seriálová série Téma: Kombiatorika Datumodesláí: ½ º Ð Ò ¾¼¼ ½º ÐÓ Ó µ Určete počet cest vedoucích ze spodku zadečku prasátka(bod A) do čumáku prasátka(bod B) takových, že vedou je doprava, ahoru ebo šikmo doprava ahoru(posledí případ může astat je u brady či pusy prasátka) B A ¾º ÐÓ Ó µ V závislosti a přirozeém k určete hodotu součtu + 3 5 2k + + + + + + 2 3 k 2 4 6 2k + + + + + 2 k º ÐÓ Ó µ V závislosti a přirozeém určete hodotu součtu 3 +2 3 2 +3 3 3 + + 3 Řešeí seriálové série úloha Určete počet cest vedoucích ze spodku zadečku prasátka(bod A) do čumáku prasátka(bod B) takových, že vedou je doprava, ahoru ebo šikmo doprava ahoru(posledí případ může astat je u brady či pusy prasátka)
B A Ozačmesi C, D,, KvýzamébodyprasátkajakoaobrázkuDálesiozačme bpočet cest vedoucích z vrcholu A do B splňujících podmíky zadáí Podobé začeí zavedeme pro ostatípísmeka c, d,,k F E I H K J B A D C G ` Podletextuseriáluje c=`8 =, d=`9 =9, e=`0 =45af= =65Dáleplatí 0 2 3 g=c+d, h=d+e+g(pozor!), i=f+ h, j= g+ h, k=j+ i, b=j+ kodtudpostupě dopočítáme g=0, h=64, i=229, j=74, k=303, b=377tedypočetcestvedoucíchzado B splňujících podmíky zadáí je 377 2 úloha V závislosti a přirozeém k určete hodotu součtu + 3 5 2k + + + + + + 2 3 k 2 4 6 2k + + + + + 2 k Hlaví myšleka řešeí je, podobě jako v textu seriálu, zakroužkovat příslušé čley Pascalova trojúhelíku(obrázek vlevo) Potom už je jasé, jak se tato čísla budou postupě sčítat
(obrázekvpravo)posledídvačley,kterésesečtou,jsou `2k+ Jejichsoučetje, k a`2k k k cožjezároveňiřešeíúlohy 6 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 5 20 5 6 3 úloha V závislosti a přirozeém určete hodotu součtu 3 +2 3 2 +3 3 3 6 2 3 3 4 6 4 5 0 0 5 5 20 5 + + 3 6 Řešeí bude velmi aalogické řešeí příkladu ze seriálu Opět bude kocourkovské zastupitelstvo volit městskou radu(s alespoň jedím radím) Navíc jede z radích bude starosta, jedebudefiačíkajedebudemluvčíradyjederadímůžeobsaditivíceztěchtofukcí Spočteme opět dvěma způsoby počet možých voleb I způsob: Zcela aalogickým postupem jako v textu seriálu dostáváme, že teto počet je 3 +2 3 2 + + 3 II způsob: Nejprve zvolíme starostu, fiačíka a mluvčího Mohou astat tři situace Prví situace je, že jede hyperaktiví zastupitel je zároveň starostou, fiačíkem i mluvčím Tohomůžemezvolit způsobyauzbylýchzastupitelůmáme2 možostí(každýbuďradím jeeboeí)dohromadyjeto 2 možostí Druhá situace je, že tyto tři fukce budou zastávat dva zastupitelé (tedy radí) Jsou 3 možosti, jak vybrat, zda je to starosta, fiačík ebo mluvčí, kdo už emá další fukci Je-li taktovybráo,jepak možostí,jakvybrat,kdozastávájedufukci,apoté možostí, jakvybrat,kdozastávádvěfukcepřidáme-liještě2 2 možýchvolebzbytkurady,dostáváme dohromady3( )2 2 možýchvoleb Třetísituaceje,žekaždoufukcizastáváěkdojiýPotomje ( )( 2)možostí,jak rozdělitfukce,aásleduje2 3 možýchvolebrady,dohromady ( )( 2)2 3 Sečteme-li prví, druhou a třetí situaci, dostáváme (4+6( )+( )( 2))2 3 =(+3) 2 2 3 možostí Spočítali jsme dvěma způsoby tetýž údaj Tedy výsledek spočítaý druhým způsobem je řešeím úlohy
2 seriálová série Téma: Kombiatorika Datumodesláí: ½¼º ÞÒ ¾¼¼ Určetepočetzpůsobů,jaklzeobarvitpolíčkatabulky3 3červeě,žlutěamodřetak,žekaždá barva je použita právě třikrát a avíc se v obarveí eachází žádá stejobarevá kostička tvaru obdélíku 3(ai3 )Zarůzápovažujemeiobarveílišícísepřevráceímčiotočeím, apř obarvíme-li prvě spodí řádek červeě a vrchí modře a poté spodí řádek modře a vrchí červeě, jedá se o dvě růzá obarveí Určete počet způsobů, jak vydláždit schodiště o straě právě obdélíky(či čtverci) Na obrázkujepříkladpro =3 Na krasobruslařskou soutěž přijelo bruslařů Každý bruslař je ohodoce jedou ze zámek,2,, (růzíbruslařimůžoudostatstejézámky)ozačme A i možiuvšechmožých ohodoceí(celé -tice) bruslařů, při ichž žádý z bruslařů edostal zámku i () Spočtěte A i,tjvelikost A i (2) Pro kpřirozeéa{i, i 2,, i k } {,2,, }spočtěte A i A i2 A ik (3) Určete hodotu výrazu ( 0) ( ) + ( 2) 2 +( ) 0 Řešeí 2 seriálové série 4 úloha Určetepočetzpůsobů,jaklzeobarvitpolíčkatabulky3 3červeě,žlutěamodřetak,žekaždá barva je použita právě třikrát a avíc se v obarveí eachází žádá stejobarevá kostička tvaru obdélíku 3(ai3 )Zarůzápovažujemeiobarveílišícísepřevráceímčiotočeím, apř obarvíme-li prvě spodí řádek červeě a vrchí modře a poté spodí řádek modře a vrchí červeě, jedá se o dvě růzá obarveí PokudjeTitopříjemější,můžešsmožiou A i pracovatjakosmožiouvšechfukcí f: {,2,, } {,2,, i, i+, i+2, }
Nejdříve si spočteme, kolik je vůbec všech obarveí daého čtverce třemi barvami(modrou, červeou a žlutou) takových, že každá z ich je použita právě třikrát Ozačme tuto možiu třeba A Na takové obarveí můžeme ahlížet tak, že ejdříve obarvíme tři políčka červeou máme `9 `6 možostí,eboťvybírámezdevítipolí,protřimodrápolemámepak 3 3 možostí (zbyloámšestpolí)aprožlutoujejedumožost,atovšechazbylápole(ebotaky `3 3, abychom dodrželi symetrii) Celkový počet pak dostáváme pravidlem součiu: 9 6 3 9! A = = 3 3 3 3! 3! 3! =680 Dále spočítáme pomocí pricipu ikluze a exluze, kolik je takových obarveí, že obsahují sloupec ebo řádek jedé barvy Uvědom si, že jeda barva může tvořit je jede sloupec(eboť můžeme obarvit pouze tři políčka) Ozačme tedy C možiu všech obarveí, které obsahují sloupec ebo řádek červeé barvy, obdobě i M, respektive Z pro modrou, respektive žlutou barvu Pricip ikluze a exkluze pak říká: C M Z = C + M + Z C M C Z M Z + C M Z Spočítáme C, máme tedy celkem 6 možostí výběru sloupce ebo řádku, který bude červeý, potémusímeobarvitještětřipolemodřeazbytekžlutě,protomámecelkem `6 3 možostí Dohromady C =6`6 3 Stejětakmůžemespočítat M a Z,platítedy C = M = Z =20 Mohutost průiků po dvou spočítáme podobě, máme 6 možostí výběru prvího sloupce ebo řádku Na výběr druhého ám už ale zbývají je dvě možosti, eboť jiak bychom museli ějaké políčko obarvit dvěma barvami Posledí řádek ebo sloupec už má také jasou barvu Tady si můžeme uvědomit, že pokud už existují dva jedobarevé sloupce ebo řádky, tak je jedobarevýitřetísloupecebořádek tedyplatídokocerovostmoži 2 C M= C Z= = M Z = C M ZDohromadyjsmetedyzjistili,že C M = C Z = M Z = = C M Z =2 Zbýváámužjedosadit,hledaýpočettedyje: A C M Z =680 3 20+3 2 2=344 5 úloha Určete počet způsobů, jak vydláždit schodiště o straě právě obdélíky(či čtverci) Na obrázkujepříkladpro =3 2 Teďbychommohlizajásatauvědomitsi,žejsmekaždoutakovoumožostzatímzapočítali třikrát zakaždoubarvujedou,zbýváámjidvakrátodečístkdyžsepodíváštakámvyjde právěto,acodojdemeipricipemikluzeaexkluzejakjiakbytotakémohlobýt;-)
Pririešeítakýchtoúlohjevždydobrésispočítať,akosatosprávaprepárprvýchčleov Vtomtoprípadepre {,2,3,4}dostaemepostupehodoty {,2,5,4},čoveľmipripomía Catalaove čísla Tak skúsime dokázať, že sú to aozaj oy Pomeujme si veci a obrázku Nech schody sú políčka achádzajúce sa a diagoále, očíslujmeichzospodu,, Ďalejechpolíčko Xjepolíčkoachádzajúcesavrohuschodiskaa apoko schodiskom budem azývať celý obrázok Nazačiatoksimôžmevšimúť,žekaždýschodmusíbyťpokrytýiýmobdĺžikomJetotak preto, lebo zrejme žiade obdĺžik evie pokryť dva a viac schodov Navyše, keďže je obdĺžikov rovako ako schodov, každý obdĺžik musí pokryť práve jede schod Tiež z toho vyplýva, že schodisko s hraou evieme pokryť meej ež obdĺžikmi(iáč by musel ejaký pokryť aspoň dva schody) Teraz si všimime políčko X To musí byť pokryté ejakým obdĺžikom, ktorý pokrýva iektorýschod kčosaaleestae tetoobdĺžikámrozdelípôvodéschodiskoadvemešie Ľahko spočítať, že schodisko ad týmto obdĺžikom bude mať veľkosť k a schodisko apravo veľkosť k Koľkýmiobdĺžikmimusiabyťvydláždeétieto podschodiská?každémusíbyťvydláždeé aspoň takým počtom obdĺžikov, koľko obsahuje schodov, čiže spolu ich musí byť aspoň( k)+(k )= Ležemyužmámeavydláždeieveľkéhoschodiskakdispozíciipráve obdĺžikov(jede sme miuli a obdĺžik s políčkom X), takže každé z meších schodísk musí byť vydláždeé takým počtom obdĺžikov, akú má hrau To sme už skoro hotoví, pretože tým vieme rekurete vyjadriť vzťah pre dláždeie Ozačme p počet spôsobov, ako vydláždiť schodisko so straou Nech obĺžik pokrývajúci políčko X pokrýva schod k Potom pre takto peve zvoleý obdĺžik je počet možých vydláždeí p k p k Teobdĺžikmôžepokrývaťvšetkyschodyaž,pretopotrebujemesčítaťcez všetky k: p = X p k p k = p p 0 + p 2 p + +p 0 p k= Pokiaľbysmeavyševedeli,že p 0 =,takbytoboliprávecatalaovečísla(viďúvod kseriálu)tojealepravda,pretožepreástozameápočetspôsobov,ktorýmisadávydláždiť
schodiskoveľkosti0atojeztohodôvodu,žeavydláždeieemámeiúmožosť,leho echať bez obdĺžíkov Teda počet spôsobov ako vydláždiť schodisko veľkosti sú Catalaove čísla: p = c = = + `2 6 úloha Na krasobruslařskou soutěž přijelo bruslařů Každý bruslař je ohodoce jedou ze zámek,2,, (růzíbruslařimůžoudostatstejézámky)ozačme 3 A i možiuvšechmožých ohodoceí(celé -tice) bruslařů, při ichž žádý z bruslařů edostal zámku i () Spočtěte A i,tjvelikost A i (2) Pro kpřirozeéa{i, i 2,, i k } {,2,, }spočtěte A i A i2 A ik (3) Určete hodotu výrazu ( 0) ( ) + ( 2) 2 +( ) 0 Část()jepoměrěsadáKaždýzbruslařůmůžedostatjeduz( )možýchzámek (k dispozici jsou všechy zámky krom i) Ohodocujeme bruslařů Tudíž podle pravidla součiupočetohodoceípatřícíchdomožiy A i je( ) Podoběaivčásti(2)eípotřebahledaticsložitéhoVmožiě A i A i2 A ik jsouvšechaozámkováíbruslařů,přikterýchžádýbruslaředostalzámku i, i 2, ai i k Proohodoceíkaždéhobruslařeámtedyzbývá kzámekpoužijemestejouúvahu jakovprvíčástiadostáváme A i A i2 A ik =( k) Zajímavějšíjevšakčást(3)Podobějakovtextuseriáluspočítámedvěmazpůsoby A A 2 A Připomeňmezačeízeseriálu: s k = A A 2 A k + A A k A k+ + + A A k A + + A A 2 A k 2 A k A k+ + + A (k ) A (k 2) A Moživtakovémtosoučtujepřesě ` k,dostávámetedy s k = ( k) k Podle pricipu ikluze a exkluze tedy dostáváme A A k =s s 2 + +( ) + s = ( ) ( 2) 2 + +( ) + ( ) Toto číslo však můžeme spočítat i druhým způsobem Vezmeme si počet všech ozámkováí bruslařů,cožje Odějodečtemepočetvšechozámkováí,přikterýchjsmerozdalivšechy zámky, což je počet permutací, tedy! Žádé takové ozámkovaí totiž eleží ai v jedé zmoži A i Tedy A A 2 A k =! 3 PokudjeTitopříjemější,můžešsmožiou A i pracovatjakosmožiouvšechfukcí f: {,2,, } {,2,, i, i+, i+2, }
Toámužstačíkespočítáízadaésumy: X ( ) k ( k) = A A 2 A k = (!)=! k k=0 3 seriálová série Téma: Kombiatorika Datumodesláí: ½¾º Ú ØÒ ¾¼¼ () Určetevytvořujícífukciposlouposti(5,6,7, ) (2) Určete posloupost, která má vytvořující fukci (+x 2 ) 2 Jsoudáyklasické 4 hracíkostky:desetistěákostka Datrojstěákostka TNalezětešestistěou kostku S a pětistěou kostku P (mající a stěách pouze přirozeá čísla; icméě ěkterá čísla se mohou opakovat) takové, že pro libovolé přirozeé je počet způsobů, jak hodit pomocíkostek DaT,stejýjakopočetzpůsobů,jakhodit pomocíkostek Sa PNalezěte dvě růzá řešeí V závislosti a přirozeém vyjádřete počet posloupostí obsahujících pouze zaky a, b a c délky takových,že aabseevyskytujívedlesebe Řešeí 3 seriálové série 7 úloha () Určetevytvořujícífukciposlouposti(5,6,7, ) (2) Určete posloupost, která má vytvořující fukci (+x 2 ) 2 () Najjedoduchší spôsob, ako ájsť vytvárajúcu fukciu postuposti, je získať ju úpravami zpostuposti(,,,, )ajejvytvárajúcejfukcie x Najskôrájdemepomocou(O7)vytvárajúcufukciupostuposti(,2,3,4, )akokovolúciupostuposti(,,,, )sosebou samou, lebo (, +, + +, )=(,2,3,4, ) 4 Proupřesěí,klasickou k-stěoukostkourozumímekostku,kterámáastěáchčísla, 2,,k
Jej vytvárajúca fukcia je teda 2 = x ( x) 2 Vyásobeímpostuposti(,,, )číslom4podľa(o)dostaemepostuposť(4,4,4, ) 4 s vytvárajúcou fukciou Výsledá postuposť je súčet týchto dvoch postupostí podľa x (O2), a teda jej vytvárajúca fukcia je ( x) 2+ 4 x = 5 4x ( x) 2 (2) Opäť budeme vychádzať z vytvárajúcej fukcie podľa(o6),čímzískamefukciu +x podľa(o5) Výsledá fukcia teda bude Tetokrátpoužijemesubstitúciu x x apostuposť(,,,, ),aásledesubstitúciu x2 +x 2 apostuposť(,0,,0,,0,, )Fukciuzo zadaia získame už le umoceím, teda zovu urobíme kovolúciu postuposti so samou sebou a dostaeme postuposť (, 0+0, ( )+0 0+( ), 0+0 ( )+( ) 0+0, )= =(,0, 2,0,3,0, 4,0,5, ) (Párečleysúvždy0,lebovkaždejdvojicičiiteľovje0,epárečleysúvabsolútejhodote,2,3, pričomčleyamieste4k+súkladé,lebovtedyspoluásobímejedotkyrovakého zamieka a čley amieste 4k+3 sú záporé, lebo to jevkaždej dvojici jedotiek jeda záporá) 8 úloha Jsoudáyklasické 5 hracíkostky:desetistěákostka Datrojstěákostka TNalezětešestistěou kostku S a pětistěou kostku P (mající a stěách pouze přirozeá čísla; icméě ěkterá čísla se mohou opakovat) takové, že pro libovolé přirozeé je počet způsobů, jak hodit pomocíkostek DaT,stejýjakopočetzpůsobů,jakhodit pomocíkostek Sa PNalezěte dvě růzá řešeí Ozačme T(x)=x+x 2 + x 3 a D(x)=x+x 2 + +x 9 + x 0 vytvořující polyomytří-a desetistěé kostky Koeficiety jejich součiu T(x)D(x) potom udávají počet způsobů, kterými je možé hodit daý součet hodot a obou kostkách Naším úkolem je ajít pěti- a šestistěou kostku tak, aby počty způsobů, kterými je možé hodit daý součet a kostkách, byly stejé jako u trojstěky a desetistěky Ozačíme-li tedy P(x) a S(x)(zatím ezámé) polyomy odpovídající ovým kostkám, má platit, že T(x)D(x) = = P(x)S(x)Potřebujemetedyrozdělitpolyom(x+x 2 + x 3 )(x+x 2 + +x 9 + x 0 )ějakým ovýmzpůsobemasoučipusťmesetedydorozkládáí:st(x)tohomoc(ažavytkutí x) eaděláme, zato D(x)=(x+x 2 )+(x+x 2 )x 2 +(x+x 2 )x 4 +(x+x 2 )x 6 +(x+x 2 )x 8 = = x(+x)(+x 2 + x 4 + x 6 + x 8 ) 5 Proupřesěí,klasickou k-stěoukostkourozumímekostku,kterámáastěáchčísla, 2,,k
Pochvílihraísisposledízávorkoumůžemezjistit,žejdeještěrozložit,atojako Je tedy +x 2 + x 4 + x 6 + x 8 =( x+x 2 x 3 + x 4 )(+x+x 2 + x 3 + x 4 ) T(x)D(x)=x 2 (+x)(+x+x 2 )( x+x 2 x 3 + x 4 )(+x+x 2 + x 3 + x 4 ) Teto polyom potřebujeme vyjádřit dvěma způsoby jako souči polyomů se součtem koeficietů5a6: (a) P(x)=x(+x+x 2 + x 3 + x 4 )=x+x 2 + x 3 + x 4 + x 5, S(x)=x(+x)(+x+x 2 )( x+x 2 x 3 + x 4 )=x+x 2 + x 3 + x 6 + x 7 + x 8, pětistěákostkatedymáastěáchčísla,2,3,4,5ašestistěkačísla,2,3,6,7a8 (b) P(x)=x( x+x 2 x 3 + x 4 )(+x+x 2 + x 3 + x 4 )=x+x 3 + x 5 + x 7 + x 9, S(x)=x(+x)(+x+x 2 )=x+2x 2 +2x 3 + x 4, astěáchtedymámečísla,3,5,7,9a,2,2,3,3,4 Můžeš si rozmyslet(ač to ebylo potřeba), že úloha emá žádé další řešeí(mají-li a stěách být přirozeá čísla) 9 úloha V závislosti a přirozeém vyjádřete počet posloupostí obsahujících pouze zaky a, b a c délky takových,že aabseevyskytujívedlesebe Ozačme A počettakovýchposloupostíkočících apodobě B,resp C začípočet takovýchposloupostíkočícícha b,resp czřejměplatí A = B = C = Dáleplatí rekuretí vztahy(rozmysli si): A + = A + C, B + = B + C, C + = A + B + C Zesymetriejezřejmé,že A = B Třetívztahtedymůžemepřepsata C + =2A + C Nyí budeme postupovat podobě jako u Fiboacciho čísel Nechť a(x), resp c(x) je vytvořujícífukceodpovídajícíposlouposti A,resp C Dostáváme 6 : X X X a(x)= A x = x+ A x = x+ A + x + = x+x = = x+x X A + x!= =2 = = X (A + C )x!=x+x(a(x)+c(x))=x(+a(x)+c(x)) = 6 Vtomtořešeísebohuželevyhemezápisupomocísum,jiýzápisbybylpřílišepřehledý
Zcela aalogickým způsobem dostaeme c(x)=x(+2a(x)+c(x)) Po odečteí dvou rovostí výše máme c(x) a(x)=xa(x), tedy c(x) =( + x)a(x) Dosazeím do prví rovosti dostaeme a(x)=x(+a(x)+c(x))=x(+2a(x)+xa(x)) Odtud lze a(x) vyjádřit jako Máme vyjádřeí i pro c(x): a(x)= x 2x x 2 c(x)=(+x)a(x)= x(+x) 2x x 2 NyíbychomzcelaaologickýmzpůsobemjakouFiboaccihočíselmohlispočítat A a C aásladěurčitpožadovaýpočetposloupostíjako A + B + C =2A + C Počítáísi omalýkousekzjedodušíme,pokudsiuvědomíme,že C + = A + B + C,tudížámstačí určitkoeficiety C Nejdřív c(x) upravíme ásledujícím způsobem: c(x)= x(+x) +2x ) x+ x 2x x 2 =(x2 2x x 2 = + 2x x 2 Kvadratickárovice x 2 +2x =0mádvakořey x = + 2, x 2 = 2 Aalogickým postupem jako v textu o Fiboacciho číslech lze ajít rozklad x 2x x 2 = 2 x x + 2 x 2 x Použitím operací(o),(o2) a(o6) tedy dostáváme, že c(x)+ je vytvořující fukcí poslouposti + 2 x 2 x 2 Jelikož se vytvořující fukce posloupostí c(x) + a c(x) liší pouze v ultém čleu, dostávame pro : C = 2 Řešeímúlohyjetedy C + vyjádřeévýše x «+ «= 2 x 2 2 ((+ 2) +( 2) )