KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE Mg. Pet Piklová, Ph.D. kmd.fp.tul.cz Budov G, 4. pto
SYLBUS. Mongeovo pomítání.. nltická geometie v E 3. 3. Vektoová funkce jedné eálné poměnné. Křivk. 4. Šoubovice - konstuktivní úloh o šoubovici. 5. Ploch. 6. Rotční ploch. 7. Šoubové ploch.
DOPORUČENÁ LITERTUR: KRGEROVÁ, M.: Deskiptivní geometie po technické škol. Ostv, Montnex, 997. PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul 0. Libeec, TU, 004. PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul 0S. Libeec, TU, 004. PECIN, V. - PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul. Libeec, TU, 00. PECIN, V. - PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul. Libeec, TU, 00. BÍMOVÁ, D. - PECIN, V. - PŘÍVRTSKÁ J.: Geometie po technik - modul 3. Libeec, TU, 003. POMYKLOVÁ, E.: Mtemtik po gmnázi - steeometie. Ph, Pometheus, 995. POMYKLOVÁ, E.: Deskiptivní geometie po střední škol. Ph, Pometheus, 00. URBN,.: Deskiptivní geometie I, II. Ph, SNTL, 967. VORÁČOVÁ, Š. kol.: tls geometie. Ph, cdemi, 0.
POŽDVKY K ZÁPOČTU: Odevzdání spávného vpcování 3 zdných sů příkldů do konce zápočtového týdne. Jejich zdání n kmd.fp.tul.cz Kted Členové kted
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ
PROMÍTÁNÍ = zobzení, pomocí něhož je možné zobzovt tojozměný euklidovský posto E 3 geometické útv v něm do ovin Pomítcí metod = metod, kteé tkové zobzení zpostředkují N zákldě pomítcích metod se pk mohou útv modelovt, studovt vzájemné vzth mezi nimi řešit ovinné postoové úloh. Dv duh pomítání: Středové pomítání Rovnoběžné pomítání
ROVNOBĚŽNÉ PROMÍTÁNÍ - dáno ovinou (půmětn) směem s, kteý je s ní ůznoběžný s Obz bodu v postou v ovnoběžném pomítání :. bodem položíme přímku ovnoběžnou se směem pomítání s,. půsečík přímk s půmětnou je obz bodu.
MONGEOVO PROMÍTÁNÍ = pvoúhlé ovnoběžné pomítání n dvě k sobě kolmé půmětn Výhod - sndné řešení úloh, nevýhod - menší názonost. násn n půdosn Půmětn: půdosn (oznčení ), násn (oznčení n).
ZOBRZENÍ BODU bod pvoúhle pomítneme do půdosn násn z n pvoúhlý půmět do půdosn = půdos (dolní indexem ( )) pvoúhlý půmět do násn = nás (dolní index ( )) 3 0 Sdužené půmět = půdos nás jednoho bodu (o) Umístění soustv souřdnic: půsečnice půdosn násn = os (zákldnice), kldný smě dopv, půdosn = (x) násn = (z). x x (o)
Po zobzení obou půmětů v jedné ovině, otočíme jednu z půměten kolem os do duhé půmětn. z n 0 (o) x x (o)
z n z 0 x x odinál z 0 x Odinál = přímk kolmá k zákldnici spojující půdos nás jednoho bodu
Zobzení bodů v nákesně: B(x<0,>0,z>0), C(x<0,>0,z<0), D(x>0,>0,z<0), E(x>0,<0,z=0), E, F(x=0,<0,z>0), F n, G(x=0,<0,z=0), G B C F B G =G F E 0 D E C D
ZOBRZENÍ ÚSEČKY - obz úsečk = obz všech bodů, kteé leží n dné úsečce B n Skutečná velikost úsečk Délk všech úseček se při zobzování zkeslí (zkátí) používáme tzv. sklápění Sklápění pomítcí ovin úsečk do půdosn nebo do násn () d B B d (B)
Sestojíme kolmice v koncových bodech někteého půmětu úsečk. N kolmici nneseme souřdnici duhého půmětu tohoto bodu - získáme sklopené bod, kteé znčíme závokou npř. (). Spojením sklopených koncových bodů úsečk - skutečná délku úsečk. Sklopená úsečk se znčí čákovně. d (B) x B () B x z z B x [] z d x B z B [B] B
Pokud je npř. x-ová souřdnice jednoho koncového bodu kldná duhého koncového bodu záponá, je nutné tto souřdnice nnášet n kolmice v opčných poloovinách, učené násem úsečk. () x d B x B (B) B x x B
ZOBRZENÍ PŘÍMKY Obz přímk = přímk (pokud přímk není směu pomítání = není kolmá k někteé z půměten). Obz přímk = bod (pokud přímk náleží směu pomítání). Přímk je dosttečně učen dvěm bod. Půdos bodů leží n půdosu přímk, nás bodů leží n násu přímku. Definice: Stopník je bod, ve kteém přímk potíná půmětnu. Půdosný stopník P = bod, ve kteém přímk potíná půdosnu. Násný stopník N = bod, ve kteém přímk potíná násnu.
Kždý stopník má svůj půdos nás. Půdos půdosného stopníku P je totožný s půdosným stopníkem. Obdobně po násný stopník jeho nás N. Nás půdosného stopníku P půdos násného stopníku N leží vžd n zákldnici. N=N n P N P=P
Situce v nákesně: N P N P
Zvláštní poloh přímek b c d c b d n b b c c d d b c d
Zvláštní poloh přímek e g =g N f P =N e f P n e e g g e f f=f g
Příkld: Učete stopník těchto přímek. b b
ZOBRZENÍ DVOJICE PŘÍMEK Rovnoběžk Jsou-li dvě přímk ovnoběžné ( ni jedn není kolmá k zákldnici), pk jejich pvní i duhé půmět jsou spolu ovnoběžné ( nejsou kolmé k zákldnici). b Pokud jsou kolmé k jedné z půměten, pk se zobzí v jednom půmětu jko dv nesplývjící bod ve duhém jko dvě ovnoběžk. b
leží ve společné půdosně pomítcí ovině, jejich půdos splnou n s = s s s = s
RŮZNOBĚŽKY Půmětem dvou ůznoběžek mohou být:. Dvě dvojice ůznoběžek, jejichž půsečík leží n odinále.. Jedním je jediná přímk duhým půmětem ůznoběžk (leží-li v jedné pomítcí ovině). 3. Jedním je přímk bod, kteý n ní leží duhým ůznoběžk (je-li jedn přímk kolmá k jedné z půměten). p q L s M b T L p q M = s = T b
MIMOBĚŽKY Půmětem dvojice mimoběžek mohou být:. Dvě dvojice ůznoběžek, jejichž půsečík neleží n odinále.. Jedním půmětem jsou ůzné ovnoběžné přímk duhým dvojice ůznoběžek. 3. Dvojice ůznoběžek duhým půmětem je přímk bod n ní neležící (pokud je jedn přímk kolmá k jedné z půměten). p q b s p q b s
ZOBRZENÍ ROVINY - zobzí se jko celá půmětn pokud není pomítcí (kolmá k půmětně) - zobzí se jko přímk - pokud je pomítcí (kolmá k půmětně) n =n n Nejčstější způsob zdání ovin - pomocí stop ovin. Definice: Stop ovin je půsečnice ovin s půmětnou. Půsečnice ovin s půdosnou se nzývá půdosná stop p, s násnou násná stop n (potínjí se n zákldnici). p =p =p =n
Pokud je ovin zdán souřdnicemi = (x,, z ) - souřdnice znčí půsečík ovin s příslušnou souřdnicovou osou = (XYZ), X[x, 0, 0], Y[0,, 0], Z[0, 0, z ] Ted při vnášení souřdnic ovin nneseme n zákldnici souřdnici v počátku vztčíme kolmici, n kteou nneseme souřdnici x z, podle stejných pvidel jko při vnášení souřdnic bodu. z n Z n Z x X x z 0 p Y p 0 z x X Y
SPECIÁLNÍ POLOHY ROVINY Rovin kolmá k násně ovnoběžná s půdosnou Rovin kolmá k půdosně ovnoběžná s násnou n = p = n n n p
Rovin kolmá k násně Rovin kolmá k půdosně i násně n n =p p n n n n p p
Rovin kolmá k půdosně Rovin ovnoběžná s osou Rovin pocházející osou n n =p =n p p n n n n n p p = n = p
Příkld: Sestojte stop ovin =(,4,3), b=(-4,,), g=(,-4,), d=(,4, )
ZOBRZENÍ DVOJICE ROVIN Rovnoběžné ovin - půmět příslušných stop jsou ovnoběžné. Kždé dvě ovnoběžné ovin jsou třetí ovinou s nimi ůznoběžnou poťt ve dvou ovnoběžných přímkách. Jsou-li všk ovin ovnoběžné se zákldnicí, jejich stop jsou tké vzájemně ovnoběžné, le tto ovin nemusí být ovnoběžné. Toto bchom zjistili z třetího půmětu. Různoběžné ovin - půmět příslušných stop jsou ůznoběžné.
POLOHOVÉ ÚLOHY PŘÍMK V ROVINĚ Vět: Leží-li přímk v ovině, pk její stopník leží n stopách ovin. Nás násného stopníku leží n násné stopě půdos půdosného stopníku leží n půdosné stopě. n =n n N=N P N =p =n p =p P=P
Situce v nákesně: n N P N p P
Příkld: Sestojte půdos přímk ležící v ovině dné stopmi, jestliže známe její nás. n n P N P N p p
Příkld: Učete nás přímk, kteá leží v ovině, dné dvěm ovnoběžkmi p, q. p p q q Q M q p q p Q M
Příkld: Sestojte stop ovin, kteá je dán dvěm přímkmi. n p =p n =n N N N N P P P P b b b b b b b b b
SPECIÁLNÍ PŘÍMKY V ROVINĚ Hlvní přímk ovin Hlvní přímk ovin jsou přímk, kteé leží v dné ovině jsou ovnoběžné s půmětnou. Dv sstém hlvních přímek. Hoizontální hlvní přímk ovin (h ) jsou ovnoběžné s půdosnou fontální hlvní přímk ovin (f ) jsou ovnoběžné s násnou. Stop ovin tké hlvní přímk; hlvní přímk - ovnoběžk se stopmi
Hoizontální hlvní přímk n =n n h h h =p =n p =p
Fontální hlvní přímk f f n =n n f =p =n p =p
V nákesně: h p, h f n, f n h f h f p
SPÁDOVÉ PŘÍMKY ROVINY Spádové přímk ovin jsou přímk v ovině, kteé jsou kolmé ke stopě. Spádové přímk pvní osnov ( I s ) jsou kolmé n půdosnou stopu spádové přímk duhé osnov ( II s ) jsou kolmé n násnou stopu. N I s I s n =n n n =n N n N p =p I s P P =p =n P II s II s II s P N p =p =p =n
V nákesně: I s p ( I s není kolmý n násnou stopu) II s n ( II s není kolmý n půdosnou stopu) n II s I s I s p II s
BOD V ROVINĚ Příkld: V dné ovině, dné stopmi, je dán půdos bodu, učete jeho nás. n n f f p p
Příkld: Učete půdos bodu C, kteý leží v ovině dné dvěm ůznoběžkmi, b. b b C b b C C p p B B
ROVIN ROVNOBĚŽNÁ S DNOU ROVINOU Příkld: Bodem M, kteý neleží v ovině, veďte ovinu s ovnoběžnou s dnou ovinou. n n n s M h s N M s f P N M f s P M h s p s p p
PRŮSEČNICE DVOU ROVIN Příkld: Sestojte půsečnici dvou ovin s, jenž jsou zdné stopmi. n s n n s N n P N p s p p s P p
Je-li, půsečík někteých stop n nákesně nedostupný n s n n s n F s f f P p p s p P F s = f = f p s
PRŮSEČÍK PŘÍMKY S ROVINOU používáme tzv. kcí přímku. Kcí přímk = přímk ležící v dné ovině, jejíž jeden půmět splývá s půmětem přímk dné (tzn., že mjí společnou pomítcí ovinu). Sestojíme chbějící půmět kcí přímk - potíná se s dnou přímkou v půsečíku této přímk s dnou ovinou k p R p p =k
Příkld: Sestojte půsečík přímk s ovinou, je-li zdán stopmi. n =k n N R N P R P p k p
Příkld: Sestojte půsečík přímk s ovinou, kteá je zdná přímkmi s t. s t s t s t s t k =k T T S S R R
ROVINNÝ ŘEZ HRNOLŮ JEHLNŮ. Řez pomítcí ovinou jeden půmět řezu se zobzí jko úsečk duhý půmět řezu leží n odinálách H G E F n D C B G C H F D B E p
H G E F n B D C D C B G C C H F D D B B E p
. Řez obecnou ovinou Njdeme jeden bod řezu jko půsečík jedné (vhodné) hn těles s ovinou řezu použitím kcí přímk. Dlší bod řezu učíme pomocí osové finit u hnolů nebo středové kolinece u jehlnů. Os finit (kolinece) je půdosná stop ovin řezu (pokud podstv těles leží v půdosně) pá odpovídjících si bodů je bod n podstvě pvní bod řezu. Do duhého půmětu převedeme bod řezu po odinálách. Učíme viditelnost řezu tk, že stn řezu, kteá leží v neviditelné stěně hnolu, je neviditelná.
STŘEDOVÁ KOLINECE V PROSTORU Definice: Nechť ρ ρ jsou dvě ůzné ovin nechť bod S je bod, kteý neleží v žádné z těchto ovin. Pk zobzení f : ρ ρ, ve kteém je obzem libovolného bodu ρ, kde S, bod definovný vzthem = S ρ, se nzývá středová kolinece mezi ovinmi ρ ρ. Bod S = střed kolinece Půsečnici ovin ρ, ρ = os kolinece S Přímk, kteé si odpovídjí v kolineci se potínjí v smodužném bodě n ose kolinece. o
OSOVÁ FINIT V PROSTORU Definice: Nechť ρ ρ jsou dvě ůzné ovin nechť je dán smě s, kteý není ovnoběžný ni s jednou ovinou. Pk zobzení f : ρ ρ, ve kteém je obzem libovolného bodu ρ bod definovný vzthem s se nzývá osová finit mezi ovinmi ρ ρ. Smě s = smě finit. Půsečnice ovin ρ, ρ = os finit. s Přímk, kteé si odpovídjí v finitě se potínjí v smodužném bodě n ose finit. o
ŘEZ JEHLNU: Středová kolinece mezi ovinou řezu ovinou podstv. Střed kolinece - vchol jehlnu. C C B B
ŘEZ HRNOLU: Osová finit mezi ovinou řezu ovinou podstv. Smě finit - smě hn těles. D C D B B C 3
Příkld: Zobzte řez kosého čtřbokého hnolu BCDEFGH s podstvou BCD v půdosně ovinou. H G E F n D C B G C H F D B E p
H G E F n k N D G k N D =P C C B H F D D B E P p
H G E F n k B 3 N C D N D =P C B C G k C H F D D B B E p P
Příkld: Učete řez tojbokého jehlnu BCV s podstvou v půdosně ovinou. V n B B C p V C
V n N B C k =P B B k N C p B V C C P