Převody Regulárních Výrzů Minimlizce Konečných Automtů Regulární jzyky 2 p.1/35
Kleeneho lger Definice 2.1 Kleeneho lger sestává z neprázdné množiny se dvěm význčnými konstntmi 0 1, dvěm inárními opercemi +. unární opercí, které splňují následující xiomy: +(+c) = (+)+c socitivit + [A.1] + = + komuttivit + [A.2] + = idempotence + [A.3] +0 = 0 je identitou pro + [A.4] (c) = ()c socitivit. [A.5] 1 = 1 = 1 je identitou pro. [A.6] 0 = 0 = 0 0 je nihilátorem pro. [A.7] ( + c) = + c distriutivit zlev [A.8] ( + )c = c + c distriutivit zprv [A.9] 1+ = [A.10] 1+ = [A.11] +c c c [A.12] +c c c [A.13] V A.12 A13 reprezentuje uspořádání definovné tkto: def + =. Regulární jzyky 2 p.2/35
Příkldy Kleeneho lgeer: Tříd 2 Σ všech podmnožin Σ s konstntmi {} opercemi,.. Tříd všech regulárních podmnožin Σ s konstntmi {} opercemi,.. Tříd všech inárních relcí nd množinou X s konstntmi v podoě prázdné relce identity, kompozicí (součinem) inárních relcí reflexivním trnzitivním uzávěrem inární relce jko opercemi. Mtice nd Kleeneho lgermi. Ukázk pltnosti A.2 pro regulární množiny: Necht p, resp. q, oznčují reg. množiny P, resp. Q. Pk p+q oznčuje P Q q +p oznčuje Q P. P Q = Q P (komuttivit množinového sjednocení) p+q = q +p. Regulární jzyky 2 p.3/35
Poznámk: Axiomy A.12 A.13 lze nhrdit následujícími ekvivlentními vzthy: c c c c c c c c [A.14] [A.15] Důkz. Viz D. Kozen. A Completeness Theorem for Kleene Algers nd the Alger of Regulr Events. Technicl Report TR 90-1123, Dept. of Comp. Sci., Cornell University, Ithc, NY, USA, 1990. Dostupné n Internetu: odkz viz stránky kurzu. Některé užitečné teorémy Kleeneho lgery, které lze odvodit z jejich xiómů: 0 = 1 1+ = = + = = ( ) = (+) prvidlo vynořování [R.16] () = () prvidlo posuvu [R.17] = () +() Regulární jzyky 2 p.4/35
Dlší vlstnosti Kleeneho lgeer, které lze odvodit z uvedených xiómů: je neostrým částečným uspořádáním: je reflexivní ( ), je trnzitivní ( c c), je ntisymetrické ( = ). + je supremum (nejmenší horní omezení lest upper ound) vůči. je monotónní vůči všem operátorům: c c c c, +c +c,. Sndno se smozřejmě tké ukáže, že =. Regulární jzyky 2 p.5/35
Důkz. Příkldy důkzů uvedených vlstností osttní viz npř. D. Kozen. A Completeness Theorem for Kleene Algers nd the Alger of Regulr Events neo Automt nd Computility: 0 = 1: 0 A.10 = 1+00 A.7 = 1+0 A.4 = 1. 1+ = pro stručnost neuvádíme použití A.1, A.2: 1+ : A.10: = 1+ A.3: + = 1+ A.10: 1+ + = 1+ A.3: 1+1+ + = 1+, neoli 1+ +1+ = 1+ def. : 1+ 1+ A.10: 1+ 1+ : 1+ = 1+ A.3: 1+ + = 1+ def. : 1+ ntisymetrie. Regulární jzyky 2 p.6/35
Poznámk: Různé vlstnosti Kleeneho lgeer se někdy snáze dokzují pro jednotlivé konkrétní příkldy těchto lgeer, npř. pro Kleeneho lgeru regulárních výrzů, kde lze npř. využít vzy n teorii množin. Vlstnosti Kleeneho lgeer umožňují sndno řešit systémy lineárních rovnic nd těmito lgermi. V dlší části udeme s těmito rovnicemi prcovt již přímo nd Kleeneho lgerou regulárních výrzů. Regulární jzyky 2 p.7/35
Rovnice nd regulárními výrzy Definice 2.2 Rovnice, jejímiž složkmi jsou koeficienty neznámé, které reprezentují (dné hledné) regulární výrzy, nzýváme rovnicemi nd regulárními výrzy. Příkld 2.1 Uvžujme rovnici nd regulárními výrzy nd ecedou {,} Jejím řešením je regulární výrz X =. X = X + Důkz. LS = PS = ( )+ = + + = ( + +) =. Ne vždy existuje jediné řešení rovnice nd reg. výrzy. Regulární jzyky 2 p.8/35
Vět 2.1 Necht X = px +q je rovnice nd reg. výrzy, kde p, q jsou reg. výrzy p oznčuje regulární množinu P tkovou, že P. Pk X = p (q +r) je řešením této rovnice pro liovolné r (kterému nemusí ni odpovídt regulární množin, le přípdně i oecnější jzyk). Důkz. PS = p (q +r) LS = p(p (q+r))+q = pp (q+r)+q = p (q+r)+q = p (q+r) (Uvědomme si, že P.) Ovykle le hledáme nejmenší řešení, tzv. nejmenší pevný od, dné rovnice. Regulární jzyky 2 p.9/35
Vět 2.2 Nejmenším pevným odem rovnice X = px +q je: X = p q Důkz. PS = p q LS = pp q +q = (pp +)q = p q Minimlit plyne přímo z A.12. Regulární jzyky 2 p.10/35
Soustvy rovnic nd regulárními výrzy Příkld 2.2 Budiž dán soustv rovnic X = 1 X + 2 Y + 3 Y = 1 X + 2 Y + 3 Její řešení je: X = ( 1 + 2 2 1 ) ( 3 + 2 2 3 ) Y = ( 2 + 1 1 2 ) ( 3 + 1 1 3 ) Důkz. Ponecháno n čtenáře. Regulární jzyky 2 p.11/35
Definice 2.3 Soustv rovnic nd reg. výrzy je ve stndrdním tvru vzhledem k neznámým = {X 1,X 2,...,X n }, má-li soustv tvr i {1,...,n} X i = α i0 +α i1 X 1 +α i2 X 2 +...+α in X n kde α ij jsou reg. výrzy nd nějkou ecedou Σ, Σ =. Vět 2.3 Je-li soustv rovnic nd reg. výrzy ve std. tvru, pk existuje její minimální pevný od lgoritmus jeho nlezení. Důkz. Vyjdřujeme hodnotu jednotlivých proměnných pomocí řešení rovnice X = px +q jko regulární výrz s proměnnými, jejichž počet se postupně snižuje: Z rovnice pro X n vyjádříme npř. X n jko regulární výrz nd Σ X 1,...,X n 1. Dosdíme z X n do rovnice pro X n 1 postup opkujeme. Jsou přitom možné (le ne nutné) různé optimlizce tohoto pořdí. Regulární jzyky 2 p.12/35
Příkld 2.3 Řešme soustvu rovnic nd reg. výrzy: (1) X 1 = (01 +1)X 1 +X 2 (2) X 2 = 11+1X 1 +00X 3 (3) X 3 = +X 1 +X 2 Výrz pro X 3 dosdíme z (3) do (2). Dostneme soustvu: (4) X 1 = (01 +1)X 1 +X 2 (5) X 2 = 11+1X 1 +00(+X 1 +X 2 ) = 00+11+(1+00)X 1 +00X 2 Ze (4) vyjádříme X 1 s využitím řešení rovnice X = px +q (vět 2.3): (6) X 1 = (01 +1) X 2 = (0+1) X 2 Doszením do (5): (7) X 2 = 00+11+(1+00)(0+1) X 2 +00X 2 = 00+11+(1+00)(0+1) X 2 Vypočtením X 2 jko řešení rovnice X = px +q dostneme: (8) X 2 = ((1+00)(0+1) ) (00+11) Doszením do (6) dostneme: (9) X 1 = (0+1) ((1+00)(0+1) ) (00+11) = (0+1) (00+11) Doszením do (3) dostneme: (10) X 3 = +(0+1) (00+11)+((1+00)(0+1) ) (00+11) = = +((0+1) +((1+00)(0+1) ) )(00+11) = = +(0+1) (00+11) Regulární jzyky 2 p.13/35
Regulární množiny jzyky typu 3 Vět 2.4 Jzyk L je regulární množinou právě tehdy, je-li L jzykem typu 3. Oznčíme-li L R třídu všech regulárních množin, pk: L R = L 3 Důkz. I. L R L 3, tj. kždou regulární množinu lze generovt grmtikou typu 3. regulární množin grmtik typu 3 (1) G = ({S},Σ,,S) (2) {} G = ({S},Σ,{S },S) (3) {} pro kždé Σ G = ({S},Σ,{S },S) Nyní ukážeme, že sjednocení, konktenci iterci reg. množin lze generovt rovněž grmtikou typu 3. Necht tedy L 1 = L(G 1 ), kde G 1 = (N 1,Σ 1,P 1,S 1 ), L 2 = L(G 2 ), kde G 2 = (N 2,Σ 2,P 2,S 2 ) G 1, G 2 jsou grmtiky typu 3, N 1 N 2 = (nonterminály je vždy možno tkto odlišit). Důkz pokrčuje dále. Regulární jzyky 2 p.14/35
Pokrčování důkzu. regulární množin grmtik typu 3 (4) L 1 L 2 N 4 = N 1 N 2 {S 4 }, S 4 N 1 N 2, G 4 = (N 4,Σ 1 Σ 2,P 4,S 4 ), kde P 4 = {S 4 S 1 S 2 } P 1 P 2 (5) L 1.L 2 G 5 = (N 1 N 2,Σ 1 Σ 2,P 5,S 1 ) P 5 je nejmenší množin tková, že: je-li (A xb) P 1, pk (A xb) P 5, je-li (A x) P 1, pk (A xs 2 ) P 5, (A α) P 2 : (A α) P 5. (6) L 1 G 6 = (N 1 {S 6 },Σ 1,P 6,S 6 ), S 6 N 1 P 6 je nejmenší množin tková, že: je-li (A xb) P 1, pk (A xb) P 6, je-li (A x) P 1, pk (A xs 6 ) P 6, (S 6 S 1 ) P 6. Důkz pokrčuje dále. Regulární jzyky 2 p.15/35
Pokrčování důkzu. II. L 3 L R, tj. kždý jzyk generovný grmtikou typu 3 je regulární množinou. Necht L L 3 je liovolný jzyk typu 3. Již vím, že ho můžeme popst KA M = (Q,Σ,δ,q 0,F). Necht Q = {q 0,q 1,...,q n }. Vytvoříme soustvu rovnic n reg. výrzy s proměnnými X 0,X 1,...,X n ve stndrdním tvru. Rovnice pro X i popisuje množinu řetězců přijímných ze stvu Q i. Řešením této soustvy získáme reg. výrz pro proměnnou X 0, který reprezentuje jzyk L. Příkld 2.4 1 3 X 1 = + X 1 + X 2 + X 3 X 2 = X 1 + X 3 X 3 = + X 2 + X 3 2 Jzyk L popisuje reg. výrz, který je řešením této soustvy pro proměnnou X 1. Regulární jzyky 2 p.16/35
Poznámk: jiný převod KA n RV Regulární přechodový grf je zoecnění KA, které umožňuje množinu počátečních stvů regulární výrzy n hrnách. Kždý RPG je možné převést n RPG s jediným přechodem, ze kterého odečteme hledný RV. Zvedeme nový počáteční koncový stv, které propojíme s původními počátečními koncovými stvy přechody. Pk postupně odstrňujeme všechny původní stvy následujícím způsoem: S 1 R 1 (S 1 +S 2 +)*T 1 R 1 T 1 R 2 (S 1 +S 2 +)*T 1 R 1 (S 1 +S 2 +)*T 2 R 2 T 2 S 2 R 2 (S 1 +S 2 +)*T 2 Regulární jzyky 2 p.17/35
Přímý převod RV n DKA Regulární jzyky 2 p.18/35
Rozšířené konečné utomty RV udeme převádět nejprve n tzv. rozšířené KA ty pk n DKA. Definice 2.4 Rozšířený konečný utomt (RKA) je pětice M = (Q,Σ,δ,q 0,F), kde Q je konečná množin stvů, Σ je konečná vstupní eced, δ je zorzení Q (Σ {}) 2 Q, q 0 Q je počáteční stv, F Q je množin koncových stvů. Příkld 2.5 M = ({0,1,2,3,4},{,},δ,0,{2,4}) 1 2 0 3 4 L(M) = + = + + + Regulární jzyky 2 p.19/35
-uzávěr Klíčovou funkci v lgoritmu převodu RKA n DKA má výpočet funkce, která k dnému stvu určí množinu všech stvů, jež jsou dostupné po hrnách digrmu přechodů funkce δ. Oznčme tuto funkci jko -uzávěr: -uzávěr(q) = {p w Σ : (q,w) (p,w)} Funkci -uzávěr zoecníme tk, y rgumentem mohl ýt množin T Q: -uzávěr(t) = -uzávěr(s) s T Příkld 2.6 t q p -uzávěr({q,r,s}) = {p,q,r,s,t} r s Regulární jzyky 2 p.20/35
Výpočet -uzávěru Zvedeme relci v množině Q tkto: Pk -uzávěr(p) = {q Q p q}. q 1,q 2 Q : q 1 q 2 def q 2 δ(q 1,) K výpočtu -uzávěru pk použijeme Wrshllův lgoritmus, doplníme digonálu jedničkmi z příslušného řádku mtice výsledné relce vyčteme -uzávěr. Příkld 2.7 L(M) = (+) 2 3 0 1 6 7 8 9 10 4 5 -uzávěr(3) = {3,6,7,1,2,4} -uzávěr({1,0}) = {0,1,2,4,7} Regulární jzyky 2 p.21/35
Převod RKA n ekvivlentní DKA Algoritmus 2.1 Převod RKA n DKA Vstup: RKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F). Výstup: DKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F ), L(M) = L(M ). Metod: 1. Q := 2 Q \{ }. 2. q 0 := -uzávěr(q 0 ). 3. δ : Q Σ Q je vypočten tkto: Necht T Q, Σ : δ(t,) = q T δ(q,). Pk pro kždé T Q, Σ: () pokud δ(t,), pk δ (T,) = -uzávěr(δ(t,)), () jink δ (T,) není definováno. 4. F := {S S Q S F }. Regulární jzyky 2 p.22/35
Příkld 2.8 Aplikujeme lgoritmus 2.3 n utomt z příkldu 2.10: 1. Počáteční stv, oznčíme ho A, je A = -uzávěr(0) = {0, 1, 2, 4, 7}. 2. δ (A,) = -uzávěr({3,8}) = {1,2,3,4,6,7,8} = B. 3. δ (A,) = -uzávěr({5}) = {1,2,4,5,6,7} = C. 4. δ (B,) = -uzávěr({3,8}) = B. 5. δ (B,) = -uzávěr({5,9} = {1,2,4,5,6,7,9} = D. 6. δ (C,) = -uzávěr({3,8}) = B. 7. δ (C,) = -uzávěr({5}) = C. 8. δ (D,) = -uzávěr({3,8}) = B. 9. δ (D,) = -uzávěr({5,10} = {1,2,4,5,6,7,10} = E. 10. δ (E,) = -uzávěr({3,8}) = B. 11. δ (E,) = -uzávěr({5}) = C. 12. Množin koncových stvů F = {E}. Automt z příkldu 2.10: 2 3 0 1 6 7 8 9 10 4 5 Regulární jzyky 2 p.23/35
Převod RV n ekvivlentní RKA Algoritmus 2.2 Převod RV n RKA Vstup: RV r popisující regulární množinu R nd Σ. Výstup: RKA M tkový, že L(M) = R. Metod: 1. Rozložíme r n jeho primitivní složky podle rekurzivní definice reg. množiny/výrzu. 2. () Pro výrz zkonstruujeme utomt: s f () Pro výrz, Σ zkonstruujeme utomt: s f (c) Pro výrz zkonstruujeme utomt: (d) Necht N 1 je utomt přijímjící jzyk specifikovný výrzem r 1 necht N 2 je utomt přijímjící jzyk specifikovný výrzem r 2. i. Pro výrz r 1 +r 2 zkonstruujeme utomt: s f N 1 s f N 2 Regulární jzyky 2 p.24/35
2. (d) ii. Pro výrz r 1 r 2 zkonstruujeme utomt: N 1 N 2 iii. Pro výrz r 1 zkonstruujeme utomt: s N 1 f Příkld 2.9 Vytvořme RKA pro RV (+) : 1. Rozkld RV vyjádříme stromem: r 4 ( ) r 5 * r 11 r 9. r 7. r 8. r 6 r 10 r 3 r 1 + r 2 Regulární jzyky 2 p.25/35
2. () Regulárnímu výrzu r 1 = přísluší utomt N 1 : () Regulárnímu výrzu r 2 = přísluší utomt N 2 : (c) Regulárnímu výrzu r 1 +r 2 přísluší utomt N 3 : 2 3 2 3 4 5 1 6 4 5 (d) Automt N 4 pro r 4 = (r 3 ) je stejný jko N 3, zkonstruujeme tedy rovnou N 5 pro výrz r 5 = r 4 = (+) : 2 3 0 1 6 7 4 5 Regulární jzyky 2 p.26/35
2. (e) Regulárnímu výrzu r 6 = přísluší utomt N 6 : (f) Regulárnímu výrzu r 7 = r 5 r 6 přísluší utomt N 7 : 7 8 2 3 pro zopkování N 5 : 0 1 4 5 6 7 2 3 N 7 : 0 1 4 5 6 7 8 (...) Pokrčujeme ž do získání utomtu z příkldu 2.10. Převod RV n RKA zvádí mnoho vnitřních stvů je proto ovykle následován použitím lgoritmu minimlizce DKA (lgoritmus 2.2). Regulární jzyky 2 p.27/35
Vzthy regulárních grmtik, KA RV Můžeme tedy shrnout, že grmtiky typu 3 (prvé/levé regulární grmtiky, prvé/levé lineární grmtiky), (rozšířené/nedeterministické/deterministické) konečné utomty regulární výrzy mjí ekvivlentní vyjdřovcí sílu. grmtiky typu 3 konečné utomty regulární výrzy Regulární jzyky 2 p.28/35
Minimlizce DKA Regulární jzyky 2 p.29/35
Elimince nedosžitelných stvů Definice 2.5 Necht M = (Q,Σ,δ,q 0,F) je konečný utomt. Stv q Q nzveme dosžitelný, pokud existuje w Σ tkové, že (q 0,w) M (q,). Stv je nedosžitelný, pokud není dosžitelný. Algoritmus 2.3 Elimince nedosžitelných stvů Vstup: DKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F). Výstup: DKA M ez nedosžitelných stvů, L(M) = L(M ). Metod: 1. i := 0 2. S i := {q 0 } 3. repet 4. S i+1 := S i {q p S i Σ : δ(p,) = q} 5. i := i + 1 6. until S i = S i 1 7. M := (S i,σ,δ Si,q 0,F S i ) Regulární jzyky 2 p.30/35
Jzykově nerozlišitelné stvy Definice 2.6 Necht M = (Q,Σ,δ,q 0,F) je úplně definovný DKA. Říkáme, že řetězec w Σ rozlišuje q 1,q 2, jestliže (q 1,w) M (q 3,) (q 2,w) M (q 4,) pro nějké q 3, q 4 právě jeden ze stvů q 3, q 4 je v F. Říkáme, že stvy q 1,q 2 Q jsou k-nerozlišitelné píšeme q 1 k q2, právě když neexistuje w Σ, w k, který rozlišuje q 1 q 2. Stvy q 1, q 2 jsou nerozlišitelné, znčíme q 1 q 2, jsou-li pro kždé k 0 k-nerozlišitelné. Poznámk: Dá se sndno dokázt, že je relcí ekvivlence n Q, tj. relcí, která je reflexivní, symetrickou trnzitivní. Definice 2.7 Úplně definovný DKA M nzýváme redukovný, jestliže žádný stv z Q není nedostupný žádné dv stvy nerozlišitelné. Regulární jzyky 2 p.31/35
Vět 2.5 Necht M = (Q,Σ,δ,q 0,F) je úplně definovný DKA Q = n, n 2. Pltí q 1,q 2 Q : q 1 q 2 q 1 n 2 q 2. Důkz. triviální, ukážeme : 1. Jestliže F = 0 neo F = n, pk pltí q 1 n 2 q 2 q 1 q 2. 2. Necht F > 0 F < n. Ukážeme, že pltí = n 2 n 3... 1 : 0 Zřejmě pltí: () q 1,q 2 Q : q 1 0 q2 (q 1 F q 2 F) (q 1 F q 2 F), tj. q 1 0 q2 (q 1 F q 2 F). () q 1,q 2 Q k 1 : q 1 k q2 (q 1 k 1 q 2 Σ : δ(q 1,) k 1 δ(q 2,)). Relce 0 je ekvivlencí určující rozkld {F,Q\F}. Je-li k+1 k, pk k+1 je vlstním zjemněním k, tj. oshuje lespoň o jednu třídu více než rozkld k. Jestliže pro nějké k pltí k+1 = k, pk tké k+1 = k+2 = k+3 =... podle () tedy k je hledná ekvivlence. Protože F neo Q\ F oshuje nejvýše n 1 prvků, získáme relci po nejvýše n 2 zjemněních 0. Regulární jzyky 2 p.32/35
Převod n redukovný DKA Algoritmus 2.4 Převod n redukovný DKA Vstup: Úplně definovný DKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F). Výstup: Redukovný DKA M = (Q,Σ,δ,q 0,F ), L(M) = L(M ). Metod: 1. Odstrň nedostupné stvy s využitím lg. 2.1. 2. i := 0 0 3. := {(p,q) p F q F} 4. repet i+1 5. := {(p,q) p i q Σ : δ(p,) 6. i := i + 1 7. until i = i 1 8. Q := Q/ i 9. p,q Q Σ : δ ([p],) = [q] δ(p,) = q 10. q 0 = [q 0 ] 11. F = {[q] q F} i δ(q,)} Poznámk: Výrz [x] znčí ekvivlenční třídu určenou prvkem x. Regulární jzyky 2 p.33/35
Příkld minimlizce DKA Příkld 2.10 Převed te níže uvedený DKA (zdný digrm přechodů) n odpovídjící redukovný DKA. A F D B E C 0 δ 1. Neoshuje nedostupné stvy. 3. 5.1. 0 = {{A,F},{B,C,D,E}} 1 = {{A,F},{B,E},{C,D}} I: A F I B II F A I E II II: B E II D II C C II F I D D II A I E B II C II Pokrčuje n druhé strně... Regulární jzyky 2 p.34/35
Pro zopkování utomt z předchozího sljdu, v jehož minimlizci níže pokrčujeme: A F D B E C 1 δ 5.2. 2 = {{A,F},{B,E},{C,D}} = 1 = I: A F I B II F A I E II II: B E II D III E B II C III III: C C III F I D D III A I 8. Q = {[A],[B],[C]}, kde [A] = {A,F}, [B] = {B,E}, [C] = {C,D} 11. [A] [B] [C] Regulární jzyky 2 p.35/35