Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2 Zobrazeí2 Grafy6 Grafové operace7 Rovié grafy12 Barevost grafů14 Barevost roviých grafů15 Eulerovský graf16 Orietovaý graf16 Další k teorii grafů17 Teorie pravděpodobosti18 1
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Biárí relace Mějme možiy X, Y X Y ={ x, y ; x X, y Y } Kartézský souči je uspořádaé Biárí relace a možiách X, Y je libovolá podmožia X Y Skládáí relací R X Y a S Y Z je R S X Z taková, že { x, z ; x X, z Z } a pro všecha x, y R S existuje y Y tak, aby x, y R, y, z S Zobrazeí Zobrazeí z možiy X do možiy Y je biárí relace f X Y taková, že pro každé x X existuje právě jedo y Y, aby x, y f Píšeme f x = y ebo f : X Y Zobrazeí je prosté (ijektiví), pokud pro všecha x 1, x 2 X platí, že pokud f x 1 = f x 2, pak utě i x 1 = x 2 (dvě rozdílá x se ezobrazí do jedoho y) a (surjektiví), pokud pro každé y Y existuje ějaké x X tak, že f x = y (pro každé y existuje ějaké x) vzájemě jedozačá (bijektiví), pokud f je zároveň prosté a a, : Mějme X, Y koečé možiy a f : X Y bijektiví, potom X = Y Naopak, pro koečé X = Y je f : X Y prostá, právě když je a tedy pro každé y Y existuje právě jedo x X tak, že f x = y Tvrz: Počet podmoži koečé -prvkové možiy X je rove 2 (viz Kapitoly z DM str 70-71) Tvrz: Počet podmoži koečé eprázdé -prvkové možiy X, které mají sudou (resp lichou) mohutost, je 2 1 Tvrz: 1 k 1! Počet podmoži koečé -prvkové možiy X mohutosti k je = k k 1 1 k! k! Relace R X X je reflexiví, pokud pro všecha x X platí, že x, x R, symetrická, pokud pro všecha x, y X platí, že pokud x, y R, pak i y, x R, atisymetrická, pokud pro všecha x, y X platí, že pokud zároveň x, y R a y, x R, pak utě x= y, trazitiví, pokud pro všecha x, y, z X platí, že je-li x, y R a zároveň y, z R, pak utě x, z R Ekvivalece a možiě X je relace R X X, která je reflexiví, symetrická a trazitiví Částečé uspořádáí a možiě X je relace S X X, která je reflexiví, atisymetrická a trazitiví Mějme ekvivaleci R X X, x X 2
Tvrz: Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Třída ekvivalece R příslušející prvku x je R[ x]={y X ; x, y R} Je-li R X X ekvivalece a X, potom (1) pro všecha x X je x R[ x], (2) pro všecha x, y X je buď R[ x]=r[ y] aebo R[ x] R[ y]=, (3) třídy ekvivalece jedozačě určují R Tvrz: Možia k-prvkových podmoži -prvkové možiy X, kde 0 k, {Y ;Y X, Y =k }= X k, Důsl: má počet prvků X k =! k! k! = k = X k Pro N platí k =0 k =2 Tvrz: Mějme k, N Potom platí (1) k = k, (2) 0 = =1, (3) Je-li 0 k, pak k 1 k = 1 k Biomická věta Mějme N, pak x y = Pomocé výpočty: k =0 1 x k k y k (kde k =! k! k! ) k k 1 =! k! k!! k 1! k 1! =! k! k 1! 1 k 1 Důkaz matematickou idukcí (1) idukčí krok: pro =1 1 x y 1 = k =0 (2) idukčí krok: pro 2, předpokládáme, že platí pro, dokážeme pro 1 : 1 x y 1 = 1 k x 1 k y k = = k =0 =x k =0 [ k x k y x y = k] Použijeme idukčí předpoklad: Rozásobíme x a y: k=0 [ k x k y k] y 1 k x1 k y k =1 x 1 y 0 1 x 0 y 1 =x y k =0 [ k k] x k y = k 1 =! k! k 1! 1 k k 1 = 1! k 1! k! = 1 k 1 = k =0 = k =0 Přidáme x a y do sum: [ k k] x k 1 y k=0[ k k 1] x k y = Substituce: l=k 1 (itervaly sum musí být stejé, takže posueme horí mez): 1[ [ k x k 1 y k] l =1 l 1 l 1 x l 1 y l] = Vyjádříme +1 čle zvlášť (opět změa itervalů sum): =x 1 y 1 k =1 [ k x k 1 y k] l=1 [ l 1 x l 1 y l] = 3
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Sečteme sumy (vytkeme v ich ekombiačí čísla): =x 1 y 1 Tvrz: Tvrz: Tvrz: Důsl: k =1 [ k 1 k x k 1 Platí pro dolí vetší a meší, což máme: k 1 k p y k] p 1 1 k Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X =m, Y = Potom počet všech zobrazeí X Y je m Ozačme X ={x 1, x 2,,x m }a Y={y 1, y 2,, y }, potom zázorěme: Dosadíme: x 1 y 1 k=1 [ 1 k k] x k 1 y = A koečě, rozšíříme iterval sumy o krají hodoty 1 QED k] = k =0 [ 1 k x k 1 y x 1 mohu zobrazit do Y x 2 mohu zobrazit do Y x m mohu zobrazit do Y Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X =m, Y =, kde X ={x 1, x 2,, x m }ay ={y 1, y 2,, y } Potom počet všech prostých zobrazeí X Y je 1 m 1 = i =0 Ozačme X ={x 1, x 2,,x m }a Y={y 1, y 2,, y } a postupujme jako při předešlém důkazu: m 1 x 1 ==>> # X Y = m i Avšak zde arazíme a dva případy: m a m m : posledí zobrazeí bude - (m+1) krát = - m -1 ==>> mohu prostě zobrazit do Y x 2 1 mohu prostě zobrazit do Y # prostých X Y = 1 m 1 ; druhý případ je stejý jako prví (0-krát ás ezajímá) Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X =m, Y =, f : X Y zobrazeí Potom jsou ásledující podmíky ekvivaletí: (1) f je bijekce, (2) f je prosté a X = Y, (3) f je a a X = Y Triviálí, z defiice bijekce Mějme X, Y jsou koečé a eprázdé možiy, X = Y = Potom počet vzájemě jedozačých zobrazeí X Y je! (viz důkaz tvrzeí o prostých zobrazeích výše) Permutace možiy X je bijekce X X S ={ ; permutace a {1,, }} Tvrz: Nechť N, A 1,, A jsou koečé možiy a A= i =1 A i Potom existuje i {1,,} takové, že A i A pro spor předpokládejme: i : A i A A = A i=1 i A i=1 i A A spor! 4
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Graf je struktura G= V, E, kde V je koečá eprázdá možia vrcholů a E je možia hra, podmožia V 2 Grafy Mějme G= V G, E G, H = V H,E H Zobrazeí f :V G V H je izomorfismus G a H, pokud f je bijekce V G a V H a pro všecha u,v V G ;u v platí ekvivalece {u,v} E G { f u, f v } E H (v G existuje hraa mezi vrcholy u,v, právě když existuje hraa mezi jejich obrazy v H) Píšeme f :G H Platí, že G a H jsou izomorfí, právě když existuje zobrazeí f izomorfí a H Mějme G= V G, E G, H = V H, E H Potom: H je podgrafem G, pokud V H V G a E H E G Pak píšeme H G H je idukovaým podgrafem G, pokud V H V G a E H =E G V H 2 (hray idukovaého podgrafu H jsou právě všechy hray z G, jejichž vrcholy jsou i v H) Tvrz: (1) Počet (jakýchkoliv) grafů a možiě {1,2,, } je právě 2 2 (2) Počet avzájem eizomorfích grafů a možiě {1,2,, } je alespoň 2 2 (1) Máme V ={1,, } a E V 2 Víme, že V 2 = 2 Růzých podmoži V 2 je 2 2 (2) Vezměme G ={G = {1,,},E } ( G budiž možia grafů a vrcholech) Platí, že G je izomorfí s H, pokud platí: (1) reflexivita id :{1,, } {1,, }, Budiž Pak R G! a (2) symetrie f :G H izomorfismus, (3)trazitivita G G a f 1 :H G izomorfismus, f :G H izomorfí g : H J izomorfí g f :G J izomorfí R rozkladová třída z prvku G: R G ={H G ; H G} počet růzých rozkladových tříd je alespoň 2 2 V každé zvolíme jede prvek, zvoleé pak budou avzájem eizomorfí Důležité grafy, které mají speciálí ázev: (více viz Kapitoly z DM str 113) 1) Úplý graf K = {1,2,, }, V 2 2) Prázdý graf E = {1,2,,}, 3) Cesta P = {1,2,,},{{i, i 1};i=1,, 1} 4) Kružice C = {1,2,, }, {{i, i 1};i=1,, 1} {{1, }} Délkou cesty ebo kružice rozumíme počet hra Graf G= V, E je bipartití pokud existují A, B V takové, že A B= a A B=V a a pro všecha e E je e A = e B =1 (hraa vede mezi jedím vrcholem z A a druhým z B)! 5
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti : Kružice C je bipartití právě když je sudé Úplý bipartití graf je K m,, kde: A =m, A={a 1,,a m }, B =, B={b 1,,b } a E={{a i,b j };i=1,,m ; j=1,,} Grafové operace Grafové operace (viz Kapitoly z DM str 148) 1) Odebráí hray e E G e = V, E {e} 2) Přidáí hray e' v 2 E G e' = V, E {e '} 3) Odebráí vrcholu v V G v =G [V {v }] (idukovaý podgraf bez vrcholu v) 4) Přidáí vrcholu v ' V G v ' = V {v' },E 5) Děleí hray e={x, y} E G % e = V {w}, E {e} {{x,w},{w, y}} (přidáme dvě ové hray) 6) Kotraktce hray e={u, v} E G e= V {u,v} {w}, E ' hray z E, které eobsahují u,v E '= {e E ;u, v e} hray mezi w a vrcholy, ktré dříve měly hrau s u {{x, w};{x, u} E} hray mezi w a vrcholy, ktré dříve měly hrau s v {{y, w};{y, v } E } ( Odebereme jedu hrau a její dva vrcholy Všecho, co vedlo do těchto vrcholů svedeme do jedoho ového ) (1) (2) (3) (4) (5) (6) : Máme-li graf G= V, E, hrau e E ;e' V 2 E a v V,v' V, pak vrchol (1) G e e G (2) G e' e' G (3) G v v G, pouze pokud vrchol v eí obsaže v žádé hraě z E (4) G v' v' G Mějme G= V, E a u, v V Pak defiujeme ásledující pojmy: Cesta z u do v (esmí se opakovat hraa ai vrchol) je posloupost vrcholů a hra u=v 0, e 1,v 1, e 2, v 2,,e k, v k =v, kde e i ={v i 1, v i }; i=1,2,, k (každá hraa e i spojuje vrcholy v i 1 a v i ) a pro všechy vrcholy v i, v j při i, j {0,,k},i j platí v i v j (každý vrchol se v cestě vyskyte aejvýše jedou (tím pádem i každá hraa)) Tah z u do v (esmí se opakovat hraa) je posloupost vrcholů a hra u=v 0, e 1,v 1, e 2, v 2,,e e, v e =v, kde e i ={v i 1, v i }; i=1,2,,e a pro všechy hray e i, e j při i, j {1,,e},i j platí e i e j Tak je uzavřeý, pokud v 0 =v e (každá hraa se v tahu vyskyte aejvýš jedou, pro vrcholy to již eplatí) Sled z u do v (cokoliv se může opakovat) je posloupost vrcholů a hra u=v 0, e 1,v 1, e 2, v 2,,e m, v m =v, kde e i ={v i 1, v i }; i=1,2,,m 6
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Tvrz: Mějme G= V, E a u, v V Jestliže existuje sled z u do v, potom existuje i cesta z u do v Existuje sled z u do v Vezměme u=v 0, e 1, v 1,, e m, v m =v ejkratší sled z u do v Pak teto sled je cesta Důkaz sporem: Podmíky sledu splěy Pokud teto sled eí cesta, pak existuje i, j {0,,m} takové, že i j a zároveň v i =v j V tom případě u=v 0,e 1, v 1,,e i,v i,e j 1, v j 1,,e m, v m =v, kde e j 1 ={v j,v j 1 }={v i, v j 1 }, je sled délky m j i m, což je kratší ež ejkratší, SPOR Mějme G= V, E a u, v V Pak je vzdáleost d u,v délka ejkratší cesty z u do v, pokud taková cesta existuje, jiak d u, v = Tvrz: Takto zavedeá vzdáleost v grafu je metrika: ( Fukce, která dosadí k vrcholu ejkratší vzdáleost ) 1) u, v V : d u, v 0 u, v =0 u=v pokud je vzdáleost = 0, jedá se o stejý bod 2) u, v V : d u, v =d v, u vzdáleost musí být symetrická 3) u, v, w V : d u,v d u, w d w, v trojúhelíková erovost (1) 0, (2) ok, (3) Mějme u=v 0, e 1, v 1,, e k, v k =w ejkratší cestu z u do w, kde d u,w =k, a w=v' 0,e' 1, v' 1,,e' k ', v ' k ' =v ejkratší cestu z w do v, kde d w, v =k ' Pak u=v 0, e 1, v 1,, e k, v k =w=v' 0, e' 0, v' 1,, e' k ', v ' k ' =v je sled z u do v délky k k ' d u,v Graf G= V, E je souvislý, pokud pro všecha u,v V existuje cesta z u do v, tedy d u,v Jiak říkáme, že je esouvislý Tvrz: Nechť G= V, E je graf, V 3 (alespoň tři vrcholy) Pokud existují u, v V, u v takové, že G u a G v jsou souvislé, potom G je souvislý Mějme x, y V (1) Pokud {x, y} {u,v}, BÚNO předpokládejme, že x, y {u, v} Pak x, y V G u Je-li G u souvislý, pak existuje cesta z x do y v G u a tudíž existuje cesta z x do y v G (2) Pokud x=u, y=v, víme, že G má alespoň tři vrcholy Proto existuje w V, w u, w v takové, že u, w jsou spojey cestou v G v a tedy existuje cesta z u do w v G, a w, v jsou spojey cestou v G u a tedy existuje cesta z w do v v G Z toho plye, že existuje sled z u do v v G, tedy existuje cesta t u do v v G Tvrz: Nechť G= V, E je graf, V 3 Pokud G je souvislý, potom existují u, v V, u v takové, že G u a G v jsou souvislé Vezměme u, v taková, že d u,v je maximálí Pro spor, echť G u eí souvislý Pak existují x, y V {u } taková, že eexistuje cesta z x do y v G u Ale protože je G souvislý, víme, že existuje cesta z x do y v G a avíc a každé cestě z x do y v G leží vrchol u 7
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Platí tedy d x,u d u, y =d x, y Budiž P x ejkratší cesta z x do v v G, Pak P y ejkratší cesta z y do v v G d u, v d x,v a d u,v d y, v v G Z toho plye, že u V P x, jiak by d u,v d x,v, a podobě u V P y P x, P y jsou tedy cesty i v G u Spojeím P x a P y získáme sled z x do y v G u, tedy existuje cesta z x do y v G u, SPOR Doplěk grafu G= V, E je graf G= V, E, kde E= V 2 E Česky: Doplěk grafu obsahuje všechy vrcholy z grafu a právě ty hray, které mezi vrcholy v grafu ejsou Stupeň vrcholu v V v grafu G= V, E je deg v = {e ;v e E} (počet hra v grafu, které obsahují daý vrchol) : deg v =2 E v V Graf G= V, E je Stromy strom, les, pokud emá kružici a je souvislý Obvykle začíme jako graf T pokud emá kružici List je v V takový, že deg v =1 (obsahuje ho pouze jeda hraa) Lemma:Každý koečý strom s alespoň dvěma vrcholy má alespoň dva listy Lemma:Nechť Nechť V =, pro všecha u, v V je vzdáleost d u, v 1 Vezměme relaci takovou, že d u,v je maximálí, a tedy u v u ' Budiž soused u a pevě zvoleé ejkratší cestě z u do v Pro spor, ať deg u 1 a tedy ať existuje u ' ' u', {u ', u ' ' } E takové, že d u ' ', v d u, v (viz obrázek) Pak u eleží a ejkratší cestě z u' do v Z toho plye, že G obsahuje kružici, a tedy eí strom, SPOR G= V, E je strom, v V je list Potom G v je také strom Lemma:Nechť (1) Dvě možosti: (a) G v emá kružici ok (b) G v má kružici, pak i G má kružici, SPOR (2) Dvě možosti: (a) G v je souvislý ok (b) G v eí souvislý, pak existují u, w V {v} takové, že eexistuje cesta z u do w v G v Pokud v G existuje cesta z u do w, pak v musí utě ležet a této cestě Pak by muselo být deg v 2, což je SPOR, protože by v ebyl list G= V, E je graf, v V je list Potom platí, že pokud G v je strom, tak i G je strom 8
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti (1) G je souvislý (důkaz obrázkem) (2) G eobsahuje kružici Pro spor, ať G obsahuje kružici C G v, ji emá, protože je strom, takže musí být v V C a tedy deg v ٢, SPOR Důsl: Mějme G= V, E graf, v V list, tedy deg v =١ Pak platí, že G je strom, právě když G v je strom Tvrz: Ekvivaletí charakteristika stromů (viz Kapitoly z DM str 162) Nechť G= V, E je graf, V ٢ Potom jsou ásledující podmíky ekvivaletí: 1) Defiice stromu G je strom (souvislý, bez kružice) 2) Jedozačost cesty Pro všecha u,v V právě jeda cesta z u do v 3) Miim souvislost G G je miimálí souvislý (tj pokud odebereme libovolé e E, bude G e esouvislý) 4) Maxim G bez kružice Pro všecha e' E bude G e' (přidáím libovolé hray) obsahovat kružici 5) Eulerův vzorec G je souvislý a V = E ١ (má o jede vrchol víc, ež hra) 6) Bez ázvu (?) G je bez kružice a V = E ١ Důkazy: (1) (2) Pokud G je souvislý, tak existuje právě jeda cesta z u do v Pro spor, echť existují dvě cesty P ١, P ٢ z u do v, x je posledí společý vrchol cesty P ١, P ٢ a y je rví vrchol za x po P ١,který také leží a P ٢ Pak úseky P ١ a P ٢ mezi x a y tvoří kružici, což je SPOR (2) (3) Víme, že G je souvislý Pro spor, echť existuje e E,e={a,b} taková, že G e je stále souvislý Pak existuje cesta P z a do b v G e, a tedy e E P Víme, že a, e,b je cesta z a do b v G Z toho plye, že existují alespoň dvě cesty z a do b, což je SPOR (3) (1) Víme, že G je souvislý G je bez kružice Pro spor, ať G má kružici a e budiž libovolá hraa této kružice Pak G e je souvislý, což je SPOR s miimálí souvislostí ١ ٢ ٣ máme yí dokázáo (4) (1) Víme, že G je bez kružice G je souvislý Pro spor ať existují u,v V taková, že z u do v eí cesta Ozačíme {u, v}=e E Pak G e emůže mít kružici (1) (4) Víme, že G je bez kružice Pro spor ať existuje e' E takové, že G e' emá kružici V G ale existuje cesta z u do v Ta spolu s e' tvoří kružici, SPOR (1) (5) a (6) Stačí dokázat V = E ١ Dokážeme matematickou idukcí dle = V (1) pro =١ je V =١, E =٠ ١=٠ ١ ok (2) pro ٢ platí, že existuje list v V :deg v =١, takže G v je strom Idukčí předpoklad: V G v = E G v ١ Z toho plye, že E G v = ٢ a tedy ١= ٢ ١ Potom platí, že E G = ٢ deg v = ١ Dokázáo (5) (1) Pro spor, ať G je souvislý, ale obsahuje kružici Pak existuje e E taková, že G e je souvislý Opakujeme vyecháváí hra, dokud je graf souvislý 9
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Důsl: Zbyde E ' E, přičemž E ' E a G= V, E ' souvislý graf bez kružice Protože takovýto graf je strom, platí V = E ' ١, z předpokladu ale víme, že V = E ١ Z toho plye, že E ' = E, což je spor (6) (1) Pro spor, ať G eí souvislý Pak existuje e' ' E takové, že G e' ' emá kružici (a samozřejmě E ' ' E ) Opakujeme přidáváí hra, dokud graf emá kružici Pak máme E ' ' E a G= V,E ' ' emá kružici a je souvislý Z toho plye, že V = E ' ' ١, z předpokladu ale V = E ١, takže E ' ' = E, což je SPOR Dokázáa vzájemá ekvivalece tvrzeí (1) až (6) Platí ekvivalece, že G je les s kompoetami souvislosti právě když eobsahuje kružici Kostra souvislého grafu G= V, E je podgraf T V, E ', který je stromem G se rová počtu koster grafu G Cayleyho formule Pro ٢ je K = ٢ Přeformulováí: K můžeme chápat jako počet růzých stromů v možiě {١,, } Použijeme POVÝKOS (viz íže) a dostaeme strom T = V,E - Jede vrchol ozačíme jako koče, a začátku emáme žádou hrau - Postupě očíslujeme hray - Výsledkem je zobrazeí c: E {١,, ١} - Ptáme se, kolik existuje takových objektů? - Hray stromu si ozačíme šipkou, aby směřovaly ke kořeu - V k-tém kroku je přidáí k-1 šipek, počet kompoet grafu je k ١ (v každém kroku spojíme dvě kompoety) - Chceme přidat k-tou šipku mezi vrcholy růzých kompoet : Z každého vrcholu mimo kořee vede jeda šipka směrem ve (během výstavby je to ١ šipka) Každá přidaá hraa musí začíat ve vrcholu, odkud zatím ic evede Tedy: 1 krok 1 šipka ١ možostí (evolíme koře, te vyjde sám) k krok k šipka k možostí ( k ١ kompoet souvislosti v každé je vrchol, ze kterého evede šipka) (k šipka kočí kdekoliv, začíá v jié kompoetě ve vrcholu bez šipky ve (v každé kompoetě je je jede takový)) ١ ١ Celkových možostí povýkos je k = ١ k = ١ ١! k= ١ Druhé počítáí: - Vezměme strom {١,, } - Zvolíme koře r V - Očíslujeme hray c: E {١,,} bijekcí jako v POVÝKOSu Pak máme K ١! Důsledek: ١ ١!= K ١!, z čehož plye: K = ٢ Dokázáo Postup: Postup výstavby kořeového stromu, POVÝKOS Máme vrcholů (1) Zvolíme koře (máme možostí) (2) Přidáme hrau e ١ c e ١ =١, aby vzikl strom pokračujeme do e ١ c e ١ = ١ Potom a koci máme strom a zobrazeí c: E {١, ١} Úloha: Mějme = V ٣, e hrau K Kolik koster má úplý graf po vyecháí e, K e? Řešeí: Víme, že K = ٢ k =١ 10
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Náčrty defiic: Vezměme T, kostru grafu K : Možosti: e E T, pak je T kostra K e e E T, Odvodíme K K e ostatí případy (b) Pro (b) spočteme počet dvojic T, e, kde T je kostra K a e E T Vezmeme libovolou kostru ٢, Pak platí, že: její hrau ١ (takže máme ١ ٢ způsobů výběru kostry a její hray), jiou hrau ٢ = ١ ٢ kostru, která tuto hrau obsahuje, tedy K, e (takže máme ١ ٢ = ١ K ٢,e, K,e =٢ ٣, K e = K K, e, a máme výsledek: K e = ٢ ٢ ٣ = ٢ ٣ a ١ K ٢, e způsobů výběru) Rovié grafy Oblouk je obor hodot prosté spojité fukce ٠,١ kocové body oblouku R ٢ Topologická kružice je obor hodot spojité fukce ٠,١ R ٢ a t = s {s,t }={٠,١} s=t Rovié akresleí grafu G= V, E, kde V ={v ١, v ٢,,v }, E ={e ١, e ٢,, e }, je f : V R ٢ prosté zobrazeí a F : E { ١,, } tak, že e i ={x i, y i } { i ٠, i ١ }={ f x i, f y i } : Každý roviý graf se dá akreslit úsečkami Graf je roviý, pokud existuje ějaké jeho rovié akresleí Stěa roviého akresleí grafu je kompoeta souvislosti grafu R ٢ X, kde X jsou všechy body akresleí grafu Jordaova, o kružici Topologická kružice dělí roviu a dvě části (vitří a vější) Nechť G= V, E je graf a v V je vrchol Potom je v izolovaý, jestliže deg v =٠ Tvrz: Eulerův vzorec Nechť G= V, E je souvislý graf, s je počet stě ějakého roviého akresleí G Potom V E s=٢ Vyjádřeme s=٢ V E =٢ E V Postupujeme matematickou idukcí dle E V ١ : (1) E V = ١, tedy G je strom Pak má každé rovié akresleí G právě jedu stěu s=١ ١=٢ ١=١ ok (2) E V ٠, tedy E V, tedy G eí strom, protože obsahuje kružici Existuje e E taková, že G e je souvislý Pak E G e V G e = E G V G ١ Idukčí předpoklad pro G e : s G e =٢ E G e V G e =١ E V Potom s G =s G e ١=١ E V ١=٢ E V Důsl: Každé rovié akresleí daého (souvislého) grafu má stejý počet stě 11
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Tvrz: Nechť G= V, E je roviý graf, V 3 Potom (1) E 3 V 6 (počet hra je meší / rove trojásobku počtu vrcholů - 6) (2) K 3 G E 2 V 4 (pokud graf eobsahuje trojúhelík, je počet jeho hra meší / rove dvojásobku počtu vrcholů 2) f f BÚNO lze předpokládat, že graf je souvislý (přidáí hray eporuší roviost grafu) Víme, že V E s=2 (1) Nechť f je stěa roviého akresleí G deg f := počet hra a hraici stěy f (s ásobstí, každá hraa započtea dvakrát v jedé stěě ebo ve dvou růzých stěách) Pak platí deg =2 E a stěa zároveň deg f 3 s f stěa Z toho plye 2 E 3 s Použijeme V E s=2 a 2 dostaeme E s=2 E V 2 E 6 3 E 3 V 3 V 6 E 3 (2) Dokazujeme K 3 deg f 4 Platí deg f 4 s a f stěa tedy 2 E 4 s 1 E s=2 E V E 4 2 E 2 V 2 V 4 E 2 Úloha: Hledáí rovié triagulace Mějme 3 Existuje roviý graf s vrcholy a 3 6 hraami, kde pro všechy stěy platí deg f =3 (tedy všechy stěy včerě vější jsou trojúhelíky)? Řešeí: G budiž roviá triagulace s 3 Vytvoříme idukcí: Nechť G' je roviá triagulace s -1 vrcholy, vytvoříme z í roviou triagulaci G s vrcholy dle obrázku: G je roviý E 3 V 6, a pokud avíc eobsahuje trojúhelík E 2 V 4 Důsl: Nechť G= V, E je roviý graf, potom mají všechy vrcholy v V stupeň deg v 5 Pokud avíc K 3 G, pak existuje vrchol v V Důsl: Pro spor, ať mají všechy v V alespoň deg v 5 Víme, že pro V 3 platí E 3 V 6 Potom 2 E = deg v 6 V v V 3 V 6 E 3 V, což je SPOR Pro grafy K 3 G : 2 E 4 V 8 a postupujeme aalogicky Poz, takto elze postihout všechy možé triagulace! (apříklad dvacetistě) K 5 ai K 3,3 ejsou rovié grafy a ai jejich děleí ejsou rovié grafy Pokud se podíváme a zázorěí K 4, zjistíme, že ho ai jiak elze akreslit (vždy se jedá pouze o jié délky hra) Pokud chceme vytvořit K 5, tak musíme vycházet z K 4 a to bychom museli protout jedu z jeho stě, což v roviě ejde SPOR Zkusme akreslit K 3,3 do roviy a zjistíme toto: Zkusme K 3,3 překreslit jiak a to hed dvěmi způsoby: Je vidět, že jeda hraa opět <=> <=> vždy musí protíat stěu grafu Kuratovski 12
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti G je roviý, právě když eobsahuje děleí K 5 ai děleí K 3,3 Poz, pro dokázáí roviosti grafu je ejvhodější důkaz obrázkem (oproti vyvráceí roviosti věty) Barevost grafů Dobré k-obarveí grafu G= V, E je zobrazeí c: V {1,, k} takové, že pro všecha {u,v} E platí c u c v : K emá k obarveí pro k Barevost grafu G je G =mi{k N ; k-obarveíg} Česky: ejmeší k takové, že existuje k-obarveí grafu je [chí] : Pro G= V, E platí, že G V, právě když G je úplý graf : G =1, právě když G emá žádé hray Tvrz: Pro G= V, E platí, že G 2, právě když G je bipartití G =2 zameá, že existuje 2-obarveí c grafu G Rozdělíme vrcholy do V i ={v V ; c v =i};i=1,2 Potom pro všecha e E platí, že e V i =1 G je bipartití Graf G= V, E je d-degeerovaý d N, pokud H G v V H : deg v d, tedy pokud v každém podgrafu H G existuje vrchol v V H, jehož stupeň eí větší ež d : Stačí posloupost v 1,, v taková, že deg v i d v grafu G {v 1,, v } Tvrz: Pokud je G= V, E d-degeerovaý, pak G d 1 Existuje v V takové, že deg v d Matematickou idukcí dle V : (1) V =1 : G =1, (2) V 2 : Idukčí předpoklad: G v je d-degeerovaý, tedy G v d 1 Z toho plye, že existuje c: d 1 -obarveí G v Máme-li vrcholy v 1,, v k ; k d, které sousedí v G Pak c v 1 d růzých hra a c v k v {1,, d 1} zbývá ještě alespoň jede prvek i takový, že c v =i Barevost roviých grafů Mějme G= V, E roviý graf, potom G 6 G je roviý G je 5-degeerovaý, Potom G 5 1=6 podgraf H G je také roviý a existuje v V h takové,že deg H v 5 Mějme G= V, E roviý graf, potom G 5 Matematickou idukcí dle V = 13
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti (1) Pro 5 tvrzeí platí triviálě (2) Idukčí předpoklad: Každý roviý graf s ejvýše -1 vrcholy lze obarvit pěti barvami Víme, že existuje v V takové, že deg v 5 G v má -1 vrcholů, dle idukčího předpokladu existuje (dobré) obarveí c:v {v} {1,,5} Hledejme c v v G: jaké barvy byly použity pro sousedy v? Buď existuje i {1,, 5}, která eí použitá pro souseda v, potom c v =i, rozšíříme obarveí G v a G, ebo deg v =5 a sousedy lze očíslovat a v 1,, v 5 tak, že c v i =i Poz, Mějme G= V, E roviý graf, potom G 4 Důkaz je etriviálí Skóre grafu je posloupost stupňů jeho vrcholů (uspořádaá vzestupě; možé opakováí) Duálí graf je graf vepsaý do roviého grafu (apř u barevosti map) Hašel-Hakim (viz Kapitoly z DM str 131) Platí ekvivalece, že posloupost d 1,,d celých ezáporých čísel (uspořádaá vzestupě) je skóre ějakého grafu právě když posloupost d ' 1,, d ' (po přeuspořádáí) je skóre ějakého grafu, přičemž d ' i =d i pro i d a d ' i =d i 1 pro d i (škrteme čle a odečteme jedičku u tolika předchozích čleů poslouposti, kolik byla jeho hodota) Nechť existuje graf G' se skóre d ' 1,, d ' 1 Ozačme vrcholy v ' 1,,v ' 1 tak, že deg G ' v' i =d ' i ; i=1,, 1 Pak přidáme jede vrchol dle obrázku a máme G takové, že deg G v i =d i ;i=1,, Ozačme g={g; skóreg jed 1,, d }; g Vezměme Pokud G 0 g takové, že N V {v d,v 1 } = p je miimálí p=d, je důkaz sadý Předpokládejme, že p d Potom existuje a { d,, 1} Eulerovský graf Tah T pokrývá G, pokud E T =E G Graf G= V, E se azývá eulerovský, jestliže v G existuje uzavřeý tah, který pokrývá G (jde akreslit jedou čarou a G eobsahuje izolovaé vrcholy) Mějme graf G= V, E bez izolovaých vrcholů Pak platí, že G je eulerovský, právě když G je souvislý a pro všecha v V je deg v sudý sadé Víme, že deg v 2 je sudý Začeme a libovolém vrcholu a hledáme tah v 0, e 1, v 1, Zastavíme se, když se poprvé avrátíme do již avštíveého vrcholu Máme pak v i =v j :v i,e i 1,v i 1,,e j 1,v j Položíme vybereme Pokud T ={T uzavřeý tah vg} a T 0 T takové, že E T0 je maximálí E T0 = E G, pak T 0 pokrývá G a tím pádem je G eulerovský E T0 E G, pak existuje e 0 E G,e 0 E T 0 takové, že e 0 V T 0 1 a 14
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti u 0 e 0, u 0 V T0 Najdeme libovolý uzavřeý tah T 1 G T 0, který obsahuje u 0 Takový existuje, eboť všechy vrcholy v G T 0 mají sudý stupeň Pokud E T0 E T 1 =, pak T 0 T 1 tvoří uzavřeý tah v G který má hra více ež E T 0, což je SPOR Jiak existují u 0 e 0, v 0 V T 0 a G je souvislý, tedy existuje cesta z u 0 do v 0 a e' 0 je prvkem této cesty tak, že e' 0 V T 0 Pak e ' 0 V T 0 =1 a e' 0 E T 0 (toto lze podložit) Tedy eexistuje e 0 E,e 0 E T0 a potom E T0 E G, což je SPOR, a T 0 pokrývá G Orietovaý graf Orietovaý graf je G= V, E, kde E V V Souvislost orietovaých grafů 1) G je bez orietace je graf G= V, E, E={{u,v}; u,v E v,u E } 2) G je slabě souvislý, pokud je G souvislý (v jedosměrkách pro souvislost připoštíme obousměré použití) 3) G je silě souvislý, pokud pro všecha u,v V existuje orietovaá cesta z u do v Orietovaou cestou rozumíme posloupost v 0 e 1 v 1 e 2 v 2 e k v k, kde e i = v i 1, v i a v i v j proi j Orietovaý graf G= V, E je eulerovský, pokud existuje uzavřeý orietovaý tah, který pokrývá G : Pokud G je silě souvislý, pak G je i slabě souvislý (obráceě samozřejmě eplatí) Orietovaý graf G= V, E je vyvážeý, pokud pro všecha v V je deg + v =deg - v, přičemž deg + v = { e E ; x V : e= x, v } (počet hra, které jdou do v) a deg - v = { e E ; y V : e= v, y } (počet hra, které jdou z v) Nechť je G= V, E orietovaý graf bez izolovaých vrcholů slabě souvislý vyvážeý Pak je G eulerovský Stejě jako pro eorietovaé grafy Je-li G vyvážeý, pak v ěm existuje uzavřeý tah Zvolíme T 0 maximálí uzavřeý orietovaý tah Pokud existuje e 0 E T 0, e 0 E G, lze T 0 prodloužit stejě jako při eorietovaé variatě, což je SPOR Tedy E T0 = E G a G je eulerovský Další k teorii grafů Nechť G= V, E je graf takový, že V =2 a E 2 1 Pak G obsahuje kružici, K 3 G Matematickou idukcí dle (1) =2 : V =4, E 5 a platí, že G K 4 ebo G K 4 e ; K 3 G (2) 3 : Idukčí předpoklad je, že pro G ' = V ', E ' platí V ' =2 1 ; E ' = 1 2 1 K 3 G ' Mějme G' = G u v Pokud E G' 1 2 1, pak K 3 G ' G Důsl: Miimálí počet hra grafu bez kružice s 2 vrcholy Částečé uspořádáí je 15
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti (a) biárí relace X,, která je reflexiví: x X : x x, trazitiví: x, y, z X : x y y z x z a atisymetrická: x, y X : x y y x x= y (b) lieárí uspořádáí: x, y X : x y y x Pojem: Hasselho diagram X, orietovaý graf Při kresleí vyecháme smyšky a hray plyoucí z trazitivity Příklad, 2 {x, y, z }, : Tvrz: Mějme N, Pak posloupost a 1,,a 1 2 1 růzých čísel z R existují i 1 i taková, že a i1 a i aebo a i1 a i Mějme i {1,, 1 2 1}, r i délku maximálí rostoucí poslouposti začíající a i, k i délku maximálí klesající poslouposti začíající a i Pro i j BÚNO předpokládejme i j a a i a j :r i r j a i a j :k i k j r i, k i r j, k j Pro spor předpokládjeme, že eexistuje rostoucí posloupost délky, takže 1 r i,k i 1 r i může abývat k i může abývat r i, k i může abývat Máme ale 1 růzých hodot a 1 růzých hodot, dohromady tedy 1 2 růzých hodot 1 2 1 růzých čleů Tedy existují i j taková, že r i,k i = r j, k k, což je SPOR 16
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti Pravděpodobostí prostor je,i, P, kde je možia elemetárích jevů (všech možých výsledků), A jev, I 2 možia áhodých jevů, P : I 0,1 pravděpodobostí míra a při platosti ásledujících podmíek: I A I A= A I A 1, A 2, I Ai I i =1 P [ ]=0 ; P [ ]=1 i, j A i, A j I :i j A i A j = P [ i =1 Ai ]= i=1 P [ A i ] Diskrétí pravděpodobostí prostor je pravděpodobostí prostor, kde je koečá, I=2 a P určíme pro { }, ásledově: A={ 1,, }, kde { 1 } { } jsou disjuktí, P [ A]= P [{ i }] i =1 Poz: Píšeme také P [{ }] P [ ] Příklad: Uiformí pravděpodobostí prostor je takový, kde je koečá a P [ A]= A Nekoečá posloupost hodů micí ={R, L } rub líc Zajímá ás, zda je pravděpodobější, že dříve pade posloupost LLR ebo LRR Dle obrázku (klíčový je krok L z LL a LR) P [LLR]= 1 2 1 4 1 2 1 4 2 1 2 P [LRR]= 1 4 1 4 1 4 1 4 2 1 4 Takže P [LLR] P [LRR] Mějme A, B I Pak podmíěá pravděpodobost je P [ A B]= P [ A B] P [B ] pro P [ B] 0 : Platí, že pokud B 1,,B jsou disjuktí jevy i B i =, =1 potom P [ A]= P [ A B 1 ] P [B 1 ] P [ A B ] P [ B ] Jevy A, B jsou ezávislé, pokud P [ A B ]=P [ A] P [B ] : Jsou-li jevy A, B ezávislé, pak P [ A B]= P [ A B] = P [B ] P [ A] P [ B] =P [ A] P [ B] 17
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Příklad: Jevy A 1,, A jsou ezávislé, pokud pro všecha I {1,, }, I platí P [ i I Máme ={L, R} 10 (posloupost deseti hodů micí) A 1 ={prvích 5 hodů L}, A 2 ={v 6 hodu R}, A 3 ={v 6 až 10 hodu padl sudý počet L} Jevy A 1, A 2, A 3 jsou avzájem ezávislé A i ]= i I P [ A i ] Příklad: Náhodá permutace {1,,10} A 1 ={, 1 =1} P [A 1 ]= 9! 10! =0,1, A 2 ={, 2 =2} P [A 2 ]=0,1 Ale P [A 1 ] P [ A 2 ]= 1 100 1 90 = 8! 10! =P [ A 1 A 2 ], takže A 1, A 2 ejsou ezávislé Příklad: Mějme A i ={padloi}; i=1,, 6 P [sudé ]=P [ s 1] P [1] P [s 6] P [6]=0 1 6 1 1 6 = 3 6 = 1 2 Příklad: HIV test, H je HIV, T je test Víme P [H ]=0,001, P [T H ]=0,95, P [ T H ]=0,95 P [H T ]= P [ H T ] P [H ] P [T H ] P [T H ]= P [T H ]=P [T H ] P [H ]=0,95 0,001=0,00095 P [H ] P [T ]=P [T H ] P [ H] P [T H ] P [ H ]=0,95 0,001 0,05 0,999=0,0509 Takže pravděpodobost, že při pozitivím testu je člověk akažeý HIV, je cca 2% Souči pravděpodobostích prostorů defiujeme jako 1, 2 1, P 1 2, 2 2, P2 =, 2, P, kde = 1 2 a P [{ 1, 2 }]=P 1 [{ 1 }] P 2 [{ 2 }] Příklad: Turaj jako orietace K Pro každé dostatečě velké existuje turaj (velikosti ) takový, že pro všecha x 1, x 2, x 3 existuje y x 1, y x 2, y x 3, který je všechy porazil Náhodá orietace K x 1, x 2, x 3 je trojice, P [ y x 1, x 2, x 3 ]= 1 2 1 2 1 2 = 1 8 a tedy P [ y x 1, x 2, x 3 ]= 7 8 Pak P [ y : y x 1, x 2, x 3 ]= 7 3= 8 P [x 1, x 2, x 3 špatá] Trojici lze vybrat 3 způsoby P [existuje špaté x 1, x 2, x 3 ] 3 7 3 8 P [1 ze 2 špaté]=1 P [2 ok]=1 1 8 2 2 1 1 8 2 Náhodá reálá veličia a pravděpodobostím prostoru,i, P je fukce f : R taková, že f 1 a,b I pro všecha a b R V případe,2, P pak může být f libovolá 18
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Středí hodota je E [ f ]= P [{ }] f pro spočetá Liearita středí hodoty Mějme pravděpodobostí prostor,2, P, f, g áhodé veličiy, R Potom platí: (1) E [ ]= (2) E [ f ]= E [ f ] (3) E [ f g ]=E [ f ] E [g ] (1) E [ ]= P [{ }] = P [{ }] (2) E [ f ]= P [{ }] f = E [ f ] (3) aalogicky Pozor, obecě eplatí E [ f g]= E [ f ] E [ g ] Idikátor jevu A je A = 1 : A 0 : A Platí, že E [ A ]=P [ A] a E [ A ]= A P [{ }]= A P [{ }] Příklad: Mějme N, {0,1}, 2, uiformí, (a) áhodou veličiu f =počet1 v poslouposti 1 E [ f ]= 2 f 1 = k= 0 2 k k = 2 1! k=1 (b) Pak E [ Ai ]= 1 2 E [ i= 1 A i ={a pozici i je1} i=1 E Ai = f Ai ]= [ Ai ]= 2 i=1 1 1! k! k!= 2 k =0 k! 1 k! =2 1 = 2 Mějme pravděpodobostí prostor,2, P a áhodou veličiu f Distribučí fukce je F :R 0,1 taková, že F z =P [{ ; f z}]=p [ f z] Náhodé veličiy f, g jsou a,2, P ezávislé, pokud pro všecha a,b R jevy f a a g b jsou ezávislé Potom platí také E [ f g]=e [ f ] E [ g] Rozptyl je Var [ f ]=E [ f E [ f ] 2 ]=??? Příklad: Cea domu 10 7 Pravděpodobost vyhořeí v roce 10 4 Středí hodota ztráty z vyhořeí 10 4 10 7 1 10 4 0=10 3 Tedy, vyplatí se pojistit dům, pokud je pojisté ižší ež 10 3 (ze statistického hlediska) Var[ztráta z vyhořeí ]=10 4 10 7 2 1 10 4 0 10 3 2 10 10 10 10 Markovova erovost Nechť,2, P je pravděpodobostí prostor, 19
Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti f ezáporá veličia, t R ;t 1 Pak P [ f t E [ f ]] 1 t E [ f ]= f P [{ }]= Položíme a R, a 0 : A={ ; f a} = A 0 a P [ A]=a P [ f a] f P [{ }] f P [{ }] Platí f P [{ }] a P [{ }]=a P [ A] A A A Volme a=t E [ f ], pak E [ f ] t E [ f ] P [ f t E [ f ]] 1 P [ f t E [ f ]] t Čebyševova erovost Nechť,2, P je pravděpodobostí prostor, f áhodá veličia, a R ;t Var [ f ] 0 Potom P [ f E [ f ] a ] Var [ f ] a 2 Položme g= f E [ f ] 2, pak E [g ]=Var[ f ] Markov pro t 1 : P [g t E [ g ]] 1 t Levo: Pravo: ebo t= a2 Var[ f ] P [ f E [ f ] 2 t Var[ f ]]= =P [ f E [ f ] 2 a2 Var [ f ]]= Var [ f ] =P [ f E [ f ] 2 a 2 ]= =P [ f E [ f ] a] 1 t = 1 = Var [ f ] a 2 a 2 Var [ f ] 20