7 LIMITNÍ VTY as e studu aptoly: 70 mut Cíl: o prostudováí tohoto odstavce budete umt formulovat a používat lmtí vty aproxmovat já rozdleí rozdleím ormálím - 90 -
Výlad: V této aptole adefujeme tvrzeí (lmtí vty), terá jsou dležtá pro pops pravdpodobostích model v pípad rostoucího potu áhodých pous. 7. Defce záladích pojm 7.. Kovergece podle pravdpodobost (stochastcá overgece) Kovergece podle pravdpodobost e ostat a Je dáa posloupost áhodých vel { } (,,., ) a reálé íslo a (a R). Jestlže pro aždé > 0 platí: lm a < ε ( ) (jestlže pravdpodobost, že abude hodoty z tervalu (a-; a+) overguje pro jedé (pro lbovol malé )), pa íáme, že posloupost áhodých vel { } overguje a podle pravdpodobost. Kovergece podle pravdpodobost áhodé vel Tato overgece je zobecím pedcházejícího pípadu. Je dáa posloupost áhodých vel { } a áhodá vela. Jestlže pro aždé > 0 platí: lm < ε ( ) (jestlže pravdpodobost, že abude hodoty z tervalu (-; +) overguje pro jedé (pro lbovol malé )), pa íáme, že posloupost áhodých vel { } overguje áhodé vel podle pravdpodobost. 7.. Kovergece v dstrbuc Je dáa posloupost áhodých vel { },posloupost dstrbuích fucí áhodých vel { }-{F (x)} a áhodá vela, terá má dstrbuí fuc F(x). Jestlže: lm ( x) F( x), F pa íáme, že posloupost áhodých vel { } overguje áhodé vel v dstrbuc a F(x) azýváme asymptotcou dstrbuí fucí. Koverguje-l posloupost áhodých vel { } áhodé vel v dstrbuc, zameá to, že pro dostate velá mžeme dstrbuí fuc áhodé vely aproxmovat (tz. s jstou chybou ahradt) asymptotcou dstrbuí fuc F(x). - 9 -
ílad: Jestlže posloupost áhodých vel { } overguje v dstrbuc rozdleí N(µ, σ ), (íáme taé, že áhodá vela má asymptotcy ormálí rozdleí), pa lm F x µ ( x) F( x) Φ σ (tz. pro velá mžeme dstrbuí fuc áhodé vely aproxmovat dstrbuí fuc ormálí áhodé vely a tu po stadardzac ajít v tabulách). 7. ebyševova erovost Je-l lbovolá áhodá vela se stedí hodotou E a oeým rozptylem D ( ) ( D < ), pa ebyševova erovost odhaduje (velce hrub) pravdpodobost odchyly áhodé vely od její stedí hodoty. ε > 0 : ( E ε ) D ε Následující vztah reprezetuje aplac ebyševovy erovost pro pípad, dy chceme odhadout pravdpodobost, že áhodá vela je od své stedí hodoty vzdáleá o více ež - ásobe smrodaté odchyly (za dosadíme.): σ, > 0 : ( E σ ) ešeý pílad: Odhadte pravdpodobost, že áhodá vela je od své stedí hodoty vzdáleá o více ež 3. ešeí: σ > 0 : 3 ( E 3 σ ) ( 0,) Hledaá pravdpodobost eperauje %. (Je to opravdu hrubý odhad, srovejte s s pravdlem 6 sgma platým pro ormálí rozdleí.) ešeý pílad: ravdpodobost vyrobeí zmetu je 0,5. Odhadte pravdpodobost, že p vyrobeí 000 výrob bude 400 600 zmet. - 9 -
ešeí:... poet zmet v 000 výrobcích, proto: B ( 000 ;0,5) E. p 500; D. p. ( p) 50; σ D 50 ravdpodobost, že poet zmet bude v rozmezí 400 až 600 lze vyjádt ve tvaru: ( 400 < < 600) ( 500 < 00) ( 500 00) Vyjádíme-l s povoleou odchylu od stedí hodoty (00) jao ásobe smrodaté odchyly ( 50 ), mžeme z ebyševovy erovost zjstt, že: 00 50 0000 ( 500 00) 500 50 0, 05 z ehož lze jedoduše odvodt, že: 50 00 50 ( 400 < < 600) > 0, 975 (Je-l ( 500 00) 0, 05, pa ( 500 00) > 0,975 ( 0,05) ppomeme, že jde o velce hrubý odhad., ). Zovu s Výlad: 7.3 Záo velých ísel Jao záo velých ísel ozaujeme tvrzeí o overgec prmru v posloupost áhodých vel. Záo velých ísel:,,, jsou ezávslé áhodé vely se stejým stedím hodotam E E E µ. Jestlže defujeme jao:. j; j N, pa posloupost { } overguje podle pravdpodobost. ( µ ) p, tj. lm ( µ < ε ) - 93 -
Všmme s, že,,, emusí mít stejé rozdleí, a zárove emáme žádé požadavy a jejch rozptyl. 7.3. Slý záo velých ísel Nastává-l tato overgece s pravdpodobost, mluvíme o slém záou velých ísel. Slý záo velých ísel:,,, jsou ezávslé áhodé vely se stejým stedím hodotam E E E µ. Jestlže defujeme jao:. j; j N, pa posloupost { } overguje podle pravdpodobost soro jst: ( lm µ ) 7.3. Slabý záo velých ísel Slabý záo velých ísel posthuje (oprot slému záou velých ísel) slabší formu overgece (overgece odchyle prmru od jeho stedí hodoty), máme p m vša taé slabší požadavy a ezávslost áhodých vel. Slabý záo velých ísel:,,, jsou eorelovaé áhodé vely se stejým stedím hodotam E E E µ a oeým rozptyly, pa: ε > 0 : lm ( E ) < ε rvodce studem: Následující pasáž je vováa dazu platost záoa velých ísel (pro zájemce): Víme, že: E E E µ D D σ D - 94 -
Je-l:. j; j N, pa a zálad vlastostí stedí hodoty a rozptylu mžeme tvrdt, že: E ( µ ) µ, ( ) σ σ D D ε > 0 : E ε, ε ebyševova erovost íá, že: ( ) D ε což mžeme zapsat tatéž jao: ε > 0 : ( E < ε ) Aplujeme-l tuto erovost a áhodou velu σ, dostaeme: ε 0 : ( µ ε ) σ > <, po úprav: ε > 0 : ( µ < ε ) ε V dalším rou uríme lmtu pro z výše uvedeého výrazu: lm ε σ ( ) µ < ε lm ε ( µ < ε ) lm, což zameá, že posloupost { } overguje podle pravd-podobost Výlad: Dsledem záoa velých ísel je Beroullho vta. 7.3.3 Beroullho vta Beroullho vta íá, že relatví etost sledovaého jevu stochastcy overguje (overguje podle pravdpodobost) jeho pravdpodobost. To ám umožuje expermetál odhadovat ezámou pravdpodobost pomocí pozorovaé relatví etost (vz. lascá defce pravdpodobost). Beroullho vta: Nech,,... jsou ezávslé áhodé vely s alteratvím rozdleím (poet úspch v jedom pousu) s parametrem p (pravdpodobost úspchu), jestlže defujeme jao: - 95 -
. j; j N, pa p ( p) Jelož výraz a levé stra pedstavuje relatví etost výsytu uvažovaé událost v posloupost pous, mžeme p velém potu pous odhadovat pravdpodobost astoupeí jaé událost relatví etostí výsytu této událost v posloupost pous. rvodce studem: A opt zde máme objasí matematcého pozadí výše uvedeé vty. Odvozeí Beroullho vty: Víme, že: A( p) E E E p ( p) D D D p. Je-l: j j ; N, pa B( ; p) Jestlže defujeme jao: (souet alteratvích áhodých vel s parametrem p (poet úspch v jedom pousu) je bomcou áhodou velou s parametry a p (poet úspch v pousech). j j ; N, pa ozauje relatví etost výsytu událost a podle záoa velých ísel posloupost { } (relatví etost) overguje podle pravdpodobost pravdpodobost p (stedí hodot E ), tz. že pro velá mžeme pravdpodobost odhadovat relatví etostí. p ( p), tj. lm ( p < ε ) - 96 -
Výlad: 7.4 Cetrálí lmtí vta V pedcházejícím výladu jsme se zmíl o tom, že mmoád dležté postaveí mez rozdleím má rozdleí ormálí. Je tomu ta mmo jé proto, že ormálímu rozdleí se za urtých podmíe blíží já rozdleí áhodých vel. O áhodých velách, jež overgují v dstrbuc ormálímu rozdleí (áhodé vely, jejchž dstrbuí fuce pro velá overguje dstrbuí fuc ormálího rozdleí), íáme, že mají asymptotcy ormálí rozdleí. Kovergecí rozdleí ormálímu rozdleí se zabývá cetrálí lmtí vta, terá má dv dílí formulace: Ldebergovu-Lévyho vtu a Movreovo- Laplaceovu vtu. 7.4. Ldebergova-Lévyho vta odle této vty má pro dost velé souet prmr áhodých vel se stejým rozdleím, stejým prmrem a stejým rozptylem pblž ormálí rozdleí. Ldebergova-Lévyho vta Jestlže,,, jsou ezávslé áhodé vely se stejým (lbovolým) rozdleím, stejým stedím hodotam E E E µ a se stejým (oeým) rozptyly D D D, pa platí: σ Y σ µ lm ( Y < u) Φ ( u ) (Y má asymptotcy ormálí rozdleí N(0,), ( ( u) Φ( u) v dstrbuc rozdleí N(0,)) FY Z této vty bezprosted vyplývá, že pro dostate velá platí: ), tj. Y overguje. E µ ; D σ, rozdleí áhodé vely lze aproxmovat rozdleím N ( µ ; σ ) asymptotcy ormálí rozdleí, N( µ;σ )., tj. má - 97 -
odobý závr platí pro :. E µ µ ; D σ σ rozdleí áhodé vely lze aproxmovat rozdleím asymptotcy ormálí rozdleí, N µ ; σ. N µ ; σ, tj. má ešeý pílad: Dlouhodobým przumem bylo zjšto, že doba potebá objeveí a odstraí poruchy stroje má stedí hodotu 40 mut a smrodatou odchylu 30 mut. Jaá je pravdpodobost, že doba potebá objeveí a opraveí 00 poruch eperoí 70 hod? ešeí:... doba potebá objeveí a odstraí -té poruchy Víme, že: E 40 mut a D 30 mut, rozdleí áhodé vely ezáme... celová doba do objeveí sté poruchy 00 Na zálad Ldebergovy-Lévyho vty víme, že souet áhodých vel se stejým rozdleím (emusíme vdt jaým), stejým stedím hodotam a stejým rozptyly mžeme aproxmovat ormálím rozdleím s parametry: µ E, σ D, proto: N ( 00 40;00 30 ) Nyí jž eí problém urt hledaou pravdpodobost (esmíme je zapomeout a užíváí stejých jedote, v ašem pípad mut (70h 400 mut): 400 4000 ( < 400 ) F( 400) Φ Φ( 0,67) 0, 749 90000-98 -
ešeý pílad: Žvotost eletrcého holícího stroju Adam má expoecálí rozdleí se stedí hodotou roy. Urete pravdpodobost, že prmrá žvotost 50-t prodaých stroj Adam bude vyšší ež 7 msíc. ešeí:... žvotost -tého holícího stroju Adam λ... prmrá žvotost 50-t stroj Adam Exp E roy λ ro D λ 4 ro 50 50 50 50 Z Ldebergovy-Lévyho vty víme, že: N µ ; σ V ašem pípad: 50 4 N; 50 50 Nyí, dyž záme rozdleí prmré žvotost 50-t stroj Adam, mžeme ešeí doot (7 msíc,5 ro):,5 (,5) (,5) > F Φ Φ(,53) 0,937 0, 063 4 50 Výlad: Specálím pípadem tvrzeí o overgec soutu stej rozdleých áhodých vel (se stejým prmrem a stejým rozptylem) rozdleí ormálímu je Movreova - Laplaceova vta. - 99 -
7.4. Movreova-Laplaceova vta Tato vta vyjaduje overgec bomcého rozdleí ormálímu rozdleí. Staí s uvdomt, že bomcá áhodá vela je soutem alteratvích áhodých vel (ezávslé áhodé vely se stejým rozdleím, stejou stedí hodotou a stejým rozptylem) a tudíž spluje pedpolady Ldebergovy-Lévyho vty. roto j lze pro µ p; σ p p dostate velá aproxmovat orm. rozdleím s parametry: ( ) Movreova-Laplaceova vta Nech B( ; p) ; E p; D p( - p), potom pro velá platí, že: U p N(0,), p( p) tj. ja eeo: pro dostate velá : N( p p( p) ) ;. Aproxmace bomcého rozdleí ormálím se zlepšuje s rostoucím rozptylem. omr dobré výsledy dává tato aproxmace v pípad, že: 7.5 Aplace cetrálí lmtí vty p ( p) > 9 ebo m { p ; ( p) } > 5 Cetrálí lmtí vta se šroce využívá pro vtšu rozdleí. 7.5. Aproxmace rozdleí výbrové relatví etost ormálím rozdleím Máme-l Beroullho pous, p terých astae výsyt jaé událost, mžeme urt výbrovou relatví etost p: p,, π D π π ). Na zálad Ldebergovy-Lévyho vty mžeme ostatovat, že souet alteratvích áhodých vel se stejým stedím hodotam a stejým rozptyly mžeme aproxmovat rozdleím ormálím s parametry: µ E π σ D π π. de mají alteratví rozdleí s parametrem ( A( π ) E, ( ), ( ) N ( π ; π ( π )) (Ke stejému závru dojdeme a zálad Movreovy-Laplaceovy vty, uvdomíme-l s, že souet alteratvích áhodých vel má rozdleí bomcé.) - 00 -
Zárove z Ldebergovy-Lévyho vty vyplývá, že prmr áhodých vel (výbrovou relatví etost p) lze taé aproxmovat ormálím rozdleím, tetorát s parametry: D ( ) µ E π, π π σ. p N π ( π ) π, Na zálad stadardzace (pevodu a ormovaé ormálí rozdleí) pa mžeme taé íc, že: p π N (0,) π ( π ) 7.5. Aproxmace ossoova rozdleí ormálím rozdleím Taé ossoovo rozdleí mžeme ahradt rozdleím ormálím v pípad, že asový terval ( 0 ;t) je dostate velý a tudíž je dostate velý oeávaý poet událost (stedí hodota) t: o λt, E λt, D λt ( ) pa pro dostate velé t platí, že mžeme aproxmovat ormálím rozdleím s parametry: µ λt, σ λt : N λ t, λt ( ) Obdob platí, že prmrý poet výsytu událost za asovou jedotu lze aproxmovat ormálím rozdleím: Y... poet výsytu událost za asovou jedotu, Y t, pa áhodou velu Y, daou jao fuc áhodé vely, lze aproxmovat ormálím rozdleím, Uvažujeme-l, že lze aproxmovat ormálím rozdleím, N( λ t, λt) λ jehož parametry jsou: µ λt λ, σ λt : t t t λ Y Nλ, t využtí této aproxmace s uvdomme, že prmrý poet událost (Y) mžeme vztahovat lbovolé ohraeé oblast (eje asové) ap. ploše. - 0 -
rvodce studem: Tato pasáž je opt vováa zájemcm o hlubší pochopeí studovaé problematy. ro mžeme ossoovo rozdleí aproxmovat ormálím? Teto daz je obdobý jao daz ossoovy vty (odvozeí pravdpodobostí fuce ossoova rozdleí): Uvažujme ossov proces, terý je pozorová v prbhu asu t. edpoládejme, že rychlost výsytu událostí je. otom pravdpodobost výsytu událostí bhem tervalu (0;t) bude úmrá hodot t. Nyí rozdlíme terval dély t a subterval stejé dély (t/). Výsyt událostí v aždém z tchto subterval bude ezávslý a pravdpodobost výsytu událostí bhem jedoho tohoto malého tervalu bude úmrá hodot (.(t/)). oud je dostate velé íslo, pa déla tervalu (t/) bude dostate malá - atol, že pravdpodobost výsytu více ež jedé událost v tomto tervalu je tém ulová a pravdpodobost výsytu jedé událost je úmrá (.(t/)). Nech je poet výsytu událost v -tém subtervalu. Je zejmé, že má alteratví rozdleí s parametrem p.(t/). t A λ ; E t t t λ ; D λ λ Je-l defováa jao poet výsytu událost bhem asového tervalu (0;t), pa má tato áhodá vela ossoovo rozdleí s parametrem t. o ( λt) Zárove mžeme áhodou velu vyjádt jao souet áhodých vel, a tudíž j mžeme podle cetrálí lmtí vty aproxmovat ormálím rozdleím: ( λt) λt E E λ t; D D lm λt λt λt lm N( λt;λt) - 0 -
Výlad: 7.6 Oprava a spojtost Chceme-l urovat pravdpodobost výsytu dsrétí áhodé vely a tervalu (resp. b b b ; ), pop. pravdpodobost, že áhodá vela abude orétí hodoty, zavádí se pro pesjší výpoet tzv. oprava a spojtost. Oprava a spojtost bude prezetováa v ásledujícím ešeém píladu. (a;, resp. ( a; ), resp. ( ) a; b ešeý pílad: Na telefoí ústedu je apojeo 3000 úastí. Každý z ch bude volat telefoí ústedu bhem hody s pravdpodobostí 0%. Jaá je pravdpodobost, že bhem ásledující hody zavolá ústedu: a) práv 300 úastí? b) více ež 30 úastí? c) mez 00 a 450 úastíy(vet)? ešeí: poet úastí volajících ústedu bhem ásledující hody (z 3000) Z defce áhodé vely je zejmé, že má bomcé rozdleí: B( 3000;0, ) jehož pravdpodobostí fuce je: ( ) p ( ) p 3000 3000! 300 0, 300 700! 300! ada) ( ) ( ) ( ) 3000 300 ( ) 300 ( ) 700 300 0, 0, 0, 9, Zde arážíme a problém. S pomocí alulay edoážeme urt žádý z výše uvedeých fatorál. roto v tomto pípad provedeme alespo pblžý výpoet (aproxmac). Z Movreovy-Laplaceovy vty víme, že bomcé rozdleí mžeme aproxmovat rozdleím ormálím: Movreova-Laplaceova vta: Nech B( ; p) ; E p; D p( - p) N( p; p( p) ), pa dostate velá : - 03 -
V ašem pípad: B ( 3000 ;0,) ; E 3000 0, 300; D 3000 0, 0,9 70, proto mohu aproxmovat ormálím rozdleím s parametry 300; 70 N(300;70) Nyí musíme vyešt ješt jedu omplac. aproxmac dsrétí áhodé vely spojtou dochází tomu, že výpoet pravdpodobostí fuce elze jedoduše provést (pravdpodobostí fuce spojté áhodé vely je ulová). roto se provádí tzv. oprava a spojtost. ( 300 ) 0 Je-l defováo jao poet úastí volajících bhem ásledující hody ústedu, mžeme tvrdt, že pravdpodobost, že píští hodu bude volat 300 úastí je stejá jao pravdpodobost, že bude volat alespo 99,5 a mé ež 300,5 úastí. (V tervalu 99,5;300,5 ) je pouze 300 úastí.) ( 99,5 < 300,5) ( 300 ) ( 99,5 < 300,5) jž eí pro spojtou áhodou velu ulová a ta mžeme provést aproxmaí výpoet. Této úprav se íá oprava a spojtost. ( 300) ( 99,5 < 300,5) ( < 300,5) ( < 99,5) F Φ ( 300,5) F( 99,5) ( 0,03) Φ( 0,03) Φ( 0,03) [ Φ( 0,03) ] Φ( 0,03) 0,5 0,04 300,5 300 99,5 300 Φ Φ 70 70 3000 3000 adb) ( > 30) ( 0,) ( 0,) - ( 0,) ( 0,) 3 3000 30 0 3000 3000 I zde astává problém. Vdíme, že vyísleí píslušých sout (sum) by ám zabralo spoustu asu (poud bychom to vbec s pomocí alulay doázal). roto v tomto pípad pstoupíme pblžému výpotu (aproxmac). Nyí mžeme provést pblžý výpoet: ( > 30) ( 30) N(300;70) Zovu astává problém zpsobeý aproxmací dsrétího rozdleí spojtým a proto zde pstoupíme oprav a spojtost: - 04 -
( > 30 ) ( 30) ( < 30,5) 30,5 300 ( > 30 ) F(30,5) Φ Φ( 0,64) 0,739 0, 6 70 adc) ( 00 450) ( 0,) ( 0,) 450 00 3000 3000 Opt máme ve výše uvedeém vztahu velý poet sítac a vysoé fatorály, proto hledáme pblžý výslede pomocí cetrálí lmtí vty (Movreovy-Laplaceovy vty). Zárove zde budeme provádt opravu a spojtost: ( 00 450) ( 450) ( < 00) ( < 450,5) ( < 00) F Φ ( 450,5) F( 00) ( 9,6 ) Φ( 6,09) Φ( 9,6 ) [ Φ( 6,09) ] Φ( 9,6 ) + Φ( 6,09) + 450,5 300 00 300 Φ Φ 70 70 oužtá aproxmace ám dává velm dobré výsledy (velm blízé suteým), protože je spla podmía, že: ( p) > 9 7 > 9. p ( ) ešeý pílad: Seretáa etra píše a stroj rychlost 50 úhoz / m. této rychlost udlá prmr 3 chyby za 0 mut. Jaá je pravdpodobost, že p 30-t mutovém dtátu udlá více ež 0 chyb? ešeí: Defujme s áhodou velu jao poet chyb v dtátu (za 30 mut). Tato áhodá vela (poet událost v asovém tervalu) má ossoovo rozdleí s parametrem t 9 (prmrý poet chyb za 30 mut, E D). 0 9! o( 9) 0 9 0! 0 9 0! 9 9 ( > 0) ( 0) e e + + + 0,706 0, 94 0 Teto výpoet byl poud pracý. roveme srovávací výpoet pomocí cetrálí lmtí vty: 9! - 05 -
Víme, že ossoovu áhodou velu s parametrem t mžeme aproxmovat pro dostate velá t ormálím rozdleím s parametry: t, t. a: N( 9;9) ( > 0) ( 0) ( < 0,5) F( 0,5) Φ Φ( 0,5) 0,69 0,309 0,5 9 9 Vyhodoceí aproxmace pro teto pípad: Aproxmaí postup byl mohem rychlejší, výsledy obou postup se ám lší o,5%, což je as 5% -í chyba (0,05/0,94). Výlad: Oprava a spojtost (u pravdpodobostí fuce): Je-l dsrétí áhodá vela, pa: ( a) ( a 0,5 < a + 0,5) Hodota 0,5 ve výše uvedeém vztahu je dáa dohodou. Teoretcy bychom mohl tuto a a 0,3 < a + 0,. omplac vyešt apílad tato: ( ) ( ) Obec oprava a spojtost: osouzeí vhodost použtí opravy a spojtost provádíme vždy p ešeí orétího píladu dsledým pevodem pravdpodobost výsytu áhodé vely a jaém tervalu a vztah mez dstrbuím fucem v píslušých bodech. Shrutí: V této aptole jsme se voval lmtím vtám, tj. tvrzeím, terá jsou dležtá pro pops pravdpodobostích model v pípad rostoucího potu áhodých pous.. ro oretac v této problematce jsme se sezáml s ola ovým pojmy: Jestlže posloupost áhodých vel overguje podle pravdpodobost áhodé vel, pa: ε > 0 : lm < ε ( ) - 06 -
Jestlže posloupost áhodých vel { } overguje áhodé vel v dstrbuc, pa: lm ( x) F( x), F F(x) v tomto pípad azýváme asymptotcou dstrbuí fucí. Velce hrubý odhad pravdpodobost odchyly áhodé vely od její stedí hodoty ám umožuje ebyševova erovost: ε > 0 : D ε ( E ε ) Chceme-l odhadout pravdpodobost, že odchyla áhodé vely od její stedí hodoty je ásobem smrodaté odchyly ( σ ), pa použjeme upraveou verz ebyševovy erovost, dy za dosadíme.: σ, > 0 : ( E σ ) Kovergec prmru v posloupost ezávslých vel se zabývá záo velých ísel, terý íá, že prmr ezávslých áhodých vel se stejým stedím hodotam overguje podle pravdpodobost jejch stedí hodot. Dsledem záoa velých ísel je Beroullho vta. Beroullho vta íá, že relatví etost sledovaého jevu overguje podle pravdpodobost jeho pravdpodobost. To ám umožuje expermetál odhadovat ezámou pravdpodobost pomocí pozorovaé relatví etost (vz. lascá defce pravdpodobost). Kovergecí rozdleí ormálímu rozdleí se zabývá cetrálí lmtí vta, terá má dv dílí formulace: Ldebergovu-Lévyho vtu a Movreovo-Laplaceovu vtu. Ldebergova-Lévyho vta íá, že pro dost velé má souet prmr áhodých vel se stejým rozdleím, stejým prmrem a stejým rozptylem pblž ormálí rozdleí: Jestlže,,, jsou ezávslé áhodé vely se stejým (lbovolým) rozdleím, stejým stedím hodotam E E E µ a se stejým (oeým) rozptyly D D D, pa platí: σ N ( µ ; σ ) N µ ; σ Movreova-Laplaceova vta vyjaduje overgec bomcého rozdleí ormálímu rozdleí: Nech B( ; p), pa: pro dostate velá : N( p; p( p) ) - 07 -
emž pomr dobré výsledy dává tato aproxmace v pípad, že: p ( p) > 9 ebo m { p ; ( p) } > 5 Mez dležté aplace cetrálí lmtí vty pa patí možost aproxmace výbrové relatví etost ormálím rozdleím: ( π ) π p Nπ ;, možost aproxmace ossoova rozdleí rozdleím ormálím: Nech o( λt) rozdleím s parametry: N( λ t, λt), pa pro dostate velé t mžeme aproxmovat ormálím a možost aproxmace prmrého potu událost za asovou jedotu ormálím rozdleím: λ Nech Y je prmrý poet výsytu událost za asovou jedotu, pa: Y Nλ, t Na závr zbývá ppomeout, že chceme-l dostat co ejlepší výsledy p aproxmac dsrétího rozdleí rozdleím spojtým, ezapomeeme p výpotech a opravu a spojtost. - 08 -
Otázy. Vysvtlete pojmy: overgece podle pravdpodobost, overgece v dstrbuc.. Co je to ebyševova erovost a ja j mžeme využít? 3. Vysvtlete záo velých ísel s ohledem a relatví etost výsytu jaé událost v posloupost pous (Beroullho vta)? 4. Co íá cetrálí lmtí vta (Ldebergova-Lévyho vta, Movreova-Laplaceova vta)? 5. Ja mžeme použít cetrálí lmtí vtu aproxmac rozdleí ossoova (popípad bomcého) rozdleím ormálím? 6. Ja mžeme pomocí cetrálí lmtí vty aproxmovat výbrovou relatví etost? 7. Kdy se používá oprava a spojtost? - 09 -
Úlohy ešeí. Farmá prodává brambory po oších. Váha oše má logartmco-ormálí rozdleí se stedí hodotou 7,80 g a smrodatou odchylou,76 g. Jaá je pravdpodobost, že celová váha pt oš brambor bude vyšší ež 90 g?. Zamstac jstého podu mají áro a jede de pl hrazeé emocesé msí. Jestlže víme, že zamstac s vybírají cca 0,78 dí msí ( a zamstace ) a v podu pracuje 0 zamstac, jaá je pravdpodobost, že s zamstac píští msíc budou ároovat více ež 95 dí? 3. V továr a výrobu žárove bylo p výstupí otrole zjšto, že žvotost žárovy je (600 ± 50) hod. Jaá je pravdpodobost, že vybereme-l áhod 00 žárove, ta jejch prmrá žvotost bude žší ež 560 hod? 4. Majtel osu a tramvajové zastávce odhadul, že 5% záazí s upuje hamburger. Ve stedu aupovalo v daém osu 375 záazí. Jaá je pravdpodobost, že bylo prodáo více ež 65 hamburger? 5. Místí frma ompletuje poítae C. rmrá doba potebá sestaveí jedoho poítae je 35 mut. Ve frm se ompletováím se pracuje 8 hod de, 0 dí msí. Jaá je pravdpodobost, že píští msíc zamstac sestaví: a) více ež 300 poíta b) mez 50 a 75 poíta 6. Frma Y se zabývá výrobou moblích telefo. 5% výrob je p výstupí otrole vyazeo v dsledu výrobích vad. Jaá je pravdpodobost, že v otrolí sér 500 telefo bude: a) mé ež 30 vadých us b) mez.5% a 7.5% vadých us 7. ed volbam je v populac státu 5% pízvc oalích stra. Jaá je pravdpodobost, že przum veejost rozsahu 500 uáže espráv pevahu opozce? 8. ravdpodobost zásahu letícího cíle stelcem je 0,95. Jaá je pravdpodobost, že poet zásahu ve 00 pousech bude alespo 97? 9. zásahu jádra atomu urtého prvu dojde s pravdpodobostí 0% vyzáeí jsté ástce. a) Kolem jaé stedí hodoty bude olísat poet vyzáeých ástc p zásahu 00 jader? b) Odhadte terval, v mž se bude pohybovat poet vyzáeých ástc p zásahu 00 jader s pravdpodobostí 99,9%. - 0 -
ešeí:. Φ( 0,5) 0, 40. Φ(,79) 0, 037 3. Φ(,6 ) 0, 055 4. Φ(,34 ) 0, 090 (aplováa oprava a spojtost) 5. a) Φ(,58 ) 0, 057 b) ( 0,04) + Φ(,47 ) 0, 445 (aplováa oprava a spojtost) Φ (aplováa oprava a spojtost) 6. a) Φ (,03) 0, 848 b) Φ(,56) 0, 99 7. Φ(,55 ) 0, 06 8. Φ( 0,9) 0, 79 9. a) E 0 ; σ 3 < < 9 0, b) ( ) 999 - -