Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete součet řady Řešeí. Platí + + 4 +. = s = 4 + 8 6 + 6 + 0 8 + + + + 4 + = ( ) ( ) = 4 + 6 + 8 + + + 8 + 0 + + + + + + + 4 ( ) 6 + 8 + 0 + + + + + = Odtud dostáváme = 4 6 + + + 4. s ( + 4) ( + )) = 4 6 + + + 4 = 4 6 = 4 6. + 4 + + Alterující řady Defiice.. Necht {a } =0 je posloupost ezáporých čísel. Potom se ekoečá řada a 0 a + a a + a 4 = azývá alterující řada. ( ) a =0
Věta. (Leibizovo kritérium). Necht a je erostoucí posloupost kladých čísel. Pak alterující řada a koverguje právě tehdy, když platí a = 0. Věta.. Koverguje-li řada a, koverguje i řada a. Defiice.4. Řekeme, že řada a koverguje absolutě, jestliže koverguje řada a. Jestliže řada a koverguje a a diverguje, říkáme, že řada a koverguje relativě. koverguje pouze rela- Řada ( ) koverguje absolutě. Řada tivě, ebot =. ( ) Pozámka. Řada a je řada s ezáporými čley, a proto můžeme použít kritéria pro řady s ezáporými čley. Příklad.5. Rozhoděte o kovergeci (absolutí kovergeci) alterující řady Řešeí. Řada ekoverguje, ebot ( ) +. a = + =. Příklad.6. Rozhoděte o kovergeci (absolutí kovergeci) alterující řady Řešeí. Tato řada koverguje, ebot Dále platí Podle odmociového kritéria řada koverguje absolutě. ( ). a = = 0. a = = =. koverguje. To zameá, že řada Příklad.7. Rozhoděte o kovergeci (absolutí kovergeci) alterující řady ( ) l. ( )
Řešeí. Platí ebot a = l = l = 0. l = 0, Podle Leibizova kritéria daá řada koverguje. Pro každé N platí l, a proto podle srovávacího kritéria řada ( ) l koverguje relativě. l diverguje. Tím jsme ukázali, že řada Příklad.8. Rozhoděte o kovergeci (absolutí kovergeci) alterující řady ( ) + l ( + ). Řešeí. Platí l ( + ) = l( + ) = 0, a tedy podle odmociového kritéria řada ( )+ l (+) koverguje absolutě. l (+) koverguje. To zameá, že řada Příklad.9. Rozhoděte o kovergeci (absolutí kovergeci) alterující řady ( + ( ) +. ) Řešeí. Platí ( + ) = ( ) + = e <, ( + ) a tedy podle odmociového kritéria řada koverguje. To zameá, že řada ( + ( ) ) koverguje absolutě. Příklad.0. Rozhoděte o kovergeci (absolutí kovergeci) alterující řady ( )!. Řešeí. Platí! = ( ).
Protože dostáváme, že tedy zadaá řada ekoverguje. =,! =, Mocié řady Defiice.. Nekoečá řada tvaru a (x x 0 ), =0 kde {a } =0 je posloupost reálých čísel, se azývá mociá řada se středem v bodě x 0. Věta.. Pro mociou řadu se středem bodě x 0 astae právě jeda z těchto možostí:. Existuje číslo R > 0 takové, že tato mociá řada koverguje absolutě pro x x 0 < R, tj. pro x (x 0 R, x 0 +R) a ekoverguje pro x x 0 > R, tj. pro x < x 0 R a pro x > x 0 +R. Řada může a emusí kovergovat v každém z krajích bodů x = x 0 R a x = x 0 + R.. Tato mociá řada koverguje absolutě pro všecha x R (v tomto případě klademe R := ).. Tato mociá řada koverguje pouze pro x = x 0 a ekoverguje pro všecha x 0 (v tomto případě klademe R := 0). Defiice.. Číslo R z předchozí věty se azývá poloměr kovergece mocié řady. Věta.4 (O poloměru kovergece mocié řady). Pokud existuje ita (vlastí ebo evlastí) a = a, případě a + a = a, potom poloměr mocié řady =0 a (x x 0 ) je, pro a > 0, a R =, pro a = 0, 0, pro a =. Příklad.5. Určete poloměr a obor kovergece ásledující mocié řady 4 x.
Řešeí. Protože a = =, podle věty.4 je poloměr kovergece. To zameá, že pro každé x (, ) řada x koverguje absolutě. Pro x = dostaeme Leibizovu řadu ( ), která koverguje relativě. Dohromady pak máme, že obor kovergece mocié řady x je [, ). Příklad.6. Určete poloměr a obor kovergece ásledující mocié řady Řešeí. Protože x. a = =, podle věty.4 je poloměr kovergece. To zameá, že pro každé x (, ) řada x koverguje absolutě. Pro x = dostaeme řadu ( ), která koverguje absolutě. Dohromady pak máme, že obor kovergece mocié řady x je [, ]. Příklad.7. Určete poloměr a obor kovergece ásledující mocié řady Řešeí. Protože x!. a + a = ( + )! ( + )! = = 0, podle věty.4 je poloměr kovergece. To zameá, že řada koverguje (absolutě) a celém R. Příklad.8. Určete poloměr a obor kovergece ásledující mocié řady ( ) (x + ) +. 5
Řešeí. Protože a + a = + + + + =, podle věty.4 je poloměr kovergece. To zameá, že pro každé x (, ) řada koverguje absolutě. Pro x = dostaeme řadu ( ) (x+) + která koverguje relativě, ebot ( ) +, +. Dohromady pak máme, že obor kovergece řady ( ) (x+) + je (, ]. Příklad.9. Určete poloměr a obor kovergece ásledující mocié řady Řešeí. Protože + x. a + a = ( + ) ( + ) =, podle věty.4 je poloměr kovergece. To zameá, že pro každé x (, ) řada koverguje absolutě. Pro x = dostaeme řadu ( ) +, + x která ekoverguje, ebot + =. Dohromady pak máme, že obor kovergece mocié řady + x je (, ). Příklad.0. Určete poloměr a obor kovergece ásledující mocié řady (!) ()! x. Řešeí. Protože a + a = ( + )! ( + )! ()!!! ( + )! = ( + ) ( + )( + ) = 4, podle věty.4 je poloměr kovergece 4. To zameá, že pro každé x ( 4, 4) řada (!) ()! x koverguje absolutě. Pro x = 4 dostaeme řadu ( ) 4 (!). ()! 6
Platí a proto řada 4 (!) ()! ( ) = ( 4 ) = ( k= k ) = ( ) >, ( ) 4 (!) ()! diverguje. Dohromady pak máme, že obor kovergece řady + x je ( 4, 4). Příklad.. Určete poloměr a obor kovergece ásledující mocié řady x. Řešeí. Pro libovolé x dostáváme řadu s ezáporými čley, můžeme tedy použít ěkteré z kritérií pro tyto řady. Platí x = x. Řada ( ) x zcela jistě koverguje, pokud x <, což astae právě tehdy, když x. Pro x = ± dostaeme řadu, ( ) = která ekoverguje. Tedy polomoěr kovergece je, ) ( a obor kovergece je,. 7