SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY)

SIGNÁLY A LINEÁRNÍ SYSTÉMY (ČASOVÉ ŘADY) prof. Ig. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.mui.cz, Kameice 3, 4. patro, dv.č.424 INVESTICE Istitut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz

IV. FREKVENČNÍ TRASFORMACE FUNKCE SPOJITÉ V ČASE

ČASOVÁ ŘADA Preferece politických stra v ČR v období od 8/24 do 3/28

OSCILACE

HARMONICKÁ FUNKCE tříparametrickou harmoickou fukci lze graficky vyjádřit pomocí dvou bodů v roviách amplituda x úhlový kmitočet a počátečí fáze x úhlový kmitočet: C 1 C 1 (ω) a φ 1 φ 1 (ω); spektrum amplitud spektrum počátečích fází

HARMONICKÁ FUNKCE x(t) 1.cos(2π.1t + π/2).

HARMONICKÁ FUNKCE x(t) 1.cos(2π.1t + π/2) + 5.cos(2π.15t)

!!! FREKVENČNÍ SPEKTRUM!!! Frekvečí spektrum fukce je vyjádřeí rozložeí amplitud a počátečích fází jedotlivých harmoických složek, ze kterých se fukce skládá, v závislosti a frekveci.! ZAPAMATOVAT NA VĚKY!

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY Fourierova aalýza saha vyjádřit (rozložit, rozviout) fukci jako součet jedoduchých fukcí (harmoických sigálů, složek). počty těchto harmoických složek, jejich amplitudy, frekvece a fázové posuy jedozačě charakterizují aalyzovaou fukci. Fourierova řada Fourierův itegrál, Fourierova trasformace Fourierovy řady mohou být vyjádřey buď v trigoometrickém ebo komplexím tvaru. zpracovávat můžeme spojité i diskrétí sigály. 9

TAYLORŮV TAYLORŮV ROZVOJ ROZVOJ Nechť fukce f(x) má v okolí U(x ) bodu x derivace až do řádu +1 včetě Taylorova řada ) x ( f ) x ( ' f ) ( + + + + Taylorova řada ) x ( R ) x x (!... ) x x ( 1! ) x ( f ) x ( f + + + + Maclauriova řada, tj. Taylorova řada pro x Maclauriova řada, tj. Taylorova řada pro x ) x ( R x ) ( f... x ) ( ' f ) ( f ) x ( f ) ( + + + +! 1! + + + + V 1

TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCE y si(x) PRO x 1 2 3 4 5

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY pozali jsme, že fukci je možé vyjádřit jako mociou řadu jiou možostí je vyjádřit fukci jako trigoometrickou řadu (tj. jako součet harmoických fukcí (sigálů)). pomocí trigoometrických řad lze vyjádřit obsáhlejší třídu fukcí ež mociými řadami. 12

13

.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 14

.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 15

.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 16

.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 17

.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 18

.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 19

.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 2

.8.6.4.2 -.2 -.4 -.6 -.8 1 2 3 4 5 6 21

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Trigoometrická řada f(x) a 2 + (a cosx + b ) six 1 uvedeý vztah můžeme psát pouze tehdy, jestliže řada a pravé straě koverguje. koverguje-li řada, potom je její součet periodickou fukcí proměé x s periodou 2π. 22

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY každou periodickou fukci f(x) f(x+kx), která splňuje tzv. Dirichletovy podmíky lze vyjádřit uvedeou trigoometrickou řadou, kde se koeficiety (amplitudy) a, b vypočítají ze vztahů π 1 a f(x)cosx dx, π π,1, 2,K π 1 π b f(x)six dx, 1, 2, 3, K π π 23

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY každou periodickou fukci f(x) f(x+kx), která splňuje tzv. Dirichletovy podmíky lze vyjádřit uvedeou trigoometrickou řadou, kde se koeficiety (amplitudy) a, b vypočítají ze vztahů π 1 a f(x)cosx dx, π π,1, 2,K π 1 π b f(x)six dx, 1, 2, 3, K π π co tyhle vztahy zameají? jak je iterpretovat? 24

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Dirichletovy podmíky Fukce musí být absolutě itegrovatelá přes jedu periodu tj. x+ X x f (x) dx < ; Fukce musí mít a itervalu (x; x + X) koečý počet espojitostí a koečý počet maxim i miim. Dirichletovy podmíky jsou postačující, ikoliv uté. Všechy fyzikálě realizovatelé fukce splňují D.p. 25

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY uvedeá trigoometrická řada s koeficiety určeými z výše uvedeých vztahů se azývá (trigoometrická) Fourierova řada (příslušá k fukci f). Fourierova řada se zjedoduší, je-li fukce f lichá ebo sudá. Pro lichou fukci platí a b f(x) 1 2 3 π 2 f(x)six dx π b six + b si2x + b si3 x +K 26

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Pro sudou fukci platí π 2 a b π f(x)cosx dx a f(x) + a1cos x + a2 cos2x + a3 cos3x 2 +K 27

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Příklad 1: Rozviňme fukci f(x) x ve Fourierovu řadu. Fukce f(x) je lichá, a proto a. Koeficiety b spočítáme ze vztahu b π 2 x six dx π Itegrací per partes dostaeme π x six dx π x 1 cosx + cosx dx ( 1) + π 1 π 28

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Koeficiet b je tedy b ( 1) + 1 Výsledá Fourierova řada má tvar 2 f(x) 1 1 x 2 six si2x + si3x K 2 3

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Příklad 2: Rozviňme ve Fourierovu řadu fukci f(x) c pro π < x < c pro < x < π 3

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Fukce f(x) je lichá, a proto a. Koeficiety b spočítáme takto b π c six dx six π π dx 2c π [ cosx] π Pro sudé je b, pro liché je b 4c π Výsledá Fourierova řada má tvar f(x) 4c 1 1 six + si3x + si5x + π 3 5 K 31

ZVOLNA DO FOURIEROVY ANALÝZY FOURIEROVY ŘADY Zevšeobecěí pro fukce s periodou T. Fourierova řada (příslušá k fukci f) má tvar f(t) a 2π 2π + a cos t + b si t 2 1 T T T 2 2π a f(t)cos t dt, T T,1, 2,K b T 2 2π f(t)si t dt, 1, 2, 3,K K T T 32

HARMONICKÁ FOURIEROVA ŘADA kde výraz s ( t ) c + ( Ω + ϕ ) c cos( t ) c 1 cos( Ωt + ϕ ) azýváme -tou harmoickou složkou fukce s(t) 2 2 c a + b, ϕ arctg b a

OSCILACE

FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU každou periodickou fukci f(t+kt)f(t), (která vyhovuje Dirichletovým podmíkám), můžeme rozložit ve Fourierovu řadu j Ω t f ( t) c& e Ω 2 π / T kde c jsou komplexí Fourierovy koeficiety c& 1 / 2 T T / 2 T f( t). e jωt Ω úhlový kmitočet základí harmoické složky (základí harmoická); dt

FOURIEROVA ŘADA V KOMPLEXNÍM TVARU pro je 1 / 2 T T / 2 c& f( t). e T 2 jωt dt 1 T / 2 c& f ( t ). dt, T T / 2 což je středí hodota fukce f(t). Pro reálé fukce f(t) je ë - ë*.

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU Pomocý výpočet: I( ω ) a e ± j ωt dt a Pro je I() 2a Pro I(ω) e ± jω ± j ωt a a e j ωa e jω j ωa 2 e. ω j ωa e 2j j ωa si ω a 2a. ω.a

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU Šířka impulsů ϑ,výška D, perioda T c T / 2 ϑ/ 2. T T / 2 ϑ/ 2 ϑ/ 2 1 jωt 1 jωt D s( t). e dt D e dt e T T T ϑ/ 2 D ϑ ϑ ϑ ϑ....2.. Sa Ω D.. Sa Ω T 2 2 T 2 jωt dt

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU Co se stae, když posueme obdélíkový puls z předešlého příkladu tak, aby ástupá hraa obdélíka byla v počátku časové osy?

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU Co se stae, když posueme obdélíkový puls z předešlého příkladu tak, aby ástupá hraa obdélíka byla v počátku časové osy? c& T 1 jωt 1 jωt A s(t).e dt A.e dt e T T T A. T jωϑ / 2 A 2 e.e.. T jω A 2ϑ..si( Ωϑ / 2).e T Ωϑ jωϑ / 2 ϑ 1.e jω e 2 jωϑ / 2 jωϑ jωϑ / 2 1 + jω.e jωϑ / 2 ϑ jωt dt A 1..1 T jω A 2 e.. T Ω Aϑ si(ωϑ/ 2)..e T Ωϑ/ 2 A 1 e T j Ω jωϑ ( e ) jωϑ / 2 jωϑ / 2 e 2j jωt jωϑ / 2.e ϑ jωϑ / 2 ϑ ϑ A..Sa.e T Ω 2 ϑ jω 2.

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO PULSU Co se stae, když posueme obdélíkový puls z předešlého příkladu tak, aby ástupá hraa obdélíka byla v počátku časové osy?

JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY jedotkový skok (Heavisidova fukce) σ(t), pro t < ; 1, pro t.

JEDNORÁZOVÉ SIGNÁLY jedotkový impuls (Diracův impuls) - δ(t) splňuje vztah s(t). δ (t τ)dt s( τ) zjedodušeě: jedotkový impuls δ(t) je velice úzký (limitě s ulovou šířkou) a velice (limitě ekoečě) vysoký obdélíkový impulz, jehož výška je rova převráceé hodotě šířky mohutost je jedotková

FOURIEROVA TRANSFORMACE zavádí spektrálí popis jedorázových (aperiodických) sigálů můžeme jej získat z Fourierovy řady limitím prodloužeím periody sigálu T

FOURIEROVA TRANSFORMACE kmitočet základí harmoické složky Ω 2π/T když T, pak Ω dω Graficky to představuje zhušťováí spektrálích čar s prodlužující se periodou až v limitím případě je vzdáleost mezi spektrálími čarami ulová. Pro aperiodický sigál budou spektrálí čáry a sebe avazovat - Ω ω s(t) c. e j Ω t Suma ve výše uvedeém vztahu přechází v itegrál s mezemi od - do.

FOURIEROVA TRANSFORMACE c 1 T T / 2 T / 2 s(t).e jωt dt pro T je T 2π/dω, meze itegrálu budou pro ekoečě trvající sigál od - do. Pro T budou rověž amplitudy spojitého spektra jedorázového impulsu ekoečě malé. Dosaďme za c do vztahu a předchozím obrázku

FOURIEROVA TRANSFORMACE Ozačme s(t) S( ω) dω s(t).e 2 π s(t).e jωt jωt dt dt.e jωt Fourierova trasformace Fukci S(ω) azveme spektrálí fukcí sigálu. Ta už evyjadřuje skutečé zastoupeí jedotlivých harmoických složek sigálu, ýbrž je jejich poměré zastoupeí. Fourierova trasformace převádí sigál (fukci) s(t) z časové doméy a fukci S(ω) v kmitočtové oblasti.

FOURIEROVA TRANSFORMACE Pro časovou fukci můžeme psát vztah s(t) 1 ω j t S( ω).e. d 2 π ω zpětá Fourierova 2 trasformace

FOURIEROVA TRANSFORMACE VLASTNOSTI Pricip superpozice (! podmíka liearity! ) s 1 (t) + s 2 (t) ~ S 1 (ω) + S 2 (ω) a.s(t) ~ a.s(ω) Lieárí kombiaci sigálů odpovídá lieárí kombiace jejich spekter Změa zaméka Změa měřítka s(-t) ~ S*(ω) s(t/a) ~ a.s(aω), kde a >

FOURIEROVA TRANSFORMACE VLASTNOSTI Traslace fukce Traspozice spektra s(t-τ) τ ~ S(ω).e -jωτ S(ω-Ω) ~ s(t).e jωt Kovoluce fukcí t s1( t) s2( t) s1( x). s2( t x). dx S1( ω). S2( ω)

PŘÍKLADY SPEKTRUM JEDNOTKOVÉHO SKOKU Jedotkový skok σ(t) evyhovuje podmíce absolutí itegrovatelosti, emá Fourierův itegrál. Pomůžeme si pomocí fukce A.e -βt. Pro A1 a β je tato fukce ekvivaletí jedotkovému skoku. Platí tedy, že S(ω)1/jω.

PŘÍKLADY SPEKTRUM JEDNOTKOVÉHO SKOKU s(t) s(t) S( ω ) A.e βt A.e βt A β + jω.e pro t pro t < jωt dt

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU s(t) A.σ(t) A. σ(t-τ) S( ω) e A. 1 1 j ωτ A..e jω jω j ωτ / 2 e jω j ωτ / 2.e 2A ωτ jωτ / 2.si ω 2 si A. τ..e jωτ / 2 ωτ 2 jωτ / 2. e ωτ 2

PŘÍKLADY SPEKTRUM OBDÉLNÍKOVÉHO IMPULSU S( ω) A. τ.sa ( ωτ ) 2 Průchody ulou pro ωτ/2 kπ, k1,2,, resp. 2πfτ/2 kπ a tedy f k/ττ

! SHRNUTÍ!! URČITĚ SI ZAPAMATOVAT! spojitý periodický sigál má diskrétí frekvečí spektrum pro rozklad jsme použili Fourierovu řadu; spojitý jedorázový sigál má spojité frekvečí spektrum pro rozklad jsme použili Fourierovu trasformaci.! A VĚDĚT PROČ!