Spojitost funkcí více proměnných

Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo. Zcela analogicky s teorií reálných funkcí jedné reálné proměnné zavádíme pojem definiční obor funkce n reálných proměnných a obor funkčních hodnot. Funkce více proměnných(slovo reálných již budeme vynechávat) zadáváme obvykle opětfunkčnímipředpisy.příkladytakovýchtozadáníjsou f(x, y)=x + y +3x 5y, f(x, y)=sin(x +y ), f(x, y, z)=ln(x+y + z 3 )nebo(není-linázevfunkcepodstatný) z= x + y, z=sin(x + y ),atd. Opět je možno hovořit o elementárních funkcích více proměnných, což jsou funkce zadané předpisem, ve kterém jsou obsaženy pouze názvy proměnných, reálná čísla, závorky, znaménka pro sčítání, odčítání, násobení, dělení a symboly označující základní elementární funkce(mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické). Spojitost funkcí více proměnných Opět, zcela analogicky jako v případě funkce jedné proměnné, řekneme, že funkce f(x 1,..., x n )jespojitávbodě A=(a 1,..., a n ),jestližekekaždémuokolí V bodu f(a) existujeokolí Ubodu Atakové,že f(x) V prokaždýbod X U. Vzhledem k tomu, že pojem hraniční body definičního oboru funkce více proměnných je mnohem složitější než hraniční body intervalů, zavedeme pojem spojitost funkce vzhledem k množině. Definice. Řekneme,žefunkce f(x) nproměnnýchjevbodě Aspojitávzhledemkmnožině M,jestližekekaždémuokolí V bodu f(a)existujeokolí U bodu Atakové,žepro každýbod X U Mje f(x) V. Řekneme, že funkce n proměnných je spojitá na množině M, jestliže je spojitá v každém bodě A Mvzhledemkmnožině M. Je snadno vidět, že funkce je ve vnitřním bodě množiny M spojitá vzhledem k množině M,právěkdyžjevněmspojitá.Naprotitomuvhraničnímboděmnožiny Mmůžebýt funkcespojitávzhledemkmanemusíbýtvněmspojitá.ověřtesitototvrzeníufunkce z= x+ yvbodechnaose x.stejnějakovpřípadělimitfunkcívíceproměnných, vystačíme se spojitostí vzhledem k příslušným definičním oborům. Platí následující věta. Věta. Elementární funkce n proměnných jsou spojité na svých definičních oborech. Vlastnosti spojitých funkcí Na závěr této kapitoly si připomeňme dvě velice důležité vlastnosti spojitých funkcí. Věta(Bolzanova). Je-li funkce(jedné proměnné) f(x) spojitá na intervalu I a jsou li a, b I,pakfunkce f(x)nabývávšechhodnotmezi f(a)af(b).

Věta(Weierstrassova). Funkce(jedné proměnné) f(x) spojitá na uzavřeném intervalu I nabývá na tomto intervalu největší a nejmenší funkční hodnoty; to jest existují reálnáčísla c, d Itaková,žeprokaždé x Ije f(c) f(x) f(d). Oběvětyjemožnoformulovatiprofunkcevíceproměnných.PřitomjenutnovBolzanově větě pojem interval nahradit souvislou množinou(tj. každé dva body množiny je možno spojit křivkou, která celá do ní patří). Každý interval je souvislá množina a samozřejmě ne každá množina je souvislá. Souvislou množinu budeme nazývat dále oblastí. Napříkladmnožina M= {(x, y); xy >0}nenísouvisláajistěnalezneteelementární(a tedy spojitou) funkci dvou proměnných definovanou na této množině, která nenabývá všech mezihodnot. Ve Weierstrassově větě je zase nutno uzavřený interval nahradit omezenou uzavřenou oblastí, to jest množinou, která je souvislá, uzavřená a je obsažena v nějakém okolí bodu(0,...,0).připomeňme,žepodmnožina MmnožinyR n senazýváotevřená,jestliže skaždýmbodemobsahujeinějakéjehookolíapodmnožina MmnožinyR n senazývá uzavřená,jestližejejídoplněkvr n,tj.množinar n \ M,jeotevřenámnožina. Upozorňujeme, že nestačí jenom nahradit uzavřený interval uzavřenou oblastí. Uzavřenýintervaljejiž omezený,alenekaždáuzavřenáoblastvr n jeomezená.například množina {(x, y);0 x 1}jejistěuzavřenáaneníomezená.Naleznětespojitoufunkci dvou proměnných, která na této množině nabývá libovolně velkých hodnot. Věta(Bolzanova). Nechť funkce f(x)(n proměnných) je spojitá na nějaké oblasti M anechť A, B M.Potomfunkce f(x)nabývána Mvšechhodnotmezi f(a)af(b). Věta(Weierstrassova). Funkce f(x)(n proměnných) spojitá na uzavřené a omezené oblasti M nabývá na této množině největší a nejmenší funkční hodnoty; to jest existují body C, D Mtakové,žeprokaždýbod X Mje f(c) f(x) f(d). Parciální derivace funkcí více proměnných Pojem derivace funkce jedné reálné proměnné nelze do teorie funkcí více reálných proměnnýchpřevéstjiným rozumným způsobemnežjakolimitystejnéhotypu,při kterýchse mění pouzejednaproměnná.dostanemetakpojemparciálníderivacepodle příslušné proměnné. Definice. Řekneme,žefunkce f(x 1,..., x n )mávbodě(a 1,..., a n )parciálníderivaci podleproměnné x i,1 i n,rovnou A,jestližeje(tj.existujeajerovno) f(a 1,..., a i + x,..., a n ) f(a 1,..., a i,..., a n ) lim x 0 x = A. Tuto skutečnost vyjadřujeme zápisem x i (a 1,..., a n )=A. Obdobně jako u funkcí jedné reálné proměnné hovoříme o nevlastní parciální derivaci podleproměnné x i,je-li A {, }.

Analogickyjakoufunkcíjednéproměnnédefinujemeufunkce f(x 1,..., x n )prokaždé i,1 i n,funkci nproměnných,kterákaždémubodu A D(f),vněmžexistuje vlastníparciálníderivacepodleproměnné x i,přiřazujejejíhodnotuaznačímeji x i (x 1,..., x n ) nebo f x i (x 1,..., x n ). Tutofunkcinazývámeparciálníderivacífunkce fpodleproměnné x i. Z definice parciální derivace ihned plyne, že parciální derivaci funkce podle proměnné x i určímetak,ževšechnyostatníproměnné,tojestkroměproměnné x i,považujemeza konstantyaurčímederivacifunkcejednéproměnné,tojestproměnné x i. Příklad.Určemeparciálníderivacefunkcedvouproměnných f(x, y)=x y. Chceme-li určit parciální derivaci dané funkce podle proměnné x, použijeme známý vzorec(x α ) = α x α 1 adostaneme x (x, y)=y xy 1. Prourčeníparciálníderivacefunkce f(x, y)= x y podleproměnné ymusímepoužítvzorec (a x ) = a x lnaadostaneme y (x, y)=xy lnx. Příklad.Určemeparciálníderivacefunkcetříproměnných g(x, y, z)=x yz. Postupujeme obdobně jako v předcházejícím příkladě, navíc použijeme pravidlo o derivování složené funkce a dostaneme: g x = yz x yz 1, g y = xyz lnx z y z 1, g z = xyz lnx y z lny. Analogie mezi derivací funkce jedné proměnné a parciálními derivacemi funkce více proměnných není úplně stoprocentní, například z existence vlastní derivace funkce v bodě plyne spojitost funkce v tomto bodě, ale existence všech parciálních derivací funkce více proměnných v bodě ještě nezaručuje spojitost funkce v tomto bodě, jak ukážeme v příštím příkladě. Zhruba lze říci, že analogií existence derivace funkce v bodě je u funkcí více proměnných existence spojitých derivací v bodě. Ve skutečnosti spojitost funkce zaručují i slabší podmínky. Například jsou-li všechny parciální derivace funkce více proměnných omezenévnějakémokolíbodu A,pakužjefunkcevtomtobodě Aspojitá. Příklad. Funkce dvou proměnných { 0, je-li xy=0, f(x, y)= 1, je-li xy 0, mávbodě(0,0)oběparciálníderivacerovny0.přitomvkaždémokolítohotobodu existujíbody,vnichžnabýváfunkcehodnotu1.protožeje f(0,0)=0,nenítatofunkce vbodě(0,0)spojitá. Parciální derivace vyšších řádů Obdobně jako u funkcí jedné proměnné lze opakovaným určováním parciálních derivací získávat derivace vyšších řádů. Jelikož se u funkcí více proměnných mohou měnit proměnné, podle kterých derivujeme, ujasněme si symboliku značení parciálních derivací. Derivujeme-lifunkci nproměnnýchnejprvepodleproměnné x i atutovýslednoufunkci 3

4 podleproměnné x j, i j,označímetuto druhouparciálníderivaci symbolickytakto: x j ( ) x i = f x i x j. Derivujeme-lidvakrátpodleproměnné x i,používámeznačení x i ( ) x i = f x i. Například u funkce dvou proměnných f(x, y) máme čtyři možnosti pro parciální derivace druhého řádu, a to: x, x y, y x, y. Příklad. Určeme všechny parciální derivace druhého řádu funkce dvou proměnných f(x, y)=x ln(x + y). Určeme nejprve parciální derivace podle obou proměnných. x =ln(x 1 + y)+x x +y x=ln(x + y)+ x x +y, y = x 1 x +y. Nyní určeme parciální derivace druhého řádu. = x +4x (x +y) x x, f x x +y (x +y) x y = 1 x +y + x = y x, (x +y) (x +y) y x = 1 x +y + x x (x +y) = y x (x +y), f y = x 1 (x +y) = x (x +y). Jistějsmesivšimli,ževpředcházejícímpříkladunastalo f x y = f y x.musínás tedy okamžitě napadnout otázka: je to náhoda, nebo to platí vždy? Odpověď na tuto otázku je: není to náhoda a platit to nemusí. Přesnější odpověď dává následující věta. Věta. Jsou-lioběparciálníderivace f x y a f y x spojitévbodě A=(a 1, a ),potom x y (a 1, a )= f y x (a 1, a ). Jelikož, jak již víme, jsou elementární funkce spojité ve všech vnitřních bodech svých definičních oborů a jelikož parciální derivace elementárních funkcí jsou opět funkce elementární, dostáváme ihned následující tvrzení. Důsledek. Je-li f(x, y) elementární funkce dvou proměnných, pak je x y = f y x ve všech bodech, v nichž obě tyto parciální derivace existují. Poznámka.Existenceobou smíšených derivacíjenutná.napříkladprofunkcidanou předpisem f(x, y)= x +yexistuje y x (0,0)apřitomneexistuje x y (0,0).Promysletetototvrzení.Samozřejmějemožnovýšeuvedenétvrzeníorovnosti smíšených

parciálních derivací rozšířit i na parciální derivace vyšších řádů; speciálně pro elementární funkce platí, že při určování parciálních derivací nezáleží na pořadí proměnných, podle kterých jsme derivovali, ale pouze na počtu derivování podle jednotlivých proměnných, samozřejmě pokud všechny existují. Je tedy například: 7 f 7 f 7 f x 4 y 3= y 3 x 4= x y x y=.... 5 Příklady k procvičení Vypočtěte parciální derivace daných funkcí podle všech proměnných: 1) f(x, y)=x 3 y 4x y +x+3; ) f(x, y)=y x 3 y 3) f(x, y)=y x+1 ; 4) f(x, y)= x y x y ; 5) f(x, y)=arccotg x y ; 6) f(x, y)=x ex y +3y 1; 7) f(x, y)=x y x y ; 8) z= cos x 1+sin y ; 9) f(x, y)=arctg x+y 11) f(x, y)=ln x y x+y ; 1 xy ; 10) z= 1 x +y y ; 1) z=arctg y x xy x ; 13) z= x ln(x+ x + y ) x + y ; 14) z= x y arctg x y ln(x + y ); 15) z=ln 1 x y +ln(1+y); x ; 16) z=arcsin x x +y +lny; 17) f(x, y, z)=x y+x z 3y z 3 ; 18) f(x, y, z)=z tg(3xy 1); 19) f(x, y, z)=(x+y)e x+z ; 0) f(x, y, z)=(x+y) z. Vypočtěte hodnoty prvních parciálních derivací daných funkcí v daném bodě A: 1) z= (y x ) 3 3x 3 y, A=(1,); ) z= x y + y arcsin y x, A=(, ). 3)Vypočtěte f x a f x y funkce f(x, y)=x ln(x+ x + y ) x + y. 4)Vypočtěte f y a f x y funkce f(x, y)=ln(x y ex ). 5)Vypočtětevšechnyparciálníderivace.řádufunkce f(x, y)= y +arctg y x. 6) Vypočtěte f x y (1,1) funkce f(x, lnx+y 3. y)=ex+y 7) Vypočtěte hodnoty prvních a druhých parciálních derivací funkce f(x, y)=sin x+y cos(x y)vbodě A=( π,1). 8)Vypočtětehodnotyvšechparciálníchderivací1.a.řáduvbodě A=(1,)pro funkci f(x, y)=x y y + x. x Výsledky 1) x =6x y 4y +, 3) x =yx+1 lny, 5) y, x +y y =x3 8xy; ) x = y x +3 ( ) y, x y = x 6 y x ; 4) x = y (x y), y = x (x y) ; y =(x+1)yx ; y = x x = 6) x =ex y (1+x), ; x +y 7) x = x y (y+ xln), y = x y y = xex y +6y; ( x ); x y ln

6 8) z x = sinx 1+sin y, z y = xsiny cos (1+sin y) ; 9) x = 1 1+x, y = 1 1+y ; 10) z x = x, z ( y)(1 x +y) y = 3 x ; ( y) ( y)(1 x +y) 11) x = y, x y y = x ; x y 1) z x = 1, z xy x y = x y xy x ; 13) z x =ln(x+ x + y ), z y = y x+ x +y ; 14) z x = y arctg x y + x(y ) z x +y, y = x arctg x y y(x +) x +y ; 15) z x = x 1 x, z y = 1 y ; 16) z x = y x +y, z y = x +y xy 17) x y(x +y ) ; =xy+z, y = x 3z 3, z =x 9yz ; 18) x = 3yz cos (3xy 1), y = 3xz cos (3xy 1), z 19) x =ex+z (1+x+y), y =ex+z, 0) x = z(x+y)z 1, 1) z x (A)= 3, ) z x (A)=, z 3) f x = 1 y =z(x+y)z 1, z y (A)= 3 4 ; y (A)= π 4 ; x +y, 4) f x y = ex (1 x) (x ye x ), 5) f x = xy (x +y ), x y = y x +y +x x +y. ex. (x ye x ) = y x y = y x (x +y ), =tg(3xy 1); z =(x+y)ex+z ; y =1 6) f x y (1,1)=e. 7) f x (A)=3, f x y (A)=π, f y (A)=π. 8) x z =(x+y)z ln(x+y). xy (x +y ). (A)=7, y (A)=3, f x (A)= 9, x y (A)=5, y (A)=. Extrémy funkcí Vmnohapraktickýchúloháchtechnickýchnebo ekonomickyladěných potřebujeme nalézt ty body definičního oboru funkce, ve kterých jsou funkční hodnoty nějakým způsobem extrémní. Budeme rozeznávat tři základní typy takovýchto extrémů. Jsou to extrémy lokální, absolutní a vázané. Lokální a absolutní extrémy Definice. Řekneme,žefunkce f jednénebovíceproměnnýchmávboděasvéhodefiničního oboru lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu A, U D(f),takové,žeprokaždé X U, X Aje Pokudprokaždé X U, X Aje f(x) f(a), resp. f(x) f(a). f(x) < f(a), resp. f(x) > f(a), hovoříme o ostrém lokálním maximu, resp. o ostrém lokálním minimu.

Definice. Řekneme,žefunkce fjednénebovíceproměnnýchmávboděasvéhodefiničního oboru absolutní maximum, resp. absolutní minimum, jestliže pro každé X D(f) je f(x) f(a), resp. f(x) f(a). Pokudjeprovšechna X D(f), X Asplněnanerovnice f(x) < f(a), resp. f(x) > f(a), hovoříme o ostrém absolutním maximu, resp. o ostrém absolutním minimu. Výše definované pojmy souhrnně nazýváme lokální extrémy, ostré lokální extrémy, absolutní, popřípadě ostré absolutní extrémy. Slovo absolutní někdy vynecháváme. Pokud budeme chtít zdůraznit, že nějaký extrém není ostrý, použijeme pro něj označení neostrý extrém. Poznámka. Lokální extrémy může mít funkce pouze ve vnitřních bodech svého definičního oboru, absolutní extrémy může mít jak ve vnitřních bodech svého definičního oboru (pak to jsou ale také lokální extrémy), tak v hraničních bodech svého definičního oboru. Existence absolutních extrémů, a to jak maxima tak minima, je zaručena u spojitých funkcí jedné proměnné definovaných na uzavřeném intervalu a u spojitých funkcí více proměnných definovaných na omezených uzavřených oblastech(weierstrassova věta). V ostatních případech funkce samozřejmě extrémy mít může, ale také nemusí. Vyšetřujme nejprve lokální extrémy funkcí. Je možno celkem snadno odvodit následující větu, která omezuje možnosti pro existenci lokálních extrémů. Význam této věty tkví právěvtom,žeznačněomezujepočetbodů,vekterýchbyfunkcemohlamítlokální extrém. Věta(nutná podmínka). Jestliže má funkce f(x) jedné proměnné v bodě a lokální extrém a zároveň derivaci, pak je nutně f (a)=0. Jestližemáfunkce f(x 1,..., x n )vbodě Alokálníextrémazároveňparciálníderivaci podleproměnné x j,pakjenutně x j (A)=0. 7 Poznámka. Má-li funkce f více proměnných v nějakém bodě A lokální extrém, pak (A)=0provšechna j,prokteréexistuje (A). x j x j Výšeuvedenánutnápodmínkanenízdalekapostačující.Napříkladfunkce y = x 3 je rostoucínacelémsvémdefiničnímoboruaje y (0)=0.Obdobněfunkce z=x 3 + y 3 nemávbodě(0,0)lokálníextrém(dokažte)aje z z (0,0)= x y (0,0)=0. Příklad.Vekterýchbodechmůžemítfunkce z= x + y extrémyajaké? DefiničnímoboremfunkcejeR R.Obědvěparciálníderivacetétofunkce z x = x x +y

8 a z y = y x +y existujívevšechbodechsvýjimkoubodu(0,0),vžádnémboděseobě parciální derivace současně nerovnají 0. Funkce tedy může mít lokální a absolutní extrém pouze v bodě(0, 0). V tomto bodě má funkce ostré absolutní minimum. Zdůvodněte. Příklad.Vekterýchbodechmůžemítfunkce z= 9 x y extrémyajaké? Definičnímoboremfunkcejekruhsestředemvbodě[0,0]apoloměrem3.Parciální z derivace x = x a z 9 x y y = y mádanáfunkcevevšechbodechvyjma 9 x y bodůležícíchnakružniciorovnici x + y =9.Oběparciálníderivaceserovnajínule vbodě(0,0).funkcetedymůžemítlokální(anásledněipřípadněabsolutní)extrém pouzevbodě(0,0).jistěsisnadnoověříte,ževtomtoboděmáfunkceostréabsolutní maximum. V každém hraničním bodě definičního oboru(kružnice se středem v[0, 0] apoloměrem3)funkcemůžemítabsolutníextrém,atakémá,atoneostréabsolutní minimum. Zdůvodněte. V předcházejících příkladech nebylo těžké potvrdit extrém, v mnoha jiných je toto podstatně obtížnější. Naštěstí zná matematika mnohé postačující podmínky pro existenci lokálních extrémů. My si zde připomeneme pouze tři nejzákladnější takové podmínky. Další je možno nalézt v mnoha jiných obsáhlejších knihách o diferenciálním počtu. Věta. Nechťfunkce f(x, y)mávnějakémokolíbodu(a, b)spojitéparciálníderivace druhéhořáduanechťje Označme (a, b)= (a, b)=0. x y D(a, b)= f x (a, b) f y(a, b) ( ) f (a, b). x y Platí: a) je-li D(a, b) >0,máfunkcevbodě(a, b)lokálníextrém,atoostrélokálnímaximum, je-li f x (a, b) <0,aostrélokálníminimum,je-li f x(a, b) >0; b) je-li D(a, b) <0,nemáfunkcevbodě(a, b)lokálníextrém; c) je-li D(a, b)=0,můžefunkcevbodě(a, b)mítlokálníextrém,aletakénemusí. Příklad.Funkce z= x 3 +y 3 nemávbodě(0,0)lokálníextrém.funkce z= x 4 + y 4 má v bodě(0, 0) evidentně lokální a také absolutní minimum. Obě funkce splňují předpoklady předcházejícívětyaprooběje,jaksisnadnoověříte, D(0,0)=0. Příklad.Nalezněmeextrémyfunkce z=x 3 + x y +5x + y. FunkcejedefinovánanaR R,máspojitéparciálníderivacelibovolnéhořáduaje z x =6x + y z +10x, y =x y+y. Lokální extrémy může tedy funkce mít pouze v bodech, ve kterých jsou obě parciální derivace rovny 0. Řešme proto soustavu dvou rovnic 6x + y +10x=0, x y+y=0. Zdruhérovniceihnedplyne,žemusíbýt y=0nebo x= 1.Podosazenídoprvní rovniceihneddostávámebody A=(0,0), B=( 5,0), C=( 1,)aD=( 1, ), 3 ve kterých by funkce mohla mít lokální extrémy. Určeme si parciální derivace druhého řádu. Dostaneme

z z z x y =y. x =1x+10, y =x+, Protožeje D(0,0)=0a z x (0,0)=10,máfunkce zvbodě Aostrélokálníminimum; protožeje D ( 5 3,0) = 40 3 a ( z x 5 3,0) = 10,máfunkce zvbodě Bostrélokální maximum;jelikožje D( 1,)=D( 1, )= 16,nemádanáfunkce zvbodech Ca D lokální extrémy. Ukažte, že funkce nemá absolutní extrémy. Příklad.Nalezněmelokálníaabsolutníextrémyfunkce z= x 3 + y 3 + x+y. Protožeparciálníderivace z x =3x +1a z y =3y +1existujívevšechbodechR R, a protože v žádném nemohou nabývat hodnoty 0, daná funkce nemá žádné lokální ani absolutní extrémy. Příklad.Nalezněmeextrémyfunkce z= 9 x 16 y. Nejprvehledejmelokálníextrémy.Jelikožje z x = x a z 9 x y = y (ověřte),jebod 16 y (0, 0) jediným bodem, ve kterém by funkce mohla mít lokální extrém. Vypočtěme proto všechny parciální derivace druhého řádu. Dostaneme z 9 = x ( 9 x ) 3, z= 16 y ( 16 y ) 3, z x y =0. Jelikožje D(0,0) <0,danáfunkcenemávtomtobodělokálníextrém.Tedyfunkcenemá v žádném bodě lokální extrém. Hledejme tedy absolutní extrémy, které funkce jistě má (je spojitá na definičním oboru 3, 3 4, 4 ). Absolutní extrémy může funkce mít pouze v některém ze svých hraničních bodů, tj. pouze na množině {(x, y); x {3, 3}, y 4,4 } {(x, y); x 3,3, y { 4,4}}. Uvažujmedanoufunkcinamnožině {(x, y); x {3, 3}, y 4,4 }.Tatofunkcejena tétomnožinědánapředpisem z= 16 y.snadnozjistíme,žetatofunkcejedné proměnnémáabsolutníminimumvbodě y=0aabsolutnímaximumvbodech y=4 a y= 4.Obdobnězjistíme,ženamnožině {(x, y); x 3,3, y { 4,4}}nabývá danáfunkcenejvětšíhodnotyvbodě x=0anejmenšíhodnotyvbodech x=3ax= 3. Funkce z= 9 x 16 y nabývánejmenšíanejvětšíhodnotyvněkterémzezískanýchbodů(3,0),(3, 4),(3,4),( 3,0),( 3, 4),( 3,4),(0,4)a(0, 4).Porovnáním funkčních hodnot v těchto bodech dostaneme, že neostré absolutní maximum má funkce vbodech(0,4)a(0, 4)(hodnotatohotomaximaje3)aneostréabsolutníminimum vbodech(3,0)a( 3,0)(hodnotatohotominimaje 4).Porovnejtetentovýsledek sobr.7,nakterémjezobrazengraffunkce z= 9 x 16 y. Poznámka. Pokud hledáme pouze absolutní extrémy funkcí, jejichž existence je zaručena spojitostí funkce jedné proměnné na uzavřeném intervalu nebo spojitostí funkce více proměnných na omezené uzavřené oblasti, můžeme postupovat zjednodušeným způsobem takto: 1. nejprve si zjistíme body podezřelé z extrému a vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech,. porovnáme funkční hodnoty a nalezneme body, ve kterých jsou funkční hodnoty nejmenší a body, ve kterých jsou funkční hodnoty největší. Připomeňme, že body podezřelé z extrému jsou u funkce jedné proměnné a) hraniční body definičního oboru, b) body definičního oboru funkce, ve kterých funkce nemá derivaci, c) body definičního oboru funkce, ve kterých má funkce derivaci rovnou nule. Body podezřelé z extrému jsou u funkcí více proměnných 9

10 z 0 - - 0 y x 0 - Obr. 7.Graffunkce z= 9 x 16 y a) hraniční body definičního oboru, b) body definičního oboru funkce, ve kterých funkce nemá alespoň jednu parciální derivaci, c) body definičního oboru funkce, ve kterých má funkce všechny parciální derivace rovny nule. Ilustrujme si tento postup na dvou příkladech. Příklad. Nalezněme absolutní extrémy funkce definované na množině 1, 1 1, 1 předpisem f(x, y)=x + y. Daná funkce je spojitá na definičním oboru a má obě parciální derivace. Podezřelými bodyzextrémujsouhraničníbodydefiničníhooboruabod A 1 =(0,0),kterýjejediným bodem, ve kterém má funkce obě parciální derivace rovny 0. Hraničními body definičního oborujsoumnožiny M 1 = 1,1 { 1}, M = 1,1 {1}, M 3 = { 1} 1,1 a M 4 = {1} 1,1.Funkce f(x, y)jenamnožině M 1 = 1,1 { 1}totožnásfunkcí jednéproměnné f 1 (x)=f(x, 1)=x +1definovanénaintervalu 1,1.Absolutní extrémy může tato funkce jedné proměnné nabývat v hraničních bodech intervalu 1, 1 avbodě x=0,kterýjejedinýmbodem,vekterémmáfunkce f 1 (x)derivacirovnou nule.získalijsmetakdalšítřibodypodezřelézextrému,atobody A =( 1, 1), A 3 =(1, 1)aA 4 =(0, 1).Pokudanalogickyvyšetřímechovánífunkce f(x, y)na množinách M, M 3 a M 4,dostanemedalšípodezřelébody A 5 =( 1,1), A 6 =(1,1), A 7 =(0,1), A 8 =( 1,0), A 9 =(1,0).Funkčníhodnotyvbodechpodezřelýchzextrému jsou: f(0,0)=0, f(±1,0)=1, f(0, ±1)=1, f(±1, ±1)=.Funkce f(x, y)mávbodě (0, 0) ostré absolutní minimum a v bodech(±1, ±1) neostré absolutní maximum. Vázané extrémy U funkcí dvou a více proměnných má reálný význam také vyšetřovat extrémy funkcí vzhledem k podmnožině definičního oboru dané nějakými dalšími omezujícími podmínkami, které se nazývají vazební podmínky. Hovoříme potom o vázaných extrémech. Tyto

omezující podmínky mohou být zadány různými způsoby. My se budeme zabývat pouze případy, kdy jsou vazební podmínky dány nějakou soustavou rovnic. Definice. Řekneme,žefunkce f(x) nproměnnýchmávbodě A D(f)lokálnímaximum(resp. minimum) vázané podmínkami g 1 (x 1,..., x n )=0, g (x 1,..., x n )=0,..., g r (x 1,..., x n )=0, jestližebod Asplňujevazebnípodmínky(tj. g 1 (A)=g (A)= =g r (A)=0)ajestliže je f(a) f(x)(resp. f(a) f(x))provšechnybody Xznějakéhookolí U D(f) bodu A, X A,kterésplňujívazebnípodmínky(tj. g 1 (X)=g (X)= = g r (X)=0). Vázaná lokální maxima a vázaná lokální minima souhrnně nazýváme vázanými extrémy.nahrazenímpožadavku provšechnybody Xznějakéhookolí U D(f)bodu A požadavkem provšechnybody X D(f),dostávámedefiniceabsolutníchvázaných extrémů. Podmínky g 1 (x 1,..., x n )=0, g (x 1,..., x n )=0,..., g r (x 1,..., x n )=0, se nazývají vazební podmínky nebo krátce vazby. Dosazovací metoda Otázkouzůstává,jakhledataurčovatvázanéextrémy.Vpřípadě,žejemožnozvazebních podmínek jednoznačně vyjádřit některé proměnné, můžeme dosazením těchto proměnných do všech ostatních vztahů převést problém na hledání vázaných extrémů funkce(a vazebních podmínek) s menším počtem proměnných, případně na hledání extrémů funkce jedné proměnné. Příklad.Nalezněmeextrémyfunkce f(x, y)=x 4 y vázanépodmínkou3x y=0. Zvazebnípodmínkydostáváme y=3x.hledejmeextrémyfunkce h(x)=x 4 (3x), tedyfunkce h(x)=x 4 18x.Tatofunkcejeelementární,mávšudederivaciaextrémy můžemíttedypouzevbodech,kdejejejíderivacerovna0.derivacefunkce h(x)je h (x)=4x 3 36x.Rovnice4x 3 36x=0mástejnářešeníjakorovnice x(x 9)=0,tedy x 1 =0, x =3, x 3 = 3.Funkce h(x)má,jakjistěihnedvidíte,vbodě x 1 ostrélokální maximum,vbodech x a x 3 ostrélokálníminimum.protomáfunkce f(x, y)=x 4 y vbodě(0,0)ostrévázanélokálnímaximum, f(0,0)=0,kteréneníabsolutnímvázaným maximem(ukažte),avbodech(3,9)a( 3, 9)ostrévázanélokálníminimumazároveň neostréabsolutníminimum,jehožhodnotyjsou f(3,9)=f( 3, 9)= 81. Poznámka. Stejným způsobem bychom mohli také postupovat v případě, že sice nelze z vazebních podmínek proměnnou vyjádřit jednoznačně, ale pouze jako sjednocení konečného počtu možností. V tomto případě úlohu řešíme opakováním předchozího postupu pro jednotlivé možnosti. Příklad. Nalezněmeabsolutníextrémyfunkce f(x, y)=x y vázanépodmínkou x + y =4. Zvazebnípodmínkydostaneme y=± 4 x.uvažujmeprvnípřípad y= 4 x. Dostaneme h(x)=x 4.Tatofunkcejedefinovánanaintervalu, (nezapomínejme,že y= 4 x ),máostrélokálníaabsolutníminimumvbodě x=0aneostré 11

1 absolutnímaximumvbodech x= ax=.druhýpřípad y= 4 x námdává stejnoufunkcijednéproměnné,atedyistejnébody x=0, x= ax=.funkce f(x, y)=x y můžemítvázanéextrémyvbodech A=(0,), B=(,0), C=(,0) a D=(0, ).Protožeje f(a)= 4, f(b)=4, f(c)=4af(d)= 4,mátato funkce neostré vázané absolutní minimum v bodech A, D a neostré vázané absolutní maximum v bodech B, C. Všimněte si, že kdybychom neuvažovali definiční obory funkcí y= ± 4 x,pakbychomnezjistilivázanéabsolutníextrémyvbodech B=(,0)a C=(,0). Příklad. Nalezněmeextrémyfunkce f(x, y, z)=13x y + z vázanépodmínkou x+y 5=0. Z vazební podmínky dostaneme y = 5 x. Po dosazení získáme funkci dvou proměnných h(x, z)=5x +40x+z 50.Parciálníderivace h x =10x+40a h z =zsesoučasněrovnají0pouzevbodě( 4,0).Snadnosepřesvědčíte,žeje D( 4,0)=0a h x ( 4,0)=10. Funkce h(x, z)mátedyvbodě( 4,0)ostrélokálníminimum,kteréjetakéostrýmabsolutnímminimem(ukažte).Protofunkce f(x, y, z)mávbodě( 4,13,0)ostréabsolutní (asamozřejměilokální)vázanéminimum,jehožhodnotaje f( 4,13,0)= 130.Funkce nemá absolutní ani lokální vázané maximum. Závěrem si ukažme řešení dvou praktických příkladů, při kterém využijeme dosazovací metodu hledání extrémů funkcí dvou proměnných. Příklad. Určeme rozměry uzavřené válcové nádoby(konzervy,...) daného objemu V tak,abyjejípovrchbylconejmenší(tedyabynapříkladnajejívýrobubylopotřebaco nejméně materiálu). Označme Rpoloměrnádobyavjejívýšku.Funkce S(R, v)=πr +πrvvyjadřujepovrchnádoby.mámenajítminimumtétofunkcevzhledemkvazebnípodmínce πr v= V. Zvazebnípodmínkysivyjádřímeproměnnou vapojejímdosazenídofunkce S(R, v) dostanemefunkcijednéproměnné s(r)=πr + V R.Derivacetétofunkce(podleproměnné R)je s (R)=4πR V R = 4πR3 V R.Tatofunkcemá(ověřte)lokálníiabsolutní minimumvbodě R 0 = 3 V π.hodnotě R 0odpovídá(podlevazebnípodmínky πr v= V) 4V bod v 0 = V = 3 πr π = 3 V π =R 0.Funkce S(R, v)mávázanéabsolutníminimum v odpovídajícím bodě 0 ( ) 3 V π, 3 V. Hledané rozměry válcové nádoby tedy jsou π v=r= 3 V π. Příklad. Určeme rozměry jámy(silážní jámy, bazénu,...) tvaru kvádru daného objemu V tak,abysoučetobsahůstěnadnabylconejmenší(tedyabynapříkladnajejívyzdění bylo potřeba co nejméně materiálu). Označmerozměrydna a, bahloubku c.funkce S(a, b, c)=ab+(ac+bc)vyjadřujesoučet obsahů stěn a dna. Máme najít minimum této funkce vzhledem k vazební podmínce abc=v.zvazebnípodmínkysivyjádřímeproměnnou capojejímdosazenídostaneme funkcidvouproměnných s(a, b)=ab+ V b +V a.parciálníderivacetétofunkcepodle proměnných a, b jsou Soustava rovnic s a = b V a, s b = a V b.

b V a =0, a V b =0 májedinéřešení a 0 = b 0 = 3 V.Snadnosiukážete,že D( 3 V, 3 V)=3.Protože S 3 ) V, 3 V =,máfunkce s(a, b)vtomtoboděskutečnělokálníminimum,které x ( je i absolutní. Zbývá už jenom určit hodnotu proměnné c. Dostaneme c 0 = V a 0 b 0 = 3 V 4 = 3 V 8 = 3 V.Hledanérozměryjámyjsou a=b=c= 3 V. Příklady k procvičení Najděte body, ve kterých mají následující funkce dvou proměnných lokální extrémy, určete charakter extrémů a vypočtěte jejich hodnoty: 30) z=x y 3x y +10; 31) z= x x y+ y x+y; 3) z= x 3 + y 3 3x y; 33) z= y x3 +ln(x y); 3 34) z= x +4y+ y x ; 35) z=5x y+5 x + 8 y ; 36) z= y + x e x y ; 37) z=e x (x+y ); 38) z=e x y ; 39) z= y lnx 4x; 40) z=3lnx+x y y 3 ; 41) z= x e x y. Ukaždéznásledujícíchfunkcíjeurčenavazebnípodmínka g(x, y)=0,resp. g(x, y, z)=0. Určete body, v nichž dané funkce mají vázané lokální extrémy, a vypočtěte jejich hodnoty: 43) z= x y x+y 1, x+y 1=0; 44) u=x + y + z,x y+ z 6=0; 45) z= 1 + 1, 1 x y x + 1 y 1 4 =0; 46) z= x+y, 1 + 1 1 x y =0; 47) z=1+4x+y, x + y 4=0; 48) u= 1 x + 1 y +1 z, x+y+ z 1=0; 49) z=(x 1) +(y ), y 3x=5; 50) z=4x+3y, x + y 1=0; 51) z=e x y 1,x+3y 1=0; 5) z=x+y, x + 1 4y 1=0; 53) z= 1 x + 3 y, 1 x + 1 y 5 18 =0; 54) z=6(x+y), x3 + y 3 16=0; 55) z=cos x+cos y, x+y π=0pro x (0,π), y (0,π). 56) Určeteabsolutníextrémyfunkce z= x 3 + y 3 3x ydefinovanéna 0, 1,. 57) Určetelokálníaabsolutníextrémyfunkce z= 1+x+ 4 x+ y 1+ 5 y. 58) Určeteabsolutníextrémyfunkce z=x 4y 3x+y,jejímždefiničnímoborem je D(z)={(x, y); x 0, y 0, x+y 1}. 59) Vypočtěterozměrytohoobdélníkaoobsahu5cm,kterýmánejkratšíúhlopříčku. 60) Jaké rozměry bude mít krabice bez víka, kterou vyrobíme z obdélníkového plechu orozměrech50cm,80cmtak,abymělamaximálníobjem? Výsledky 30) ostrélokálnímaximumjevbodě(0,0), z(0,0)=10; 31) ostrélokálníminimumjevbodě(1,0), z(1,0)= 1; 3) ostrélokálníminimumjevbodě(1,1), z(1,1)= 1; 33) ostrélokálnímaximumjevbodě(1,0), z(1,0)= 1 3 ; 34) ostrélokálníminimumjevbodě(1, 1), z(1, 1)= 1; 35) ostrélokálníminimumjevbodě( 5,4 5 ), z ( 5 5),4 =30; 36) ostrélokálnímaximumjevbodě(,1), z(,1)=0; 13

14 37) ostrélokálníminimumjevbodě(,0), z(,0)= e ; 38) ostrélokálnímaximumjevbodě(0,0), z(0,0)=1; 39) nemá lokální extrémy; 40) nemá lokální extrémy; 41) ostrélokálnímaximumjevbodě( 1,0), z( 1,0)= 1 e. 43) ostrévázanélokálnímaximumvbodě( 1,3 ), z ( 1 ),3 = 1 4 ; 44) ostrévázanélokálníminimumvbodě(, 1,1), u(, 1,1)=6; 45) ostrévázanélokálníminimumvbodě(8,8), z(8,8)= 1 3 ; 46) ostrévázanéminimumjevbodě(,), z(,)=4,ostrévázanémaximumjevbodě (, ), z(, )= 4; 47) ostrévázanélokálnímaximumvbodě(,0), z(,0)=9; 48) ostrévázanélokálníminimumvbodě( 1 3,1 3,1 3 ), u ( 1 3,1 3 3),1 =9; 49) ostrévázanélokálníminimumvbodě( 4 5,13 5 ), z( 4 5,13 18 )= 5 5 ; 50) ostrévázanélokálnímaximumvbodě( 4 5,3 5 ), z(4 5,3 5 )=5, ostrévázanélokálníminimumvbodě( 4 5, 3 5 ), z( 4 5, 3 5 )= 5; 51) ostrévázanélokálnímaximumvbodě( 1 4,1 6 ), z(1 4,1 6 )=e 4; 1 5) ostrévázanélokálníminimumvbodě ( 3 4,3 4 ), z(3 4,3 4 )= 9 4,ostrévázanémaximumje vbodě( 1 4, 1 4 ), z(1 4, 1 4 )= 1 4 ; 53) ostrévázanélokálnímaximumvbodě (6,), z(6,)= 5 3,ostrévázanéminimumje vbodě( 6, ), z( 6, )= 5 3 ; 54) ostrévázanélokálnímaximumvbodě(,), z(,)=4; 55) ostrévázanélokálnímaximumvbodě (π,0), z(π,0)=;ostrévázanéminimumje vbodě( π, π ), z( π, π )=0. 56) ostréabsolutnímaximumjevbodě (, 1), z(, 1)=13,neostréabsolutníminimumvbodě(1,1), z(1,1)= 1avbodě(0, 1), z(0, 1)= 1. 57) ostrélokálníaabsolutnímaximumvbodě(0,3), z(0,3)=5+,neostréabsolutní minimumvbodě(4,1), z(4,1)=+ 5avbodě(4,5), z(4,5)=+ 5. 58) ostréabsolutnímaximumjevbodě ( 0, 4) 1, z(0, 1 4 ) = 1 4, ostré absolutní minimum vbodě(0,1), z(0,1)=. 59) a=5cm, b=5cm. 60) 10cm,30cm,60cm.