Repetitorium z matematiky

Podobné dokumenty
GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

(Zavedení pojmu funkce, vlastnosti. Repetitorium z matematiky

4. GONIOMETRICKÉ A CYKLOMETRICKÉ FUNKCE, ROVNICE A NEROVNICE 4.1. GONIOMETRICKÉ FUNKCE

Zadání. Goniometrie a trigonometrie

Variace Goniometrie a trigonometrie pro studijní obory

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

GONIOMETRIE. 1) Doplň tabulky hodnot: 2) Doplň, zda je daná funkce v daném kvadrantu kladná, či záporná: PRACOVNÍ LISTY Matematický seminář.

8. Parametrické vyjádření a. Repetitorium z matematiky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

4.2. CYKLOMETRICKÉ FUNKCE

Radián je středový úhel, který přísluší na jednotkové kružnici oblouku délky 1.

sin 0 = sin 90 = sin 180 = sin 270 = sin 360 = sin 0 = cos 0 = cos 90 = cos 180 = cos 270 = cos 360 = cos 0 =

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

Goniometrie a trigonometrie

4.3. GONIOMETRICKÉ ROVNICE A NEROVNICE

SBÍRKA ÚLOH I. Základní poznatky Teorie množin. Kniha Kapitola Podkapitola Opakování ze ZŠ Co se hodí si zapamatovat. Přírozená čísla.

Funkce. Vlastnosti funkcí

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

SMART Notebook verze Aug

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Goniometrické a hyperbolické funkce

M - Goniometrie a trigonometrie

Funkce kotangens

Funkce kotangens. cotgα = = Zopakuj všechny části předchozí kapitoly pro funkci kotangens. B a

Definice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Repetitorium matematiky (pomocný učební text soubor testů s výsledky) KMA/P113, KMA/K113

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro druhý ročník dálkového studia

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

Repetitorium matematiky (soubor testů) KMA/P113

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Exponenciální funkce, rovnice a nerovnice

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)

M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci

SINOVÁ A KOSINOVÁ VĚTA VZORCE PRO OBSAH TROJÚHELNÍKU

Cyklometrické funkce

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

15. Goniometrické funkce

4.2.9 Vlastnosti funkcí sinus a cosinus

INTERNETOVÉ ZKOUŠKY NANEČISTO - VŠE: UKÁZKOVÁ PRÁCE

c) nelze-li rovnici upravit na stejný základ, logaritmujeme obě strany rovnice

Funkce tangens. cotgα = = B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá.

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Funkce tangens. cotgα = = Předpoklady: B a. A Tangens a cotangens jsou definovány v pravoúhlém trojúhelníku: a protilehlá b přilehlá

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

Goniometrické rovnice

Střední průmyslová škola, Hronov, Hostovského 910, Hronov

TEMATICKÝ PLÁN VÝUKY

4.3.1 Goniometrické rovnice

Matematika pro všechny

Teorie sférické trigonometrie

UŽITÍ GONIOMETRICKÝCH VZORCŮ

Limita a spojitost funkce

Digitální učební materiál

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

3. LINEÁRNÍ FUNKCE, LINEÁRNÍ ROVNICE A LINEÁRNÍ NEROVNICE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

Cyklometrické funkce

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Digitální učební materiál

Funkce. b) D =N a H je množina všech kladných celých čísel,

CZ.1.07/1.5.00/

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

M - Příprava na 9. zápočtový test

Mateřská škola a Základní škola při dětské léčebně, Křetín 12

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Součtové vzorce. π π π π. π π π. Předpoklady: není možné jen tak roznásobit ani rozdělit:

Rovnice 2 Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková

( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.

( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x

UŽITÍ TRIGONOMETRIE V PRAXI

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Proseminář z matematiky pro fyziky

16. Goniometrické rovnice

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

Základní škola Ruda nad Moravou. Označení šablony (bez čísla materiálu): EU-OPVK-MAT-8+9- Slovní úlohy

CVIČNÝ TEST 19. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok

Funkce základní pojmy a vlastnosti

4.3.2 Goniometrické rovnice II

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

2. FUNKCE Funkce 31

Digitální učební materiál

Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/ Mgr. Jakub Novák. Datum: Ročník: 9.

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

CVIČNÝ TEST 29. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Kateřina Nováková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Transkript:

Goniometrické funkce a rovnice Repetitorium z matematiky Podzim 01 Ivana Medková

1 GONIOMETRICKÉ FUNKCE OSTRÉHO ÚHLU B odvěsna a C β c b přepona. α odvěsna A sin α a c b cos α c a tgαα b b cotg α a délka protilehlé odvěsny délka přepony délka přilehlé odvěsny délka přepony délka protilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka přilehlé odvěsny délka protilehlé odvěsny

Velikost úhlů v obloukové a stupňové míře Jednotková kružnice 3 4 3 6 3 k (S[0,0];r 1) 4 4 5 6 6 1 rad 180 180 1rad 57 17 4 3 6 4 3 6 180 α α 180 5 4 3 7 4 Úlohy Př.1: Vyjádřete v míře obloukové: a) α 40 b) α 150 Př.: Vyjádřete v míře stupňové: 9 a) 10 7 b) 3

3 GONIOMETRICKÉ FUNKCE SINUS A KOSINUS Definice: Orientovaný úhel α v základní poloze. Ke každému αϵrlze přiřadit 1!orientovaný úhel velikosti α (v obloukové míře), jehož počáteční rameno je polopřímka OI. Jednotková kružnice k (0;r 1) Pro každé αϵ R platí: sin α y M, cos α M Funkční předpisy: f : y sin, D( f ) R f : y cos, D( f ) R 4

3.1 Graf funkce sinus f : y sin sinusoida Vlastnosti: D( f ) R, H ( f ) 1;1 Je lichá:sin (-) -sin. Je rostoucípro ϵ <-/ + k ;/+ k >, kϵz. Je klesajícípro ϵ< / + k ; 3/+ k >, kϵz. Omezená v celém definičním oboru shora i zdola. Maimum [/ + k, 1], minimum[3/ + k,-1]. Perioda : sin sin ( + k), kϵz. Je spojitáv R. 5

3. Graf funkce cosinus f : y cos cosinusoida Vlastnosti: D( f ) R, H ( f ) 1;1 Je sudá: cos (-) cos. Je rostoucípro ϵ <+ k ; + k >, kϵz. Je klesajícípro ϵ<k ; + k >, kϵz. Omezená v celém definičním oboru shora i zdola. Maimum [k, 1], minimum[ + k,-1]. Perioda: cos cos ( + k), kϵz. Je spojitáv R. 6

Příklady grafů funkcí: f f : y sin : y 1 sin 1 1/ f : y sin f 1 : y sin 7

Příklady grafů funkcí: f ( 1) : y sin + f ( 1) : y sin f ( 1) : y 3sin 8

4 Graf funkce tangens f : y tg tangentoida Vlastnosti: D ( f ) R + k, k Z, H ( f ) Je lichá: tg (-) -tg. Je rostoucípro ϵ (-/ + k ; /+ k ), kϵz. Není omezená shora ani zdola. Maimum ani minimum neeistuje. Perioda : tg tg ( + k), kϵz. Spojitost: Není definována pro (k+1)/ ), kϵz. R 9

5 Graf funkce cotangens f : y cotg cotangentoida Vlastnosti: { k }, k Z, H ( f R D ( f ) R ) Je lichá: cotg (-) -cotg. Je klesajícípro ϵ (k ; + k), kϵz. Není omezená shora ani zdola. Maimum ani minimum neeistuje. Perioda : cotg cotg ( + k), kϵz. Spojitost: Není definována pro k/, kϵ Z. 10

6 Důležité hodnoty goniometrických funkcí 11

7 Znaménka hodnot goniometrických funkcí 1

Úlohy Př.: Vypočítejte: a)sin 7 b)cos 6 13 c)cos 4 14 d )sin 3 e )cos 3 1 f )sin 4 19 g) tg 6 13

8 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Základní vzorce: tg sin cos cotg cos sin 14

8 Vztahy mezi goniometrickými funkcemi Vztahy pro dvojnásobek a polovinu argumentu: Součtové vzorce: 15

Úlohy Př.: Zjednodušte goniometrické výrazy: + sin cos cos )sin 4 4 a 1 cos sin ) tg b + + cos cos 1 ) cos ) d c + + + cot 1 ) sin sin ) tg g e d + 1 cotg tg 16

9 GONIOMETRICKÉ ROVNICE 9.1 Základní goniometrické rovnice- jsou dány ve tvaru: některá z goniometrických funkcí sin, cos, tg, cotg g ( ) a reálné číslo Úlohy Př.1: a) sin 0,5 d) cotg 1 e) sin 1 b) cos 3 f ) c os c) tg 3 9. Složitější goniometrické rovnice řešíme převedením na základní goniometrické rovnice (pomocí substituce, nebo s použitím vzorců pro goniometrické funkce). Úlohy Př.1: Řešte užitím substituce: Př.: Řešte užitím goniometrických vzorců: ( ) a) sin 3 + 1 a) cos + cotg 1 + sin b) cos + 3cos + 1 0 17

10 Další využití goniometrických funkcí: TRIGONOMETRIE Sinová věta: a b sin α sin β Kosinová věta: c sin γ b γ C a a b c b + c bc cosαα α β a a + c + b ac cos β ab cos γ A c B Užití sinové a kosinové věty: Např.: Při výpočtu výslednice dvou sil, které spolu svírají úhel α. 18

Literatura Delventhal, K., M., Kissner, A., Kulick, M. Kompendium matematiky. Praha: Euromedia Group k. s., 003. Bušek, I. a kol. Základní poznatky z matematiky. Matematika pro gymnázia, Praha: Prometheus, 199. Odvárko, O. a kol. Matematika pro gymnázia Goniometrie. Praha: Prometheus, 1997. Polák, J. Přehled středoškolské matematiky. Praha: Prometheus, 1998. Vošický Zdeněk. Matematika v kostce pro střední školy. Havlíčkův Brod: Fragment, 003. 19