjmě vlstní drivci v kždém bodě z Bohužl všk vnější unkc rcsin má nvlstní jdnostrnné drivc v bodch Při použití vět o drivci složné unkc s td musím omzit n t pro ktrá m m m Vidím tk ž drivc unkc můžm podl vět o drivci složné unkc vpočíst pro všchn Mám:
rcsin sign Funkc j očividně spojitá v bodě td j spojitá jk zlv tk i zprv dál pltí: sign sign Podl vět o itě drivc j td Oboustrnná drivc td nistuj 9 Vpočtět drivci unkc rcsin j konstnt Sndno zjistím ž intrvlu Zd pltí: l ž drivci j možno počítt pouz n otvřném Podl vět o itě drivc zd bz nsnází zjistím ž td npst: n Vpočtět drivci unkc Zřjmě Zd j výhodné npst pro pro nboť odtud ihnd pln ž pro pro Z těchto výsldků vidím ž unkc Můžm npst: nmá v bodě drivci ž sign pro Můžm
Vpočtět drivci unkc opět použijm postupu ktrý jsm viděli v přdchozím příkldě Můžm td psát: pro pro Odtud ihnd pln: pro pro Vidím přdvším ž td Clkm můžm npst: Funkc má sic tvr součinu má v bodě vlstní drivci l tuto drivci nlz vpočíst pomocí ormul pro drivci součinu nboť jdn unkc z součinu totiž unkc - nmá v bodě drivci Vpočtět drivci unkc ln lz psát: ln pro ln pro N dostávám: n dostávám Clkm lz td psát: ln pro Vpočtět drivci unkc Pro výpočt drivc j dobré si všimnout ž můžm psát Funkc má td tvr součinu přičmž prvního činitl umím sndno zdrivovt Podívjm s proto n drivci unkc pro pro Odtud ihnd dostávám: pro Zřjmě td sign pro : Výsldk lz zpst v jdnotném tvru:
Clkm dostávám při vužití ormul pro drivování součinu: sign sign sign 5 sign sign Vpočtět drivci unkc sin Kvůli bsolutní hodnotě budm dávt pozor n intrvl kd sin kd sin Jsou to zřjmě intrvl tvru k k N intrvlu k k pro k sudé dostávám sin sin odkud pln: sin cos pro k k k k N intrvlu k k pro k liché dostávám sin sin odkud pln: sin cos pro k k k k Vidím td ž pro libovolné k clé j k k ž td k Odtud ihnd pln ž Abchom mohli vjádřit pomocí jdiné ormul povšimněm si ž lz psát sin sin pro k k j li k sudé sin sin pro k k j li k liché Potřbovli bchom td unkci ktrá s rovná sin n intrvlch k k s k sudým ktrá s rovná sin n intrvlch k k s k lichým To j l zřjmě unkc sin Můžm td závěrm npst: sin sin sin 5 Vpočtět drivci unkc rccos Zřjmě ; { ; } N dostávám rccos
N dostávám rccos Podl vět o itě drivc dostávám nvíc: J td pltí: rccos 5 Vpočtět drivci unkc [ ] sin N zákldě znlostí s unkcí [ ] vím ž j vhodné uvžovt intrvl nn kd n j clé N tomto intrvlu zřjmě j nsin tudíž sin cos nsin pro n n n n Zbývá td určit n Pokusím s opět použít větu o itě drivc Z tímto účlm njprv ukžm ž unkc j v bodě n spojitá zlv: n n sin n n n n [ ] n n nsin nsin Odkud vplývá ž n N zákldě těchto výsldků sndno vidím ž unkc má vlstní drivci i v kždém cločíslném bodě n přičmž pltí n Můžm td npst ž ž nsin pro n n pro n Chcm-li výsldk zpst v hzčím tvru můžm psát: [ ] sin 6 Vpočtět drivci unkc pro pro pro Lz psát:
pro pro pro Odtud: pro pro pro Vidím ihnd ž Clkový výsldk lz zpst v tvru: pro pro pro 7 Vpočtět drivci unkc b pro b všud jind Povšimněm si ž můžm npst pro b pro b pro b Odtud získám ihnd: pro b b pro b pro b b b Zs vidím ž clkový výsldk lz zpst v tvru: b b pro b všud jind 8 Vpočtět drivci unkc ln pro pro Povšimněm si ž opět můžm npst pro ln pro Odtud dostnm: pro pro Vidím pk ž ž lz psát:
pro pro 9 Vpočtět drivci unkc rctg sign pro pro Zřjmě opět můžm psát pro rctg pro pro Zd j trochu npříjmné ž hodnot unkc v bodě nní rovn hodnotě unkc rctg v bodě tkž nmůžm npst pro Kždopádně všk z přdchozího vjádřní unkc ihnd pln: pro pro pro Zbývá jn otázk jk vpdá Sndno vidím ž Funkc nní td v bodě spojitá zlv odtud j ihnd jsné ž pokud istuj můž být pouz nvlstní K důkzu istnc nmůžm použít větu o itě drivc nboť bohužl nní splněn přdpokld spojitosti unkc v bodě zlv Nzbývá nž použít dinici drivc Tím j vštřování drivc ukončno Zřjmě Clkový výsldk můžm zpst v tvru
pro pro Vpočtět drivci unkc pro pro Zřjmě opět můžm psát pro pro pro Odtud ihnd pln pro pro Vidím td ž ž pltí pro pro pro Vpočtět drivci unkc Zřjmě Podobně jko v příkldě 5 můžm zd npst Odtud vclku bz obtíží zjistím ž pro pro Včsné vtknutí výrzu z bsolutní hodnot nám ukázlo ž při vštřování unkc bod nmusím vůbc brát v úvhu Njprv vpočtm [ ] Odtud [ ] [ 6 8] [ 9] [ 9] pro [ 9] pro 8 Ihnd vidím ž ž pltí: 8
[ 9] pro [ 9] pro [ 9] pro Chcm-li vjádřit pomocí jdiné ormul potřbujm unkci ρ tkovou ž pro ρ pro pro Lz si l všimnout ž tková unkc oprvdu istuj j ρ sign sign Tkž můžm npst: sign sign [ 9] Vpočtět drivci unkc sin Kvůli bsolutní hodnotě vsktující s v vjádřní unkc budm uvžovt intrvl Můžm zřjmě psát sin pro sin pro Odtud sin sin cos sin sin cos sin Td [ sin cos ] [ ] pro clkový výsldk můžm zpst v tvru sign sin [ sin cos ] Vpočtět drivci unkc rcsinsin Zřjmě nboť oborm hodnot unkc sin j intrvl pro tntýž intrvl j diničním oborm unkc rcsin Funkc rcsin s zvádí jko unkc invrzní k unkci sin což vlmi svádí k tomu npst rcsinsin Toto j zásdní chb nboť j třb si uvědomit ž unkci rcsin dinujm jko invrzní unkci k unkci sin uvžovné pouz n intrvlu Pltí td rcsin sin l pouz pro Pro dtilní rozbor unkc rcsin sin j dobré si povšimnout ž tto unkc j priodická s priodou Stčí ji td uvžovt n intrvlu délk M si vbrm intrvl N intrvlu jk již blo uvdno mám rcsin sin N intrvlu potom dostávám:
rcsinsin sin rcsin rcsinsin rcsinsin Nboť Pro lpší zpmtování uvdm gr unkc rcsin sin Z přdchozích výsldků ihnd pln: pro pro Odtud s použitím priodičnosti sndno vidím ž Z k k ; ž Z k k k pro Z k k k pro Vpočtět drivci unkc pro Pro vpočtm Zbývá vštřit zd istuj drivc nbo zd istují lspoň jdnostrnné drivc v bodě Zd j si njlép povšimnm-li si poměrně tchnick výhodného tvru unkc zčnm počítt podl dinic:
Td pro j určno výš uvdnou ormulí Pokud s nrozhodnm počítt podl dinic můžm jště použít větu o itě drivc Tnto postup l jk ihnd uvidít j zd podsttně tchnick náročnější Přdně bchom větu o itě drivc mohli použít musím ověřit zd unkc j v bodě spojitá Funkc j td v bodě spojitá tkž můžm počítt itu drivc Posldní itu lz vpočítt tímto způsobm: Při výpočtu jsm použili větu o itě složné unkc vnitřní unkc j vnější unkc j lhospitlovo prvidlo Vchází tk tudíž dostávám opět
Odtud znov dostávám 5 Vpočtět drivci unkc Z účlm urční diničního oboru uvžujm nrovnost Posldní nrovnost j splněn pro všchn rálná odkud pln Vnitřní unkc má vlstní drivci v kždém bodě vnější unkc v kždém bodě J td třb z účlm použití vět o drivci složné unkc vloučit bod v nichž Tkový bod j l pouz jdn to bod Pro můžm td použít větu o drivci složné unkc ostávám tk: Zbývá vštřit bod Upozorněm opět ž při výpočtu it v bodě zlv uvžujm tudíž Td pro j určno výš uvdnou ormulí
6 Vpočtět drivci unkc rcsin Z účlm urční diničního oboru uvžujm nrovnost Odtud ihnd vidím ž Zárovň j zřjmé ž unkc j n clém svém diničním oboru spojitá Vnější unkc rcsin nmá vlstní drivc v bodch proto s z účlm použití vět o drivci složné unkc musí vloučit bod pro ktré j Jdná s td o dv bod Pro m dostávám: rcsin sign sign Anlogickým postupm zjistím ž Vidím td ž 7 Vpočtět drivci unkc pro rctg Zřjmě Pro dostávám: 5 rctg rctg rctg Vzhldm k příznivému tvru unkc bud vhodné jdnostrnné drivc v bodě počítt podl dinic:
rctg rctg Td